Progressão geométrica I

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Matemática 
Progressão geométrica 
Progressão Geométrica 
Vimos anteriormente a progressão aritmética, que era uma sequência de 
números que seguia uma razão de soma, temos também a progressão chamada de 
geométrica, que por sua vez, também é uma sequência numérica, porém segue a 
relação dos termos em uma razão de multiplicação. Ou seja, a partir do primeiro 
termo é multiplicado um número constante para obter os outros termos chamados 
de razão da P.G. Essa razão é calculada dividindo um termo pelo seu antecessor. As 
progressões geométricas são também bastante utilizadas para expressar situações 
reais como o crescimento de colônias de bactérias por exemplo. 
Exemplo: 
(3,9,27,...) é uma P.G. pois a partir do 3 multiplicamos por 3 para obter os 
próximos valores: 
 𝑎1 = 3 
𝑎2 = 3𝑥3 = 9 
𝑎3 = 9𝑥3 = 27 
Notação Tradicional 
Podemos escrever a P.G. da seguinte forma: 
(𝑎1, 𝑎1. 𝑞, 𝑎1. 𝑞2, … 𝑎1𝑥𝑞𝑛) 
Sendo q a razão. 
Notação Especial 
Sendo a2 um termo da PG seu antecessor é a2/q e seu sucessor é a2.q: 
(
𝑎2
𝑞
, 𝑎2, 𝑎2. 𝑞) 
Termo Médio 
Assim como na P.A. temos uma fórmula para o termo médio de uma P.G.: 
𝑎2 = √𝑎1. 𝑎3 
Ou seja, o termo médio de dois extremos é a raiz da multiplicação entre eles. 
É uma propriedade muito importante e veremos abaixo uma aplicação: 
Exercício 1: 
Sabendo que a sequência (x-1, 2x – 2, 3x-1) é uma PG, calcule o valor de x. 
 
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Sabe-se que 𝑎2 = √𝑎1 ∗ 𝑎3 (Fórmula do termo médio): 
Portanto: 
2𝑥 − 2 = √(𝑥 − 1) ∗ (3𝑥 − 1) 
Elevando os termos ao quadrado: 
(2𝑥 − 2)2 = (𝑥 − 1) ∗ (3𝑥 − 1) 
4𝑥² − 8𝑥 + 4 = 3𝑥2 − 4𝑥 + 1 
0 = 𝑥² − 4𝑥 + 3 
Pela fórmula de Bháskara: 
𝑥 =
−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
 
Sendo os termos 𝑎 = 1, 𝑏 = −4, 𝑐 = 3: 
𝑥 =
−(−4)±√(−4)−4.1.3
2.1
 
𝑥 =
4±√16−12
2
 
𝑥 =
4±2
2
 
𝑥 = 3 ou 𝑥 = 1 
Se substituirmos x = 1 não é uma P.G. então a resposta é x = 3 pois fica: 
(3-1, 2.3-2, 3.3-1) = (2,4,8) 
Uma P.G. de razão 2. 
Termo Geral: 
Se precisarmos achar um termo desconhecido da P.G. podemos utilizar a 
fórmula do termo geral sabendo o primeiro termo, a razão e a quantidade de termos 
da P.G.: 
𝑎𝑛 = 𝑎1. 𝑞𝑛−1 
A maioria dos exercícios vai precisar utilizar essa fórmula! Veremos alguns 
exemplos: 
Exercício 2: 
Calcule o 11º termo da sequência (30, 60, 120, ...): 
Pela fórmula do termo geral: 
𝑎𝑛 = 𝑎1. 𝑞
𝑛−1 
Sabemos que o termo a1 = 30 e que n = 11 termos. Se multiplicarmos 30 x 2 
= 60 e 60 x 2 = 120, portanto temos que a razão q = 2. 
 
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Vamos substituir na fórmula: 
𝑎11 = 30.2
11−1 
𝑎11 = 30.2
10 
𝑎11 = 30.1024 = 30720 
Portanto temos que a11=30720 
Exercício 3: 
Se em uma progressão geométrica temos: a1 = 5, an = 2560 e a razão q = 2, 
então Calcule o número de termos. 
Novamente utilizaremos a fórmula do termo geral: 
𝑎𝑛 = 𝑎1. 𝑞
𝑛−1 
Sabemos que o a1=5, an=2560 e a razão q = 2. 
Vamos substituir: 
2560 = 5.2𝑛−1 
512 = 2𝑛−1 
Agora sabemos que 512 é igual a 29 , então: 
29 = 2𝑛−1 
9 = 𝑛 − 1 
𝑛 = 10 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜𝑠 
Exercício 4: 
A população de uma colônia da bactéria E. coli dobra a cada 20 minutos. Em 
um experimento, colocou-se, inicialmente, em um tubo de ensaio, uma amostra com 
1 000 bactérias por mililitro. No final do experimento, obteve-se um total de 
610 . 4,096
bactérias por mililitro. Assim sendo, Calcule o tempo do experimento. 
Questões de progressão geométrica geralmente se aplicam em colônias de 
bactérias, vamos tentar montar uma P.G. com os dados: 
A população inicial é de 1000 bactérias por ml, portanto a1=1000 e no final 
4,096𝑥10^6 portanto an=4,096𝑥10^6 e como elas se duplicam a razão é 2. 
(1000, 2000, 4000, ... , 4,096𝑥106) 
Conseguimos montar a sequência, agora, iremos descobrir quantos termos tem 
pela fórmula do termo geral: 
𝑎𝑛 = 𝑎1. 𝑞
𝑛−1 
Substituindo: 
 
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4,096𝑥106 = 1000.2𝑛−1 
4096 = 2𝑛−1 
Sabemos que 4096 = 212 
Portanto: 
212 = 2𝑛−1 
𝑛 − 1 = 12 
𝑛 = 13 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑜𝑠 
Têm-se 13 termos, a proporção de bactérias dobrou 12 vezes! Ou seja, a partir 
da primeira foram dobradas 12 vezes para chegar à concentração final, então: 
𝑡 = 20𝑚𝑖𝑛. 12 = 240 min = 4 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