Examen II 2006 con Soluciones (1)

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NOMBRE……………pauta……………. 
 1
PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE 
INSTITUTO DE ECONOMÍA 
EXAMEN 
ECONOMETRÍA (EAE 250) 
 
Segundo Semestre de 2006. Profesora: Verónica Gil 
 Ayudantes: Gonzalo Aguirre 
 Javier Galdámes. 
 EJERCICIO 1 
Comente las siguientes afirmaciones o resuelva los siguientes ejercicios cortos. 
a) (5 puntos) Al comparar el R2 de una regresión restringida con el obtenido en la regresión 
libre, que el primero sea mayor que el segundo depende de la validez de la restricción. 
Comente. 
b) (15 puntos) Para calcular la línea característica del análisis de inversiones (modelo de 
mercado) para una acción específica se estimó la siguiente regresión en base a una 
muestra mensual de 240 observaciones (los desvíos estándar de los coeficientes se 
presentan entre paréntesis): 
(0.0728) (0.7264) 
0598.17264.0ˆ tt rmr +=
 
b.1) (10 puntos) Calcule el R2 de la regresión e interprételo. 
b.2) (5 puntos) ¿Es agresiva la acción? Una acción es agresiva si es estadísticamente mayor 
que uno. 
c) (5 puntos) En el siguiente modelo de regresión: 
Yi = β1 + β2 Xi2 +β3 Xi3 + µi donde X2 y X3 están muy correlacionadas, podríamos 
proceder del siguiente modo: 
i) se estima una regresión de X3 en función de X2 obteniéndose los residuos ei. 
ii) se estima una regresión de Y en función de X2 y de ei. 
De esta forma se garantiza que no está correlacionada con ei , se reduce la 
multicolinealidad y se obtienen estimadores con menor varianza. 
d) (5puntos) Sea el modelo de regresión 
 iikiii WZXY µββββ ++++= 433221 . 
La teoría indica que se debe cumplir que 43 ββ = y que 12 42 =+ ββ . Explique 
detalladamente como testearía la hipótesis nula de que estas restricciones son validas para la 
muestra utilizando el test Cβ. 
f) (10 puntos) Para realizar el presupuesto del próximo año, en base a los datos históricos de 
los últimos 32 meses se obtuvo el siguiente modelo de regresión, donde se explica el gasto 
en investigación y desarrollo de una empresa (en pesos) en función de las ventas (en 
pesos) de esa empresa (los desvíos estándar de los coeficientes se presentan entre 
paréntesis): 
037)(0.0000000 (0.00014) (0.42) 
000000007.00003.0613.2ˆ 2 ttt vtasvtasiidg −+=
 
e.I) (5 puntos) ¿En que punto se vuelve negativo el efecto marginal de las ventas sobre el 
gasto en investigación y desarrollo? 
e.II) (5 puntos) Para presentar el resultado se definió vtasb=vtas/1000. Reescriba la 
ecuación utilizando vtasb y vtasb2 como variables explicativas. Incluya las desviaciones 
estandar estimadas. 
 
 NOMBRE……………pauta……………. 
 2
EJERCICIO 2 (40 puntos) 
Un estudio de la UNICEF utiliza una muestra de 38 países para verificar la relación 
existente entre el gasto agregado en educación de un país en millones de dólares (EDUC) 
y el PIB correspondiente en la misma unidad de medida. 
El estudio hipotetiza que el gasto per cápita en educación está determinado por el PIB per 
cápita del país. Para verificar esto se realiza la siguiente regresión, donde POP es la 
población en millones de personas y LOG corresponde al logaritmo natural. 
 
Ecuación 1. 
Dependent Variable: LOG(EDUC/POP) 
Sample: 1 38 
Included observations: 38 
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. 
C -3.568355 0.128543 -27.76010 0.0000
LOG(GDP/POP) 1.193202 0.067488 17.68024 0.0000
S.E. of regression 0.441067 Mean dependent var -1.680314
Sum squared resid 7.003446 S.D. dependent var 1.353822
Log likelihood -21.78717 F-statistic 312.5908
Durbin-Watson stat 1.939721 Prob(F-statistic) 0.000000
 
 
Ecuación 2: 
Dependent Variable: LOG(EDUC) 
Sample: 1 38 
Included observations: 38 
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. 
C -4.353966 0.853857 -5.099174 0.0000
LOG(GDP) 1.232851 0.079915 15.42705 0.0000
LOG(POP) -0.155891 0.078604 -1.983235 0.0552
S.E. of regression 0.441889 Mean dependent var 7.712580
Sum squared resid 6.834299 S.D. dependent var 1.269101
Log likelihood -21.32265 F-statistic 135.0943
Durbin-Watson stat 1.939650 Prob(F-statistic) 0.000000
 
