Prova N2 Álgebra Linear Computacional

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1)A eliminação gaussiana, também conhecida como escalonamento, é um método para resolver sistemas lineares. Esse método consiste em manipular o sistema por meio de determinadas operações elementares, transformando a matriz estendida do sistema em uma matriz triangular (denominada matriz escalonada do sistema). Usando o conceito de eliminação gaussiana, assinale a alternativa correta referente à matriz triangular da seguinte matriz:
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R: image1375e3af19e_20211113003938.gif
2)Na física, estudamos com grandezas vetoriais e escalares. Desse modo, é necessário saber distinguir em um problema físico essas grandezas. Por exemplo, quando definimos em um problema de física que a força será de 50 N para a direita, estamos definindo a força como qual grandeza?
R: Vetorial
3)Um dos métodos de resolução de sistemas lineares são os métodos iterativos. Um dos métodos estudados é o método de Jacobi. Nessa metodologia, devemos escolher valores iniciais e, após isso, fazer o cálculo iterativo usando esses valores iniciais.
 
Assinale a alternativa que corresponde à solução do sistema a seguir, levando em conta também o número de iterações. Considere um erro menor que 0,01.
 
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R: X = 1,12; Y = 1,108 e Z = 1,109 na 7a iteração
4)Considere no image0845e678c67_20211113004412.gif os vetores image0855e678c67_20211113004412.gif
Sabendo que uma combinação linear é uma expressão constituída de um conjunto de termos, multiplicando cada termo por uma constante, escreva o vetor image0865e678c67_20211113004412.gif como combinação linear dos vetores image0265e678c67_20211113004412.gif e image0275e678c67_20211113004413.gif
R: V = 2V1 - 3V2
5)Da mesma forma que no método de Jacobi, no método de Gauss-Seidel o sistema linear image1205e3d6071_20211113004236.gif pode ser escrito por uma separação diagonal. O processo iterativo consiste em uma aproximação inicial image1655e3d6071_20211113004236.gif, e depois calcular image1665e3d6071_20211113004236.gif, image1675e3d6071_20211113004236.gif... através de fórmulas de recorrências. Contudo, no processo iterativo de Gauss-Seidel, no momento de se calcular image1685e3d6071_20211113004236.gif usamos todos os valores image1695e3d6071_20211113004237.gif, ..., que já foram calculados e os valores image1705e3d6071_20211113004237.gif, ..., image1715e3d6071_20211113004237.gif restantes.
 
Por meio desse conceito, assinale a alternativa que corresponde à solução do sistema a seguir, levando em conta também o número de iterações. Considere um erro menor que 0,05.
 
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R:
6)A fim de calcular determinantes image0225e3af19e_20211113004130.gif, somente multiplicamos, de maneira cruzada, os elementos. Para matrizes image1255e3af19e_20211113004131.gif, empregamos a regra de Sarrus, na qual são repetidas as duas primeiras colunas e, em seguida, multiplicamos os elementos também de maneira cruzada. No caso de matrizes de ordem maior, empregados o teorema de Laplace. Considerando o emprego do conceito do teorema de Laplace, assinale a alternativa que apresenta o valor do seguinte determinante:
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R: 65
7)
Existem várias maneiras de resolver um sistema linear. Por exemplo, podemos usar o método de substituição de variáveis ou colocar os coeficientes das equações em uma forma matricial. Desse modo, considere a seguinte equação linear:
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  image0355e3af19e_20211113004158.gif
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Esse sistema pode ser escrito na seguinte forma matricial:
image0375e3af19e_20211113004159.gif.
 
Assim, assinale a alternativa que apresenta o valor de z no sistema linear evidenciado.
R: -10
8)As matrizes obedecem às operações algébricas, por exemplo, soma, subtração, multiplicação por um escalar e multiplicação entre duas matrizes. Assim, no caso especial da multiplicação, temos que essa operação entre duas matrizes image0155e3af19e_20211113004142.gif ocorre somente se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B.
 
Sobre a multiplicação de matrizes, analise as asserções a seguir e relação proposta entre elas.
I. Considere que a matriz seja image0165e3af19e_20211113004143.gif e  image0175e3af19e_20211113004143.gif. Observa-se que essas duas matrizes comutam.
Porque:
II. A matriz B é inversa de A.
 
A seguir, assinale a alternativa correta.
R: As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I .
9)As retas podem estar em planos (R2) ou no espaço (R3). No plano xy, a equação da reta pode ser definida como:y-y0=m (x-x0), em que m é o coeficiente angular da reta. Com base no exposto, assinale a alternativa que apresenta corretamente o coeficiente angular da equação 4x+2y-7.
R: -2
10)Os métodos iterativos são geralmente utilizados para sistemas lineares que apresentam um grande número de equações. Por exemplo, temos o seguinte:
 
Sistema de equações A
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Essas equações podem ser colocadas em um sistema na forma de Jacobi. Chamaremos de sistemas de equações B
 
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A respeito das soluções iterativas dos sistemas lineares, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) Verdadeira(s) e F para a(s) Falsa(s).
 
I.                    ( ) Uma iteração no método de Jacobi consiste em calcular image0715e3d6071_20211113004324.gif a partir de um valor conhecido image0725e3d6071_20211113004324.gif
II.            ( ) A convergência do método de Jacobi acontece quando os valores de todos os elementos image0715e3d6071_20211113004324.gif e image0735e3d6071_20211113004325.gifsão muito próximos.
III.           ( ) Para que esse método possa ser utilizado, é necessário escolher de forma arbitrária um valor inicial para image0745e3d6071_20211113004325.gif usualmente denominado de image0755e3d6071_20211113004325.gif
IV.          ( ) O método de Gauss-Seidel acelera a convergência em relação ao método de Jacobi calculando image0715e3d6071_20211113004325.gif usando os elementos de image0765e3d6071_20211113004325.gif e image0775e3d6071_20211113004326.gif
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
R: