02_Matematica

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SEE-MG 
 
 
I - NÚMEROS E OPERAÇÕES: cálculo aritmético .............................................................................. 1 
II - ÁLGEBRA E FUNÇÕES: proporcionalidade, sequências e raciocínio lógico ................................ 35 
III - GRANDEZAS E MEDIDAS: estimativas e noções de medições ................................................ 148 
IV - ESPAÇO E FORMA: deslocamentos e movimentos no plano e no espaço ............................... 162 
V - TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO: Leitura e representação da informação em Gráficos, Tabelas 
e Pictogramas ...................................................................................................................................... 260 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Candidatos ao Concurso Público, 
O Instituto Maximize Educação disponibiliza o e-mail professores@maxieduca.com.br para dúvidas 
relacionadas ao conteúdo desta apostila como forma de auxiliá-los nos estudos para um bom 
desempenho na prova. 
As dúvidas serão encaminhadas para os professores responsáveis pela matéria, portanto, ao entrar 
em contato, informe: 
- Apostila (concurso e cargo); 
- Disciplina (matéria); 
- Número da página onde se encontra a dúvida; e 
- Qual a dúvida. 
Caso existam dúvidas em disciplinas diferentes, por favor, encaminhá-las em e-mails separados. O 
professor terá até cinco dias úteis para respondê-la. 
Bons estudos! 
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Caro(a) candidato(a), antes de iniciar nosso estudo, queremos nos colocar à sua disposição, durante 
todo o prazo do concurso para auxiliá-lo em suas dúvidas e receber suas sugestões. Muito zelo e técnica 
foram empregados na edição desta obra. No entanto, podem ocorrer erros de digitação ou dúvida 
conceitual. Em qualquer situação, solicitamos a comunicação ao nosso serviço de atendimento ao cliente 
para que possamos esclarecê-lo. Entre em contato conosco pelo e-mail: professores@maxieduca.com.br 
 
O seguinte material foi elaborado de acordo com as sugestões para estudos presente no edital, para 
tanto, o conteúdo de Matemática não muda a estrutura conceitual, apenas a forma como é abordado, 
dependendo do autor. Algumas obras, por exemplo, possuem uma maior quantidade de ilustrações 
quando comparadas a outras, mas nem por isso deixam de abordar o referido conteúdo. Depois de 
analisar a BNCC, as propostas curriculares para os ensinos Fundamental e Médio, da SECRETARIA 
ESTADUAL DE EDUCAÇÃO DE MINAS GERAIS e outras diversas coleções aprovadas no PNLD foi 
elaborado o material que apresentaremos para vocês, caros alunos. 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS - N 
 
O conjunto dos números naturais é representado pela letra maiúscula N e estes números são 
construídos com os algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, que também são conhecidos como algarismos 
indo-arábicos. Embora o zero não seja um número natural no sentido que tenha sido proveniente de 
objetos de contagens naturais, iremos considerá-lo como um número natural uma vez que ele tem as 
mesmas propriedades algébricas que estes números. 
Na sequência consideraremos que os naturais têm início com o número zero e escreveremos este 
conjunto como: N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...} 
 
As reticências (três pontos) indicam que este conjunto não tem fim. N é um conjunto com infinitos 
números. 
 
Excluindo o zero do conjunto dos números naturais, o conjunto será representado por: 
N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, ...} 
 
Subconjuntos notáveis em N: 
 
1 – Números Naturais não nulos 
N* ={1,2,3,4,...,n,...}; N* = N-{0} 
 
2 – Números Naturais pares 
Np = {0,2,4,6,...,2n,...}; com n ∈ N 
 
3 - Números Naturais ímpares 
Ni = {1,3,5,7,...,2n+1,...} com n ∈ N 
 
4 - Números primos 
P={2,3,5,7,11,13...} 
 
A construção dos Números Naturais 
 
I - NÚMEROS E OPERAÇÕES: cálculo aritmético 
 
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Todo número natural dado tem um sucessor (número que vem depois do número dado), considerando 
também o zero. 
Exemplos: Seja m um número natural. 
a) O sucessor de m é m+1. 
b) O sucessor de 0 é 1. 
c) O sucessor de 3 é 4. 
 
Se um número natural é sucessor de outro, então os dois números juntos são chamados números 
consecutivos. 
Exemplos: 
a) 1 e 2 são números consecutivos. 
b) 7 e 8 são números consecutivos. 
c) 50 e 51 são números consecutivos. 
 
- Vários números formam uma coleção de números naturais consecutivos se o segundo é sucessor do 
primeiro, o terceiro é sucessor do segundo, o quarto é sucessor do terceiro e assim sucessivamente. 
Exemplos: 
a) 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7 são consecutivos. 
b) 7, 8 e 9 são consecutivos. 
c) 50, 51, 52 e 53 são consecutivos. 
 
Todo número natural dado N, exceto o zero, tem um antecessor (número que vem antes do número 
dado). 
Exemplos: Se m é um número natural finito diferente de zero. 
a) O antecessor do número m é m-1. 
b) O antecessor de 2 é 1. 
c) O antecessor de 56 é 55. 
d) O antecessor de 10 é 9. 
 
O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números naturais pares. Embora uma sequência 
real seja outro objeto matemático denominado função, algumas vezes utilizaremos a denominação 
sequência dos números naturais pares para representar o conjunto dos números naturais pares: P = {0, 
2, 4, 6, 8, 10, 12, ...} 
O conjunto abaixo é conhecido como o conjunto dos números naturais ímpares, às vezes também 
chamados, a sequência dos números ímpares. I = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...} 
 
Operações com Números Naturais 
 
Na sequência, estudaremos as duas principais operações possíveis no conjunto dos números naturais. 
Praticamente, toda a Matemática é construída a partir dessas duas operações: adição e multiplicação. 
 
Adição de Números Naturais 
 
A primeira operação fundamental da Aritmética tem por finalidade reunir em um só número, todas as 
unidades de dois ou mais números. 
Exemplo: 
5 + 4 = 9, onde 5 e 4 são as parcelas e 9 soma ou total 
 
Subtração de Números Naturais 
É usada quando precisamos tirar uma quantia de outra, é a operação inversa da adição. A operação 
de subtração só é válida nos naturais quando subtraímos o maior número do menor, ou seja quando a-b 
tal que a≥ 𝑏. 
Exemplo: 
254 – 193 = 61, onde 254 é o Minuendo, o 193 Subtraendo e 061 a diferença. 
 
Obs.: o minuendo também é conhecido como aditivo e o subtraendo como subtrativo. 
 
 
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Multiplicação de Números Naturais 
É a operação que tem por finalidade adicionar o primeiro número denominado multiplicando ou parcela, 
tantas vezes quantas são as unidades do segundo número denominadas multiplicador. 
Exemplo: 
2 x 5 = 10, onde 2 e 5 são os fatores e o 10 produto. 
 
- 2 vezes 5 é somar o número 2 cinco vezes: 2 x 5 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10. Podemos no lugar do “x” 
(vezes) utilizar o ponto “. “, para indicar a multiplicação). 
 
Divisão de Números Naturais 
Dados dois números naturais, às vezes necessitamos saber quantas vezes o segundo está contido no 
primeiro. O primeiro número que é o maior é denominado dividendo e o outro número que é menor é o 
divisor. O resultado da divisão é chamado quociente. Se multiplicarmos o divisor pelo quociente 
obteremos o dividendo, desde que o resto seja 0. 
No conjunto dos números naturais, a divisão não é fechada, pois nem sempre é possível dividir um 
número natural por outro número natural e na ocorrência disto a divisão não é exata. 
 
 
 
Relações essenciais numa divisão de números naturais: 
 
- Em uma divisão exata de números naturais, o divisor deve ser menor do que o dividendo. 
35 : 7 = 5 
- Em uma divisão exata de números naturais, o dividendo é o produto do divisor pelo quociente. 
35 = 5 x 7 
 
A divisão de um número natural n por zero não é possível pois, se admitíssemos que o quociente 
fosse q, então poderíamos escrever: n ÷ 0 = q e isto significaria que:n = 0 x q = 0 o que não é correto! 
Assim, a divisão de n por 0 não tem sentido ou ainda é dita impossível. 
 
Propriedades da Adição e da Multiplicação dos números Naturais 
 
Para todo a, b e c ∈ 𝑁 
1) Associativa da adição: (a + b) + c = a + (b + c) 
2) Comutativa da adição: a + b = b + a 
3) Elemento neutro da adição: a + 0 = a 
4) Associativa da multiplicação: (a.b).c = a. (b.c) 
5) Comutativa da multiplicação: a.b = b.a 
6) Elemento neutro da multiplicação: a.1 = a 
7) Distributiva da multiplicação relativamente à adição: a.(b +c ) = ab + ac 
8) Distributiva da multiplicação relativamente à subtração: a .(b –c) = ab –ac 
9) Fechamento: tanto a adição como a multiplicação de um número natural por outro número natural, 
continua como resultado um número natural. 
 
Referências 
IEZZI, Gelson – Matemática - Volume Único 
IEZZI, Gelson - Fundamentos da Matemática – Volume 01 – Conjuntos e Funções 
 
Questões 
 
01. (SABESP – APRENDIZ – FCC) A partir de 1º de março, uma cantina escolar adotou um sistema 
de recebimento por cartão eletrônico. Esse cartão funciona como uma conta corrente: coloca-se crédito 
e vão sendo debitados os gastos. É possível o saldo negativo. Enzo toma lanche diariamente na cantina 
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e sua mãe credita valores no cartão todas as semanas. Ao final de março, ele anotou o seu consumo e 
os pagamentos na seguinte tabela: 
 
No final do mês, Enzo observou que tinha 
(A) crédito de R$ 7,00. 
(B) débito de R$ 7,00. 
(C) crédito de R$ 5,00. 
(D) débito de R$ 5,00. 
(E) empatado suas despesas e seus créditos. 
 
02. (PREF. IMARUI/SC – AUXILIAR DE SERVIÇOS GERAIS - PREF. IMARUI) José, funcionário 
público, recebe salário bruto de R$ 2.000,00. Em sua folha de pagamento vem o desconto de R$ 200,00 
de INSS e R$ 35,00 de sindicato. Qual o salário líquido de José? 
(A) R$ 1800,00 
(B) R$ 1765,00 
(C) R$ 1675,00 
(D) R$ 1665,00 
 
03. (Professor/Pref.de Itaboraí) O quociente entre dois números naturais é 10. Multiplicando-se o 
dividendo por cinco e reduzindo-se o divisor à metade, o quociente da nova divisão será: 
(A) 2 
(B) 5 
(C) 25 
(D) 50 
(E) 100 
 
04. (PREF. ÁGUAS DE CHAPECÓ – OPERADOR DE MÁQUINAS – ALTERNATIVE CONCURSOS) 
Em uma loja, as compras feitas a prazo podem ser pagas em até 12 vezes sem juros. Se João comprar 
uma geladeira no valor de R$ 2.100,00 em 12 vezes, pagará uma prestação de: 
(A) R$ 150,00. 
(B) R$ 175,00. 
(C) R$ 200,00. 
(D) R$ 225,00. 
 
05. PREF. JUNDIAI/SP – AGENTE DE SERVIÇOS OPERACIONAIS – MAKIYAMA) Ontem, eu tinha 
345 bolinhas de gude em minha coleção. Porém, hoje, participei de um campeonato com meus amigos e 
perdi 67 bolinhas, mas ganhei outras 90. Sendo assim, qual a quantidade de bolinhas que tenho agora, 
depois de participar do campeonato? 
(A) 368 
(B) 270 
(C) 365 
(D) 290 
(E) 376 
 
06. (Pref. Niterói) João e Maria disputaram a prefeitura de uma determinada cidade que possui apenas 
duas zonas eleitorais. Ao final da sua apuração o Tribunal Regional Eleitoral divulgou a seguinte tabela 
com os resultados da eleição. A quantidade de eleitores desta cidade é: 
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(A) 3995 
(B) 7165 
(C) 7532 
(D) 7575 
(E) 7933 
 
07. (PREF. JUNDIAI/SP – AGENTE DE SERVIÇOS OPERACIONAIS – MAKIYAMA) Durante um 
mutirão para promover a limpeza de uma cidade, os 15.000 voluntários foram igualmente divididos entre 
as cinco regiões de tal cidade. Sendo assim, cada região contou com um número de voluntários igual a: 
(A) 2500 
(B) 3200 
(C) 1500 
(D) 3000 
(E) 2000 
 
08. EBSERH/HU-UFGD – Técnico em Informática – AOCP) Joana pretende dividir um determinado 
número de bombons entre seus 3 filhos. Sabendo que o número de bombons é maior que 24 e menor 
que 29, e que fazendo a divisão cada um dos seus 3 filhos receberá 9 bombons e sobrará 1 na caixa, 
quantos bombons ao todo Joana possui? 
(A) 24. 
(B) 25. 
(C) 26. 
(D) 27. 
(E) 28 
 
09. (CREFITO/SP – ALMOXARIFE – VUNESP) O sucessor do dobro de determinado número é 23. 
Esse mesmo determinado número somado a 1 e, depois, dobrado será igual a 
(A) 24. 
(B) 22. 
(C) 20. 
(D) 18. 
(E) 16. 
 
10. (Prefeitura Municipal de Ribeirão Preto/SP – Agente de Administração – VUNESP) Em uma 
gráfica, a máquina utilizada para imprimir certo tipo de calendário está com defeito, e, após imprimir 5 
calendários perfeitos (P), o próximo sai com defeito (D), conforme mostra o esquema. 
 
Considerando que, ao se imprimir um lote com 5 000 calendários, os cinco primeiros saíram perfeitos 
e o sexto saiu com defeito e que essa mesma sequência se manteve durante toda a impressão do lote, é 
correto dizer que o número de calendários perfeitos desse lote foi 
(A) 3 642. 
(B) 3 828. 
(C) 4 093. 
(D) 4 167. 
(E) 4 256. 
Respostas 
 
01. Resposta: B. 
Crédito: 40 + 30 + 35 + 15 = 120 
Débito: 27 + 33 + 42 + 25 = 127 
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120 – 127 = - 7 
Ele tem um débito de R$ 7,00. 
 
02. Resposta: B. 
2000 – 200 = 1800 – 35 = 1765 
O salário líquido de José é R$ 1.765,00. 
 
03. Resposta: E. 
D= dividendo 
d= divisor 
Q = quociente = 10 
R= resto = 0 (divisão exata) 
Equacionando: 
D = d.Q + R 
D = d.10 + 0  D = 10d 
Pela nova divisão temos: 
5𝐷 =
𝑑
2
. 𝑄 → 5. (10𝑑) =
𝑑
2
. 𝑄, isolando Q temos: 
 
𝑄 = 
50𝑑
𝑑
2
 → 𝑄 = 50𝑑.
2
𝑑
 → 𝑄 = 50.2 → 𝑄 = 100 
 
04. Resposta: B. 
 
2100
12
= 175 
 
Cada prestação será de R$175,00 
 
05. Resposta: A. 
345 – 67 = 278 
Depois ganhou 90 
278 + 90 = 368 
 
06. Resposta: E. 
Vamos somar a 1ª Zona: 1750 + 850 + 150 + 18 + 183 = 2951 
2ª Zona: 2245 + 2320 + 217 + 25 + 175 = 4982 
Somando os dois: 2951 + 4982 = 7933 
 
07. Resposta: D. 
15000
5
= 3000 
Cada região terá 3000 voluntários. 
 
08. Resposta: E. 
Sabemos que 9. 3 = 27 e que, para sobrar 1, devemos fazer 27 + 1 = 28. 
 
09. Resposta: A. 
Se o sucessor é 23, o dobro do número é 22, portanto o número é 11. 
(11 + 1)2 = 24 
 
10. Resposta: D. 
Vamos dividir 5000 pela sequência repetida (6): 
5000 / 6 = 833 + resto 2. 
Isto significa que saíram 833. 5 = 4165 calendários perfeitos, mais 2 calendários perfeitos que restaram 
na conta de divisão. 
Assim, são 4167 calendários perfeitos. 
 
 
 
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CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS – Z 
 
Definimos o conjunto dos números inteiros como a reunião do conjunto dos números naturais N = {0, 
1, 2, 3, 4,..., n,...}, o conjunto dos opostos dos números naturais e o zero. Este conjunto é denotado pela 
letra Z (Zahlen = número em alemão). 
 
 
 
 
O conjunto dos números inteiros possui alguns subconjuntos notáveis: 
 
- O conjunto dos números inteiros não nulos: 
Z* = {..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4,...}; 
Z* = Z – {0} 
 
- O conjunto dos números inteiros não negativos: 
Z+ = {0, 1, 2, 3, 4,...} 
Z+ é o próprio conjunto dos números naturais: Z+ = N 
 
- O conjunto dos números inteiros positivos: 
Z*+ = {1, 2, 3, 4,...} 
 
- O conjunto dos números inteiros não positivos: 
Z_ = {..., -5, -4, -3, -2, -1, 0} 
 
- O conjunto dos números inteiros negativos: 
Z*_ = {..., -5, -4, -3, -2, -1} 
 
Módulo: chama-se módulo de um número inteiro a distância ou afastamento desse número até o zero, 
na reta numérica inteira. Representa-se o módulo por | |. 
O módulo de 0 é 0 e indica-se |0| = 0 
O módulo de +7 é 7 e indica-se |+7| = 7 
O módulo de –9 é 9 e indica-se |–9| = 9 
O módulo de qualquer número inteiro, diferente de zero, é sempre positivo. 
 
Números Opostos: Dois números inteiros são ditos opostos um do outro quando apresentam soma 
zero; assim, os pontos que os representam distam igualmente da origem. 
Exemplo: O oposto do número 3 é -3, e o oposto de -3 é 3, pois 3 + (-3) = (-3) + 3 = 0 
No geral, dizemos que o oposto, ou simétrico, de a é – a, e vice-versa; particularmente o oposto de 
zero é o próprio zero.1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 8 
Adição de Números Inteiros 
Para melhor entendimento desta operação, associaremos aos números inteiros positivos a ideia de 
ganhar e aos números inteiros negativos a ideia de perder. 
Ganhar 5 + ganhar 3 = ganhar 8 (+ 5) + (+ 3) = (+8) 
Perder 3 + perder 4 = perder 7 (- 3) + (- 4) = (- 7) 
Ganhar 8 + perder 5 = ganhar 3 (+ 8) + (- 5) = (+ 3) 
Perder 8 + ganhar 5 = perder 3 (- 8) + (+ 5) = (- 3) 
 
O sinal (+) antes do número positivo pode ser dispensado, mas o sinal (–) antes do número negativo 
nunca pode ser dispensado. 
 
Subtração de Números Inteiros 
A subtração é empregada quando: 
- Precisamos tirar uma quantidade de outra quantidade; 
- Temos duas quantidades e queremos saber quanto uma delas tem a mais que a outra; 
- Temos duas quantidades e queremos saber quanto falta a uma delas para atingir a outra. 
 
A subtração é a operação inversa da adição. 
Observe que em uma subtração o sinal do resultado é sempre do maior número!!! 
4 + 5 = 9 
4 – 5 = -1 
 
Considere as seguintes situações: 
 
1 - Na segunda-feira, a temperatura de Monte Sião passou de +3 graus para +6 graus. Qual foi a 
variação da temperatura? 
Esse fato pode ser representado pela subtração: (+6) – (+3) = +3 
 
2 - Na terça-feira, a temperatura de Monte Sião, durante o dia, era de +6 graus. À Noite, a temperatura 
baixou de 3 graus. Qual a temperatura registrada na noite de terça-feira? 
Esse fato pode ser representado pela adição: (+6) + (–3) = +3 
 
Se compararmos as duas igualdades, verificamos que (+6) – (+3) é o mesmo que (+6) + (–3). 
Temos: 
(+6) – (+3) = (+6) + (–3) = +3 
(+3) – (+6) = (+3) + (–6) = –3 
(–6) – (–3) = (–6) + (+3) = –3 
 
Daí podemos afirmar: Subtrair dois números inteiros é o mesmo que adicionar o primeiro com o oposto 
do segundo. 
 
Fique Atento: todos parênteses, colchetes, chaves, números, ..., entre outros, precedidos de sinal 
negativo, tem o seu sinal invertido, ou seja, é dado o seu oposto. 
 
Multiplicação de Números Inteiros 
A multiplicação funciona como uma forma simplificada de uma adição quando os números são 
repetidos. Poderíamos analisar tal situação como o fato de estarmos ganhando repetidamente alguma 
quantidade, como por exemplo, ganhar 1 objeto por 30 vezes consecutivas, significa ganhar 30 objetos e 
esta repetição pode ser indicada por um x, isto é: 1 + 1 + 1 ... + 1 + 1 = 30 x 1 = 30 
Se trocarmos o número 1 pelo número 2, obteremos: 2 + 2 + 2 + ... + 2 + 2 = 30 x 2 = 60 
Se trocarmos o número 2 pelo número -2, obteremos: (–2) + (–2) + ... + (–2) = 30 x (-2) = –60 
Observamos que a multiplicação é um caso particular da adição onde os valores são repetidos. 
Na multiplicação o produto dos números a e b, pode ser indicado por a x b, a . b ou ainda ab sem 
nenhum sinal entre as letras. 
 
 
 
 
 
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Divisão de Números Inteiros 
 
- Divisão exata de números inteiros. 
 Veja o cálculo: 
(– 20): (+ 5) = q  (+ 5) . q = (– 20)  q = (– 4) 
Logo: (– 20): (+ 5) = - 4 
 
Considerando os exemplos dados, concluímos que, para efetuar a divisão exata de um número inteiro 
por outro número inteiro, diferente de zero, dividimos o módulo do dividendo pelo módulo do divisor. 
Exemplo: (+7): (–2) ou (–19) : (–5) são divisões que não podem ser realizadas em Z, pois o resultado 
não é um número inteiro. 
- No conjunto Z, a divisão não é comutativa, não é associativa e não tem a propriedade da existência 
do elemento neutro. 
- Não existe divisão por zero. 
- Zero dividido por qualquer número inteiro, diferente de zero, é zero, pois o produto de qualquer 
número inteiro por zero é igual a zero. 
Exemplo: 0: (–10) = 0 b) 0 : (+6) = 0 c) 0 : (–1) = 0 
 
Regra de Sinais da Multiplicação e Divisão: 
→ Sinais iguais (+) (+); (-) (-) = resultado sempre positivo. 
→ Sinais diferentes (+) (-); (-) (+) = resultado sempre negativo. 
 
Potenciação de Números Inteiros 
A potência an do número inteiro a, é definida como um produto de n fatores iguais. O número a é 
denominado a base e o número n é o expoente.an = a x a x a x a x ... x a , a é multiplicado por a, n vezes 
 
 
Exemplos: 
33 = (3) x (3) x (3) = 27 
(-5)5 = (-5) x (-5) x (-5) x (-5) x (-5) = -3125 
(-7)² = (-7) x (-7) = 49 
(+9)² = (+9) x (+9) = 81 
 
- Toda potência de base positiva é um número inteiro positivo. 
Exemplo: (+3)2 = (+3) . (+3) = +9 
 
- Toda potência de base negativa e expoente par é um número inteiro positivo. 
Exemplo: (– 8)2 = (–8) . (–8) = +64 
 
- Toda potência de base negativa e expoente ímpar é um número inteiro negativo. 
Exemplo: (–5)3 = (–5) . (–5) . (–5) = –125 
 
- Propriedades da Potenciação: 
 
1) Produtos de Potências com bases iguais: Conserva-se a base e somam-se os expoentes. (–7)3 
. (–7)6 = (–7)3+6 = (–7)9 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 10 
2) Quocientes de Potências com bases iguais: Conserva-se a base e subtraem-se os expoentes. (-
13)8 : (-13)6 = (-13)8 – 6 = (-13)2 
 
3) Potência de Potência: Conserva-se a base e multiplicam-se os expoentes. [(-8)5]2 = (-8)5 . 2 = (-8)10 
 
4) Potência de expoente 1: É sempre igual à base. (-8)1 = -8 e (+70)1 = +70 
 
5) Potência de expoente zero e base diferente de zero: É igual a 1. 
Exemplo: (+3)0 = 1 e (–53)0 = 1 
 
Radiciação de Números Inteiros 
A raiz n-ésima (de ordem n) de um número inteiro a é a operação que resulta em outro número inteiro 
não negativo b que elevado à potência n fornece o número a. O número n é o índice da raiz enquanto 
que o número a é o radicando (que fica sob o sinal do radical). 
A raiz quadrada (de ordem 2) de um número inteiro a é a operação que resulta em outro número inteiro 
não negativo que elevado ao quadrado coincide com o número a. 
 
Atenção: Não existe a raiz quadrada de um número inteiro negativo no conjunto dos números 
inteiros. 
 
Erro comum: Frequentemente lemos em materiais didáticos e até mesmo ocorre em algumas aulas 
aparecimento de: 
9 = ± 3, mas isto está errado. O certo é: 9 = +3 
 
Observamos que não existe um número inteiro não negativo que multiplicado por ele mesmo resulte 
em um número negativo. 
 
A raiz cúbica (de ordem 3) de um número inteiro a é a operação que resulta em outro número inteiro 
que elevado ao cubo seja igual ao número a. Aqui não restringimos os nossos cálculos somente aos 
números não negativos. 
 
Exemplos: 
(a) 
3 8 = 2, pois 2³ = 8. 
(b) 
3 8 = –2, pois (–2)³ = -8. 
(c) 
3 27 = 3, pois 3³ = 27. 
(d) 
3 27 = –3, pois (–3)³ = -27. 
 
Observação: Ao obedecer à regra dos sinais para o produto de números inteiros, concluímos que: 
(1) Se o índice da raiz for par, não existe raiz de número inteiro negativo. 
(2) Se o índice da raiz for ímpar, é possível extrair a raiz de qualquer número inteiro. 
 
Propriedades da Adição e da Multiplicação dos números Inteiros 
Para todo a, b e c ∈ 𝑍 
1) Associativa da adição: (a + b) + c = a + (b + c) 
2) Comutativa da adição: a + b = b +a 
3) Elemento neutro da adição: a + 0 = a 
4) Elemento oposto da adição: a + (-a) = 0 
5) Associativa da multiplicação: (a.b).c = a. (b.c) 
6) Comutativa da multiplicação: a.b = b.a 
7) Elemento neutro da multiplicação: a.1 = a 
8) Distributiva da multiplicação relativamente à adição: a.(b +c ) = ab + ac 
9) Distributiva da multiplicação relativamente à subtração: a .(b –c) = ab –ac 
10) Elemento inverso da multiplicação: Para todo inteiro z diferente de zero, existe um inverso 
 z –1 = 1/z em Z, tal que, z x z–1 = z x (1/z) = 1 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 11 
11) Fechamento: tanto a adição como a multiplicação de um número natural por outro número natural, 
continua como resultado um número natural. 
 
Referências 
IEZZI, Gelson – Matemática - Volume Único 
IEZZI, Gelson - Fundamentos da Matemática – Volume 01 – Conjuntos e Funções 
 
Questões 
 
01. (FUNDAÇÃO CASA – AGENTE EDUCACIONAL – VUNESP)Para zelar pelos jovens internados 
e orientá-los a respeito do uso adequado dos materiais em geral e dos recursos utilizados em atividades 
educativas, bem como da preservação predial, realizou-se uma dinâmica elencando “atitudes positivas” 
e “atitudes negativas”, no entendimento dos elementos do grupo. Solicitou-se que cada um classificasse 
suas atitudes como positiva ou negativa, atribuindo (+4) pontos a cada atitude positiva e (-1) a cada atitude 
negativa. Se um jovem classificou como positiva apenas 20 das 50 atitudes anotadas, o total de pontos 
atribuídos foi 
(A) 50. 
(B) 45. 
(C) 42. 
(D) 36. 
(E) 32. 
 
02. (UEM/PR – AUXILIAR OPERACIONAL – UEM) Ruth tem somente R$ 2.200,00 e deseja gastar a 
maior quantidade possível, sem ficar devendo na loja. 
Verificou o preço de alguns produtos: 
TV: R$ 562,00 
DVD: R$ 399,00 
Micro-ondas: R$ 429,00 
Geladeira: R$ 1.213,00 
 
Na aquisição dos produtos, conforme as condições mencionadas, e pagando a compra em dinheiro, o 
troco recebido será de: 
(A) R$ 84,00 
(B) R$ 74,00 
(C) R$ 36,00 
(D) R$ 26,00 
(E) R$ 16,00 
 
03. (BNDES – TÉCNICO ADMINISTRATIVO – CESGRANRIO) Multiplicando-se o maior número 
inteiro menor do que 8 pelo menor número inteiro maior do que - 8, o resultado encontrado será 
(A) - 72 
(B) - 63 
(C) - 56 
(D) - 49 
(E) – 42 
 
04. (SEPLAG - POLÍCIA MILITAR/MG - ASSISTENTE ADMINISTRATIVO - FCC) Em um jogo de 
tabuleiro, Carla e Mateus obtiveram os seguintes resultados: 
 
 
Ao término dessas quatro partidas, 
(A) Carla perdeu por uma diferença de 150 pontos. 
(B) Mateus perdeu por uma diferença de 175 pontos. 
(C) Mateus ganhou por uma diferença de 125 pontos. 
(D) Carla e Mateus empataram. 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 12 
05. (PREFEITURA DE PALMAS/TO – TÉCNICO ADMINISTRATIVO EDUCACIONAL – COPESE - 
UFT) Num determinado estacionamento da cidade de Palmas há vagas para carros e motos. Durante 
uma ronda dos agentes de trânsito, foi observado que o número total de rodas nesse estacionamento era 
de 124 (desconsiderando os estepes dos veículos). Sabendo que haviam 12 motos no estacionamento 
naquele momento, é CORRETO afirmar que estavam estacionados: 
(A) 19 carros 
(B) 25 carros 
(C) 38 carros 
(D) 50 carros 
 
06. (CASA DA MOEDA) O quadro abaixo indica o número de passageiros num voo entre Curitiba e 
Belém, com duas escalas, uma no Rio de Janeiro e outra em Brasília. Os números positivos indicam a 
quantidade de passageiros que subiram no avião e os negativos, a quantidade dos que desceram em 
cada cidade. 
 
O número de passageiros que chegou a Belém foi: 
(A) 362 
(B) 280 
(C) 240 
(D) 190 
(E) 135 
 
07. (Pref.de Niterói) As variações de temperatura nos desertos são extremas. Supondo que durantes 
o dia a temperatura seja de 45ºC e à noite seja de -10ºC, a diferença de temperatura entre o dia e noite, 
em ºC será de: 
(A) 10 
(B) 35 
(C) 45 
(D) 50 
(E) 55 
 
08. (Pref.de Niterói) Um trabalhador deseja economizar para adquirir a vista uma televisão que custa 
R$ 420,00. Sabendo que o mesmo consegue economizar R$ 35,00 por mês, o número de meses que ele 
levará para adquirir a televisão será: 
(A) 6 
(B) 8 
(C) 10 
(D) 12 
(E) 15 
 
09. (Pref.de Niterói) Um estudante empilhou seus livros, obtendo uma única pilha 52cm de altura. 
Sabendo que 8 desses livros possui uma espessura de 2cm, e que os livros restantes possuem espessura 
de 3cm, o número de livros na pilha é: 
(A) 10 
(B) 15 
(C) 18 
(D) 20 
(E) 22 
 
10. (FINEP – Assistente – Apoio administrativo – CESGRANRIO) Um menino estava parado no 
oitavo degrau de uma escada, contado a partir de sua base (parte mais baixa da escada). A escada tinha 
25 degraus. O menino subiu mais 13 degraus. Logo em seguida, desceu 15 degraus e parou novamente. 
A quantos degraus do topo da escada ele parou? 
(A) 8 
(B) 10 
(C) 11 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 13 
(D) 15 
(E) 19 
 
Respostas 
 
01. Resposta: A. 
50-20=30 atitudes negativas 
20.4=80 
30.(-1)=-30 
80-30=50 
 
02. Resposta: D. 
Geladeira + Micro-ondas + DVD = 1213 + 429 + 399 = 2041 
Geladeira + Micro-ondas + TV = 1213 + 429 + 562 = 2204, extrapola o orçamento 
Geladeira + TV + DVD = 1213 + 562 + 399 = 2174, é a maior quantidade gasta possível dentro do 
orçamento. 
Troco:2200 – 2174 = 26 reais 
 
03. Resposta: D. 
Maior inteiro menor que 8 é o 7 
Menor inteiro maior que - 8 é o - 7. 
Portanto: 7(- 7) = - 49 
 
04. Resposta: C. 
Carla: 520 – 220 – 485 + 635 = 450 pontos 
Mateus: - 280 + 675 + 295 – 115 = 575 pontos 
Diferença: 575 – 450 = 125 pontos 
 
05. Resposta: B. 
Moto: 2 rodas 
Carro: 4 
12.2=24 
124-24=100 
100/4=25 carros 
 
06. Resposta: D. 
240 - 194 + 158 - 108 + 94 = 190 
 
07. Resposta: E. 
45 – (- 10) = 55 
 
08. Resposta: D. 
420 : 35 = 12 meses 
 
09. Resposta: D. 
São 8 livros de 2 cm: 8.2 = 16 cm 
Como eu tenho 52 cm ao todo e os demais livros tem 3 cm, temos: 
52 - 16 = 36 cm de altura de livros de 3 cm 
36 : 3 = 12 livros de 3 cm 
O total de livros da pilha: 8 + 12 = 20 livros ao todo. 
 
10. Resposta: E. 
 8 + 13 = 21 
21– 15 = 6 
25 – 6 = 19 
 
 
 
 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 14 
CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS – Q 
 
Um número racional é o que pode ser escrito na forma 
n
m
, onde m e n são números inteiros, sendo 
que n deve ser diferente de zero. Frequentemente utilizamos m/n para significar a divisão de m por n. 
Como podemos observar, números racionais podem ser obtidos através da razão entre dois números 
inteiros, razão pela qual, o conjunto de todos os números racionais é denotado por Q. Assim, é comum 
encontrarmos na literatura a notação: 
Q = {
n
m
: m e n em Z, n diferente de zero} 
 
 
No conjunto Q destacamos os seguintes subconjuntos: 
- Q* = conjunto dos racionais não nulos; 
- Q+ = conjunto dos racionais não negativos; 
- Q*+ = conjunto dos racionais positivos; 
- Q _ = conjunto dos racionais não positivos; 
- Q*_ = conjunto dos racionais negativos. 
 
Representação Decimal das Frações 
Tomemos um número racional 
q
p
, tal que p não seja múltiplo de q. Para escrevê-lo na forma decimal, 
basta efetuar a divisão do numerador pelo denominador. 
Nessa divisão podem ocorrer dois casos: 
1º - O número decimal obtido possui, após a vírgula, um número finito de algarismos decimais Exatos: 
 
2º - O número decimal obtido possui, após a vírgula, infinitos algarismos (nem todos nulos), repetindo-
se periodicamente Decimais Periódicos ou Dízimas Periódicas: 
 
Existem frações muito simples que são representadas por formas decimais infinitas, com uma 
característica especial: existe um período. 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 15 
 
 
 Aproveitando o exemplo acima temos 0,333... = 3. 1/101 + 3 . 1/102 + 3 . 1/103 + 3 . 1/104 ... 
 
Representação Fracionária dos Números Decimais 
Trata-se do problema inverso: estando o número racional escrito na forma decimal, procuremos 
escrevê-lo na forma de fração. Temos dois casos: 
1º Transformamos o número em uma fração cujo numerador é o número decimal sem a vírgula e o 
denominador é composto pelo numeral 1, seguido de tantos zeros quantas forem as casas decimais do 
número decimal dado: 
 
 
2º Devemos achar a fração geratriz da dízima dada; para tanto, vamos apresentar o procedimento 
através de alguns exemplos: 
Exemplos: 
 
1) Seja a dízima 0, 333.... 
Veja que o período que se repete é apenas 1(formado pelo 3)  então vamos colocar um 9 no 
denominador e repetir no numerador o período. 
 
 
Assim, a geratriz de 0,333... é a fração
9
3
. 
2) Seja a dízima 5, 1717.... 
O período que se repete é o 17, logo dois noves no denominador (99). Observe também que o 5 é a 
parte inteira, logo ele vem na frente: 
 
5
17
99
 → 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑚𝑎 𝑓𝑟𝑎çã𝑜 𝑚𝑖𝑠𝑡𝑎, 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜 → (5.99 + 17) = 512, 𝑙𝑜𝑔𝑜 ∶ 
512
99
 
 
Assim, a geratriz de 5,1717... é a fração 
99512
. 
 
Neste caso para transformarmos uma dízima periódica simples em fração basta utilizarmos o 
dígito 9 no denominador para cada quantos dígitos tiver o período da dízima. 
 
3) Seja a dízima 1, 23434... 
O número 234 é a junção do ante período com o período. Neste caso temos um dízima periódica é 
composta, pois existe uma parte que não se repete e outra que se repete. Neste caso temos um ante 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 16 
período (2) e o período (34). Ao subtrairmos deste número o ante período(234-2), obtemos 232, o 
numerador. O denominador é formado por tantos dígitos 9 – que correspondem ao período, neste caso 
99(dois noves) – e pelo dígito 0 – que correspondem a tantos dígitos tiverem o ante período, neste caso 
0(um zero). 
 
 
1
232
990
 → 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑢𝑚𝑎 𝑓𝑟𝑎çã𝑜 𝑚𝑖𝑠𝑡𝑎, 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜 − 𝑎 → (1.990 + 232) = 1222, 𝑙𝑜𝑔𝑜 ∶ 
1222
990
 
 
Simplificando por 2, obtemos x = 
495
611
, a fração geratriz da dízima 1, 23434... 
 
Módulo ou valor absoluto: É a distância do ponto que representa esse número ao ponto de abscissa 
zero. 
 
 
Exemplos: 
1) Módulo de – 
2
3
 é 
2
3
. Indica-se 
2
3
 = 
2
3
 
 
2) Módulo de + 
2
3
 é 
2
3
. Indica-se 
2
3
 = 
2
3
 
 
Números Opostos: Dizemos que –
2
3
 e 
2
3
 são números racionais opostos ou simétricos e cada um 
deles é o oposto do outro. As distâncias dos pontos – 
2
3
 e 
2
3
 ao ponto zero da reta são iguais. 
 
Inverso de um Número Racional 
 
(
𝒂
𝒃
)
−𝒏
, 𝒂 ≠ 𝟎 = (
𝒃
𝒂
)
𝒏
, 𝒃 ≠ 𝟎 
 
Representação geométrica dos Números Racionais 
 
 
Observa-se que entre dois inteiros consecutivos existem infinitos números racionais. 
 
Soma (Adição) de Números Racionais 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 17 
Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito na forma de uma fração, definimos a 
adição entre os números racionais 
b
a
e 
d
c
, da mesma forma que a soma de frações, através de: 
 
 
Subtração de Números Racionais 
 A subtração de dois números racionais p e q é a própria operação de adição do número p com o 
oposto de q, isto é: p – q = p + (–q) 
 
Multiplicação (Produto) de Números Racionais 
Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito na forma de uma fração, definimos o 
produto de dois números racionais 
b
a
e 
d
c
, da mesma forma que o produto de frações, através de: 
 
O produto dos números racionais a/b e c/d também pode ser indicado por a/b × c/d, a/b.c/d . Para 
realizar a multiplicação de números racionais, devemos obedecer à mesma regra de sinais que vale em 
toda a Matemática: 
Podemos assim concluir que o produto de dois números com o mesmo sinal é positivo, mas o 
produto de dois números com sinais diferentes é negativo. 
 
 
 
Propriedades da Adição e Multiplicação de Números Racionais 
1) Fechamento: O conjunto Q é fechado para a operação de adição e multiplicação, isto é, a soma e a 
multiplicação de dois números racionais ainda é um número racional. 
2) Associativa da adição: Para todos a, b, c em Q: a + ( b + c ) = ( a + b ) + c 
3) Comutativa da adição: Para todos a, b em Q: a + b = b + a 
4) Elemento neutro da adição: Existe 0 em Q, que adicionado a todo q em Q, proporciona o próprio q, 
isto é: q + 0 = q 
5) Elemento oposto: Para todo q em Q, existe -q em Q, tal que q + (–q) = 0 
6) Associativa da multiplicação: Para todos a, b, c em Q: a × ( b × c ) = ( a × b ) × c 
7) Comutativa da multiplicação: Para todos a, b em Q: a × b = b × a 
8) Elemento neutro da multiplicação: Existe 1 em Q, que multiplicado por todo q em Q, proporciona o 
próprio q, isto é: q × 1 = q 
9) Elemento inverso da multiplicação: Para todo q = 
b
a
 em Q, q diferente de zero, existe: 
 
 
10) Distributiva da multiplicação: Para todos a, b, c em Q: a × ( b + c ) = ( a × b ) + ( a × c ) 
 
Divisão (Quociente) de Números Racionais 
 A divisão de dois números racionais p e q é a própria operação de multiplicação do número p pelo 
inverso de q, isto é: p ÷ q = p × q-1 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 18 
𝒂
𝒃
:
𝒄
𝒅
=
𝒂
𝒃
.
𝒅
𝒄
 
 
Potenciação de Números Racionais 
A potência qn do número racional q é um produto de n fatores iguais. O número q é denominado a 
base e o número n é o expoente. 
qn = q × q × q × q × ... × q, (q aparece n vezes) 
 
Exemplos: 
 
Propriedades da Potenciação: 
1) Toda potência com expoente 0 é igual a 1. 
 
2) Toda potência com expoente 1 é igual à própria base.
 
 
 
3) Toda potência com expoente negativo de um número racional diferente de zero é igual a outra 
potência que tem a base igual ao inverso da base anterior e o expoente igual ao oposto do expoente 
anterior. 
 
4) Toda potência com expoente ímpar tem o mesmo sinal da base. 
 
5) Toda potência com expoente par é um número positivo. 
 
6) Produto de potências de mesma base. Para reduzir um produto de potências de mesma base a uma 
só potência, conservamos a base e somamos os expoentes. 
 
7) Quociente de potências de mesma base. Para reduzir um quociente de potências de mesma base 
a uma só potência, conservamos a base e subtraímos os expoentes. 
 
8) Potência de Potência. Para reduzir uma potência de potência a uma potência de um só expoente, 
conservamos a base e multiplicamos os expoentes. 
 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 19 
Radiciação de Números Racionais 
Se um número representa um produto de dois ou mais fatores iguais, então cada fator é chamado raiz 
do número. 
Exemplos: 
1) 
9
1
 Representa o produto 
3
1
.
3
1
ou
2
3
1






.Logo,
3
1
é a raiz quadrada de 
9
1
. 
Indica-se 
9
1
= 
3
1
 
 
2) 0,216 Representa o produto 0,6. 0,6 . 0,6 ou (0,6)3. Logo, 0,6 é a raiz cúbica de 0,216. Indica-se 
3 216,0 = 0,6. 
 
Um número racional, quando elevado ao quadrado, dá o número zero ou um número racional positivo. 
Logo, os números racionais negativos não têm raiz quadrada em Q. 
O número 
9
100
 não tem raiz quadrada em Q, pois tanto 
3
10
 como 
3
10
 , quando elevados ao 
quadrado, dão 
9
100
. 
Um número racional positivo só tem raiz quadrada no conjunto dos números racionais se ele for um 
quadrado perfeito. 
O número 
3
2
 não tem raiz quadrada em Q, pois não existe número racional que elevado ao quadrado 
dê 
3
2
. 
 
Referências 
IEZZI, Gelson - Matemática- Volume Único 
IEZZI, Gelson - Fundamentos da Matemática – Volume 1 – Conjuntos e Funções 
http://mat.ufrgs.br 
 
Questões 
 
01. (PREF. JUNDIAI/SP – AGENTE DE SERVIÇOS OPERACIONAIS – MAKIYAMA) Na escola onde 
estudo, ¼ dos alunos tem a língua portuguesa como disciplina favorita, 9/20 têm a matemática como 
favorita e os demais têm ciências como favorita. Sendo assim, qual fração representa os alunos que têm 
ciências como disciplina favorita? 
(A) 1/4 
(B) 3/10 
(C) 2/9 
(D) 4/5 
(E) 3/2 
 
02. (UEM/PR – AUXILIAR OPERACIONAL – UEM) Dirce comprou 7 lapiseiras e pagou R$ 8,30, em 
cada uma delas. Pagou com uma nota de 100 reais e obteve um desconto de 10 centavos. Quantos reais 
ela recebeu de troco? 
(A) R$ 40,00 
(B) R$ 42,00 
(C) R$ 44,00 
(D) R$ 46,00 
(E) R$ 48,00 
 
03. (FUNDAÇÃO CASA – AGENTE DE APOIO OPERACIONAL – VUNESP) De um total de 180 
candidatos, 2/5 estudam inglês, 2/9 estudam francês, 1/3estuda espanhol e o restante estuda alemão. O 
número de candidatos que estuda alemão é: 
(A) 6. 
(B) 7. 
(C) 8. 
(D) 9. 
(E) 10. 
 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 20 
04. (FUNDAÇÃO CASA – AGENTE DE APOIO OPERACIONAL – VUNESP) Em um estado do 
Sudeste, um Agente de Apoio Operacional tem um salário mensal de: salário-base R$ 617,16 e uma 
gratificação de R$ 185,15. No mês passado, ele fez 8 horas extras a R$ 8,50 cada hora, mas precisou 
faltar um dia e foi descontado em R$ 28,40. No mês passado, seu salário totalizou 
(A) R$810,81. 
(B) R$ 821,31. 
(C) R$ 838,51. 
(D) R$ 841,91. 
(E) R$ 870,31. 
 
05. (Pref. Niterói) Simplificando a expressão abaixo 
 
Obtém-se 
1,3333…+
3
2
1,5+
4
3
 : 
(A) ½ 
(B) 1 
(C) 3/2 
(D) 2 
(E) 3 
 
06. (SABESP – APRENDIZ – FCC) Em um jogo matemático, cada jogador tem direito a 5 cartões 
marcados com um número, sendo que todos os jogadores recebem os mesmos números. Após todos os 
jogadores receberem seus cartões, aleatoriamente, realizam uma determinada tarefa que também é 
sorteada. Vence o jogo quem cumprir a tarefa corretamente. Em uma rodada em que a tarefa era colocar 
os números marcados nos cartões em ordem crescente, venceu o jogador que apresentou a sequência 
(𝐴) − 4; −1; √16; √25;
14
3
 
(𝐵) − 1; −4; √16; 
14
3
; √25 
(𝐶) − 1; −4; 
14
3
; √16; ; √25 
(𝐷) − 4; −1; √16;
14
3
; √25 
(𝐸 ) − 4; −1; 
14
3
; √16; √25 
 
07. (Sabesp/SP – Agente de Saneamento Ambiental – FCC) Somando-se certo número positivo x 
ao numerador, e subtraindo-se o mesmo número x do denominador da fração 2/3 obtém-se como 
resultado, o número 5. Sendo assim, x é igual a 
(A) 52/25. 
(B) 13/6. 
(C) 7/3. 
(D) 5/2. 
(E) 47/23. 
 
08. (SABESP – APRENDIZ – FCC) Mariana abriu seu cofrinho com 120 moedas e separou-as: 
 − 1 real: ¼ das moedas 
− 50 centavos: 1/3 das moedas 
− 25 centavos: 2/5 das moedas 
− 10 centavos: as restantes 
 Mariana totalizou a quantia contida no cofre em 
(A) R$ 62,20. 
(B) R$ 52,20. 
(C) R$ 50,20. 
(D) R$ 56,20. 
(E) R$ 66,20. 
 
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. 21 
09. (PM/SE – SOLDADO 3ªCLASSE – FUNCAB) Numa operação policial de rotina, que abordou 800 
pessoas, verificou-se que 3/4 dessas pessoas eram homens e 1/5 deles foram detidos. Já entre as 
mulheres abordadas, 1/8 foram detidas. 
Qual o total de pessoas detidas nessa operação policial? 
(A) 145 
(B) 185 
(C) 220 
(D) 260 
(E) 120 
 
10. (PREF. JUNDIAI/SP – AGENTE DE SERVIÇOS OPERACIONAIS – MAKIYAMA) Quando 
perguntado sobre qual era a sua idade, o professor de matemática respondeu: 
“O produto das frações 9/5 e 75/3 fornece a minha idade!”. 
Sendo assim, podemos afirmar que o professor tem: 
(A) 40 anos. 
(B) 35 anos. 
(C) 45 anos. 
(D) 30 anos. 
(E) 42 anos. 
 
Respostas 
 
01. Resposta: B. 
Somando português e matemática: 
1
4
+
9
20
=
5 + 9
20
=
14
20
=
7
10
 
O que resta gosta de ciências: 
1 −
7
10
=
3
10
 
 
02. Resposta: B. 
 8,3 ∙ 7 = 58,1 
Como recebeu um desconto de 10 centavos, Dirce pagou 58 reais 
Troco:100 – 58 = 42 reais 
 
03. Resposta: C. 
 
2
5
+
2
9
+
1
3
 
Mmc(3,5,9)=45 
 
 
18+10+15
45
=
43
45
 
O restante estuda alemão: 2/45 
 180 ∙
2
45
= 8 
 
04. Resposta: D. 
 𝑠𝑎𝑙á𝑟𝑖𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑎𝑙: 617,16 + 185,15 = 802,31 
 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑎𝑠: 8,5 ∙ 8 = 68 
 𝑚ê𝑠 𝑝𝑎𝑠𝑠𝑎𝑑𝑜: 802,31 + 68,00 − 28,40 = 841,91 
Salário foi R$ 841,91. 
 
05. Resposta: B. 
1,3333...= 12/9 = 4/3 
1,5 = 15/10 = 3/2 
 
4
3 +
3
2
3
2 +
4
3
=
17
6
17
6
= 1 
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. 22 
06. Resposta: D. 
 √16 = 4 
 √25 = 5 
 
14
3
= 4,67 
A ordem crescente é : −4; −1; √16;
14
3
; √25 
 
07. Resposta B. 
2 + 𝑥
3 − 𝑥
= 5 
15 − 5𝑥 = 2 + 𝑥 
6𝑥 = 13 
𝑥 =
13
6
 
 
08. Resposta: A. 
1 𝑟𝑒𝑎𝑙: 120 ∙
1
4
= 30 𝑚𝑜𝑒𝑑𝑎𝑠 
 50 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑣𝑜𝑠:
1
3
∙ 120 = 40 𝑚𝑜𝑒𝑑𝑎𝑠 
 25 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑣𝑜𝑠:
2
5
∙ 120 = 48 𝑚𝑜𝑒𝑑𝑎𝑠 
 10 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑎𝑣𝑜𝑠: 120 − 118 𝑚𝑜𝑒𝑑𝑎𝑠 = 2 𝑚𝑜𝑒𝑑𝑎𝑠 
 30 + 40 ∙ 0,5 + 48 ∙ 0,25 + 2 ∙ 0,10 = 62,20 
 
Mariana totalizou R$ 62,20. 
 
09. Resposta: A. 
 800 ∙
3
4
= 600 ℎ𝑜𝑚𝑒𝑛𝑠 
 
 600 ∙
1
5
= 120 ℎ𝑜𝑚𝑒𝑛𝑠 𝑑𝑒𝑡𝑖𝑑𝑜𝑠 
Como 3/4 eram homens, 1/4 eram mulheres 
 800 ∙
1
4
= 200 𝑚𝑢𝑙ℎ𝑒𝑟𝑒𝑠 ou 800-600=200 mulheres 
 
 200 ∙
1
8
= 25 𝑚𝑢𝑙ℎ𝑒𝑟𝑠 𝑑𝑒𝑡𝑖𝑑𝑎𝑠 
 
Total de pessoas detidas: 120+25=145 
 
10. Resposta: C. 
 
9
5
∙
75
3
=
675
15
= 45 𝑎𝑛𝑜𝑠 
 
CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS - R 
 
O conjunto dos números reais R é uma expansão do conjunto dos números racionais que engloba 
não só os inteiros e os fracionários, positivos e negativos, mas também todos os números irracionais. 
Assim temos: 
 
R = Q U I , sendo Q ∩ I = Ø ( Se um número real é racional, não irracional, e vice-versa). 
 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 23 
 
Lembrando que N Ϲ Z Ϲ Q , podemos construir o diagrama abaixo: 
 
 
 
O conjunto dos números reais apresenta outros subconjuntos importantes: 
- Conjunto dos números reais não nulos: R* = {x ϵ R| x ≠ 0} 
- Conjunto dos números reais não negativos: R+ = {x ϵ R| x ≥ 0} 
- Conjunto dos números reais positivos: R*+ = {x ϵ R| x > 0} 
- Conjunto dos números reais não positivos: R- = {x ϵ R| x ≤ 0} 
- Conjunto dos números reais negativos: R*- = {x ϵ R| x < 0} 
 
Representação Geométrica dos números reais 
 
 
 
Propriedades 
É válido todas as propriedades anteriormente vista nos outros conjuntos, assim como os conceitos de 
módulo, números opostos e números inversos (quando possível). 
 
Ordenação dos números Reais 
A representação dos números Reais permite definir uma relação de ordem entre eles. Os números 
Reais positivos são maiores que zero e os negativos, menores. Expressamos a relação de ordem da 
seguinte maneira: Dados dois números Reais a e b, 
 
a ≤ b ↔ b – a ≥ 0 
 
Exemplo: -15 ≤5 ↔ 5 – (-15) ≥ 0 
 5 + 15 ≥ 0 
 
Intervalos reais 
O conjunto dos números reais possui também subconjuntos, denominados intervalos, que são 
determinados por meio de desiguladades. Sejam os números a e b , com a < b. 
 
Em termos gerais temos: 
- A bolinha aberta = a intervalo aberto (estamos excluindo aquele número), utilizamos os símbolos: 
> ;< ; ] ; [ 
- A bolinha fechada = a intervalo fechado (estamos incluindo aquele número), utilizamos os símbolos: 
≥ ; ≤ ; [ ; ] 
 
Podemos utilizar ( ) no lugar dos [ ] , para indicar as extremidades abertas dos intervalos. 
[a,b[ = [a,b) ; ]a,b] = (a,b] ; e ]a,b[ = (a,b) 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 24 
 
Observações 
Podemos utilizar ( ) no lugar dos [ ] , para indicar as extremidades abertas dos intervalos. 
[a,b[ = [a,b) ; ]a,b] = (a,b] ; e ]a,b[ = (a,b) 
 
a) Às vezes, aparecem situações em que é necessário registrar numericamente variações de valores 
em sentidos opostos, ou seja, maiores ou acima de zero (positivos), como as medidas de temperatura ou 
reais em débito ou em haver etc.... Esses números, que se estendem indefinidamente, tanto para o lado 
direito (positivos) como para o lado esquerdo (negativos), são chamados números relativos. 
b) Valor absoluto de um número relativo é o valor do número que faz parte de sua representação, sem 
o sinal. 
c) Valor simétrico de um número é o mesmo numeral, diferindo apenas o sinal. 
 
Operações com Números Relativos 
 
1) Adição e Subtração de números relativos 
a) Se os numerais possuem o mesmo sinal, basta adicionar os valores absolutos e conservar o sinal. 
b) Se os numerais possuem sinais diferentes, subtrai-se o numeral de menor valor e dá-se o sinal do 
maior numeral. 
Exemplos: 
3 + 5 = 8 
4 - 8 = - 4 
- 6 - 4 = - 10 
- 2 + 7 = 5 
 
2) Multiplicação e Divisão de Números Relativos 
a) O produto e o quociente de dois números relativos de mesmo sinal são sempre positivos. 
b) O produto e o quociente de dois números relativos de sinais diferentes são sempre negativos. 
Exemplos: 
- 3 x 8 = - 24 
- 20 (-4) = + 5 
- 6 x (-7) = + 42 
28 2 = 14 
 
Referências 
IEZZI, Gelson – Matemática - Volume Único 
IEZZI, Gelson - Fundamentos da Matemática Elementar – Vol. 01 – Conjuntos e Funções 
 
Questões 
 
01. (EBSERH/ HUPAA – UFAL – Analista Administrativo – Administração – IDECAN) Mário 
começou a praticar um novo jogo que adquiriu para seu videogame. Considere que a cada partida ele 
conseguiu melhorar sua pontuação, equivalendo sempre a 15 pontos a menos que o dobro marcado na 
1414472 E-book gerado especialmentepara JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 25 
partida anterior. Se na quinta partida ele marcou 3.791 pontos, então, a soma dos algarismos da 
quantidade de pontos adquiridos na primeira partida foi igual a 
(A) 4. 
(B) 5. 
(C) 7. 
(D) 8. 
(E) 10. 
 
02. (Pref. Guarujá/SP – SEDUC – Professor de Matemática – CAIPIMES) Considere m um número 
real menor que 20 e avalie as afirmações I, II e III: 
I- (20 – m) é um número menor que 20. 
II- (20 m) é um número maior que 20. 
III- (20 m) é um número menor que 20. 
É correto afirmar que: 
A) I, II e III são verdadeiras. 
B) apenas I e II são verdadeiras. 
C) I, II e III são falsas. 
D) apenas II e III são falsas. 
 
03. (Pref. Guarujá/SP – SEDUC – Professor de Matemática – CAIPIMES) Na figura abaixo, o ponto 
que melhor representa a diferença 
3
4
−
1
2
 na reta dos números reais é: 
 
 
(A) P. 
(B) Q. 
(C) R. 
(D) S. 
 
04. (TJ/PR - Técnico Judiciário – TJ/PR) Uma caixa contém certa quantidade de lâmpadas. Ao retirá-
las de 3 em 3 ou de 5 em 5, sobram 2 lâmpadas na caixa. 
Entretanto, se as lâmpadas forem removidas de 7 em 7, sobrará uma única lâmpada. Assinale a 
alternativa correspondente à quantidade de lâmpadas que há na caixa, sabendo que esta comporta um 
máximo de 100 lâmpadas. 
(A) 36. 
(B) 57. 
(C) 78. 
(D) 92. 
 
05. (MP/SP – Auxiliar de Promotoria I – Administrativo – VUNESP) Para ir de sua casa à escola, 
Zeca percorre uma distância igual a 
3
4
 da distância percorrida na volta, que é feita por um trajeto diferente. 
Se a distância percorrida por Zeca para ir de sua casa à escola e dela voltar é igual a 
7
5
 de um quilômetro, 
então a distância percorrida por Zeca na ida de sua casa à escola corresponde, de um quilômetro, a 
(A) 
2
3
 
 
(B) 
3
4
 
 
(C) 
1
2
 
 
(D) 
4
5
 
 
(E) 
3
5
 
 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 26 
06. (TJ/SP - AUXILIAR DE SAÚDE JUDICIÁRIO - AUXILIAR EM SAÚDE BUCAL – VUNESP) Para 
numerar as páginas de um livro, uma impressora gasta 0,001 mL por cada algarismo impresso. Por 
exemplo, para numerar as páginas 7, 58 e 290 gasta-se, respectivamente, 0,001 mL, 0,002 mL e 0,003 
mL de tinta. O total de tinta que será gasto para numerar da página 1 até a página 1 000 de um livro, em 
mL, será 
(A) 1,111. 
(B) 2,003. 
(C) 2,893. 
(D) 1,003. 
(E) 2,561. 
 
07. (Câmara de São Paulo/SP – Técnico Administrativo – FCC) Um funcionário de uma empresa 
deve executar uma tarefa em 4 semanas. Esse funcionário executou 3/8 da tarefa na 1a semana. Na 2 a 
semana, ele executou 1/3 do que havia executado na 1a semana. Na 3a e 4a semanas, o funcionário 
termina a execução da tarefa e verifica que na 3a semana executou o dobro do que havia executado na 
4 a semana. Sendo assim, a fração de toda a tarefa que esse funcionário executou na 4ª semana é igual 
a 
(A) 5/16. 
(B) 1/6. 
(C) 8/24. 
(D)1/ 4. 
(E) 2/5. 
 
08. (CODAR – Coletor de lixo reciclável – EXATUS/2016) Numa divisão com números inteiros, o 
resto vale 5, o divisor é igual ao resto somado a 3 unidades e o quociente é igual ao dobro do divisor. 
Assim, é correto afirmar que o valor do dividendo é igual a: 
(A) 145. 
(B) 133. 
(C) 127. 
(D) 118. 
 
09. (METRÔ – Assistente Administrativo Júnior – FCC) Quatro números inteiros serão sorteados. 
Se o número sorteado for par, ele deve ser dividido por 2 e ao quociente deve ser acrescido 17. Se o 
número sorteado for ímpar, ele deve ser dividido por seu maior divisor e do quociente deve ser subtraído 
15. Após esse procedimento, os quatro resultados obtidos deverão ser somados. Sabendo que os 
números sorteados foram 40, 35, 66 e 27, a soma obtida ao final é igual a 
(A) 87. 
(B) 59. 
(C) 28. 
(D) 65. 
(E) 63. 
 
10. (UNESP – Assistente de Informática I – VUNESP) O valor de uma aposta em certa loteria foi 
repartido em cotas iguais. Sabe-se que a terça parte das cotas foi dividida igualmente entre Alex e Breno, 
que Carlos ficou com a quarta parte das cotas, e que Denis ficou com as 5 cotas restantes. Essa aposta 
foi premiada com um determinado valor, que foi repartido entre eles de forma diretamente proporcional 
ao número de cotas de cada um. Dessa forma, se Breno recebeu R$ 62.000,00, então Carlos recebeu 
(A) R$ 74.000,00. 
(B) R$ 93.000,00. 
(C) R$ 98.000,00. 
(D) R$ 102.000,00. 
(E) R$ 106.000,00. 
 
Respostas 
 
01. Resposta: D. 
Pontuação atual = 2 . partida anterior – 15 
* 4ª partida: 3791 = 2.x – 15 
2.x = 3791 + 15 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 27 
x = 3806 / 2 
x = 1903 
 
* 3ª partida: 1903 = 2.x – 15 
2.x = 1903 + 15 
x = 1918 / 2 
x = 959 
 
* 2ª partida: 959 = 2.x – 15 
2.x = 959 + 15 
x = 974 / 2 
x = 487 
* 1ª partida: 487 = 2.x – 15 
2.x = 487 + 15 
x = 502 / 2 
x = 251 
Portanto, a soma dos algarismos da 1ª partida é 2 + 5 + 1 = 8. 
 
02. Resposta: C. 
I. Falso, pois m é Real e pode ser negativo. 
II. Falso, pois m é Real e pode ser negativo. 
III. Falso, pois m é Real e pode ser positivo. 
 
03. Resposta: A. 
3
4
−
1
2
= 
3 − 2
4
= 
1
4
= 0,25 
 
04. Resposta: D. 
Vamos chamar as retiradas de r, s e w: e de T o total de lâmpadas. 
Precisamos calcular os múltiplos de 3, 5 e de 7, separando um múltiplo menor do que 100 que sirva 
nas três equações abaixo: 
De 3 em 3: 3 . r + 2 = Total 
De 5 em 5: 5 . s + 2 = Total 
De 7 em 7: 7 . w + 1 = Total 
Primeiramente, vamos calcular o valor de w, sem que o total ultrapasse 100: 
7 . 14 + 1 = 99, mas 3 . r + 2 = 99 vai dar que r = 32,333... (não convém) 
7 . 13 + 1 = 92, e 3 . r + 2 = 92 vai dar r = 30 e 5 . s + 2 = 92 vai dar s = 18. 
 
05. Resposta: E. 
Ida + volta = 7/5 . 1 
3
4
 . 𝑥 + 𝑥 =
7
5
 
 
5.3𝑥+ 20𝑥=7.4
20
 
 
15𝑥 + 20𝑥 = 28 
35𝑥 = 28 
 
𝑥 =
28
35
 (: 7/7) 
 
𝑥 =
4
5
 (volta) 
 
Ida: 
3
4
 .
4
5
= 
3
5
 
 
06. Resposta: C. 
1 a 9 = 9 algarismos = 0,0019 = 0,009 ml 
De 10 a 99, temos que saber quantos números tem. 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 28 
99 – 10 + 1 = 90. 
OBS: soma 1, pois quanto subtraímos exclui-se o primeiro número. 
90 números de 2 algarismos: 0,00290 = 0,18ml 
De 100 a 999 
999 – 100 + 1 = 900 números 
9000,003 = 2,7 ml 
1000 = 0,004ml 
Somando: 0,009 + 0,18 + 2,7 + 0,004 = 2,893 
 
07. Resposta: B. 
Tarefa: x 
Primeira semana: 3/8x 
2 semana:
1
3
∙
3
8
𝑥 =
1
8
𝑥 
1ª e 2ª semana:
3
8
𝑥 +
1
8
𝑥 =
4
8
𝑥 =
1
2
𝑥 
Na 3ª e 4ª semana devem ser feito a outra metade. 
3ªsemana: 2y 
4ª semana: y 
 2𝑦 + 𝑦 =
1
2
𝑥 
 3𝑦 =
1
2
𝑥 
 𝑦 =
1
6
𝑥 
 
08. Resposta: B. 
Tendo D = dividendo; d = divisor; Q = quociente e R = resto, podemos escrever essa divisão como: 
D = d.Q + R 
Sabemos que o R = 5 
O divisor é o R + 3 → d = R + 3 = 5 + 3 = 8 
E o quociente o dobro do divisor → Q = 2d = 2.8 = 16 
Montando temos: D = 8.16 + 5 = 128 + 5 = 133. 
 
09. Resposta: B. 
* número 40: é par. 
40 / 2 + 17 = 20 + 17 = 37 
* número 35: é ímpar. 
Seu maior divisor é 35. 
35 / 35 – 15 = 1 – 15 = – 14 
* número 66: é par. 
66 / 2 + 17 = 33 + 17 = 50 
* número 27: é ímpar. 
Seu maior divisor é 27. 
27 / 27 – 15 = 1 – 15 = – 14 
* Por fim, vamos somar os resultados: 
37 – 14 + 50 – 14 = 87 – 28 = 59 
 
10. Resposta: B. 
Vamos chamar o valor de cada cota de ( x ). Assim: 
* Breno: 
𝟏
𝟐
 .
𝟏
𝟑
 . 𝒙 = 𝟔𝟐𝟎𝟎𝟎 
 
𝟏
𝟔
 . 𝒙 = 𝟔𝟐𝟎𝟎𝟎 
 
x = 62000 . 6 
x = R$ 372000,00 
* Carlos: 
 
𝟏
𝟒
 . 𝟑𝟕𝟐𝟎𝟎𝟎 = 𝑹$ 𝟗𝟑𝟎𝟎𝟎, 𝟎𝟎 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 29 
CONJUNTO DOS NÚMEROS COMPLEXOS – C 
 
Quantas vezes, ao calcularmos o valor de Delta (b2- 4ac) na resolução da equação do 2º grau, nos 
deparamos com um valor negativo (Delta < 0). Nesse caso, sempre dizemos ser impossível a raiz no 
universo considerado (normalmente no conjunto dos reais- R). 
No século XVIII, o matemático suíço Leonhard Euler passou a representar √−1 por i, convenção que 
utilizamos até os dias atuais. 
Assim: √−1 = i, que passamos a chamarde unidade imaginária. 
A partir daí, vários matemáticos estudaram este problema, sendo Gauss e Argand os que realmente 
conseguiram expor uma interpretação geométrica num outro conjunto de números, chamado de números 
complexos, que representamos por C. 
 
Números Complexos 
Chama-se conjunto dos números complexos, e representa-se por C, o conjunto de pares ordenados, 
ou seja: 
z = (x, y) 
onde x ∈ a R e y ∈ a R. 
 
Então, por definição, se z = (x, y) = (x,0) + (y, 0)(0,1) onde i = (0,1), podemos escrever que: 
z = (x, y) = x + yi 
 
Exemplos 
(5, 3) = 5 + 3i 
(2, 1) = 2 + i 
(-1, 3) = - 1 + 3i 
 
Dessa forma, todo o números complexo z = (x, y) pode ser escrito na forma z = x + yi, conhecido como 
forma algébrica, onde temos: 
x = Re(z), parte real de z 
y = Im(z), parte imaginária de z 
 
Igualdade entre números complexos: Dois números complexos são iguais se, e somente se, 
apresentam simultaneamente iguais a parte real e a parte imaginária. Assim, se z1 = a + bi e z2 = c + di, 
temos que: 
z1 = z2 <==> a = c e b = d 
 
Adição de números complexos: Para somarmos dois números complexos basta somarmos, 
separadamente, as partes reais e imaginárias desses números. Assim, se z1 = a + bi e z2 = c + di, temos 
que: 
z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i 
 
Subtração de números complexos: Para subtrairmos dois números complexos basta subtrairmos, 
separadamente, as partes reais e imaginárias desses números. Assim, se z1 = a + bi e z2 = c + di, temos 
que: 
z1 – z2 = (a - c) + (b - d)i 
 
Multiplicação de números complexos: Para multiplicarmos dois números complexos basta 
efetuarmos a multiplicação de dois binômios, observando os valores das potência de i. Assim, se z1 = a + 
bi e z2 = c + di, temos que: 
z1.z2 = a.c + a.di + b.ci + b.di2 
Como i2 = -1, temos: 
z1.z2= ac + adi + bci - bd 
Agrupando os membros: 
z1.z2= ac – bd + adi + bci → (ac – bd) + (ad + bc)i 
 
Nota: As propriedades da adição, subtração e multiplicação válidas para os Reais são válidas para os 
números complexos. 
 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 30 
Conjugado de um número complexo: Dado z = a + bi, define-se como conjugado de z (representa-
se por 𝑧̅) ==> 𝑧̅ = a - bi 
Exemplo: 
z = 3 - 5i ==> 𝑧̅ = 3 + 5i 
z = 7i ==> 𝑧̅ = - 7i 
z = 3 ==> 𝑧̅ = 3 
 
Propriedade: 
O produto de um número complexo pelo seu conjugado é sempre um número real. 
𝑧. 𝑧̅ ∈ 𝑅 
 
Divisão de números complexos: Para dividirmos dois números complexos basta multiplicarmos o 
numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. Assim, se z1= a + bi e z2= c + di, temos 
que: 
 
 
Potências de i 
Se, por definição, temos que i = - (-1)1/2, então: 
i0 = 1 
i1 = i 
i2 = -1 
i3 = i2.i = -1.i = -i 
i4 = i2.i2=-1.-1= 1 
i5 = i4. 1=1.i= i 
i6 = i5. i =i.i=i2= -1 
i7 = i6. i =(-1).i= -i ...... 
 
Observamos que no desenvolvimento de in (n pertencente a N, com n variando, os valores repetem-
se de 4 em 4 unidades. Desta forma, para calcularmos in basta calcularmos ir onde r é o resto da divisão 
de n por 4. 
Exemplo: i63 => 63 / 4 dá resto 3, logo i63= i3 = -i 
 
 
Módulo de um número complexo: Dado z = a+bi, chama-se módulo de z, indicado por |z| ou 𝜌 , a 
distância entre a origem (O) do plano de Gauss e o afixo de z (P). 
| z |= 𝜌 =√ 𝑎2 + 𝑏2 
 
Interpretação geométrica: Como dissemos, no início, a interpretação geométrica dos números 
complexos é que deu o impulso para o seu estudo. Assim, representamos o complexo z = a+bi da seguinte 
maneira 
 
 
Em particular temos que: 
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. 31 
 
 
Forma polar dos números complexos: Da interpretação geométrica, temos que: 
 
 
Que é conhecida como forma polar ou trigonométrica de um número complexo. 
 
Exemplo: 
 
A multiplicação de dois números complexos na forma polar: 
A = |A| [cos(a) + i sen(a)] 
B = |B| [cos(b) + i sen(b)] 
 
É dada pela Fórmula de De Moivre: 
AB = |A||B| [cos(a + b) + i sen(a + b)] 
Isto é, para multiplicar dois números complexos em suas formas trigonométricas, devemos multiplicar 
os seus módulos e somar os seus argumentos. 
Se os números complexos A e B são unitários então |A|=1 e |B|=1, e nesse caso 
A = cos(a) + i sen(a) 
B = cos(b) + i sen(b) 
 
Multiplicando A e B, obtemos 
AB = cos(a + b) + i sen(a + b) 
 
Existe uma importantíssima relação matemática, atribuída a Euler (lê-se "óiler"), garantindo que para 
todo número complexo z e também para todo número real z: 
eiz = cos(z) + i sen(z) 
 
Tal relação, normalmente é demonstrada em um curso de Cálculo Diferencial, e, ela permite uma outra 
forma para representar números complexos unitários A e B, como: 
A = eia = cos(a) + i sen(a) 
B = eib = cos(b) + i sen(b) 
 
Onde a é o argumento de A e b é o argumento de B. Assim, ei(a+b) = cos(a + b) + isen(a + b) 
 
Por outro lado ei(a+b) = eia . eib = [cos(a) + isen(a)] [cos(b) + isen(b)] 
 
E desse modo ei(a+b) = cos(a)cos(b) - sen(a)sen(b) + i [cos(a)sen(b) + cos(b)sen(a)] 
 
Para que dois números complexos sejam iguais, suas partes reais e imaginárias devem ser iguais, 
logo 
cos(a + b) = cos(a)cos(b) - sen(a)sen(b) 
sen(a + b) = cos(a)sen(b) + cos(b)sen(a) 
 
Para a diferença de arcos, substituímos b por -b nas fórmulas da soma 
cos(a + (-b)) = cos(a)cos(-b) - sen(a)sen(-b) 
sen(a + (-b)) = cos(a)sen(-b) + cos(-b)sen(a) 
 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 32 
Para obter 
cos(a - b) = cos(a)cos(b) + sen(a)sen(b) 
sen(a - b) = cos(b)sen(a) - cos(a)sen(b) 
 
 
 
Questões 
 
01. (PM/SP – CABO – CETRO) Assinale a alternativa que apresenta o módulo do número complexo 
abaixo. 
 
𝑧 =
(1 + 2𝑖)2
𝑖
 
(A) 36. 
(B) 25. 
(C) 5. 
(D) 6. 
 
02. (TRF 2ª – TÉCNICO JUDICIÁRIO – FCC) Considere a igualdade x + (4 + y). i = (6 − x) + 2yi, em 
que x e y são números reais e i é a unidade imaginária. O módulo do número complexo z = x + yi, é um 
número 
(A) maior que 10. 
(B) quadrado perfeito. 
(C) irracional. 
(D) racional não inteiro. 
(E) primo. 
 
03. (CPTM – ALMOXARIFE – MAKIYAMA) Assinale a alternativa correspondente à forma 
trigonométrica do número complexo z=1+i: 
(A) 𝒛 = √2(cos
𝜋
4
+ 𝑖 ∙ 𝑠𝑒𝑛
𝜋
4
) 
(B) 𝑧 = 2(cos
𝜋
4
+ 𝑖 ∙ 𝑠𝑒𝑛
𝜋
4
) 
(C) 𝑧 =
√2
2
(cos
𝜋
4
+ 𝑖 ∙ 𝑠𝑒𝑛
𝜋
4
) 
(D) 𝑧 =
1
2
(cos
𝜋
4
+ 𝑖 ∙ 𝑠𝑒𝑛
𝜋
4
) 
(E) 𝑧 =
√2
2
(cos
𝜋
3
+ 𝑖 ∙ 𝑠𝑒𝑛
𝜋
3
) 
 Operações na forma polar 
 
 Sejam z1=𝜌1(cos 𝜃1+ i sen𝜃1) e z2=𝜌1(cos𝜃2+i sen𝜃2). Então, temos que: 
 
a) Multiplicação 
 
b) Divisão 
 
c) Potenciação 
 
d) Radiciação 
 
 
Para n = 0, 1, 2, 3, ..., n-1 
 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 33 
04. (CPTM – ALMOXARIFE – MAKIYAMA) O valor do módulo do número complexo (i62+i123) é: 
(A) Um número natural. 
(B) Um número irracional maior que 5. 
(C) Um número racional menor que 2. 
(D) Um número irracional maior que 3. 
(E) Um número irracional menor que 2. 
 
05. (Professor/Pref Itaboraí) O inverso do número complexo 
1+√5𝑖
2
 é: 
 (𝐴) 
1+√5𝑖
2
 
 
 (𝐵) 
1−√5𝑖
2
 
 
 (C) 1 − √5𝑖 
 
 (𝐷) 
1+√5𝑖
3
 
 
 (𝐸) 
1−√5𝑖
3
 
 
06. (UFPA) A divisão 
1+2𝑖
1−𝑖
 dá como resultado 
(A) 
−1
2
−
3
2
𝑖 
 
(B) 
1
2
+
3
2
𝑖 
 
(C) 
−1
2
+
3
2
𝑖 
 
(D) 
1
2
−
3
2
𝑖 
 
07. (PUC-SP) Se f(z) = z2 - z + 1, então f (1- i) é igual a: 
(A) i 
(B) – i + 1 
(C) - i 
(D) i -1 
(E) i + 1 
 
08. (UCMG) O complexo z, tal que 5z + z- = 12 +16i, é igual a: 
(A) - 2 + 2i 
(B) 2 - 3i 
(C) 1 + 2i 
(D) 2 + 4i 
(E) 3 + i 
09. (Viçosa – MG) A parte real de 
2+3𝑖
2−3𝑖
 é: 
 
(A) -2/13 
(B) -5/13 
(C) -1/13 
(D) -4/13 
 
10. (Mack – SP) O conjugado de 
2−𝑖
𝑖
 , vale: 
(A) 1 - 2i 
(B) 1 + 2i 
(C) 1 + 3i 
(D) -1 + 2i 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 34 
(E) 2 - i 
 
Respostas 
 
01. Resposta: C. 
𝑧 =
1 + 4𝑖 − 4
𝑖
=
−3 + 4𝑖
𝑖
∙
𝑖
𝑖
= 3𝑖 + 4 
 
|𝑧| = √32 + 4² = 5 
 
02. Resposta:E. 
x=6-x 
 x=3 
 4+y=2y 
y=4 
 |𝑧| = √32 + 4² = 5 
 
03. Resposta: A. 
 
𝜌 = √12 + 1² = √2 
𝑐𝑜𝑠𝜃 =
1
√2
=
√2
2
= 𝑠𝑒𝑛𝜃 
𝜃 =
𝜋
4
 
𝑧 = √2(cos
𝜋
4
+ 𝑖 ∙ 𝑠𝑒𝑛
𝜋
4
) 
 
04. Resposta: E. 
62/4=15 e resto 2 então i62=i2= -1 
123/4=30 e resto 3 então i123=i3=-i, como 𝑖 = √−1 
𝑖62 + 𝑖123 = −1 − √−1 
 
05. Resposta: E. 
O inverso de z é 1/z : 
 
2
1+√5𝑖
=
2
1+√5𝑖
.
1−√5𝑖
1−√5𝑖
=
2−2√5𝑖
12−(√5𝑖)2
=
2−2√5𝑖
1−5𝑖2
=
2−2√5𝑖
6
=
1−√5𝑖
3
 
 
06. Resposta: C. 
Temos q a = 1; b = 2; c = 1; d = - 1 
Através da fórmula já vista vamos efetuar a divisão: 
 (
𝑎𝑐+𝑑𝑏
𝑐2+𝑑2
) + (
𝑏𝑐−𝑎𝑑
𝑐2+𝑑2
) 𝑖 → (
1.1+(−1).2
12+(−1)2
) + (
2.1−(1.(−1))
12+(−1)2
) 𝑖 → 
 
 
1−2
2
+
2+1
2
𝑖 →
−1
2
+
3
2
𝑖 
 
07. Resposta: C. 
f(z) = z2 – z + 1  (1 - i)2 – (1 - i) + 1  1 - 2i + i2 – 1 + i +1  i2 – i + 1; como i2 = - 1, então: - 1 – i + 
1 = - i 
 
08. Resposta: D. 
A fórmula do número complexo é z = a + bi 
Logo temos: 
5.(a + bi) + (a - bi) = 12 + 16i  5a + 5bi + a – bi = 12 + 16i  6a + 4bi = 12 + 16i, para um número 
complexo ser igual ao outro, vamos igualar a parte real com a imaginária: 
6a = 12  a = 2; 4bi = 16i  b = 4 
Montando o complexo: z = a + bi  z = 2 + 4i 
 
 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 35 
09. Resposta: B. 
(
𝑎𝑐 + 𝑑𝑏
𝑐2 + 𝑑2
) + (
𝑏𝑐 − 𝑎𝑑
𝑐2 + 𝑑2
) 𝑖 
 
Como queremos a parte real, vamos utilizar a primeira parte da fórmula: 
(
2.2 + 3. (−3)
22 + (−3)2
) =
4 − 9
4 + 9
=
−5
13
 
 
10. Resposta: D. 
Vamos multiplicar o denominador e numerador pelo conjugado do denominador – i. Lembre-se que i2 
= - 1 
 
 
2−𝑖
𝑖
.
−𝑖
−𝑖
→
−2𝑖+𝑖2
−𝑖2
→
−2𝑖−1
−(−1)
→ −2𝑖 − 1 
Temos que o conjugado de um número complexo é: a + bi  a - bi, logo 
-1 – 2i  -1 + 2i 
 
 
 
 
EQUAÇÃO DO 1º GRAU OU LINEAR 
 
Equação é toda sentença matemática aberta que exprime uma relação de igualdade e uma incógnita 
ou variável (x, y, z,...). 
Observe a figura: 
 
 
A figura acima mostra uma equação (uma igualdade), onde precisamos achar o valor da variável x, 
para manter a balança equilibrada. Equacionando temos: 
x + x + 500 + 100 = x + 250 + 500 → 2x + 600 = x + 750. 
 
Exemplos 
2x + 8 = 0 
5x – 4 = 6x + 8 
3a – b – c = 0 
 
- Não são equações: 
4 + 8 = 7 + 5 (Não é uma sentença aberta) 
x – 5 < 3 (Não é igualdade) 
5 ≠ 7 (não é sentença aberta, nem igualdade) 
 
Termo Geral da equação do 1º grau 
Onde a e b (a≠0) são números conhecidos e a diferença de 0, se resolve de maneira simples: 
subtraindo b dos dois lados obtemos: 
 
ax + b – b = 0 – b → ax = -b → x = -b / a 
 
Termos da equação do 1º grau 
II - ÁLGEBRA E FUNÇÕES: proporcionalidade, sequências e raciocínio lógico 
 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 36 
 
Nesta equação cada membro possui dois termos: 
1º membro composto por 5x e -1 
2º membro composto pelo termo x e +7 
 
Resolução da equação do 1º grau 
O método que usamos para resolver a equação de 1º grau é isolando a incógnita, isto é, deixar a 
incógnita sozinha em um dos lados da igualdade. O método mais utilizado para isso é invertermos as 
operações. Vejamos 
Resolvendo a equação 2x + 600 = x + 750, passamos os termos que tem x para um lado e os números 
para o outro invertendo as operações. 
2x – x = 750 – 600, com isso eu posso resolver minha equação → x = 150 
 
Outros exemplos: 
1) Resolução da equação 3x – 2 = 16, invertendo operações. 
 
Procedimento e justificativa: Se 3x – 2 dá 16, conclui-se que 3x dá 16 + 2, isto é, 18 (invertemos a 
subtração). Se 3x é igual a 18, é claro que x é igual a 18 : 3, ou seja, 6 (invertemos a multiplicação por 3). 
 
Registro: 
 
2) Resolução da equação: 1 – 3x + 
5
2
= x + 
2
1
, efetuando a mesma operação nos dois lados da 
igualdade(outro método de resolução). 
 
Procedimento e justificativa: Multiplicamos os dois lados da equação pelo mmc (2;5) = 10. Dessa 
forma, são eliminados os denominadores. Fazemos as simplificações e os cálculos necessários e 
isolamos x, sempre efetuando a mesma operação nos dois lados da igualdade. No registro, as operações 
feitas nos dois lados da igualdade são indicadas com as setas curvas verticais. 
 
Registro: 
 
Há também um processo prático, bastante usado, que se baseia nessas ideias e na percepção de um 
padrão visual. 
- Se a + b = c, conclui-se que a = c – b. 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 37 
 
Na primeira igualdade, a parcela b aparece somando no lado esquerdo; na segunda, a parcela b 
aparece subtraindo no lado direito da igualdade. 
- Se a . b = c, conclui-se que a = c : b, desde que b ≠ 0. 
 
Na primeira igualdade, o número b aparece multiplicando no lado esquerdo; na segunda, ele aparece 
dividindo no lado direito da igualdade. 
 
O processo prático pode ser formulado assim: 
- Para isolar a incógnita, coloque todos os termos com incógnita de um lado da igualdade e os 
demais termos do outro lado. 
- Sempre que mudar um termo de lado, inverta a operação. 
 
Questões 
 
01. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) O gráfico mostra o número de gols marcados, por 
jogo, de um determinado time de futebol, durante um torneio. 
 
 
 
Sabendo que esse time marcou, durante esse torneio, um total de 28 gols, então, o número de jogos 
em que foram marcados 2 gols é: 
(A) 3. 
(B) 4. 
(C) 5. 
(D) 6. 
(E) 7. 
 
02. (PREF. IMARUÍ – AGENTE EDUCADOR – PREF. IMARUÍ) Certa quantia em dinheiro foi dividida 
igualmente entre três pessoas, cada pessoa gastou a metade do dinheiro que ganhou e 1/3(um terço) do 
restante de cada uma foi colocado em um recipiente totalizando R$900,00(novecentos reais), qual foi a 
quantia dividida inicialmente? 
(A) R$900,00 
(B) R$1.800,00 
(C) R$2.700,00 
(D) R$5.400,00 
 
03. (PRODAM/AM – Auxiliar de Motorista – FUNCAB) Um grupo formado por 16 motoristas 
organizou um churrasco para suas famílias. Na semana do evento, seis deles desistiram de participar. 
Para manter o churrasco, cada um dos motoristas restantes pagou R$ 57,00 a mais. 
O valor total pago por eles, pelo churrasco, foi: 
(A) R$ 570,00 
(B) R$ 980,50 
(C) R$ 1.350,00 
(D) R$ 1.480,00 
(E) R$ 1.520,00 
 
04. (METRÔ – Assistente Administrativo Júnior – FCC) Uma linha de Metrô inicia-se na 1ª estação 
e termina na 18ª estação. Sabe-se que a distância dentre duas estações vizinhas é sempre a mesma, 
exceto da 1ª para a 2ª, e da 17ª para a 18ª, cuja distância é o dobro do padrão das demais estações 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 38 
vizinhas. Se a distância da 5ª até a 12ª estação é de 8 km e 750 m, o comprimento total dessa linha de 
Metrô, da primeira à última estação, é de 
(A) 23 km e 750 m. 
(B) 21 km e 250 m. 
(C) 25 km. 
(D) 22 km e 500 m. 
(E) 26 km e 250 m. 
 
05. (CÂMARA DE SÃO PAULO/SP – TÉCNICO ADMINISTRATIVO – FCC) Um funcionário de uma 
empresa deve executar uma tarefa em 4 semanas. Esse funcionário executou 3/8 da tarefa na 1a semana. 
Na 2a semana, ele executou 1/3 do que havia executado na 1a semana. Na 3a e 4a semanas, o funcionário 
termina a execução da tarefa e verifica que na 3a semana executou o dobro do que havia executado na 
4a semana. Sendo assim, a fração de toda a tarefa que esse funcionário executou na 4ª semana é igual 
a 
(A) 5/16. 
(B) 1/6. 
(C) 8/24. 
(D)1/ 4. 
(E) 2/5. 
06. (CÂMARA DE SÃO PAULO/SP – TÉCNICO ADMINISTRATIVO – FCC) Bia tem 10 anos a mais 
que Luana, que tem 7 anos a menos que Felícia. Qual é a diferença de idades entre Bia e Felícia? 
(A) 3 anos. 
(B) 7 anos. 
(C) 5 anos. 
(D) 10 anos. 
(E) 17 anos. 
 
07. (DAE AMERICANAS/SP – ANALISTA ADMINSTRATIVO – SHDIAS) Em uma praça, Graziela 
estava conversando com Rodrigo. Graziela perguntou a Rodrigo qual era sua idade, e ele respondeu da 
seguinte forma: 
- 2/5 de minha idade adicionados de 3 anos correspondem à metade de minha idade. 
Qual é a idade de Rodrigo? 
(A) Rodrigotem 25 anos. 
(B) Rodrigo tem 30 anos. 
(C) Rodrigo tem 35 anos. 
(D) Rodrigo tem 40 anos. 
 
08. (METRO/SP - AGENTE DE SEGURANÇA METROVIÁRIA I - FCC) Dois amigos foram a uma 
pizzaria. O mais velho comeu 
3
8
 da pizza que compraram. Ainda da mesma pizza o mais novo comeu 
7
5
 
da quantidade que seu amigo havia comido. Sendo assim, e sabendo que mais nada dessa pizza foi 
comido, a fração da pizza que restou foi 
(𝐴)
3
5
 
 
(𝐵)
7
8
 
 
(𝐶)
1
10
 
 
(𝐷)
3
10
 
 
(𝐸)
36
40
 
 
09. (METRO/SP - AGENTE DE SEGURANÇA METROVIÁRIA I - FCC) Glauco foi à livraria e comprou 
3 exemplares do livro J. Comprou 4 exemplares do livro K, com preço unitário de 15 reais a mais que o 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 39 
preço unitário do livro J. Comprou também um álbum de fotografias que custou a terça parte do preço 
unitário do livro K. 
Glauco pagou com duas cédulas de 100 reais e recebeu o troco de 3 reais. Glauco pagou pelo álbum 
o valor, em reais, igual a 
(A) 33. 
(B) 132. 
(C) 54. 
(D) 44. 
(E) 11. 
 
10. AGENTE DE SEGURANÇA METROVIÁRIA I - FCC) Hoje, a soma das idades de três irmãos é 65 
anos. Exatamente dez anos antes, a idade do mais velho era o dobro da idade do irmão do meio, que por 
sua vez tinha o dobro da idade do irmão mais novo. Daqui a dez anos, a idade do irmão mais velho será, 
em anos, igual a 
(A) 55. 
(B) 25. 
(C) 40. 
(D) 50. 
(E) 35. 
 
Respostas 
 
 01. Resposta: E. 
0.2 + 1.8 + 2.x + 3.2 = 28 
0 + 8 + 2x + 6 = 28 → 2x = 28 – 14 → x = 14 / 2 → x = 7 
 
02. Resposta: D. 
Quantidade a ser recebida por cada um: x 
Se 1/3 de cada um foi colocado em um recipiente e deu R$900,00, quer dizer que cada uma colocou 
R$300,00. 
𝑥
3
=
𝑥
3
2
+ 300 
 
𝑥
3
=
𝑥
6
+ 300 
 
𝑥
3
−
𝑥
6
= 300 
 
2𝑥 − 𝑥
6
= 300 
 
𝑥
6
= 300 
x = 1800 
Recebida: 1800.3=5400 
 
03. Resposta: E. 
Vamos chamar de ( x ) o valor para cada motorista. Assim: 
16 . x = Total 
Total = 10 . (x + 57) (pois 6 desistiram) 
Combinando as duas equações, temos: 
16.x = 10.x + 570 → 16.x – 10.x = 570 
6.x = 570 → x = 570 / 6 → x = 95 
O valor total é: 16 . 95 = R$ 1520,00. 
 
04. Resposta: A. 
 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 40 
 
Sabemos que da 5ª até a 12ª estação = 8 km + 750 m = 8750 m. 
A quantidade de “espaços” da 5ª até a 12ª estação é: (12 – 5). x = 7.x 
Assim: 7.x = 8750 
x = 8750 / 7 
x = 1250 m 
Por fim, vamos calcular o comprimento total: 
17 – 2 = 15 espaços 
2.x + 2.x + 15.x = 
= 2.1250 + 2.1250 + 15.1250 = 
= 2500 + 2500 + 18750 = 23750 m 23 km + 750 m 
 
05. Resposta: B. 
Tarefa: x 
Primeira semana: 3/8x 
 
2 semana:
1
3
∙
3
8
𝑥 =
1
8
𝑥 
 
1ª e 2ª semana:
3
8
𝑥 +
1
8
𝑥 =
4
8
𝑥 =
1
2
𝑥 
 
Na 3ª e 4ª semana devem ser feito a outra metade, pois ele executou a metade na 1ª e 2ª semana 
como consta na fração acima (1/2x). 
3ªsemana: 2y 
4ª semana: y 
 2𝑦 + 𝑦 =
1
2
𝑥 
 3𝑦 =
1
2
𝑥 
 𝑦 =
1
6
𝑥 
 
06. Resposta: A. 
Luana: x 
Bia: x + 10 
Felícia: x + 7 
Bia – Felícia = x + 10 – x – 7 = 3 anos. 
 
07. Resposta: B. 
Idade de Rodrigo: x 
 
 
2
5
𝑥 + 3 =
1
2
𝑥 
 
2
5
𝑥 −
1
2
𝑥 = −3 
 
Mmc(2,5)=10 
 
 
4𝑥−5𝑥
10
= −3 
 
 4𝑥 − 5𝑥 = −30 
 𝑥 = 30 
 
08. Resposta: C. 
𝑝𝑖𝑧𝑧𝑎: 𝑥 ∴ 𝑦: 𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜𝑢 𝑑𝑎 𝑝𝑖𝑧𝑧𝑎 
 
𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑣𝑒𝑙ℎ𝑜:
3
8
𝑥 
 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 41 
𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑛𝑜𝑣𝑜 ∶
7
5
∙
3
8
𝑥 =
21
40
𝑥 
 
3
8
𝑥 +
21
40
𝑥 + 𝑦 = 𝑥 
 
𝑦 = 𝑥 −
3
8
𝑥 −
21
40
𝑥 
 
𝑦 =
40𝑥 − 15𝑥 − 21𝑥
40
=
4𝑥
40
=
1
10
𝑥 
 
Sobrou 1/10 da pizza. 
 
09. Resposta: E. 
Preço livro J: x 
Preço do livro K: x+15 
á𝑙𝑏𝑢𝑚:
𝑥 + 15
3
 
Valor pago:197 reais (2.100 – 3) 
 
3𝑥 + 4(𝑥 + 15) +
𝑥 + 15
3
= 197 
 
9𝑥 + 12(𝑥 + 15) + 𝑥 + 15
3
= 197 
 
9𝑥 + 12𝑥 + 180 + 𝑥 + 15 = 591 
22𝑥 = 396 
𝑥 = 18 
á𝑙𝑏𝑢𝑚:
𝑥 + 15
3
=
18 + 15
3
= 11 
 
O valor pago pelo álbum é de R$ 11,00. 
 
10. Resposta: C. 
Irmão mais novo: x 
Irmão do meio: 2x 
Irmão mais velho:4x 
Hoje: 
Irmão mais novo: x + 10 
Irmão do meio: 2x + 10 
Irmão mais velho:4x + 10 
x + 10 + 2x + 10 + 4x + 10 = 65 
7x = 65 – 30 → 7x = 35 → x = 5 
Hoje: 
Irmão mais novo: x + 10 = 5 + 10 = 15 
Irmão do meio: 2x + 10 = 10 + 10 = 20 
Irmão mais velho:4x + 10 = 20 + 10 = 30 
Daqui a dez anos 
Irmão mais novo: 15 + 10 = 25 
Irmão do meio: 20 + 10 = 30 
Irmão mais velho: 30 + 10 = 40 
O irmão mais velho terá 40 anos. 
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. 42 
EQUAÇÃO DO 2º GRAU 
 
Uma equação é uma expressão matemática que possui em sua composição incógnitas, coeficientes, 
expoentes e um sinal de igualdade. As equações são caracterizadas de acordo com o maior expoente de 
uma das incógnitas. 
 
 
Em que a, b, c são números reais e a ≠ 0. 
 
Nas equações de 2º grau com uma incógnita, os números reais expressos por a, b, c são chamados 
coeficientes da equação: 
 
Equação completa e incompleta: 
- Quando b ≠ 0 e c ≠ 0, a equação do 2º grau se diz completa. 
 
Exemplos 
x2 - 5x + 6 = 0= 0 é uma equação completa (a = 1, b = – 5, c = 6). 
-3y2 + 2y - 15 = 0 é uma equação completa (a = -3, b = 2, c = -15). 
 
- Quando b = 0 ou c = 0 ou b = c = 0, a equação do 2º grau se diz incompleta. 
 
Exemplos 
x² - 36 = 0 é uma equação incompleta (b=0). 
x² - 10x = 0 é uma equação incompleta (c = 0). 
4x² = 0 é uma equação incompleta (b = c = 0). 
 
Todas essas equações estão escritas na forma ax2 + bx + c = 0, que é denominada forma normal ou 
forma reduzida de uma equação do 2º grau com uma incógnita. 
Há, porém, algumas equações do 2º grau que não estão escritas na forma ax2 + bx + c = 0; por meio 
de transformações convenientes, em que aplicamos o princípio aditivo e o multiplicativo, podemos reduzi-
las a essa forma. 
 
Exemplo 
Pelo princípio aditivo. 
2x2 – 7x + 4 = 1 – x2 
2x2 – 7x + 4 – 1 + x2 = 0 
2x2 + x2 – 7x + 4 – 1 = 0 
3x2 – 7x + 3 = 0 
 
Exemplo 
Pelo princípio multiplicativo. 
 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 43 
Raízes de uma equação do 2º grau 
Raiz é o número real que, ao substituir a incógnita de uma equação, transforma-a numa sentença 
verdadeira. As raízes formam o conjunto verdade ou solução de uma equação. 
 
Resolução das equações incompletas do 2º grau com uma incógnita. 
Primeiramente devemos saber duas importante propriedades dos números Reais que é o nosso 
conjunto Universo. 
 
 
 
1º Caso) A equação é da forma ax2 + bx = 0. 
x2 – 9x = 0  colocamos x em evidência 
x . (x – 9) = 0 , aplicando a 1º propriedade dos reais temos: 
x = 0 ou x – 9 = 0 
 x = 9 
Logo, S = {0, 9} e os números 0 e 9 são as raízes da equação. 
 
2º Caso) A equação é da forma ax2 + c = 0. 
x2 – 16 = 0  Fatoramos o primeiro membro, que é uma diferença de dois quadrados. 
(x + 4) . (x – 4) = 0, aplicando a 1º propriedade dos reais temos: 
x + 4 = 0 x – 4 = 0 
x = – 4 x = 4 
ou 
x2 – 16 = 0 → x2 = 16 → √x2 = √16 → x = ± 4, (aplicando a segunda propriedade). 
Logo, S = {–4, 4}. 
 
Resolução das equações completas do 2º grau com uma incógnita. 
Para este tipo de equação utilizaremos a Fórmula de Bháskara. 
Usando o processo de Bháskara e partindo da equação escrita na sua forma normal, foi possível 
chegar a uma fórmula que vai nos permitir determinar o conjunto solução de qualquer equação do 2º grau 
de maneira mais simples. 
 
Essa fórmula é chamada fórmula resolutiva ou fórmula de Bháskara. 
 
 
Nesta fórmula, o fato de x ser ou não número real vai depender do discriminante Δ; temos então, três 
casos a estudar. 
 
1º) Se x ϵ R, y ϵ R e x.y=0, então x= 0 ou y=0 
 
2º) Se x ϵ R, y ϵ R e x2=y, então x= √y ou x=-√y 
 
 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 44 
A existência ou não de raízes reaise o fato de elas serem duas ou uma única dependem, 
exclusivamente, do discriminante Δ = b2 – 4.a.c; daí o nome que se dá a essa expressão. 
 
Exemplos 
1) Resolver a equação 3x2 + 7x + 9 = 0 no conjunto R. 
Temos: a = 3, b = 7 e c = 9 
 
 
𝑥 =
−7 ± √−59
6
 
 
Como Δ < 0, a equação não tem raízes reais. 
Então: S = ᴓ 
 
2) Resolver a equação 5x2 – 12x + 4=0 
Temos que a= 5, b= -12 e c = 4. 
Aplicando na fórmula de Bháskara: 
 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
=
−(−12) ± √(−12)2 − 4.5.4
2.5
=
12 ± √144 − 80
10
=
12 ± √64
10
 
 
Como Δ > 0, logo temos duas raízes reais distintas: 
 
𝑥 =
12 ± 8
10
 → 𝑥′ = 
12 + 8
10
=
20
10
= 2 𝑒 𝑥′′ =
12 − 8
10
=
4: 2
10: 2
=
2
5
 
 
S= {2/5, 2} 
 
Relação entre os coeficientes e as raízes 
As equações do 2º grau possuem duas relações entre suas raízes, são as chamadas relações de 
Girard, que são a Soma (S) e o Produto (P). 
 
1) Soma das raízes é dada por: 𝑺 = 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 = −
𝒃
𝒂
 
 
2) Produto das raízes é dada por: 𝑷 = 𝒙𝟏 . 𝒙𝟐 =
𝒄
𝒂
 
 
Logo podemos reescrever a equação da seguinte forma: 
 
x2 – Sx + P=0 
Exemplos 
1) Determine uma equação do 2º grau cujas raízes sejam os números 2 e 7. 
Resolução: 
Pela relação acima temos: 
S = 2+7 = 9 e P = 2.7 = 14 → Com esses valores montamos a equação: x2 -9x +14 =0 
 
2) Resolver a equação do 2º grau: x2 -7x +12 =0 
Observe que S=7 e P=12, basta agora pegarmos dois números aos quais somando obtemos 7 e 
multiplicados obtemos 12. 
S= 3+4 = 7 e P = 4.3=12, logo o conjunto solução é: S={3,4} 
 
Referências 
www.somatematica.com.br 
 
 
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. 45 
Questões 
 
01. (PREF. JUNDIAI/SP – ELETRICISTA – MAKIYAMA) Para que a equação (3m-9)x²-7x+6=0 seja 
uma equação de segundo grau, o valor de m deverá, necessariamente, ser diferente de: 
 (A) 1. 
 (B) 2. 
 (C) 3. 
 (D) 0. 
 (E) 9. 
 
02. (CÂMARA DE CANITAR/SP – RECEPCIONISTA – INDEC) Qual a equação do 2º grau cujas 
raízes são 1 e 3/2? 
(A) x²-3x+4=0 
(B) -3x²-5x+1=0 
(C) 3x²+5x+2=0 
(D) 2x²-5x+3=0 
 
03. (CÂMARA DE CANITAR/SP – RECEPCIONISTA – INDEC) O dobro da menor raiz da equação de 
2º grau dada por x²-6x=-8 é: 
(A) 2 
(B) 4 
(C) 8 
(D) 12 
 
04. (CGU – ADMINISTRATIVA – ESAF) Um segmento de reta de tamanho unitário é dividido em duas 
partes com comprimentos x e 1-x respectivamente. 
Calcule o valor mais próximo de x de maneira que 
 x = (1-x) / x, usando 5=2,24. 
(A) 0,62 
(B) 0,38 
(C) 1,62 
(D) 0,5 
(E) 1/ 𝜋 
 
05. (PRODAM/AM – Assistente – FUNCAB) Hoje João tem oito anos a mais que sua irmã, e o produto 
das suas idades é 153. Daqui a dez anos, a soma da idade de ambos será: 
(A) 48 anos. 
(B) 46 anos. 
(C) 38 anos. 
(D) 36 anos. 
(E) 32 anos. 
 
06. (PREF. PAULISTANA/PI – PROFESSOR DE MATEMÁTICA – IMA) Temos que a raiz do 
polinômio p(x) = x² – mx + 6 é igual a 6. O valor de m é: 
(A) 15 
(B) 7 
(C) 10 
(D) 8 
(E) 5 
 
07. (CBTU – METROREC – Analista de Gestão – Advogado – CONSULPLAN) Considere a seguinte 
equação do 2º grau: ax2 + bx + c = 0. Sabendo que as raízes dessa equação são x’ = 6 e x’’ = –10 e que 
a + b = 5, então o discriminante dessa equação é igual a 
(A) 196. 
(B) 225. 
(C) 256. 
(D) 289. 
 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 46 
08. (SAAE/SP - Fiscal Leiturista – VUNESP) O dono de uma papelaria comprou 98 cadernos e ao 
formar pilhas, todas com o mesmo número de cadernos, notou que o número de cadernos de uma pilha 
era igual ao dobro do número de pilhas. O número de cadernos de uma pilha era 
(A) 12. 
(B) 14. 
(C) 16. 
(D) 18. 
(E) 20. 
 
09. (Prefeitura de São Paulo - SP - Guarda Civil Metropolitano - MS CONCURSOS) Se x1 > x2 são 
as raízes da equação x2 - 27x + 182 = 0, então o valor de 
1
𝑥2
 - 
1
𝑥1
 é: 
(A) 
1
27
. 
 
(B) 
1
13
. 
(C) 1. 
(D) 
1
182
. 
 
(E) 
1
14
. 
 
10. (Pref. Mogeiro/PB - Professor – Matemática – EXAMES) A soma das raízes da equação (k - 2)x² 
- 3kx + 1 = 0, com k ≠ 2, é igual ao produto dessas raízes. Nessas condições. Temos: 
(A) k = 1/2. 
(B) k = 3/2. 
(C) k = 1/3. 
(D) k = 2/3. 
(E) k = -2. 
 
Respostas 
 
01. Resposta: C. 
Neste caso o valor de a ≠ 0, 𝑙𝑜𝑔𝑜: 
3m - 9 ≠ 0 → 3m ≠ 9 → m ≠ 3 
 
02. Resposta: D. 
Como as raízes foram dadas, para saber qual a equação: 
x² - Sx +P=0, usando o método da soma e produto; S= duas raízes somadas resultam no valor 
numérico de b; e P= duas raízes multiplicadas resultam no valor de c. 
 
𝑆 = 1 +
3
2
=
5
2
= 𝑏 
 
𝑃 = 1 ∙
3
2
=
3
2
= 𝑐 ; 𝑠𝑢𝑏𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑛𝑑𝑜 
 
𝑥2 −
5
2
𝑥 +
3
2
= 0 
 
2𝑥2 − 5𝑥 + 3 = 0 
 
03. Resposta: B. 
x²-6x+8=0 
 ∆= (−6)2 − 4.1.8 ⇒ 36 − 32 = 4 
 
 𝑥 =
−(−6)±√4
2.1
⇒ 𝑥 =
6±2
2
 
 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 47 
 𝑥1 =
6+2
2
= 4 
 
 𝑥2 =
6−2
2
= 2 
 
Dobro da menor raiz: 22=4 
 
04. Resposta: A. 
𝑥 =
1 − 𝑥
𝑥
 
 
x² = 1-x 
x² + x -1 =0 
∆= (1)2 − 4.1. (−1) ⇒ ∆= 1 + 4 = 5 
𝑥 =
−1 ± √5
2
 
 
𝑥1 =
(−1 + 2,24)
2
= 0,62 
 
𝑥2 =
−1 − 2,24
2
= −1,62 (𝑛ã𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑣é𝑚) 
 
05. Resposta: B. 
Hoje: 
J = IR + 8 ( I ) 
J . IR = 153 ( II ) 
Substituir ( I ) em ( II ): 
(IR + 8). IR = 153 
IR² + 8.IR – 153 = 0 (Equação do 2º Grau) 
𝛥 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 
𝛥 = 82 − 4.1. (−153) 
𝛥 = 64 + 612 
𝛥 = 676 
 
𝑥 =
−𝑏±√𝛥
2𝑎
 
 
𝑥 =
−8±√676
2.1
= 
−8±26
2
 
 
𝑥1 = 
−8+26
2
=
18
2
= 9 
 
𝑥2 = 
−8−26
2
=
34
2
= 17 
 
Portanto, hoje, as idades são 9 anos e 17 anos. 
Daqui a 10 anos, serão 19 anos e 27 anos, cuja soma será 19 + 27 = 46 anos. 
 
06. Resposta: B. 
Lembrando que a fórmula pode ser escrita como :x²-Sx+P, temos que P(produto)=6 e se uma das 
raízes é 6, a outra é 1. 
Então a soma é 6+1=7 
S=m=7 
 
07. Resposta: C. 
O discriminante é calculado por ∆ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 
Antes, precisamos calcular a, b e c. 
* Soma das raízes = – b / a 
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. 48 
 – b / a = 6 + (– 10) 
– b / a = – 4 . (– 1) 
b = 4 . a 
Como foi dado que a + b = 5, temos que: a + 4.a = 5. Assim: 
5.a = 5 e a = 1 
* b = 4 . 1 = 4 
Falta calcular o valor de c: 
* Produto das raízes = c / a 
c / 1 = 6 . (– 10) 
c = – 60 
Por fim, vamos calcular o discriminante: 
∆ = 𝑏2 − 4𝑎𝑐 
∆ = 42 − 4.1. (−60) = 16 + 240 = 256 
 
08. Resposta: B. 
Chamando de (c o número de cadernos em cada pilha, e de ( p ) o número de pilhas, temos: 
c = 2.p (I) 
p.c = 98 (II) 
Substituindo a equação (I) na equação (II), temos: 
p.2p = 98 
2.p² = 98 
p² = 98 / 2 
p = √49 
p = 7 pilhas 
Assim, temos 2.7 = 14 cadernos por pilha. 
 
09. Resposta: D. 
Primeiro temos que resolver a equação: 
a = 1, b = - 27 e c = 182 
∆ = b2 – 4.a.c 
∆ = (-27)2 – 4.1.182 
∆ = 729 – 728 
∆ = 1 
 
𝑥 =
−𝑏±√∆
2𝑎
 = 
−(−27)±√1
2.1
 = 
27±1
2
 → x1 = 14 ou x2 = 13 
 
O mmc entre x1 e x2 é o produto x1.x2 
 
1
𝑥2
−
1
𝑥1
=
𝑥1 − 𝑥2
𝑥2. 𝑥1
=
14 − 13
14.13
=
1
182
 
 
10. Resposta: C. 
Vamos usar as fórmulas da soma e do produto: S = 
−𝑏
𝑎
 e P = 
𝑐
𝑎
. 
 
(k – 2)x2 – 3kx + 1 = 0; a = k – 2, b = - 3k e c = 1 
 
S = P 
 
−𝑏
𝑎
=
𝑐
𝑎
 → - b = c → -(-3k) = 1 → 3k = 1 → k = 1/3 
 
EQUAÇÃO EXPONENCIAL 
 
Chama-se equação exponencial, toda equação onde a variável x se encontra no expoente. 
 
Exemplos 
3𝑥 = 1 ; 5.22𝑥+2 = 20 
 
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. 49 
Para resolução precisamos achar os valores da variável que a tornem uma sentença numérica 
verdadeira. Vamos relembrar algumas das propriedades da potenciação para darmos continuidade: 
 
 
Vamos ver o passo a passo para resolução de uma equação exponencial: 
 
Exemplos 
 
1) 2x = 8 
1º) Algumas equações podem ser transformadas em outras equivalentes, as quais possuem nos dois 
membros potências de mesma base. Neste caso o 8 pode ser transformado em potência de base 2. 
Fatorando o 8 obtemos 23 = 8 
2º) Aplicando a propriedade da potenciação: 2x = 23  base iguais,igualamos os expoentes, logo 
 x = 3 
 
2) 2m . 24 = 210 
2 m + 4 = 210  m + 4 = 10  m = 10 - 4  m = 6 
S = {6} 
 
3) 6 2m – 1 : 6 m – 3 = 64 
6 (2m – 1 ) – (m – 3) = 64  2m – 1 – m + 3 = 4  2m – m = 4 + 1 – 3  m = 5 – 3  m = 2 
S = {2} 
 
4) 32x - 4.3x + 3 = 0. 
A expressão dada pode ser escrita na forma: 
(3x)2 – 4.3x + 3 = 0 
Criamos argumentos para resolução da equação exponencial. 
Fazendo 3x = y, temos: 
y2 – 4y + 3 = 0 y = 1 ou y = 3 
Como 3x= y, então 3x = 1 = 0 ou 
3x = 3 x = 1 
S = {0,1} 
 
Questões 
 
01. (PM/SP – CABO – CETRO) O valor de x na equação é 5 ∙ 3𝑥+1 + 3𝑥−2 = 408 é 
(A) 1. 
(B) 2. 
(C) 3. 
(D) 4. 
 
02. (PM/SP – SARGENTO CFS – CETRO) É correto afirmar que a solução da equação exponencial 
3 ∙ 9x − 4 ∙ 3x + 1 = 0 é 
(A) S = {0, 1}. 
(B) S = {-1, 0}. 
(C) S = {-2, 1}. 
(D) S = {1/3,1} 
 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 50 
03. (ESCOLA DE SARGENTO DAS ARMAS – COMBATENTE/LOGÍSTICA – TÉCNICA/AVIAÇÃO – 
EXÉRCITO BRASILEIRO) Se 5x+2=100, então 52x é igual a: 
(A) 4. 
(B) 8. 
(C) 10. 
(D) 16. 
(E) 100. 
 
04. (ESCOLA DE SARGENTO DAS ARMAS –MÚSICA– EXÉRCITO BRASILEIRO) O conjunto 
solução da equação exponencial 4x-2x=56 é: 
(A) {-7,8} 
(B) {3,8} 
(C) {3} 
(D) {2,3} 
(E) {8} 
 
05. (BANESE – TÉCNICO BANCÁRIO I – FCC) Uma empresa utiliza a função y = (1,2)x − 1 para 
estimar o volume de vendas de um produto em um determinado dia. A variável y representa o volume de 
vendas em milhares de reais. A variável x é um número real e representa a quantidade de horas que a 
empresa dedicou no dia para vender o produto (0 ≤ x ≤ 6). Em um dia em que o volume de vendas 
estimado foi de R$ 500,00, o valor utilizado para x, em horas, é tal que 
(A) 1 < x ≤ 2. 
(B) 2 < x ≤ 3. 
(C) 3 < x ≤ 4. 
(D) 4 < x ≤ 5. 
(E) 5 < x ≤ 6. 
 
06. (PREF. ARARAQUARA/SP – AGENTE DA ADMINISTRAÇÃO DOS SERVIÇOS DE 
SANEAMENTO – CETRO) O conjunto solução da equação:(16𝑥−1)𝑥+1 = 4𝑥
2+𝑥+4 é 
(A) S = {-2, 3} 
(B) S = {-1, 4} 
(C) S = {0, 6} 
(D) S = {-4, 1} 
 
07. (TJ/PR - Técnico Judiciário – TJ/PR) Após o processo de recuperação de uma reserva ambiental, 
uma espécie de aves, que havia sido extinta nessa reserva, foi reintroduzida. Os biólogos responsáveis 
por essa área estimam que o número P de aves dessa espécie, t anos após ser reintroduzida na reserva, 
possa ser calculado pela expressão 
 
𝑃 =
300
7 + 8 × (0,5)𝑡
 
 
De acordo com essa estimativa, quantos anos serão necessários para dobrar a população inicialmente 
reintroduzida? 
(A) 2 anos. 
(B) 4 anos. 
(C) 8 anos. 
(D) 16 anos. 
 
08. (CREA/PR – ADMINISTRADOR – FUNDATEC) Se 5n + 5-n = 10, o valor de 25n + 25-n é 
(A) 100. 
(B) 98. 
(C) 75. 
(D) 50. 
(E) 68. 
 
09. (SANEAR – FISCAL - FUNCAB) Sendo 23X+1 = 128 e y = 5 . x - 3, o valor de y² , é: 
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. 51 
(A) 49 
(B) 36 
(C) 25 
(D) 16 
(E) 9 
 
Respostas 
 
01. Resposta: C. 
3𝑥+1(5 + 3−3) = 408 
 3𝑥+1 (5 +
1
27
) = 408 
 3𝑥+1 (
136
27
) = 408 
 3𝑥+1 = 408 ∙
27
136
 
 3𝑥+1 = 81 
 3𝑥 . 3 = 81 
 3𝑥 = 27 
 3𝑥 = 33 
 𝑥 = 3 
 
02. Resposta: B. 
3. (3𝑥)² − 4 ∙ 3𝑥 + 1 = 0 
3𝑥 = 𝑦 
3𝑦2 − 4𝑦 + 1 = 0 
∆= 16 − 12 = 4 
𝑦 =
(4 ± 2)
6
 
𝑦1 = 1 𝑦2 =
1
3
 
Voltando: 
3𝑥 = 1 
3𝑥 = 30 
𝑥 = 0 
3𝑥 =
1
3
 
3𝑥 = 3−1 
𝑥 = −1 
 
03. Resposta: D. 
5𝑥 ∙ 25 = 100 
5𝑥 = 4 
52𝑥 = (5𝑥)2 = 42 = 16 
 
04. Resposta: C. 
Podemos simplificar 4x = 22x 
Substituindo: 
(2x)2 – 2x = 56 
Fazendo 2x = y 
y² - y – 56 = 0 
∆ =(-1)² -4.1.(-56) = 1 + 224 = 225 
𝑦 =
1 ± 15
2
, 𝑎𝑠𝑠𝑖𝑚 𝑦 = 8 𝑜𝑢 𝑦 = −7 
O resultado y = -7 não convém, pois 2x é sempre positivo, assim: 
2x = 8  2x = 2³  x = 3  S = {3} 
 
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. 52 
05. Resposta: B. 
0,5 = (1,2)x − 1 
 1,5 = 1,2x 
1,2²=1,44 
1,2³=1,728 
Portanto, 2 < x ≤ 3. 
 
06. Resposta: A. 
(42𝑥−2)𝑥+1 = 4𝑥
2+𝑥+4 
(2x-2)(x+1)=x²+x+4 
2x²+2x-2x-2=x²+x+4 
x²-x-6=0 
=1+24=25 
 
 𝑥 =
1±5
2
 
𝑥1 =
1 + 5
2
= 3 
𝑥2 =
1 − 5
2
= −2 
 
07. Resposta: B. 
Vamos verificar quantos animais foram reintroduzidos inicialmente (t = 0): 
𝑃 =
300
7+8×(0,5)0
= 
300
7+8 𝑋 1
= 
300
15
= 20 (população inicial) 
 
População dobrada: 2 . 20 = 40 
Assim: 
40 =
300
7+8×(0,5)𝑡
 
40 . (7 + 8 . 0,5𝑡) = 300 
7 + 8 . 0,5𝑡 = 
300
40
 
8 . 0,5𝑡 = 7,5 − 7 
0,5𝑡 = 
0,5
8
 
0,5𝑡 = 0,0625 = 0,54 
Excluindo as bases (0,5), temos que t = 4 anos. 
 
08. Resposta: B. 
Elevando ao quadrado: 
(5𝑛 + 5−𝑛)2 = 102 
52𝑛 + 2.5𝑛. 5−𝑛 + 5−2𝑛 = 100 
5𝑛. 5−𝑛 = 50 = 1 
52𝑛 + 5−2𝑛 = 100 − 2 
52𝑛 + 5−2𝑛 = 98 
25 = 5² 
 
09. Resposta: A. 
128=27 
23X+1 = 27 
3X-1=7 
X=2 
Y=5.2-3=7 
Y²=7²=49 
 
EQUAÇÃO LOGARÍTIMICA 
 
Existem equações que não podem ser reduzidas a uma igualdade de mesma base pela simples 
aplicação das propriedades das potências. A resolução de uma equação desse tipo baseia-se na 
definição de logaritmo. 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 53 
𝒂𝒙 = 𝒃 → 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒃 , 𝒄𝒐𝒎 𝟎 < 𝒂 ≠ 𝟏 𝒆 𝒃 > 𝟎. 
 
Existem quatro tipos de equações logarítmicas: 
 
1º) Equações redutíveis a uma igualdade entre dois logaritmos de mesma base: 
𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒇(𝒙) = 𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒈(𝒙) 
 
A solução pode ser obtida impondo-se f(x) = g(x) > 0. 
 
Exemplo 
𝐥𝐨𝐠𝟓 𝟐𝒙 + 𝟒 = 𝐥𝐨𝐠𝟓 𝟑𝒙 + 𝟏 
Temos que: 
2x + 4 = 3x + 1 
2x – 3x = 1 – 4 
– x = – 3 
x = 3 
Portanto, S = {3} 
 
2º) Equações redutíveis a uma igualdade entre dois logaritmos e um número real: 
𝐥𝐨𝐠𝒂 𝒇(𝒙) = 𝒓 
 
A solução pode ser obtida impondo-se f(x) = ar. 
 
Exemplo 
𝐥𝐨𝐠𝟑 𝟓𝒙 + 𝟐 = 𝟑 
Pela definição de logaritmo temos: 
5x + 2 = 33 
5x + 2 = 27 
5x = 27 – 2 
5x = 25 
x = 5 
Portanto S = {5}. 
 
3º) Equações que são resolvidas por meio de uma mudança de incógnita: 
 
Exemplo 
(𝐥𝐨𝐠𝟒 𝒙)
𝟐 − 𝟑. 𝐥𝐨𝐠𝟒 𝒙 = 𝟒 
Vamos fazer a seguinte mudança de incógnita: 
𝐥𝐨𝐠𝟒 𝒙 = 𝒚 
 
Substituindo na equação inicial, ficaremos com: 
 
4º) Equações que envolvem utilização de propriedades ou de mudança de base: 
 
Exemplo 
𝐥𝐨𝐠(𝟐𝒙 + 𝟑) + 𝐥𝐨𝐠(𝒙 + 𝟐) = 𝟐 𝐥𝐨𝐠𝒙 
 
Usando as propriedades do logaritmo, podemos reescrever a equação acima da seguinte forma: 
log[(2𝑥 + 3)(𝑥 + 2)] = log 𝑥2 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 54 
 
Note que para isso utilizamos as seguintes propriedades: 
log 𝑥. 𝑦 = log 𝑥 + log 𝑦 
log 𝑥𝑛 = 𝑛. log 𝑥 
Vamos retornar à equação: 
 
Como ficamos com uma igualdade entre dois logaritmos, segue que: 
(2x +3)(x + 2) = x2 
ou 
2x2 + 4x + 3x + 6 = x2 
2x2 – x2 + 7x + 6 = 0 
x2 + 7x + 6 = 0 
 
x = -1 ou x = - 6 
 
Lembre-se que para o logaritmo existir o logaritmando e a base devem ser positivos. Com os valores 
encontrados para x, o logaritmando ficará negativo. Sendo assim, a equação não tem solução ou S = ø. 
 
Questões 
 
01. (ESCOLA DE SARGENTO DAS ARMAS – COMBATENTE/LOGÍSTICA – TÉCNICA/AVIAÇÃO – 
EXÉRCITO BRASILEIRO) O logaritmo de um produto de dois fatores é igual à soma dos logaritmos de 
cada fator, mantendo-se a mesma base. Identifique a alternativa que representa a propriedade do 
logaritmo anunciada. 
(A) Logb(a.c )= logba + logbc 
(B) Logb(a.c) = logb(a + c) 
(C) Logb(a + c) = logba.logbc 
(D) Logb(a + c) = logb(a.c) 
(E) Loge(a.c) = logba + logfc 
 
02. (FUSA/PR – AGENTE COMUNITÁRIO DE SAÚDE – UNIUV) Aplicando as propriedades de 
logaritmo na equação log A - log B = 0, teremos: 
(A) A . B = 0 
(B) A . B > 0 
(C) A = B 
(D) A / B = 0 
(E) A é o inverso de B 
 
03. (ESCOLA DE SARGENTO DAS ARMAS –MÚSICA – EXÉRCITO BRASILEIRO) Sabendo que 
log P = 3loga - 4logb + 1/2logc, assinale a alternativa que representa o valor de P. 
(dados: a = 4, b = 2 e c = 16) 
(A) 12 
(B) 52 
(C) 16 
(D) 24 
(E) 73 
 
04. (SESI/PA – NUTRICIONISTA – FIDESA) Para calcular o pH de um efluente, os técnicos do 
departamento de controle ambiental utilizama fórmula: 𝑝𝐻 = log (
1
|𝐻+|
), onde |H+|é a concentração de 
íons H+ nas amostras do efluente. Considerando que a concentração de íons é |H+|=5x10-5 e log 2 = 0,3, 
o pH das amostras coletadas desse efluente é de: 
(A) 3,6 
(B) 4,3 
(C) 6,4 
(D) 7,2 
 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 55 
05. (LIQUIGÁS – ASSISTENTE ADMINISTRATIVO – CESGRANRIO) Qual é o produto das raízes da 
equação [log(x)]² - log(x²) - 3 = 0 ? 
(A) - 3.000 
(B) - 3 
(C) 0,001 
(D) 100 
(E) 1.000 
 
Respostas 
 
01. Resposta: A. 
Logb(a.c )= logba + logbc 
 
02. Resposta: C. 
log(A/B)=0 
Pela propriedade do log: 
A/B=1 
A=B 
 
03. Resposta: C. 
log P = log a3 − logb4 + logc
1
2 
log P = log(a3.
c
1
2
b4
) 
 P =
43√16
24
= 16 
 
04. Resposta: B. 
 
pH = log (
1
|5x10−5|
) 
 
pH = log(0,2x105) 
pH = log 0,2 + log105 
 
pH = log (
2
10
) + 5log10 
 
pH = log 2 − log 10 + 5log10 
pH=0,3-1+5=4,3 
 
05. Resposta: D. 
[log(x)]²- 2logx - 3 = 0 
Fazendo logx=y 
y²-2y-3=0 
=4+12=16 
 
𝑦 =
2 ± 4
2
 
y1 = 3 
y2 = −1 
 
Substituindo: 
Log x=3 
X=10³=1000 
Log x=-1 
X=10-1=0,1 
Produto das raízes: 10000,1=100 
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. 56 
RELAÇÃO 
 
Plano Cartesiano Ortogonal de Coordenadas 
Foi criado por René Descartes, ao qual consiste em dois eixos perpendiculares: 
1 - Horizontal denominado eixo das abscissas e 
2 - Vertical denominado eixo das ordenadas. 
 