Ecuación 3. 
Dependent Variable: LOG(EDUC/POP) 
Sample: 1 38 
Included observations: 38 
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. 
C -4.353966 0.853857 -5.099174 0.0000
LOG(GDP/POP) 1.232851 0.079915 15.42705 0.0000
LOG(POP) 0.076960 0.082688 0.930720 0.3584
S.E. of regression 0.441889 Mean dependent var -1.680314
Sum squared resid 6.834299 S.D. dependent var 1.353822
Log likelihood -21.32265 F-statistic 156.1478
Durbin-Watson stat 1.939650 Prob(F-statistic) 0.000000
 NOMBRE……………pauta……………. 
 3
Parte I (20 puntos) 
a) (7 puntos) Interprete los tres coeficientes de la regresión 1. Calcule el R2 de la 
regresión e interprételo. Incluya un análisis de significancia individual y global de la 
regresión. 
1β̂ Corresponde al promedio de las otras variables que afectan gasto en educación per 
cápita y que no están recogido en el Pib per cápita. No tiene sentido pensarlo como el 
valor que tiene el gasto cuando el PIB es cero, porque no hace sentido que este valor sea 
cero. Es significativo para cualquier alfa. 
 
2β̂ Corresponde a la elasticidad del gasto en educación respecto al Pib per cápita. Por 
cada 1% de aumento en el PIB, el gasto aumenta en 1.19% (gasto sería un bien superior 
respecto al PIB). 
 
2σ̂ =0. 44 corresponde a la parte de la variación del gasto en educación que no es 
explicada por la regresión. 
 
 La regresión como un todo es significativa ya que el test F =312>F tabla para cualquier 
valor relevante de alfa. 
59.312
1
)2(
2
2
=
−
−
=
R
RnF
 n=38 
8969.0
59.3125.348
59.31259.31236
59.31259.31236
59.312
1
)238(
2
2
22
22
2
2
=
=
=+
−=
=
−
−
R
R
RR
RR
R
R
 
Otra forma: ( )
896.0
81.67
003.711
81.67
373538.1
3538.1
11
003.7
2
2
2
=−=−=
=
=
=
−
=
−
=
=
∑
SCT
SCRR
SCT
SCT
n
SCT
n
y
S
SCR
i
y
 
b) (3 puntos) Suponga que uno de los países de la muestra tiene un PIB per cápita de 
1000 $ en el año 2005, así como un gasto en educación per cápita 40$, ¿Cuál será 
el gasto en educación per cápita estimado para el 2006 si el PIB aumenta a 1010$ 
en 2006? 
 
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 4
Si el PIB per cápita aumenta en 1%, el gasto en educación per cápita aumentará en 
1.19%, esto implica que el gasto en educación per cápita para el 2006 será de 
aproximadamente 40.47 
 
c) (10 puntos) Demuestre que la ecuación 1 es una versión restringida de la 
ecuación 2. Encuentre cual es la restricción utilizada y testee si esta restricción es 
válida para la muestra. Para esto utilice tanto un test F como un test t. Demuestre 
que ambos test llevan al mismo resultado. ¿Cuál ecuación escogería para predecir 
y por qué? 
 
 
EC 1 ( ) iPOPLNPIBLNEDUCLN µβββ +++= )()( 321 
EC. 2 iPOP
PIBLN
POP
EDUCLN µββ +




+=





21 
( ) iPOPLNPIBLNPOPLNEDUCLN µβββ +−+=− )()()( 221 
( ) iPOPLNPOPLNPIBLNEDUCLN µβββ )()()( 221 +−+= 
( ) iPOPLNPIBLNEDUCLN µβββ +−++= )()1()( 221 
 
LA RESTRICCIÓN ES )1( 23 ββ −= 
 
TEST F: 
8662.0
1952.0
169.0
338
834.6
1
834.6003.7
'
'~'~
==
−
−
=
−
−
=
kn
ee
R
eeee
F 
rechazoHoF ,08.48662.0F si 36,1 ≅>= 
 
TEST T: 
iPOPLNPOP
PIBLN
POP
EDUCLN µβββ +−




+=




 )(321 
i
i
i
POPLNPIBLNEDUCLN
POPLOGPOPLNPOPLNPIBLNEDUCLN
POPLNPOPLNPIBLNPOPLOGEDUCLN
µββββ
µββββ
µββββ
+−−++=
++−−+=
+−−+=−
)()1()()(
)()()()()(
)()()()()(
3221
3221
3221
 
POR LO QUE EL TEST T SOBRE EL COEFICIENTE CORRESPONDE A UN TEST SOBRE LA 
RESTRICCIÓN. 
SI ESTO ES ASÍ LA RAIZ CUADRADA DEL TEST F, DEBE COINCIDIR CON EL VALOR DEL 
TEST T. 
8662.08662.0
9307.08662.0 2
2
=
=
= tFNOMBRE……………pauta……………. 
 5
Parte II (20 puntos) 
El investigador decide utilizar la ecuación 1, y para verificar las características de la 
estimación por MICO realiza una batería de test y gráficos que se reportan a continuación: 
0.0
0.4
0.8
1.2
1.6
2.0
2.4
0 10 20 30 40
GDP/POP
E
D
U
C
/P
O
P
Log EDUC/POP vs. Log GDP/POP
 
