Colaborar - Aap2 - Estruturas Algébricas

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01/10/22, 08:55 Colaborar - Aap2 - Estruturas Algébricas
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Aap2 - Estruturas Algébricas
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Informações Adicionais
Período: 05/09/2022 00:00 à 03/12/2022 23:59
Situação: Cadastrado
Protocolo: 783574106
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1) Na manipulação de imagens pela computação gráfica bidimensional, três transformações geométricas
são essenciais: translação, reflexão e rotação. Nesse contexto, a teoria de grupos desempenha papel central
no tratamento computacional dessas transformações.
 
Aqui, vamos concentrar nossa atenção às rotações. Considere uma sistema plano ortogonal de
coordenadas  , com  .
 
Associamos a rotação  pelo ângulo   em torno da origem   à matriz  . Nesse
sentido, temos que
 
 
conforme a ilustração a seguir:
Fonte: ANTON, Howard; RORRES, Chris. Elementary Linear Algebra with Applications. 9 edition. United
States of America: John Wiley & Sons, Inc.: 2005.
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a)
b)
c)
d)
e)
2)
 
Tendo como base o conjunto
 
   
 
munido da multiplicação de matrizes, analise as afirmativas a seguir.
 
I. Vale que   para  .
II.   é elemento neutro para a multiplicação de matrizes em  .
III.  É correto apenas o que se afirma em:
Alternativas:
I, II e IV.
I, III e IV.  Alternativa assinalada
II e III.
II, III e IV.
III e IV.
Dado um grupo  , a operação   pode ser descrita através de uma tábua da forma 
 
 
onde o elemento da i-ésima linha e j-ésima coluna é dado por  ,  . 
 
Observe que os elementos de uma linha   não podem se repetir, pois se 
  para algum par    com    então teríamos que 
. Pelo mesmo argumento, os elementos de uma coluna
da tábua de um grupo finito não podem se repetir.
 
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a)
b)
c)
d)
e)
3)
Considere o grupo   onde   e a operação   é dada pela tábua
 
Assinale a alternativa que completa corretamente a tábua do grupo  .
Alternativas:
 
 
 
   Alternativa assinalada
Um grupo    é uma estrutura algébrica constituída de um conjunto    e uma operação binária 
 associativa, comutativa, que admite um elemento neutro e tal que cada elemento de 
 admite um elemento simétrico.
 
Tendo com base o grupo  , analise as seguintes afirmativas:
 
I. O elemento neutro não único.
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a)
b)
c)
d)
e)
4)
II. Para cada   existe um único elemento simétrico  .
III. A equação  , onde   e   é uma incógnita em  , tem infinitas soluções se o conjunto 
 tem infinitos elementos.
IV.  , onde  .
Agora, assinale a alternativa CORRETA:
Alternativas:
Apenas as afirmativas I, II e III estão corretas.
Apenas as afirmativas II, III e IV estão corretas.
Apenas as afirmativas II e IV estão corretas.  Alternativa assinalada
Apenas as afirmativas I e IV estão corretas.
Apenas as afirmativas II e III estão corretas.
O conjunto das permutações do plano real    dado por 
  é um grupo munido da operação    de
composição de funções.
 
Um subconjunto importante de    é o conjunto das translações. A translação por    é a
permutação    dada  por  . Geometricamente,  a translação
por    desloca a abcissa    por    unidades horizontalmente e a ordenada    por    unidades
verticalmente. Por exemplo, na figura a seguir aplicando a translação   na região (1) obtemos a região
(2):
 
Fonte: Imagem editada pelo autor. Original disponível em
<www.dmm.im.ufrj.br/projeto/projetoc/precalculo/sala/conteudo/capitulos/images/cap248.gif>, acesso em
29 jun. 2018.
 
Considerando  , analise as
afirmações  a seguir:
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a)
b)
c)
d)
e)
 
I - A composição de translações é uma translação.
II -   é elemento neutro de  .
III-   é subgrupo de  .
IV - Existem translações cuja aplicação inversa não é uma translação.
Agora, assinale a alternativa CORRETA.
Alternativas:
Apenas as afirmativas I, II e III estão corretas.  Alternativa assinalada
Apenas as afirmativas II, III e IV estão corretas.
Apenas as afirmativas I e III estão corretas.
Apenas as afirmativas II e IV estão corretas.
Apenas as afirmativas II e III estão corretas.