Tem como objetivo localizarmos pontos determinados em um determinado espaço. Além do mais, o 
plano cartesiano foi dividido em quadrantes aos quais apresentam as seguintes propriedades em relação 
ao par ordenado (x, y) ou (a, b). 
 
 
 
Par Ordenado 
Quando representamos o conjunto (a, b) ou (b, a) estamos, na verdade, representando o mesmo 
conjunto, sem nos preocuparmos com a ordem dos elementos. Porém, em alguns casos, é conveniente 
distinguir a ordem destes elementos. 
Para isso, usamos a ideia de par ordenado que é conjunto formado por dois elementos, onde o 
primeiro é a ou x e o segundo é b ou y. 
 
Exemplos: 
1) (a,b) = (2,5) → a = 2 e b = 5. 
2) (a + 1,6) = (5,2b) → a + 1 = 5 e 6 = 2b → a = 5 -1 e b = 6/2 → a = 4 e b = 3. 
 
Gráfico cartesiano do par ordenado 
Todo par ordenado de números reais pode ser representado por um ponto no plano cartesiano. 
 
 
 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 57 
Temos que: 
- P é o ponto de coordenadas a e b; 
- o número a é chamado de abscissa de P; 
- o número b é chamado ordenada de P; 
- a origem do sistema é o ponto O (0,0). 
 
Vejamos a representação dos pontos abaixo: 
 
 
A (4,3) 
B (1,2) 
C (-2,4) 
D (-3,-4) 
E (3,-3) 
F (-4,0) 
G (0,-2) 
 
 
Produto Cartesiano 
Dados dois conjuntos A e B, chamamos de produto cartesiano A x B ao conjunto de todos os possíveis 
pares ordenados, de tal maneira que o 1º elemento pertença ao 1º conjunto (A) e o 2º elemento pertença 
ao 2º conjunto (B). 
 
𝐀 𝐱 𝐁 = {(𝐱, 𝐲)|𝐱 ∈ 𝐀 𝐞 𝐲 ∈ 𝐁} 
 
Quando o produto cartesiano for efetuado entre o conjunto A e o conjunto A, podemos representar A 
x A = A2. Vejamos, por meio de o exemplo a seguir, as formas de apresentação do produto cartesiano. 
 
Exemplo 
Sejam A = {2,3,4} e B = {3,5}. Podemos efetuar o produto cartesiano A x B, também chamado A 
cartesiano B, e apresentá-lo de várias formas. 
 
a) Listagem dos elementos 
Apresentamos o produto cartesiano por meio da listagem, quando escrevemos todos os pares 
ordenados que constituam o conjunto. Assim, no exemplo dado, teremos: 
 
A x B = {(2,3),(2,5),(3,3),(3,5),(4,3),(4,5)} 
 
Vamos aproveitar os mesmo conjuntos A e B e efetuar o produto B e A (B cartesiano A): 
B x A = {(3,2),(3,3),(3,4),(5,2),(5,3),(5,4)}. 
 
Observando A x B e B x A, podemos notar que o produto cartesiano não tem o privilégio da propriedade 
comutativa, ou seja, A x B é diferente de B x A. Só teremos a igualdade A x B = B x A quando A e B forem 
conjuntos iguais. 
 
Observação: Considerando que para cada elemento do conjunto A o número de pares ordenados 
obtidos é igual ao número de elementos do conjunto B, teremos: n (A x B) = n(A) x n(B). 
No nosso exemplo temos: n (A x B) = n (A) x n (B) = 3 x 2 = 6 
 
b) Diagrama de flechas 
Apresentamos o produto cartesiano por meio do diagrama de flechas, quando representamos cada um 
dos conjuntos no diagrama de Euler-Venn, e os pares ordenados por “flechas” que partem do 1º elemento 
do par ordenado (no 1º conjunto) e chegam ao 2º elemento do par ordenado (no 2º conjunto). 
Considerando os conjuntos A e B do nosso exemplo, o produto cartesiano A x B fica assim 
representado no diagrama de flechas: 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 58 
 
 
c) Plano cartesiano 
Apresentamos o produto cartesiano, no plano cartesiano, quando representamos o 1º conjunto num 
eixo horizontal, e o 2º conjunto num eixo vertical de mesma origem e, por meio de pontos, marcamos os 
elementos desses conjuntos. Em cada um dos pontos que representam os elementos passamos retas 
(horizontais ou verticais). Nos cruzamentos dessas retas, teremos pontos que estarão representando, no 
plano cartesiano, cada um dos pares ordenados do conjunto A cartesiano B (B x A). 
 
 
 
Noção de Relação 
Dado os conjuntos A = {4,5,6} e B = {5,6,7,8}, temos: 
A x B = {(4,5), (4,6), (4,7), (4,8), (5,5), (5,6), (5,7), (5,8), (6,5), (6,6), (6,7), (6,8)} 
 
Destacando o conjunto A x B, por exemplo, o conjunto R formado pelos pares (x,y) que satisfaçam a 
seguinte lei de formação: x + y = 10, ou seja: 
R = {(x,y) ϵ A x B| x + y = 10} 
Vamos montar uma tabela para facilitar os cálculos. 
 
Destacamos os pares que satisfazem a lei de formação: 
R = {(4,6), (5,5)}, podemos com isso observar que R ⊂ A x B. 
 
Dados dois conjuntos A e B, chama-se relação de A em B qualquer subconjunto de A x B, isto é: 
 
R é uma relação de A em B ↔ R ⊂ A x B 
 
Noção de Função 
Dados os conjuntos A = {4,5,6} e B = {5,6,7,8}, considerando o conjunto de pares (x,y), tais que x ϵ A 
e y ϵ B. 
Qualquer um desses conjuntos é chamado relação de A em B, mas se cada elemento dessa relação 
associar cada elemento de A um único elemento de B, dizemos que ela é uma função de A em B. 
Vale ressaltar que toda função é uma relação, mas nem toda relação é uma função. 
 
Analisemos através dos diagramas de Venn. 
 
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. 59 
 
 
 
 
 
 
Analisemos agora através dos gráficos: 
 
 
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. 60 
 
 
Elementos da função 
Como já vimos nos conceitos acima, temos que dado dois conjuntos não vazios A e B chamamos de 
função a relação que associa a cada elemento de x (ou a) de A um único elemento y (ou b) de B, 
conhecida também como função de A em B. 
Na figura abaixo está ilustrado os elementos de uma função. 
 
Pelo diagrama de Venn: 
 
 
Representado no gráfico: 
Um jeito prático de descobrirmos se o gráfico apresentado é ou não função, 
é traçarmos retas paralelas ao eixo do y e se verificarmos se no eixo do x 
existem elementos com mais de uma correspondência, aí podemos dizer se é 
ou não uma função, conforme os exemplos acima. 
 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 61 
 
 
- Ao conjunto A dá-se o nome de domínio, ou conjunto partida, representado pela letra D. 
Logo, D(f) = A. 
- Ao conjunto B dá-se o nome de contradomínio, ou conjunto chegada, representado pelas letras CD 
ou somente C. Logo, CD(f) = B ou C(f) = B. 
- A cada elemento y de B que está associado a um x de A, denominamos imagem de x. Logo, y = f(x). 
(Lê-se: y é igual a f de x). 
- Ao conjunto dos elementos y de B, que são imagens dos elementos x de A dos elementos x de A, 
dá-se o nome de conjunto imagem ou apenas imagem, representado por Im ou Im(f). Têm:-se que Im ⊂ 
B. 
 
A notação para representar função é dada por:Exemplo: 
Dado A = {-2, -1, 0, 1, 2} vamos determinar o conjunto imagem da função f:A→ R, definida por f(x) = 
x+3. 
Vamos pegar cada elemento do conjunto A, aplicarmos a lei de associação e acharmos a imagem 
deste conjunto. 
F(-2) = -2 + 3 = 1 
F(-1) = -1 + 3 = 2 
F(0) = 0 + 3 = 3 
F(1) = 1 + 3 = 4 
F(2) = 2 + 3 = 5 
 
 
Domínio de uma função real de variável real 
Para definirmos uma função precisamos conhecer dois conjuntos (não vazios) A e B e a lei que associa 
cada elemento x de A um único elemento y de B. Para nosso caso vamos considerar A e B sendo 
subconjuntos de R e diremos que f é uma função real de variável real. 
O conjunto A, domínio da função f, será formado por todos os elementos do conjunto real de x, para 
os quais as operações indicadas na lei de associação sejam possíveis em R. 
 
Exemplos: 
1) y = x2 + 3x 
Vamos substituir x por qualquer número real obtermos para y um valor real. Logo D(f) = R. 
 
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. 62 
2) 𝑦 =
1
𝑥
 
Neste caso como o nosso denominador não pode ser igual a zero, temos que D(f) = R* 
 
3) 𝒇(𝒙) =
𝒙
𝒙−𝟐
 
 
Como sabemos que o denominador tem que ser diferente de zero, logo x – 2 ≠ 0  x ≠ 2. 
D(f) = R – {2} ou D(f) = {x ϵ R| x ≠ 2} 
 
 
FUNÇÃO DO 1º GRAU OU FUNÇÃO AFIM OU POLINOMIAL DO 1º GRAU 
 
Recebe ou é conhecida por um desses nomes, sendo por definição: Toda função f: R → R, definida 
por: 
 
Com a ϵ R* e b ϵ R. 
 
O domínio e o contradomínio é o conjunto dos números reais (R) e o conjunto imagem coincide com o 
contradomínio, Im = R. 
Quando b = 0, chamamos de função linear. 
 
Gráfico de uma função 
Dada a função y = 2x + 3 (a = 2 > 0). Vamos montar o gráfico dessa função. 
Para montarmos o gráfico vamos atribuir valores a x para acharmos y. 
 
x y (x,y) 
0 y = 2 .0 + 3 = 3 (0,3) 
-2 y = 2 . (-2) + 3 = - 4 + 3 = -1 (-2,-1) 
-1 y = 2 .(-1) + 3 = -2 + 3 = 1 (-1,1) 
 
Vamos construir o gráfico no plano cartesiano 
 
 
 
 
Vejamos outro exemplo: f(x) = –x + 1. Montando o gráfico temos: 
 
Observe que a reta de 
uma função afim é sempre 
uma reta. 
E como a > 0 ela é função 
crescente, que veremos 
mais à frente 
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. 63 
 
 
Tipos de Função 
 
Função constante: é toda função definida f: R → R, para cada elemento de x, temos a mesma 
imagem, ou seja, o mesmo f(x) = y. Podemos dizer que y = f(x) = k. 
 
Observe os gráficos abaixo da função constante 
 
 
 
A representação gráfica de uma função do constante, é uma reta paralela ao eixo das abscissas ou 
sobre o eixo (igual ao eixo abscissas). 
 
Função Identidade 
Se a = 1 e b = 0, então y = x. Quando temos este caso chamamos a função de identidade, notamos 
que os valores de x e y são iguais, quando a reta corta os quadrantes ímpares e y = - x, quando corta 
os quadrantes pares. 
A reta que representa a função identidade é denominada de bissetriz dos quadrantes ímpares: 
 
 
E no caso abaixo a reta é a bissetriz dos quadrantes pares. 
 
Observe que a < 0, logo 
é uma função 
decrescente. 
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. 64 
 
 
Função Injetora: Quando para n elementos distintos do domínio apresentam imagens também 
distintas no contradomínio. 
 
 
 
Reconhecemos, graficamente, uma função injetora quando, uma reta horizontal, qualquer que seja 
interceptar o gráfico da função, uma única vez. 
 
 
Função Sobrejetora: Quando todos os elementos do contradomínio forem imagens de pelo menos 
um elemento do domínio. 
 
Se traçarmos retas horizontais, paralelas ao 
eixo x, notaremos que o mesmo cortará a reta 
formada pela função em um único ponto (o 
que representa uma imagem distinta), logo 
concluímos que se trata de uma função injetora. 
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. 65 
 
 
Reconhecemos, graficamente, uma função sobrejetora quando, qualquer que seja a reta horizontal 
que interceptar o eixo no contradomínio, interceptar, também, pelo menos uma vez o gráfico da função. 
 
 
 
 
 
 
Função Bijetora: uma função é dita bijetora quando é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo. 
 
 
 
Observe que todos os elementos do 
contradomínio tem um correspondente 
em x. Logo é sobrejetora. 
Im(f) = B 
Observe que nem todos os 
elementos do contradomínio tem um 
correspondente em x. Logo não é 
sobrejetora. 
Im(f) ≠ B 
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. 66 
Exemplo: 
A função f : [1; 3] → [3; 5], definida por f(x) = x + 2, é uma função bijetora. 
 
 
 
Função Ímpar e Função Par 
Dizemos que uma função é par quando para todo elemento x pertencente ao domínio temos 𝑓(𝑥) =
𝑓(−𝑥), ∀ 𝑥 ∈ 𝐷(𝑓). Ou seja os valores simétricos devem possuir a mesma imagem. Par melhor 
compreensão observe o diagrama abaixo: 
 
 
 
A função é dita ímpar quando para todo elemento x pertencente ao domínio, temos f(-x) = -f(x) ∀ x є 
D(f). Ou seja os elementos simétricos do domínio terão imagens simétricas. Observe o diagrama abaixo: 
 
 
 
Função crescente e decrescente 
A função pode ser classificada de acordo com o valor do coeficiente a (coeficiente angular da reta), 
se a > 0, a função é crescente, caso a < 0, a função é decrescente. A função é caracterizada por uma 
reta. 
 
 
Observe que medida que os 
valores de x aumentam, os 
valores de y ou f(x) também 
aumentam. 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 67 
 
 
 
 
Zero ou Raiz da Função 
Chama-se zero ou raiz da função y = ax + b, o valor de x que anula a função, isto é, o valor de x para 
que y ou f(x) seja igual à zero. 
 
 
 
Para achar o zero da função y = ax + b, basta igualarmos y ou f(x) a valor de zero, então assim teremos 
uma equação do 1º grau, ax + b = 0. 
 
Exemplo: 
Determinar o zero da função: 
f(x) = x + 3 
Igualamos f(x) = 0 → 0 = x + 3 → x = -3 
 
Graficamente temos: 
 
 
 
No plano cartesiano, o zero da função é representado pela abscissa do ponto onde a reta corta o eixo 
x. 
Observe que a reta f(x) = x+3 intercepta o eixo x no ponto (-3,0), ou seja, no ponto de abscissa -3, 
que é o zero da função. Observamos que como a > 0, temos que a função é crescente. 
Partindo equação ax + b = 0 podemos também escrever de forma simplificada uma outra maneira de 
acharmos a raiz da função utilizando apenas os valores de a e b. 
 
𝒂𝒙 + 𝒃 = 𝟎 → 𝒂𝒙 = −𝒃 → 𝒙 =
−𝒃
𝒂
 
Podemos expressar a fórmula acima graficamente: 
 
Observe que medida que os 
valores de x aumentam, os 
valores de y ou f(x) diminuem. 
Através do gráfico da função notamos que: 
-Para função é crescente o ângulo formado entre a reta da função e o eixo 
x (horizontal) é agudo (< 90º) e 
- Para função decrescente o ângulo formado é obtuso (> 90º). 
 
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. 68 
 
 
Estudo do sinal da função 
Estudar o sinal da função y = ax + b é determinar os valores reais de x para que: 
- A função se anule (y = 0); 
- A função seja positiva (y > 0); 
- A função seja negativa (y < 0). 
 
Vejamos abaixo o estudo do sinal: 
 
 
Exemplo: 
Estudar o sinal da função y = 2x – 4 (a = 2 > 0). 
1) Qual o valor de x que anula a função? 
y = 0 
2x – 4 = 0 
2x = 4 
x =
2
4
 
x = 2 
A função se anula para x = 2. 
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. 69 
2) Quais valores de x tornam positiva a função? 
y > 0 
2x – 4 > 0 
2x > 4 
x >
2
4
 
x > 2 
A função é positiva para todo x real maior que 2. 
 
3) Quais valores de x tornam negativa a função? 
y < 0 
2x – 4 < 0 
2x < 4 
x <
2
4
 
x < 2 
A função é negativa para todo x real menor que 2. 
 
Podemos também estudar o sinal da função por meio de seu gráfico: 
 
- Para x = 2 temos y = 0; 
- Para x > 2 temos y > 0; 
- Para x < 2 temos y < 0. 
 
 
 
 
Referências 
BIANCHINI, Edwaldo; PACCOLA, Herval – Matemática Volume1 – Editora Moderna. 
FACCHINI, Walter – Matemática Volume Único – 1ª Edição - Editora Saraiva. 
 
Questões 
 
01. (MPE/SP – Geógrafo – VUNESP/2016) O gráfico apresenta informações do lucro, em reais, sobre 
a venda de uma quantidade, em centenas, de um produto em um hipermercado. 
 
Sabendo-se que é constante a razão entre a variação do lucro e a variação da quantidade vendida e 
que se pretende ter um lucro total não menor que R$ 90.500,00 em 10 dias de venda desse produto, 
então a média diária de unidades que deverão ser vendidas, nesse período, deverá ser, no mínimo, de: 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 70 
(A) 8 900. 
(B) 8 950. 
(C) 9 000. 
(D) 9 050. 
(E) 9 150. 
 
02. (PREF. JUNDIAI/SP – ELETRICISTA – MAKIYAMA) Em determinado estacionamento cobra-se 
R$ 3,00 por hora que o veículo permanece estacionado. Além disso, uma taxa fixa de R$ 2,50 é somada 
à tarifa final. Seja t o número de horas que um veículo permanece estacionado e T a tarifa final, assinale 
a seguir a equação que descreve, em reais, o valor de T: 
(A) T = 3t 
(B) T = 3t + 2,50 
(C) T = 3t + 2,50t 
(D) T = 3t + 7,50 
(E) T = 7,50t + 3 
 
03. (PM/SP – SARGENTO CFS – CETRO) Dada a função f(x) = −4x +15 , sabendo que f(x) = 35, então 
(A) x = 5. 
(B) x = 6. 
(C) x = -6. 
(D) x = -5. 
 
04. (BNDES – TÉCNICO ADMINISTRATIVO – CESGRANRIO) O gráfico abaixo apresenta o consumo 
médio de oxigênio, em função do tempo, de um atleta de 70 kg ao praticar natação. 
 
 
Considere que o consumo médio de oxigênio seja diretamente proporcional à massa do atleta. 
Qual será, em litros, o consumo médio de oxigênio de um atleta de 80 kg, durante 10 minutos de prática 
de natação? 
(A) 50,0 
(B) 52,5 
(C) 55,0 
(D) 57,5 
(E) 60,0 
 
05. (PETROBRAS – TÉCNICO AMBIENTAL JÚNIOR – CESGRANRIO) 
 
de domínio real, então, m − p é igual a 
(A) 3 
(B) 4 
(C) 5 
(D) 64 
(E) 7 
 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 71 
06. (CBTU/RJ - Assistente Operacional - Condução de Veículos Metroferroviários – 
CONSULPLAN) A função inversa de uma função f(x) do 1º grau passa pelos pontos (2, 5) e (3, 0). A raiz 
de f(x) é 
(A) 2. 
(B) 9. 
(C) 12. 
(D) 15. 
 
07. (BRDE-RS) Numa firma, o custo para produzir x unidades de um produto é C(x) = 
𝑥
2
 + 10000, e o 
faturamento obtido com a comercialização dessas x unidades é f(x) = 
2
3
 𝑥. Para que a firma não tenha 
prejuízo, o faturamento mínimo com a comercialização do produto deverá ser de: 
(A) R$ 10.000,00 
(B) R$ 13.000,00 
(C) R$ 15.000,00 
(D) R$ 18.000,00 
(E) R$ 20.000,00 
 
08. (CBTU/RJ - Assistente Operacional - Condução de Veículos Metroferroviários – 
CONSULPLAN) Qual dos pares de pontos a seguir pertencem a uma função do 1º grau decrescente? 
(A) Q(3, 3) e R(5, 5). 
(B) N(0, –2) e P(2, 0). 
(C) S(–1, 1) e T(1, –1). 
(D) L(–2, –3) e M(2, 3). 
 
09. (CBTU/RJ - Assistente Operacional - Condução de Veículos Metroferroviários – 
CONSULPLAN) A reta que representa a função f(x) = ax + b intercepta o eixo y no ponto (0, 4) e passa 
pelo ponto (–1, 3). A raiz dessa função é 
(A) –4. 
(B) –2. 
(C) 1. 
(D) 2. 
 
10. (Corpo de Bombeiros Militar/MT – Oficial Bombeiro Militar – COVEST – UNEMAT) O planeta 
Terra já foi um planeta incandescente segundo estudos e está se resfriando com o passar dos anos, mas 
seu núcleo ainda está incandescente. 
Em certa região da terra onde se encontra uma mina de carvão mineral, foi constatado que, a cada 80 
metros da superfície, a temperatura no interior da Terra aumenta 2 graus Celsius. 
Se a temperatura ambiente na região da mina é de 23° Celsius, qual a temperatura no interior da mina 
num ponto a 1200 metros da superfície? 
(A) 15º C 
(B) 38º C 
(C) 53º C 
(D) 30º C 
(E) 61º C 
 
Respostas 
 
01. Resposta: E. 
Pelo enunciado temos que, a razão constante entre variação de lucro (ΔL) e variação de quantidade 
(ΔQ) vendida: 
𝑅 =
∆𝐿
∆𝑄
→ 𝑅 =
7000 − (−1000)
80 − 0
→ 𝑅 =
8000
80
→ 𝑅 = 100 
 
Como se pretende ter um lucro maior ou igual a R$ 90.500,00, logo o lucro final tem que ser pelo 
menos 90.500,00 
Então fazendo a variação do lucro para este valor temos: 
ΔL = 90500 – (-1000) = 90500 + 1000 = 91500 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 72 
Como é constante a razão entre a variação de lucro (ΔL) e variação de quantidade (ΔQ) vendida, 
vamos usar o valor encontrado para acharmos a quantidade de peças que precisam ser produzidas: 
 
𝑅 =
∆𝐿
∆𝑄
→ 100 =
91500
∆𝑄
→ 100∆𝑄 = 91500 → ∆𝑄 =
91500
100
→ ∆𝑄 = 915 
 
Como são em 10 dias, termos 915 x 10 = 9150 peças que deverão ser vendidas, em 10 dias, para que 
se obtenha como lucro pelo menos um lucro total não menor que R$ 90.500,00 
 
02. Resposta: B. 
Equacionando as informações temos: 3 deve ser multiplicado por t, pois depende da quantidade de 
tempo, e acrescentado 2,50 fixo 
T = 3t + 2,50 
 
03. Resposta: D. 
35 = - 4x + 15 → - 4x = 20 → x = - 5 
 
04. Resposta: E. 
A proporção de oxigênio/tempo: 
 
10,5
2
=
21,0
4
=
𝑥
10
 
 
4x = 210 
x = 52,5 litros de oxigênio em 10 minutos para uma pessoa de 70 kg 
52,5litros----70kg 
x-------------80kg 
x = 60 litros 
 
05. Resposta: C. 
Aplicando segundo as condições mencionadas: 
x = 1 
f(1) = 2.1 - p 
f(1) = m - 1 
x = 6 
f(6) = 6m - 1 
 𝑓(6) =
7.6+4
2
=
42+4
2
= 23 ; igualando as duas equações: 
23 = 6m - 1 
m = 4 
Como queremos m – p , temos: 
2 - p = m - 1 ; igualando as duas novamente. 
2 – p = 4 – 1 → p = - 1 → m – p = 4 - (- 1) = 5 
 
06. Resposta: D. 
Primeiramente, vamos calcular os valores de a e b: 
Sabendo que f(x) = y, temos que y = ax + b. 
* a: basta substituir os pontos T (2, 5) e V (3, 0) na equação. Assim: 
( T ) 5 = a.2 + b, ou seja, 2.a + b = 5 ( I ) 
( V ) 0 = a.3 + b, ou seja, 3.a + b = 0, que fica b = – 3.a ( II ) 
Substituindo a equação ( II ) na equação ( I ), temos: 
2.a + (– 3.a) = 5 → 2.a – 3.a = 5 → – a = 5 . (– 1) → a = – 5 
Para calcular o valor de b, vamos substituir os valores de um dos pontos e o valor de a na equação. 
Vamos pegar o ponto V (3, 0) para facilitar os cálculos: 
y = a.x + b 
0 = – 5.3 + b 
b = 15 
Portanto, a função fica: y = – 5.x + 15 . 
Agora, precisamos calcular a função inversa: basta trocar x por y e vice-versa. Assim: 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 73 
x = – 5.y + 15 
5.y = – x +15 
y = – x / 5 + 15/5 
y = – x / 5 + 3 (função inversa) 
Por fim, a raiz é calculada fazendo y = 0. Assim: 
0 = – x / 5 + 3 → x / 5 = 3 → x = 3 . 5 → x = 15 
 
07. Resposta: E. 
C(x) = 
𝑥
2
 + 10000 
F(x) = 
2
3
 𝑥 
f(x) = c(x) 
 
2
3
 𝑥 > 
𝑥
2
 + 10000 
 
2
3
 𝑥 −
𝑥
2
 > 10000  
4𝑥−3𝑥
6
 = 10000  
4𝑥−3𝑥
6
 = 10000 x = 
10000
1
6
  x = 60000 
 
Substituindo no faturamento temos: 
F(x) = 
2
3
 60000 = 40.000 
 
Se tivermos um lucro de 60.000 – 40.000 de faturamento, logo o nosso faturamento mínimo é de 
20.000. 
Portanto o resultado final é de R$ 20.000,00. 
 
08. Resposta: C. 
Para pertencer a uma função polinomial do 1º grau decrescente, o primeiro ponto deve estar em uma 
posição “mais alta” do que o 2º ponto. 
Vamos analisar as alternativas: 
( A ) os pontos Q e R estão no 1º quadrante, mas Q está em uma posição mais baixa que o ponto R, 
e, assim, a função é crescente. 
( B ) o ponto N está no eixo y abaixo do zero, e o ponto P está no eixo x à direita do zero, mas N está 
em uma posição mais baixa que o ponto P, e, assim, a função é crescente. 
( D ) o ponto L está no 3º quadrante e o ponto M está no 1º quadrante, e L está em uma posição mais 
baixa do que o ponto M, sendo, assim, crescente. 
( C ) o ponto S está no 2º quadrante e o ponto T está no 4º quadrante, e S está em uma posição mais 
alta do que o ponto T, sendo, assim, decrescente. 
 
09. Resposta: A. 
Primeiramente, vamos calcular os valores de a e b: 
Sabendo que f(x) = y , temos que y = ax + b. 
* a: basta substituir os pontos T (0, 4) e V (–1,3) na equação. Assim: 
( T ) 4 = a.0 + b , ou seja, b = 4 
( V ) 3 = a.( – 1) + b 
a = 4 – 3 = 1 
Portanto, a função fica: y = x + 4 
Por fim, a raiz é calculada fazendo y = 0. Assim: 
0 = x + 4 , ou seja, x = – 4 
 
10. Resposta: C. 
Vamos utilizar a função T(h) = 23 + 2.h, onde T é a temperatura e h é a profundidade. Assim: 
A temperatura aumenta: 1200 / 80 = 15 partes 
Assim: 15 . 2 = 30º C 
Assim: 23º C + 30º C = 53º C 
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. 74 
FUNÇÃO DO 2º GRAU 
 
Chama-se função do 2º grau, função quadrática, função polinomial do 2º grau ou função trinômio do 
2º grau, toda função f de R em R definida por um polinômio do 2º grau da forma: 
 
 
Com a, b e c reais e a ≠ 0. 
 
Onde: 
a é o coeficiente de x2 
b é o coeficiente de x 
c é o termo independente 
 
Exemplos: 
y = x2 – 5x + 6, sendo a = 1, b = – 5 e c = 6 
y = x2 – 16, sendo a = 1, b = 0 e c = – 16 
f(x) = x2, sendo a = 1, b = 0 e c = 0 
f(x) = 3x2 + 3x, sendo a = 3 , b = 3 e c = 0 
 
Representação gráfica da Função 
O gráfico da função é constituído de uma curva aberta chamada de parábola. 
Vejamos a trajetória de um projétil lançado obliquamente em relação ao solo horizontal, ela é uma 
parábola cuja concavidade está voltada para baixo. 
 
 
 
Exemplo: 
Se a função f de R em R definida pela equação y = x2 + x. Atribuindo à variável x qualquer valor real, 
obteremos em correspondência os valores de y, vamos construir o gráfico da função: 
 
 
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. 75 
 
 
Concavidade da Parábola 
No caso das funções definida por um polinômio do 2º grau, a parábola pode ter sua concavidade 
voltada para cima (a > 0) ou voltada para baixo (a < 0). A concavidade é determinada pelo valor do a 
(positivo ou maior que zero / negativo ou menor que zero). Esta é uma característica geral para a função 
definida por um polinômio do 2º grau. 
 
 
 
Vértice da parábola 
Toda parábola tem um ponto de ordenada máxima ou ponto de ordenada mínima, a esse ponto 
denominamos vértice. Dado por V (xv , yv). 
 
 
 
- Eixo de simetria 
É aquele que dado o domínio a imagem é a mesma. Isso faz com que possamos dizer que a parábola 
é simétrica a reta que passa por xv, paralela ao eixo y, na qual denominamos eixo de simetria. Vamos 
entender melhor o conceito analisando o exemplo: y = x2 + 2x – 3 (início do assunto). 
Atribuímos valores a x, achamos valores para y. Temos que: 
f (-3) = f (1) = 0 
f (-2) = f (0) = -3 
 
Conjunto Domínio e Imagem 
Toda função com Domínio nos Reais (R) que possui a > 0, sua concavidade está voltada para cima, e 
o seu conjunto imagem é dado por: 
 
Logo se a < 0, a concavidade estará voltada para baixo, o seu conjunto imagem é dado por: 
1) Como o valor de a > 0 a concavidade está 
voltada para cima; 
2) -1 e 0 são as raízes de f(x); 
3) c é o valor onde a curva corta o eixo y neste 
caso, no 0 (zero) 
4) O valor do mínimo pode ser observado nas 
extremidades (vértice) de cada parábola: -1/2 e -
1/4 
 
 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 76 
 
 
Coordenadas do vértice da parábola 
Como visto anteriormente a função apresenta como eixo de simetria uma reta vertical que intercepta 
o gráfico num ponto chamado de vértice. 
As coordenadas do vértice são dadas por: 
 
 
 
Onde: 
x1 e x2 são as raízes da função. 
 
 
Valor máximo e valor mínimo da função definida por um polinômio do 2º grau 
- Se a > 0, o vértice é o ponto da parábola que tem ordenada mínima. Nesse caso, o vértice é chamado 
ponto de mínimo e a ordenada do vértice é chamada valor mínimo da função; 
- Se a < 0, o vértice é o ponto da parábola que tem ordenada máxima. Nesse caso, o vértice é ponto 
de máximo e a ordenada do vértice é chamada valor máximo da função. 
 
 
 
Exemplo: 
Dado a função y = x2 – 2x – 3 vamos construir a tabela e o gráfico desta função, determinando também 
o valor máximo ou mínimo da mesma. 
 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 77 
 
Como a = 1 > 0, então a função possui um valor mínimo como pode ser observado pelo gráfico. O 
valor de mínimo ocorre para x = 1 e y = -4. Logo o valor de mínimo é -4 e a imagem da função é dada 
por: Im = { y ϵ R | y ≥ -4}. 
 
Raízes ou zeros da função definida por um polinômio do 2º grau 
As raízes ou zeros da função quadrática f(x) = ax2 + bx + c são os valores de x reais tais que f(x) = 0, 
ou seja são valores que deixam a função nula. Com isso aplicamos o método de resolução da equação 
do 2º grau. 
ax2 + bx + c = 0 
 
A resolução de uma equação do 2º grau é feita com o auxílio da chamada “fórmula de Bháskara”. 
 
a
b
x
.2

 , onde, = b2 – 4.a.c 
 
As raízes (quando são reais), o vértice e a intersecção com o eixo y são fundamentais para traçarmos 
um esboço do gráfico de uma função do 2º grau. 
 
Forma fatorada das raízes: f (x) = a (x – x1) (x – x2). 
Esta fórmula é muito útil quando temos as raízes e precisamos montar a sentença matemática que 
expresse a função. 
 
Estudo da variação do sinal da função 
Estudar o sinal de uma função quadrática é determinar os valores reais de x que tornam a função 
positiva, negativa ou nula. 
Abaixo podemos resumir todos os valores assumidos pela função dado a e Δ (delta). 
 
 
Observe que: 
 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 78 
 
 
Exemplos 
1) Considere a função quadrática representada pelo gráfico abaixo, vamos determinar a sentença 
matemática que a define. 
 
 
Resolução: 
Como conhecemos as raízes x1 e x2 (x1= -4 e x2 = 0), podemos nos da forma fatorada temos: 
f (x) = a.[ x – (-4)].[x – 0] ou f (x) = a(x + 4).x . 
O vértice da parábola é (-2,4), temos: 
4 = a.(-2 + 4).(-2) → a = -1 
Logo, f(x) = - 1.(x + 4).x → (-x – 4x).x → -x2 – 4x 
 
2) Vamos determinar o valor de k para que o gráfico cartesiano de f(x) = -x2 + (k + 4). x – 5, passe pelo 
ponto (2;3). 
Resolução: 
Como x = 2 e f(x) = y = 3, temos: 
3 = -(2)2 + (k + 4).2 – 5 → 3 = -4 + 2k + 8 – 5 → 2k + 8 – 9 = 3 → 2 k – 1 = 3 → 2k = 3 + 1 → 2k = 4 
→ k = 2. 
 
Referências 
BIANCHINI, Edwaldo; PACCOLA, Herval – Matemática Volume 1 – Editora Moderna. 
FACCHINI, Walter – Matemática Volume Único – 1ª Edição - Editora Saraiva. 
 
Questões 
 
01. (CBM/MG – Oficial Bombeiro Militar – FUMARC) Duas cidades A e B estão separadas por uma 
distância d. Considere um ciclista que parte da cidade A em direção à cidade B. A distância d, em 
quilômetros, que o ciclista ainda precisa percorrer para chegar ao seu destino em função do tempo t, em 
horas, é dada pela função 𝑑(𝑡) =
100−𝑡2
𝑡+1
. Sendo assim, a velocidade média desenvolvida pelo ciclista em 
todo o percurso da cidade A até a cidade B é igual a 
(A) 10 Km/h 
(B) 20 Km/h 
(C) 90 Km/h 
(D) 100 Km/h 
 
02. (ESPCEX – CADETES DO EXÉRCITO – EXÉRCITO BRASILEIRO) Uma indústria produz 
mensalmente x lotes de um produto. O valor mensal resultante da venda deste produto é V(x)=3x²-12x e 
o custo mensal da produção é dado por C(x)=5x²-40x-40. Sabendo que o lucro é obtido pela diferença 
entre o valor resultante das vendas e o custo da produção, então o número de lotes mensais que essa 
indústria deve vender para obter lucro máximo é igual a 
 
Quando Δ > 0, o gráfico corta e tangencia 
o eixo x em dois pontos distintos, e temos 
duas raízes reais distintas. 
Quando Δ = 0, o gráfico corta e tangencia 
o eixo x em um ponto e temos duas raízes 
iguais. 
Quando Δ < 0, o gráfico não corta e não 
tangencia o eixo x em nenhum ponto e não 
temos raízes reais. 
 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 79 
(A) 4 lotes. 
(B) 5 lotes. 
(C) 6 lotes. 
(D) 7 lotes. 
(E) 8 lotes. 
 
03. (IPEM – TÉCNICO EM METROLOGIA E QUALIDADE – VUNESP) A figura ilustra um arco 
decorativo de parábola AB sobre a porta da entrada de um salão: 
 
 
 
Considere um sistema de coordenadas cartesianascom centro em O, de modo que o eixo vertical (y) 
passe pelo ponto mais alto do arco (V), e o horizontal (x) passe pelos dois pontos de apoio desse arco 
sobre a porta (A e B). 
Sabendo-se que a função quadrática que descreve esse arco é f(x) = – x²+ c, e que V = (0; 0,81), pode-
se afirmar que a distância 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , em metros, é igual a 
(A) 2,1. 
(B) 1,8. 
(C) 1,6. 
(D) 1,9. 
(E) 1,4. 
 
04. (POLICIA MILITAR/MG – SOLDADO – POLICA MILITAR) A interseção entre os gráficos das 
funções y = - 2x + 3 e y = x² + 5x – 6 se localiza: 
(A) no 1º e 2º quadrantes 
(B) no 1º quadrante 
(C) no 1º e 3º quadrantes 
(D) no 2º e 4º quadrantes 
 
Respostas 
 
01. Resposta: A. 
Vamos calcular a distância total, fazendo t = 0: 
𝑑(0) =
100−02
0+1
= 100𝑘𝑚 
 
Agora, vamos substituir na função: 
0 =
100−𝑡2
𝑡+1
 
 
100 – t² = 0 
– t² = – 100 . (– 1) 
t² = 100 
𝑡 = √100 = 10𝑘𝑚/ℎ 
 
02. Resposta: D. 
L(x)=3x²-12x-5x²+40x+40 
L(x)=-2x²+28x+40 
 𝑥𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 = −
𝑏
2𝑎
= −
28
−4
= 7 𝑙𝑜𝑡𝑒𝑠 
 
03. Resposta: B. 
C=0,81, pois é exatamente a distância de V 
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. 80 
F(x)=-x²+0,81 
0=-x²+0,81 
X²=0,81 
X=0,9 
A distância AB é 0,9+0,9=1,8 
 
04. Resposta: A. 
-2x+3=x²+5x-6 
X²+7x-9=0 
=49+36=85 
𝑥 =
−7 ± √85
2
 
𝑥1 =
−7 + 9,21
2
= 1,105 
𝑥2 =
−7 − 9,21
2
= −8,105 
Para x=1,105 
Y=-2.1,105+3=0,79 
Para x=-8,105 
Y=19,21 
Então a interseção ocorre no 1º e no 2º quadrante. 
 
FUNÇÃO EXPONENCIAL 
 
Definição 
A função exponencial é a definida como sendo a inversa da função logarítmica natural, isto é: 
 
 
Podemos concluir, então, que a função exponencial é definida por: 
 
Gráficos da Função Exponencial 
 
 Propriedades da Função Exponencial 
Se a, x e y são dois números reais quaisquer e k é um número racional, então: 
- ax ay= ax + y 
- ax / ay= ax - y 
- (ax) y= ax.y 
- (a b)x = ax bx 
- (a / b)x = ax / bx 
- a-x = 1 / ax 
 
 
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. 81 
Estas relações também são válidas para exponenciais de base e (e = número de Euller = 2,718...) 
- y = ex se, e somente se, x = ln(y) 
- ln(ex) =x 
- ex+y= ex.ey 
- ex-y = ex/ey 
- ex.k = (ex)k 
 
A Constante de Euler 
Existe uma importantíssima constante matemática definida por 
e = exp(1) 
O número e é um número irracional e positivo e em função da definição da função exponencial, temos 
que: 
Ln(e) = 1 
Este número é denotado por e em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler (1707-1783), um 
dos primeiros a estudar as propriedades desse número. 
O valor deste número expresso com 40 dígitos decimais, é: 
e = 2,718281828459045235360287471352662497757 
Se x é um número real, a função exponencial exp(.) pode ser escrita como a potência de base e com 
expoente x, isto é: 
ex = exp(x) 
 
Construção do Gráfico de uma Função Exponencial 
Exemplo: 
Vamos construir o gráfico da função 𝑦 = 2𝑥 
Vamos atribuir valores a x, para que possamos traçar os pontos no gráfico. 
 
X Y 
-3 1
8
 
-2 1
4
 
-1 1
2
 
0 1 
1 2 
2 4 
3 8 
 
 
 
Questões 
 
01. (Corpo de Bombeiros Militar/MT – Oficial Bombeiro Militar – COVEST – UNEMAT) As funções 
exponenciais são muito usadas para modelar o crescimento ou o decaimento populacional de uma 
determinada região em um determinado período de tempo. A função 𝑃(𝑡) = 234 . (1,023)𝑡 modela o 
comportamento de uma determinada cidade quanto ao seu crescimento populacional em um determinado 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 82 
período de tempo, em que P é a população em milhares de habitantes e t é o número de anos desde 
1980. 
Qual a taxa média de crescimento populacional anual dessa cidade? 
(A) 1,023% 
(B) 1,23% 
(C) 2,3% 
(D) 0,023% 
(E) 0,23% 
 
02. (Polícia Civil/SP – Desenhista Técnico-Pericial – VUNESP) Uma população P cresce em função 
do tempo t (em anos), segundo a sentença 𝑷 = 𝟐𝟎𝟎𝟎 . 𝟓𝟎,𝟏 .𝒕. Hoje, no instante t = 0, a população é de 2 
000 indivíduos. A população será de 50 000 indivíduos daqui a 
(A) 20 anos. 
(B) 25 anos. 
(C) 50 anos. 
(D) 15 anos. 
(E) 10 anos. 
 
03. (IF/BA – Pedagogo – IF/BA/2016) Em um período longo de seca, o valor médio de água 
presente em um reservatório pode ser estimado de acordo com a função: Q(t) = 4000 . 2 -0,5 . t, onde t 
é medido em meses e Q(t) em metros cúbicos. Para um valor de Q(t) = 500, pode-se dizer que o valor 
de t é: 
(A) 6 meses 
(B) 8 meses 
(C) 5 meses 
(D) 10 meses 
(E) 4 meses 
 
04. (CBTU- Assistente Operacional – FUMARC/2016) Uma substância se decompõe segundo a lei 
Q(t) = K.2 – 0,5 t, sendo K uma constante, t é o tempo medido em minutos e Q(t) é a quantidade de 
substância medida em gramas no instante t. O gráfico a seguir representa os dados desse processo 
de decomposição. Baseando-se na lei e no gráfico de decomposição dessa substância, 
é CORRETO afirmar que o valor da constante K e o valor de a (indicado no gráfico) 
são, respectivamente, iguais a: 
 
 
(A) 2048 e 4 
(B) 1024 e 4 
(C) 2048 e 2 
(D) 1024 e 2 
(E) 1024 e 8 
 
Respostas 
 
01. Resposta: C. 
𝑃(𝑡) = 234 . (1,023)𝑡 
Primeiramente, vamos calcular a população inicial, fazendo t = 0: 
𝑃(0) = 234 . (1,023)0 = 234 . 1 = 234 mil 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 83 
Agora, vamos calcular a população após 1 ano, fazendo t = 1: 
𝑃(1) = 234 . (1,023)1 = 234 . 1,023 = 239,382 
Por fim, vamos utilizar a Regra de Três Simples: 
População % 
 234 --------------- 100 
 239,382 ------------ x 
234.x = 239,382 . 100 
x = 23938,2 / 234 
x = 102,3% 
102,3% = 100% (população já existente) + 2,3% (crescimento) 
 
02. Resposta: A. 
50000 = 2000 . 50,1 .𝑡 
50,1 .𝑡 = 
50000
2000
 
50,1 .𝑡 = 52 
Vamos simplificar as bases (5), sobrando somente os expoentes. Assim: 
0,1 . t = 2 
t = 2 / 0,1 
t = 20 anos 
 
03. Resposta: A. 
500 = 4000 * 2-0.5t 
500/4000 = 2 -0.5t 
simplificando, 
1/8 = 2 -0.5t 
deixando o expoente positivo, invertemos a base: 
1/8 = 1/2 0.5t 
(½)3 = (½)0,5t 
0,5t=3 
t = 3/0,5 = 6. 
 
04. Resposta: A. 
 
Calcular o valor de K, ou seja, o valor inicial 
 Q(t) = K . 2-0,5t. Perceba que o K ocupa a posição referente à quantidade inicial, t=0. Q(t) = 2048 
Assim, temos para o ponto (0, 2048), temos tempo zero e quantidade final 2048. 
 
Calcular o valor de a, o seja, o tempo quando a quantidade final for 512. 
 
Quantidade final = quantidade inicial x (crescimento)período 
512 = 2048 x (2)-0,5t 
512 = 2048 x (2)-0,5t 
 
512/2048 = (2)-0,5t 
¼ = (2)-0,5t 
(1/2)2 = (1/2)0,5t 
0,5t = 2 
t = 2/0,5 = 4 
 
Assim temos 2048 e 4. 
 
FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
 
Toda equação que contém a incógnita na base ou no logaritmando de um logaritmo é denominada 
equação logarítmica. Abaixo temos alguns exemplos de equações logarítmicas: 
log2 𝑥 = 3 
log𝑥 100 = 2 
7log5 625𝑥 = 42 
3log2𝑥 64 = 9 
log−6−𝑥 2𝑥 = 1 
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. 84 
Perceba que nestas equações a incógnita encontra-se ou no logaritmando, ou na base de um 
logaritmo. Para solucionarmos equações logarítmicas recorremos a muitas das propriedades dos 
logaritmos. 
 
Solucionando Equações Logarítmicas 
Vamos solucionar cada uma das equações acima, começando pela primeira: 
log2 𝑥 = 3 
 
Segundo a definição de logaritmo nós sabemos que: 
log2 𝑥 = 3 ⟺ 2
3 = 𝑥 
 
Logo x é igual a 8: 23 = x ⇒ x = 2.2.2 ⇒ x = 8 
 
De acordo com a definição de logaritmo o logaritmando deve ser um número real positivo e já que 8 
é um número real positivo, podemos aceitá-lo como solução da equação. A esta restrição damos o nome 
de condição de existência. 
 
log𝑥 100 = 2 
 
Pela definição de logaritmo a base deve ser um número real e positivo além de ser diferente de 1. 
Então a nossa condição de existência da equação acima é que: x ϵ R*+ - {1} 
 
Em relação a esta segunda equação nós podemos escrever a seguinte sentença:log𝑥 100 = 2 ⟺ 𝑥
2 = 100 
 
Que nos leva aos seguintes valores de x: 
𝑥2 = 100 ⟹ 𝑥 = ±√100 ⟹ {
𝑥 = −10
𝑥 = 10
 
 
Note que x = -10 não pode ser solução desta equação, pois este valor de x não satisfaz a condição de 
existência, já que -10 é um número negativo. 
Já no caso de x = 10 temos uma solução da equação, pois 10 é um valor que atribuído a x satisfaz a 
condição de existência, visto que 10 é positivo e diferente de 1. 
 
7log5 625𝑥 = 42 
 
Neste caso temos a seguinte condição de existência: 
625𝑥 > 0 ⟹ 𝑥 >
0
625
⟹ 𝑥 > 0 
Voltando à equação temos: 
7log5 625𝑥 = 42 ⟹ log5 625𝑥 =
42
7
⟹ log5 625𝑥 = 6 
 
Aplicando a mesma propriedade que aplicamos nos casos anteriores e desenvolvendo os cálculos 
temos: Como 25 satisfaz a condição de existência, então S = {25} é o conjunto solução da equação. Se 
quisermos recorrer a outras propriedades dos logaritmos também podemos resolver este exercício assim: 
⇒ log5 𝑥 = 2 ⟺ 5
2 = 𝑥 ⟺ 𝑥 = 25 
 
Lembre-se que: 
 log𝑏(𝑀.𝑁) = log𝑏 𝑀 + log𝑏 𝑁 e que log5 625 = 4, pois 5
4 = 625. 
3 log2𝑥 64 = 9 
 
Neste caso a condição de existência em função da base do logaritmo é um pouco mais complexa: 
2𝑥 > 0 ⟹ 𝑥 >
1
2
⟹ 𝑥 > 0 
 
E, além disto, temos também a seguinte condição: 2x ≠ 1 ⇒ x ≠ 1/2 
 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 85 
Portanto a condição de existência é: x ϵ R*+ - {1/2} 
 Agora podemos proceder de forma semelhante ao exemplo anterior: Como x = 2 satisfaz a condição 
de existência da equação logarítmica, então 2 é solução da equação. Assim como no exercício anterior, 
este também pode ser solucionado recorrendo-se à outra propriedade dos logaritmos: 
log−6−𝑥 2𝑥 = 1 
 
Neste caso vamos fazer um pouco diferente. Primeiro vamos solucionar a equação e depois vamos 
verificar quais são as condições de existência: Então x = -2 é um valor candidato à solução da equação. 
Vamos analisar as condições de existência da base -6 - x: 
Veja que embora x ≠ -7, x não é menor que -6, portanto x = -2 não satisfaz a condição de existência e 
não pode ser solução da equação. Embora não seja necessário, vamos analisar a condição de existência 
do logaritmando 2x: 2x > 0 ⇒ x > 0 
 
Como x = -2, então x também não satisfaz esta condição de existência, mas não é isto que eu quero 
que você veja. O que eu quero que você perceba, é que enquanto uma condição diz que x < -6, a outra 
diz que x > 0. Qual é o número real que além de ser menor que -6 é também maior que 0? 
Como não existe um número real negativo, que sendo menor que -6, também seja positivo para que 
seja maior que zero, então sem solucionarmos a equação nós podemos perceber que a mesma não 
possui solução, já que nunca conseguiremos satisfazer as duas condições simultaneamente. O conjunto 
solução da equação é portanto S = { }, já que não existe nenhuma solução real que satisfaça as condições 
de existência da equação. 
 
Função Logarítmica 
A função logaritmo natural mais simples é a função y=f0(x)=lnx. Cada ponto do gráfico é da forma (x, 
lnx) pois a ordenada é sempre igual ao logaritmo natural da abscissa. 
 
 
 
O domínio da função ln é R*+=]0,∞[ e a imagem é o conjunto R=]-∞,+∞[. 
O eixo vertical é uma assíntota ao gráfico da função. De fato, o gráfico se aproxima cada vez mais da reta 
x=0 
O que queremos aqui é descobrir como é o gráfico de uma função logarítmica natural geral, quando 
comparado ao gráfico de y=ln x, a partir das transformações sofridas por esta função. Consideremos uma 
função logarítmica cuja expressão é dada por y=f1(x)=ln x+k, onde k é uma constante real. A pergunta 
natural a ser feita é: qual a ação da constante k no gráfico dessa nova função quando comparado ao 
gráfico da função inicial y=f0(x)=ln x ? 
Ainda podemos pensar numa função logarítmica que seja dada pela expressão y=f2(x)=a.ln x onde a 
é uma constante real, a 0. Observe que se a=0, a função obtida não será logarítmica, pois será a 
constante real nula. Uma questão que ainda se coloca é a consideração de funções logarítmicas do tipo 
y=f3(x)=ln(x+m), onde m é um número real não nulo. Se g(x)=3.ln(x-2) + 2/3, desenhe seu gráfico, fazendo 
os gráficos intermediários, todos num mesmo par de eixos. 
y=a.ln(x+m)+k 
 
Conclusão: Podemos, portanto, considerar funções logarítmicas do tipo y = f4(x) = a In (x + m) + k, 
onde o coeficiente a não é zero, examinando as transformações do gráfico da função mais simples y = f0 
(x) = In x, quando fazemos, em primeiro lugar, y=ln(x+m); em seguida, y=a.ln(x+m) e, finalmente, 
y=a.ln(x+m)+k. 
 
Analisemos o que aconteceu: 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 86 
- em primeiro lugar, y=ln(x+m) sofreu uma translação horizontal de -m unidades, pois x=-m exerce o 
papel que x=0 exercia em y=ln x; 
- a seguir, no gráfico de y=a.ln(x+m) ocorreu mudança de inclinação pois, em cada ponto, a ordenada 
é igual àquela do ponto de mesma abscissa em y=ln(x+m) multiplicada pelo coeficiente a; 
- por fim, o gráfico de y=a.ln(x+m)+k sofreu uma translação vertical de k unidades, pois, para cada 
abscissa, as ordenadas dos pontos do gráfico de y=a.ln(x+m)+k ficaram acrescidas de k, quando 
comparadas às ordenadas dos pontos do gráfico de y=a.ln(x+m). 
 
O estudo dos gráficos das funções envolvidas auxilia na resolução de equações ou inequações, pois 
as operações algébricas a serem realizadas adquirem um significado que é visível nos gráficos das 
funções esboçados no mesmo referencial cartesiano. 
 
Função logarítmica de base a é toda função f:R*+ → R, definida por 𝑓(𝑥) = log𝑎 𝑥 com a ϵ R*+ e a ≠ 
1. 
Podemos observar neste tipo de função que a variável independente x é um logaritmando, por isto a 
denominamos função logarítmica. Observe que a base a é um valor real constante, não é uma variável, 
mas sim um número real. 
A função logarítmica de R*+ → R é inversa da função exponencial de R*+ → R e vice-versa, pois: 
log𝑏 𝑎 = 𝑥 ⟺ 𝑏
𝑥 = 𝑎 
 
Representação da Função Logarítmica no Plano Cartesiano 
Podemos representar graficamente uma função logarítmica da mesma forma que fizemos com a 
função exponencial, ou seja, escolhendo alguns valores para x e montando uma tabela com os 
respectivos valores de f(x). Depois localizamos os pontos no plano cartesiano e traçamos a curva do 
gráfico. Vamos representar graficamente a função 𝑓(𝑥) = log 𝑥 e como estamos trabalhando com um 
logaritmo de base 10, para simplificar os cálculos vamos escolher para x alguns valores que são potências 
de 10: 
0,001, 0,01, 0,1, 1, 10 e 2. 
 
Temos então seguinte a tabela: 
 
x y = log x 
0,001 y = log 0,001 = -3 
0,01 y = log 0,01 = -2 
0,1 y = log 0,1 = -1 
1 y = log 1 = 0 
10 y = log 10 = 1 
 
 
 
Ao lado temos o gráfico desta função logarítmica, no qual localizamos cada um dos pontos obtidos 
da tabela e os interligamos através da curva da função: Veja que para valores de y < 0,01 os pontos estão 
quase sobre o eixo das ordenadas, mas de fato nunca chegam a estar. Note também que neste tipo de 
função uma grande variação no valor de x implica numa variação bem inferior no valor de y. Por exemplo, 
se passarmos de x = 100 para x = 1000000, a variação de y será apenas de 2 para 6. Isto porque: 
 
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. 87 
{
𝑓(100) = log 100 = 2
𝑓(1000000) = log 1000000 = 6
 
 
Função Crescente e Decrescente 
Assim como no caso das funções exponenciais, as funções logarítmicas também podem ser 
classificadas como função crescente ou função decrescente. Isto se dará em função da base a ser 
maior ou menor que 1. Lembre-se que segundo a definição da função logarítmica f:R*+ → R, definida 
por 𝑓(𝑥) = log𝑎 𝑥 , temos que a > 0 e a ≠ 1. 
 
- Função Logarítmica Crescente 
 
 
 
Se a > 1 temos uma função logarítmica crescente, qualquer que seja o valor real positivo de x. No 
gráfico da função ao lado podemos observar que à medida que x aumenta, também aumenta f(x) ou y.Graficamente vemos que a curva da função é crescente. Também podemos observar através do gráfico, 
que para dois valor de x (x1 e x2), que log𝑎 𝑥2 > log𝑎 𝑥1 ⟺ 𝑥2 > 𝑥1, isto para x1, x2 e a números reais 
positivos, com a > 1. 
 
- Função Logarítmica Decrescente 
 
 
 
Se 0 < a < 1 temos uma função logarítmica decrescente em todo o domínio da função. Neste outro 
gráfico podemos observar que à medida que x aumenta, y diminui. Graficamente observamos que a curva 
da função é decrescente. No gráfico também observamos que para dois valores de x (x1 e x2), que 
log𝑎 𝑥2 < log𝑎 𝑥1 ⟺ 𝑥2 > 𝑥1 , isto para x1, x2 e a números reais positivos, com 0 < a < 1. É importante 
frisar que independentemente de a função ser crescente ou decrescente, o gráfico da função sempre 
cruza o eixo das abscissas no ponto (1, 0), além de nunca cruzar o eixo das ordenadas e que o log𝑎 𝑥2 =
log𝑎 𝑥1 ⟺ 𝑥2 = 𝑥1, isto para x1, x2 e a números reais positivos, com a ≠ 1. 
 
Questões 
 
01. (PETROBRAS-GEOFISICO JUNIOR – CESGRANRIO) Se log x representa o logaritmo na base 
10 de x, então o valor de n tal que log n = 3 - log 2 é: 
(A) 2000 
(B) 1000 
(C) 500 
(D) 100 
(E) 10 
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. 88 
02. (MF – Assistente Técnico Administrativo – ESAF) Sabendo-se que log x representa o logaritmo 
de x na base 10, calcule o valor da expressão log 20 + log 5. 
(A) 5 
(B) 4 
(C) 1 
(D) 2 
(E) 3 
 
03. (SEE/AC – Professor de Matemática e Física – FUNCAB) Assinale a alternativa correta, 
considerando a função a seguir. 
 
(A) O domínio da função é o conjunto dos números reais. 
(B) O gráfico da função passa pelo ponto (0, 0). 
(C) O gráfico da função tem como assíntota vertical a reta x = 2. 
(D) Seu gráfico toca o eixo Y. 
(E) Seu gráfico toca o eixo X em dois pontos distintos. 
 
04. (PETROBRAS-ANALISTA DE COMERCIALIZAÇÃO E LOGÍSTICA JÚNIOR - TRANSPORTE 
MARÍTIMO-CESGRANRIO) Ao resolver um exercício, um aluno encontrou as expressões 8p = 3 e 3q = 
5. Quando perguntou ao professor se suas expressões estavam certas, o professor respondeu que sim e 
disse ainda que a resposta à pergunta era dada por 
 
 
Se log x representa o logaritmo na base 10 de x, qual é a resposta correta, segundo o professor? 
(A)log 8 
(B)log 5 
(C)log 3 
(D)log 2 
(E)log 0,125 
 
05. ( TRT - 13ª REGIÃO (PB) -ANALISTA JUDICIÁRIO - ESTATÍSTICA-FCC) Com base em um 
levantamento histórico e utilizando o método dos mínimos quadrados, uma empresa obteve a 
equação para estimar a probabilidade (p) de ser realizada a venda de determinado 
equipamento em função do tempo (t), em minutos, em que as propriedades do equipamento são 
divulgadas na mídia. Considerando que ln (0,60) = - 0,51, tem-se que se as propriedades do equipamento 
forem divulgadas por um tempo de 15 minutos na mídia, então a probabilidade do equipamento ser 
vendido é, em %, de 
Observação: ln é o logaritmo neperiano tal que ln(e) = 1. 
(A)62,50 
(B)80,25. 
(C)72,00. 
(D)75,00. 
(E)64,25. 
 
06. (PETROBRAS-CONHECIMENTOS BÁSICOS - TODOS OS CARGOS DE NÍVEL MÉDIO-
CESGRANRIO) Quanto maior for a profundidade de um lago, menor será a luminosidade em seu fundo, 
pois a luz que incide em sua superfície vai perdendo a intensidade em função da profundidade do mesmo. 
Considere que, em determinado lago, a intensidade y da luz a x cm de profundidade seja dada pela função 
y = i0 . ( 0,6 )x/88, onde i0 representa a intensidade da luz na sua superfície. No ponto mais profundo desse 
lago, a intensidade da luz corresponde a i0/3 
A profundidade desse lago, em cm, está entre. 
 
Dados 
log 2 = 0,30 
log 3 = 0,48 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 89 
(A)150 e 160 
(B)160 e 170 
(C) 170 e 180 
(D)180 e 190 
(E)190 e 200 
 
07. (DNIT-ANALISTA EM INFRAESTRUTURA DE TRANSPORTES-ESAF) Suponha que um técnico 
efetuou seis medições de uma variável V1, cujos dados são mostrados na tabela abaixo. Ao perceber 
que os valores cresciam de forma exponencial, o técnico aplicou uma transformação matemática 
(logaritmo na base 10) para ajustar os valores originais em um intervalo de valores menor. A referida 
transformação logarítmica vai gerar novos valores cujo intervalo varia de: 
 
 
 
(A) 0 a 1. 
(B)0 a 5. 
(C)0 a 10. 
(D)0 a 100. 
(E)1 a 6. 
 
08. (PETROBRAS-TÉCNICO DE EXPLORAÇÃO DE PETRÓLEO JÚNIOR-CESGRANRIO) Se y = 
log81 (1⁄27) e x ∈ IR+ são tais que xy = 8 , então x é igual a 
(A) 1⁄16 
(B)1⁄2 
(C)log38 
(D) 2 
(E)16 
 
09. (PETROBRAS-GEOFÍSICO JUNIOR-GEOLOGIA-CESGRANRIO) Se log x representa o logaritmo 
na base 10 de x, então o valor de n tal que log n = 3 - log 2 é 
(A)2000 
(B)1000 
(C)500 
(D)100 
(E)10 
 
10. (PETROBRAS-TODOS OS CARGOS-CESGRANRIO) Em calculadoras científicas, a 
tecla log serve para calcular logaritmos de base 10. Por exemplo, se digitamos 100 e, em seguida, 
apertamos a tecla log, o resultado obtido é 2. A tabela a seguir apresenta alguns resultados, com 
aproximação de três casas decimais, obtidos por Pedro ao utilizar a tecla log de sua calculadora científica. 
 
Utilizando-se os valores anotados por Pedro na tabela acima, a solução da equação log6+x=log28 é 
(A)0,563 
(B)0,669 
(C)0,966 
(D)1,623 
(E)2,402 
 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 90 
Respostas 
 
01. Resposta: C. 
log n = 3 - log 2 
log n + log 2 = 3 * 1 
onde 1 = log 10 então: 
log (n * 2) = 3 * log 10 
log(n*2) = log 10 ^3 
2n = 10^3 
2n = 1000 
n = 1000 / 2 
n = 500 
 
02. Resposta: D. 
E = log20 + log5 
E = log(2 x 10) + log5 
E = log2 + log10 + log5 
E = log10 + log (2 x 5) 
E = log10 + log10 
E = 2 log10 
E = 2 
 
03. Resposta: C. 
(x)=log2(x-2) 
Verificamos a condição de existência, daí x-2>0 
x>2 
Logo a reta x=2 é uma assíntota vertical. 
 
04. Resposta: B. 
8p=3 
23p=3 
 log23p=log3 
3p=(log3/log2) 
 p=(log3/log2).1/3 
 
3q=5 
q.log3=log5 
q=log5/log3 
3.p.q= 3. (log3/log2).1/3.log5/log3 = log5/log2 
3.p.q/(1+3.p.q) 
log5/log2/(1+log5/log2) 
(log5/log2)/( log2/log2+ log5/log2) 
(log5/log2)/(log2+log5)/log2) 
(log5/log2)/( log10)/log2) 
(log5/ log10)= 
log5 
 
05. Resposta: A 
 Como sabemos que ln (0,60) = -0,51 
então ln (1 / 0,60) = 0,51 
Substituindo t = 15 minutos em 0,06 + 0,03*t, teremos 0,06 + 0,03*15 = 0,51 
logo 1 / 0,60 = p / (1 - p) 
1 - p = 0,60. p 
p = 0,625 
 
06. Resposta: E 
onde y = i0 . 0,6 (x/88) 
então: 
 i0/ 3 = i0.0,6 (x/88) 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 91 
 (i / 3) . (1/ i) = 0,6 (x/88) 
 1/3 = 0,6 (x/88) 
 log 1/3 = log 0,6 (x/88) 
 log 1 - log 3 = x/88 * log 6/10 
0 - 0,48 = x/88 *. log 6/10 
 88 . (- 0,48) = X . [ log 6 - log 10 ] 
 6 = 3 . 2 ===> log 3 + log 2 
 como log10 na base 10 = 1. 
 
 - 42,24 = X . [ log 3 + log 2 - (1)] 
 - 42,24 = X . [ 0,48 + 0,30 - 1 ] 
X = - 42,24 / - 0,22 
 X = (42,24 / 0,22) = 192 
X = 192 cm 
 
07. Resposta: B 
 A transformação logarítmica vai gerar novos valores, através dos seguintes cálculos: 
 
medida 1 = log 1 = 0 
medida 2 = log 10 = 1 
medida 3 = log 100 = 2 
medida 4 = log 1000 = 3 
medida 5 = log 10000 = 4 
medida 6 = log 100000 = 5 
logo os valores (1,10,100,1000,10000,100000) transformados em logaritmos reduziu o intervalo de 
valores para (0,1,2,3,4,5), ou seja, 0-5. 
 
08. Resposta: A. 
 
y = log (81) (1/27) 
 
y = -3log(81)(3) 
 
y = -3. 1/4 
 
y = -3/4 
 
x(-3/4) = 8 
 
Elevando os dois termos à quarta potência: 
 
x-3 = 84 
 
1/x3 = 84 
Agora raiz cubica dos dois termos: 
1/x = 8 4/3 
Como 3√8=2 
1/x = 24 
1/x = 16 
x = 1/16 
 
09. Resposta: C. 
De acordo com o enunciado: 
log n = 3 - log 2 
log n + log 2 = 3 . 1 
, onde 1 = log 10 
então: 
log (n .2) = 3 . log 10 
log(n.2) = log 10 3 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 92 
2n = 103 
2n = 1000 
n = 1000 / 2 
n = 500 
 
10 Resposta: B. 
Log 6 = Log (2. 3) 
De acordo com uma das propriedades: 
Log (A*B) = Log A + LogB 
Então, Log (2*3) = Log 2 + Log 3. 
Fatorando o número 28 temos que 
28=2x2x7 
Temos que: 
Log 28 = Log (2x2x7) 
ou seja, 
Log 28 = Log 2+Log 2+ Log 7 
Portanto: 
Log 2+ Log 3 + X = Log 2 + Log 2 +Log 7 
Cortando o Log 2 dos dois lados temos: 
Log 3 + X = Log 2 + Log 7 
Dados os valores da tabela, e substituindo-os, temos que: 
0,477 + X = 0,301+0,845 
X = 0,669 
 
RELAÇÃO ENTRE GRANDEZAS 
 
Grandeza é tudo aquilo que pode ser contado e medido. Do dicionário, tudo o que pode aumentar ou 
diminuir (medida de grandeza.). 
As grandezas proporcionais são aquelas que relacionadas a outras, sofrem variações. Elas podem ser 
diretamente ou inversamente proporcionais. 
 
Exemplos: 
1 - Uma picape para ir da cidade A para a cidade B gasta dois tanques e meio de óleo diesel. Se a 
distância entre a cidade A e a cidade B é de 500 km e neste percurso ele faz 100 km com 25 litros de 
óleo diesel, quantos litros de óleo diesel cabem no tanque da picape? 
A) 60 
B) 50 
C) 40 
D) 70 
E) 80 
 
Observe que há uma relação entre as grandezas distância (km) e óleo diesel (litros). Equacionando 
temos: 
100 km ------- 25 litros 
500 km ------- x litros 
 
Resolvendo: 
100
500
=
25
𝑥
 → 100. 𝑥 
= 500.25 
 
100x = 12500 → x = 12500/100 → x = 125 
 Este valor representa a quantidade em litros gasta para ir da cidade A à B. Como sabemos que ele 
gasta 2,5 tanques para completar esse percurso, vamos encontrar o valor que cabe em 1 tanque: 
2,5 tanques ------ 125 litros 
1 tanque ------- x litros 
2,5x = 1.125 → x = 125/2,5 → x = 50 litros. 
Logo 1 tanque dessa picape cabe 50 litros, a resposta correta está na alternativa B. 
 
Observe que: 
Se aumentarmos a Km aumentaremos 
também a quantidade de litros gastos. Logo 
as grandezas são diretamente proporcionais. 
 
 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 93 
2 – A tabela a seguir mostra a velocidade de um trem ao percorrer determinado percurso: 
 
Velocidade (km/h) 40 80 120 ... 
Tempo (horas) 6 3 2 ... 
 
Se sua velocidade aumentar para 240 km/h, em quantas horas ele fará o percurso? 
 
Podemos pegar qualquer velocidade para acharmos o novo tempo: 
40 km ------ 6 horas 
240 km ----- x horas 
 
 
 
40
240
=
𝑥
6
→ 240𝑥 = 40.6 → 240𝑥 = 240 → 𝑥 = 1 ∴ 𝐿𝑜𝑔𝑜 𝑜 𝑡𝑟𝑒𝑚 𝑓𝑎𝑟á 𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑐𝑢𝑟𝑠𝑜 𝑒𝑚 1 ℎ𝑜𝑟𝑎. 
 
Observe que invertemos os valores de uma das duas proporções (km ou tempo), neste exemplo 
optamos por inverter a grandeza tempo. 
 
- Grandezas diretamente proporcionais (GDP) 
 
São aquelas em que, uma delas variando, a outra varia na mesma razão da outra. Isto é, duas 
grandezas são diretamente proporcionais quando, dobrando uma delas, a outra também dobra; 
triplicando uma delas, a outra também triplica, divididas à terça parte a outra também é dividida à terça 
parte... E assim por diante. 
Matematicamente podemos escrever da seguinte forma: 
 
𝒂𝟏
𝒃𝟏
=
𝒂𝟐
𝒃𝟐
=
𝒂𝟑
𝒃𝟑
= ⋯ = 𝒌 
 
Onde a grandeza A = {a1, a2, a3...}, a grandeza B= {b1, b2, b3...} e os valores entre suas razões 
são iguais a k (constante de proporcionalidade). 
 
Exemplos: 
1 - Uma faculdade irá inaugurar um novo espaço para sua biblioteca, composto por três salões. Estima-
se que, nesse espaço, poderão ser armazenados até 120.000 livros, sendo 60.000 no salão maior, 15.000 
no menor e os demais no intermediário. Como a faculdade conta atualmente com apenas 44.000 livros, 
a bibliotecária decidiu colocar, em cada salão, uma quantidade de livros diretamente proporcional à 
respectiva capacidade máxima de armazenamento. Considerando a estimativa feita, a quantidade de 
livros que a bibliotecária colocará no salão intermediário é igual a 
A) 17.000. 
B) 17.500. 
C) 16.500. 
D) 18.500. 
E) 18.000. 
 
Como é diretamente proporcional, podemos analisar da seguinte forma: 
No salão maior, percebe-se que é a metade dos livros, no salão menor é 1/8 dos livros. 
Então, como tem 44.000 livros, o salão maior ficará com 22.000 e o salão menor com 5.500 livros. 
22000+5500=27500 
Salão intermediário:44.000-27.500=16.500 livros. 
Resposta C 
 
2 - Um mosaico foi construído com triângulos, quadrados e hexágonos. A quantidade de polígonos de 
cada tipo é proporcional ao número de lados do próprio polígono. Sabe-se que a quantidade total de 
Observe que: 
Se aumentarmos a velocidade, diminuímos de forma 
proporcional ao tempo. Logo as grandezas são inversamente 
proporcionais. 
 
 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 94 
polígonos do mosaico é 351. A quantidade de triângulos e quadrados somada supera a quantidade de 
hexágonos em 
A) 108. 
B) 27. 
C) 35. 
D) 162. 
E) 81. 
 
𝑡𝑟𝑖â𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝑠: 3𝑥 
𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜: 4𝑥 
ℎ𝑒𝑥á𝑔𝑜𝑛𝑜: 6𝑥 
 
3𝑥 + 4𝑥 + 6𝑥 = 351 
13𝑥 = 351 
𝑥 = 27 
3𝑥 + 4𝑥 = 3.27 + 4.27 = 81 + 108 = 189 
6𝑥 = 6.27 = 162 → 189-162= 27 
Resposta B 
 
 
 
- Grandezas inversamente proporcionais (GIP) 
 
São aquelas quando, variando uma delas, a outra varia na razão inversa da outra. Isto é, duas 
grandezas são inversamente proporcionais quando, dobrando uma delas, a outra se reduz pela metade; 
triplicando uma delas, a outra se reduz para à terça parte... E assim por diante. 
Matematicamente podemos escrever da seguinte forma: 
 
𝒂𝟏. 𝒃𝟏 = 𝒂𝟐. 𝒃𝟐 = 𝒂𝟑. 𝒃𝟑 = ⋯ = 𝒌 
 
Uma grandeza A = {a1, a2, a3...} Será inversamente a outra B= {b1, b2, b3...}, se e somente se, os 
produtos entre os valores de A e B são iguais. 
 
Exemplos: 
1 - Carlos dividirá R$ 8.400,00 de forma inversamente proporcional à idade de seus dois filhos: Marcos, 
de12 anos, e Fábio, de 9 anos. O valor que caberá a Fábio será de: 
A) R$ 3.600,00 
B) R$ 4.800,00 
C) R$ 7.000,00 
D) R$ 5.600,00 
 
Marcos: a 
Fábio: b 
a + b = 8400 
𝑎
1
12
+
𝑏
1
9
=
𝑎 + 𝑏
1
12 +
1
9
 
 
𝑏
1
9
=
8400
3
36 +
4
36
 
 
*Se uma grandeza aumenta e a outra também , elas são diretamente 
proporcionais. 
*Se uma grandeza diminui e a outra também , elas também são 
diretamente proporcionais. 
 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 95 
7
36
𝑏 =
8400
9
→ 𝑏 =
8400
9
7
36
→ 𝑏 =
8400
9
.
36
7
→ 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒: 
1200
1
.
4
1
= 4800 
 
Resposta B 
 
2 - Três técnicos judiciários arquivaram um total de 382 processos, em quantidades inversamente 
proporcionais as suas respectivas idades: 28, 32 e 36 anos. Nessas condições, é correto afirmar que o 
número de processos arquivados pelo mais velho foi: 
A) 112 
B) 126 
C) 144 
D) 152 
E) 164 
 
 
 
Somamos os inversos dos números, ou seja: 
1
28
 + 
1
32
 + 
1
36
. Dividindo-se os denominadores por 4, ficamos 
com: 
1
7
 + 
1
8
 + 
1
9
 = 
72+63+53
504
 = 
191
504
. 
Eliminando-se os denominadores, temos 191 que corresponde a uma soma. Dividindo-se a soma pela 
soma: 
382 / 191 = 2.56 = 112 
 
 
 
Referências 
IEZZI, Gelson – Fundamentos da Matemática – Vol. 11 – Financeira e Estatística Descritiva 
http://www.brasilescola.com 
http://www.dicio.com.br 
 
Questões 
 
01. (Câmara de São Paulo/SP – Técnico Administrativo – FCC) Na tabela abaixo, a sequência de 
números da coluna A é inversamente proporcional à sequência de números da coluna B. 
 
A letra X representa o número 
(A) 90. 
(B) 80. 
(C) 96. 
(D) 84. 
(E) 72. 
 
*Se uma grandeza aumenta e a outra diminui , elas são inversamente 
proporcionais. 
*Se uma grandeza diminui e a outra aumenta , elas também são 
inversamente proporcionais. 
 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 96 
02. (PRODAM/AM – Assistente – FUNCAB) Um pintor gastou duas horas para pintar um quadrado 
com 1,5 m de lado. Quanto tempo ele gastaria, se o mesmo quadrado tivesse 3 m de lado? 
(A) 4 h 
(B) 5 h 
(C) 6 h 
(D) 8 h 
(E) 10 h 
 
03. (Polícia Militar/SP – Aluno – Oficial – VUNESP) A tabela, com dados relativos à cidade de São 
Paulo, compara o número de veículos da frota, o número de radares e o valortotal, em reais, arrecadado 
com multas de trânsito, relativos aos anos de 2004 e 2013: 
 
Se o número de radares e o valor da arrecadação tivessem crescido de forma diretamente proporcional 
ao crescimento da frota de veículos no período considerado, então em 2013 a quantidade de radares e o 
valor aproximado da arrecadação, em milhões de reais (desconsiderando-se correções monetárias), 
seriam, respectivamente, 
(A) 336 e 424. 
(B) 336 e 426. 
(C) 334 e 428. 
(D) 334 e 430. 
(E) 330 e 432. 
 
04. (Instituto de Pesquisas Tecnológicas – Secretária – VUNESP) Um centro de imprensa foi 
decorado com bandeiras de países participantes da Copa do Mundo de 2014. Sabe-se que as medidas 
de comprimento e largura da bandeira brasileira são diretamente proporcionais a 10 e 7, enquanto que 
as respectivas medidas, na bandeira alemã, são diretamente proporcionais a 5 e 3. Se todas as bandeiras 
foram confeccionadas com 1,5 m de comprimento, então a diferença, em centímetros, entre as medidas 
da largura das bandeiras brasileira e alemã, nessa ordem, é igual a 
(A) 9. 
(B) 10. 
(C) 12. 
(D) 14. 
(E) 15. 
 
05. (PC/SP – OFICIAL ADMINISTRATIVO – VUNESP) Foram construídos dois reservatórios de água. 
A razão entre os volumes internos do primeiro e do segundo é de 2 para 5, e a soma desses volumes é 
14m³. Assim, o valor absoluto da diferença entre as capacidades desses dois reservatórios, em litros, é 
igual a 
(A) 8000. 
(B) 6000. 
(C) 4000. 
(D) 6500. 
(E) 9000. 
 
06. (Instituto de Pesquisas Tecnológicas – Secretária – VUNESP) Moradores de certo município 
foram ouvidos sobre um projeto para implantar faixas exclusivas para ônibus em uma avenida de tráfego 
intenso. A tabela, na qual alguns números foram substituídos por letras, mostra os resultados obtidos 
nesse levantamento. 
 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 97 
 
 
Se a razão entre o número de mulheres e o número de homens, ambos contrários à implantação da 
faixa exclusiva para ônibus é de 3/10, então o número total de pessoas ouvidas nesse levantamento, 
indicado por T na tabela, é 
(A) 1 140. 
(B) 1 200. 
(C) 1 280. 
(D) 1 300. 
(E) 1 320. 
 
07. (PRODEST/ES – Assistente de Tecnologia da Informação – VUNESP) O gráfico apresenta 
informações sobre a relação entre o número de mulheres e o número de homens atendidos em uma 
instituição, nos anos de 2012 e 2013. 
 
 
Mantendo-se a mesma relação de atendimentos observada em 2012 e 2013, essa instituição pretende 
atender, em 2014, 110 homens. Dessa forma, o número total de pessoas que essa instituição pretende 
atender em 2014 e o número médio anual de atendimentos a mulheres que se pretende atingir, 
considerando-se os anos de 2012, 2013 e 2014, são, respectivamente, 
(A) 160 e 113,3. 
(B) 160 e 170. 
(C) 180 e 120. 
(D) 275 e 115. 
(E) 275 e 172,2. 
 
08. (Câmara Municipal de Sorocaba/SP – Telefonista – VUNESP) O copeiro prepara suco de açaí 
com banana na seguinte proporção: para cada 500 g de açaí, ele gasta 2 litros de leite e 10 bananas. Na 
sua casa, mantendo a mesma proporção, com apenas 25 g de açaí, ele deve colocar leite e banana nas 
seguintes quantidades, respectivamente, 
(A) 80 ml e 1 
(B) 100 ml e 1 / 2 
(C) 120 ml e 1 / 2 
(D) 150 ml e 1 / 4 
(E) 200 ml e 1 
 
09. (METRÔ – Assistente Administrativo Júnior – FCC) Uma engrenagem circular P, de 20 dentes, 
está acoplada a uma engrenagem circular Q, de 18 dentes, formando um sistema de transmissão de 
movimento. Se a engrenagem P gira 1 / 5 de volta em sentido anti-horário, então a engrenagem Q irá 
girar 
(A) 2 / 9 de volta em sentido horário. 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 98 
(B) 9 / 50 de volta em sentido horário. 
(C) 6 / 25 de volta em sentido horário. 
(D) 1 / 4 de volta em sentido anti-horário. 
(E) 6 / 25 de volta em sentido anti-horário. 
 
10. (SEGPLAN-GO - Auxiliar de Autópsia - FUNIVERSA) A geladeira, para conservação de 
cadáveres, do necrotério de determinada cidade possui 12 gavetas de mesma medida. Para a limpeza 
de 7 dessas gavetas, o auxiliar de autópsia gasta 3,5 kg de sabão. Então, para a limpeza das 12 gavetas, 
ele gastará 
(A) 5 kg de sabão. 
(B) 6 kg de sabão. 
(C) 7 kg de sabão. 
(D) 8 kg de sabão. 
(E) 9 kg de sabão. 
 
Respostas 
 
01. Resposta: B. 
 
16
1
60
=
12
1
𝑋
 
 16 ∙ 60 = 12 ∙ 𝑋 
x=80 
 
02. Resposta: D. 
Como a medida do lado dobrou (1,5 . 2 = 3), o tempo também vai dobrar (2 . 2 = 4), mas, como se trata 
de área, o valor vai dobrar de novo (2 . 4 = 8h). 
 
03. Resposta: A. 
Chamando os radares de 2013 de ( x ), temos que: 
5,8
7,5
= 
260
𝑥
 
 
5,8 . x = 7,5 . 260 
x = 1950 / 5,8 
x = 336,2 (aproximado) 
Por fim, vamos calcular a arrecadação em 2013: 
 
5,8
7,5
= 
328
𝑥
 
 
5,8 . x = 7,5 . 328 
x = 2460 / 5,8 
x = 424,1 (aproximado) 
 
04. Resposta: E. 
1,5 m = 150 cm 
* Bandeira Brasileira: 
𝑪
𝑳
= 
𝟏𝟎
𝟕
, ou seja, 10.L = 7.C 
10.L = 7 . 150 
L = 1050 / 10 
L = 105 cm 
* Bandeira Alemã: 
𝑪′
𝑳′
= 
𝟓
𝟑
, ou seja, 5.L’ = 3.C’ 
5.L’ = 3 . 150 
L’ = 450 / 5 
L’ = 90 cm 
Então a diferença é: 105 – 90 = 15 cm 
 
05. Resposta: B. 
Primeiro:2k 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 99 
Segundo:5k 
2k+5k=14 
7k=14 
K=2 
Primeiro=2.2=4 
Segundo=5.2=10 
Diferença=10-4=6m³ 
1m³------1000L 
6--------x 
X=6000 l 
 
06. Resposta: B. 
𝒑
𝟔𝟎𝟎
= 
𝟑
𝟏𝟎
 
 
10.p = 3 . 600 
 
p = 1800 / 10 
p = 180 mulheres 
* Total de Mulheres: q = 300 + 180 = 480 
* Total Geral: T = 480 + 720 = 1200 pessoas 
 
07. Resposta: D. 
Primeiramente, vamos calcular a razão entre mulheres e homens (observe que os dados do gráfico se 
mantém na mesma proporção, logo são diretamente proporcionais): 
𝒎
𝒉
= 
𝟔𝟎
𝟒𝟎
 
 
* Número total em 2014: (h = 110) 
𝒎
𝟏𝟏𝟎
= 
𝟔𝟎
𝟒𝟎
 
 
40.m = 60 . 110 
m = 6600 / 40 
m = 165 mulheres (em 2014) 
Assim, 110 + 165 = 275 pessoas (em 2014). 
* Número médio anual de mulheres: 
 
𝑴 = 
𝟔𝟎+𝟏𝟐𝟎+𝟏𝟔𝟓
𝟑
= 
𝟑𝟒𝟓
𝟑
= 𝟏𝟏𝟓 𝒎𝒖𝒍𝒉𝒆𝒓𝒆𝒔 
 
08. Resposta: B. 
Sabendo que se mantém a proporção, temos grandezas diretamente proporcionais. Vamos utilizar a 
Regra de Três Simples Direta duas vezes: 
* Açaí e leite: 
açaí leite 
 500 --------- 2000 
 25 ------------ x 
 
 
𝟓𝟎𝟎
𝟐𝟓
=
𝟐𝟎𝟎𝟎
𝒙
 
 
𝟓𝟎𝟎. 𝒙 = 𝟐𝟓 . 𝟐𝟎𝟎𝟎 
𝒙 = 
𝟓𝟎𝟎𝟎𝟎
𝟓𝟎𝟎
 
 
 𝒙 = 𝟏𝟎𝟎 𝒎𝑳 𝒅𝒆 𝒍𝒆𝒊𝒕𝒆 
 
* Açaí e banana: 
açaí banana 
 500 --------- 10 
 25 ---------- y 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 100 
 
𝟓𝟎𝟎
𝟐𝟓
=
𝟏𝟎
𝒚
 
 
𝟓𝟎𝟎. 𝒚 = 𝟐𝟓 . 𝟏𝟎 
𝒙 = 
𝟐𝟓𝟎
𝟓𝟎𝟎
 
 
 𝒙 =
𝟏
𝟐
 𝒃𝒂𝒏𝒂𝒏𝒂 
 
09. Resposta: A. 
Observe que as grandezas são inversamente proporcionais (pois quanto mais dentes, menos voltas 
serão dadas). Vamos utilizar a Regra de Três Simples para resolução: 
Dentes Volta 
 20 ----------- 1 / 5 
 18 ----------- x 
 Invertendo uma das Grandezas, teremos: 
18 . x = 1/5 . 20 
x = 4 / 18 (: 2/2) 
x = 2 / 9 
Será no sentido horário porque a outra engrenagem está no sentido anti-horário. 
 
10. Resposta: B. 
Observa-se que se aumentarmos o número de gavetas iremos gastar mais sabão, logo as grandezas 
são diretamente proporcionais. 
Gavetas Sabão(kg) 
 12 x 
 7 3,5 
12
7
=
𝑥
3,5
→ 7𝑥 = 12.3,5 → 7𝑥 = 42 → 𝑥 =
42
7
→ 𝑥 = 6 𝑘𝑔 
 
Logo, será gasto 6kg de sabão para limpeza de 12 gavetas. 
Logo 
RAZÃO 
 
É o quociente entre dois números (quantidades, medidas, grandezas). 
Sendo a e b dois números a sua razão, chama-se razão de a para b: 
 
𝑎
𝑏
 𝑜𝑢 𝑎: 𝑏 , 𝑐𝑜𝑚 𝑏 ≠ 0 
 Onde: 
 
Exemplos: 
1 - Em um vestibular para o curso de marketing, participaram 3600 candidatos para 150 vagas. A razão 
entre o número de vagas e o número de candidatos, nessa ordem, foi de 
 
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑔𝑎𝑠
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑛𝑑𝑖𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠
=
1503600
=
1
24
 
 
Lemos a fração como: Um vinte e quatro avós. 
 
2 - Em um processo seletivo diferenciado, os candidatos obtiveram os seguintes resultados: 
− Alana resolveu 11 testes e acertou 5 
− Beatriz resolveu 14 testes e acertou 6 
− Cristiane resolveu 15 testes e acertou 7 
− Daniel resolveu 17 testes e acertou 8 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 101 
− Edson resolveu 21 testes e acertou 9 
O candidato contratado, de melhor desempenho, (razão de acertos para número de testes), foi: 
 𝐴𝑙𝑎𝑛𝑎:
5
11
= 0,45 
 
 𝐵𝑒𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧:
6
14
= 0,42 
 
 𝐶𝑟𝑖𝑠𝑡𝑖𝑎𝑛𝑒:
7
15
= 0,46 
 
 𝐷𝑎𝑛𝑖𝑒𝑙:
8
17
= 0,47 
 
 𝐸𝑑𝑠𝑜𝑛:
9
21
= 0,42 
Daniel teve o melhor desempenho. 
- Quando a e b forem medidas de uma mesma grandeza, essas devem ser expressas na mesma 
unidade. 
 
- Razões Especiais 
 
Escala → Muitas vezes precisamos ilustrar distâncias muito grandes de forma reduzida, então 
utilizamos a escala, que é a razão da medida no mapa com a medida real (ambas na mesma unidade). 
𝐸 =
𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑛𝑜 𝑚𝑎𝑝𝑎
𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎 𝑟𝑒𝑎𝑙
 
 
Velocidade média → É a razão entre a distância percorrida e o tempo total de percurso. As unidades 
utilizadas são km/h, m/s, entre outras. 
𝑉 =
𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑝𝑒𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑑𝑎
𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
 
 
Densidade → É a razão entre a massa de um corpo e o seu volume. As unidades utilizadas são g/cm³, 
kg/m³, entre outras. 
𝐷 =
𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜
𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑟𝑝𝑜
 
 
PROPORÇÃO 
 
É uma igualdade entre duas razões. 
 
Dada as razões 
𝑎
𝑏
 e 
𝑐
𝑑
 , à setença de igualdade 
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
 chama-se proporção. 
Onde: 
 
Exemplo: 
1 - O passageiro ao lado do motorista observa o painel do veículo e vai anotando, minuto a minuto, a 
distância percorrida. Sua anotação pode ser visualizada na tabela a seguir: 
 
Distância percorrida (em km) 2 4 6 8 ... 
Tempo gasto (em min) 1 2 3 4 ... 
 
Nota-se que a razão entre a distância percorrida e o tempo gasto para percorrê-la é sempre igual a 2: 
 
2
1
= 2 ; 
4
2
= 2 ; 
6
3
= 2 ; 
8
4
= 2 
Então: 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 102 
2
1
=
4
2
= 
6
3
=
8
4
 
 
Dizemos que os números da sucessão (2,4,6, 8, ...) são diretamente proporcionais aos números da 
sucessão (1,2,3,3, 4, ...). 
 
- Propriedades da Proporção 
1 - Propriedade Fundamental 
 
O produto dos meios é igual ao produto dos extremos, isto é, a. d = b. c 
 
Exemplo: 
Na proporção 
45
30
=
9
6
 ,(lê-se: “45 está para 30, assim como 9 está para 6.), aplicando a propriedade 
fundamental, temos: 45.6 = 30.9 = 270 
 
2 - A soma dos dois primeiros termos está para o primeiro (ou para o segundo termo), assim como a 
soma dos dois últimos está para o terceiro (ou para o quarto termo). 
 
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
 → 
𝑎 + 𝑏
𝑎
=
𝑐 + 𝑑
𝑐
 𝑜𝑢 
𝑎 + 𝑏
𝑏
=
𝑐 + 𝑑
𝑑
 
 
Exemplo: 
2
3
=
6
9
 → 
2 + 3
2
=
6 + 9
6
→
5
2
=
15
6
= 30 𝑜𝑢 
2 + 3
3
=
6 + 9
9
→
5
3
=
15
9
= 45 
 
3 - A diferença entre os dois primeiros termos está para o primeiro (ou para o segundo termo), assim 
como a diferença entre os dois últimos está para o terceiro (ou para o quarto termo). 
 
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
 → 
𝑎 − 𝑏
𝑎
=
𝑐 − 𝑑
𝑐
 𝑜𝑢 
𝑎 − 𝑏
𝑏
=
𝑐 − 𝑑
𝑑
 
 
Exemplo: 
2
3
=
6
9
 → 
2 − 3
2
=
6 − 9
6
→
−1
2
=
−3
6
= −6 𝑜𝑢 
2 − 3
3
=
6 − 9
9
→
−1
3
=
−3
9
= −9 
 
4 - A soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes, assim como cada antecedente está 
para o seu consequente. 
 
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
 → 
𝑎 + 𝑐
𝑏 + 𝑑
=
𝑎
𝑏
 𝑜𝑢 
𝑎 + 𝑐
𝑏 + 𝑑
=
𝑐
𝑑
 
 
Exemplo: 
2
3
=
6
9
 → 
2 + 6
3 + 9
=
2
3
 →
8
12
=
2
3
= 24 𝑜𝑢 
2 + 6
3 + 9
=
6
9
 →
8
12
=
6
9
= 72 
 
5 - A diferença dos antecedentes está para a diferença dos consequentes, assim como cada 
antecedente está para o seu consequente. 
 
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
 → 
𝑎 − 𝑐
𝑏 − 𝑑
=
𝑎
𝑏
 𝑜𝑢 
𝑎 − 𝑐
𝑏 − 𝑑
=
𝑐
𝑑
 
 
Exemplo: 
6
9
=
2
3
 → 
6 − 2
9 − 3
=
6
9
 →
4
6
=
6
9
= 36 𝑜𝑢 
6 − 2
9 − 3
=
2
3
 →
4
6
=
2
3
= 12 
 
- Problemas envolvendo razão e proporção 
 
1 - Em uma fundação, verificou-se que a razão entre o número de atendimentos a usuários internos e 
o número de atendimento total aos usuários (internos e externos), em um determinado dia, nessa ordem, 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 103 
foi de 3/5. Sabendo que o número de usuários externos atendidos foi 140, pode-se concluir que, no total, 
o número de usuários atendidos foi: 
A) 84 
B) 100 
C) 217 
D) 280 
E) 350 
 
Resolução: 
Usuários internos: I 
Usuários externos: E 
Sabemos que neste dia foram atendidos 140 externos → E = 140 
𝐼
𝐼+𝐸
=
3
5
=
𝐼
𝐼+140
 , usando o produto dos meios pelos extremos temos 
 
5I = 3(I + 140) → 5I = 3I + 420 → 5I – 3I = 420 → 2I = 420 → I = 420 / 2 → I = 210 
I + E = 210 + 140 = 350 
Resposta “E” 
 
2 – Em um concurso participaram 3000 pessoas e foram aprovadas 1800. A razão do número de 
candidatos aprovados para o total de candidatos participantes do concurso é: 
A) 2/3 
B) 3/5 
C) 5/10 
D) 2/7 
E) 6/7 
 
Resolução: 
 
 
Resposta “B” 
 
3 - Em um dia de muita chuva e trânsito caótico, 2/5 dos alunos de certa escola chegaram atrasados, 
sendo que 1/4 dos atrasados tiveram mais de 30 minutos de atraso. Sabendo que todos os demais alunos 
chegaram no horário, pode-se afirmar que nesse dia, nessa escola, a razão entre o número de alunos 
que chegaram com mais de 30 minutos de atraso e número de alunos que chegaram no horário, nessa 
ordem, foi de: 
A) 2:3 
B) 1:3 
C) 1:6 
D) 3:4 
E) 2:5 
 
Resolução: 
Se 2/5 chegaram atrasados 
1 −
2
5
=
3
5
𝑐ℎ𝑒𝑔𝑎𝑟𝑎𝑚 𝑛𝑜 ℎ𝑜𝑟á𝑟𝑖𝑜 
 
2
5
∙
1
4
=
1
10
 𝑡𝑖𝑣𝑒𝑟𝑎𝑚 𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑑𝑒 30 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑎𝑡𝑟𝑎𝑠𝑜 
 
𝑟𝑎𝑧ã𝑜 =
𝑡𝑖𝑣𝑒𝑟𝑎𝑚 𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑑𝑒 30min𝑑𝑒 𝑎𝑡𝑟𝑎𝑠𝑜
𝑐ℎ𝑒𝑔𝑎𝑟𝑎𝑚 𝑛𝑜 ℎ𝑜𝑟á𝑟𝑖𝑜
=
1
10
3
5
 
𝑟𝑎𝑧ã𝑜 =
1
10
∙
5
3
=
1
6
 𝑜𝑢 1: 6 
 
Resposta “C” 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 104 
Referências 
IEZZI, Gelson – Fundamentos da Matemática – Vol. 11 – Financeira e Estatística Descritiva 
IEZZI, Gelson – Matemática Volume Único 
http://educacao.globo.com 
 
Questões 
 
01. (Pref. Maranguape/CE – Prof. de educação básica – Matemática – GR Consultoria e 
Assessoria/2016) André, Bruno, Carlos e Diego são irmãos e suas idades formam, na ordem 
apresentada, uma proporção. Considere que André tem 3 anos, Diego tem 18 anos e Bruno é 3 anos 
mais novo que Carlos. Assim, a soma das idades, destes quatro irmãos, é igual a 
(A) 30 
(B) 32; 
(C) 34; 
(D) 36. 
 
02. (MPE/SP – Oficial de Promotoria – VUNESP/2016) Alfredo irá doar seus livros para três 
bibliotecas da universidade na qual estudou. Para a biblioteca de matemática, ele doará três quartos dos 
livros, para a biblioteca de física, um terço dos livros restantes, e para a biblioteca de química, 36 livros. 
O número de livros doados para a biblioteca de física será 
(A) 16. 
(B) 22. 
(C) 20. 
(D) 24. 
(E)18. 
 
03. (PC/SP – OFICIAL ADMINISTRATIVO – VUNESP) Foram construídos dois reservatórios de água. 
A razão entre os volumes internos do primeiro e do segundo é de 2 para 5, e a soma desses volumes é 
14m³. Assim, o valor absoluto da diferença entre as capacidades desses dois reservatórios, em litros, é 
igual a 
(A) 8000. 
(B) 6000. 
(C) 4000. 
(D) 6500. 
(E) 9000. 
 
04. (EBSERH/ HUPAA-UFAL - Técnico em Informática – IDECAN) Entre as denominadas razões 
especiais encontram-se assuntos como densidade demográfica, velocidade média, entre outros. Supondo 
que a distância entre Rio de Janeiro e São Paulo seja de 430 km e que um ônibus, fretado para uma 
excursão, tenha feito este percurso em 5 horas e 30 minutos. Qual foi a velocidade média do ônibus 
durante este trajeto, aproximadamente, em km/h? 
(A) 71km/h 
(B) 76 km/h 
(C) 78 km/h 
(D) 81 km/h 
(E) 86 km/h. 
 
05. (SEPLAN/GO – Perito Criminal – FUNIVERSA) Em uma ação policial, foram apreendidos 1 
traficante e 150 kg de um produto parecido com maconha. Na análise laboratorial, o perito constatou que 
o produto apreendido não era maconha pura, isto é, era uma mistura da Cannabis sativa com outras 
ervas. Interrogado, o traficante revelou que, na produção de 5 kg desse produto, ele usava apenas 2 kg 
da Cannabis sativa; o restante era composto por várias “outras ervas”. Nesse caso, é correto afirmar que, 
para fabricar todo o produto apreendido, o traficante usou 
(A) 50 kg de Cannabis sativa e 100 kg de outras ervas. 
(B) 55 kg de Cannabis sativa e 95 kg de outras ervas. 
(C) 60 kg de Cannabis sativa e 90 kg de outras ervas. 
(D) 65 kg de Cannabis sativa e 85 kg de outras ervas. 
(E) 70 kg de Cannabis sativa e 80 kg de outras ervas. 
 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 105 
06. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) Uma gráfica produz blocos de papel em dois 
tamanhos diferentes: médios ou pequenos e, para transportá-los utiliza caixas que comportam 
exatamente 80 blocos médios. Sabendo que 2 blocos médios ocupam exatamente o mesmo espaço que 
5 blocos pequenos, então, se em uma caixa dessas forem colocados 50 blocos médios, o número de 
blocos pequenos que poderão ser colocados no espaço disponível na caixa será: 
(A) 60. 
(B) 70. 
(C) 75. 
(D) 80. 
(E) 85. 
 
07. (Pref. Maranguape/CE – Prof. de educação básica – Matemática – GR Consultoria e 
Assessoria/2016) Eu tenho duas réguas, uma que ao quebrar ficou com 24 cm de comprimento e a outra 
tem 30 cm, portanto, a régua menor é quantos por cento da régua maior? 
(A) 90% 
(B) 75% 
(C) 80% 
(D) 85% 
 
08. (SAAE/SP – Auxiliar de Manutenção Geral – VUNESP) Uma cidade A, com 120 km de vias, 
apresentava, pela manhã, 51 km de vias congestionadas. O número de quilômetros de vias 
congestionadas numa cidade B, que tem 280 km de vias e mantém a mesma proporção que na cidade A, 
é 
(A) 119 km. 
(B) 121 km. 
(C) 123 km. 
(D) 125 km. 
(E) 127 km. 
 
09. (FINEP – Assistente – Apoio administrativo – CESGRANRIO) Maria tinha 450 ml de tinta 
vermelha e 750 ml de tinta branca. Para fazer tinta rosa, ela misturou certa quantidade de tinta branca 
com os 450 ml de tinta vermelha na proporção de duas partes de tinta vermelha para três partes de tinta 
branca. 
Feita a mistura, quantos ml de tinta branca sobraram? 
(A) 75 
(B) 125 
(C) 175 
(D) 375 
(E) 675 
 
10. (MP/SP – Auxiliar de Promotoria I – Administrativo – VUNESP) A medida do comprimento de 
um salão retangular está para a medida de sua largura assim como 4 está para 3. No piso desse salão, 
foram colocados somente ladrilhos quadrados inteiros, revestindo-o totalmente. Se cada fileira de 
ladrilhos, no sentido do comprimento do piso, recebeu 28 ladrilhos, então o número mínimo de ladrilhos 
necessários para revestir totalmente esse piso foi igual a 
(A) 588. 
(B) 350. 
(C) 454. 
(D) 476. 
(E) 382. 
 
Respostas 
 
01. Resposta: D. 
Pelo enunciado temos que: 
A = 3 
B = C – 3 
C 
D = 18 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 106 
Como eles são proporcionais podemos dizer que: 
𝐴
𝐵
=
𝐶
𝐷
→
3
𝐶 − 3
=
𝐶
18
→ 𝐶2 − 3𝐶 = 3.18 → 𝐶2 − 3𝐶 − 54 = 0 
 
Vamos resolver a equação do 2º grau: 
 
𝑥 =
−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
→
−(−3) ± √(−3)2 − 4.1. (−54)
2.1
→
3 ± √225
2
→
3 ± 15
2
 
 
𝑥1 =
3 + 15
2
=
18
2
= 9 ∴ 𝑥2 =
3 − 15
2
=
−12
2
= −6 
 
Como não existe idade negativa, então vamos considerar somente o 9. Logo C = 9 
B = C – 3 = 9 – 3 = 6 
Somando teremos: 3 + 6 + 9 + 18 = 36 
 
02. Resposta: E. 
X = total de livros 
Matemática = ¾ x, restou ¼ de x 
Física = 1/3.1/4 = 1/12 
Química = 36 livros 
 
Logo o número de livros é: 3/4x + 1/12x + 36 = x 
Fazendo o m.m.c. dos denominadores (4,12) = 12 
Logo: 
9𝑥 + 1𝑥 + 432 = 12𝑥
12
→ 10𝑥 + 432 = 12𝑥 → 12𝑥 − 10𝑥 = 432 → 2𝑥 = 432 → 𝑥 =
432
2
→ 𝑥 = 216 
 
Como a Biblioteca de Física ficou com 1/12x, logo teremos: 
1
12
. 216 =
216
12
= 18 
 
03. Resposta: B. 
Primeiro:2k 
Segundo:5k 
2k + 5k = 14 → 7k = 14 → k = 2 
Primeiro: 2.2 = 4 
Segundo5.2=10 
Diferença: 10 – 4 = 6 m³ 
1m³------1000L 
6--------x 
x = 6000 l 
 
04. Resposta: C. 
5h30 = 5,5h, transformando tudo em hora e suas frações. 
430
5,5
= 78,18 𝑘𝑚/ℎ 
 
05. Resposta: C. 
 O enunciado fornece que a cada 5kg do produto temos que 2kg da Cannabis sativa e os demais outras 
ervas. Podemos escrever em forma de razão 
2
5
, logo: 
2
5
. 150 = 60𝑘𝑔 𝑑𝑒 𝐶𝑎𝑛𝑛𝑎𝑏𝑖𝑠 𝑠𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 ∴ 150 − 60 = 90𝑘𝑔 𝑑𝑒 𝑜𝑢𝑡𝑟𝑎𝑠 𝑒𝑟𝑣𝑎𝑠 
 
06. Resposta: C. 
Chamemos de (m) a quantidade de blocos médios e de (p) a quantidade de blocos pequenos. 
𝑚
𝑝
= 
2
5
 , ou seja, 2p = 5m 
 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 107 
- 80 blocos médios correspondem a: 
2p = 5.80 → p = 400 / 2 → p = 200 blocos pequenos 
- Já há 50 blocos médios: 80 – 50 = 30 blocos médios (ainda cabem). 
2p = 5.30 → p = 150 / 2 → p = 75 blocos pequenos 
 
07. Resposta: C. 
Como é a razão do menor pelo maior temos: 24/30 = 0,80. 100% = 80% 
 
08. Resposta: A. 
51
120
= 
𝑥
280
 
 
120.x = 51. 280 → x = 14280 / 120 → x = 119 km 
 
09. Resposta: A. 
2
3
= 
450
𝑥
 
 
2x = 450. 3 → x = 1350 / 2 → x = 675 ml de tinta branca 
Sobraram: 750 ml – 675 ml = 75 ml 
 
10. Resposta: A. 
𝐶
𝐿
= 
4
3
 , que fica 4L = 3C 
 
Fazendo C = 28 e substituindo na proporção, temos: 
 
28
𝐿
= 
4
3
 
 
4L = 28. 3 → L = 84 / 4 → L = 21 ladrilhos 
Assim, o total de ladrilhos foi de 28. 21 = 588 
 
REGRA DE TRÊS SIMPLES 
 
Os problemas que envolvem duas grandezas diretamente ou inversamente proporcionais podem ser 
resolvidos através de um processo prático, chamado regra de três simples. 
Vejamos a tabela abaixo: 
 
 
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. 108 
Exemplos: 
1) Um carro faz 180 km com 15L de álcool. Quantos litros de álcool esse carro gastaria para percorrer 
210 km? 
O problema envolve duas grandezas: distância e litros de álcool. 
Indiquemos por x o número de litros de álcool a ser consumido. 
Coloquemos as grandezas de mesma espécie em uma mesma coluna e as grandezas de espécies 
diferentes que se correspondem em uma mesma linha: 
 
 
Na coluna em que aparece a variável x (“litros de álcool”), vamos colocar uma flecha: 
 
 
Observe que, se duplicarmos a distância, o consumo de álcool também duplica. Então, as grandezas 
distância e litros de álcool são diretamente proporcionais. No esquema que estamos montando, 
indicamos esse fato colocando uma flecha na coluna “distância” no mesmo sentido da flecha da coluna 
“litros de álcool”: 
 
 
Armando a proporção pela orientação das flechas, temos: 
 
180
210
=
15
𝑥
→ 𝑐𝑜𝑚𝑜 180 𝑒 210 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑚 𝑠𝑒𝑟 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 30, 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠: 
180: 30
210: 30
=
15
𝑥
 
 
1806
2107
=
15
𝑥
→ 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑐𝑟𝑢𝑧𝑎𝑑𝑜(𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑡𝑜 𝑑𝑜 𝑚𝑒𝑖𝑜 𝑝𝑒𝑙𝑜𝑠 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠) → 6𝑥 = 7.15 
6𝑥 = 105 → 𝑥 =
105
6
= 𝟏𝟕, 𝟓 
 
Resposta: O carro gastaria 17,5 L de álcool. 
 
2) Viajando de automóvel, à velocidade de 50 km/h, eu gastaria 7 h para fazer certo percurso. 
Aumentando a velocidade para 80 km/h, em quanto tempo farei esse percurso? 
 
Indicando por x o número de horas e colocando as grandezas de mesma espécie em uma mesma 
coluna e as grandezas de espécies diferentes que se correspondem em uma mesma linha, temos: 
 
 
Na coluna em que aparece a variável x (“tempo”), vamos colocar uma flecha: 
 
 
Observe que, se duplicarmos a velocidade, o tempo fica reduzido à metade. Isso significa que as 
grandezas velocidade e tempo são inversamente proporcionais. No nosso esquema, esse fato é 
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. 109 
indicado colocando-se na coluna “velocidade” uma flechaem sentido contrário ao da flecha da coluna 
“tempo”: 
 
Na montagem da proporção devemos seguir o sentido das flechas. Assim, temos: 
7
𝑥
=
80
50
, 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑠𝑡𝑒 𝑙𝑎𝑑𝑜 →
7
𝑥
=
808
505
→ 7.5 = 8. 𝑥 → 𝑥 =
35
8
→ 𝑥 = 4,375 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 
 
Como 0,375 corresponde 22 minutos (0,375 x 60 minutos), então o percurso será feito em 4 horas e 
22 minutos aproximadamente. 
 
3) Ao participar de um treino de fórmula Indy, um competidor, imprimindo a velocidade média de 180 
km/h, faz o percurso em 20 segundos. Se a sua velocidade fosse de 300 km/h, que tempo teria gasto no 
percurso? 
 
Vamos representar pela letra x o tempo procurado. 
Estamos relacionando dois valores da grandeza velocidade (180 km/h e 300 km/h) com dois valores 
da grandeza tempo (20 s e x s). 
Queremos determinar um desses valores, conhecidos os outros três. 
 
 
Se duplicarmos a velocidade inicial do carro, o tempo gasto para fazer o percurso cairá para a metade; 
logo, as grandezas são inversamente proporcionais. Assim, os números 180 e 300 são inversamente 
proporcionais aos números 20 e x. 
Daí temos: 
180.20 = 300. 𝑥 → 300𝑥 = 3600 → 𝑥 =
3600
300
→ 𝑥 = 12 
 
Conclui-se, então, que se o competidor tivesse andando em 300 km/h, teria gasto 12 segundos para 
realizar o percurso. 
 
Questões 
 
01. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) Em 3 de maio de 2014, o jornal Folha de S. Paulo 
publicou a seguinte informação sobre o número de casos de dengue na cidade de Campinas. 
 
 
 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 110 
De acordo com essas informações, o número de casos registrados na cidade de Campinas, até 28 de 
abril de 2014, teve um aumento em relação ao número de casos registrados em 2007, aproximadamente, 
de 
(A) 70%. 
(B) 65%. 
(C) 60%. 
(D) 55%. 
(E) 50%. 
 
02. (FUNDUNESP – Assistente Administrativo – VUNESP) Um título foi pago com 10% de desconto 
sobre o valor total. Sabendo-se que o valor pago foi de R$ 315,00, é correto afirmar que o valor total 
desse título era de 
(A) R$ 345,00. 
(B) R$ 346,50. 
(C) R$ 350,00. 
(D) R$ 358,50. 
(E) R$ 360,00. 
 
03. (PREF. IMARUÍ – AGENTE EDUCADOR – PREF. IMARUÍ) Manoel vendeu seu carro por 
R$27.000,00(vinte e sete mil reais) e teve um prejuízo de 10%(dez por cento) sobre o valor de custo do 
tal veículo, por quanto Manoel adquiriu o carro em questão? 
(A) R$24.300,00 
(B) R$29.700,00 
(C) R$30.000,00 
(D)R$33.000,00 
(E) R$36.000,00 
 
04. (Pref. Guarujá/SP – SEDUC – Professor de Matemática – CAIPIMES) Em um mapa, cuja escala 
era 1:15.104, a menor distância entre dois pontos A e B, medida com a régua, era de 12 centímetros. Isso 
significa que essa distância, em termos reais, é de aproximadamente: 
(A) 180 quilômetros. 
(B) 1.800 metros. 
(C) 18 quilômetros. 
(D) 180 metros. 
 
05. (CEFET – Auxiliar em Administração – CESGRANRIO) A Bahia (...) é o maior produtor de cobre 
do Brasil. Por ano, saem do estado 280 mil toneladas, das quais 80 mil são exportadas. 
O Globo, Rio de Janeiro: ed. Globo, 12 mar. 2014, p. 24. 
 
Da quantidade total de cobre que sai anualmente do Estado da Bahia, são exportados, 
aproximadamente, 
(A) 29% 
(B) 36% 
(C) 40% 
(D) 56% 
(E) 80% 
 
06. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) Um comerciante comprou uma caixa com 90 balas 
e irá vender cada uma delas por R$ 0,45. Sabendo que esse comerciante retirou 9 balas dessa caixa 
para consumo próprio, então, para receber o mesmo valor que teria com a venda das 90 balas, ele terá 
que vender cada bala restante na caixa por: 
(A) R$ 0,50. 
(B) R$ 0,55. 
(C) R$ 0,60. 
(D) R$ 0,65. 
(E) R$ 0,70. 
 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 111 
07. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) Em 25 de maio de 2014, o jornal Folha de S. Paulo 
publicou a seguinte informação sobre a capacidade de retirada de água dos sistemas de abastecimento, 
em metros cúbicos por segundo (m3/s): 
 
 
 
De acordo com essas informações, o número de segundos necessários para que o sistema Rio Grande 
retire a mesma quantidade de água que o sistema Cantareira retira em um segundo é: 
(A) 5,4. 
(B) 5,8. 
(C) 6,3. 
(D) 6,6. 
(E) 6,9. 
 
08. (FUNDUNESP – Auxiliar Administrativo – VUNESP) Certo material para laboratório foi adquirido 
com desconto de 10% sobre o preço normal de venda. Sabendo-se que o valor pago nesse material foi 
R$ 1.170,00, é possível afirmar corretamente que seu preço normal de venda é 
(A) R$ 1.285,00. 
(B) R$ 1.300,00. 
(C) R$ 1.315,00. 
(D) R$ 1.387,00. 
(E) R$ 1.400,00. 
 
09. (PC/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) A mais antiga das funções do Instituto Médico Legal 
(IML) é a necropsia. Num determinado período, do total de atendimentos do IML, 30% foram necropsias. 
Do restante dos atendimentos, todos feitos a indivíduos vivos, 14% procediam de acidentes no trânsito, 
correspondendo a 588. Pode-se concluir que o total de necropsias feitas pelo IML, nesse período, foi 
(A) 2500. 
(B) 1600. 
(C) 2200. 
(D) 3200. 
(E) 1800. 
 
10. (SAAE/SP – Auxiliar de Manutenção Geral – VUNESP) A expectativa de vida do Sr. Joel é de 
75 anos e, neste ano, ele completa 60 anos. Segundo esta expectativa, pode-se afirmar que a fração de 
vida que ele já viveu é 
(A) 
4
7
 
 
(B) 
5
6
 
 
(C) 
4
5
 
 
(D) 
3
4
 
 
(E) 
2
3
 
 
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. 112 
11. (SAAE/SP – Auxiliar de Manutenção Geral – VUNESP) Foram digitados 10 livros de 200 páginas 
cada um e armazenados em 0,0001 da capacidade de um microcomputador. Utilizando-se a capacidade 
total desse microcomputador, o número de livros com 200 páginas que é possível armazenar é 
(A) 100. 
(B) 1000. 
(C) 10000. 
(D) 100000. 
(E) 1000000. 
 
12. (IF/GO – Assistente de Alunos – UFG) Leia o fragmento a seguir 
 
A produção brasileira de arroz projetada para 2023 é de 13,32 milhões de toneladas, correspondendo 
a um aumento de 11% em relação à produção de 2013. 
Disponível em: <http://www.agricultura.gov.br/arq_editor/projecoes-ver saoatualizada.pdf>. Acesso em: 24 fev. 2014. (Adaptado). 
 
De acordo com as informações, em 2023, a produção de arroz excederá a produção de 2013, em 
milhões de toneladas, em: 
(A) 1,46 
(B) 1,37 
(C) 1,32 
(D) 1,22 
 
13. (PRODAM/AM – Auxiliar de Motorista – FUNCAB) Numa transportadora, 15 caminhões de 
mesma capacidade transportam toda a carga de um galpão em quatro horas. Se três deles quebrassem, 
em quanto tempo os outros caminhões fariam o mesmo trabalho? 
(A) 3 h 12 min 
(B) 5 h 
(C) 5 h 30 min 
(D) 6 h 
(E) 6 h 15 min 
 
14. (Câmara de São Paulo/SP – Técnico Administrativo – FCC) Uma receita para fazer 35 bolachas 
utiliza 225 gramas de açúcar. Mantendo-se as mesmas proporções da receita, a quantidade de açúcar 
necessária para fazer 224 bolachas é 
(A) 14,4 quilogramas. 
(B) 1,8 quilogramas. 
(C) 1,44 quilogramas. 
(D) 1,88 quilogramas. 
(E) 0,9 quilogramas. 
 
15. (METRÔ/SP – Usinador Ferramenteiro – FCC) Laerte comprou 18 litros de tinta látex que, de 
acordo com as instruções na lata, rende 200m² com uma demão de tinta. Se Laerte seguir corretamente 
as instruções da lata, e sem desperdício, depois de pintar 60 m² de parede com duas demãos de tinta 
látex, sobrarão na lata de tinta comprada por ele 
(A) 6,8L. 
(B) 6,6L. 
(C) 10,8L. 
(D) 7,8L. 
(E) 7,2L. 
 
Respostas 
 
01. Resposta: E. 
Utilizaremos uma regra de três simples: 
 ano % 
 11442 ------- 100 
 17136 ------- x 
11442.x = 17136. 100 x = 1713600 / 11442 = 149,8% (aproximado) 
149,8% – 100% = 49,8% 
Aproximando o valor, teremos 50% 
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. 113 
02. Resposta: C. 
Se R$ 315,00 já está com o desconto de 10%, então R$ 315,00 equivale a 90% (100% - 10%). 
Utilizaremos uma regra de três simples: 
 $ % 
 315 ------- 90 
 x ------- 100 
 
90.x = 315. 100 x = 31500 / 90 = R$ 350,00 
 
03. Resposta: C. 
Comoele teve um prejuízo de 10%, quer dizer 27000 é 90% do valor total. 
Valor % 
27000 ------ 90 
 X ------- 100 
 
27000
𝑥
 = 
909
10010
 → 
27000
𝑥
 = 
9
10
 → 9.x = 27000.10 → 9x = 270000 → x = 30000. 
 
04. Resposta: C. 
1: 15.104 equivale a 1:150000, ou seja, para cada 1 cm do mapa, teremos 150.000 cm no tamanho 
real. Assim, faremos uma regra de três simples: 
mapa real 
 1 --------- 150000 
 12 --------- x 
1.x = 12. 150000 x = 1.800.000 cm = 18 km 
 
05. Resposta: A. 
Faremos uma regra de três simples: 
cobre % 
280 --------- 100 
80 ---------- x 
280.x = 80. 100 x = 8000 / 280 x = 28,57% 
 
06. Resposta: A. 
Vamos utilizar uma regra de três simples: 
Balas $ 
 1 ----------- 0,45 
 90 ---------- x 
1.x = 0,45. 90 
x = R$ 40,50 (total) 
* 90 – 9 = 81 balas 
Novamente, vamos utilizar uma regra de três simples: 
Balas $ 
81 ----------- 40,50 
1 ------------ y 
81.y = 1 . 40,50 
y = 40,50 / 81 
y = R$ 0,50 (cada bala) 
 
07. Resposta: D. 
Utilizaremos uma regra de três simples INVERSA: 
m3 seg 
33 ------- 1 
5 ------- x 
5.x = 33 . 1 x = 33 / 5 = 6,6 seg 
 
08. Resposta: B. 
Utilizaremos uma regra de três simples: 
 $ % 
1170 ------- 90 
 x ------- 100 
90.x = 1170 . 100 x = 117000 / 90 = R$ 1.300,00 
 
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. 114 
09. Resposta: E. 
O restante de atendimento é de 100% – 30% = 70% (restante) 
Utilizaremos uma regra de três simples: 
Restante: 
 atendimentos % 
 588 ------------ 14 
 x ------------ 100 
14.x = 588 . 100 x = 58800 / 14 = 4200 atendimentos (restante) 
Total: 
atendimentos % 
 4200 ------------ 70 
 x ------------ 30 
70.x = 4200 . 30 x = 126000 / 70 = 1800 atendimentos 
 
10. Resposta: C. 
Considerando 75 anos o inteiro (1), utilizaremos uma regra de três simples: 
 idade fração 
 75 ------------ 1 
 60 ------------ x 
75.x = 60 . 1 x = 60 / 75 = 4 / 5 (simplificando por 15) 
 
11. Resposta: D. 
Neste caso, a capacidade total é representada por 1 (inteiro). 
Assim, utilizaremos uma regra de três simples: 
 livros capacidade 
 10 ------------ 0,0001 
 x ------------ 1 
0,0001.x = 10 . 1 x = 10 / 0,0001 = 100.000 livros 
 
12. Resposta: C. 
Toneladas % 
13,32 ----------- 111 
 x ------------- 11 
111 . x = 13,32 . 11 
x = 146,52 / 111 
x = 1,32 
 
13. Resposta: B. 
Vamos utilizar uma Regra de Três Simples Inversa, pois, quanto menos caminhões tivermos, mais 
horas demorará para transportar a carga: 
caminhões horas 
 15 ---------------- 4 
 (15 – 3) ------------- x 
12.x = 4 . 15 → x = 60 / 12 → x = 5 h 
 
14. Resposta: C. 
Bolachas açúcar 
 35----------------225 
 224----------------x 
 𝑥 =
224.225
35
= 1440 𝑔𝑟𝑎𝑚𝑎𝑠 = 1,44 𝑞𝑢𝑖𝑙𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚𝑎𝑠 
 
15. Resposta: E. 
18L----200m² 
x-------120 
x=10,8L 
Ou seja, pra 120m² (duas demãos de 60 m²) ele vai gastar 10,8 l, então sobraram: 
18-10,8=7,2L 
 
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. 115 
REGRA DE TRÊS COMPOSTA 
 
O processo usado para resolver problemas que envolvem mais de duas grandezas, diretamente ou 
inversamente proporcionais, é chamado regra de três composta. 
 
Exemplos: 
 1) Em 4 dias 8 máquinas produziram 160 peças. Em quanto tempo 6 máquinas iguais às primeiras 
produziriam 300 dessas peças? 
Indiquemos o número de dias por x. Coloquemos as grandezas de mesma espécie em uma só coluna 
e as grandezas de espécies diferentes que se correspondem em uma mesma linha. Na coluna em que 
aparece a variável x (“dias”), coloquemos uma flecha: 
 
Iremos comparar cada grandeza com aquela em que está o x. 
 
As grandezas peças e dias são diretamente proporcionais. No nosso esquema isso será indicado 
colocando-se na coluna “peças” uma flecha no mesmo sentido da flecha da coluna “dias”: 
 
 
As grandezas máquinas e dias são inversamente proporcionais (duplicando o número de máquinas, 
o número de dias fica reduzido à metade). No nosso esquema isso será indicado colocando-se na coluna 
(máquinas) uma flecha no sentido contrário ao da flecha da coluna “dias”: 
 
 
Agora vamos montar a proporção, igualando a razão que contém o x, que é 
x
4
, com o produto das 
outras razões, obtidas segundo a orientação das flechas 





300
160
.
8
6
: 
 
Simplificando as proporções obtemos: 
 
4
𝑥
=
2
5
→ 2𝑥 = 4.5 → 𝑥 =
4.5
2
→ 𝑥 = 10 
 
Resposta: Em 10 dias. 
 
2) Uma empreiteira contratou 210 pessoas para pavimentar uma estrada de 300 km em 1 ano. Após 4 
meses de serviço, apenas 75 km estavam pavimentados. Quantos empregados ainda devem ser 
contratados para que a obra seja concluída no tempo previsto? 
 
Iremos comparar cada grandeza com aquela em que está o x. 
 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 116 
As grandezas “pessoas” e “tempo” são inversamente proporcionais (duplicando o número de 
pessoas, o tempo fica reduzido à metade). No nosso esquema isso será indicado colocando-se na coluna 
“tempo” uma flecha no sentido contrário ao da flecha da coluna “pessoas”: 
 
 
As grandezas “pessoas” e “estrada” são diretamente proporcionais. No nosso esquema isso será 
indicado colocando-se na coluna “estrada” uma flecha no mesmo sentido da flecha da coluna “pessoas”: 
 
 
 
Como já haviam 210 pessoas trabalhando, logo 315 – 210 = 105 pessoas. 
Reposta: Devem ser contratados 105 pessoas. 
 
Referências 
MARIANO, Fabrício – Matemática Financeira para Concursos – 3ª Edição – Rio de Janeiro: Elsevier. 
 
Questões 
 
01. (CÂMARA DE SÃO PAULO/SP – TÉCNICO ADMINISTRATIVO – FCC) O trabalho de varrição de 
6.000 m² de calçada é feita em um dia de trabalho por 18 varredores trabalhando 5 horas por dia. 
Mantendo-se as mesmas proporções, 15 varredores varrerão 7.500 m² de calçadas, em um dia, 
trabalhando por dia, o tempo de 
(A) 8 horas e 15 minutos. 
(B) 9 horas. 
(C) 7 horas e 45 minutos. 
(D) 7 horas e 30 minutos. 
(E) 5 horas e 30 minutos. 
 
02. (PREF. CORBÉLIA/PR – CONTADOR – FAUEL) Uma equipe constituída por 20 operários, 
trabalhando 8 horas por dia durante 60 dias, realiza o calçamento de uma área igual a 4800 m². Se essa 
equipe fosse constituída por 15 operários, trabalhando 10 horas por dia, durante 80 dias, faria o 
calçamento de uma área igual a: 
(A) 4500 m² 
(B) 5000 m² 
(C) 5200 m² 
(D) 6000 m² 
(E) 6200 m² 
 
03. (PC/SP – OFICIAL ADMINISTRATIVO – VUNESP) Dez funcionários de uma repartição trabalham 
8 horas por dia, durante 27 dias, para atender certo número de pessoas. Se um funcionário doente foi 
afastado por tempo indeterminado e outro se aposentou, o total de dias que os funcionários restantes 
levarão para atender o mesmo número de pessoas, trabalhando uma hora a mais por dia, no mesmo 
ritmo de trabalho, será: 
(A) 29. 
(B) 30. 
(C) 33. 
(D) 28. 
(E) 31. 
 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 117 
04. (TRF 3ª – TÉCNICO JUDICIÁRIO – FCC) Sabe-se que uma máquina copiadora imprime 80 cópias 
em 1 minuto e 15 segundos. O tempo necessário para que 7 máquinas copiadoras, de mesma capacidade 
que a primeira citada, possam imprimir 3360 cópias é de 
(A) 15 minutos. 
(B) 3 minutos e 45 segundos. 
(C) 7 minutos e 30 segundos. 
(D) 4 minutos e 50 segundos. 
(E) 7 minutos. 
 