Dependent Variable: RESID^2 
Sample: 1 38 
Included observations: 38 
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. 
C 0.348835 0.314003 1.110929 0.2742
LOG(GDP/POP) -0.235819 0.441485 -0.534149 0.5966
(LOG(GDP/POP))^2 0.038366 0.119799 0.320249 0.7507
R-squared 0.027973 Mean dependent var 0.114874
Adjusted R-squared -0.027572 S.D. dependent var 0.666781
S.E. of regression 0.675911 Akaike info criterion 2.130146
Sum squared resid 15.98996 Schwarz criterion 2.259430
Log likelihood -37.47278 F-statistic 0.503609
Durbin-Watson stat 2.107216 Prob(F-statistic) 0.608658
 
Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test: 
F-statistic 0.503359 Probability 0.608931
Obs*R-squared 1.092799 Probability 0.579031
Test Equation: 
Dependent Variable: RESID 
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. 
C -0.022554 0.132412 -0.170330 0.8658
LOG(GDP/POP) 0.013902 0.069924 0.198817 0.8436
RESID(-1) -0.035405 0.169103 -0.209372 0.8354
RESID(-2) -0.170669 0.172965 -0.986727 0.3307
R-squared 0.028758 Mean dependent var 7.88E-16
Adjusted R-squared -0.056940 S.D. dependent var 0.435066
S.E. of regression 0.447281 Akaike info criterion 1.328040
Sum squared resid 6.802042 Schwarz criterion 1.500418
Log likelihood -21.23276 F-statistic 0.335573
Durbin-Watson stat 1.910762 Prob(F-statistic) 0.799684
 NOMBRE……………pauta……………. 
 6
0
2
4
6
8
10
12
-1.0 -0.5 0.0 0.5
Series: Residuals
Sample 1 38
Observations 38
Mean 7.88E-16
Median 0.109539
Maximum 0.567725
Minimum -1.212479
Std. Dev. 0.435066
Skewness -1.137310
Kurtosis 3.710658
Jarque-Bera 8.991645
Probability 0.011156
 
-0.4
0.0
0.4
0.8
1.2
1.6
5 10 15 20 25 30 35
CUSUM of Squares 5% Significance
 
 
-4.8
-4.4
-4.0
-3.6
-3.2
-2.8
10 15 20 25 30 35
Recursive C(1) Estimates ± 2 S.E.
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
10 15 20 25 30 35
Recursive C(2) Estimates ± 2 S.E.
 
 
a. II) (10 puntos) Interprete los test reportados. Con la información disponible, ¿Cuál es 
el mejor estimador de β2? ¿Por qué? 
 
El gráfico 1, muestra cierta relación creciente entre la variable X y el error cometido. Pero 
el test más formal se puede hacer con la regresión siguiente: 
 
Test de White: 
Ho) homocedasticidad. 
H1) heteocedasticidad. 
 NOMBRE……………pauta……………. 
 7
Ec. 
 
2
1
2
−≈ pnR χ , p son los regresores de la ec. Auxiliar. 
 
38(0.027973)= 1.062974 
99.522 =χ , por tanto no rechazo Ho, no rechazo homocedasticidad. 
 
Autocorrelación. Test de Breuch- Godfrey. 
Ho) No autocorrelación 
H1) Autocorrelación. 
 
(n – p)R2 ∼ χ2(α) n es el tamaño de la muestra de la regresión principal. 
 1.092799 < 5.99, por tanto rechazo autocorrelación. 
 
Normalidad. 
H0) normalidad 
H1) no normalidad. 
 
JB=8.99 
Chi cuadrado 2=5.99 
 
Rechazo Ho, rechazo normalidad. 
 
ESTABILIDAD. 
Para ver la estabilidad puedo usar el test de Cusum cuadrado, que demuestra que dado que no se 
sale de las bandas al 5%, no hay cambio estructural. 
El test de estabilidad de los coeficientes se puede observar que no hay un patrón definido en el 
coeficiente, las desviaciones estandar de ellos se van achicando, como es esperable. Además, en 
ambos casos, el valor final de la desviación estandar, incluye todo el período muestral. 
 
 
Hay estabilidad, se cumplen los supuestos de no autocorrelación y homocedasticidad, por 
tanto MICO es un buen estimador, cumple el teorema de Gauss Markov. Sin embargo, no 
se cumple el supuesto de normalidad, que si bien no invalida GM hace que los test no 
sean válidos. 
 
b.II) (5 puntos) ¿Qué otro(s) problema(s) (para los cuales no tiene información) podría 
tener la regresión y cual sería el efecto en los estimadores obtenidos en la ecuación 1? 
 
No hay datos de omisión de variables (multicolinealida y variables intrusas no tiene 
sentido al ser una regresión simple). Si existieran variables omitidas, MICO sería un 
estimador sesgado y las desviaciones estandar estarían mal calculadas. 
 
b. III) (5 puntos) ¿Es válido utilizar aquí el test de Cusum cuadrado? ¿y los test de Cusum 
sobre los coeficientes? Justifique su respuesta. 
 
El supuesto esencial para el test de Cusum y Cusum cuadrado es el de normalidad. Como aquí no 
se cumple este supuesto, no sería valido utilizarlo. 
Los coeficientes y sus desviaciones estandar están bien calculados dado que se cumplen los 
supuestos clásicos, salvo que existan variables omitidas. 
 