05. (METRÔ/SP – Analista Desenvolvimento Gestão Júnior – Administração de Empresas – FCC) 
Para inaugurar no prazo a estação XYZ do Metrô, o prefeito da cidade obteve a informação de que os 
128 operários, de mesma capacidade produtiva, contratados para os trabalhos finais, trabalhando 6 horas 
por dia, terminariam a obra em 42 dias. Como a obra tem que ser terminada em 24 dias, o prefeito 
autorizou a contratação de mais operários,e que todos os operários (já contratados e novas contratações) 
trabalhassem 8 horas por dia. O número de operários contratados, além dos 128 que já estavam 
trabalhando, para que a obra seja concluída em 24 dias, foi igual a 
(A) 40. 
(B) 16. 
(C) 80. 
(D) 20. 
(E) 32. 
 
06. (PRODAM/AM – Assistente – FUNCAB) Para digitalizar 1.000 fichas de cadastro, 16 assistentes 
trabalharam durante dez dias, seis horas por dia. Dez assistentes, para digitalizar 2.000 fichas do mesmo 
modelo de cadastro, trabalhando oito horas por dia, executarão a tarefa em quantos dias? 
(A) 14 
(B) 16 
(C) 18 
(D) 20 
(E) 24 
 
07. (CEFET – Auxiliar em Administração – CESGRANRIO) No Brasil, uma família de 4 pessoas 
produz, em média, 13 kg de lixo em 5 dias. Mantida a mesma proporção, em quantos dias uma família de 
5 pessoas produzirá 65 kg de lixo? 
(A) 10 
(B) 16 
(C) 20 
(D) 32 
(E) 40 
 
08. (UFPE - Assistente em Administração – COVEST) Na safra passada, um fazendeiro usou 15 
trabalhadores para cortar sua plantação de cana de 210 hectares. Trabalhando 7 horas por dia, os 
trabalhadores concluíram o trabalho em 6 dias exatos. Este ano, o fazendeiro plantou 480 hectares de 
cana e dispõe de 20 trabalhadores dispostos a trabalhar 6 horas por dia. Em quantos dias o trabalho 
ficará concluído? 
Obs.: Admita que todos os trabalhadores tenham a mesma capacidade de trabalho. 
(A) 10 dias 
(B) 11 dias 
(C) 12 dias 
(D) 13 dias 
(E) 14 dias 
 
09. (PC/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) Dez funcionários de uma repartição trabalham 8 
horas por dia, durante 27 dias, para atender certo número de pessoas. 
Se um funcionário doente foi afastado por tempo indeterminado e outro se aposentou, o total de dias 
que os funcionários restantes levarão para atender o mesmo número de pessoas, trabalhando uma hora 
a mais por dia, no mesmo ritmo de trabalho, será 
(A) 29. 
(B) 30. 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 118 
(C) 33. 
(D) 28. 
(E) 31. 
 
10. (BNB – Analista Bancário – FGV) Em uma agência bancária, dois caixas atendem em média seis 
clientes em 10 minutos. Considere que, nesta agência, todos os caixas trabalham com a mesma eficiência 
e que a média citada sempre é mantida. Assim, o tempo médio necessário para que cinco caixas atendam 
45 clientes é de: 
(A) 45 minutos; 
(B) 30 minutos; 
(C) 20 minutos; 
(D) 15 minutos; 
(E) 10 minutos. 
 
Respostas 
 
01. Resposta: D. 
Comparando- se cada grandeza com aquela onde está o x. 
M² varredores horas 
6000--------------18-------------- 5 
7500--------------15--------------- x 
Quanto mais a área, mais horas (diretamente proporcionais) 
Quanto menos trabalhadores, mais horas (inversamente proporcionais) 
5
𝑥
=
6000
7500
∙
15
18
 
 
6000 ∙ 15 ∙ 𝑥 = 5 ∙ 7500 ∙ 18 
90000𝑥 = 675000 
𝑥 = 7,5 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 
Como 0,5 h equivale a 30 minutos, logo o tempo será de 7 horas e 30 minutos. 
 
02. Resposta: D. 
Operários horas dias área 
 20-----------------8-------------60-------4800 
 15----------------10------------80-------- x 
Todas as grandezas são diretamente proporcionais, logo: 
 
 
4800
𝑥
=
20
15
∙
8
10
∙
60
80
 
 20 ∙ 8 ∙ 60 ∙ 𝑥 = 4800 ∙ 15 ∙ 10 ∙ 80 
 9600𝑥 = 57600000 
 𝑥 = 6000𝑚² 
 
03. Resposta: B. 
Temos 10 funcionários inicialmente, com os afastamento esse número passou para 8. Se eles 
trabalham 8 horas por dia, passarão a trabalhar uma hora a mais perfazendo um total de 9 horas, nesta 
condições temos: 
Funcionários horas dias 
 10---------------8--------------27 
 8----------------9-------------- x 
Quanto menos funcionários, mais dias devem ser trabalhados (inversamente proporcionais). 
Quanto mais horas por dia, menos dias devem ser trabalhados (inversamente proporcionais). 
Funcionários horas dias 
 8---------------9-------------- 27 
 10----------------8----------------x 
 
 
27
𝑥
=
8
10
∙
9
8
 → x.8.9 = 27.10.8 → 72x = 2160 → x = 30 dias. 
 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 119 
04. Resposta: C. 
Transformando o tempo para segundos: 1 min e 15 segundos = 75 segundos 
 Quanto mais máquinas menor o tempo (flecha contrária) e quanto mais cópias, mais tempo (flecha 
mesma posição) 
 Máquina cópias tempo 
 1----------------80-----------75 segundos 
 7--------------3360-----------x 
Devemos deixar as 3 grandezas da mesma forma, invertendo os valores de” máquina”. 
 Máquina cópias tempo 
 7----------------80----------75 segundos 
 1--------------3360--------- x 
 
 
75
𝑥
=
7
1
∙
80
3360
 → x.7.80 = 75.1.3360 → 560x = 252000 → x = 450 segundos 
 
Transformando 
1minuto-----60segundos 
 x-------------450 
x = 7,5 minutos = 7 minutos e 30segundos. 
 
05. Resposta: A. 
Vamos utilizar a Regra de Três Composta: 
Operários  horas dias 
 128 ----------- 6 -------------- 42 
 x ------------- 8 -------------- 24 
Quanto mais operários, menos horas trabalhadas (inversamente) 
Quanto mais funcionários, menos dias (inversamente) 
 Operários  horas dias 
 x -------------- 6 -------------- 42 
 128 ------------ 8 -------------- 24 
 
𝑥
128
=
6
8
∙
42
24
 
 
𝑥
128
=
1
8
∙
42
4
 
 
𝑥
128
=
1
8
∙
21
2
 
 
16𝑥 = 128 ∙ 21 
𝑥 = 8 ∙ 21 = 168 
168 – 128 = 40 funcionários a mais devem ser contratados. 
 
06. Resposta: E. 
Fichas Assistentes dias horas 
 1000 --------------- 16 -------------- 10 ------------ 6 
 2000 -------------- 10 -------------- x -------------- 8 
Quanto mais fichas, mais dias devem ser trabalhados (diretamente proporcionais). 
Quanto menos assistentes, mais dias devem ser trabalhados (inversamente proporcionais). 
Quanto mais horas por dia, menos dias (inversamente proporcionais). 
Fichas Assistentes dias horas 
 1000 --------------- 10 -------------- 10 ------------ 8 
 2000 -------------- 16 -------------- x -------------- 6 
 
10
𝑥
=
1000
2000
 ∙ 
10
16
 .
8
6
 
 
10
𝑥
=
80000
192000
 
 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 120 
80. 𝑥 = 192.10 
 
𝑥 = 
1920
80
 
 
 𝑥 = 24 𝑑𝑖𝑎𝑠 
 
07. Resposta: C. 
Faremos uma regra de três composta: 
Pessoas Kg dias 
 4 ------------ 13 ------------ 5 
 5 ------------ 65 ------------ x 
Mais pessoas irão levar menos dias para produzir a mesma quantidade de lixo (grandezas 
inversamente proporcionais). 
Mais quilos de lixo levam mais dias para serem produzidos (grandezas diretamente proporcionais). 
 
5
𝑥
= 
5
4
 .
13
65
 
 
5
𝑥
= 
65
260
 
 
65.x = 5 . 260 
x = 1300 / 65 
x = 20 dias 
 
08. Resposta: C. 
Faremos uma regra de três composta: 
Trabalhadores Hectares h / dia dias 
 15 ------------------ 210 ---------------- 7 ----------------- 6 
 20 ------------------ 480 ---------------- 6 ----------------- x 
Mais trabalhadores irão levar menos dias para concluir o trabalho (grandezas inversamente 
proporcionais). 
Mais hectares levam mais dias para se concluir o trabalho (grandezas diretamente proporcionais). 
Menos horas por dia de trabalho serão necessários mais dias para concluir o trabalho (grandezas 
inversamente proporcionais). 
6
𝑥
= 
20
15
 .
210
480
 .
6
7
 
 
6
𝑥
= 
25200
50400
 
 
25200.x = 6. 50400 → x = 302400 / 25200 → x = 12 dias 
 
09. Resposta: B. 
Funcionários horas dias 
 10 ----------------- 8 ----------- 27 
 8 ------------------ 9 ----------- x 
Quanto menos funcionários, mais dias devem ser trabalhados (inversamente proporcionais). 
Quanto mais horas por dia, menos dias (inversamente proporcionais). 
Funcionários horas dias 
 10 ----------------- 8 ----------- x 
 8 ------------------ 9 ----------- 27 
 
𝑥27
=
10
8
∙
8
9
 
 
 72𝑥 = 2160 
 
 𝑥 = 30 𝑑𝑖𝑎𝑠 
 
 
 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 121 
10. Resposta: B. 
 caixas clientes minutos 
 2 ----------------- 6 ----------- 10 
 5 ----------------- 45 ----------- x 
Quanto mais caixas, menos minutos levará para o atendimento (inversamente proporcionais). 
Quanto mais clientes, mais minutos para o atendimento (diretamente proporcionais). 
 caixas clientes minutos 
 5 ----------------- 6 ----------- 10 
 2 ----------------- 45 ----------- x 
 
 
10
𝑥
=
5
2
∙
6
45
 
10
𝑥
=
30
90
 
 
 30. 𝑥 = 90.10 𝑥 = 
900
30
 
 
 𝑥 = 30 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠 
 
PORCENTAGEM 
 
Razões de denominador 100 que são chamadas de razões centesimais ou taxas percentuais ou 
simplesmente de porcentagem. Servem para representar de uma maneira prática o "quanto" de um "todo" 
se está referenciando. 
Costumam ser indicadas pelo numerador seguido do símbolo % (Lê-se: “por cento”). 
 
𝒙% =
𝒙
𝟏𝟎𝟎
 
 
Exemplos: 
1) A tabela abaixo indica, em reais, os resultados das aplicações financeiras de Oscar e Marta entre 
02/02/2013 e 02/02/2014. 
 
 
Notamos que a razão entre os rendimentos e o saldo em 02/02/2013 é: 
 
50
500
, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑂𝑠𝑐𝑎𝑟, 𝑛𝑜 𝐵𝑎𝑛𝑐𝑜 𝐴; 
 
50
400
, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑀𝑎𝑟𝑡𝑎, 𝑛𝑜 𝐵𝑎𝑛𝑐𝑜 𝐵. 
 
Quem obteve melhor rentabilidade? 
 
Uma das maneiras de compará-las é expressá-las com o mesmo denominador (no nosso caso o 100), 
para isso, vamos simplificar as frações acima: 
 
𝑂𝑠𝑐𝑎𝑟 ⇒
50
500
=
10
100
,= 10% 
 
𝑀𝑎𝑟𝑡𝑎 ⇒
50
400
=
12,5
100
,= 12,5% 
 
Com isso podemos concluir, Marta obteve uma rentabilidade maior que Oscar ao investir no Banco B. 
 
2) Em uma classe com 30 alunos, 18 são rapazes e 12 são moças. Qual é a taxa percentual de rapazes 
na classe? 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 122 
Resolução: 
 
A razão entre o número de rapazes e o total de alunos é 
18
30
 . Devemos expressar essa razão na forma 
centesimal, isto é, precisamos encontrar x tal que: 
18
30
=
𝑥
100
⟹ 𝑥 = 60 
E a taxa percentual de rapazes é 60%. Poderíamos ter divido 18 por 30, obtendo: 
18
30
= 0,60(. 100%) = 60% 
 
- Lucro e Prejuízo 
 
É a diferença entre o preço de venda e o preço de custo. 
Caso a diferença seja positiva, temos o lucro(L), caso seja negativa, temos prejuízo(P). 
 
Lucro (L) = Preço de Venda (V) – Preço de Custo (C). 
 
Podemos ainda escrever: 
C + L = V ou L = V - C 
P = C – V ou V = C - P 
 
A forma percentual é: 
 
 
Exemplos: 
1) Um objeto custa R$ 75,00 e é vendido por R$ 100,00. Determinar: 
a) a porcentagem de lucro em relação ao preço de custo; 
b) a porcentagem de lucro em relação ao preço de venda. 
 
Resolução: 
Preço de custo + lucro = preço de venda → 75 + lucro =100 → Lucro = R$ 25,00 
 
𝑎)
𝑙𝑢𝑐𝑟𝑜
𝑝𝑟𝑒ç𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑢𝑠𝑡𝑜
. 100% ≅ 33,33% 𝑏)
𝑙𝑢𝑐𝑟𝑜
𝑝𝑟𝑒ç𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑛𝑑𝑎
. 100% = 25% 
 
2) O preço de venda de um bem de consumo é R$ 100,00. O comerciante tem um ganho de 25% sobre 
o preço de custo deste bem. O valor do preço de custo é: 
A) R$ 25,00 
B) R$ 70,50 
C) R$ 75,00 
D) R$ 80,00 
E) R$ 125,00 
 
Resolução: 
𝐿
𝐶
. 100% = 25% ⇒ 0,25 , o lucro é calculado em cima do Preço de Custo(PC). 
 
C + L = V → C + 0,25. C = V → 1,25. C = 100 → C = 80,00 
Resposta D 
 
- Aumento e Desconto Percentuais 
A) Aumentar um valor V em p%, equivale a multiplicá-lo por (𝟏 +
𝒑
𝟏𝟎𝟎
).V . 
Logo: 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 123 
VA = (𝟏 +
𝒑
𝟏𝟎𝟎
).V 
 
Exemplos: 
 1 - Aumentar um valor V de 20% , equivale a multiplicá-lo por 1,20, pois: 
(1 +
20
100
).V = (1+0,20).V = 1,20.V 
 
2 - Aumentar um valor V de 200% , equivale a multiplicá-lo por 3 , pois: 
(1 +
200
100
).V = (1+2).V = 3.V 
 
3) Aumentando-se os lados a e b de um retângulo de 15% e 20%, respectivamente, a área do retângulo 
é aumentada de: 
A)35% 
B)30% 
C)3,5% 
D)3,8% 
E) 38% 
 
Resolução: 
Área inicial: a.b 
Com aumento: (a.1,15).(b.1,20) → 1,38.a.b da área inicial. Logo o aumento foi de 38%. 
Resposta E 
 
B) Diminuir um valor V em p%, equivale a multiplicá-lo por (𝟏 −
𝒑
𝟏𝟎𝟎
).V. 
Logo: 
V D = (𝟏 −
𝒑
𝟏𝟎𝟎
).V 
 
Exemplos: 
1) Diminuir um valor V de 20%, equivale a multiplicá-lo por 0,80, pois: 
(1 −
20
100
). V = (1-0,20). V = 0, 80.V 
 
2) Diminuir um valor V de 40%, equivale a multiplicá-lo por 0,60, pois: 
(1 −
40
100
). V = (1-0,40). V = 0, 60.V 
 
3) O preço do produto de uma loja sofreu um desconto de 8% e ficou reduzido a R$ 115,00. Qual era 
o seu valor antes do desconto? 
 
Temos que V D = 115, p = 8% e V =? é o valor que queremos achar. 
V D = (1 −
𝑝
100
). V → 115 = (1-0,08).V → 115 = 0,92V → V = 115/0,92 → V = 125 
O valor antes do desconto é de R$ 125,00. 
 
A esse valor final de (𝟏 +
𝒑
𝟏𝟎𝟎
) ou (𝟏 −
𝒑
𝟏𝟎𝟎
), é o que chamamos de fator de multiplicação, muito útil 
para resolução de cálculos de porcentagem. O mesmo pode ser um acréscimo ou decréscimo no 
valor do produto. 
 
Abaixo a tabela com alguns fatores de multiplicação: 
 
 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 124 
 - Aumentos e Descontos Sucessivos 
São valores que aumentam ou diminuem sucessivamente. Para efetuar os respectivos descontos ou 
aumentos, fazemos uso dos fatores de multiplicação. 
 
 Vejamos alguns exemplos: 
1) Dois aumentos sucessivos de 10% equivalem a um único aumento de...? 
 Utilizando VA = (1 +
𝑝
100
).V → V. 1,1 , como são dois de 10% temos → V. 1,1 . 1,1 → V. 1,21 
Analisando o fator de multiplicação 1,21; concluímos que esses dois aumentos significam um único 
aumento de 21%. 
Observe que: esses dois aumentos de 10% equivalem a 21% e não a 20%. 
 
2) Dois descontos sucessivos de 20% equivalem a um único desconto de: 
Utilizando VD = (1 −
𝑝
100
).V → V. 0,8 . 0,8 → V. 0,64 . . Analisando o fator de multiplicação 0,64, 
observamos que esse percentual não representa o valor do desconto, mas sim o valor pago com o 
desconto. Para sabermos o valor que representa o desconto é só fazermos o seguinte cálculo: 
 100% - 64% = 36% 
Observe que: esses dois descontos de 20% equivalem a 36% e não a 40%. 
 
3) Certo produto industrial que custava R$ 5.000,00 sofreu um acréscimo de 30% e, em seguida, um 
desconto de 20%. Qual o preço desse produto após esse acréscimo e desconto? 
Utilizando VA = (1 +
𝑝
100
).V para o aumento e VD = (1 −
𝑝
100
).V, temos: 
VA = 5000 .(1,3) = 6500 e VD = 6500 .(0,80) = 5200, podemos, para agilizar os cálculos, juntar tudo 
em uma única equação: 
5000 . 1,3 . 0,8 = 5200 
Logo o preço do produto após o acréscimo e desconto é de R$ 5.200,00 
 
Referências 
IEZZI, Gelson – Fundamentos da Matemática – Vol. 11 – Financeira e Estatística Descritiva 
IEZZI, Gelson – Matemática Volume Único 
http://www.porcentagem.org 
http://www.infoescola.com 
 
Questões 
 
01. (Pref. Maranguape/CE – Prof. de educação básica – Matemática – GR Consultoria e 
Assessoria/2016) Marcos comprou um produto e pagou R$ 108,00, já inclusos 20% de juros. Se tivesse 
comprado o produto, com 25% de desconto, então, Marcos pagaria o valor de: 
(A) R$ 67,50 
(B) R$ 90,00 
(C) R$ 75,00 
(D) R$ 72,50 
 
02. (Câmara Municipal de São José dos Campos/SP – Analista Técnico Legislativo – Designer 
Gráfico – VUNESP) O departamento de Contabilidade de uma empresa tem 20 funcionários, sendo que 
15% deles são estagiários. O departamento de Recursos Humanos tem 10 funcionários, sendo 20% 
estagiários. Em relação ao total de funcionários desses dois departamentos, a fração de estagiários é 
igual a 
(A) 1/5. 
(B) 1/6. 
(C) 2/5. 
(D) 2/9. 
(E) 3/5. 
 
03. (Pref. Maranguape/CE – Prof. de educação básica – Matemática – GR Consultoria e 
Assessoria/2016) Quando calculamos 15% de 1.130, obtemos, como resultado 
(A) 150 
(B) 159,50; 
(C) 165,60;(D) 169,50. 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 125 
04. (ALMG – Analista de Sistemas – Administração de Rede – FUMARC) O Relatório Setorial do 
Banco do Brasil publicado em 02/07/2013 informou: 
[...] Após queda de 2,0% no mês anterior, segundo o Cepea/Esalq, as cotações do açúcar fecharam o 
último mês com alta de 1,2%, atingindo R$ 45,03 / saca de 50 kg no dia 28. De acordo com especialistas, 
o movimento se deve à menor oferta de açúcar de qualidade, além da firmeza nas negociações por parte 
dos vendedores. Durante o mês de junho, o etanol mostrou maior recuperação que o açúcar, com a 
cotação do hidratado chegando a R$ 1,1631/litro (sem impostos), registrando alta de 6,5%. A demanda 
aquecida e as chuvas que podem interromper mais uma vez a moagem de cana-de-açúcar explicam 
cenário mais positivo para o combustível. 
Fonte: BB-BI Relatório Setorial: Agronegócios-junho/2013 - publicado em 02/07/2013. 
 
Com base nos dados apresentados no Relatório Setorial do Banco do Brasil, é CORRETO afirmar que 
o valor, em reais, da saca de 50 kg de açúcar no mês de maio de 2013 era igual a 
(A) 42,72 
(B) 43,86 
(C) 44,48 
(D) 54,03 
 
05. (Câmara de Chapecó/SC – Assistente de Legislação e Administração – OBJETIVA) Em 
determinada loja, um sofá custa R$ 750,00, e um tapete, R$ 380,00. Nos pagamentos com cartão de 
crédito, os produtos têm 10% de desconto e, nos pagamentos no boleto, têm 8% de desconto. Com base 
nisso, realizando-se a compra de um sofá e um tapete, os valores totais a serem pagos pelos produtos 
nos pagamentos com cartão de crédito e com boleto serão, respectivamente: 
(A) R$ 1.100,00 e R$ 1.115,40. 
(B) R$ 1.017,00 e R$ 1.039,60. 
(C) R$ 1.113,00 e R$ 1.122,00. 
(D) R$ 1.017,00 e R$ 1.010,00. 
 
06. (UFPE - Assistente em Administração – COVEST) Um vendedor recebe comissões mensais da 
seguinte maneira: 5% nos primeiros 10.000 reais vendidos no mês, 6% nos próximos 10.000,00 vendidos, 
e 7% no valor das vendas que excederem 20.000 reais. Se o total de vendas em certo mês foi de R$ 
36.000,00, quanto será a comissão do vendedor? 
(A) R$ 2.120,00 
(B) R$ 2.140,00 
(C) R$ 2.160,00 
(D) R$ 2.180,00 
(E) R$ 2.220,00 
 
07. (UFPE - Assistente em Administração – COVEST) Uma loja compra televisores por R$ 1.500,00 
e os revende com um acréscimo de 40%. Na liquidação, o preço de revenda do televisor é diminuído em 
35%. Qual o preço do televisor na liquidação? 
(A) R$ 1.300,00 
(B) R$ 1.315,00 
(C) R$ 1.330,00 
(D) R$ 1.345,00 
(E) R$ 1.365,00 
 
08. (Câmara de São Paulo/SP – Técnico Administrativo – FCC) O preço de venda de um produto, 
descontado um imposto de 16% que incide sobre esse mesmo preço, supera o preço de compra em 40%, 
os quais constituem o lucro líquido do vendedor. Em quantos por cento, aproximadamente, o preço de 
venda é superior ao de compra? 
(A) 67%. 
(B) 61%. 
(C) 65%. 
(D) 63%. 
(E) 69%. 
 
09. (PM/SE – Soldado 3ª Classe – FUNCAB) Numa liquidação de bebidas, um atacadista fez a 
seguinte promoção: 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 126 
Cerveja em lata: R$ 2,40 a unidade. 
Na compra de duas embalagens com 12 unidades cada, ganhe 25% de desconto no valor da segunda 
embalagem. 
 
Alexandre comprou duas embalagens nessa promoção e revendeu cada unidade por R$3,50. O lucro 
obtido por ele com a revenda das latas de cerveja das duas embalagens completas foi: 
(A) R$ 33,60 
(B) R$ 28,60 
(C) R$ 26,40 
(D) R$ 40,80 
(E) R$ 43,20 
 
10. (Pref. Maranguape/CE – Prof. de educação básica – Matemática – GR Consultoria e 
Assessoria/2016) Marcos gastou 30% de 50% da quantia que possuía e mais 20% do restante. A 
porcentagem que lhe sobrou do valor, que possuía é de: 
(A) 58% 
(B) 68% 
(C) 65% 
(D) 77,5% 
 
Respostas 
 
01. Resposta: A. 
Como o produto já está acrescido de 20% juros sobre o seu preço original, temos que: 
100% + 20% = 120% 
Precisamos encontrar o preço original (100%) da mercadoria para podermos aplicarmos o desconto. 
Utilizaremos uma regra de 3 simples para encontrarmos: 
R$ % 
108 ---- 120 
 X ----- 100 
120x = 108.100 → 120x = 10800 → x = 10800/120 → x = 90,00 
O produto sem o juros, preço original, vale R$ 90,00 e representa 100%. Logo se receber um desconto 
de 25%, significa ele pagará 75% (100 – 25 = 75%) → 90. 0,75 = 67,50 
Então Marcos pagou R$ 67,50. 
 
02. Resposta: B. 
* Dep. Contabilidade: 
15
100
. 20 =
30
10
= 3 → 3 (estagiários) 
 
* Dep. R.H.: 
20
100
. 10 =
200
100
= 2 → 2 (estagiários) 
 
∗ 𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑔𝑖á𝑟𝑖𝑜𝑠
𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛á𝑟𝑖𝑜𝑠
=
5
30
=
1
6
 
 
03. Resposta: D. 
15% de 1130 = 1130.0,15 ou 1130.15/100 → 169,50 
 
04. Resposta: C. 
1,2% de 45,03 = 
1,2
100
 . 45,03 = 0,54 
Como no mês anterior houve queda, vamos fazer uma subtração. 
45,03 – 0,54 = 44,49 
 
05. Resposta: B. 
 Cartão de crédito: 10/100. (750 + 380) = 1/10 . 1130 = 113 
1130 – 113 = R$ 1017,00 
Boleto: 8/100. (750 + 380) = 8/100 . 1130 = 90,4 
1130 – 90,4 = R$ 1039,60 
 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 127 
06. Resposta: E. 
5% de 10000 = 5 / 100. 10000 = 500 
6% de 10000 = 6 / 100. 10000 = 600 
7% de 16000 (= 36000 – 20000) = 7 / 100. 16000 = 1120 
Comissão = 500 + 600 + 1120 = R$ 2220,00 
 
07. Resposta: E. 
 Preço de revenda: 1500 + 40 / 100. 1500 = 1500 + 600 = 2100 
 Preço com desconto: 2100 – 35 / 100. 2100 = 2100 – 735 = R$ 1365,00 
 
08. Resposta: A. 
Preço de venda: V 
Preço de compra: C 
V – 0,16V = 1,4C 
0,84V = 1,4C 
 
𝑉
𝐶
=
1,4
0,84
= 1,67 
O preço de venda é 67% superior ao preço de compra. 
 
09. Resposta: A. 
2,40 . 12 = 28,80 
Segunda embalagem: 28,80. 0,75 = 21,60 
As duas embalagens: 28,80 + 21,60 = 50,40 
Revenda: 3,5. 24 = 84,00 
Lucro: R$ 84,00 – R$ 50,40 = R$ 33,60 
O lucro de Alexandre foi de R$ 33,60 
 
10. Resposta: B. 
De um total de 100%, temos que ele gastou 30% de 50% = 30%.50% = 15% foi o que ele gastou, 
sobrando: 100% - 15% = 85%. Desses 85% ele gastou 20%, logo 20%.85% = 17%, sobrando: 
85% - 17% = 68%. 
 
JUROS SIMPLES1 
 
Em regime de juros simples (ou capitalização simples), o juro é determinado tomando como base 
de cálculo o capital da operação, e o total do juro é devido ao credor (aquele que empresta) no final da 
operação. As operações aqui são de curtíssimo prazo, exemplo: desconto simples de duplicata, entre 
outros. 
No juros simples o juro de cada intervalo de tempo sempre é calculado sobre o capital inicial 
emprestado ou aplicado. 
 
 
- Os juros são representados pela letra J. 
- O dinheiro que se deposita ou se empresta chamamos de capital e é representado pela letra C (capital) 
ou P(principal) ou VP ou PV (valor presente) *. 
- O tempo de depósito ou de empréstimo é representado pela letra t ou n.* 
- A taxa de juros é a razão centesimal que incide sobre um capital durante certo tempo. É representado 
pela letra i e utilizada para calcular juros. 
 
*Varia de acordo com a literatura estudada. 
 
Chamamos de simples os juros que são somados ao capital inicial no final da aplicação. 
 
1 MARIANO, Fabrício – Matemática Financeira para Concursos – 3ª Edição – Rio de Janeiro: Elsevier,2013. 
 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 128 
 
Exemplo 
 
1) Uma pessoa empresta a outra, a juros simples, a quantia de R$ 4. 000,00, pelo prazo de 5 meses, 
à taxa de 3% ao mês. Quanto deverá ser pago de juros? 
 
Resposta 
 
- Capital aplicado (C): R$ 4.000,00 
- Tempo de aplicação (t): 5 meses 
- Taxa (i): 3% ou 0,03 a.m. (= ao mês) 
 
Fazendo o cálculo, mês a mês: 
- No final do 1º período (1 mês), os juros serão: 0,03 x R$ 4.000,00 = R$ 120,00 
- No final do 2º período (2 meses), os juros serão: R$ 120,00 + R$ 120,00 = R$ 240,00 
- No final do 3º período (3 meses), os juros serão: R$ 240,00 + R$ 120,00 = R$ 360,00 
- No final do 4º período (4 meses), os juros serão:R$ 360,00 + R$ 120,00 = R$ 480,00 
- No final do 5º período (5 meses), os juros serão: R$ 480,00 + R$ 120,00 = R$ 600,00 
 
Desse modo, no final da aplicação, deverão ser pagos R$ 600,00 de juros. 
 
 
Fazendo o cálculo, período a período: 
- No final do 1º período, os juros serão: i.C 
- No final do 2º período, os juros serão: i.C + i.C 
- No final do 3º período, os juros serão: i.C + i.C + i.C 
-------------------------------------------------------------------------- 
- No final do período t, os juros serão: i.C + i.C + i.C + ... + i.C 
 
Portanto, temos: 
J = C . i . t 
 
 
1) O capital cresce linearmente com o tempo; 
2) O capital cresce a uma progressão aritmética de razão: J=C.i 
3) A taxa i e o tempo t devem ser expressos na mesma unidade. 
4) Nessa fórmula, a taxa i deve ser expressa na forma decimal. 
5) Chamamos de montante (M) ou FV (valor futuro) a soma do capital com os juros, ou seja: 
Na fórmula J= C . i . t, temos quatro variáveis. Se três delas forem valores conhecidos, podemos 
calcular o 4º valor. 
 
M = C + J → M = C.(1+i.t) 
 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 129 
Exemplo 
 
A que taxa esteve empregado o capital de R$ 25.000,00 para render, em 3 anos, R$ 45.000,00 de 
juros? (Observação: Como o tempo está em anos devemos ter uma taxa anual.) 
 
C = R$ 25.000,00 
t = 3 anos 
j = R$ 45.000,00 
i = ? (ao ano) 
 j = 
100
.. tiC
 
45 000 = 
100
3..25000 i
 
45 000 = 750 . i 
i = 
750
000.45
 
i = 60 
Resposta: 60% ao ano. 
 
Quando o prazo informado for em dias, a taxa resultante dos cálculos será diária; se o prazo for 
em meses, a taxa será mensal; se for em trimestre, a taxa será trimestral, e assim sucessivamente. 
 
 
Questões 
 
01. (IESES) Uma aplicação de R$ 1.000.000,00 resultou em um montante de R$ 1.240.000,00 após 
12 meses. Dentro do regime de Juros Simples, a que taxa o capital foi aplicado? 
(A) 1,5% ao mês. 
(B) 4% ao trimestre. 
(C) 20% ao ano. 
(D) 2,5% ao bimestre. 
(E) 12% ao semestre. 
 
02. (EXATUS-PR) Mirtes aplicou um capital de R$ 670,00 à taxa de juros simples, por um período de 
16 meses. Após esse período, o montante retirado foi de R$ 766,48. A taxa de juros praticada nessa 
transação foi de: 
(A) 9% a.a. 
(B) 10,8% a.a. 
(C) 12,5% a.a. 
(D) 15% a.a. 
 
03. (UMA Concursos) Qual o valor do capital que aplicado por um ano e meio, a uma taxa de 1,3% 
ao mês, em regime de juros simples resulta em um montante de R$ 68.610,40 no final do período? 
(A) R$ 45.600,00 
(B) R$ 36.600,00 
(C) R$ 55.600,00 
(D) R$ 60.600,00 
 
04. (TRF- 3ª REGIÃO – Analista Judiciário – FCC/2016) Em um contrato é estabelecido que uma 
pessoa deverá pagar o valor de R$ 5.000,00 daqui a 3 meses e o valor de R$ 10.665,50 daqui a 6 meses. 
Esta pessoa decide então aplicar em um banco, na data de hoje, um capital no valor de R$ 15.000,00, 
durante 3 meses, sob o regime de capitalização simples a uma taxa de 10% ao ano. No final de 3 meses, 
ela resgatará todo o montante correspondente, pagará o primeiro valor de R$ 5.000,00 e aplicará o 
restante sob o regime de capitalização simples, também durante 3 meses, em outro banco. Se o valor do 
montante desta última aplicação no final do período é exatamente igual ao segundo valor de R$ 
10.665,50, então a taxa anual fornecida por este outro banco é, em %, de 
(A) 10,8%. 
(B) 9,6%. 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 130 
(C) 11,2%. 
(D) 12,0%. 
(E) 11,7%. 
 
Respostas 
 
01. Resposta: E. 
C = 1.000.000,00 
M = 1.240.000,00 
t = 12 meses 
i = ? 
M = C.(1+it) → 1240000 = 1000000(1 + 12i) → 1 + 12i = 1240000 / 1000000 → 1 + 12i = 1,24 → 12i = 
1,24 – 1 → 12i = 0,24 → i = 0,24 / 12 → i = 0,02 → i = 0,02x100 → i = 2% a.m 
Como não encontramos esta resposta nas alternativas, vamos transformar, uma vez que sabemos a 
taxa mensal: 
Um bimestre tem 2 meses → 2 x 2 = 4% a.b. 
Um trimestre tem 3 meses → 2 x 3 = 6% a.t. 
Um semestre tem 6 meses → 2 x 6 = 12% a.s. 
Um ano tem 1 ano 12 meses → 2 x 12 = 24% a.a. 
 
02. Resposta: B. 
Pelo enunciado temos: 
C = 670 
i = ? 
n = 16 meses 
M = 766,48 
Aplicando a fórmula temos: M = C.(1+in) → 766,48 = 670 (1+16i) → 1 + 16i = 766,48 / 670 →1 + 16i = 
1,144 → 16i = 1,144 – 1 → 16i = 0,144 → i = 0,144 / 16 → i = 0,009 x 100 → i = 0,9% a.m. 
Observe que as taxas das alternativas são dadas em ano, logo como 1 ano tem 12 meses: 0,9 x 12 = 
10,8% a.a. 
 
03. Resposta: C. 
C = ? 
n = 1 ano e meio = 12 + 6 = 18 meses 
i = 1,3% a.m = 0,013 
M = 68610,40 
Aplicando a fórmula: M = C (1+in) → 68610,40 = C (1+0,013.18) → 68610,40 = C (1+0,234) → C = 
68610,40 = C.1,234 → C = 68610,40 / 1,234 → C = 55600,00. 
 
04. Resposta: C. 
j= 15.000*0,10*0,25 (0,25 é 3 meses/12) 
j=15.000*0,025 
j=375,00 
Montante 15.000+375,00= 15.375,00 
Foi retirado 5.000,00, então fica o saldo para nova aplicação de 10.375,00 o valor a pagar da segunda 
parcela (10.665,50) é o mesmo valor do saldo da aplicação dos 10.375,00 em 03 meses. 
10.665,50-10.375,00= 290,50, esse foi o juros, então é só aplicar a fórmula dos juros simples. 
j=c.i.t 
290,5=10.375,00*i*0,025 
290,5=2.593,75*i 
i= 290,5/2.593,75 
i= 0,112 
i=0,112*100=11,2% 
 
 
 
 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 131 
JUROS COMPOSTOS2 
 
O capital inicial (principal) pode crescer, como já sabemos, devido aos juros, segundo duas 
modalidades, a saber: 
 
Juros simples (capitalização simples) – a taxa de juros incide sempre sobre o capital inicial. 
Juros compostos (capitalização composta) – a taxa de juros incide sobre o capital de cada 
período. Também conhecido como "juros sobre juros". 
Na prática, as empresas, órgãos governamentais e investidores particulares costumam reinvestir as 
quantias geradas pelas aplicações financeiras, o que justifica o emprego mais comum de juros compostos 
na Economia. Na verdade, o uso de juros simples não se justifica em estudos econômicos. 
 
Exemplo 
 
Considere o capital inicial (C) $1500,00 aplicado a uma taxa mensal de juros compostos (i) de 10% (i 
= 10% a.m.). Vamos calcular os montantes (capital + juros), mês a mês: 
Após o 1º mês, teremos: M1 = 1500 x 1,1 = 1650 = 1500(1 + 0,1) 
Após o 2º mês, teremos: M2 = 1650 x 1,1 = 1815 = 1500(1 + 0,1)2 
Após o 3º mês, teremos: M3 = 1815 x 1,1 = 1996,5 = 1500(1 + 0,1)3 
..................................................................................................... 
Após o nº (enésimo) mês, sendo M o montante, teremos evidentemente: M = 1500(1 + 0,1)t 
De uma forma genérica, teremos para um capital C, aplicado a uma taxa de juros compostos (i) durante 
o período (t): 
M = C (1 + i)t 
 
Onde: 
M = montante, 
C = capital, 
i = taxa de juros e 
t = número de períodos que o capital C (capital inicial) foi aplicado. 
(1+i)t ou (1+i)n = fator de acumulação de capital 
 
Na fórmula acima, as unidades de tempo referentes à taxa de juros (i) e do período (t), tem de 
ser necessariamente iguais. Este é um detalhe importantíssimo, que não pode ser esquecido! 
Assim, por exemplo, se a taxa for 2% ao mês e o período 3 anos, deveremos considerar 2% ao mês 
durante 3x12=36 meses. 
 
Graficamente temos, que o crescimento do principal(capital) segundo juros simples é LINEAR, 
CONSTANTE enquanto que o crescimento segundo juros compostos é EXPONENCIAL, GEOMÉTRICO 
e, portanto tem um crescimento muito mais "rápido". 
 
 
 
 
2 MARIANO, Fabrício – Matemática Financeira para Concursos – 3ª Edição – Rio de Janeiro: Elsevier,2013. 
 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 132 
 
- O montante após 1º tempo é igual tanto para o regime de juros simples como para juros 
compostos; 
- Antes do 1º tempo o montante seria maior no regime de juros simples; 
- Depois do 1º tempo o montante seria maior no regime de juros compostos. 
 
 
Juros Compostos e Logaritmos 
 
Pararesolução de algumas questões que envolvam juros compostos, precisamos ter conhecimento de 
conceitos de logaritmos, principalmente aquelas as quais precisamos achar o tempo/prazo. É muito 
comum ver em provas o valor dado do logaritmo para que possamos achar a resolução da questão. 
 
Exemplo 
 
Um capital é aplicado em regime de juros compostos a uma taxa mensal de 2% (2% a.m.). Depois de 
quanto tempo este capital estará duplicado? 
 
Resposta 
 
Sabemos que M = C (1 + i)t. Quando o capital inicial estiver duplicado, teremos M = 2C. 
Substituindo, vem: 2C = C(1+0,02)t [Obs: 0,02 = 2/100 = 2%] 
Simplificando, fica: 
2 = 1,02t , que é uma equação exponencial simples. 
Teremos então: t = log1,022 = log2 /log1,02 = 0,30103 / 0,00860 = 35 
 
Nota: log2 = 0,30103 e log1,02 = 0,00860; estes valores podem ser obtidos rapidamente em máquinas 
calculadoras científicas. Caso uma questão assim caia no vestibular ou concurso, o examinador teria de 
informar os valores dos logaritmos necessários, ou então permitir o uso de calculadora na prova, o que 
não é comum no Brasil. 
Portanto, o capital estaria duplicado após 35 meses (observe que a taxa de juros do problema é 
mensal), o que equivale a 2 anos e 11 meses. 
Resposta: 2 anos e 11 meses. 
 
- Em juros simples quando a taxa de juros(i) estiver em unidade diferente do tempo(t), pode-se 
colocar na mesma unidade de (i) ou (t). 
 
- Em juros compostos é preferível colocar o (t) na mesma unidade da taxa (i). 
 
 
Questões 
 
01. (EXÉRCITO BRASILEIRO) Determine o tempo necessário para que um capital aplicado a 20 % a. 
m. no regime de juros compostos dobre de valor. Considerando que log 2 = 0,3 e log 1,2 = 0,08. 
(A) 3,75 meses. 
(B) 3,5 meses. 
(C) 2,7 meses. 
(D) 3 meses. 
(E) 4 meses. 
 
02. (FCC) Saulo aplicou R$ 45 000,00 em um fundo de investimento que rende 20% ao ano. Seu 
objetivo é usar o montante dessa aplicação para comprar uma casa que, na data da aplicação, custava 
R$ 135 000,00 e se valoriza à taxa anual de 8%. Nessas condições, a partir da data da aplicação, quantos 
anos serão decorridos até que Saulo consiga comprar tal casa? 
Dado: (Use a aproximação: log 3 = 0,48) 
(A) 15 
(B) 12 
(C) 10 
(D) 9 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 133 
(E) 6 
 
03. (CESGRANRIO) Um investimento de R$1.000,00 foi feito sob taxa de juros compostos de 3% ao 
mês. Após um período t, em meses, o montante foi de R$1.159,27. Qual o valor de t? (Dados: ln(1.000) 
= 6,91; ln(1.159,27) = 7,06 ; ln(1,03) = 0,03). 
 
 
04. (MPE/GO – Secretário Auxiliar – MPE-GO/2017) Fábio aplicou R$ 1.000,00 em uma aplicação 
que rende juros compostos de 2% ao mês. Ao final de 3 meses qual será o montante da aplicação de 
Fábio, desprezando-se as casas decimais? 
(A) R$ 1.060 
(B) R$ 1.061 
(C) R$ 1.071 
(D) R$ 1.029 
(E) R$ 1.063 
 
Respostas 
 
01. Resposta: A. 
M=C(1+i)t 
2C=C(1+0,2)t 
2=1,2t 
Log2=log1,2t 
Log2=t.log1,2 → 0,3=0,08t → T=3,75 meses 
 
02. Resposta: B. 
M = C. (1 + i)t 
C = 45.000 
i = 0,2 
-------------------- 
C = 135.000 
i= 0,08 
45.000 (1+ i)t = 135.000 (1 + i)t 
45.000 (1 + 0,2)t = 135.000 (1 + 0,08)t 
45.000 (1,2)t = 135.000 (1,08)t 
135.000/45.000 = (1,2/1,08)t 
3 = (10/9)t 
log3 = t.log (10/9) → 0,48 = (log10 - log9).t → 0,48 = (1 - 2log3).t 
0,48 = (1 - 2.0,48).t → 0,48 = (1 - 0,96).t → 0,48 = 0,04.t 
t = 0,48/0,04 → t = 12 
 
03. Resposta: 05. 
M = C (1 + i) t 
1159,27 = 1000 ( 1 + 0,03)t 
1159,27 = 1000.1,03t 
ln 1159,27 = ln (1000 . 1,03t) 
7,06 = ln1000 + ln 1,03t 
7,06 = 6,91 + t . ln 1,03 → 0,15 = t . 0,03 → t = 5 
 
 
04. Resposta: B. 
Juros Compostos 
M = 1000 .(1,02)^3 
M = 1000 . 1,061208 
M = 1061,20 
 
 
 
 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 134 
SEQUÊNCIAS 
 
Podemos, no nosso dia-a-dia, estabelecer diversas sequências como, por exemplo, a sucessão de 
cidades que temos numa viagem de automóvel entre Brasília e São Paulo ou a sucessão das datas de 
aniversário dos alunos de uma determinada escola. 
Podemos, também, adotar para essas sequências uma ordem numérica, ou seja, adotando a1 para o 
1º termo, a2 para o 2º termo até an para o n-ésimo termo. Dizemos que o termo an é também chamado 
termo geral das sequências, em que n é um número natural diferente de zero. Evidentemente, daremos 
atenção ao estudo das sequências numéricas. 
As sequências podem ser finitas, quando apresentam um último termo, ou, infinitas, quando não 
apresentam um último termo. As sequências infinitas são indicadas por reticências no final. 
 
Exemplos: 
- Sequência dos números primos positivos: (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...). Notemos que esta é uma 
sequência infinita com a1 = 2; a2 = 3; a3 = 5; a4 = 7; a5 = 11; a6 = 13 etc. 
- Sequência dos números ímpares positivos: (1, 3, 5, 7, 9, 11, ...). Notemos que esta é uma sequência 
infinita com a1 = 1; a2 = 3; a3 = 5; a4 = 7; a5 = 9; a6 = 11 etc. 
- Sequência dos algarismos do sistema decimal de numeração: (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Notemos 
que esta é uma sequência finita com a1 = 0; a2 = 1; a3 = 2; a4 = 3; a5 = 4; a6 = 5; a7 = 6; a8 = 7; a9 = 8; a10 
= 9. 
 
1. Igualdade 
As sequências são apresentadas com os seus termos entre parênteses colocados de forma ordenada. 
Sucessões que apresentarem os mesmos termos em ordem diferente serão consideradas sucessões 
diferentes. 
Duas sequências só poderão ser consideradas iguais se, e somente se, apresentarem os mesmos 
termos, na mesma ordem. 
 
Exemplo 
 A sequência (x, y, z, t) poderá ser considerada igual à sequência (5, 8, 15, 17) se, e somente se, x = 
5; y = 8; z = 15; e t = 17. 
 
Notemos que as sequências (0, 1, 2, 3, 4, 5) e (5, 4, 3, 2, 1, 0) são diferentes, pois, embora apresentem 
os mesmos elementos, eles estão em ordem diferente. 
 
2. Fórmula Termo Geral 
Podemos apresentar uma sequência através de um determinado valor atribuído a cada termo an em 
função do valor de n, ou seja, dependendo da posição do termo. Esta fórmula que determina o valor do 
termo an é chamada fórmula do termo geral da sucessão. 
 
Exemplos: 
- Determinar os cincos primeiros termos da sequência cujo termo geral é igual a: 
an = n2 – 2n, com n ∈ N*. 
 
Teremos: 
- se n = 1 ⇒ a1 = 12 – 2. 1 ⇒ a1 = 1 – 2 = - 1 
- se n = 2 ⇒ a2 = 22 – 2. 2 ⇒ a2 = 4 – 4 = 0 
- se n = 3 ⇒ a3 = 32 – 2. 3 ⇒ a3 = 9 – 6 = 3 
- se n = 4 ⇒ a4 = 42 – 4. 2 ⇒ a4 =16 – 8 = 8 
- se n = 5 ⇒ a5 = 52 – 5. 2 ⇒ a5 = 25 – 10 = 15 
 
- Determinar os cinco primeiros termos da sequência cujo termo geral é igual a: 
an = 3n + 2, com n ∈ N*. 
 
- se n = 1 ⇒ a1 = 3.1 + 2 ⇒ a1 = 3 + 2 = 5 
- se n = 2 ⇒ a2 = 3.2 + 2 ⇒ a2 = 6 + 2 = 8 
- se n = 3 ⇒ a3 = 3.3 + 2 ⇒ a3 = 9 + 2 = 11 
- se n = 4 ⇒ a4 = 3.4 + 2 ⇒ a4 = 12 + 2 = 14 
- se n = 5 ⇒ a5 = 3.5 + 2 ⇒ a5 = 15 + 2 = 17 
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. 135 
- Determinar os termos a12 e a23 da sequência cujo termo geral é igual a: 
 
an = 45 – 4n, com n ∈ N*. 
 
Teremos: 
- se n = 12 ⇒ a12 = 45 – 4.12 ⇒ a12 = 45 – 48 = - 3 
- se n = 23 ⇒ a23 = 45 – 4.23 ⇒ a23 = 45 – 92 = - 47 
 
3. Lei de Recorrências 
Uma sequência pode ser definida quando oferecemos o valor do primeiro termo e um “caminho” (uma 
fórmula) que permite a determinação de cada termo conhecendo-se o seu antecedente. Essa forma de 
apresentação de uma sucessão é chamada lei de recorrências. 
 
Exemplos: 
- Escrever os cinco primeiros termos de uma sequência em que: 
a1 = 3 e an+1 = 2an – 4, em que n ∈ N*. 
 
Teremos: o primeiro termo já foi dado. 
- a1 = 3 
- se n = 1 ⇒ a1+1 = 2.a1 – 4 ⇒ a2 = 2.3 – 4 ⇒ a2 = 6 – 4 = 2 
- se n = 2 ⇒ a2+1 = 2.a2 – 4 ⇒ a3 = 2.2 – 4 ⇒ a3 = 4 – 4 = 0 
- se n = 3 ⇒ a3+1 = 2.a3 – 4 ⇒ a4 = 2.0 – 4 ⇒ a4 = 0 – 4 = - 4 
- se n = 4 ⇒ a4+1 = 2.a4 – 4 ⇒ a5 = 2.(-4) – 4 ⇒ a5 = - 8 – 4 = - 12 
 
- Determinar o termo a5 de uma sequência em que: 
a1 = 12 e an+ 1 = an – 2, em que n ∈ N*. 
 
- a1 = 12 
- se n = 1 ⇒ a1+1 = a1 – 2 ⇒ a2 = 12 – 2 ⇒ a2=10 
- se n = 2 ⇒ a2+1 = a2 – 2 ⇒ a3 = 10 – 2 ⇒ a3 = 8 
-se n = 3 ⇒ a3+1 = a3 – 2 ⇒ a4 = 8 – 2 ⇒ a4 = 6 
- se n = 4 ⇒ a4+1 = a4 – 2 ⇒ a5 = 6 – 2 ⇒ a5 = 4 
 
Observação 1 
Devemos observar que a apresentação de uma sequência através do termo geral é mais pratica, visto 
que podemos determinar um termo no “meio” da sequência sem a necessidade de determinarmos os 
termos intermediários, como ocorre na apresentação da sequência através da lei de recorrências. 
 
Observação 2 
Algumas sequências não podem, pela sua forma “desorganizada” de se apresentarem, ser definidas 
nem pela lei das recorrências, nem pela fórmula do termo geral. Um exemplo de uma sequência como 
esta é a sucessão de números naturais primos que já “destruiu” todas as tentativas de se encontrar uma 
fórmula geral para seus termos. 
 
Observação 3 
Em todo exercício de sequência em que n ∈ N*, o primeiro valor adotado é n = 1. No entanto de no 
enunciado estiver n > 3, temos que o primeiro valor adotado é n = 4. Lembrando que n é sempre um 
número natural. 
A Matemática estuda dois tipos especiais de sequências, uma delas a Progressão Aritmética. 
 
PROGRESSÃO ARITMÉTICA (P.A.) 
 
Definição: é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo termo, é igual ao termo 
anterior somado com uma constante que é chamada de razão (r). 
Como em qualquer sequência os termos são chamados de a1, a2, a3, a4, ......., an, .... 
 
Cálculo da razão: a razão de uma P.A. é dada pela diferença de um termo qualquer pelo termo 
imediatamente anterior a ele. 
r = a2 – a1 = a3 – a2 = a4 – a3 = a5 – a4 = .......... = an – an – 1 
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. 136 
Exemplos: 
- (5, 9, 13, 17, 21, 25, ......) é uma P.A. onde a1 = 5 e razão r = 4 
- (2, 9, 16, 23, 30, …) é uma P.A. onde a1 = 2 e razão r = 7 
- (23, 21, 19, 17, 15, …) é uma P.A. onde a1 = 23 e razão r = - 2. 
 
Classificação: uma P.A. é classificada de acordo com a razão. 
 
1- Se r > 0 ⇒ a P.A. é crescente. 
2- Se r < 0 ⇒ a P.A. é decrescente. 
3- Se r = 0 ⇒ a P.A. é constante. 
 
Fórmula do Termo Geral 
Em toda P.A., cada termo é o anterior somado com a razão, então temos: 
1° termo: a1 
2° termo: a2 = a1 + r 
3° termo: a3 = a2 + r = a1 + r + r = a1 + 2r 
4° termo: a4 = a3 + r = a1 + 2r + r = a1 + 3r 
5° termo: a5 = a4 + r = a1 + 3r + r = a1 + 4r 
6° termo: a6 = a5 + r = a1 + 4r + r = a1 + 5r 
 . . . . . . 
 . . . . . . 
 . . . . . . 
n° termo é: 
 
 
 
 
Fórmula da soma dos n primeiros termos 
 
 
 
Propriedades: 
1- Numa P.A. a soma dos termos equidistantes dos extremos é igual à soma dos extremos. 
 
Exemplo 1: (1, 3, 5, 7, 9, 11, ......) 
 
 
Exemplo 2: (2, 8, 14, 20, 26, 32, 38, ......) 
 
 
𝐚𝐧 = 𝐚𝟏 + (𝐧 − 𝟏). 𝐫 
𝐒𝐧 =
(𝐚𝟏 + 𝐚𝐧). 𝐧
𝟐
 
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. 137 
Como podemos observar neste exemplo, temos um número ímpar de termos. Neste caso sobrou um 
termo no meio (20) que é chamado de termo médio e é igual a metade da soma dos extremos. Porém, 
só existe termos médios se houver um número ímpar de termos. 
 
2- Numa P.A. se tivermos três termos consecutivos, o termo médio é igual à média aritmética dos 
anterior com o posterior. Ou seja, (a1, a2, a3, ...) <==> a2 =
a3
a1
. 
Exemplo: 
 
 
P.G. – PROGRESSÃO GEOMETRICA 
 
Definição: é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo termo, é igual ao termo 
anterior multiplicado por uma constante que é chamada de razão (q). 
Como em qualquer sequência os termos são chamados de a1, a2, a3, a4, ......., an,... 
 
Cálculo da razão: a razão de uma P.G. é dada pelo quociente de um termo qualquer pelo termo 
imediatamente anterior a ele. 
𝑞 =
𝑎2
𝑎1
=
𝑎3
𝑎2
=
𝑎4
𝑎3
= ⋯……… = 
𝑎𝑛
𝑎𝑛−1
 
 
Exemplos: 
- (3, 6, 12, 24, 48, ...) é uma PG de primeiro termo a1 = 3 e razão q = 2 
- (-36, -18, -9, 
−9
2
, 
−9
4
,...) é uma PG de primeiro termo a1 = - 36 e razão q = 
1
2
 
- (15, 5, 
5
3
, 
5
9
,...) é uma PG de primeiro termo a1 = 15 e razão q = 
1
3
 
- (- 2, - 6, -18, - 54, ...) é uma PG de primeiro termo a1 = - 2 e razão q = 3 
- (1, - 3, 9, - 27, 81, - 243, ...) é uma PG de primeiro termo a1 = 1 e razão q = - 3 
- (5, 5, 5, 5, 5, 5, ...) é uma PG de primeiro termo a1 = 5 e razão q = 1 
- (7, 0, 0, 0, 0, 0, ...) é uma PG de primeiro termo a1 = 7 e razão q = 0 
- (0, 0, 0, 0, 0, 0, ...) é uma PG de primeiro termo a1 = 0 e razão q indeterminada 
 
Classificação: uma P.G. é classificada de acordo com o primeiro termo e a razão. 
 
1- Crescente: quando cada termo é maior que o anterior. Isto ocorre quando a1 > 0 e q > 1 ou quando 
a1 < 0 e 0 < q < 1. 
2- Decrescente: quando cada termo é menor que o anterior. Isto ocorre quando a1 > 0 e 0 < q < 1 ou 
quando a1 < 0 e q > 1. 
3- Alternante: quando cada termo apresenta sinal contrário ao do anterior. Isto ocorre quando q < 0. 
4- Constante: quando todos os termos são iguais. Isto ocorre quando q = 1. Uma PG constante é 
também uma PA de razão r = 0. A PG constante é também chamada de PG estacionária. 
5- Singular: quando zero é um dos seus termos. Isto ocorre quando a1 = 0 ou q = 0. 
 
Fórmula do termo geral 
 
Em toda P.G. cada termo é o anterior multiplicado pela razão, então temos: 
1° termo: a1 
2° termo: a2 = a1.q 
3° termo: a3 = a2.q = a1.q.q = a1q2 
4° termo: a4 = a3.q = a1.q2.q = a1.q3 
5° termo: a5 = a4.q = a1.q3.q = a1.q4 
 . . . . . 
 . . . . . 
 . . . . . 
 
n° termo é: 
 
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. 138 
 
 
Soma dos n primeiros termos 
 
 
 
Soma dos infinitos termos (ou Limite da soma) 
Vamos ver um exemplo: 
Seja a P.G. (2, 1, ½, ¼, 1/8, 1/16, 1/32, …) de a1 = 2 e q = 
1
2
 se colocarmos na forma decimal, temos 
(2; 1; 0,5; 0,25; 0,125; 0,0625; 0,03125; ….) se efetuarmos a somas destes termos: 
2 + 1 = 3 
3 + 0,5 = 3,5 
3,5 + 0,25 = 3,75 
3,75 + 0,125 = 3,875 
3,875 + 0,0625 = 3,9375 
3,9375 + 0,03125 = 3,96875 
. 
. 
. 
Como podemos observar o número somado vai ficando cada vez menor e a soma tende a um certo 
limite. Então temos a seguinte fórmula: 
 
 
 
Utilizando no exemplo acima: 𝑆 =
2
1−
1
2
=
2
1
2
= 4, logo dizemos que esta P.G. tem um limite que tenda a 
4. 
 
Produto da soma de n termos 
 
 
 
Temos as seguintes regras para o produto, já que esta fórmula está em módulo: 
1- O produto de n números positivos é sempre positivo. 
2- No produto de n números negativos: 
 a) se n é par: o produto é positivo. 
 b) se n é ímpar: o produto é negativo. 
 
Propriedades 
1- Numa P.G., com n termos, o produto de dois termos equidistantes dos extremos é igual ao produto 
destes extremos. 
 
Exemplos 1: (3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384, ...) 
 
 
an = a1.qn – 1 
𝐒𝐧 =
𝐚𝟏. (𝐪
𝐧 − 𝟏)
𝐪 − 𝟏
 
𝐒 =
𝐚𝟏
𝟏 − 𝐪
 → −𝟏 < 𝐪 < 𝟏 
|𝐏𝐧| = √(𝐚𝟏. 𝐚𝐧)
𝐧 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 139 
Exemplo 2: (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, …) 
 
 
- como podemos observar neste exemplo, temos um número ímpar de termos. Neste caso sobrou um 
termo no meio (8) que é chamado de termo médio e é igual a raiz quadrada do produto dos extremos. 
Porém, só existe termo médio se houver um número ímpar de termos. 
 
2- Numa P.G. se tivermos três termos consecutivos, o termo médio é igual à média geométrica do 
termo anterior com o termo posterior. Ou seja, (a1, a2, a3, ...) <==> a2 = √a3. a1. 
 
Exemplo: 
 
 
Questões 
 
01. (Pref. Amparo/SP – Agente Escolar – CONRIO) Descubra o 99º termo da P.A. (45, 48, 51, ...) 
(A) 339 
(B) 337 
(C) 333 
(D) 331 
 
02. (Câmara de São Paulo/SP – Técnico Administrativo – FCC) Uma sequência inicia-se com o 
número 0,3. A partir do 2º termo, a regra de obtenção dos novos termos é o termo anterior menos 0,07. 
Dessa maneira o número que corresponde à soma do 4º e do 7º termos dessa sequência é 
(A) –6,7. 
(B) 0,23. 
(C) –3,1. 
(D) –0,03. 
(E) –0,23. 
 
03. Os termos da sequência (10; 8; 11; 9; 12; 10; 13; …) obedecem a uma lei de formação. Se an, em 
que n pertence a N*, é o termo de ordemn dessa sequência, então a30 + a55 é igual a: 
(A) 58 
(B) 59 
(C) 60 
(D) 61 
(E) 62 
 
04. A soma dos elementos da sequência numérica infinita (3; 0,9; 0,09; 0,009; …) é: 
(A) 3,1 
(B) 3,9 
(C) 3,99 
(D) 3, 999 
(E) 4 
 
05. (EBSERH/ HUSM – UFSM/RS – Analista Administrativo – Administração – AOCP) Observe a 
sequência: 
 
1; 2; 4; 8;... 
 
Qual é a soma do sexto termo com o oitavo termo? 
(A) 192 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 140 
(B) 184 
(C) 160 
(D) 128 
(E) 64 
 
06. (PREF. NEPOMUCENO/MG – TÉCNICO EM SEGURANÇA DO TRABALHO – CONSULPLAN) 
O primeiro e o terceiro termos de uma progressão geométrica crescente são, respectivamente, 4 e 100. 
A soma do segundo e quarto termos dessa sequência é igual a 
(A) 210. 
(B) 250. 
(C) 360. 
(D) 480. 
(E) 520. 
 
07. (TRF 3ª – Analista Judiciário - Informática – FCC) Um tabuleiro de xadrez possui 64 casas. Se 
fosse possível colocar 1 grão de arroz na primeira casa, 4 grãos na segunda, 16 grãos na terceira, 64 
grãos na quarta, 256 na quinta, e assim sucessivamente, o total de grãos de arroz que deveria ser 
colocado na 64ª casa desse tabuleiro seria igual a 
(A) 264. 
(B) 2126. 
(C) 266. 
(D) 2128. 
(E) 2256. 
 
08. (Polícia Militar/SP – Aluno – Oficial – VUNESP) Planejando uma operação de policiamento 
ostensivo, um oficial desenhou em um mapa três círculos concêntricos de centro P, conforme mostrado 
na figura. 
 
 
 
Sabe-se que as medidas dos raios r, r1 e r2 estão, nessa ordem, em progressão geométrica. Se r + r1 
+ r2 = 52 cm, e r . r2 = 144 cm, então r + r2 é igual, em centímetros, a 
(A) 36. 
(B) 38. 
(C) 39. 
(D) 40. 
(E) 42. 
 
09. (EBSERH/HU-UFGD – Técnico em Informática – AOCP) Observe a sequência numérica a seguir: 
11; 15; 19; 23;... 
Qual é o sétimo termo desta sequência? 
(A) 27. 
(B) 31. 
(C) 35. 
(D) 37. 
(E) 39 
 
10. (METRÔ/SP – USINADOR FERRAMENTEIRO – FCC) O setor de almoxarifado do Metrô necessita 
numerar peças de 1 até 100 com adesivos. Cada adesivo utilizado no processo tem um único algarismo 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 141 
de 0 a 9. Por exemplo, para fazer a numeração da peça número 100 são gastos três adesivos (um 
algarismo 1 e dois algarismos 0). Sendo assim, o total de algarismos 9 que serão usados no processo 
completo de numeração das peças é igual a 
(A) 20. 
(B) 10. 
(C) 19. 
(D) 18. 
(E) 9. 
 