) ,( 21
2 pibpcpibpcfei =
 NOMBRE……………pauta……………. 
 8
PREGUNTA 3 (20 PUNTOS) 
La profesora de Econometría de una prestigiosa Universidad, está realizando un 
experimento Montecarlo. Para eso, suministra a un alumno los datos de dos variables Y y 
X, y le pide estime los parámetros por MICO. 
El alumno no sabe que estos datos fueron generados utilizando como modelo verdadero la 
expresión: 
µ++= XY 10100 
El alumno obtiene la siguiente estimación: 
 
87.0R (1.0) (12.2) 
4.1192ˆ )1(
2 =
+= XY
 
 
Luego, la profesora le dice al alumno que el término de error, µ, fue generado 
multiplicando un error aleatorio, ε, por la variable X, de forma que iii Xεµ = , por lo que 
el alumno estima la siguiente regresión: 
 
99.0R (2.3) (0.7) 
17.1012.10
ˆ
 )2(
2 =
+=





XX
Y
 
 
 
 
a) (5 puntos) ¿Que propiedades tienen los estimadores utilizados en las regresiones (1) y 
(2)? ¿ Y las varianzas estimadas de los coeficientes? ¿Esperaba un aumento en el R2? 
 
La regresión 1, se estima por MICO, pero los datos son generados bajo hetocedasticidad, 
por tanto los parámetros son insesgados, pero las varianzas están mal calculadas y no son 
mínimas. 
En la regresión 2, se ha intentado corregir la heterocedasticidad dividiendo los datos entre 
X. Aplicar MICO a los datos transformados, es equivalente a aplicar MCG. Los coeficientes 
son insesgados y eficientes. 
No hay una relación obvia con el R2. 
 
b) (3 puntos) ¿Por qué cree usted que el alumno estimó la ecuación (2) cuando le fue 
revelada la naturaleza del error aleatorio? 
Dado que ( ) {
λ
εµ
εµ
)(2 VXV
X
ii
iii
=
=
 
 NOMBRE……………pauta……………. 
 9
icidadhomocedast 1)(1 222
2
1
21
λλµµ
µβ
β
µββ
===





++=
++=
i
i
i
ii
ii
ii
i
X
X
V
XX
V
XX
X
XiXi
Y
XY
 
c) (12 puntos) Suponga que el experimento se repite para los 65 alumnos del curso, 
utilizando los mismos valores de X, pero distintos valores para el error aleatorio ε. 
 
c.1) (4 puntos) ¿Qué resultado espera obtener para el promedio de los valores 
estimados por el curso para la constante en las ecuaciones (1) y (2)? Explique sus 
razones. 
 
Dado que ambos estimadores son insesgados, se espera que los valores promedio 
estimados sean iguales a los valores verdaderos. 
 
µ++= XY 10100 (1) se espera que el valor promedio del curso sea 100 
XXX
Y µ
++= 10100 (2) se espera que el valor promedio sea 10. 
 
 
c.2) (4 puntos) ¿Qué resultado espera obtener para el promedio de los valores 
estimados por el curso para la pendiente de las ecuaciones (1) y (2)? Explique sus 
razones. 
Dado que ambos estimadores son insesgados, se espera que los valores promedio 
estimados sean iguales a los valores verdaderos. 
 
µ++= XY 10100 (1) se espera que el valor promediodel curso sea 10 
XXX
Y µ
++= 10100 (2) se espera que el valor promedio sea 100. 
 
c.3) (4 puntos) Si comparara el promedio de las desviaciones estándar calculadas 
en las ecuaciones (1) y (2)¿Qué resultado espera? ¿Por qué? 
 
El estimador (1) es ineficiente, mientras que el estimador (2) es eficiente, por tanto 
se espera que las varianzas estimadas sean menores en el caso (2) que en el caso 
(1). Sin embargo, el valor estimado puede ser mayor o menor al de la varianza 
verdadera porque el estimador de sigma cuadrado ya no es insesgado. 
 
 NOMBRE……………pauta……………. 
 10
PREGUNTA 4. (20 PUNTOS) 
 
Considera la regresión ttt xy µβ += t=1…..T donde los datos están expresados 
en desvíos respecto a la media y los errores presentan el siguiente patrón de 
comportamiento: 
 





>
=
=
=
1s-t si 0
1s-t si 
ts si 
),( 2
2
ρσ
σ
µµ stE 
 
 
a) (5 puntos) ¿ Es MICO un estimador insesgado de β? ¿Qué ocurre con las varianzas 
estimadas? 
 
MICO es un estimador insesgado pese a que ya no se cumple el supuesto de no 
autocorrelación. Sin embargo las varianzas estimadas no son eficientes, ya no se cumple 
el teorema de Gauss Markov. 
 
b) (5 puntos) Indique otro estimador con mejores propiedades que MICO, 
explicitando la forma de las matrices implícitas. 
 
Un estimador con mejores propiedades es mínimo cuadrados generalizados. 
 