11. (MPE/AM – AGENTE DE APOIO- ADMINISTRATIVO – FCC) Considere a sequência numérica 
formada pelos números inteiros positivos que são divisíveis por 4, cujos oito primeiros elementos são 
dados a seguir. (4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32,...) 
O último algarismo do 234º elemento dessa sequência é 
(A) 0 
(B) 2 
(C) 4 
(D) 6 
(E) 8 
 
Respostas 
 
01. Resposta: A. 
r = 48 – 45 = 3 
𝑎1 = 45 
𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑟 
𝑎99 = 45 + 98 ∙ 3 = 339 
 
02. Resposta: D. 
𝑎𝑛 = 𝑎1 − (𝑛 − 1)𝑟 
𝑎4 = 0,3 − 3.0,07 = 0,09 
𝑎7 = 0,3 − 6.0,07 = −0,12 
𝑆 = 𝑎4 + 𝑎7 = 0,09 − 0,12 = −0,03 
 
03. Resposta: B. 
Primeiro, observe que os termos ímpares da sequência é uma PA de razão 1 e primeiro termo 10 - 
(10; 11; 12; 13; …). Da mesma forma os termos pares é uma PA de razão 1 e primeiro termo igual a 8 - 
(8; 9; 10; 11; …). 
Assim, as duas PA têm como termo geral o seguinte formato: 
(1) ai = a1 + (i - 1).1 = a1 + i – 1 
Para determinar a30 + a55 precisamos estabelecer a regra geral de formação da sequência, que está 
intrinsecamente relacionada às duas progressões da seguinte forma: 
- Se n (índice da sucessão) é ímpar temos que n = 2i - 1, ou seja, i = (n + 1)/2; 
- Se n é par temos n = 2i ou i = n/2. 
Daqui e de (1) obtemos que: 
an = 10 + [(n + 1)/2] - 1 se n é ímpar 
an = 8 + (n/2) - 1 se n é par 
Logo: 
a30 = 8 + (30/2) - 1 = 8 + 15 - 1 = 22 e 
a55 = 10 + [(55 + 1)/2] - 1 = 37 
E, portanto: 
a30 + a55 = 22 + 37 = 59. 
 
04. Resposta: E. 
Sejam S as somas dos elementos da sequência e S1 a soma da PG infinita (0,9; 0,09; 0,009; …) de 
razão q = 0,09/0,9 = 0,1. Assim: 
S = 3 + S1 
Como -1 < q < 1 podemos aplicar a fórmula da soma de uma PG infinita para obter S1: 
S1 = 0,9/(1 - 0,1) = 0,9/0,9 = 1 → S = 3 + 1 = 4 
 
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. 142 
05. Resposta: C. 
Esta sequência é do tipo 𝑎𝑛 = 2
𝑛−1 . 
Assim: 
𝑎6 = 2
6−1 = 25 = 32 
𝑎8 = 2
8−1 = 27 = 128 
A soma fica: 32 + 128 = 160. 
 
06. Resposta: E. 
𝑎𝑛 = 𝑎1 ∙ 𝑞
𝑛−1 
𝑎3 = 𝑎1 ∙ 𝑞
2 
100 = 4 ∙ 𝑞2 
𝑞2 = 25 
𝑞 = 5 
𝑎2 = 𝑎1 ∙ 𝑞 = 4 ∙ 5 = 20 
𝑎4 = 𝑎3 ∙ 𝑞 = 100 ∙ 5 = 500 
𝑎2 + 𝑎4 = 20 + 500 = 520 
 
07. Resposta: B. 
Pelos valores apresentados, é uma PG de razão 4 
A64 = ? 
a1 = 1 
q = 4 
n = 64 
 𝑎𝑛 = 𝑎1 ∙ 𝑞
𝑛−1 
 
 𝑎𝑛 = 1 ∙ 4
63 = (22)63 = 2126 
 
08. Resposta: D. 
Se estão em Progressão Geométrica, então: 
𝑟1
𝑟
= 
𝑟2
𝑟1
 , ou seja, 𝑟1 . 𝑟1 = 𝑟 . 𝑟2. 
Assim: 𝑟1
2 = 144 
𝑟1 = √144 = 12 𝑐𝑚 
Sabemos que r + r1 + r2 = 52. Assim: 
𝑟 + 12 + 𝑟2 = 52 
𝑟 + 𝑟2 = 52 − 12 
𝑟 + 𝑟2 = 40 
 
09. Resposta: C. 
Trata-se de uma Progressão Aritmética, cuja fórmula do termo geral é 
 𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1). 𝑟 
 𝑛 = 7; 𝑎1 = 11; 𝑟 = 15 − 11 = 4 
Assim, 𝑎7 = 11 + (7 − 1). 4 = 11 + 6.4 = 11 + 24 = 35 
 
10. Resposta: A. 
 99 = 9 + (𝑛 − 1)10 
 10𝑛 − 10 + 9 = 99 
 𝑛 = 10 
Vamos tirar o 99 pra ser contato a parte: 10-1=9 
 99 = 90 + (𝑛 − 1) 
 𝑛 = 99 − 90 + 1 = 10 
São 19 números que possuem o algarismo 9, mas o 99 possui 2 
19+1=20 
 
11. Resposta: D. 
r = 4 
 𝑎𝑛 = 𝑎1 + (𝑛 − 1)𝑟 
 𝑎234 = 4 + 233 ∙ 4 = 936 
Portanto, o último algarismo é 6. 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 143 
CONCEITOS LÓGICOS 
 
Uma definição ampla e precisa da Lógica, ou da ciência da lógica, que englobe com rigor todo o seu 
domínio atual, não é uma tarefa fácil mesmo para o especialista nessa matéria, porém faremos com que 
possa ficar de uma maneira acessível o entendimento. 
Em uma primeira aproximação, a lógica pode ser entendida como a ciência que estuda os princípios e 
métodos que permitem estabelecer as condições de validade e invalidade dos argumentos. 
 
Pode-se pensar na lógica como o estudo da validade dos argumentos, focalizando a atenção não no 
conteúdo, mas sim na sua forma ou na sua estrutura. 
A lógica, também chamada de formal, simbólica ou ainda matemática, pode ser tratada, a grosso 
modo, mediante três concepções: 
 
1º Lógica como um sistema de regras; 
2º Lógica como um conjunto de leis; 
3º Lógica como estrutura linguística. 
 
Em sentido mais amplo podemos dizer que a Lógica está relacionada a maneira específica de 
raciocinar de forma acertada, isto é, a capacidade do indivíduo de resolver problemas complexos que 
envolvem questões matemáticas, as sequências de números, palavras, entre outros e de desenvolver 
essa capacidade de chegar a validade do seu raciocínio. 
 
Vejamos alguns exemplos: 
 
01- Um exemplo que roda pela internet e redes sociais, os quais são chamados de Desafios, os 
mesmos envolvem o “raciocínio” para chegarmos ao resultado: 
 
 
Solução: 4 em romanos é IV e 1 em inglês é ONE, logo juntando os dois temos: IVONE. 
 
02 - O Pedro, a Rita e o Rui têm alturas diferentes. 
 
 
Levando em consideração as medidas indicadas e escreva o nome das três crianças, do mais baixo 
para o mais alto. 
Solução: Neste caso teremos que fazer a diferença entre a altura maior e a do banco (menor). 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 144 
Mas antes vamos transformar, pois temos que as unidades de medidas são diferentes. Sabemos que 
1m = 100cm. Observe que o banco de Pedro é a soma do de Rita com o de Rui. 
Pedro = Rita + Rui → 90 = Rita + 35 → Rita = 90 – 35 → Rita = 55 cm 
 
Nome Altura(cm) Banco(cm) Altura real (cm) 
Pedro 226 90 136 
Rita 194 55 139 
Rui 173 35 138 
 
Logo a ordem do mais baixo para o mais alto é: Pedro, Rui e Rita. 
 
03 - Qual das seguintes palavras não se enquadra no grupo? 
(A) Faca 
(B)Cisne 
(C) Lápis 
(D) Bonito 
(E) Livro 
(F) Pluma 
 
Solução: Observe que todas as palavras, exceto uma, não é substantivo: Bonito, logo a palavra que 
não faz parte do grupo é a que está na alternativa D. 
 
Este é um assunto muito cobrado em concursos e exige que o candidato tenha domínio de habilidades 
e conteúdos matemáticos (aritméticos, algébricos e geométricos) para sua resolução. Para que se ganhe 
gradativamente essas habilidades e o domínio dos conteúdos. Vejamos algumas questões que abordam 
o assunto. 
 
Referências 
http://conceito.de/raciocinio-logico 
http://www.significados.com.br/raciocinio-logico 
 
Questões 
 
01. (SESAU-RO – Enfermeiro – FUNRIO/2017) Cinco times de futebol (Ajax, Barça, Celtas, Dínamo 
e Espanhol) estão disputando um torneio. Não há outros times no torneio. No momento sabe-se, em 
relação às posições dessas equipes na tabela de classificação, que: 
- Dínamo está em terceiro. 
- Ajax está na frente do Celtas. 
- O último colocado é o Barça. 
- Espanhol está imediatamente atrás do Ajax. 
O time que está na primeira posição é o: 
(A) Ajax. 
(B) Barça. 
(C) Celtas 
(D) Dínamo. 
(E) Espanhol. 
 
02. (TRT – 20ªREGIÃO – Analista Judiciário – FCC/2016) Marina, Kátia, Carolina e Joana se 
sentam em uma mesa hexagonal (seis assentos), conforme indica a figura abaixo. 
 
Sabe-se que Carolina se senta imediatamente à direita de Marina e em frente à Kátia; e que Joana 
não se senta em frente a um lugar vazio. Dessa forma, é correto afirmar que, necessariamente, 
(A) Kátia se senta imediatamente ao lado de dois lugares vazios. 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 145 
(B) Joana se senta imediatamente ao lado de Kátia. 
(C) Marina se senta em frente à Kátia. 
(D) Carolina se senta imediatamente ao lado de dois lugares vazios. 
(E) Carolina está tão distante de Kátia na mesa quanto está de Marina. 
 
03. (CODEBA – Técnico Portuário – FGV/2016) As letras da sigla CODEBA foram embaralhadas e 
a nova sequência dessas mesmas letras possui as seguintes propriedades: 
• nenhuma das 6 letras ocupa a sua posição inicial. 
• as vogais aparecem juntas, na mesma ordem que estavam: O, E, A. 
• a 5ª letra não é D. 
• a letra B aparece antes da letra C. 
É correto concluir que, na nova sequência, 
(A) a 3ª letra é E. 
(B) a 5ª letra é A. 
(C) a 1ª letra é B. 
(D) a 4ª letra é C. 
(E) a 6ª letra é D. 
 
04. (SESAU-RO – Farmacêutico – FUNRIO/2017) A soma de 10 números é 400. Um desses números 
é o 44. Assim, avalie se as seguintes afirmativas são falsas (F) ou verdadeiras (V): 
 Ao menos um dos demais 9 números é menor do que 40. 
 Ao menos três números são menores ou iguais a 39. 
 Ao menos um dos números é menor do que 37. 
As afirmativas são respectivamente: 
(A) F, V e V. 
(B) V, F e V. 
(C) V, F e F. 
(D) F, V e F. 
(E) F, F e F. 
 
05. (SESAU-RO – Técnico em Informática – FUNRIO/2017) Capitu é mais baixa que Marilu e é mais 
alta que Lulu. Lulu é mais alta que Babalu mas é mais baixa que Analu. Marilu é mais baixa que Analu. 
Assim, a mais alta das cinco é: 
(A) Analu. 
(B) Babalu. 
(C) Capitu. 
(D) Lulu. 
(E) Marilu. 
 
06. Um terreno retangular será cercado com arames e estacas. Quantas estacas serão necessárias 
se em cada lado terá de haver 20 delas? 
(A) 80 estacas. 
(B) 78 estacas. 
(C) 76 estacas. 
(D) 74 estacas. 
(E) 72 estacas. 
 
07. (Pref. Cuiabá/MT – Técnico em Administração Escolar – FGV) As pessoas A, B, C, D, E e F 
estão sentadas em volta da mesa circular mostrada a seguir. 
 
 
Sabe-se que: 
• A e B estão juntos. 
• E e F não estão juntos. 
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. 146 
• D está à direita de A, mas não está em frente de F. 
É correto afirmar que: 
(A) F está à esquerda de C. 
(B) B está em frente de E. 
(C) E está à direita de B. 
(D) B está à direita de A. 
(E) C está em frente de D. 
 
08. (Câmara de Aracruz/ES – Agente Administrativo e Legislativo – IDECAN/2016) Analise a lógica 
envolvida nas figuras a seguir. 
 
A letra que substitui o sinal “?” é: 
(A) O. 
(B) R. 
(C) T. 
(D) W. 
 
09. (Pref. Barbacena/MG – Advogado – FCM/2016) Maria tem três filhos, Bianca, Celi e João, e seis 
netos, Ana, André, Beth, Cláudia, Fernando e Paula. Sabe-se que: 
Bianca tem três filhos(as). 
Celi tem dois filhos(as). 
João tem um(a) filho(a). 
Cláudia não tem irmãos. 
Beth é irmã de Paula. 
André não tem irmãs. 
Com essas informações, pode-se afirmar que Ana é 
(A) filha de Celi. 
(B) prima de Beth. 
(C) prima de Paula. 
(D) filha de Bianca. 
 
Respostas 
 
01. Resposta: A. 
Analisando as alternativas: 
 
✓ Dínamo está em terceiro. 
Letra D fora 
 
✓ Ajax está na frente do Celtas. 
? 
 
✓ O último colocado é o Barça. 
Letra B fora 
 
✓ Espanhol está imediatamente atrás do Ajax. 
Letra E fora 
 
A essa altura ficamos entre a letra A e E. Só que como o Ajax está na frente do Celta, Ajax é o primeiro 
colocado. 
Letra A 
 
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. 147 
02. Resposta: B. 
De acordo com as informações presentes no enunciado temos: 
1º Carolina se senta imediatamente à direita de Marina. 
 1 2 
M 3 
 C 4 
2º e em frente à Kátia. 
 1 K 
M 3 
 C 4 
 
 
3º e que Joana não se senta em frente a um lugar vazio. Logo não poderá sentar em 1 e nem em 4, 
portanto sentará em 3. 
 1 K 
M J 
 C 4 
Letra B. 
 
03. Resposta: E. 
Pelo enunciado: 
Nenhuma das 6 letras ocupa a sua posição inicial. 
A 5ª letra não é D. 
 
As vogais aparecem juntas, na mesma ordem que estavam: O, E, A. 
O E A ___ ___ ___ ---> Ok. 
___ O E A ___ ___ ---> O ESTÁ OCUPANDO A MESMA POSIÇÃO, NÃO PODE. 
___ ___ O E A ___ ---> E ESTÁ OCUPANDO A MESMA POSIÇÃO, NÃO PODE. 
___ ___ ___ O E A ---> A ESTÁ OCUPANDO A MESMA POSIÇÃO, NÃO PODE. 
 
A letra B aparece antes da letra C. 
O E A ___ ___ ___ 
D não pode ser a 5ª, então na quinta ficará B ou C, então teríamos B C D ou D B C, mas o B ocuparia 
a mesma posição nos deixando apenas a opção B C D. 
Alternativa E. 
 
04. Resposta: C 
 Se um dos números é 44, os outros nove somam 356. 
Dividindo 356 por 9, temos 39,9999.... Logo, podemos ver que não importa quais são os números, um 
necessariamente será menor que 40. Por isso, a afirmativa I é Verdadeira. 
É possível que menos de 3 números seja menor maior que 39. Por exemplo, 100 + 100 + 100 + 40 + 
10 + 2 + 2 + 1 + 1 = 356. Logo, afirmativa II é Falsa. 
Como vimos, é possível que os 9 números restantes sejam iguais a 39,999... ou seja, afirmação III é 
Falsa. 
Gabarito: V, F e F. 
 
05. Resposta: A. 
Seja A= Analu, B= Babalu, C= Capitu, L= Lulu e M= Marilu. 
Pelo enunciado temos: 
M>L 
L>B 
A>L 
A>M. 
Portanto a maior de todas é A= Analu. 
 
06. Resposta: C. 
Se em cada lado deverá haver 20 estacas, nos quatro lados do terreno deverá ter 4x20 – 4 = 76 
estacas. 
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. 148 
Diminuímos 4 porque contando 20 em cada lado as que estão no canto (vértices) foram contadas duas 
vezes. 
 
07. Resposta: A. 
Interpretando o enunciado temos a seguinte disposição: 
 
Observe que C é o lugar que sobra, dentro das afirmações. 
 
08. Resposta: C. 
Substituindo as letras pelas posições no alfabeto: 
C - 3º posição do alfabeto / E - 5º posição do alfabeto / H - 8ºposição do alfabeto 
L- 12º posição do alfabeto / G- 7º posição do alfabeto / S-19º posição do alfabeto 
I - 9º posição do alfabeto / K - 11º posição do alfabeto / Qual será a letra? 
 
Após a substituição observamos que a 1ª letra é a diferença das outras duas: 
 
C (3) E (5) H (8) 
L (12) G (7) S (19) 
 
I (9) K (11) ? 
 
8 – 5 = 3 
19 – 7 = 12 
? – 11 = 9 → ? = 9 + 11 → ? = 20 = T. 
 
09. Resposta: D. 
Partindo das informações temos: 
 
Maria 
Filhos (3) Netos (6) 
Bianca (3 filhos(as)) 
Celi (2 filhos (as)) 
João (1 filho (a) 
 
Netos: André e Fernando (2) 
Netas: Ana, Beth, Claudia,Paula (4) 
- A resposta mais direta é a de Claudia que não tem irmãos, logo é filha única e só pode ser filha de 
João. 
- Depois temos que André não tem irmãs. Logo ele pode ter irmão, como só tem 2 meninos. André e 
Fernando são filhos de Celi. 
- Observe que sobrou Ana, Beth e Paula que só podem ser filhas de Bianca. 
Analisando as alternativas a única correta é a D. 
 
 
 
SISTEMA MÉTRICO DECIMAL E NÃO DECIMAL 
 
Sistema de Medidas Decimais 
III - GRANDEZAS E MEDIDAS: estimativas e noções de medições 
 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 149 
Um sistema de medidas é um conjunto de unidades de medida que mantém algumas relações entre 
si. O sistema métrico decimal é hoje o mais conhecido e usado no mundo todo. Na tabela seguinte, 
listamos as unidades de medida de comprimento do sistema métrico. A unidade fundamental é o metro, 
porque dele derivam as demais. 
 
 
 
Há, de fato, unidades quase sem uso prático, mas elas têm uma função. Servem para que o sistema 
tenha um padrão: cada unidade vale sempre 10 vezes a unidade menor seguinte. 
Por isso, o sistema é chamado decimal. 
 
E há mais um detalhe: embora o decímetro não seja útil na prática, o decímetro cúbico é muito usado 
com o nome popular de litro. 
As unidades de área do sistema métrico correspondem às unidades de comprimento da tabela anterior. 
São elas: quilômetro quadrado (km2), hectômetro quadrado (hm2), etc. As mais usadas, na prática, são 
o quilômetro quadrado, o metro quadrado e o hectômetro quadrado, este muito importante nas atividades 
rurais com o nome de hectare (há): 1 hm2 = 1 ha. 
No caso das unidades de área, o padrão muda: uma unidade é 100 vezes a menor seguinte e não 10 
vezes, como nos comprimentos. Entretanto, consideramos que o sistema continua decimal, porque 100 
= 102. 
Existem outras unidades de medida mas que não pertencem ao sistema métrico decimal. Vejamos 
as relações entre algumas essas unidades e as do sistema métrico decimal (valores aproximados): 
1 polegada = 25 milímetros 
1 milha = 1 609 metros 
1 légua = 5 555 metros 
1 pé = 30 centímetros 
 
 
A nomenclatura é a mesma das unidades de comprimento acrescidas de quadrado. 
 
Agora, vejamos as unidades de volume. De novo, temos a lista: quilômetro cúbico (km3), hectômetro 
cúbico (hm3), etc. Na prática, são muitos usados o metro cúbico(m3) e o centímetro cúbico(cm3). 
Nas unidades de volume, há um novo padrão: cada unidade vale 1000 vezes a unidade menor 
seguinte. Como 1000 = 103, o sistema continua sendo decimal. 
 
 
 
A noção de capacidade relaciona-se com a de volume. Se o volume da água que enche um tanque é 
de 7.000 litros, dizemos que essa é a capacidade do tanque. A unidade fundamental para medir 
capacidade é o litro (l); 1l equivale a 1 dm3 e 1m³ = 1000l. 
Cada unidade vale 10 vezes a unidade menor seguinte. 
 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 150 
 
 
O sistema métrico decimal inclui ainda unidades de medidas de massa. A unidade fundamental é o 
grama(g). 
 
 
Nomenclatura: 
Kg – Quilograma 
hg – hectograma 
dag – decagrama 
g – grama 
dg – decigrama 
cg – centigrama 
mg – miligrama 
 
Dessas unidades, só têm uso prático o quilograma, o grama e o miligrama. No dia-a-dia, usa-se ainda 
a tonelada (t). 
Medidas Especiais: 
1 Tonelada(t) = 1000 Kg 
1 Arroba = 15 Kg 
1 Quilate = 0,2 g 
 
Relações entre unidades: 
 
 
 
Temos que: 
1 kg = 1l = 1 dm3 
1 hm2 = 1 ha = 10.000m2 
1 m3 = 1000 l 
 
Questões 
 
01. (MP/SP – Auxiliar de Promotoria I – Administrativo – VUNESP) O suco existente em uma jarra 
preenchia 
3
4
 da sua capacidade total. Após o consumo de 495 mL, a quantidade de suco restante na jarra 
passou a preencher 
1
5
 da sua capacidade total. Em seguida, foi adicionada certa quantidade de suco na 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 151 
jarra, que ficou completamente cheia. Nessas condições, é correto afirmar que a quantidade de suco 
adicionada foi igual, em mililitros, a 
(A) 580. 
(B) 720. 
(C) 900. 
(D) 660. 
(E) 840. 
 
02. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) Em uma casa há um filtro de barro que contém, no 
início da manhã, 4 litros de água. Desse filtro foram retirados 800 mL para o preparo da comida e meio 
litro para consumo próprio. No início da tarde, foram colocados 700 mL de água dentro desse filtro e, até 
o final do dia, mais 1,2 litros foram utilizados para consumo próprio. Em relação à quantidade de água 
que havia no filtro no início da manhã, pode-se concluir que a água que restou dentro dele, no final do 
dia, corresponde a uma porcentagem de 
(A) 60%. 
(B) 55%. 
(C) 50%. 
(D) 45%. 
(E) 40%. 
 
03. (UFPE – Assistente em Administração – COVEST) Admita que cada pessoa use, semanalmente, 
4 bolsas plásticas para embrulhar suas compras, e que cada bolsa é composta de 3 g de plástico. Em um 
país com 200 milhões de pessoas, quanto plástico será utilizado pela população em um ano, para 
embrulhar suas compras? Dado: admita que o ano é formado por 52 semanas. Indique o valor mais 
próximo do obtido. 
(A) 108 toneladas 
(B) 107 toneladas 
(C) 106 toneladas 
(D) 105 toneladas 
(E) 104 toneladas 
 
04. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) Uma chapa de alumínio com 1,3 m2 de área será 
totalmente recortada em pedaços, cada um deles com 25 cm2 de área. Supondo que não ocorra nenhuma 
perda durante os cortes, o número de pedaços obtidos com 25 cm2 de área cada um, será: 
(A) 52000. 
(B) 5200. 
(C) 520. 
(D) 52. 
(E) 5,2. 
 
05. (CLIN/RJ - Gari e Operador de Roçadeira - COSEAC) Uma peça de um determinado tecido tem 
30 metros, e para se confeccionar uma camisa desse tecido são necessários 15 decímetros. Com duas 
peças desse tecido é possível serem confeccionadas: 
(A) 10 camisas 
(B) 20 camisas 
(C) 40 camisas 
(D) 80 camisas 
 
06. (CLIN/RJ - Gari e Operador de Roçadeira - COSEAC) Um veículo tem capacidade para 
transportar duas toneladas de carga. Se a carga a ser transportada é de caixas que pesam 4 quilogramas 
cada uma, o veículo tem capacidade de transportar no máximo: 
(A) 50 caixas 
(B) 100 caixas 
(C) 500 caixas 
(D) 1000 caixas 
 
07. (PM/SP – Oficial Administrativo – VUNESP) Um trecho de uma estrada com 5,6 km de 
comprimento está sendo reparado. A empresa A, responsável pelo serviço, já concluiu 
3
7
 do total a ser 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 152 
reparado e, por motivos técnicos, 
2
5
 do trecho que ainda faltam reparar serão feitos por uma empresa B. 
O número total de metros que a empresa A ainda terá que reparar é 
(A) 1920. 
(B) 1980. 
(C) 2070. 
(D) 2150. 
(E) 2230. 
 
Respostas 
 
01. Resposta: B. 
Vamos chamar de x a capacidade total da jarra. Assim: 
 
3
4
 . 𝑥 − 495 = 
1
5
 . 𝑥 
 
3
4
 . 𝑥 − 
1
5
 . 𝑥 = 495 
 
5.3.𝑥 − 4.𝑥=20.495 
20
 
 
15x – 4x = 9900 
11x = 9900 
x = 9900 / 11 
x = 900 mL (capacidade total) 
Como havia 1/5 do total (1/5 . 900 = 180 mL), a quantidade adicionada foi de 900 – 180 = 720 mL 
 
02. Resposta: B. 
4 litros = 4000 ml; 1,2 litros = 1200 ml; meio litro = 500 ml 
4000 – 800 – 500 + 700 – 1200 = 2200 ml (final do dia) 
Utilizaremos uma regra de três simples: 
ml % 
4000 ------- 100 
2200 ------- x 
4000.x = 2200 . 100 x = 220000 / 4000 = 55% 
 
03. Resposta: D. 
4 . 3 . 200000000 . 52 = 1,248 . 1011 g = 1,248 . 105 t 
 
04. Resposta: C. 
1,3 m2 = 13000 cm2 
13000 / 25 = 520 pedaços 
 
05. Resposta: C. 
Como eu quero 2 peças desse tecido e 1 peça possui 30 metros logo: 
30 . 2 = 60 m. Temos que trabalhar com todas na mesma unidade: 1 m é 10dm assim temos 60m . 10 
= 600 dm, como cada camisa gasta um total de 15 dm, temos então: 
600/15 = 40 camisas. 
 
06. Resposta: C. 
Uma tonelada(ton) é 1000 kg, logo 2 ton. 1000kg= 2000 kg 
Cada caixa pesa 4kg  2000 kg/ 4kg = 500 caixas. 
 
07. Resposta: A. 
Primeiramente, vamos transformar Km em metros: 5,6 Km = 5600m (.1000) 
Faltam 
7
7
−
3
7
=
4
7
 do total, ou seja, 
4
7
 𝑑𝑒 5600 =
4.5600
7
= 3200𝑚 
A empresa B vai reparar 
2
5
 𝑑𝑒 3200 =
2.3200
5
= 1280𝑚 
Então, a empresa A vai reparar 3200 – 1280 = 1920m 
 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 153 
Não Decimais 
 
 
Desse grupo, o sistema hora – minuto – segundo, que mede intervalos de tempo, é o mais conhecido. 
A unidade utilizada como padrão no Sistema Internacional (SI) é o segundo. 
 
1h → 60 minutos → 3 600 segundos 
 
Para passar de uma unidade para a menor seguinte, multiplica-se por 60. 
 
Exemplo: 
0,3h não indica 30 minutos nem 3 minutos, quantos minutos indica 0,3 horas? 
 
1 hora 60 minutos 
0,3 x 
 
Efetuando temos: 0,3 . 60 = 1. x → x = 18 minutos. Concluímos que 0,3horas = 18 minutos. 
 
- Adição e Subtração de Medida de tempo 
Ao adicionarmos ou subtrairmos medidas de tempo, precisamos estar atentos as unidades. Vejamos 
os exemplos: 
 
A) 1 h 50 min + 30 min 
 
 
Observe que ao somar 50 + 30, obtemos 80 minutos, como sabemos que 1 hora tem 60 minutos, então 
acrescentamos a hora +1, e subtraímos 80 – 60 = 20 minutos, é o que resta nos minutos: 
 
 
Logo o valor encontrado é de 2 h 20 min. 
 
B) 2 h 20 min – 1 h 30 min 
 
 
Observe que não podemos subtrair 20 min de 30 min, então devemos passar uma hora (+1) das 2 
para a coluna minutos. 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 154 
 
Então teremos novos valores para fazermos nossa subtração, 20 + 60 = 80: 
 
 
 
Logo o valor encontrado é de 50 min. 
 
Questões 
 
01. (PREF. CAMAÇARI/BA – TÉC. VIGILÂNCIA EM SAÚDE NM – AOCP) Joana levou 3 horas e 53 
minutos para resolver uma prova de concurso, já Ana levou 2 horas e 25 minutos para resolver a mesma 
prova. Comparando o tempo das duas candidatas, qual foi a diferença encontrada? 
(A) 67 minutos. 
(B) 75 minutos. 
(C) 88 minutos. 
(D) 91 minutos. 
(E) 94 minutos. 
 
02. (SAAE/SP – Auxiliar de Manutenção Geral – VUNESP) A tabela a seguir mostra o tempo, 
aproximado, que um professor leva para elaborar cada questão de matemática. 
 
 
O gráfico a seguir mostra o número de questões de matemática que ele elaborou. 
 
 
 
O tempo, aproximado, gasto na elaboração dessas questões foi 
(A) 4h e 48min. 
(B) 5h e 12min. 
(C) 5h e 28min. 
(D) 5h e 42min. 
(E) 6h e 08min. 
 
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. 155 
03. (CEFET – Auxiliar em Administração – CESGRANRIO) Para obter um bom acabamento, um 
pintor precisa dar duas demãos de tinta em cada parede que pinta. Sr. Luís utiliza uma tinta de secagem 
rápida, que permite que a segunda demão seja aplicada 50 minutos após a primeira. Ao terminar a 
aplicação da primeira demão nas paredes de uma sala, Sr. Luís pensou: “a segunda demão poderá ser 
aplicada a partir das 15h 40min.” 
Se a aplicação da primeira demão demorou 2 horas e 15 minutos, que horas eram quando Sr. Luís 
iniciou o serviço? 
(A) 12h 25 min 
(B) 12h 35 min 
(C) 12h 45 min 
(D) 13h 15 min 
(E) 13h 25 min 
 
Respostas 
 
01. Resposta: C. 
 
Como 1h tem 60 minutos. 
Então a diferença entre as duas é de 60+28=88 minutos. 
 
02. Resposta: D. 
T = 8 . 4 + 10 . 6 + 15 . 10 + 20 . 5 = 
 = 32 + 60 + 150 + 100 = 342 min 
Fazendo: 342 / 60 = 5 h, com 42 min (resto) 
 
03. Resposta: B. 
15 h 40 – 2 h 15 – 50 min = 12 h 35min 
 
 
 
Para medir ângulos, também temos um sistema não decimal. Nesse caso, a unidade básica é o grau. 
Na astronomia, na cartografia e na navegação são necessárias medidas inferiores a 1º. Temos, então: 
 
1 grau equivale a 60 minutos (1º = 60’) 
1 minuto equivale a 60 segundos (1’ = 60”) 
 
Os minutos e os segundos dos ângulos não são, é claro, os mesmos do sistema de tempo – hora, 
minuto e segundo. Há uma coincidência de nomes, mas até os símbolos que os indicam são diferentes: 
 
1h 32min 24s é um intervalo de tempo ou um instante do dia. 
1º 32’ 24” é a medida de um ângulo. 
 
Por motivos óbvios, cálculos no sistema hora – minuto – segundo são similares a cálculos no sistema 
grau – minuto – segundo, embora esses sistemas correspondam a grandezas distintas. 
 
 
 
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. 156 
UNIDADES DE MEDIDA – VELOCIDADE 
 
A velocidade de um corpo é dada pela relação entre o deslocamento de um corpo em determinado 
tempo. Pode ser considerada a grandeza que mede o quão rápido um corpo se desloca. 
Segundo o S.I (Sistema Internacional de medidas) as unidades mais utilizadas para se medir a 
velocidade é Km/h (Quilômetro por hora) e o m/s (metro por segundo). 
 
Quando ouvimos que carro se desloca a uma velocidade de 20 km/h, isto significa que ele percorre 20 
km em 1 hora. 
Muitas questões pedem para que passemos de km/h para m/s, para efetuarmos essa transformação, 
basta utilizarmos o que segue na figura abaixo: 
 
 
 
Exemplo: 
Um carro se desloca de Florianópolis – SC a Curitiba – PR. Sabendo que a distância entre as duas 
cidades é de 300 km e que o percurso iniciou as 7 horas e terminou ao meio dia, calcule a velocidade 
média do carro durante a viagem, em m/s. 
A velocidade média é dada por: 
𝑉𝑚 =
∆𝑆
∆𝑡
=
∆𝑆𝑓 − ∆𝑆𝑖
∆𝑡𝑓 − ∆𝑡𝑖
 
 
Ou seja, a variação da distância ΔS (final menos inicial) dividido por Δt, variação do tempo (final menos 
inicial). 
Montando de acordo com as informações do enunciado temos: 
ΔS = 300 Km 
Δt = 12 – 7 = 5 horas de percurso. 
Então: 
𝑉𝑚 =
300
5
= 60𝑘𝑚/ℎ 
 
Transformando para m/s teremos apenas que dividir por 3,6: 
60 : 3,6 = 16,67 m/s 
 
Questões 
 
01. (CPTM/SP – Técnico de Manutenção – RBO/2017) Com velocidade média de 70 km/h, Natália 
foi de trem da cidade A para a cidade B em 50 minutos. Se o percurso de volta foi feito em 40 minutos, a 
velocidade média na volta, em km/h, foi de aproximadamente 
(A) 80,0 
(B) 84,0 
(C) 85,5 
(D) 87,5 
(E) 92,5 
 
02. (PM/SC – Soldado – IESES) Dois automóveis percorreram a distância entre as cidades A e B. 
Ambos saíram da cidade A e não realizaram paradas durante as viagens. O primeiro partiu às 9 horas e 
o segundo às 10 horas, chegando juntos na cidade B às 14 horas. Se a velocidade média do primeiro foi 
de 50 km/h, qual é a velocidade média do segundo automóvel? 
(A) 72,5Km/h 
(B) 60km/h 
(C) 65 km/h 
(D) 62,5 km/h 
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. 157 
(E) 125 km/h 
 
Respostas 
 
01. Resposta: D. 
 Trajeto de IDA: 50m min = 5/6hora 
 
Vm = 70 = x/(5/6) 
70 = 6x/5 
X = 350/6 km 
Trajeto de VOLTA: 40 min = 40/60 = 2/3 
Vm = (350/6)/(2/3) = 350.3/6.2 = 87,5 km/h 
 
02. Resposta: D. 
Primeiro automóvel: 
Vm = variação espaço/variação tempo 
50 = x/5 
X = 250 km 
 
Segundo Automóvel: 
Vm = 250/4 = 62,5 km/h 
 
Unidade de Medida Utilizada em Computação 
 
Para mensurar a capacidade de processamento de um computador assim como a capacidade de 
armazenamento é utilizado o conceito de byte (representado pela letra B maiúscula). 
Um byte equivale a aproximadamente 8 bits e é representado pela letra b minúscula. Um bitpode ser 
representado somente por duas entidades: ou um dígito 0 ou um dígito 1. 
Um caracter digitado no teclado tem, aproximadamente, 8 bits. 
Quando falamos que um byte equivale a aproximadamente 8 bits, estamos tratando da mensuração 
dos bytes que temos contato no dia-a-dia. Por exemplo, vejamos uma tabela que relaciona bits e bytes: 
 
byte (B) Correspondência em bytes bit (b) Correspondência em bits Potência 
1 byte 1 byte 8 bits 8 bits 20 
1 kB 1.024 bytes 8 kb 8.192 bits 210 
1 MB 1.048.576 bytes 8.192 kb 8.388.608 bits 220 
1 GB 1.073.741.824 bytes 8.388.608 kb 8.589.934.592 bits 230 
1 TB 1.099.511.627.776 bytes 8.589.934.592 kb 8.796.093.022.208 bits 240 
 
Questões 
 
01.(UFRRJ – Auxiliar em Administração – UFRRJ) 1 Terabyte possui: 
(A) 1000 GB. 
(B) 1000 KB. 
(C) 1000 MB 
(D) 1024 GB 
(E) 1024 MB 
 
02. (CRF-SC – Programador – IESES) Identifiquenas alternativas abaixo a opção que representa o 
maior uso de espaço em disco: 
(A) Kilobytes 
(B) 2 Terabytes 
(C) 2 Gigabytes 
(D) 5 Megabytes 
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. 158 
 
Respostas 
 
01. Resposta: D 
Basta dividir 1.099.511.627.776 bytes por 1.073.741.824 bytes. 
 
02. Resposta: B. 
A maior unidade dentre as alternativas é o terabyte, basta observar na tabela presente em nossa 
explicação (TB). 
 
CALENDÁRIOS 
 
Calendário é um sistema para contagem e agrupamento de dias que visa atender, principalmente, 
às necessidades civis e religiosas de uma cultura. As unidades principais de agrupamento são o mês e o 
ano. 
 
A unidade básica para a contagem do tempo é o dia, que corresponde ao período de tempo entre 
dois eventos equivalentes sucessivos: por exemplo, o intervalo de tempo entre duas ocorrências do 
nascer do Sol, que corresponde, em média (dia solar médio), a 24 horas. 
O ano solar é o período de tempo decorrido para completar um ciclo de estações 
(primavera, verão, outono e inverno). O ano solar médio tem a duração de aproximadamente 365 dias, 5 
horas, 48 minutos e 47 segundos (365,2422 dias). Também é conhecido como ano trópico. A cada quatro 
anos, as horas extra acumuladas são reunidas no dia 29 de Fevereiro, formando o ano bissexto, ou seja, 
o ano com 366 dias. 
Os calendários antigos baseavam-se em meses lunares (calendários lunares) ou no ano solar 
(calendário solar) para contagem do tempo. 
Calendários podem definir outras unidades de tempo, como a semana, para o propósito de planejar 
atividades regulares que não se encaixam facilmente com meses ou anos. Calendários podem ser 
completos ou incompletos. Calendários completos oferecem um modo de nomear cada dia consecutivo, 
enquanto calendários incompletos não. 
 
Tipos de Calendário 
 
- Lunar: é aquele em que os dias são numerados dentro de cada ciclo das fases da lua. Como o 
comprimento do mês lunar não é nem mesmo uma fração do comprimento do ano trópico, um calendário 
puramente lunar rapidamente desalinha-se das estações do ano, que não variam muito perto da linha do 
Equador. 
 
- Fiscal: Um calendário fiscal (como um calendário 4-4-5) fixa para cada mês um determinado número 
de semanas, para facilitar as comparações de mês para mês e de ano para ano. Janeiro sempre tem 
exatamente 4 semanas (de domingo a sábado), fevereiro tem quatro semanas, março tem cinco semanas 
etc. Calendários fiscais também são usados pelas empresas. Neste caso o ano fiscal é apenas um 
conjunto qualquer de 12 meses. Este conjunto de 12 meses pode começar e terminar em qualquer ponto 
do calendário gregoriano. É o uso mais comum dos calendários fiscais. 
 
- Lunissolar: Baseados no movimento da Lua e do Sol. Neste tipo de calendário, procura-se 
harmonizar a duração do ano solar com os ciclos mensais da lua através de ajustamentos periódicos. 
Assim os doze meses têm ao todo 354 dias e os dias que faltam para corresponder ao ciclo solar obtêm-
se através da introdução periódica de um mês extra, o chamado 13o mês lunar. 
Nosso calendário atual está baseado no antigo calendário romano, que era lunar. Como o período 
sinódico da Lua é de 29,5 dias, um mês tinha 29 dias e o outro 30 dias, o que totalizava 354 dias. Então 
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. 159 
a cada três anos era introduzido um mês a mais para completar os 365,25 dias por ano em média. Os 
anos no calendário romano eram chamados de a.u.c. (ab urbe condita), "a partir da fundação da cidade 
de Roma". Neste sistema, o dia 11 de janeiro de 2000 marcou o ano novo do 2753 a.u.c. A maneira de 
introduzir o 13o mês se tornou muito irregular, de forma que no ano 46 a.C. Júlio César, orientado pelo 
astrônomo alexandrino Sosígenes (90-? a.C.), reformou o calendário, introduzindo o Calendário Juliano, 
de doze meses, no qual a cada três anos de 365 dias seguia outro de 366 dias (ano bissexto). Assim, o 
ano juliano tem em média 365,25 dias. Para acertar o calendário com a primavera, foram adicionados 67 
dias àquele ano e o primeiro dia do mês de março de 45 a.C., no calendário romano, foi chamado de 1 
de janeiro no calendário Juliano. Este ano é chamado de Ano da Confusão. O ano juliano vigorou por 
1600 anos. 
Concluindo: 
- 1 ano tem 365 a 366(bissexto) dias; 
- 1 ano está dividido em 12 meses; 
- 1 mês tem de 30 a 31 dias; 
- 1 dia tem 24 horas 
 
Tome nota: 
- O calendário SEMPRE se repete em sua integralidade de 11 em 11 anos; 
 
- Se o ano analisado não for bissexto, o primeiro e o último dia desse referido ano cairá no mesmo dia 
da semana (Ex.: se 01/jan/2011 for segunda-feira, então dia 31/dez/2011 também será segunda-feira); 
 
- Se o ano analisado for bissexto, o último dia desse ano cairá no dia da semana subsequente ao do 
dia primeiro do ano (Ex.: se 01/jan/2012 for terça-feira, então o dia 31/dez/2012 será quarta-feira); 
 
- Os anos bissextos são números múltiplos de 4. (Ex.: 2008,2012, 2016, são múltiplos de 4, pois da 
sua divisão por 4, obtemos um número exato: 2008/4 = 502) 
 
Questões 
 
01 . (IBGE - CESGRANRIO) Depois de amanhã é segunda-feira, então, ontem foi 
(A) terça-feira. 
(B) quarta-feira. 
(C) quinta-feira. 
(D) sexta-feira. 
(E) sábado 
 
02. (TRT 18 – Técnico Judiciário – Área Administrativa - FCC) A audiência do Sr. José estava 
marcada para uma segunda-feira. Como ele deixou de apresentar ao tribunal uma série de documentos, 
o juiz determinou que ela fosse remarcada para exatos 100 dias após a data original. A nova data da 
audiência do Sr. José cairá em uma 
(A) quinta-feira. 
(B) terça-feira. 
(C) sexta-feira. 
(D) quarta-feira. 
(E) segunda-feira. 
 
03. (IF/RO – Administrador – Makiyama) A Terra leva, aproximadamente, 365 dias, 5 horas, 48 
minutos e 46 segundos para dar uma volta completa em torno do Sol. Por isso, nosso calendário, o 
gregoriano, tem 365 dias divididos em 12 meses. Assim, a cada 4 anos, um dia é acrescentado ao mês 
de fevereiro para compensar as horas que “sobram” e, então, tem-se um ano bissexto. Em um ano não 
bissexto, três meses consecutivos possuem exatamente 4 domingos cada um. Logo, podemos afirmar 
que: 
(A) Um desses meses é fevereiro. 
(B) Dois desses devem ter 30 dias. 
(C) Um desses meses deve ser julho ou agosto. 
(D) Um desses meses deve ser novembro ou dezembro. 
(E) Dois desses meses devem ter 31 dias. 
 
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. 160 
04. (TRT/2ª Região – Técnico Judiciário – Área Administrativa - FCC) Um jogo eletrônico fornece, 
uma vez por dia, uma arma secreta que pode ser usada pelo jogador para aumentar suas chances de 
vitória. A arma é recebida mesmo nos dias em que o jogo não é acionado, podendo ficar acumulada. A 
tabela mostra a arma que é fornecida em cada dia da semana. 
 
Dia da semana Arma secreta fornecida pelo jogo 
2ªs, 4ªs e 6ªs feiras Bomba colorida 
3ªs feiras Doce listrado 
5ªs feiras Bala de goma 
Domingos Rosquinha gigante 
 
Considerando que o dia 1º de janeiro de 2014 foi uma 4ª feira e que tanto 2014 quanto 2015 são anos 
de 365 dias, o total de bombas coloridas que um jogador terá recebido no biênio formado pelos anos de 
2014 e 2015 é igual a 
(A) 312. 
(B) 313. 
(C) 156. 
(D) 157. 
(E) 43. 
 
05. (ALEPE – Analista Legislativo Especialidade Biblioteconomia - FCC) Ano bissexto é aquele 
em que acrescentamos 1 dia no mês de fevereiro, perfazendo no ano um total de 366 dias. São anos 
bissextos os múltiplos de 4, exceto os que também são múltiplos de 100 e simultaneamente não são 
múltiplos de 400. De acordo com essa definição, de 2014 até o ano 3000 teremos um total de anos 
bissextos igual a 
(A) 245. 
(B) 239. 
(C) 244. 
(D) 238. 
(E) 249. 
 
06. (AGU - Administrador - IDECAN) Se o ano de 2012 começou em um domingo, então o dia 30 de 
dezembro de 2017 acontecerá em qual dia da semana? 
(A) Sábado. 
(B) Domingo. 
(C) Terça-Feira. 
(D) Quarta-Feira. 
(E) Segunda-Feira.07. (AGU - Técnico em Contabilidade - IDECAN) Se o dia 3 de fevereiro de 2012 foi uma sexta-feira, 
então o dia 17 de setembro do referido ano aconteceu em qual dia da semana? 
(A) Terça-feira. 
(B) Sexta-feira. 
(C) Quarta-feira. 
(D) Quinta-feira. 
(E) Segunda-feira. 
 
08. (PC/PI - Escrivão de Polícia Civil - UESPI) Se 01/01/2013 foi uma terça-feira, qual dia da semana 
foi 19/09/2013? 
(A) Quarta-feira. 
(B) Quinta-feira. 
(C) Sexta-feira. 
(D) Sábado. 
(E) Domingo. 
 
Respostas 
 
01. Resposta: D. 
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. 161 
Vamos enumerar os dias para que possamos ter a verdadeira noção do dia que estamos e do dia que 
queremos. Temos a informação que Depois de amanhã é segunda e que precisamos saber o dia de 
ontem, no esquema abaixo temos uma maneira de visualizar melhor o que queremos: 
 
Ontem Hoje Amanhã Depois de Amanhã 
 Segunda 
 
Seguindo a sequência dos dias da semana, temos que enumera-los agora para trás: 
 
Ontem Hoje Amanhã Depois de Amanhã 
Sexta Sábado Domingo Segunda 
 
 
Com isso concluímos que ontem é sexta-feira. 
 
02. Resposta: D. 
Vamos dividir os 100 dias pela quantidade de dias da semana(7) → 100 dias /7 = 14 semanas + 2 
dias. Obtemos 14 semanas e 2 dias (resto da divisão). Como após uma semana é segunda de novo, 
então após 14 semanas cairá em uma segunda, só que como tenho +2 dias, logo: 
Segunda-feira + 2 dias = quarta-feira. 
 
03. Resposta: A. 
Se nos basearmos no calendário fiscal(4-4-5) chegamos à conclusão que a única alternativa certa é 
a que contém Fevereiro. Pois os meses de Janeiro e Fevereiro tem sempre 4 domingos os demais nada 
podemos dizer pois variam de acordo com o ano. 
 
04. Resposta: B. 
Sabe-se que a cada ano todos os dias da semana apresentam 52 dias iguais. O dia da semana em 
que o ano se inicia aparece por 53 vezes. Logo, se 2014 iniciou numa quarta-feira em 2014 teremos 53 
quartas feiras, 52 segundas feiras e 52 sextas feiras. 
O ano de 2015 se iniciará numa quinta-feira. Logo, teremos 52 quartas feiras, 52 segundas feiras e 52 
sextas feiras. 
Resumindo, teremos: 53 + (5x52) = 53 + 260 = 313. 
 
05. Resposta: B. 
Passo 1 :quantos anos temos: 
O intervalo é do ano de 2014 a 3000. Logo: 
Diferença = 3000 - 2014 + 1 = 986 + 1 = 987 anos 
Passo 2 :a cada 4 anos temos (teoricamente) 1 bissexto 
Logo, Bissextos = 987 / 4 = quociente 246 e resto 3. 
Teoricamente, teríamos 246 anos bissextos. Porém, pela própria regra colocada na questão, temos 
que eliminar os anos que são múltiplos de 100 e simultaneamente não são múltiplos de 400. Dessa lista, 
temos: 
Eliminar = 2100 - 2200 - 2300 - 2500 - 2600 - 2700 - 2900 = 7 anos 
Assim: Total = 246 - 7 = 239 anos bissextos 
 
06. Resposta: A. 
Questão fácil de resolver mas que se deve tomar muito cuidado. 
Sabemos que se 2012 começou num domingo Porém, este é um ano bissexto, pois, 12 é múltiplo de 
4. Logo, 2013 começará dois dias a mais, e será numa terça. Seguindo: 2014 começará numa quarta; 
2015 começará numa quinta; 2016 começará numa sexta. Aqui, nova pausa: 2016 é bissexto. Então, 
2017 começara num domingo. E vamos até 2018, que começará numa segunda. 
Mas não queremos 2018 e sim dia 30 de dezembro de 2017. Basta, então, voltar 2 dias: sábado. 
 
07. Resposta: E. 
Se o dia 3 de fevereiro caiu numa sexta-feira calcularemos os dias que faltam para chegar até o dia17 
de setembro e determinar o que se pede. 
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. 162 
Quantos dias faltam até chegar à data solicitada? 
Fevereiro: 26 dias (porque é bissexto) 
Março 31 dias 
Abril 30 dias 
Maio 31 dias 
Junho 30 dias 
Julho 31 dias 
Agosto 31 dias 
Setembro 17 dias 
Logo, faltam 227 dias. 
Vamos dividir este valor por 7 (número de dias da semana). Daria 226/7 = 32 semanas (que repetirão 
este dia da semana). Mas, quantos dias ainda faltam? 
Simples: 32*7 = 224 dias. Logo faltam mais três dias. 
Devemos avançar três dias da semana. Logo, cairá na segunda feira. 
 
08. Resposta: B. 
Se 01/01/2013 foi uma terça feira, podemos determinar o dia da semana em que cairá 19/09/2013. 
Basta fazermos as seguintes operações: 
- determinar o número de dias entre estas datas: 
Janeiro faltam mais 30 dias para acabar o mês. 
Fevereiro 28 
Março: 31 
Abril 30 
Maio 31 
Junho 30 
Julho 31 
Agosto 31 
Setembro 19 
Logo, teremos um total de 261 dias. 
- Dividiremos este número por 7 e veremos quantas semanas inteiras teríamos neste intervalo de dias: 
262/7 = 37 semanas e 2 dias. 
Logo, 19/09/2013 cairá numa quinta-feira. 
 
 
 
ÂNGULOS 
 
Ângulo: É uma região limitada por duas semirretas de mesma origem. 
 
Elementos de um ângulo: 
- LADOS: são as duas semirretas 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ e 𝑂𝐵⃗⃗ ⃗⃗ ⃗. 
-VÉRTICE: é o ponto de intersecção das duas semirretas, no exemplo o ponto O. 
 
 
 
Ângulo Agudo: É o ângulo, cuja medida é menor do que 90º. 
IV - ESPAÇO E FORMA: deslocamentos e movimentos no plano e no espaço 
 
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. 163 
 
 
 
Ângulo Central: 
- Da circunferência: é o ângulo cujo vértice é o centro da circunferência; 
- Do polígono: é o ângulo, cujo vértice é o centro do polígono regular e cujos lados passam por 
vértices consecutivos do polígono. 
 
 
Ângulo Circunscrito: É o ângulo, cujo vértice não pertence à circunferência e os lados são 
tangentes a ela. 
 
 
Ângulo Inscrito: É o ângulo cujo vértice pertence a uma circunferência. 
 
 
 
Ângulo Obtuso: É o ângulo cuja medida é maior do que 90º. 
 
 
 
Ângulo Raso: 
 - É o ângulo cuja medida é 180º; 
- É aquele, cujos lados são semirretas opostas. 
 
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. 164 
 
 
Ângulo Reto: 
- É o ângulo cuja medida é 90º; 
- É aquele cujos lados se apoiam em retas perpendiculares. 
 
 
 
Ângulos Complementares: Dois ângulos são complementares se a soma das suas medidas é 90
0
. 
 
 
Ângulos Replementares: Dois ângulos são ditos replementares se a soma das suas medidas é 360
0
. 
 
 
 
 
Ângulos Suplementares: Dois ângulos são ditos suplementares se a soma das suas medidas de dois 
ângulos é 180º. 
 
 
Então, se x e y são dois ângulos, temos: 
 
- se x + y = 90° → x e y são Complementares. 
- se x + y = 180° → e y são Suplementares. 
- se x + y = 360° → x e y são Replementares. 
 
Ângulos Congruentes: São ângulos que possuem a mesma medida. 
 
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. 165 
 
 
Ângulos Opostos pelo Vértice: Dois ângulos são opostos pelo vértice se os lados de um são as 
respectivas semirretas opostas aos lados do outro. 
 
 
 
Ângulos consecutivos: são ângulos que tem um lado em comum. 
 
Ângulos adjacentes: são ângulos consecutivos que não tem ponto interno em comum. 
 
- Os ângulos AÔB e BÔC, AÔB e AÔC, BÔC e AÔC são pares de ângulos consecutivos. 
- Os ângulos AÔB e BÔC são ângulos adjacentes. 
Unidades de medida de ângulos: 
Grado: (gr.): dividindo a circunferência em 400 partes iguais, a cada arco unitário que corresponde a 
1/400 da circunferência denominamos de grado. 
 
Grau: (º): dividindo a circunferência em 360 partes iguais, cada arco unitário que corresponde a 1/360 
da circunferência denominamos de grau. 
- o grau tem dois submúltiplos: minuto e segundo. E temos que 1° = 60’ (1 grau equivale a 60 minutos) 
e 1’ = 60” (1 minuto equivale a 60 segundos). 
 
Questões 
 
01. As retas f e g são paralelas (f // g). Determine a medida do ângulo â, nos seguintes casos: 
 
a) 
 
 
b) 
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. 166 
 
 
c) 
 
 
02. As retas a e b são paralelas. Quanto mede o ângulo î? 
 
 
03. Obtenha as medidas dos ângulos assinalados: 
 
a) 
 
 
b) 
 
 
c) 
 
 
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. 167 
d) 
 
 
04. Quantos segundos tem um ângulo que mede 6° 15’? 
 
05. A medida de um ângulo éigual à metade da medida do seu suplemento. Qual é a medida desse 
ângulo? 
 
06. O complemento de um ângulo é igual a um quarto do seu suplemento. Qual é o complemento 
desse ângulo? 
 
07. Dois ângulos que medem x e x + 20° são adjacentes e complementares. Qual a medida desses 
dois ângulos? 
 
08. Na figura, o ângulo x mede a sexta parte do ângulo y, mais a metade do ângulo z. Calcule y. 
 
 
09. Observe a figura abaixo e determine o valor de m e n. 
 
 
 
 
10. Determine o valor de a na figura seguinte: 
 
 
 
Respostas 
 
01. Respostas: 
a) 55˚ 
b) 74˚ 
c) 33˚ 
 
02. Resposta: 130. 
Imagine uma linha cortando o ângulo î, formando uma linha paralela às retas "a" e "b". 
Fica então decomposto nos ângulos ê e ô. 
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. 168 
 
 
Sendo assim, ê = 80° e ô = 50°, pois o ângulo ô é igual ao complemento de 130° na reta b. 
Logo, î = 80° + 50° = 130°. 
 
03. Respostas: 
a) 160° - 3x = x + 100° 
160° - 100° = x + 3x 
60° = 4x 
x = 60°/4 
x = 15° 
Então 15°+100° = 115° e 160°-3*15° = 115° 
 
b) 6x + 15° + 2x + 5º = 180° 
6x + 2x = 180° -15° - 5° 
8x = 160° 
x = 160°/8 
x = 20° 
Então, 6*20°+15° = 135° e 2*20°+5° = 45° 
 
c) Sabemos que a figura tem 90°. 
 
Então x + (x + 10°) + (x + 20°) + (x + 20°) = 90° 
4x + 50° = 90° 
4x = 40° 
x = 40°/4 
x = 10° 
 
d) Sabemos que os ângulos laranja + verde formam 180°, pois são exatamente a metade de um círculo. 
Então, 138° + x = 180° 
x = 180° - 138° 
x = 42° 
Logo, o ângulo x mede 42°. 
 
04. Resposta: 22.500 
Sabemos que 1° = 60’ e 1’ = 60”, temos: 
6°.60 = 360’ (multiplicamos os graus por 60 para converter em minutos). 
360’ + 15’ = 375’ (somamos os minutos) 
375’.60 = 22.500” (multiplicamos os minutos por 60 para converter em segundos). 
Portanto 6° 15’ equivale a 22.500”. 
 
05. Resposta: 60˚. 
- sendo x o ângulo, o seu suplemento é 180° - x, então pelo enunciado temos a seguinte equação: 
x =
180°−x
2
 (multiplicando em “cruz”) 
 
2x = 180° - x 
2x + x = 180° 
3x = 180° 
x = 180° : 3 = 60° 
 
 
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. 169 
06. Resposta:30˚. 
- sendo x o ângulo, o seu complemento será 90° – x e o seu suplemento é 180° – x. Então, temos: 
90° - x = 
180°−x
4
 (o 4 passa multiplicando o primeiro membro da equação) 
4.(90° - x) = 180° - x (aplicando a distributiva) 
360° - 4x = 180° - x 
360° - 180° = - x + 4x 
180° = 3x 
x = 180° : 3 = 60º 
- o ângulo x mede 60º, o seu complemento é 90° - 60° = 30° 
 
07. Resposta: 35° e 55°”. 
- do enunciado temos a seguintes figura: 
 
 
Então: 
x + x + 20° = 90° 
2x = 90° - 20° 
2x = 70° 
x = 70° : 2 = 35° 
 
- os ângulos são: 35° e 35° + 20° = 55° 
 
08. Resposta: 135˚. 
Na figura, o ângulo x mede a sexta parte do ângulo y, mais a metade do ângulo z. Calcule y. 
Então vale lembrar que: 
x + y = 180 então y = 180 – x. 
 
E também como x e z são opostos pelo vértice, x = z 
E de acordo com a figura: o ângulo x mede a sexta parte do ângulo y, mais a metade do ângulo z. 
Calcule y. 
x = y / 6 + z / 2 
Agora vamos substituir lembrando que y = 180 - x e x = z 
Então: 
x = 180° - x/6 + x/2 agora resolvendo fatoração: 
6x = 180°- x + 3x | 6x = 180° + 2x 
6x – 2x = 180° 
4x = 180° 
x=180°/4 
x=45º 
Agora achar y, sabendo que y = 180° - x 
y=180º - 45° 
y=135°. 
 
09. Resposta: 11º; 159º. 
3m - 12º e m + 10º, são ângulos opostos pelo vértice logo são iguais. 
3m - 12º = m + 10º 
3m - m = 10º + 12º 
2m = 22º 
m = 22º/2 
m = 11º 
m + 10º e n são ângulos suplementares logo a soma entre eles é igual a 180º. 
(m + 10º) + n = 180º 
(11º + 10º) + n = 180º 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 170 
21º + n = 180º 
n = 180º - 21º 
n = 159º 
 
10. Resposta:45˚. 
É um ângulo oposto pelo vértice, logo, são ângulos iguais. 
 
PONTO – RETA E PLANO 
 
Ao estudo das figuras em um só plano chamamos de Geometria Plana. 
A Geometria estuda, basicamente, os três princípios fundamentais (ou também chamados de “entes 
primitivos”) que são: Ponto, Reta e Plano. Estes três princípios não tem definição e nem dimensão 
(tamanho). 
 
Para representar um ponto usamos. e para dar nome usamos letras maiúsculas do nosso alfabeto. 
Exemplo: . A (ponto A). 
 
Para representar uma reta usamos ↔ e para dar nome usamos letras minúsculas do nosso alfabeto 
ou dois pontos por onde esta reta passa. 
Exemplo: t ( reta t ou reta 𝐴𝐵⃡⃗⃗⃗ ⃗). 
 
 
Para representar um plano usamos uma figura chamada paralelogramo e para dar nome usamos letras 
minúsculas do alfabeto grego (α, β, π, θ,...). 
Exemplo: 
 
 
Semiplano: toda reta de um plano que o divide em outras duas porções as quais denominamos de 
semiplano. Observe a figura: 
 
 
 
Partes de uma reta 
Estudamos, particularmente, duas partes de uma reta: 
 
- Semirreta: é uma parte da reta que tem origem em um ponto e é infinita. 
Exemplo: (semirreta 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗), tem origem em A e passa por B. 
 
 
- Segmento de reta: é uma parte finita (tem começo e fim) da reta. 
Exemplo: (segmento de reta 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ). 
 
 
Observação: 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗ ≠ 𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗ e 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 𝐵𝐴̅̅ ̅̅ . 
 
 
 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 171 
POSIÇÃO RELATIVA ENTRE RETAS 
 
- Retas concorrentes: duas retas são concorrentes quando se interceptam em um ponto. Observe 
que a figura abaixo as retas c e d se interceptam no ponto B. 
 
 
 
- Retas paralelas: são retas que por mais que se prolonguem nunca se encontram, mantêm a mesma 
distância e nunca se cruzam. O ângulo de inclinação de duas ou mais retas paralelas em relação a outra 
é sempre igual. Indicamos retas paralelas a e b por a // b. 
 
 
 
- Retas coincidentes: duas retas são coincidentes se pertencem ao mesmo plano e possuem todos 
os pontos em comum. 
 
 
 
- Retas perpendiculares: são retas concorrentes que se cruzam num ponto formando entre si ângulos 
de 90º ou seja ângulos retos. 
 
 
PARALELISMO 
 
Ângulos formados por duas retas paralelas com uma transversal 
 
Lembre-se: Retas paralelas são retas que estão no mesmo plano e não possuem ponto em comum. 
Vamos observar a figura abaixo: 
 
 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 172 
Ângulos colaterais internos: (colaterais = mesmo lado) 
 
 
A soma dos ângulos 4 e 5 é igual a 180°. 
 
A soma dos ângulos 3 e 6 é igual a 180° 
 
Ângulos colaterais externos: 
 
 
A soma dos ângulos 2 e 7 é igual a 180° 
 
 
 
A soma dos ângulos 1 e 8 é igual a 180° 
 
Ângulos alternos internos: (alternos = lados diferentes) 
 
 
Os ângulos 4 e 6 são congruentes (iguais) 
 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 173 
 
Os ângulos 3 e 5 são congruentes (iguais) 
 
Ângulos alternos externos: 
 
 
Os ângulos 1 e 7 são congruentes (iguais) 
 
 
Os ângulos 2 e 8 são congruentes (iguais) 
 
Ângulos correspondentes: são ângulos que ocupam uma mesma posição na reta transversal, um na 
região interna e o outro na região externa. 
 
 
Os ângulos 1 e 5 são congruentes (iguais) 
 
 
Os ângulos 2 e 6 são congruentes (iguais) 
 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 174 
 
os ângulos 3 e 7 são congruentes (iguais) 
 
 
os ângulos 4 e 8 são congruentes (iguais) 
 
Questões 
 
01. Na figura abaixo, o valor de x é: 
 
(A) 10° 
(B) 20° 
(C) 30° 
(D) 40° 
(E) 50° 
 
02. O valor de x na figura seguinte, em graus, é: 
 
(A) 32° 
(B) 32° 30’ 
(C) 33° 
(D) 33° 30’ 
(E) 34° 
 
03. Na figura abaixo, sabendo que o ângulo  é reto, o valor de 𝛼 é: 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 175 
 
(A) 20° 
(B) 30° 
(C) 40° 
(D) 50° 
(E) 60° 
 
04. Qual é o valor de x na figura abaixo? 
 
 
(A) 100° 
(B) 60° 
(C) 90° 
(D) 120° 
(E) 110° 
 
05. Na figura seguinte, o valor de x é: 
 
(A) 20° 
(B) 22° 
(C) 24° 
(D) 26° 
(E) 28° 
 
06. (PREF. de CURITIBA – Docência I – NC-UFPR/2016)Sabendo que as retas r e s da figura ao 
lado são paralelas, o valor, em graus, de α - β é: 
 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 176 
 
(A) 12 
(B) 15 
(C) 20 
(D) 30 
 
Respostas 
 
01. Resposta: E. 
Na figura, os ângulos assinalados são correspondentes, portanto são iguais. 
 
 
x + 2x + 30° = 180° 
3x = 180°- 30° 
3x = 150° 
x = 150° : 3 
x = 50° 
 
02. Resposta: B. 
Na figura dada os ângulos 47° e 2x – 18° são correspondentes e, portanto tem a mesma medida, 
então: 
2x – 18° = 47° → 2x = 47° + 18° → 2x = 65° → x = 65°: 2 
 
x = 32° 30’ 
 
03. Resposta: C. 
Precisamos traçar uma terceira reta pelo vértice A paralela às outras duas. 
 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 177 
 
 
Os ângulos são dois a dois iguais, portanto 𝛼 = 40° 
 
04. Resposta: A. 
Aqui também precisamos traçar um terceira reta pelo vértice. 
 
x = 80° + 20° → x = 100° 
Obs.: neste tipo de figura, o ângulo do meio sempre será a soma dos outros dois. 
 
05. Resposta: D. 
Os ângulos assinalados na figura, x + 20° e 4x + 30°, são colaterais internos, portanto a soma dos dois 
é igual a 180°. 
 
x + 20° + 4x + 30° = 180° → 5x + 50° = 180° → 5x = 180° - 30° → 5x = 130° 
x = 130° : 5 → x = 26° 
 
06. Resposta: D. 
O ângulo oposto a 138º vale 138º também, para saber o valor de α é só subtrair 138-54 = 84º. 
O ângulo oposto a 54º vale 54º também. Só subtrair agora α - β = 
84-54=30º. 
 
 TEOREMA DE TALES 
 
- Feixe de paralelas: é todo conjunto de três ou mais retas e paralelas entre si. 
- Transversal: é qualquer reta que intercepta todas as retas de um feixe de paralelas. 
- Teorema de Tales: Se duas retas são transversais de um feixe de retas paralelas então a razão 
entre as medidas de dois segmentos quaisquer de uma delas é igual à razão entre as medidas dos 
segmentos correspondentes da outra. 
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. 178 
 
 
r//s//t//u (// → símbolo de paralelas); a e b são retas transversais. Então, temos que os segmentos 
correspondentes são proporcionais. 
 
𝐴𝐵̅̅ ̅̅
𝐸𝐹̅̅ ̅̅
=
𝐵𝐶̅̅ ̅̅
𝐹𝐺̅̅ ̅̅
=
𝐶𝐷̅̅ ̅̅
𝐺𝐻̅̅ ̅̅
=
𝐴𝐷̅̅ ̅̅
𝐸𝐻̅̅ ̅̅
= ⋯. 
 
Teorema da bissetriz interna: 
“Em todo triângulo a bissetriz de um ângulo interno divide o lado oposto em dois segmentos 
proporcionais ao outros dois lados do triângulo”. 
 
 
Teorema da bissetriz externa: 
Se a bissetriz BE de um ângulo externo de um triângulo ABC, não isósceles, intercepta a reta suporte 
do lado oposto, então a bissetriz determina nessa reta dois segmentos proporcionais (AE̅̅̅̅ e CE̅̅̅̅ ) aos lados 
adjacentes (AB̅̅ ̅̅ e BC̅̅̅̅ ) ao ângulo interno. 
 
 
 
Referências 
SOUZA, Joamir Roberto; PATARO, Patricia Moreno – Vontade de Saber Matemática 6º Ano – FTD – 2ª edição – São Paulo. 
http://www.jcpaiva.net/ 
http://conteudoonline.objetivo.br 
 
 
 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 179 
Questões 
 
01. (PREF. de FORTALEZA – Matemática – PREF. de FORTALEZA/2016) Na figura abaixo, as 
retas são paralelas. Sabendo que o valor de x é: 
 
(A) 3 
(B) 2 
(C) 4 
(D) 5 
 
02. Na figura abaixo, qual é o valor de x? 
 
(A) 3 
(B) 4 
(C) 5 
(D) 6 
(E) 7 
 
03. Calcular o valor de x na figura abaixo. 
 
 
 
04. Os valores de x e y, respectivamente, na figura seguinte é: 
 
 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 180 
(A) 30 e 8 
(B) 8 e 30 
(C) 20 e 10 
(D) 10 e 20 
(E) 5 e 25 
 
05. Na figura abaixo, qual é o valor de x? 
 
(A) 3 
(B) 4 
(C) 5 
(D) 6 
(E) 7 
 
 06. (PUC-RJ) Considere um triângulo ABC retângulo em A, onde AB̅̅ ̅̅ = 21 e AC̅̅̅̅ = 20. BD̅̅ ̅̅ é a bissetriz 
do ângulo AB̂C. Quanto mede AD̅̅ ̅̅ ? 
(A) 42/5 
(B) 21/10 
(C) 20/21 
(D) 9 
(E) 8 
 
Respostas 
 
01. Resposta: B. 
5/10 = (5-x)/3x 
15x = 50 - 10x 
25x = 50 
x = 2 
 
02. Resposta: B. 
2𝑥 − 3
𝑥 + 2
=
5
6
 
6.(2x – 3) = 5(x + 2) 
12x – 18 = 5x + 10 
12x – 5x = 10 + 18 
7x = 28 
x = 28 : 7 = 4 
 
03. Resposta: 06. 
10
30
=
𝑥
18
 
 
30x = 10.18 
30x = 180 
x = 180 : 30 = 6 
 
04. Resposta: A. 
𝑥
45
=
20
30
 
3x = 45.2 
3x = 90 
x = 90 : 3 = 30 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 181 
𝑦
30
=
12
45
 
45y = 12.30 
45y = 360 
y = 360 : 45 = 8 
 
05. Resposta: D. 
𝑥−3
𝑥−2
=
𝑥
𝑥+2
 
(x – 3). (x + 2) = x.(x – 2) 
x2 + 2x – 3x – 6 = x2 – 2x 
-x – 6 = - 2x 
-x + 2x = 6 → x = 6 
 
06. Resposta: A. 
Do enunciado temos um triângulo retângulo em A, o vértice A é do ângulo reto. B e C pode ser em 
qualquer posição. E primeiro temos que determinar a hipotenusa. 
 
 
Teorema de Pitágoras: 
y2 = 212 + 202 
y2 = 441 + 400 
y2 = 841 
𝑦 = √841 
y = 29 
Pelo teorema da bissetriz interna: 
𝐴𝐵̅̅ ̅̅
𝐴𝐷̅̅ ̅̅
=
𝐵𝐶̅̅ ̅̅
𝐶𝐷̅̅ ̅̅
 
 
21
𝑥
=
29
20 − 𝑥
 
 
29. 𝑥 = 21(20 − 𝑥) 
29𝑥 = 420 − 21𝑥 
29𝑥 + 21𝑥 = 420 
50𝑥 = 420 
𝑥 =
420
50
=
42
5
 
 
POLÍGONOS 
 
Um polígono é uma figura geométrica fechada, simples, formada por segmentos consecutivos e não 
colineares. 
 
Elementos de um polígono 
 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 182 
 
 
Um polígono possui os seguintes elementos: 
 
- Lados: cada um dos segmentos de reta que une vértices consecutivos: AB̅̅ ̅̅ , BC̅̅̅̅ , CD̅̅̅̅ , DE̅̅ ̅̅ e AE̅̅̅̅ . 
 
- Vértices: ponto de intersecção de dois lados consecutivos: A, B, C, D e E. 
 
- Diagonais: Segmentos que unem dois vértices não consecutivos: AC̅̅̅̅ , AD̅̅ ̅̅ , BD̅̅ ̅̅ , CE̅̅̅̅ e BE̅̅̅̅ . 
 
- Ângulos internos: ângulos formados por dois lados consecutivos (assinalados em azul na figura): 
, , , , . 
 
- Ângulos externos: ângulos formados por um lado e pelo prolongamento do lado a ele consecutivo 
(assinalados em vermelho na figura): , , , , . 
 
Classificação: os polígonos são classificados de acordo com o número de lados, conforme a tabela 
abaixo. 
 
Fórmulas: na relação de fórmulas abaixo temos a letra n que representa o número de lados ou de 
ângulos ou de vértices de um polígono. 
1 – Diagonais de um vértice: dv = n – 3. 
 
2 - Total de diagonais: 𝐝 =
(𝐧−𝟑).𝐧
𝟐
. 
 
3 – Soma dos ângulos internos: Si = (n – 2).180°. 
 
4 – Soma dos ângulos externos: para qualquer polígono o valor da soma dos ângulos externos é uma 
constante, isto é, Se = 360°. 
 
Polígonos Regulares: um polígono é chamado de regular quando tem todos os lados congruentes 
(iguais) e todos os ângulos congruentes. Exemplo: o quadrado tem os 4 lados iguais e os 4 ângulos de 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 183 
90°, por isso é um polígono regular. E para polígonos regulares temos as seguintes fórmulas, além das 
quatro acima: 
 
1 – Ângulo interno: 𝐚𝐢 =
(𝐧−𝟐).𝟏𝟖𝟎°
𝐧
 ou 𝐚𝐢 =
𝐒𝐢
𝐧
. 
 
2 - Ângulo externo: 𝐚𝐞 =
𝟑𝟔𝟎°
𝐧
 ou 𝐚𝐞 =
𝐒𝐞
𝐧
. 
 
Semelhança de Polígonos: Dois polígonos são semelhantes quando os ângulos correspondentes 
são congruentes e os lados correspondentes são proporcionais. 
Vejamos: 
 
Fonte: http://www.somatematica.com.br 
1) Os ângulos correspondentes são congruentes: 
 
 
2) Os lados correspondentes (homólogos) são proporcionais: 
𝐴𝐵
𝐴′𝐵′
=
𝐵𝐶
𝐵′𝐶′
=
𝐶𝐷
𝐶′𝐷′
=
𝐷𝐴
𝐷′𝐴′
 𝑜𝑢 
 
3,8
5,7
=
4
6
=
2,4
3,6
=
2
3
 
 
Podemos dizer que os polígonos são semelhantes. Mas a semelhança só 
será válida se ambas condições existirem simultaneamente. 
 
 A razão entre dois lados correspondentes em polígonos semelhante denomina-se razão de 
semelhança, ou seja: 
𝐴𝐵
𝐴′𝐵′
=
𝐵𝐶
𝐵′𝐶′
=
𝐶𝐷
𝐶′𝐷′
=
𝐷𝐴
𝐷′𝐴′
= 𝑘 , 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑘 =
2
3
 
 
Outras figuras semelhantes (formas iguais e tamanhos diferentes): 
 
Fonte: http://www.somatematica.com.br 
 
Questões 
 
01. A soma dos ângulos internos de um heptágono é: 
(A) 360° 
(B) 540° 
(C) 1400° 
(D) 900° 
(E) 180° 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICACANDIDA DE SANTA RITA
 
. 184 
02. Qual é o número de diagonais de um icoságono? 
(A) 20 
(B) 70 
(C) 160 
(D) 170 
(E) 200 
 
03. O valor de x na figura abaixo é: 
 
(A) 80° 
(B) 90° 
(C) 100° 
(D) 70° 
(E) 50° 
 
04. Um joalheiro recebe uma encomenda para uma joia poligonal. O comprador exige que o número 
de diagonais seja igual ao número de lados. Sendo assim, o joalheiro deve produzir uma joia: 
(A) Triangular 
(B) Quadrangular 
(C) Pentagonal 
(D) Hexagonal 
(E) Decagonal 
 
05. Num polígono convexo, a soma dos ângulos internos é cinco vezes a soma dos ângulos externos. 
O número de lados e diagonais desse polígono, respectivamente, são: 
(A) 54 e 12 
(B) 18 e 60 
(C) 12 e 54 
(D) 60 e 18 
(E) 15 e 30 
 
06. Cada um dos ângulos externos de um polígono regular mede 15°. Quantos lados tem esse 
polígono? 
(A) 20 
(B) 24 
(C) 26 
(D) 30 
(E) 32 
 
07. ( PREF. de CERRITO/SC – Técnico em Enfermagem – IESES/2017) Um eneágono tem um de 
seus lados com 125 cm, como todos os lados são iguais o seu perímetro será de: 
(A) 625cm. 
(B) 750cm. 
(C) 1.500cm. 
(D) 1.125 cm. 
(E) 900 cm. 
 
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. 185 
Respostas 
 
01. Resposta: D. 
Heptágono (7 lados) → n = 7 
Si = (n – 2).180° 
Si = (7 – 2).180° 
Si = 5.180° = 900° 
 
02. Resposta: D. 
Icoságono (20 lados) → n = 20 
 
𝑑 =
(𝑛−3).𝑛
2
 
 
𝑑 =
(20−3).20
2
= 17.10 
 
d = 170 
 
03. Resposta: A. 
A soma dos ângulos internos do pentágono é: 
Si = (n – 2).180º 
Si = (5 – 2).180º 
Si = 3.180º → Si = 540º 
540º = x + 3x / 2 + x + 15º + 2x – 20º + x + 25º 
540º = 5x + 3x / 2 + 20º 
520º = 10x + 3x / 2 
1040º = 13x 
X = 1040º / 13 → x = 80º 
 
04. Resposta: C. 
Sendo d o números de diagonais e n o número de lados, devemos ter: 
d = n 
 
(𝑛−3).𝑛
2
= 𝑛 (passando o 2 multiplicando) 
 
(n – 3).n = 2n 
n – 3 = 2 
n = 2 + 3 
n = 5 → pentagonal 
 
05. Resposta: C. 
Do enunciado, temos: 
Si = 5.Se 
(n – 2).180º = 5.360° 
(n – 2).180° = 1800° 
n – 2 = 
1800
180
 
n – 2 = 10 
n = 10 + 2 = 12 lados 
 
𝑑 =
(𝑛−3).𝑛
2
 
 
𝑑 =
(12−3).12
2
 
 
d = 9.6 = 54 diagonais 
 
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. 186 
06. Resposta: B. 
Temos que ae = 15° 
 
𝑎𝑒 =
360°
𝑛
 
 
15° =
360°
𝑛
 
 
15n = 360 
n = 360 : 15 
n = 24 lados 
 
07. Resposta: D. 
Um eneágono possui 9 lado, portanto 9x125 = 1.125cm. 
 
POLÍGONOS REGULARES 
 
Todo polígono regular pode ser inscrito em uma circunferência. E temos fórmulas para calcular o lado 
e o apótema desse triângulo em função do raio da circunferência. Apótema e um segmento que sai do 
centro das figuras regulares e divide o lado em duas partes iguais. 
 
I) Triângulo Equilátero: 
 
 
 
II) Quadrado: 
 
 
III) Hexágono Regular 
 
 
 
- Lado: l = r√3 
- Apótema: a =
r
2
 
- Lado: l = r√2 
- Apótema: a =
r√2
2
 
- Lado: l = r 
- Apótema: a =
r√3
2
 
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. 187 
Questões 
 
01. O apótema de um hexágono regular inscrito numa circunferência de raio 8 cm, vale, em 
centímetros: 
(A) 4 
(B) 4√3 
(C) 8 
(D) 8√2 
(E) 12 
 
02. O apótema de um triângulo equilátero inscrito em uma circunferência mede 10 cm, o raio dessa 
circunferência é: 
(A) 15 cm 
(B) 10 cm 
(C) 8 cm 
(D) 20 cm 
(E) 25 cm 
 
03. O apótema de um quadrado mede 6 dm. A medida do raio da circunferência em que esse quadrado 
está inscrito, em dm, vale: 
(A) 4√2 dm 
(B) 5√2 dm 
(C) 6√2 dm 
(D) 7√2 dm 
(E) 8√2 dm 
 
Respostas 
 
01. Resposta: B. 
Basta substituir r = 8 na fórmula do hexágono 
𝑎 =
𝑟√3
2
 →𝑎 =
8√3
2
= 4√3 cm 
 
02. Resposta: D. 
Basta substituir a = 10 na fórmula do triangulo equilátero. 
𝑎 =
𝑟
2
 → 10 =
𝑟
2
 → r = 2.10 → r = 20 cm 
 
03. Resposta: C. 
Sendo a = 6, temos: 
𝑎 =
𝑟√2
2
 
 
6 =
𝑟√2
2
 → 𝑟√2 = 2.6 → 𝑟√2 = 12 (√2 passa dividindo) 
r = 
12
√2
 (temos que racionalizar, multiplicando em cima e em baixo por √2) 
 
𝑟 =
12.√2
√2.√2
 → 𝑟 =
12√2
2
 → 𝑟 = 6√2 dm 
 
 
 
 
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. 188 
RAZÃO ENTRE ÁREAS 
 
- Razão entre áreas de dois triângulos semelhantes 
 
 
Vamos chamar de S1 a área do triângulo ABC = S1 e de S2 a do triângulo A’B’C’ = S2 
 
Δ ABC ~ Δ A’B’C’ → 
𝑏1
𝑏2
=
ℎ1
ℎ2
= 𝑘 (𝑟𝑎𝑧ã𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑙ℎ𝑎𝑛ç𝑎) 
 
Sabemos que a área do triângulo é dada por 𝑆 = 
𝑏.ℎ
2
 
 
Aplicando as razões temos que: 
𝑆1
𝑆2
=
𝑏1. ℎ1
2
𝑏2. ℎ2
2
=
𝑏1
𝑏2
.
ℎ1
ℎ2
= 𝑘. 𝑘 = 𝑘2 →
𝑆1
𝑆2
= 𝑘2 
 
 
A razão entre as áreas de dois triângulos semelhantes 
é igual ao quadrado da razão de semelhança. 
 
 
- Razão entre áreas de dois polígonos semelhantes 
 
 
 
Área de ABCDE ... MN = S1 Área de A’B’C’D’ ... M’N’ = S2 
 
ABCDE ... MN = S1 ~ A’B’C’D’ ... M’N’ = S2 → ΔABC ~ ΔA’B’C’ e ΔACD ~ ΔAMN → 
𝐴𝐵
𝐴′𝐵′
=
𝐵𝐶
𝐵′𝐶′
= ⋯ =
𝑀𝑁
𝑀′𝑁′
= 𝑘 (𝑟𝑎𝑧ã𝑜 𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑙ℎ𝑎𝑛ç𝑎) 
 
Fazendo: 
 
Área ΔABC = t1, Área ΔACD = t2, ..., Área ΔAMN = tn-2 
 
Área ΔA’B’C’ = T1, Área ΔA’C’D’ = T2, ..., Área ΔA’M’N’ = Tn-2 
 
Anteriormente vimos que: 
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. 189 
𝑡𝑖
𝑇𝑖
= 𝑘2 → 𝑡𝑖 = 𝑘
2𝑇𝑖 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 = 1,2,3,… , 𝑛 − 2 
 
Então: 
 
𝑆1
𝑆2
=
𝑡1 + 𝑡2 + 𝑡3 + ⋯+ 𝑡𝑛−2
𝑇1 + 𝑇2 + 𝑇3 + ⋯+ 𝑇𝑛−2
→
𝑆1
𝑆2
= 𝑘2 
 
 
 
A razão entre as áreas de dois polígonos semelhantes 
é igual ao quadrado da razão de semelhança. 
 
 
 
Observação: A propriedade acima é extensiva a quaisquer superfícies semelhantes e, por isso, vale 
 
 
A razão entre as áreas de duas superfícies semelhantes é igual ao 
quadrado da razão de semelhança. 
 
 
Referências 
DOLCE, Osvaldo; POMPEO, José Nicolau – Fundamentos da Matemática – Vol. 09 – Geometria Plana – 7ª edição – Editora Atual 
www.somatematica.com.br 
 
Questão 
 
01. (TJ/RS – Técnico Judiciário – FAURGS/2017) Considere um triângulo retângulo de catetos 
medindo 3m e 5m. Um segundo triângulo retângulo, semelhante ao primeiro, cuja área é o dobro da área 
do primeiro, terá como medidas dos catetos, em metros: 
(A) 3 e 10. 
(B) 3√2 e 5√2. 
(C) 3√2 e 10√2. 
(D) 5 e 6. 
(E) 6 e 10. 
 
Resposta 
 
01. Resposta: B. 
A razão entre as Áreas =e igual ao quadrado da razão entre os lados. 
O triângulo de catetos 3 e 5 possui área igual a 7,5. Já o outro triângulo possui o dobro de área, 
conforme o enunciado. Assim sendo teremos: 
A1/A2 = 7,5/15 = ½ 
 
½ = 3²/x² 
X = 3√2 
E A1/A2 = 7,5/15 = ½ 
½ = 5²/y² 
Y= 5√2. 
 
TEOREMA DE PITÁGORAS 
 
Em todo triângulo retângulo, o maior lado é chamado de hipotenusa e os outros dois lados são os 
catetos. 
 
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. 190 
 
 
- “Em todo triângulo retângulo o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos”. 
 
a2 = b2 + c2 
 
Exemplos 
 
01. Millôr Fernandes, em uma bela homenagem à Matemática, escreveu um poema do qual extraímos 
o fragmento abaixo: 
Às folhas tantas de um livro de Matemática, um Quociente apaixonou-se um dia doidamente por uma 
Incógnita. 
Olhou-a com seu olhar inumerável e viu-a do Ápice à Base: uma figura Ímpar; olhos romboides, boca 
trapezoide, corpo retangular, seios esferoides. 
Fez da sua uma vida paralela à dela, até que se encontraram no Infinito. 
“Quem és tu” – indagou ele em ânsia Radical. 
“Sou a soma dos quadrados dos catetos. Mas pode me chamar de Hipotenusa.” (Millôr Fernandes – 
Trinta Anos de Mim Mesmo). 
A Incógnita se enganou ao dizer quem era. Para atender ao Teorema de Pitágoras, deveria dar a 
seguinte resposta: 
(A) “Sou a soma dos catetos. Mas pode me chamar de Hipotenusa.” 
(B) “Sou o quadrado da soma dos catetos. Mas pode me chamar de Hipotenusa.” 
(C) “Sou o quadrado da soma dos catetos. Mas pode me chamar de quadrado da Hipotenusa.” 
(D) “Sou a somados quadrados dos catetos. Mas pode me chamar de quadrado da Hipotenusa.” 
(E) Nenhuma das anteriores. 
 
Resposta: D. 
 
02. Um barco partiu de um ponto A e navegou 10 milhas para o oeste chegando a um ponto B, depois 
5 milhas para o sul chegando a um ponto C, depois 13 milhas para o leste chagando a um ponto D e 
finalmente 9 milhas para o norte chegando a um ponto E. Onde o barco parou relativamente ao ponto de 
partida? 
(A) 3 milhas a sudoeste. 
(B) 3 milhas a sudeste. 
(C) 4 milhas ao sul. 
(D) 5 milhas ao norte. 
(E) 5 milhas a nordeste. 
 
Resposta: 
 
 
 
No exemplo ao lado: 
- a é a hipotenusa. 
- b e c são os catetos. 
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. 191 
x2 = 32 + 42 
x2 = 9 + 16 
x2 = 25 
x = √25 = 5 
 
03. Em um triângulo retângulo a hipotenusa mede 13 cm e um dos catetos mede 5 cm, qual é a medida 
do outro cateto? 
(A) 10 
(B) 11 
(C) 12 
(D) 13 
(E) 14 
 
Resposta: 
 
132 = x2 + 52 
169 = x2 + 25 
169 – 25 = x2 
x2 = 144 
x = √144 = 12 cm 
 
04. A diagonal de um quadrado de lado l é igual a: 
(A) 𝑙√2 
(B) 𝑙√3 
(C) 𝑙√5 
(D) 𝑙√6 
(E) Nenhuma das anteriores. 
 
Resposta: 
 
 
𝑑2 = 𝑙2 + 𝑙2 
𝑑2 = 2𝑙2 
𝑑 = √2𝑙2 
𝑑 = 𝑙√2 
 
05. Durante um vendaval, um poste de iluminação de 9 m de altura quebrou-se em um ponto a certa 
altura do solo. A parte do poste acima da fratura inclinou-se e sua extremidade superior encostou no solo 
a uma distância de 3 m da base dele, conforme a figura abaixo. A que altura do solo se quebrou o poste? 
 
(A) 4 m 
(B) 4,5 m 
(C) 5 m 
(D) 5,5 m 
(E) 6 m 
 
 
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. 192 
Resposta: 
 
(9 – x)2 = x2 + 33 
92 – 2.9.x + x2 = x2 + 9 
81 – 18x = 9 
81 – 9 = 18x 
72 = 18x 
x =
72
18
 
x = 4 m 
 
Questões 
 
01. (PREF. de JACUNDÁ/PA – Psicólogo – INAZ de PARÁ/2016) Em fase treino, um maratonista 
parte de um ponto inicial A percorrendo 2 km em linha reta até o ponto B, girando 90° para a esquerda e 
percorre mais 1,5 km parando no ponto C. Se o maratonista percorresse em linha reta do ponto A até o 
ponto C, percorreria: 
(A) 3500 m 
(B) 500 m 
(C) 2500 m 
(D) 3000 m 
(E) 1800 m 
 
02. (IBGE – Agente de Pesquisas e Mapeamento – CESGRANRIO/2016) Na Figura a seguir, PQ 
mede 6 cm, QR mede 12 cm, RS mede 9 cm, e ST mede 4 cm. 
 
A distância entre os pontos P e T, em cm, mede: 
(A) 17 
(B) 21 
(C) 18 
(D) 20 
(E) 19 
 
03. (UNIFESP – Técnico de Segurança do Trabalho – VUNESP/2016) Um muro com 3,2 m de altura 
está sendo escorado por uma barra de ferro, de comprimento AB, conforme mostra a figura. 
 
O comprimento, em metros, da barra de ferro 
(A) 3,2. 
(B) 3,0. 
(C) 2,8. 
(D) 2,6. 
(E) 2,4. 
 
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. 193 
04. (PREF. de MARILÂNDIA/ES – Auxiliar Administrativo – IDECAN/2016) Tales desenhou um 
triângulo retângulo com as seguintes medidas, todas dadas em centímetros. 
 
 
 
Qual é o perímetro deste triângulo? 
(A) 6 cm 
(B) 9 cm 
(C) 12 cm 
(D) 15 cm 
(E) 18 cm 
Respostas 
 
01. Resposta: C. 
AC representa a hipotenusa do triângulo retângulo cujos catetos são 2Km = 2000 m e 1,5Km = 1500m. 
AC² = 2² + 1,5² 
AC² = 4 + 2,25 
AC = 2,5Km = 2500 m. 
 
02. Resposta: A. 
Observe que PQ = 6 e RS= 9 e também são retas paralelas então podemos somar elas como se 
puxasse a reta RS pra cima formando uma reta só. Total 15cm. Ortogonalmente a reta QR fecha um 
triângulo retângulo com essa reta que fechamos juntando PQ e RS. Assim, ficamos com um triângulo 
retângulo com catetos 15 e 8. Aplicando Pitágoras, teremos a medida da hipotenusa que é a reta PT = 
17cm, que representa a distância ente P e T. 
 
03. Resposta: B. 
Observe que a altura do solo até o ponto B é dada por 3,2 -0,80 = 2,4m, agora basta utilizar o Teorema 
de Pitágoras para resolvermos esta questão: 
AB² = 1,8² + 2,4² 
AB² = 3,24 + 5,76 = 9 
AB = 3m. 
 
04. Resposta: C. 
Basta resolver pelo teorema de Pitágoras e depois resolver a equação que será formada. 
(x+1)² = (x-1)² + x² 
x² + 2x + 1 = x² - 2x +1 + x² 
x²-4x = 0 
x(x-4) = 0 
x = 0 (não convém utilizarmos pois o lado de um triângulo não pode ser nulo) 
ou x – 4 = 0 
x = 4. 
Assim os lados são: 
3, 4, 5, logo o perímetro será a soma de todos os lados: 3+ 4 + 5 = 12. 
 
RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 
 
Na figura abaixo temos um triângulo retângulo cuja hipotenusa é a base e h é a altura relativa a essa 
hipotenusa: 
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. 194 
 
Sendo: 
A= hipotenusa 
b e c = catetos 
h= altura 
m e n = projeções do catetos 
Por semelhança de triângulos temos quatro relações métricas válidas somente para triângulos 
retângulos que são: 
 
I) Teorema de Pitágoras: O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. 
HIP2 = CAT2 + CAT2 
a² = b² + c² 
 
II) O quadrado de um cateto é igual ao produto da hipotenusa pela projeção do cateto. 
CAT2 = HIP.PROJ 
c² = a.m 
b² = a.n 
 
III) O quadrado da altura é igual ao produto das projeções dos catetos. 
ALT2 = PROJ.PROJ 
h² = m.n 
 
IV) O produto da hipotenusa pela altura é igual ao produto dos catetos. 
HIP.ALT = CAT.CAT 
a.h = b.c 
 
Exemplo 
A área de um triângulo retângulo é 12 dm2. Se um dos catetos é 2/3 do outro, calcule a medida da 
hipotenusa desse triângulo. 
 
Do enunciado se um cateto é x o outro é 
2𝑥
3
, e em um triângulo retângulo para calcular a área, uma 
cateto é a base e o outro é a altura, e a fórmula da área é 𝐴 =
𝑏.ℎ
2
, então: 
A = 12 
𝑥.
2𝑥
3
2
= 12 
2𝑥2
6
= 12 → 2x2 = 12.6 → 2x2 = 72 → x2 = 72 : 2 
x2 = 36 → 𝑥 = √36 = 6 
Uma cateto mede 6 e o outro 
2.6
3
= 4, pelo teorema de Pitágoras, sendo a a hipotenusa: 
a2 = 62 + 42 
a2 = 36 + 16 
a2 = 52 
𝑎 = √52 
𝑎 = √13.4 
𝑎 = 2√13 
 
 
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. 195 
Questões 
 
01. (POLÍCIA CIENTÍFICA/PR – Perito Criminal – IBFC/2017) A medida da altura relativa à 
hipotenusa de um triângulo retângulo de catetos 6 cm e 8 cm é igual a: 
(A) 2 
(B) 4 
(C) 4,8 
(D) 6 
(E) 10 
 
02. (UEL) Pedrinho não sabia nadar e queria descobrir a medida da parte mais extensa (AC) da "Lagoa 
Funda". Depois de muito pensar, colocou 3 estacas nas margens da lagoa, esticou cordas de A até B e 
de B até C, conforme figura abaixo. Medindo essas cordas, obteve: AB = 24 m e BC = 18 m. Usando 
seus conhecimentos matemáticos, Pedrinho concluiu que a parte mais extensa da lagoa mede: 
 
(A) 30 
(B) 28 
(C) 26 
(D) 35 
(E) 42 
 
03. Em um triângulo retângulo a hipotenusa mede 10 cm e um dos catetos mede 6 cm, pede-se 
determinar as medidas do outro cateto, a altura e as projeções dos catetos. 
 
04. Em um triângulo ABC, figura a seguir, as medianas que partem de A e de B são perpendiculares. 
Se BC = 8 e AC = 6, o valor de AB é: 
 
(A) 63 
(B) 34 
(C) 712 
(D) 52 
(E) 24 
 
05. Em um triângulo retângulo os catetos medem 6 cm e 8 cm. Determinar a medida da hipotenusa, 
da altura e das projeções dos catetos desse triângulo. 
 
Respostas 
 
01. Resposta: C. 
Primeiramente devemos calcular o valor da hipotenusa deste triângulo, para posteriormente calcular 
a altura (utilizando a relação ALT.HIP = CAT.CAT). 
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. 196 
HIP² = CAT² + CAT² 
X² = 6² + 8² 
X² = 36 + 64 = 100 
X = 10. 
ALT.10 = 6.8 
ALT = 48/10 = 4,8 
 
02. Resposta: A. 
Pelo teorema de Pitágoras: 
𝐴𝐶̅̅ ̅̅ 2 = 242 + 182 
𝐴𝐶̅̅ ̅̅ 2 = 576 + 324 
𝐴𝐶̅̅ ̅̅ 2 = 900 
𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = √900 
𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = 30 
 
03. Resposta 8 cm 
Do enunciado um cateto mede 6 cm e a hipotenusa 10 cm, pelo teorema de Pitágoras: 
102 = x2 + 62 
100 = x2 + 36 
100 – 36 = x2 
x2 = 64 
x = √64 
x = 8 cm 
 
04. Resposta: D. 
Mediana divide o lado oposto em duas partes iguais. 
 
 
Pelo teorema de Pitágoras: 
x2 = (2a)2 + (2b)2 
x2 = 4a2 + 4b2 (colocando o 4 em evidência)x2 = 4.(a2 + b2) (I) 
 
32 = (2a2) +b2 
9 = 4a2 + b2 (II) 
 
42 = a2 + (2b)2 
16 = a2 + 4b2 (III) 
 
Somando, membro a membro, as equações (II) e (III): 
 
 
5 = a2 + b2 (substituindo em (I)): 
 
x2 = 4.5 
x2 = 20 
x = √20 
x = 2√5 
 
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. 197 
05. Respostas: 10 cm, 4,8 cm, 3,6 cm e 6,4 cm 
Utilizando as relações métricas, temos: 
 
 
Teorema de Pitágoras: 
a2 = 82 + 62 
a2 = 64 + 36 
a2 = 100 
a = √100 
a = 10 cm 
HIP.ALT = CAT.CAT 
10.h = 8.6 
10h = 48 → h = 48 : 10 = 4,8 cm 
CAT2 = HIP.PROJ 
62 = 10.n 
36 = 10 n 
n = 36 : 10 = 3,6 cm 
 
82 = 10.m 
64 = 10m 
m = 64 : 10 = 6,4 cm 
 
PERÍMETRO E ÁREA DAS FIGURAS PLANAS 
 
Perímetro: é a soma de todos os lados de uma figura plana. 
Exemplo: 
 
 
Perímetro = 10 + 10 + 9 + 9 = 38 cm 
 
Perímetros de algumas das figuras planas: 
 
 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 198 
 
 
Área é a medida da superfície de uma figura plana. 
A unidade básica de área é o m2 (metro quadrado), isto é, uma superfície correspondente a um 
quadrado que tem 1 m de lado. 
 
 
Fórmulas de área das principais figuras planas: 
 
1) Retângulo 
 - sendo b a base e h a altura: 
 
 
2. Paralelogramo 
- sendo b a base e h a altura: 
 
 
3. Trapézio 
- sendo B a base maior, b a base menor e h a altura: 
 
 
4. Losango 
- sendo D a diagonal maior e d a diagonal menor: 
 
5. Quadrado 
- sendo l o lado: 
 
6. Triângulo: essa figura tem 6 fórmulas de área, dependendo dos dados do problema a ser resolvido. 
 
I) sendo dados a base b e a altura h: 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 199 
 
 
II) sendo dados as medidas dos três lados a, b e c: 
 
 
III) sendo dados as medidas de dois lados e o ângulo formado entre eles: 
 
 
IV) triângulo equilátero (tem os três lados iguais): 
 
 
V) circunferência inscrita: 
 
VI) circunferência circunscrita: 
 
Questões 
 
01. A área de um quadrado cuja diagonal mede 2√7 cm é, em cm2, igual a: 
(A) 12 
(B) 13 
(C) 14 
(D) 15 
(E) 16 
 
02. (BDMG - Analista de Desenvolvimento – FUMARC) Corta-se um arame de 30 metros em duas 
partes. Com cada uma das partes constrói-se um quadrado. Se S é a soma das áreas dos dois quadrados, 
assim construídos, então o menor valor possível para S é obtido quando: 
(A) o arame é cortado em duas partes iguais. 
(B) uma parte é o dobro da outra. 
(C) uma parte é o triplo da outra. 
(D) uma parte mede 16 metros de comprimento. 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 200 
03. (TJM-SP - Oficial de Justiça – VUNESP) Um grande terreno foi dividido em 6 lotes retangulares 
congruentes, conforme mostra a figura, cujas dimensões indicadas estão em metros. 
 
 
Sabendo-se que o perímetro do terreno original, delineado em negrito na figura, mede x + 285, conclui-
se que a área total desse terreno é, em m2, igual a: 
(A) 2 400. 
(B) 2 600. 
(C) 2 800. 
(D) 3000. 
(E) 3 200. 
 
04. (TRT/4ª REGIÃO - Analista Judiciário - Área Judiciária – FCC) Ultimamente tem havido muito 
interesse no aproveitamento da energia solar para suprir outras fontes de energia. Isso fez com que, após 
uma reforma, parte do teto de um salão de uma empresa fosse substituída por uma superfície retangular 
totalmente revestida por células solares, todas feitas de um mesmo material. Considere que: 
- células solares podem converter a energia solar em energia elétrica e que para cada centímetro 
quadrado de célula solar que recebe diretamente a luz do sol é gerada 0,01 watt de potência elétrica; 
- a superfície revestida pelas células solares tem 3,5m de largura por 8,4m de comprimento. 
Assim sendo, se a luz do sol incidir diretamente sobre tais células, a potência elétrica que elas serão 
capazes de gerar em conjunto, em watts, é: 
(A) 294000. 
(B) 38200. 
(C) 29400. 
(D) 3820. 
(E) 2940. 
 
05. (CPTM - Médico do trabalho – MAKIYAMA) Um terreno retangular de perímetro 200m está à 
venda em uma imobiliária. Sabe-se que sua largura tem 28m a menos que o seu comprimento. Se o metro 
quadrado cobrado nesta região é de R$ 50,00, qual será o valor pago por este terreno? 
(A) R$ 10.000,00. 
(B) R$ 100.000,00. 
(C) R$ 125.000,00. 
(D) R$ 115.200,00. 
(E) R$ 100.500,00. 
 
06. Uma pessoa comprou 30 m2 de piso para colocar em uma sala retangular de 4 m de largura, porém, 
ao medir novamente a sala, percebeu que havia comprado 3,6 m2 de piso a mais do que o necessário. O 
perímetro dessa sala, em metros, é de: 
(A) 21,2. 
(B) 22,1. 
(C) 23,4. 
(D) 24,3. 
(E) 25,6 
 
07. (Pref. Mogeiro/PB - Professor – Matemática – EXAMES) A pipa, também conhecida como 
papagaio ou quadrado, foi introduzida no Brasil pelos colonizadores portugueses no século XVI. Para 
montar a pipa, representada na figura, foram utilizados uma vareta de 40 cm de comprimento, duas 
varetas de 32 cm de comprimento, tesoura, papel de seda, cola e linha. 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 201 
As varetas são fixadas conforme a figura, formando a estrutura da pipa. A linha é passada em todas 
as pontas da estrutura, e o papel é colado de modo que a extremidade menor da estrutura da pipa fique 
de fora. 
 
Na figura, a superfície sombreada corresponde ao papel de seda que forma o corpo da pipa. A área 
dessa superfície sombreada, em centímetros quadrados, é: 
(A) 576. 
(B) 704. 
(C) 832. 
(D) 1 150. 
(E) 1 472. 
 
08. (TJ/SP – Escrevente Técnico Judiciário – VUNESP) Para efeito decorativo, um arquiteto 
dividiu o piso de rascunho um salão quadrado em 8 regiões com o formato de trapézios retângulos 
congruentes (T), e 4 regiões quadradas congruentes (Q), conforme mostra a figura: 
 
 
Se a área de cada região com a forma de trapézio retângulo for igual a 24 m², então a área total 
desse piso é, em m², igual a 
(A) 324 
(B) 400 
(C) 225 
(D) 256 
(E) 196 
Respostas 
 
01.Resposta: C. 
Sendo l o lado do quadrado e d a diagonal: 
 
Utilizando o Teorema de Pitágoras: 
 d2 = l2 + l2 
 (2√7)
2
= 2l2 
 4.7 = 2l2 
 2l2 = 28 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 202 
 l2 =
28
2
 
 A = 14 cm2 
 
02. Resposta: A. 
- um quadrado terá perímetro x 
 o lado será l =
x
4
 e o outro quadrado terá perímetro 30 – x 
o lado será l1 =
30−x
4
, sabendo que a área de um quadrado é dada por S = l2, temos: 
S = S1 + S2 
S=l²+l1² 
S = (
x
4
)
2
+ (
30−x
4
)
2
 
S =
x2
16
+
(30−x)2
16
, como temos o mesmo denominador 16: 
 
 S =
x2+302−2.30.x+x2
16
 
 S =
x2+900−60x+x2
16
 
 S =
2x2
16
−
60x
16
+
900
16
, 
 
sendo uma equação do 2º grau onde a = 2/16; b = -60/16 e c = 900/16 e o valor de x será o x do vértice 
que e dado pela fórmula: x =
−b
2a
, então: 
 
 xv =
−(
−60
16
)
2.
2
16
=
60
16
4
16
 
xv =
60
16
.
16
4
=
60
4
= 15, 
 
logo l = 15 e l1 = 30 – 15 = 15. 
 
03. Resposta: D. 
Observando a figura temos que cada retângulo tem lados medindo x e 0,8x: 
Perímetro = x + 285 
8.0,8x + 6x = x + 285 
6,4x + 6x – x = 285 
11,4x = 285 
x = 285:11,4 
x = 25 
Sendo S a área do retângulo: 
S= b.h 
S= 0,8x.x 
S = 0,8x2 
Sendo St a área total da figura: 
St = 6.0,8x2 
St = 4,8.252 
St = 4,8.625 
St = 3000 
 
04. Resposta: E. 
Retângulo com as seguintes dimensões: 
Largura: 3,5 m = 350 cm 
Comprimento: 8,4 m = 840 cm 
A = 840.350 
A = 294.000 cm2 
Potência = 294.000.0,01 = 2940 
 
 
 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 203 
05. Resposta: D. 
Comprimento: x 
Largura: x – 28 
Perímetro = 200 
x + x + x – 28 + x – 28 = 200 
4x – 56 = 200 
4x = 200 + 56 
x = 256 : 4 
x = 64 
Comprimento: 64 
Largura: 64 – 28 = 36 
Área: A = 64.36 = 2304 m2 
Preço = 2304.50,00 = 115.200,00 
 
06. Resposta: A. 
Do enunciado temos que foram comprados 30 m2 de piso e que a sala tem 4 m de largura. Para saber 
o perímetro temos que calcular o comprimento desta sala. 
- houve uma sobrade 3,6 m2, então a área da sala é: 
A = 30 – 3,6 
A = 26,4 m2 
- sendo x o comprimento: 
x.4 = 26,4 
x = 26,4 : 4 
x = 6,6 m (este é o comprimento da sala) 
 
- o perímetro (representado por 2p na geometria) é a soma dos 4 lados da sala: 
2p = 4 + 4 + 6,6 + 6,6 = 21,2 m 
 
07. Resposta: C. 
A área procurada é igual a área de um triângulo mais a área de um retângulo. 
 
A = AT + AR 
 
A = 
32.20
2
+ 16.32 
 
A = 320 + 512 = 832 
 
08. Resposta: D. 
 
O destaque da figura corresponde a base maior do nosso trapézio, e podemos perceber que equivale 
a 2x e a base menor x, portanto: 
𝐴 =
𝑏 + 𝐵
2
∙ ℎ 
24 =
𝑥 + 2𝑥
2
∙ 𝑥 
 
48 = 3𝑥2 
X²=16 
Substituindo: A total =4x 4x=16x²=1616=256 m² 
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. 204 
ÁREA DO CIRCULO E SUAS PARTES 
 
I- Círculo: 
Quem primeiro descreveu a área de um círculo foi o matemático grego Arquimedes (287/212 a.C.), de 
Siracusa, mais ou menos por volta do século II antes de Cristo. Ele concluiu que quanto mais lados tem 
um polígono regular mais ele se aproxima de uma circunferência e o apótema (a) deste polígono tende 
ao raio r. Assim, como a fórmula da área de um polígono regular é dada por A = p.a (onde p é 
semiperímetro e a é o apótema), temos para a área do círculo 𝐴 =
2𝜇𝑟
2
. 𝑟, então temos: 
 
 
 
II- Coroa circular: 
É uma região compreendida entre dois círculos concêntricos (tem o mesmo centro). A área da coroa 
circular é igual a diferença entre as áreas do círculo maior e do círculo menor. A = 𝜋R2 – 𝜋r2, como temos 
o 𝜋 como fator comum, podemos colocá-lo em evidência, então temos: 
 
 
 
III- Setor circular: 
É uma região compreendida entre dois raios distintos de um círculo. O setor circular tem como 
elementos principais o raio r, um ângulo central 𝛼 e o comprimento do arco l, então temos duas fórmulas: 
 
 
 
IV- Segmento circular: 
É uma região compreendida entre um círculo e uma corda (segmento que une dois pontos de uma 
circunferência) deste círculo. Para calcular a área de um segmento circular temos que subtrair a área de 
um triângulo da área de um setor circular, então temos: 
 
 
 
 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 205 
Questões 
 
01. (SEDUC/RJ – Professor – Matemática – CEPERJ) A figura abaixo mostra três círculos, cada 
um com 10 cm de raio, tangentes entre si. 
 
Considerando √3 ≅ 1,73 e 𝜋 ≅ 3,14, o valor da área sombreada, em cm2, é: 
(A) 320. 
(B) 330. 
(C) 340. 
(D) 350. 
(E) 360. 
 
02. (Câmara Municipal de Catas Altas/MG - Técnico em Contabilidade – FUMARC) A área de um 
círculo, cuja circunferência tem comprimento 20𝜋 cm, é: 
(A) 100𝜋 cm2. 
(B) 80 𝜋 cm2. 
(C) 160 𝜋 cm2. 
(D) 400 𝜋 cm2. 
 
03. (Petrobrás - Inspetor de Segurança - CESGRANRIO) Quatro tanques de armazenamento de 
óleo, cilíndricos e iguais, estão instalados em uma área retangular de 24,8 m de comprimento por 20,0 m 
de largura, como representados na figura abaixo. 
 
Se as bases dos quatro tanques ocupam 
2
5
 da área retangular, qual é, em metros, o diâmetro da base 
de cada tanque? 
Dado: use 𝜋=3,1 
(A) 2. 
(B) 4. 
(C) 6. 
(D) 8. 
(E) 16. 
 
04. (Pref. Mogeiro/PB - Professor – Matemática – EXAMES) Na figura a seguir, OA = 10 cm, OB = 
8 cm e AOB = 30°. 
 
Qual, em cm², a área da superfície hachurada. Considere π = 3,14? 
(A) 5,44 cm². 
(B) 6,43 cm². 
(C) 7,40 cm². 
(D) 8,41 cm². 
(E) 9,42 cm². 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 206 
05. (U. F. de Uberlândia-MG) Uma indústria de embalagens fábrica, em sua linha de produção, discos 
de papelão circulares conforme indicado na figura. Os discos são produzidos a partir de uma folha 
quadrada de lado L cm. Preocupados com o desgaste indireto produzido na natureza pelo desperdício de 
papel, a indústria estima que a área do papelão não aproveitado, em cada folha utilizada, é de (100 - 25π) 
cm2. 
 
Com base nas informações anteriores, é correto afirmar que o valor de L é: 
(A) Primo 
(B) Divisível por 3. 
(C) Ímpar. 
(D) Divisível por 5. 
 
06. Na figura abaixo está representado um quadrado de lado 4 cm e um arco de circunferência com 
centro no vértice do quadrado. Qual é a área da parte sombreada? 
 
(A) 2(4 – π) cm2 
(B) 4 – π cm2 
(C) 4(4 – π) cm2 
(D) 16 cm2 
(E) 16π cm2 
 
07. Calcular a área do segmento circular da figura abaixo, sendo r = 6 cm e o ângulo central do setor 
igual a 60°: 
 
 
Respostas 
 
01. Resposta: B. 
Unindo os centros das três circunferências temos um triângulo equilátero de lado 2r ou seja l = 2.10 = 
20 cm. Então a área a ser calculada será: 
 
𝐴 = 𝐴𝑐𝑖𝑟𝑐 + 𝐴𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔 +
𝐴𝑐𝑖𝑟𝑐
2
 
𝐴 =
𝐴𝑐𝑖𝑟𝑐
2
+ 𝐴𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔 
𝐴 =
𝜋𝑟2
2
+ 𝐴𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔 
 
𝐴 =
𝜋𝑟2
2
+
𝑙2√3
4
 
𝐴 =
(3,14 ∙ 102)
2
+
202 ∙ 1,73
4
 
𝐴 = 1,57 ∙ 100 +
400 ∙ 1,73
4
 
 𝐴 = 157 + 100 ∙ 1,73 = 157 + 173 = 330 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 207 
02. Resposta: A. 
A fórmula do comprimento de uma circunferência é C = 2π.r, Então: 
C = 20π 
2π.r = 20π 
r =
20π
2π
 
r = 10 cm 
A = π.r2 → A = π.102 → A = 100π cm2 
 
03. Resposta: D. 
Primeiro calculamos a área do retângulo (A = b.h) 
Aret = 24,8.20 
Aret = 496 m2 
 
4.Acirc = 
2
5
.Aret 
 
4.πr2 = 
2
5
.496 
4.3,1.r2 = 
992
5
 
12,4.r2 = 198,4 
r2 = 198,4 : 12, 4 → r2 = 16 → r = 4 
d = 2r =2.4 = 8 
 
04. Resposta: E. 
OA = 10 cm (R = raio da circunferência maior), OB = 8 cm (r = raio da circunferência menor). A área 
hachurada é parte de uma coroa circular que é dada pela fórmula Acoroa = π(R2 – r2). 
Acoroa = 3,14.(102 – 82) 
Acoroa = 3,14.(100 – 64) 
Acoroa = 3,14.36 = 113,04 cm2 
- como o ângulo dado é 30° 
360° : 30° = 12 partes iguais. 
Ahachurada = 113,04 : 12 = 9,42 cm2 
 
05. Resposta: D. 
A área de papelão não aproveitado é igual a área do quadrado menos a área de 9 círculos. Sendo que 
a área do quadrado é A = L2 e a área do círculo A = π.r2. O lado L do quadrado, pela figura dada, é igual 
a 6 raios do círculo. Então: 
6r = L → r = L/6 
A = Aq – 9.Ac 
100 - 25π = L² - 9 π r² (substituir o r) 
100 − 25𝜋 = 𝐿2 − 9𝜋. (
𝐿
6
)
2
→ 100 − 25𝜋 = 𝐿2 − 9. 𝜋.
𝐿2
36
→ 100 − 25𝜋 = 𝐿2 −
𝜋𝐿2
4
 
 
Colocando em evidência o 100 no primeiro membro de e L² no segundo membro: 
100. (1 −
𝜋
4
) = 𝐿2. (1 −
𝜋
4
) → 100 = 𝐿2 → 𝐿 = √100 = 10 
 
06. Resposta: C. 
A área da região sombreada é igual a área do quadrado menos ¼ da área do círculo (setor com ângulo 
de 90°). 
𝐴 = 𝐴𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 −
𝐴𝑐í𝑟𝑐𝑢𝑙𝑜
4
 → 𝐴 = 𝑙2 −
𝜋. 𝑟2
4
→ 𝐴 = 42 −
𝜋. 42
4
→ 𝐴 = 16 − 4𝜋 
 
Colocando o 4 em evidência: A = 4(4 – π) cm² 
 
07. Resposta: 3(2π - 3√𝟑) cm2. 
Asegmento = Asetor - Atriângulo 
Substituindo as fórmulas: 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 208 
𝐴𝑠𝑒𝑔 =
𝑎𝜋𝑟2
360°
−
𝑎. 𝑏. 𝑠𝑒𝑛𝑎
2
→ 𝐴𝑠𝑒𝑔 =
60°. 𝜋. 62
360°
−
6.6. 𝑠𝑒𝑛60°
2
→ 𝐴𝑠𝑒𝑔 =
36𝜋
6
− 6.3.
√3
2
 
 
Aseg = 6 π - 9√3 = 3. (2 π - 3√3) cm² 
 
GEOMETRIA DE POSIÇÃO 
 
A geometria de posição estuda os três entes primitivos da geometria ponto, reta e plano no espaço. 
Temos o estudo dos postulado, das posições relativas entre estes entes. 
Na matemática nós temos afirmações que são chamadas de postulados e outras são chamadas de 
teoremas. 
Postulado: são afirmações que são aceitas sem demonstração. Isto é, sabemos que são verdadeira, 
porém não tem como ser demonstradas. 
Teorema: são afirmações que tem demonstração. 
 
Estudo dos Postulados 
Na Geometria de Posição, os postulado se dividem em quatro categorias: 
 
I) Postulados da existência: 
 
a) No espaço existem infinitos pontos, retas e planos. (este postulado também é chamado de 
postulado fundamental da geometria de posição). 
 
b) Numa reta e fora dela existem infinitos pontos. 
 
c) Num plano e fora dele existem infinitos pontos e retas. 
 
d) Entre dois pontos distintos, sempre existe um outroponto. 
 
II) Postulados da determinação: 
 
a) Dois pontos distintos determinam uma única reta. (Observe que a palavra distintos esta 
destacada, tem que ser distintos e não somente dois pontos). 
 
b) Três pontos não colineares determinam um único plano. (Observe que as palavras não 
colineares estão destacadas, tem que ser não colineares e não somente três pontos). 
 
- como consequência deste postulado, temos também: 
 
b.1) uma reta e um ponto fora dela determinam um único plano. 
b.2) duas retas paralelas distintas determinam um único plano. 
b.3) duas retas concorrentes determinam um único plano. 
 
III) Postulado da inclusão. 
 
- Se dois pontos distintos de uma reta pertencem a um plano, então a reta está contida no plano. 
 
IV) Postulados da divisão. 
 
a) Um ponto divide uma reta em duas semirretas. 
 
b) Uma reta divide um plano em dois semiplanos. 
 
c) Um plano divide o espaço em dois semiespaços. 
 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 209 
Estudo das posições relativas 
Vamos estudar, agora, as posições relativas entre duas retas; entre dois planos e entre um plano e 
uma reta. 
 
I) Posições relativas entre duas retas. 
 
𝐶𝑜𝑝𝑙𝑎𝑛𝑎𝑟𝑒𝑠(𝑚𝑒𝑠𝑚𝑜 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 ∶ {𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑎𝑠 {
𝑑𝑖𝑠𝑡𝑖𝑛𝑡𝑎𝑠
𝑐𝑜𝑖𝑛𝑐𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠
𝑐𝑜𝑛𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠
 
Não coplanares: - Reversas 
 
No esquema acima, temos: 
 
a) Retas coplanares :estão no mesmo plano. Podem ser: 
 
- Retas paralelas distintas: não tem nenhum ponto em comum. 
 
 
 
- Retas paralelas coincidentes: tem todos os pontos em comum. Temos duas retas, sendo uma 
sobre a outra. 
 
 
 representamos por r ≡ s 
 
- Retas concorrentes: tem um único ponto em comum. 
 
 
Observação: duas retas concorrentes que formam entre si um ângulo reto (90°) são chamadas de 
perpendiculares. 
 
b) Retas não coplanares: não estão no mesmo plano. São: 
 
- Retas Reversas: não tem ponto em comum. 
 
 
Observação: duas retas reversas que “formam” entre si um ângulo reto (90°) são chamadas de 
ortogonais. 
 
Como podemos verificar, retas paralelas distintas e retas reversas não tem ponto em comum. Então 
esta não é uma condição suficiente para diferenciar as posições, porém é uma condição necessária. Para 
diferenciar paralelas distintas e reversas temos duas condições: 
- Paralelas distintas não tem ponto em comum e estão no mesmo plano (coplanares). 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 210 
- Reversas não tem ponto em comum e não estão no mesmo plano (não coplanares). 
 
II) Posições relativas entre reta e plano. 
 
a) Reta paralela ao plano: não tem nenhum ponto em comum com o plano. A intersecção da reta com 
o plano é um conjunto vazio. 
 
 
 
Observação: uma reta paralela a um plano é paralela com infinitas retas do plano, mas não a todas. 
 
b) Reta contida no plano: tem todos os pontos em comum com o plano. Também obedece ao 
postulado da Inclusão. A intersecção da reta com o plano é igual à própria reta. 
 
 
c) Reta secante (ou incidente) ao plano: tem um único ponto em comum com o plano. A intersecção 
da reta com o plano é o ponto P. 
 
 
III) Posições relativas entre dois planos 
a) Planos paralelos: não tem nenhum ponto em comum. A intersecção entre os planos é um conjunto 
vazio. 
b) Planos coincidentes: tem todos os pontos em comum. 
c) Planos secantes (ou incidentes): tem uma única reta em comum. A intersecção entre os planos 
é uma reta. Podem ser oblíquos (formam entre si um ângulo diferente de 90°) ou podem ser 
perpendiculares (formam entre si um ângulo de 90°). 
 
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. 211 
 
 
Questões 
 
01. Dadas as proposições: 
I) Dois pontos distintos determinam uma única reta que os contém. 
II) Três pontos distintos determinam um único plano que os contém. 
III) Se dois pontos de uma reta pertencem a um plano, então a reta está contida no plano. 
 
É correto afirmar que: 
(A) Todas são verdadeiras. 
(B) Todas são falsas. 
(C) Apenas I e II são falsas. 
(D) Apenas II e III são falsas. 
(E) Apenas I e III são falsas. 
 
02. Assinale a alternativa verdadeira: 
(A) Todas as afirmações podem ser demonstradas. 
(B) Plano, por definição, é um conjunto de pontos. 
(C) Ponto tem dimensão. 
(D) Para se obter um plano basta obter 3 pontos distintos. 
(E) Reta não tem definição. 
 
03. Assinala a alternativa falsa: 
(A) Duas retas não coplanares são reversas. 
(B) Se uma reta não tem ponto em comum com um plano, ela é paralela a ele. 
(C) Duas retas que tem ponto em comum são concorrentes. 
(D) Dois planos sendo paralelos, toda reta que fura um fura o outro. 
(E) Dois planos sendo paralelos, todo plano que intercepta um intercepta o outro. 
 
04. Se a reta r é paralela ao plano α, então: 
(A) Todas as retas de α são paralelas a r. 
(B) Existem em α retas paralelas a r e retas reversas a r. 
(C) Existem em α retas paralelas a r e retas perpendiculares a r. 
(D) Todo plano que contém r intercepta α, segundo uma reta paralela a r 
(E) Nenhuma das anteriores é verdadeira. 
 
05. Complete a seguinte frase: “Duas retas que não tem pontos em comum são 
________________________ ou ____________________________ . 
 
 
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06. Assinale V ou F, conforme as sentenças sejam verdadeira ou falsas: 
( ) Ponto não tem definição. 
( ) Dois planos que não tem pontos em comum são paralelos. 
( ) Duas retas que são paralelas a um mesmo plano podem ser paralelas entre si. 
( ) Teorema é sempre um Postulado. 
 
07. Sejam r e s duas retas distintas, paralelas entre si, contidas em um plano α. A reta t, perpendicular 
ao plano α, intercepta a reta r em A. As retas t e s são: 
(A) Reversas e não ortogonais. 
(B) Ortogonais. 
(C) Paralelas entre si. 
(D) Perpendiculares entre si. 
(E) Coplanares. 
 
08. Assinale a alternativa correta: 
(A) Se uma reta é paralela a dois planos, então esses planos são paralelos. 
(B) Uma condição suficiente para que dois planos sejam paralelos é que duas retas de um sejam 
paralelas ao outro. 
(C) Se uma reta é perpendicular a duas retas distintas de um plano, então ela é perpendicular ao plano. 
(D) Se duas retas quaisquer são paralelas a um plano, então elas são paralelas uma à outra. 
(E) Um plano perpendicular a uma reta de um outro plano é perpendicular a este último plano. 
 
09. Assinale a alternativa falsa: 
(A) Dois pontos distintos determinam uma reta. 
(B) Três pontos não colineares determinam um plano. 
(C) Uma reta divide o espaço em dois semiespaços. 
(D) Um ponto divide uma reta em duas semirretas. 
(E) Entre dois pontos distintos, sempre existe um outro ponto. 
 
10. Uma formiga resolveu andar de um vértice a outro do prisma reto de bases triangulares ABC e 
DEG, seguindo um trajeto especial. Ela partiu do vértice G, percorreu toda a aresta perpendicular à base 
ABC, para em seguida caminhar toda a diagonal da face ADGC e, finalmente, completou seu passeio 
percorrendo a aresta reversa a CG . A formiga chegou ao vértice: 
 
(A) A 
(B) B 
(C) C 
(D) D 
(E) E 
 
Respostas 
 
01. Resposta: D. I) V, II) F e III) F 
 
02. Resposta: E. 
 
03. Resposta: C. 
 
04. Resposta: B. 
 
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. 213 
05. Resposta: paralelas distintas – reversas. 
 
06. Respostas: V – V – V – F. 
 
07. Resposta: B. 
 
08. Resposta: E. 
 
09. Resposta: C. 
 
10. Resposta: E. 
 
 
 
POLIEDROS 
 
Diedros 
Sendo dois planos secantes (planos que se cruzam) α e β, o espaço entre eles é chamado de diedro.A medida de um diedro é feita em graus, dependendo do ângulo formado entre os planos. 
 