● βMCG = (X’ Ω-1X)-1X’Ω-1Y 
 
● V (βMCG) = σ2 (X’ Ω-1X)-1 donde 












=














=Ω
100
0
01
001
00
0
0
00
2
22
2
222
22
ρ
ρ
ρρ
ρ
σ
σρσ
ρσ
ρσσρσ
ρσσ
OO
 
 
c) (10 puntos) Calcule la varianza del estimador MICO para este modelo. Muestre que 
esta fórmula se diferencia de la usual (calculada bajo los supuestos clásicos) por el 
factor 







+
∑
∑ −
2
121
i
ii
x
xx
ρ 
 NOMBRE……………pauta……………. 
 11
( ) ( ) ( ) 112 ''' −− Ω= XXXXXXV σβ 
( )
∑
=− 2
1 1'
ix
XX 
( )
























=Ω
n
n
x
x
x
xxxXX
M
L 2
1
21
2
100
10
01
001
'
ρ
ρρ
ρρ
ρ
σ 
( )
∑ ∑ −
−
−
+=
=+++++++++
=












++++++=Ω
1
2
2
1343
2
32322
2
2112
2
1
2
1
143232121
2
'
iii
nnn
n
nn
xxx
xxxxxxxxxxxxxxxx
x
x
x
xxxxxxxxxxXX
ρ
ρρρρρρ
ρρρρρρ
M
 
 
( ) ( ) ( ) 112 ''' −− Ω= XXXXXXV σβ 
( ) 












+







=
∑∑ ∑∑ − 21
2
2
2 121
i
iii
i x
xxx
x
V ρσβ 
( )
( ) 





+







=








+







=
∑
∑
∑∑
∑
∑
−−
2
1
2
2
22
1
2
2 2121
i
ii
ii
ii
i x
xx
xx
xx
x
V ρσρσβ 
 NOMBRE……………pauta……………. 
 12
Pregunta 5. (20 puntos) 
 
Un investigador desea explicar el peso (en kilos) de una muestra de 1498 mujeres. Las 
variables explicativas son la altura (en cm), años de escolaridad, edad, estado civil 
(variable dummie que toma valor 1 si la persona es casada y cero en el resto) y el efecto 
de los hijos (variable dummie que toma valor 1 si la persona tiene hijos y cero en el 
resto). 
Los datos fueron obtenidos en dos oportunidades para las mismas mujeres. En 1985 
(cuando ellas tenían entre 20 y 37 años) y en el año 2000. 
Se hacen dos regresiones: 
 
1) una regresión que explica el peso de las mujeres combinando ambas muestras. 
2) Una regresión que explica el cambio en el peso entre las dos fechas, por el 
cambio en los años de escolaridad, cambio en la edad y cambio en el estado 
civil. Esta regresión es sin constante. 
 
El cuadro que sigue reporta ambas regresiones. Entre paréntesis se reporta el test t de 
cada coeficiente. 
 
 (1) 
Peso en kilos 
(2) 
Cambio en el peso 
Años de escolaridad -0.88 (-7.41) -0.06 (-0.25) 
Estado civil -3.27 (-5.28) 0.01 (0.02) 
Altura 0.37 (11.51) - 
Edad 0.82 (22.06) 0.72 (28.26) 
Hijos 6.12 (7.43) 0.5 (7.2) 
CONSTANTE -5.52 (-1.03) - 
N 2996 1498 
R2 0.20 0.41 
 
a) (7 puntos) Describa los resultados de la ecuación 1, explicando si son similares a 
los esperados. 
 
La regresión 1 realizada para 2996 mujeres indica que los años de escolaridad y estado 
civil afectan negativamente el peso de las mujeres, mientras que la altura, la edad y los 
hijos afectan negativamente el peso. Por cada cm adicional de altura, las mujeres pesan 
en promedio 300 gramos más. Por cada año adicional las personas pesan 800 gr más. Las 
mujeres con hijos, pesan en promedio 6 kilos más que las mujeres sin hijos. 
 Todas las variables son significativas. El R2 es bastante bajo, pero significativo 
 
 
 
 
 
Los signos positivos son lógicos. Los signos negativos hacen referencia a que cuanto más 
educada es la persona más se cuida (lógico). Por cada año adicional de ecuación las 
mujeres pesan 0.8 kilos menos. El signo de la dummie estado civil no es obvio, pero hay 
2 ,12
2
 5.149
)5(2.0
)2990(2.0 
)1(1
)( −>==−−
−
= nFkR
RknF
 NOMBRE……………pauta……………. 
 13
que tomar en cuenta que es libre del efecto hijos. Indica que el efecto promedio las 
mujeres casadas pesan 3 kilos menos que las mujeres solteras. 
 
b) (3 puntos) Explique por qué la variable altura no se incluyó regresión 2. 
En la regresión 2 se utilizan las variables en desvíos y probablemente dado que todas 
las mujeres encuestadas eran adultas, la variable altura no debe haber cambiado entre 
las dos oportunidades. Si se incluyera, la variable X’X no sería invertible. 
 
c) (3 puntos) Teniendo en cuenta que todas las personas tienen la misma diferencia 
de edad entre las dos encuestas, ¿que efecto recoge la variable edad en la 
regresión 2? Explique. 
 
Dado que la diferencia de edad es la misma y que la regresión no tiene constante, esta 
variable recoge el efecto de la constante. 
 
d) (4 puntos) Interprete los resultados de la regresión (2). 
La regresión 2 indica que el cambio en el peso, depende negativamente del cambio en 
la escolaridad. A mayor cambio en la escolaridad, el efecto en el peso es negativo. 
Pero no es significativo. El cambio en estado civil es positivo pero no significativo. 
El cambio en la edad y el cambio en la dummie hijos es positivo y significativo. 
 
 
e) (3 puntos) El R2 es mayor en la regresión (2) que en la (1), ¿implica esto que la 
regresión 2 es mejor que la 1? Explique. 
 
No necesariamente. En principio ambas regresiones no son comparables porque una 
tiene constante y la otra no. El R2 de la ecuación 2 no es acotado. Sin embargo, la 
variable cambio de edad está recogiendo este efecto. No necesariamente es mejor una 
que la otra. 
 
 
 NOMBRE……………pauta……………. 
 14
 
DISTRIBUCION T STUDENT 
 
P(T>2.086) =0.025 
 
 
 0.25 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001
1 1.000 3.078 6.314 12.706 31.821 63.656 318.289
2 0.816 1.886 2.920 4.303 6.965 9.925 22.328
3 0.765 1.638 2.353 3.182 4.541 5.841 10.214
4 0.741 1.533 2.132 2.776 3.747 4.604 7.173
5 0.727 1.476 2.015 2.571 3.365 4.032 5.894
6 0.718 1.440 1.943 2.447 3.143 3.707 5.208
7 0.711 1.415 1.895 2.365 2.998 3.499 4.785
8 0.706 1.397 1.860 2.306 2.896 3.355 4.501
9 0.703 1.383 1.833 2.262 2.821 3.250 4.297
10 0.700 1.372 1.812 2.228 2.764 3.169 4.144
11 0.697 1.363 1.796 2.201 2.718 3.106 4.025
12 0.695 1.356 1.782 2.179 2.681 3.055 3.930
13 0.694 1.350 1.771 2.160 2.650 3.012 3.852
14 0.692 1.345 1.761 2.145 2.624 2.977 3.787
15 0.691 1.341 1.753 2.131 2.602 2.947 3.733
16 0.690 1.337 1.746 2.120 2.583 2.921 3.686
17 0.689 1.333 1.740 2.110 2.567 2.898 3.646
18 0.688 1.330 1.734 2.101 2.552 2.878 3.610
19 0.688 1.328 1.729 2.093 2.539 2.861 3.579
20 0.687 1.325 1.725 2.086 2.528 2.8453.552
21 0.686 1.323 1.721 2.080 2.518 2.831 3.527
22 0.686 1.321 1.717 2.074 2.508 2.819 3.505
23 0.685 1.319 1.714 2.069 2.500 2.807 3.485
24 0.685 1.318 1.711 2.064 2.492 2.797 3.467
25 0.684 1.316 1.708 2.060 2.485 2.787 3.450
26 0.684 1.315 1.706 2.056 2.479 2.779 3.435
27 0.684 1.314 1.703 2.052 2.473 2.771 3.421
28 0.683 1.313 1.701 2.048 2.467 2.763 3.408
29 0.683 1.311 1.699 2.045 2.462 2.756 3.396
30 0.683 1.310 1.697 2.042 2.457 2.750 3.385
40 0.681 1.303 1.684 2.021 2.423 2.704 3.307
60 0.679 1.296 1.671 2.000 2.390 2.660 3.232
120 0.677 1.289 1.658 1.980 2.358 2.617 3.160
100000 0.674 1.282 1.645 1.960 2.326 2.576 3.090
 NOMBRE:………………………………………. 
 15
 