 
 
Poliedros 
São sólidos geométricos ou figuras geométricas espaciais formadas por três elementos básicos: faces, 
arestas e vértices. Chamamos de poliedro o sólido limitado por quatro ou mais polígonos planos, 
pertencentes a planos diferentes e que têm dois a dois somente uma aresta em comum. Veja alguns 
exemplos: 
 
 
Os polígonos são as faces do poliedro; os lados e os vértices dos polígonos são as arestas e os vértices 
do poliedro. 
Cada vértice pode ser a interseção de três ou mais arestas. Observando a figura abaixo temos que em 
torno de cada um dos vértices forma-se um triedro. 
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. 214 
 
 
Convexidade 
Um poliedro é convexo se qualquer reta (não paralela a nenhuma de suas faces) o corta em, no 
máximo, dois pontos. Ele não possuí “reentrâncias”. E caso contrário é dito não convexo. 
 
 
Relação de Euler 
Em todo poliedro convexo sendo V o número de vértices, A o número de arestas e F o número de 
faces, valem as seguintes relações de Euler: 
 
1) Poliedro Fechado: V – A + F = 2 
 
2) Poliedro Aberto: V – A + F = 1 
 
Observação: Para calcular o número de arestas de um poliedro temos que multiplicar o número de 
faces F pelo número de lados de cada face n e dividir por dois. Quando temos mais de um tipo de face, 
basta somar os resultados. 
𝐴 =
𝑛. 𝐹
2
 
 
Podemos verificar a relação de Euler para alguns poliedros não convexos. Assim dizemos: 
 
 
 
Exemplos: 
1) O número de faces de um poliedro convexo que possui exatamente oito ângulos triédricos é? 
A cada 8 vértices do poliedro concorrem 3 arestas, assim o número de arestas é dado por 
 
𝐴 =
𝑛. 𝐹
2
→ 𝐴 =
3.8
2
= 12 
 
 
Pela relação de Euler: V – A + F = 2 → 8 - 12 + F = 2 → F = 6 (o poliedro possui 6 faces). Assim o 
poliedro com essas características é: 
 
 
2) Vamos aplicar a relação de Euler em um Poliedro não convexo. 
Todo poliedro convexo é euleriano, mas nem todo poliedro euleriano é convexo. 
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. 215 
 
V – A + F = 2 → 14 – 21 + 9 = 2 → 2 = 2 
Assim podemos comprovar que para alguns poliedros não convexos, podemos utilizar a relação de 
Euler. 
 
Soma dos ângulos poliédricos: as faces de um poliedro são polígonos. Sabemos que a soma dos 
ângulos internos de um polígono é dada 
 
S = (v – 2).360º 
 
 
Poliedros de Platão 
São poliedros que satisfazem as seguintes condições: 
- todas as faces têm o mesmo número n de arestas; 
- todos os ângulos poliédricos têm o mesmo número m de arestas; 
- for válida a relação de Euler (V – A + F = 2). 
 
Exemplos: 
1) O prisma quadrangular da figura a seguir é um poliedro de Platão. 
 
 
Vejamos se ele atende as condições: 
- todas as 6 faces são quadriláteros (n = 4); 
- todos os ângulos são triédricos (m = 3); 
- sendo V = 8, F = 6 e A = 12, temos: 8 – 12 + 6 = 14 -12 = 2 
 
2) O prisma triangular da figura abaixo é poliedro de Platão? 
 
As faces são 2 triangulares e 3 faces são quadrangulares, logo não é um poliedro de Platão, uma vez 
que atende a uma das condições. 
 
- Propriedade: existem exatamente cinco poliedros de Platão (pois atendem as 3 condições). 
Determinados apenas pelos pares ordenados (m,n) como mostra a tabela abaixo. 
 
m n A V F Poliedro 
3 3 6 4 4 Tetraedro 
3 4 12 8 6 Hexaedro 
4 3 12 6 8 Octaedro 
3 5 30 20 12 Dodecaedro 
5 3 30 12 20 Icosaedro 
 
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. 216 
 
 
Poliedros Regulares 
Um poliedro e dito regular quando: 
- suas faces são polígonos regulares congruentes; 
- seus ângulos poliédricos são congruentes; 
Por essas condições e observações podemos afirmar que todos os poliedros de Platão são ditos 
Poliedros Regulares. 
Observação: 
 
 
Todo poliedro regular é poliedro de Platão, mas nem todo poliedro de Platão é poliedro regular. 
 
 
Por exemplo, uma caixa de bombom, como a da figura a seguir, é um poliedro de Platão (hexaedro), 
mas não é um poliedro regular, pois as faces não são polígonos regulares e congruentes. 
 
 
 
A figura se compara ao paralelepípedo que é um hexaedro, e é um poliedro de Platão, mas não é 
considerado um poliedro regular: 
 
 
 
- Não Poliedros 
 
 
 
 
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. 217 
Os sólidos acima são: Cilindro, Cone e Esfera, são considerados não planos pois possuem suas 
superfícies curvas. 
Cilindro: tem duas bases geometricamente iguais definidas por curvas fechadas em superfície lateral 
curva. 
Cone: tem uma só base definida por uma linha curva fechada e uma superfície lateral curva. 
Esfera: é formada por uma única superfície curva. 
 
- Planificações de alguns Sólidos Geométricos 
 
Poliedro Planificação Elementos 
 
Tetraedro 
 
- 4 faces triangulares 
- 4 vértices 
- 6 arestas 
 
Hexaedro 
 
- 6 faces quadrangulares 
- 8 vértices 
- 12 arestas 
 
Octaedro 
 
 
- 8 faces triangulares 
- 6 vértices 
- 12 arestas 
 
Dodecaedro 
 
-12 faces pentagonais 
- 20 vértices 
- 30 arestas 
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. 218 
 
Icosaedro 
 
- 20 faces triangulares 
- 12 vértices 
- 30 arestas 
 
Referências 
http://educacao.uol.com.br 
http://www.uel.br/cce/mat/geometrica/php/gd_t/gd_19t.php 
http://www.infoescola.com 
 
Questões 
 
01. (PUC RS) Um poliedro convexo tem cinco faces triangulares e três pentagonais. O número de 
arestas e o número de vértices deste poliedro são, respectivamente: 
(A) 30 e 40 
(B) 30 e 24 
(C) 30 e 8 
(D) 15 e 25 
(E) 15 e 9 
 
02. (ITA – SP) Considere um prisma regular em que a soma dos ângulos internos de todas as faces 
é 7200°. O número de vértices deste prisma é igual a: 
(A) 11 
(B) 32 
(C) 10 
(D) 22 
(E) 20 
 
03. (CEFET – PR) Um poliedro convexo possui duas faces triangulares, duas quadrangulares e quatro 
pentagonais. Logo a soma dos ângulos internos de todas as faces será: 
(A) 3240° 
(B) 3640° 
(C) 3840° 
(D) 4000° 
(E) 4060° 
 
04. Entre as alternativas abaixo, a relação de Euller para poliedros fechados é: 
(A) V – A + F = 1 
(B) V + A + F = 2 
(C) V – A + F = 2 
(D) V – A – F = 2 
(E) V + F – 2 = 2 
 
05. (Unitau) A soma dos ângulos das faces de um poliedro convexo vale 720°. Sabendo-se que o 
número de faces vale 2/3 do número de arestas, pode-se dizer que o número de faces vale: 
(A) 6. 
(B) 4. 
(C) 5. 
(D) 12. 
(E) 9. 
 
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. 219 
06. (FAAP - SP) Num poliedro convexo, o número de arestas excede o número de vértices em 6 
unidades. Calcule o número de faces. 
 
07. (Fatec - SP) Um poliedro convexo tem 3 faces com 4 lados, 2 faces com 3 lados e 4 faces com 5 
lados. Qual é o número de vértices desse poliedro? 
 
Respostas 
 
01. Resposta: E. 
O poliedro tem 5 faces triangulares e 3 faces pentagonais, logo, tem um total de 8 faces (F = 8). Como 
cada triângulo tem 3 lados e o pentágono 5 lados. Temos: 
 
𝐴 =
5.3+3.5
2
=
15+15
2
=
30
2
= 15 
 
V – A + F = 2 
V – 15 + 8 = 2 
V = 2 + 15 – 8 
V = 9 
 
02. Resposta: D. 
Basta utilizar a fórmula da soma dos ângulos poliédricos. 
S = (V – 2).360° 
7200° = (V – 2).360° (passamos o 360° dividindo) 
7200° : 360° = V – 2 
20 = V – 2 
V = 20 + 2 
V = 22 
 
03. Resposta: A. 
Temos 2 faces triangulares, 2 faces quadrangulares e 4 faces pentagonais. 
F = 2 + 2 + 4 
F = 8 
 
𝑨 =
𝟐.𝟑+𝟐.𝟒+𝟒.𝟓
𝟐
=
𝟔+𝟖+𝟐𝟎
𝟐
=
𝟑𝟒
𝟐
= 𝟏𝟕 
 
V – A + F = 2 
V – 17 + 8 = 2 
V = 2 + 17 – 8 
V = 11 
A soma é: 
S = (v – 2).260° 
S = (11 – 2).360° 
S = 9.360° 
S = 3240° 
 
04. Resposta: C. 
 
05. Resposta: B. 
Do enunciado temos S = 720° e que 𝑭 =
𝟐𝑨
𝟑
. 
 
S = 720° 
(V – 2).360° = 720° 
V – 2 = 720° : 360° 
V – 2 = 2 
V = 2 + 2 
V = 4 
V – A + F = 2 
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. 220𝟒 − 𝑨 +
𝟐𝑨
𝟑
= 𝟐 (o mmc é igual a 3) 
 
𝟏𝟐−𝟑𝑨+𝟐𝑨
𝟑
=
𝟔
𝟑
 
 
- 3A + 2A = 6 – 12 
- A = - 6 x(- 1) multiplicando por -1 
A = 6 
 
Se A = 6  𝑭 =
𝟐.𝟔
𝟑
=
𝟏𝟐
𝟑
= 𝟒 
 
06. Resposta: 08. 
O enunciado nos traz as seguintes informações: 
A = V + 6 
Vamos aplicar a Relação de Euler: 
V + F = 2 + A 
V + F = 2 + V + 6 → podemos eliminar V, então ficamos com: F = 2 + 6 → F = 8 
O número de faces é igual a 8. 
 
07. Resposta: 12. 
Sabemos que 
Número de faces: 3 + 2 + 4 = 9 
Número de arestas: 
3 faces com 4 lados: 3 . 4 = 12 
2 faces com 3 lados: 2 . 3 = 6 
4 faces com 5 lados: 4 . 5 = 20 
Somando: 12 + 6 + 20 = 38 
 
Atenção: as faces são unidas, duas a duas, por uma aresta. Ao contarmos todas as arestas de todas 
as faces, cada aresta é contada duas vezes, uma para cada face "grudada" nela. Assim, esse número, 
na verdade, é o dobro do número real de arestas do poliedro. Logo: 
A = 38 ÷ 2 = 19. 
Usando a Relação de Euler, temos: 
V + F = 2 + A 
V + 9 = 2 + 19 
V = 21 - 9 = 12. 
 
SÓLIDOS GEOMÉTRICOS 
 
Sólidos Geométricos são figuras geométricas que possui três dimensões. Um sólido é limitado por 
um ou mais planos. Os mais conhecidos são: prisma, pirâmide, cilindro, cone e esfera. 
 
- Principio de Cavalieri 
Bonaventura Cavalieri foi um matemático italiano, discípulo de Galileu, que criou um método capaz de 
determinar áreas e volumes de sólidos com muita facilidade, denominado princípio de Cavalieri. Este 
princípio consiste em estabelecer que dois sólidos com a mesma altura têm volumes iguais se as secções 
planas de iguais altura possuírem a mesma área. 
Vejamos: 
Suponhamos a existência de uma coleção de chapas retangulares (paralelepípedos retângulos) de 
mesmas dimensões, e consequentemente, de mesmo volume. Imaginemos ainda a formação de dois 
sólidos com essa coleção de chapas. 
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. 221 
 
 
Tanto em A como em B, a parte do espaço ocupado, ou seja, o volume ocupado, pela coleção de 
chapas é o mesmo, isto é, os sólidos A e B tem o mesmo volume. 
Mas se imaginarmos esses sólidos com base num mesmo plano α e situados num mesmo semi espaço 
dos determinados por α. 
 
 
Qualquer plano β, secante aos sólidos A e B, paralelo a α, determina em A e em B superfícies de áreas 
iguais (superfícies equivalentes). A mesma ideia pode ser estendida para duas pilhas com igual número 
de moedas congruentes. 
 
 
Dois sólidos, nos quais todo plano secante, paralelo a um dado 
plano, determina superfícies de áreas iguais (superfícies 
equivalentes), são sólidos de volumes iguais (sólidos equivalentes). 
 
 
 
A aplicação do princípio de Cavalieri, em geral, implica na colocação dos sólidos com base num mesmo 
plano, paralelo ao qual estão as secções de áreas iguais (que é possível usando a congruência) 
 
 
 
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. 222 
- Sólidos geométricos 
 
I) PRISMA: é um sólido geométrico que possui duas bases iguais e paralelas. 
 
 
 Elementos de um prisma: 
a) Base: pode ser qualquer polígono. 
b) Arestas da base: são os segmentos que formam as bases. 
c) Face Lateral: é sempre um paralelogramo. 
d) Arestas Laterais: são os segmentos que formam as faces laterais. 
e) Vértice: ponto de intersecção (encontro) de arestas. 
f) Altura: distância entre as duas bases. 
 
 Classificação: 
Um prisma pode ser classificado de duas maneiras: 
 
1- Quanto à base: 
- Prisma triangular...........................................................a base é um triângulo. 
- Prisma quadrangular.....................................................a base é um quadrilátero. 
- Prisma pentagonal........................................................a base é um pentágono. 
- Prisma hexagonal.........................................................a base é um hexágono. 
E, assim por diante. 
 
2- Quanta à inclinação: 
- Prisma Reto: a aresta lateral forma com a base um ângulo reto (90°). 
- Prisma Obliquo: a aresta lateral forma com a base um ângulo diferente de 90°. 
 
 Fórmulas: 
- Área da Base 
Como a base pode ser qualquer polígono não existe uma fórmula fixa. Se a base é um triângulo 
calculamos a área desse triângulo; se a base é um quadrado calculamos a área desse quadrado, e assim 
por diante. 
- Área Lateral: 
Soma das áreas das faces laterais 
- Área Total: 
At=Al+2Ab 
- Volume: 
V = Abh 
 
 Prismas especiais: temos dois prismas estudados a parte e que são chamados de prismas especiais, 
que são: 
 
 
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. 223 
a) Hexaedro (Paralelepípedo reto-retângulo): é um prisma que tem as seis faces retangulares. 
 
 
Temos três dimensões: a= comprimento, b = largura e c = altura. 
 
Fórmulas: 
- Área Total: At = 2.(ab + ac + bc) 
 
- Volume: V = a.b.c 
 
- Diagonal: D = √a2 + b2 + c2 
 
b) Hexaedro Regular (Cubo): é um prisma que tem as 6 faces quadradas. 
 
As três dimensões de um cubo comprimento, largura e altura são iguais. 
 
Fórmulas: 
- Área Total: At = 6.a2 
 
- Volume: V = a3 
 
- Diagonal: D = a√3 
 
II) PIRÂMIDE: é um sólido geométrico que tem uma base e um vértice superior. 
 
 Elementos de uma pirâmide: 
 
A pirâmide tem os mesmos elementos de um prisma: base, arestas da base, face lateral, arestas 
laterais, vértice e altura. Além destes, ela também tem um apótema lateral e um apótema da base. 
Na figura acima podemos ver que entre a altura, o apótema da base e o apótema lateral forma um 
triângulo retângulo, então pelo Teorema de Pitágoras temos: ap2 = h2 + ab2. 
 
 Classificação: 
Uma pirâmide pode ser classificado de duas maneiras: 
1- Quanto à base: 
- Pirâmide triangular...........................................................a base é um triângulo. 
- Pirâmide quadrangular.....................................................a base é um quadrilátero. 
- Pirâmide pentagonal........................................................a base é um pentágono. 
- Pirâmide hexagonal.........................................................a base é um hexágono. 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 224 
E, assim por diante. 
2- Quanta à inclinação: 
- Pirâmide Reta: tem o vértice superior na direção do centro da base. 
- Pirâmide Obliqua: o vértice superior esta deslocado em relação ao centro da base. 
 
 
Fórmulas: 
- Área da Base: 𝐴𝑏 = 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑙í𝑔𝑜𝑛𝑜, como a base pode ser qualquer polígono não existe uma 
fórmula fixa. Se a base é um triângulo calculamos a área desse triângulo; se a base é um quadrado 
calculamos a área desse quadrado, e assim por diante. 
- Área Lateral: 𝐴𝑙 = 𝑠𝑜𝑚𝑎 𝑑𝑎𝑠 á𝑟𝑒𝑎𝑠 𝑑𝑎𝑠 𝑓𝑎𝑐𝑒𝑠 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑖𝑠 
 
- Área Total: At = Al + Ab 
 
- Volume: 𝑉 =
1
3
. 𝐴𝑏 . ℎ 
 
- TRONCO DE PIRÂMIDE 
O tronco de pirâmide é obtido ao se realizar uma secção transversal numa pirâmide, como mostra a 
figura: 
 
O tronco da pirâmide é a parte da figura que apresenta as arestas destacadas em vermelho. 
É interessante observar que no tronco de pirâmide as arestas laterais são congruentes entre si; as 
bases são polígonos regulares semelhantes; as faces laterais são trapézios isósceles, congruentes entre 
si; e a altura de qualquer face lateral denomina-se apótema do tronco. 
 
→ Cálculo das áreas do tronco de pirâmide. 
Num tronco de pirâmide temos duas bases, base maior e base menor, e a área da superfície lateral. 
De acordo com a base da pirâmide, teremos variações nessas áreas. Mas observe que na superfície 
lateral sempre teremos trapézios isósceles, independente do formato da base da pirâmide. Por exemplo, 
se a base da pirâmide for um hexágono regular, teremos seis trapézios isósceles na superfície lateral. 
A área total do tronco de pirâmide é dada por: 
St = Sl + SB + Sb 
Onde: 
St → é a área total 
Sl → é a área da superfície lateral 
SB → é a área da base maior 
Sb → é a área da base menor 
 
 
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. 225 
→ Cálculo do volume do tronco de pirâmide. 
A fórmula para o cálculo do volume do tronco de pirâmide é obtida fazendo a diferença entre o volume 
de pirâmide maior e o volume da pirâmide obtida após a secção transversal que produziu o tronco. 
Colocando em função de sua altura e das áreas de suas bases, o modelo matemático para o volume do 
tronco é: 
 
Onde, 
V → é o volume do tronco 
h → é a altura do tronco 
SB → é a área da base maior 
Sb → é a área da base menor 
 
III) CILINDRO: é um sólido geométrico que tem duas bases iguais, paralelas e circulares. 
 
Elementos de um cilindro: 
a) Base: é sempre um círculo. 
b) Raio 
c) Altura: distância entre as duas bases. 
d) Geratriz: são os segmentos que formam a face lateral, isto é, a face lateral é formada por infinitas 
geratrizes. 
 
Classificação: como a base de um cilindro é um círculo, ele só pode ser classificado de acordo com 
a inclinação: 
- Cilindro Reto: a geratriz forma com o plano da base um ângulo reto (90°). 
- Cilindro Obliquo: a geratriz forma com a base um ângulo diferente de 90°. 
 
 
Fórmulas: 
- Área da Base: Ab = π.r2 
 
- Área Lateral: Al = 2.π.r.h 
 
- Área Total: At = 2.π.r.(h + r) ou At = Al + 2.Ab 
 
- Volume: V = π.r2.h ou V = Ab.h 
 
Secção Meridiana de um cilindro: é um “corte” feito pelo centro do cilindro. O retângulo obtido através 
desse corte é chamado de secção meridiana e tem como medidas 2r e h. Logo a área da secção meridiana 
é dada pela fórmula: ASM = 2r.h. 
 
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. 226 
 
 
Cilindro Equilátero: um cilindro é chamado de equilátero quando a secção meridiana for um 
quadrado, para isto temos que: h = 2r. 
 
IV) CONE: é um sólido geométrico que tem uma base circular e vértice superior. 
 
Elementos de um cone: 
a) Base: é sempre um círculo. 
b) Raio 
c) Altura: distância entre o vértice superior e a base. 
d) Geratriz: segmentos que formam a face lateral, isto é, a face lateral e formada por infinitas 
geratrizes. 
 
Classificação: como a base de um cone é um círculo, ele só tem classificação quanto à inclinação. 
- Cone Reto: o vértice superior está na direção do centro da base. 
- Cone Obliquo: o vértice superior esta deslocado em relação ao centro da base. 
 
 
 Fórmulas: 
- Área da base: Ab = π.r2 
 
- Área Lateral: Al = π.r.g 
 
- Área total: At = π.r.(g + r) ou At = Al + Ab 
 
- Volume: 𝑉 =
1
3
. 𝜋. 𝑟2. ℎ ou 𝑉 =
1
3
. 𝐴𝑏 . ℎ 
 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 227 
- Entre a geratriz, o raio e a altura temos um triângulo retângulo, então: g2 = h2 + r2. 
 
Secção Meridiana: é um “corte” feito pelo centro do cone. O triângulo obtido através desse corte é 
chamado de secção meridiana e tem como medidas, base é 2r e h. Logo a área da secção meridiana é 
dada pela fórmula: ASM = r.h. 
 
 
Cone Equilátero: um cone é chamado de equilátero quando a secção meridiana for um triângulo 
equilátero, para isto temos que: g = 2r. 
 
- TRONCO DE CONE 
Se um cone sofrer a intersecção de um plano paralelo à sua base circular, a uma determinada altura, 
teremos a constituição de uma nova figura geométrica espacial denominada Tronco de Cone. 
 
Elementos 
- A base do cone é a base maior do tronco, e a seção transversal é a base menor; 
- A distância entre os planos das bases é a altura do tronco. 
 
Diferentemente do cone, o tronco de cone possui duas bases circulares em que uma delas é maior 
que a outra, dessa forma, os cálculos envolvendo a área superficial e o volume do tronco envolverão a 
medida dos dois raios. A geratriz, que é a medida da altura lateral do cone, também está presente na 
composição do tronco de cone. 
Não devemos confundir a medida da altura do tronco de cone com a medida da altura de sua lateral 
(geratriz), pois são elementos distintos. A altura do cone forma com as bases um ângulo de 90º. No caso 
da geratriz os ângulos formados são um agudo e um obtuso. 
 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 228 
 
Onde: 
h = altura 
g = geratriz 
 
Área da Superfície e Volume 
 
 
 
Exemplo: 
Os raios das bases de um tronco de cone são 6 m e 4 m. A altura referente a esse tronco é de 10 m. 
Determine o volume desse tronco de cone. Lembre-se que π = 3,14. 
 
 
V) ESFERA 
 
 
 Elementos da esfera 
- Eixo: é um eixo imaginário, passando pelo centro da esfera. 
- Polos: ponto de intersecção do eixo com a superfície da esfera. 
- Paralelos: são “cortes” feitos na esfera, determinando círculos. 
- Equador: “corte” feito pelo centro da esfera, determinando, assim, o maior círculo possível. 
 
 Fórmulas 
 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 229 
 
 
- na figura acima podemos ver que o raio de um paralelo (r), a distância do centro ao paralelo ao centro 
da esfera (d) e o raio da esfera (R) formam um triângulo retângulo. Então, podemos aplicar o Teorema 
de Pitágoras: R2 = r2 + d2. 
- Área: A = 4.π.R2 
 
- Volume: V = 
4
3
. π. R3 
 
Fuso Esférico: 
 
Fórmula da área do fuso: 
𝐴𝑓𝑢𝑠𝑜 =
𝛼. 𝜋. 𝑅2
90°
 
 
 
Cunha Esférica: 
 
 
Fórmula do volume da cunha: 
𝑉𝑐𝑢𝑛ℎ𝑎 =
𝛼. 𝜋. 𝑅3
270°
 
Referências 
IEZZI, Gelson – Matemática Volume Único 
DOLCE, Osvalo; POMPEO, José Nicolau – Fundamentos da matemática elementar – Vol 10 – Geometria Espacial, Posição e Métrica – 5ª edição – Atual 
Editora 
www.brasilescola.com.br 
 
Questões 
 
01. Dado o cilindro equilátero, sabendo que seu raio é igual a 5 cm, a área lateral desse cilindro, em 
cm2, é: 
(A) 90π 
(B) 100π 
(C) 80π 
(D) 110π 
(E) 120π 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 230 
02. Seja um cilindro reto de raio igual a 2 cm e altura 3 cm. Calcular a área lateral, área total e o seu 
volume. 
 
03. Um prisma hexagonal regular tem aresta da base igual a 4 cm e altura 12 cm. O volume desse 
prisma é: 
(A) 288√3 cm3 
(B) 144√3 cm3 
(C) 200√3 cm3 
(D) 100√3 cm3 
(E) 300√3 cm3 
 
04. As dimensões de um paralelepípedo são 3 cm, 4 cm e 12 cm. Pede-se calcular a área total, o 
volume e a diagonal desse paralelepípedo. 
 
05. Um cubo tem aresta igual a 3 m, a área total e o volume desse cubo são, respectivamente, iguais 
a: 
(A) 27 m2 e 54 m3 
(B) 9 m2 e 18 m3 
(C) 54 m2 e 27 m3 
(D) 10 m2 e 20 m3 
 
06. Uma pirâmide triangular regular tem aresta da base igual a 8 cm e altura 15 cm. O volume dessa 
pirâmide, em cm3, é igual a: 
(A) 60 
(B) 60√3 
(C) 80 
(D) 80√3 
(E) 90√3 
 
07. (Pref. SEARA/SC – Adjunto Administrativo – IOPLAN) Um reservatório vertical de água com a 
forma de um cilindro circular reto com diâmetro de 6 metros e profundidade de 10 metros tem a 
capacidade aproximada de, admitindo-se π=3,14: 
(A) 282,60 litros. 
(B) 28.260 litros. 
(C) 282.600,00 litros. 
(D) 28.600,00 litros. 
 
08. Um cone equilátero tem raio igual a 8 cm. A altura desse cone, em cm, é: 
(A) 6√3 
(B) 6√2 
(C) 8√2 
(D) 8√3 
(E) 8 
 
09. Uma esfera tem raio igual a 6 cm. Pede-se calcular: 
a) a área. 
b) o volume. 
 
10. Foi feito uma secção em uma esfera de raio 4 cm, pelo seu centro, determinando um ângulo 
equatorial de 60°. Determinar a área do fuso e o volume da cunha obtidos por essa secção. 
 
11. (ESCOLA DE SARGENTO DAS ARMAS – COMBATENTE/LOGÍSTICA – TÉCNICA/AVIAÇÃO – 
EXÉRCITO BRASILEIRO) O volume de um tronco de pirâmide de 4 dm de altura e cujas áreas das bases 
são iguais a 36 dm² e 144 dm² vale: 
(A) 330 cm³ 
(B) 720 dm³ 
(C) 330 m³ 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 231 
(D) 360 dm³ 
(E) 336 dm³ 
 
12. (UFPA) Uma rasa é um paneiro utilizado na venda de frutos de açaí. Um típico exemplar tem forma 
de um tronco de cone, com diâmetro de base 28 cm, diâmetro de boca 34 cm e altura 27 cm. Podemos 
afirmar, utilizando pi=3,14, que a capacidade da rasa,em litros, é aproximadamente. 
(A) 18 
(B) 20 
(C) 22 
(D) 24 
(E) 26 
 
13. Uma vasilha (figura abaixo) tem a forma de um tronco de cone. Suas dimensões estão indicadas 
na figura. Qual o volume máximo de água que a vasilha pode conter, em litros? (Use π =3,14.) 
 
 
Respostas 
 
01. Resposta: B. 
Em um cilindro equilátero temos que h = 2r e do enunciado r = 5 cm. 
h = 2r → h = 2.5 = 10 cm 
Al = 2.π.r.h 
Al = 2.π.5.10 
Al = 100π 
 
02. Respostas: Al = 12π cm2, At = 20π cm2 e V = 12π cm3 
Aplicação direta das fórmulas sendo r = 2 cm e h = 3 cm. 
Al = 2.π.r.h At = 2π.r(h + r) V = π.r2.h 
Al = 2.π.2.3 At = 2π.2(3 + 2) V = π.22.3 
Al = 12π cm2 At = 4π.5 V = π.4.3 
 At = 20π cm2 V = 12π cm2 
 
03. Resposta: A. 
O volume de um prisma é dado pela fórmula V = Ab.h, do enunciado temos que a aresta da base é a 
= 4 cm e a altura h = 12 cm. 
A área da base desse prisma é igual a área de um hexágono regular 
𝐴𝑏 =
6.𝑎2√3
4
 
 
𝐴𝑏 =
6.42√3
4
  𝐴𝑏 =
6.16√3
4
  𝐴𝑏 = 6.4√3  𝐴𝑏 = 24√3 cm
2 
 
V = 24√3.12 
V = 288√3 cm3 
 
04. Respostas: At = 192 cm2, V = 144 cm3 e D = 13 cm 
Aplicação direta das fórmulas sendo a = 3 cm, b = 4 cm e c = 12 cm. 
At = 2.(ab + ac + bc) V = a.b.c D = √a2 + b2 + c2 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 232 
At = 2.(3.4 + 3.12 + 4.12) V = 3.4.12 D = √32 + 42 + 122 
At = 2.(12 + 36 + 48) V = 144 cm3 D = √9 + 16 + 144 
At = 2.96 D = √169 
At = 192 cm2 D = 13 cm 
 
05. Resposta: C. 
Do enunciado, o cubo tem aresta a = 3 m. 
At = 6.a2 V = a3 
At = 6.32 V = 33 
At = 6.9 V = 27 m3 
At = 54 m2 
 
06. Resposta: D. 
Do enunciado a base é um triângulo equilátero. E a fórmula da área do triângulo equilátero é 𝐴 =
𝑙2√3
4
. 
A aresta da base é a = 8 cm e h = 15 cm. 
 
Cálculo da área da base: 
𝐴𝑏 =
𝑎2√3
4
 
 
𝐴𝑏 =
82√3
4
=
64√3
4
 
 
𝐴𝑏 = 16√3 
 
Cálculo do volume: 
𝑉 =
1
3
. 𝐴𝑏 . ℎ 
 
𝑉 =
1
3
. 16√3. 15 
 
𝑉 = 16√3. 5 
 
𝑉 = 80√3 
 
07. Resposta: C. 
Pelo enunciado sabemos a altura (h) = 10 m e o Diâmetro da base = 6 m, logo o Raio (R) = 3m. 
O volume é Ab.h, onde Ab = π .R² → Ab = 3,14. (3)² → Ab = 28,26 
V = Ab. H → V = 28,26. 10 = 282,6 m³ 
Como o resultado é expresso em litros, sabemos que 1 m³ = 1000 l, Logo 282,26 m³ = x litros 
282,26. 1000 = 282 600 litros 
 
08. Resposta: D. 
Em um cone equilátero temos que g = 2r. Do enunciado o raio é 8 cm, então a geratriz é g = 2.8 = 16 
cm. 
g2 = h2 + r2 
162 = h2 + 82 
256 = h2 + 64 
256 – 64 = h2 
h2 = 192 
h = √192 
h = √26. 3 
h = 23√3 
h = 8√3 cm 
 
 
 
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. 233 
09. Respostas: a) 144π cm2 e b) 288π cm3 
O raio da esfera é 6 cm. 
a)A = 4.π.R2 
A = 4.π.62 
A = 4.π.36 
A = 144π cm2 
 
b)V = 
4
3
. π. R3 
 
V = 
4
3
. π. 63 
 
V = 
4
3
. π. 216 
 
V = 288π cm3 
 
10. Respostas: Af = 
𝟑𝟐𝛑
𝟑
 cm2 e Vc = 
𝟏𝟐𝟖𝛑
𝟗
 cm3 
A esfera tem raio R = 4 e o ângulo equatorial α = 60°. 
 
Af = 
α.π.R2
90°
 
 
Af = 
60°.π.42
90°
 = 
6.π.16
9
 = 
96π
9
 = 
32π
3
 cm2 
 
Vc = 
α.π.R3
270°
 
 
Vc = 
60°.π.43
270°
 = 
6.π.64
27
 = 
384π
27
 = 
128π
9
 cm3 
 
 
11. Resposta: E. 
𝑉 =
ℎ𝑡
3
(𝐴𝐵 + √𝐴𝐵 ∙ 𝐴𝑏 + 𝐴𝑏) 
 
AB=144 dm² 
Ab=36 dm² 
 
𝑉 =
4
3
(144 + √144 ∙ 36 + 36) =
4
3
(144 + 72 + 36) =
4
3
252 = 336 𝑑𝑚3 
 
12. Resposta: B. 
Temos na nessa questão um tronco cone, vamos esboçar o desenho: 
 
Observe que temos um cone e será necessário termos um acréscimo na altura, esse acréscimo x será 
calculado através de semelhança entre triângulos. 
x/14 = (x + 27)/17 
17x = 14.(x + 27) 
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. 234 
17x = 14x + 378 
17x - 14x = 378 
3x = 378 
x = 378/3 
x = 126 cm 
 
Agora que encontramos o valor de x temos: 
 
 
 Encontrando esses dois cones iremos calcular o volume de cada um e subtrair o volume do maior 
menos o volume do menor. 
VOLUME DO CONE MAIOR (Vma) 
Vma = área da base x altura /3 
Vma = πR² x 153 /3 
Vma = 3,14 x 289 x 153/3 
Vma = 46303,93 cm³ 
 
VOLUME DO CONE MENOR (Vme) 
Vme = pi.R² x altura/3 
Vme = 3,14 x 196 x 126/3 
Vme = 25861,59 cm³ 
 
VOLUME DO TRONCO DE CONE (Vc) 
Vc = Vma - Vme 
Vc = 46303,93 - 25861,59 
Vc = 20442,34 cm³ 
 
Mas, a unidade está em cm³ devemos transformar para litros. 
1cm³ = 1ml 
20442,34 cm³ = 20442,34 ml 
Sabemos também que... 
1L -----------------1000ml 
 x---------------20442,34ml 
x = 20442,34 / 1000 
x = 20,44 L 
 
13. Resposta: 87,92 l 
R = 40cm; r = 20cm; h = 30cm 
𝑉 =
ℎ𝜋
3
(𝑅2 + 𝑅𝑟 + 𝑟2) →
30. 𝜋
3
(402 + 40.2 + 202) → 10𝜋(2800) = 2800𝜋 ≅ 87 920𝑐𝑚3 
Como 1 dm3 = 1 l  o volume máximo de água da vasilha pode conter é de cerca de 87,92l. 
 
 
 
 
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. 235 
SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL (OU PLANO CARTESIANO) 
 
 
 
Temos dois eixos orientados, um horizontal e outro vertical, perpendiculares entre si. O eixo horizontal 
é chamado de “eixo das abscissas” e o eixo vertical e chamado de “eixo das ordenadas”. 
Estes eixos dividem o plano em quatro partes chamadas de “quadrantes”. 
O ponto O e chamado de ponto “Zero” ou “Ponto de Origem” do sistema. 
 
- Propriedades do Sistema Cartesiano. 
Sendo um ponto p(x, y), temos: 
 
1) Se P ∈ ao 1° quadrante: x > 0 e y > 0 
2) Se P ∈ ao 2° quadrante: x < 0 e y > 0 
3) Se P ∈ ao 3° quadrante: x < 0 e y < 0 
4) Se P ∈ ao 4° quadrante: x > 0 e y < 0 
5) Se P ∈ ao eixo das abcissas: y = 0 
6) Se P ∈ ao eixo das ordenadas: x = 0 
7) Se P ∈ à bissetriz dos quadrantes ímpares (1° e 3° quadrantes): x = y 
8) Se P ∈ à bissetriz dos quadrantes pares (2° e 4° quadrantes): x = - y 
 
Ponto médio 
 
Sendo A(xA, yA) e B(xB, yB) dois pontos do sistema cartesiano: 
 
 
- se M(xM, yM) é ponto médio do 
segmento AB̅̅ ̅̅ , temos a fórmula do 
ponto médio: 
 
xM =
xA + xB
2
 
 
𝑦𝑀 =
𝑦𝐴 + 𝑦𝐵
2
 
 
 
 
 
 
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. 236 
Distância entre dois pontos 
 
 
- de acordo com o Teorema de 
Pitágoras, temos a fórmula da 
distância: 
 
 
𝑑𝐴𝐵
= √(𝑥𝐵 − 𝑥𝐴)
2 + (𝑦𝐵 − 𝑦𝐴)
2 
 
 
Área do triângulo e condição de alinhamento de três pontos 
 
Sejam os pontos A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC) os três vértices de um triângulo ABC, para calcular a 
área desse triângulo temos a fórmula: 
 
A =
|D|
2
 , onde D = |
xA yA 1
xB yB 1
xC yC 1
| 
 
E a condição para que os três estejam alinhados (mesma linha ou mesma reta) é que D = 0. 
 
Questões 
 
01. O ponto A(2m + 1, m + 7) pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares. Então, o valor de m é: 
(A) 5 
(B) 6 
(C) 7 
(D) 8 
(E) 9 
 
02. O ponto P(2 + p, 4p – 12) pertence ao eixo das abscissas, então: 
(A) P(2 ,0) 
(B) P(3, 0) 
(C) P(- 5, 0) 
(D) P(5, 0) 
(E) P(- 2, 0) 
 
03. O ponto médio entre A(4, - 1) e B(2, 5) é: 
(A) M(- 3, 2) 
(B) M(3, - 2) 
(C) M(- 3, - 2) 
(D) M(3, 2) 
(E) M(1, 2) 
 
04. Se M(4, 5) é ponto médio entre A(6, 1) e B. As coordenadas xB e yB, respectivamente, são iguais 
a: 
(A) 2 e 9 
(B) 2 e 7 
(C) 9 e 2 
(D) 3 e 9 
(E) 1 e 8 
 
 
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. 237 
05. Calcular a distância entre os pontos abaixo: 
 
a) A(3, 1) e B(7, 4) 
b) C(- 1, 8) e D(2, - 3) 
 
06. Se a distância entre os pontos A(8, 2) e B(3, y) é igual a 5√2, sendo B é um ponto do 1° quadrante, 
então o valor de y é: 
(A) 5 
(B) 6 
(C) 7 
(D) 8 
(E) 9 
 
07. Quais são os possíveis valores de c para que os pontos (c, 3), (2, c) e (14, - 3) sejam colineares? 
(A) 4 e 5 
(B) 5 e – 6 
(C) – 5 e 6 
(D) – 4 e 5 
(E) 6 e 5 
 
08. A área de um triângulo que tem vértices nos ponto A(2, 1), B(4, 5) e C(0, 3), em unidades de área, 
é igual a: 
(A) 5 
(B) 6 
(C) 7 
(D) 8 
(E) 2 
 
09. Se (m + 2n, m – 4) e (2 – m, 2n) representam o mesmo ponto do planocartesiano, então mn é igual 
a: 
(A) 2 
(B) 0 
(C) – 2 
(D) 1 
(E) ½ 
 
Respostas 
 
01. Resposta: B. 
Se o ponto pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares temos que x = y. 
x = y 
2m + 1 = m + 7 
2m – m = 7 – 1 
m = 6 
 
02. Resposta: D. 
Se P pertence ao eixo das abscissas y = 0. 
y = 0 
4p – 12 = 0 
4p = 12 
p = 12/4 
p = 3 
 
x = 2 + p 
x = 2 + 3 
x = 5 
Logo: P(5, 0) 
 
 
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. 238 
03. Resposta: D. 
xM =
xA+xB
2
 e yM =
yA+yB
2
 
 
xM =
4+2
2
= 3 e yM =
−1+5
2
= 2 
 
04. Resposta: A. 
 
xM =
xA+xB
2
 yM =
yA+yB
2
 
 
4 =
6+xB
2
 5 =
1+yB
2
 
 
6 + 𝑥𝐵 = 2.4 1 + 𝑦𝐵 = 2.5 
 
𝑥𝐵 = 8 − 6 = 2 𝑦𝐵 = 10 − 1 = 9 
 
 
05. Respostas: a) 5 b) √𝟏𝟑𝟎 
 
a) 𝑑𝐴𝐵 = √(𝑥𝐵 − 𝑥𝐴)
2 + (𝑦𝐵 − 𝑦𝐴)
2 
 
𝑑𝐴𝐵 = √(7 − 3)
2 + (4 − 1)2 = √42 + 32 = √16 + 9 = √25 = 5 
 
b) 𝑑𝐶𝐷 = √(𝑥𝐷 − 𝑥𝐶)
2 + (𝑦𝐷 − 𝑦𝐶)
2 
 
𝑑𝐶𝐷 = √(2 − (−1))
2
+ (−3 − 8)2 = √(2 + 1)2 + (−11)2 = √32 + 121 = 
= √9 + 121 = √130 
 
06. Resposta: C. 
𝑑𝐴𝐵 = 5√2 
 
√(𝑥𝐵 − 𝑥𝐴)
2 + (𝑦𝐵 − 𝑦𝐴)
2 = 5√2 (elevando os dois membros ao quadrado) 
 
(√(𝑥𝐵 − 𝑥𝐴)
2 + (𝑦𝐵 − 𝑦𝐴)
2)
2
= (5√2)
2
 
 
(3 − 8)2 + (𝑦 − 2)2 = 25.2 
(−5)2 + (𝑦 − 2)2 = 50 
25 + (𝑦 − 2)2 = 50 
(y – 2)2 = 50 – 25 
(y – 2)2 = 25 
𝑦 − 2 = ±√25 
𝑦 − 2 = ±5 
 
y – 2 = 5 ou y – 2 = - 5 
y = 5 + 2 ou y = - 5 + 2 
y = 7 ou y = - 3 
como o ponto B está no 1° quadrante, y > 0  y = 7 
 
07. Resposta: E. 
Colineares (mesma linha) ou seja, os pontos dados devem estar alinhados. A condição para isto é que 
D = 0. 
 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 239 
𝐷 = |
𝑐 3 1
2 𝑐 1
14 −3 1
| = 0 (para resolver o determinante D, repetimos as 1ª e 2ª colunas) 
 
𝐷 = |
𝑐 3 1
2 𝑐 1
14 −3 1
|
𝑐 3
2 𝑐
14 −3
= 𝑐. 𝑐. 1 + 3.1.14 + 1.2. (−3) − 1. 𝑐. 14 − 𝑐. 1. (−3) − 3.2.1 = 
 
= 𝑐2 + 42 − 6 − 14𝑐 + 3𝑐 − 6 = 
= 𝑐2 − 11𝑐 + 30 
 
Então: 𝐷 = 0  𝑐2 − 11𝑐 + 30 = 0, equação do 2° grau em que a = 1, b = - 11 e c = 30 (lembrando 
que o c que queremos determinar não é o mesmo c da equação). 
 
∆= 𝑏2 − 4. 𝑎. 𝑐 
∆= (−11)2 − 4.1.30 
∆= 121 − 120 = 1 
 
c =
−b±√∆
2a
 
 
c =
−(−11)±√1
2.1
 = 
11±1
2
  𝑐 =
11+1
2
=
12
2
= 6 ou 𝑐 =
11−1
2
=
10
2
= 5 
 
08. Resposta: B. 
A fórmula da área do triângulo é A = 
|D|
2
. 
 
𝐷 = |
2 1 1
4 5 1
0 3 1
| 
2 1
4 5
0 3
 = 2.5.1 + 1.1.0 + 1.4.3 − 1.5.0 − 2.1.3 − 1.4.1 = 
 
= 10 + 0 + 12 – 0 – 6 – 4 = 22 – 10 = 12 
 
A = 
|12|
2
 = 6 
 
09. Resposta: E. 
Do enunciado temos que (m + 2n, m – 4) = (2 – m, 2n), se esses dois pontos são iguais: 
m + 2n = 2 – m (I) e m – 4 = 2n (II), substituindo (II) em (I), temos: 
m + m – 4 = 2 – m 
2m – 4 = 2 – m 
2m + m = 2.+ 4 
3m = 6 
m = 6 : 3 
m = 2 (substituindo 2 em (II)) 
2 – 4 = 2n 
- 2 = 2n 
n = - 2 : 2 
n = - 1 
Logo: mn = 2-1 = ½ (expoente negativo, invertemos a base e o expoente fica positivo. 
 
ESTUDO DA RETA 
 
Inclinação de uma reta 
Considere-se no Plano Cartesiano uma reta r. Chama-se inclinação de r à medida de um ângulo α que 
r forma com o eixo x no sentido anti-horário, a partir do próprio eixo x. 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 240 
 
 
Coeficiente angular da reta 
Definimos o coeficiente angular (ou declividade) da reta r o número m tal que 𝐦 = 𝐭𝐠𝛂. 
Então, temos: 
 
- se m = 0 
a reta é paralela ao eixo x, isto é, α = 0°. 
 
- se m > 0 
 temos um ângulo α, tal que 0° < α < 90°. O ângulo α é agudo. 
 
- se m < 0 
temos um ângulo α, tal que 90° < α < 180°. O ângulo α é obtuso. 
 
- se m = ∄ (não existe)  a reta é perpendicular ao eixo x, isto é, α = 90°. 
 
 
Sendo A e B dois pontos pertencentes a uma reta r, temos: 
 
 
No triângulo retângulo: tgα =
cateto aposto
cateto adjacente
, então temos que o coeficiente angular m 
é: 
 
m = 
yB−yA
xB−xA
  m = 
∆𝐲
∆𝐱
 
 
 
 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 241 
Equação fundamental da reta 
Considerando uma reta r e um ponto A(x0, y0) pertencente à reta. Tomamos outro ponto B(x, y) genérico 
diferente de A. Com esses dois pontos pertencentes à reta r, podemos calcular o seu coeficiente angular. 
 
 
m =
∆y
∆x
  
m
1
=
y−y0
x−x0
 , multiplicando em “cruz”: 
 
y – yo = m(x – xo), fórmula da equação fundamental da reta. 
 
 
Exemplos: 
1- Uma reta tem inclinação de 60° em relação ao eixo x. Qual é o coeficiente angular desta reta? 
 
Solução: m = tgα  m = tg60°  m = √3 
 
2- Uma reta passa pelos pontos A(3, -1) e B(5, 8). Determinar o coeficiente angular dessa reta. 
 
Solução: m =
∆y
∆x
=
yB−yA
xB−xA
  m =
8−(−1)
5−3
  m =
9
2
 
 
3- Uma reta passa pelo ponto A(2, 4) e tem coeficiente angular m = 5. Determinar a equação 
fundamental dessa reta. 
 
Solução: o ponto por onde a reta passa são os valores de xo e yo para substituir na fórmula, então: 
 
y − yo = m. (x − xo)  y − 4 = 5. (x − 2) (esta é a equação fundamental da reta) 
 
Equação geral da reta 
Toda reta tem uma Equação Geral do tipo: 
 
𝐚𝐱 + 𝐛𝐲 + 𝐜 = 𝟎 , onde a, b e c são os coeficientes da equação e podem ser qualquer número real, 
com a condição de que a e b não sejam nulos ao mesmo tempo. Isto é se a = 0  b ≠ 0 e se b = 0  a 
≠ 0. 
 
Exemplos: 
(r) 2x – 3y + 8 = 0  a = 2, b = - 3 e c = 8 
(s) – x + 10 = 0  a = - 1, b = 0 e c = 10 
(t) 3y – 7 = 0  a = 0, b = 3 e c = - 7 
(u) x + 5y = 0  a = 1, b = 5 e c = 0 
 
Da equação geral da reta, temos uma nova fórmula para o coeficiente angular: 𝐦 =
−𝐚
𝐛
 
 
Equação reduzida da reta 
Para determinar a equação reduzida da reta, basta “isolar” o y. 
 
ax + by + c = 0 
 
by = −ax − c 
 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 242 
y =
−ax
b
−
c
b
 
 
Na equação reduzida da reta temos que 
−a
b
 é o coeficiente angular (m) da reta e 
−c
b
 é o coeficiente 
linear (q) da reta. Então, a equação reduzida é da forma: 
 
y = mx + q 
 
O coeficiente linear q é o ponto em que a reta “corta” o eixo y. 
 
 
Observações: 
I) A equação reduzida de uma reta fornece diretamente o coeficiente 
angular e o coeficiente linear. 
II) As retas de inclinação igual a 90° (reta vertical ao eixo x) não 
possuem equação reduzida. 
 
Bissetrizes dos ângulos de duas retas 
 
 
A bissetriz de ângulos de 
retas, nada mais é a que a 
aplicação direta da fórmula 
da distância de um ponto a 
uma reta 
 
 
Paralelismo e perpendicularismo 
Considere-se no Plano Cartesiano duas reta r e s. 
 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 243 
Se as retas são paralelas, o ângulo 𝛼 de inclinação em relação ao eixo x é o mesmo. Este ângulo nos 
dá o valor do coeficiente angular da reta e, sendo mr e ms, respectivamente os coeficientes angulares de 
r e s, temos: 
 
1) Se r e s são paralelas: mr = ms 
 
2) Se r e s são concorrentes: mr ≠ ms 
 
3) Se r e s são perpendiculares: mr.ms = - 1 
 
Observação: para que o produto de dois números seja igual a – 1, mr e ms devem 
ser inversos e opostos. 
 
 
Distância entre ponto e reta 
Seja uma reta (r) de equação geral ax + by + c = 0 e um ponto P(xo, yo): 
 
 
 
Para calcular a distância d entre o ponto P e a reta r temos a seguinte fórmula: 
 
 
 
Exemplo: Qual é a distância entre a reta (r) 3x + 4y – 1 = 0 e o ponto P(1, 2)? 
 
Solução: temos uma equação de reta em que a = 3, b = 4 e c = - 1. 
 
dP,r =
|3x+4y−1|
√32+42
  substituindo x = 1 e y = 2 (coordenadas do ponto P) 
 
dP,r =
|3.1+4.2−1|
√9+16
 = 
|3+8−1|
√25
 = 
|10|
5
 = 
10
5
 = 2 
 
Distância entre duas retas 
Só existe distância entre duas retas r e s se elas forem paralelas. E, neste caso, os valores de a e b 
na equação geral da reta são iguais ou proporcionais, sendo diferente somente o valor de c. Isto é: 
 
(r) ax + by + c = 0 e (s) ax + by + c’ = 0. 
 
Exemplos: 
(r) 2x– 3y + 8 = 0 e (s) 2x – 3y – 7 = 0 são paralelas, pois a = 2 e b = - 3 nas duas equações. 
 
(r) 3x + 2y – 10 = 0 e (s) 6x + 4y + 30 = 0 são paralelas, pois na reta r a = 3 e b = 2 e na reta s a = 6 e 
b = 2 são proporcionais (o dobro). Se dividirmos por 2 os coeficientes a e b da reta (s) obtemos valores 
iguais. 
Então, para calcular a distância entre as retas r e s temos a seguinte fórmula: 
 
 
 
𝐝𝐏,𝐫 =
|𝐚𝐱𝐨 + 𝐛𝐲𝟎 + 𝐜|
√𝐚𝟐 + 𝐛𝟐
 
𝐝𝐫,𝐬 =
|𝐜 − 𝐜′|
√𝐚𝟐 + 𝐛𝟐
 
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. 244 
Exemplo 1: Calcular a distância entre as retas (r) 4x + 3y – 10 = 0 e (s) 4x + 3y + 5 = 0. 
 
Solução: temos que a = 4 e b = 3 nas duas equações e somente o valor de c é diferente, então, c = - 
10 e c’ = 5 (ou c = 5 e c’ = - 10). 
 
dr,s =
|−10−5|
√42+32
 = 
|−15|
√16+9
 = 
15
√25
 = 
15
5
 = 3 
 
Exemplo 2 : Calcular a distância entre as retas (r) 3x – 2y + 8 = 0 e (s) 6x – 4y – 12 = 0. 
 
Solução: primeiro temos que dividir a equação da reta (s) por dois para que a e b fiquem iguais nas 
duas equações. 
(s) 6x – 4y – 12 = 0 :(2)  3x – 2y – 6 = 0 
 
Logo, a = 3, b = - 2, c = 8 e c’ = - 6 (ou c = - 6 e c’ = 8) 
 
dr,s =
|8−(−6)|
√32+(−2)2
 = 
|8+6|
√9+4
 = 
|14|
√13
 = 
14
√13
 , neste caso temos que racionalizar o denominador multiplicando em 
cima e em embaixo por √13. 
 
dr,s =
14
√13
.
√13
√13
 = 
14√13
13
 
 
Questões 
 
01. (FGV-SP) A declividade do segmento de reta que passa pelos pontos A(0, 3) e B(3, 0) é: 
(A) 1 
(B) – 1 
(C) 0 
(D) 3 
(E) 1/3 
 
02. (MACK-SP) Se os pontos (2, - 3), (4, 3) e (5,
𝑘
2
) estão numa mesma reta, então k é igual a: 
(A) – 12 
(B) – 6 
(C) 6 
(D) 12 
(E) 18 
 
03. Escreva a equação fundamental da reta que passa pelo ponto P e tem coeficiente angular m nos 
seguintes casos: 
a) P(1, 4) e m = 7 
b) P(0, - 1) e m = 3 
c) P(- 2, 5) e m = - 2 
 
04. (OSEC-SP) A equação da reta que passa pelo ponto A(- 3, 4) e cujo coeficiente angular é ½ é: 
(A) x + 2y + 11 = 0 
(B) x – y + 11 = 0 
(C) 2x – y + 10 = 0 
(D) x – 2y + 11 = 0 
(E) nda 
 
05. Uma reta forma com o eixo x um ângulo de 45°. O coeficiente angular dessa reta é: 
(A) 1 
(B) – 1 
(C) 0 
(D) √3 
(E) – √3 
 
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. 245 
06. (UEPA) O comandante de um barco resolveu acompanhar a procissão fluvial do Círio-2002, 
fazendo o percurso em linha reta. Para tanto, fez uso do sistema de eixos cartesianos para melhor 
orientação. O barco seguiu a direção que forma 45° com o sentido positivo do eixo x, passando pelo ponto 
de coordenadas (3, 5). Este trajeto ficou bem definido através da equação: 
(A) y = 2x – 1 
(B) y = - 3x + 14 
(C) y = x + 2 
(D) y = - x + 8 
(E) y = 3x – 4 
 
07. A equação geral de uma reta é – 2x + 4y + 12 = 0. A equação geral dessa reta é: 
(A) 𝑦 = 𝑥 − 3 
(B) 𝑦 =
𝑥
2
− 3 
(C) 𝑦 = 𝑥 + 3 
(D) 𝑦 =
𝑥
2
+ 3 
(E) 𝑦 = 2𝑥 + 3 
 
08. Determinar a equação geral da reta que passa pelos pontos A e B em cada caso abaixo: 
a) A(1, 3) e B(2, 5) 
b) A(0, - 1) e B(4, 1) 
 
09. Considere a reta (r) de equação 2x – 3y + 7 = 0. O valor de a para que o ponto P(1, a) pertença a 
esta reta é: 
(A) 3 
(B) 4 
(C) 5 
(D) 6 
(E) 7 
 
10. Dê o coeficiente angular da reta em cada caso abaixo: 
a) x – y + 3 = 0 
b) 2x + 3y – 1 = 0 
c) 2y – 4 = 0 
d) 3x + 5 = 0 
 
11. (CESGRANRIO-RJ) As retas x + ay – 3 = 0 e 2x – y + 5 = 0 são paralelas se a vale: 
(A) – 2 
(B) – 0,5 
(C) 0,5 
(D) 2 
(E) 8 
 
12. (UFMG) A relação entre m e n, para que as retas de equações (r) 2x – my + 1 = 0 e (s) nx + 3y + 
5 = 0 sejam paralelas, é: 
(A) 
𝑚
𝑛
= −
3
2
 
(B) 
𝑚
𝑛
= −
2
3
 
(C) 
𝑚
𝑛
=
2
3
 
(D) 𝑚. 𝑛 = −6 
(E) 𝑚. 𝑛 = 6 
 
13. (FUVEST) Os coeficientes angulares dos lados de um triângulo são: 1, - 1 e 0. Conclui-se que o 
triângulo é: 
(A) equilátero 
(B) retângulo 
(C) escaleno 
(D) acutângulo 
(E) obtusângulo 
 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 246 
14. Para qual valor de a as retas (r) ax – 2y + 3 = 0 e (s) 2x + y – 1 = 0 são perpendiculares? 
(A) 1 
(B) – 1 
(C) 2 
(D) – 2 
(E) 0 
 
15. Dada uma reta r de equação 3x + 4y + 15 = 0, a distância do ponto P(1, 3) à reta r é igual a: 
(A) 4 
(B) 5 
(C) 6 
(D) 7 
(E) 8 
 
16. Sabendo que o ponto P(a, 2a) pertence ao 1° quadrante e que a distância desse ponto até a reta 
(r) 3x + 4y = 0 é igual a 22, o valor de a é: 
(A) 11 
(B) – 11 
(C) – 10 
(D) 10 
(E) 20 
 
17. Sendo (r) 5x + 12y – 15 = 0 e (s) 5x + 12y – 2 = 0, a distância entre estas duas retas é: 
(A) 1 
(B) 2 
(C) 3 
(D) 4 
(E) 5 
 
18. Se duas retas são perpendiculares, os seus coeficientes angulares são: 
(A) Iguais 
(B) Inversos 
(C) Opostos 
(D) Inversos e opostos. 
 
19. (VUNESP) Dada a reta r de equação 4x + 2y + 5 = 0 e o ponto P(2, - 1), determine: 
a) o coeficiente angular de r. 
b) a equação da reta s que é perpendicular a r e passa pelo ponto P. 
 
Respostas 
 
01. Resposta: B. 
Como temos dois pontos, o coeficiente angular é dado por m = 
∆y
∆x
. 
𝑚 =
𝑦𝐵−𝑦𝐴
𝑥𝐵−𝑥𝐴
  𝑚 =
0−3
3−0
 = 
−3
3
 = - 1 
 
02. Resposta: D. 
Chamando os pontos, respectivamente, de A(2, - 3), B(4, 3) e C(5,
𝑘
2
) e se esses três pontos estão 
numa mesma reta, temos: 
mAB = mBC (os coeficientes angulares de pontos que estão na mesma reta são iguais) 
 
yB−yA
xB−xA
=
yC−yB
xC−xB
 
 
3−(−3)
4−2
=
k
2
−3
5−4
 
 
6
2
=
k−6
2
1
 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 247 
3 =
k−6
2
 
k – 6 = 6 
k = 6 + 6 
k = 12 
 
03. Respostas: 
Utilizar a fórmula y – yo = m(x – xo), onde xo e yo são do ponto P. 
a) y – 4 = 7(x – 1) 
b) y – (- 1) = 3.(x – 0)  y + 1 = 3.(x – 0) 
c) y – 5 = - 2(x – (-2))  y – 5 = - 2(x + 2) 
 
04. Resposta: D. 
xo = - 3, yo = 4 e m = 1/2. Nesta questão as alternativas estão na forma de equação geral, então temos 
que desenvolver a equação fundamental. 
y – yo = m(x – xo) 
y – 4 = 
1
2
.(x – (-3)) (passamos o 2 multiplicando o 1° membro da equação) 
2.(y – 4) = 1(x + 3) 
2y – 8 = x + 3 
2y – 8 – x – 3 = 0 
- x + 2y – 11 = 0 .(- 1) 
x – 2y + 11 = 0 
 
05. Resposta: A. 
O coeficiente angular é dado por 𝑚 = 𝑡𝑔𝛼. 
𝑚 = 𝑡𝑔45°  m = 1 
 
06. Resposta: C. 
xo = 3, yo = 5 e 𝑚 = 𝑡𝑔45° = 1. As alternativas estão na forma de equação reduzida, então: 
y – yo = m(x – xo) 
y – 5 = 1.(x – 3) 
y – 5 = x – 3 
y = x – 3 + 5 
y = x + 2 
 
07. Resposta: B. 
Dada a equação geral da reta, para determinar a reduzida basta isolar o y. 
- 2x + 4y + 12 = 0 
4y = 2x – 12 (passamos o 4 dividindo para o segundo membro separadamente cada termo) 
 
𝑦 =
2𝑥
4
−
12
4
 
 
 𝑦 =
𝑥
2
− 3 
 
08. Respostas: a) 2x – y + 1 = 0; b) x – 2y – 2 = 0 
Primeiro calcular o coeficiente angular e depois podemos escolher qualquer um dos pontos A ou B 
para ter o valor de xo e yo. 
 
a) 𝑚𝐴𝐵 =
∆𝑦
∆𝑥
  𝑚𝐴𝐵 =
5−3
2−1
= 2 
 
𝑦 − 𝑦0 = 𝑚(𝑥 − 𝑥0) 
 
y – 3 = 2.(x – 1) 
y – 3 = 2x – 2 
y – 3 – 2x + 2 = 0 
- 2x + y – 1 = 0 (não é obrigatório, porém é bom que o a seja um número positivo) 
- 2x + y – 1 = 0 x(-1) 
1414472 E-book gerado especialmente para JHESSICA CANDIDA DE SANTA RITA
 
. 248 
2x – y + 1 = 0 
 
b) 𝑚𝐴𝐵 =
1−(−1)
4−0
=
1+1
4
=
2
4
=
1
2
 
 
y – 1 = 
1
2
.(x – 4) (o dois passa multiplicando o 1° membro da equação) 
2.(y – 1) = x – 4 
2y – 2 – x + 4 = 0 
- x + 2y + 2 = 0 x(-1) 
x – 2y – 2 = 0 
 
09. Resposta: A. 
No ponto P x = 1 e y = a, basta substituir esses valores na equação. 
2x – 3y + 7 = 0 
2.1 – 3.a + 7 = 0 
2 – 3a + 7 = 0 
- 3a = - 2 – 7 
- 3a = - 9 x(-1) 
3a = 9 
a = 9 : 3 
a = 3 
 
10. Respostas: a)1 ; b) -2/3 ; c)0 ; d) não existe 
Utilizar a fórmula m = 
−a
b
. 
a) x – y + 3 = 0  a = 1 e b = - 1 
 
𝑚 =
−1
−1
= 1 
 
b) 2x + 3y – 1 = 0  a = 2 e b = 3 
 
𝑚 =
−2
3
 
 
c) 2y – 4 = 0  a = 0 e b = 2 
 
𝑚 =
−0
2
= 0 
 
d) 3x + 5 = 0  a = 3 e b = 0 
 
𝑚 =
−3
0
= ∄ (não existe) 
 
11. Resposta: B. 
Vamos denominar as retas