Función de Distribución de la variable F, percentiles 95
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 15 20 24 30 40 60 120 1000000
1 161.45 199.5 215.71 224.58 230.16 233.99 236.77 238.88 240.54 241.88 243.9 245.95 248.02 249.05 250.1 251.14 252.2 253.25 254.32
2 18.51 19 19.16 19.25 19.3 19.33 19.35 19.37 19.38 19.4 19.41 19.43 19.45 19.45 19.46 19.47 19.48 19.49 19.5
3 10.13 9.55 9.28 9.12 9.01 8.94 8.89 8.85 8.81 8.79 8.74 8.7 8.66 8.64 8.62 8.59 8.57 8.55 8.53
4 7.71 6.94 6.59 6.39 6.26 6.16 6.09 6.04 6 5.96 5.91 5.86 5.8 5.77 5.75 5.72 5.69 5.66 5.63
5 6.61 5.79 5.41 5.19 5.05 4.95 4.88 4.82 4.77 4.74 4.68 4.62 4.56 4.53 4.5 4.46 4.43 4.4 4.37
6 5.99 5.14 4.76 4.53 4.39 4.28 4.21 4.15 4.1 4.06 4 3.94 3.87 3.84 3.81 3.77 3.74 3.7 3.67
7 5.59 4.74 4.35 4.12 3.97 3.87 3.79 3.73 3.68 3.64 3.57 3.51 3.44 3.41 3.38 3.34 3.3 3.27 3.23
8 5.32 4.46 4.07 3.84 3.69 3.58 3.5 3.44 3.39 3.35 3.28 3.22 3.15 3.12 3.08 3.04 3.01 2.97 2.93
9 5.12 4.26 3.86 3.63 3.48 3.37 3.29 3.23 3.18 3.14 3.07 3.01 2.94 2.9 2.86 2.83 2.79 2.75 2.71
10 4.96 4.1 3.71 3.48 3.33 3.22 3.14 3.07 3.02 2.98 2.91 2.85 2.77 2.74 2.7 2.66 2.62 2.58 2.54
11 4.84 3.98 3.59 3.36 3.2 3.09 3.01 2.95 2.9 2.85 2.79 2.72 2.65 2.61 2.57 2.53 2.49 2.45 2.4
12 4.75 3.89 3.49 3.26 3.11 3 2.91 2.85 2.8 2.75 2.69 2.62 2.54 2.51 2.47 2.43 2.38 2.34 2.3
13 4.67 3.81 3.41 3.18 3.03 2.92 2.83 2.77 2.71 2.67 2.6 2.53 2.46 2.42 2.38 2.34 2.3 2.25 2.21
14 4.6 3.74 3.34 3.11 2.96 2.85 2.76 2.7 2.65 2.6 2.53 2.46 2.39 2.35 2.31 2.27 2.22 2.18 2.13
15 4.54 3.68 3.29 3.06 2.9 2.79 2.71 2.64 2.59 2.54 2.48 2.4 2.33 2.29 2.25 2.2 2.16 2.11 2.07
16 4.49 3.63 3.24 3.01 2.85 2.74 2.66 2.59 2.54 2.49 2.42 2.35 2.28 2.24 2.19 2.15 2.11 2.06 2.01
17 4.45 3.59 3.2 2.96 2.81 2.7 2.61 2.55 2.49 2.45 2.38 2.31 2.23 2.19 2.15 2.1 2.06 2.01 1.96
18 4.41 3.55 3.16 2.93 2.77 2.66 2.58 2.51 2.46 2.41 2.34 2.27 2.19 2.15 2.11 2.06 2.02 1.97 1.92
19 4.38 3.52 3.13 2.9 2.74 2.63 2.54 2.48 2.42 2.38 2.31 2.23 2.16 2.11 2.07 2.03 1.98 1.93 1.88
20 4.35 3.49 3.1 2.87 2.71 2.6 2.51 2.45 2.39 2.35 2.28 2.2 2.12 2.08 2.04 1.99 1.95 1.9 1.84
21 4.32 3.47 3.07 2.84 2.68 2.57 2.49 2.42 2.37 2.32 2.25 2.18 2.1 2.05 2.01 1.96 1.92 1.87 1.81
22 4.3 3.44 3.05 2.82 2.66 2.55 2.46 2.4 2.34 2.3 2.23 2.15 2.07 2.03 1.98 1.94 1.89 1.84 1.78
23 4.28 3.42 3.03 2.8 2.64 2.53 2.44 2.37 2.32 2.27 2.2 2.13 2.05 2.01 1.96 1.91 1.86 1.81 1.76
24 4.26 3.4 3.01 2.78 2.62 2.51 2.42 2.36 2.3 2.25 2.18 2.11 2.03 1.98 1.94 1.89 1.84 1.79 1.73
25 4.24 3.39 2.99 2.76 2.6 2.49 2.4 2.34 2.28 2.24 2.16 2.09 2.01 1.96 1.92 1.87 1.82 1.77 1.71
30 4.17 3.32 2.92 2.69 2.53 2.42 2.33 2.27 2.21 2.16 2.09 2.01 1.93 1.89 1.84 1.79 1.74 1.68 1.62
40 4.08 3.23 2.84 2.61 2.45 2.34 2.25 2.18 2.12 2.08 2 1.92 1.84 1.79 1.74 1.69 1.64 1.58 1.51
60 4 3.15 2.76 2.53 2.37 2.25 2.17 2.1 2.04 1.99 1.92 1.84 1.75 1.7 1.65 1.59 1.53 1.47 1.39
120 3.92 3.07 2.68 2.45 2.29 2.18 2.09 2.02 1.96 1.91 1.83 1.75 1.66 1.61 1.55 1.5 1.43 1.35 1.25
100000 3.84 3 2.6 2.37 2.21 2.1 2.01 1.94 1.88 1.83 1.75 1.67 1.57 1.52 1.46 1.39 1.32 1.22 1.01
G
ra
do
s 
de
 li
be
rta
d 
de
l 
de
no
m
in
ad
or
Grados de libertad del numerador
 NOMBRE:………………………………………. 
 16
Para 20 grados de libertad
P(X2>10.85)=0.95
P(X2>23.83)=0.25
P(X2>31.41)=0.05
0.995 0.990 0.975 0.950 0.900 0.750 0.500 0.250 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005
1 0.00 0.00 0.00 0.00 0.02 0.10 0.45 1.32 2.71 3.84 5.02 6.63 7.88
2 0.01 0.02 0.05 0.10 0.21 0.58 1.39 2.77 4.61 5.99 7.38 9.21 10.60
3 0.07 0.11 0.22 0.35 0.58 1.21 2.37 4.11 6.25 7.81 9.35 11.34 12.84
4 0.21 0.30 0.48 0.71 1.06 1.92 3.36 5.39 7.78 9.49 11.14 13.28 14.86
5 0.41 0.55 0.83 1.15 1.61 2.67 4.35 6.63 9.24 11.07 12.83 15.09 16.75
6 0.68 0.87 1.24 1.64 2.20 3.45 5.35 7.84 10.64 12.59 14.45 16.81 18.55
7 0.99 1.24 1.69 2.17 2.83 4.25 6.35 9.04 12.02 14.07 16.01 18.48 20.28
8 1.34 1.65 2.18 2.73 3.49 5.07 7.34 10.22 13.36 15.51 17.53 20.09 21.95
9 1.73 2.09 2.70 3.33 4.17 5.90 8.34 11.39 14.68 16.92 19.02 21.67 23.59
10 2.16 2.56 3.25 3.94 4.87 6.74 9.34 12.55 15.99 18.31 20.48 23.21 25.19
11 2.60 3.05 3.82 4.57 5.58 7.58 10.34 13.70 17.28 19.68 21.92 24.73 26.76
12 3.07 3.57 4.40 5.23 6.30 8.44 11.34 14.85 18.55 21.03 23.34 26.22 28.30
13 3.57 4.11 5.01 5.89 7.04 9.30 12.34 15.98 19.81 22.36 24.74 27.69 29.82
14 4.07 4.66 5.63 6.57 7.79 10.17 13.34 17.12 21.06 23.68 26.12 29.14 31.32
15 4.60 5.23 6.26 7.26 8.55 11.04 14.34 18.25 22.31 25.00 27.49 30.58 32.80
16 5.14 5.81 6.91 7.96 9.31 11.91 15.34 19.37 23.54 26.30 28.85 32.00 34.27
17 5.70 6.41 7.56 8.67 10.09 12.79 16.34 20.49 24.77 27.59 30.19 33.41 35.72
18 6.26 7.01 8.23 9.39 10.86 13.68 17.34 21.60 25.99 28.87 31.53 34.81 37.16
19 6.84 7.63 8.91 10.12 11.65 14.56 18.34 22.72 27.20 30.14 32.85 36.19 38.58
20 7.43 8.26 9.59 10.85 12.44 15.45 19.34 23.83 28.41 31.41 34.17 37.57 40.00
21 8.03 8.90 10.28 11.59 13.24 16.34 20.34 24.93 29.62 32.67 35.48 38.93 41.40
22 8.64 9.54 10.98 12.34 14.04 17.24 21.34 26.04 30.81 33.92 36.78 40.29 42.80
23 9.26 10.20 11.69 13.09 14.85 18.14 22.34 27.14 32.01 35.17 38.08 41.64 44.18
24 9.89 10.86 12.40 13.85 15.66 19.04 23.34 28.24 33.20 36.42 39.36 42.98 45.56
25 10.52 11.52 13.12 14.61 16.47 19.94 24.34 29.34 34.38 37.65 40.65 44.31 46.93
26 11.16 12.20 13.84 15.38 17.29 20.84 25.34 30.43 35.56 38.89 41.92 45.64 48.29
27 11.81 12.88 14.57 16.15 18.11 21.75 26.34 31.53 36.74 40.11 43.19 46.96 49.65
28 12.46 13.56 15.31 16.93 18.94 22.66 27.34 32.62 37.92 41.34 44.46 48.28 50.99
29 13.12 14.26 16.05 17.71 19.77 23.57 28.34 33.71 39.09 42.56 45.72 49.59 52.34
30 13.79 14.95 16.79 18.49 20.60 24.48 29.34 34.80 40.26 43.77 46.98 50.89 53.67
40 20.71 22.16 24.43 26.51 29.05 33.66 39.34 45.62 51.81 55.76 59.34 63.69 66.77
50 27.99 29.71 32.36 34.76 37.69 42.94 49.33 56.33 63.17 67.50 71.42 76.15 79.49
60 35.53 37.48 40.48 43.19 46.46 52.29 59.33 66.98 74.40 79.08 83.30 88.38 91.95
70 43.28 45.44 48.76 51.74 55.33 61.70 69.33 77.58 85.53 90.53 95.02 100.43 104.21
80 51.17 53.54 57.15 60.39 64.28 71.14 79.33 88.13 96.58 101.88 106.63 112.33 116.32
90 59.20 61.75 65.65 69.13 73.29 80.62 89.33 98.65 107.57 113.15 118.14 124.12 128.30
100 67.33 70.06 74.22 77.93 82.36 90.13 99.33 109.14 118.50 124.34 129.56 135.81 140.17
Distribución Chi-Cuadrado