FEA_EX_03_GAB

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EXERCÍCIO-03
MEDIDAS DE DISPERSÃO
FUNDAMENTOS DE 
ESTATÍSTICA APLICADA 
01- Numa distribuição de valores iguais, o desvio padrão é
ZERO !
Nesse caso TODAS as medidas de dispersão serão iguais a
ZERO !
EXEMPLO:
X = 1;1;1;1;1;1;1;1;1;1
Var(X) = 0
DP(X) = 0
CV(X) = 0
Etc...
GABARITO - D
DISPERSÃO mede VARIABILIDADE !
Se todos os valores são iguais a variabilidade é ZERO !
02- Um conjunto de valores X foi multiplicado por uma
constante c obtendo-se um novo conjunto Y. Sendo CVx o
coeficiente de variação de X, quanto ao coeficiente de variação
de Y (CVy) pode-se afirmar que:
CV = DESVIO PADRÃO / MÉDIA
Quando multiplicamos por uma constante (c) tanto o Desvio
Padrão como a Média ficarão multiplicados por essa constante.
Assim o CV não se altera:
CV = c × DESVIO PADRÃO / c × MÉDIA
MÉDIA
DP
CV =
AntigoCV
Média
DP
Médiac
DPc
NovoCV ==
×
×
=
)(antigaMédiacNovaMédia ×=
)( antigoDPcNovoDP ×=
GABARITO - E
03- Se a variância de X é 4, a variância de Y é 9, e X e Y são
variáveis aleatórias independentes, então quanto vale o desvio
padrão de Z = 2X + Y ?
O que temos ?
VAR(X) = 4
VAR(Y) = 9
Z = 2X + Y
O que sabemos !
VAR(Z) = 22 VAR(X) + VAR(Y)
VAR(Z) = 4 × 4 + 9 = 25
VAR(Z) = 25
DP(Z) = RAIZ(25) = 5
O que temos ?
VAR(X) = 4  DP(X) = 2
VAR(Y) = 9  DP(Y) = 3
Z = 2X + Y
O que sabemos ????
DP(Z) = 2 DP(X) + DP(Y)
DP(Z) = 2 × 2 + 3
DP(Z) = 4 + 3
DP(Z) = 7 !!!!!!!!!!!!!!!!!
ERRADO !
4 + 4 = 8 ?
4 = 2,8284 ?
8 = 2,82842 + 2 = 8
4 = 8
VARIÂNCIA DA SOMA DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS
Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) + 2×Cov(X,Y)
Onde Cov(X,Y) é a COVARIÂNCIA entre X e Y !
),(2)()()( YXCovYVarXVarYXVar ×++=+
YX
n
XY
Cov YX −=

,
 MÉDIA DO PRODUTO MENOS
O PRODUTO DAS MÉDIAS
Obs. COVARIÂNCIA será visto no Módulo de Correlação e Regressão!
UNICARIOCA
ESTATÍSTICA APLICADA
EXERCÍCIO_03 - GABARITO 1 MANUEL
04- Considere as variáveis aleatórias X e D abaixo
relacionadas:
, ∀ i = 1,2,3,4,.....48. Se a variância de D é 1,5
calcule a variância de X.
6
25−
=
i
i
X
D
6
25−
=
i
i
X
D
VAR(X) = 62 x VAR(D) = 36 x 1,5 = 54
OBS. 25 É UMA CONSTANTE QUE SOMADA NÃO INFLUI NA VARIÂNCIA !
X = 6D + 25 VAR(D) = 1,5
05- Em relação à questão anterior, se
calcule o coeficiente de variação de X.
CV(X) = DP(X) / MÉDIA(X)
VAR(X) = 54 (da questão anterior)
DP(X) = RAIZ(54) = 7,35
CV(X) = DP(X) / MÉDIA(X)
CV(X) = 7,35 / 25 = 29%
 1200=i iX
MÉDIA (X) = 1200/48 = 25
O QUE SABEMOS ?
35,7
14
103
72
103
492
4954
54 ≅=
×
=
×
+
=
06- Numa amostra de tamanho 20 de uma população de contas
a receber, representadas genericamente por X, foram
determinadas a média amostral M = 100 e o desvio padrão S=13
da variável transformada (X-200)/5.
Calcule o coeficiente de variação amostral de X.
MÉDIA(Z) = 100
S(Z) = 13 (desvio padrão)
Z = (X-200)/5
X = 5Z + 200
MÉDIA(X) = 5 x MÉDIA(Z) + 200
MÉDIA(X) = 5 x 100 + 200 = 700
S(X) = 5 × S(Z) = 5 × 13 = 65 [ 200 não influi no S(X) ]
CV(X) = S(X) / MÉDIA(X) = 65 / 700 = 9,3%
CV = DP / MÉDIA
DP(X) = S(X)
07- Considere a transformação Z=(X-140)/10. Para o atributo Z
encontrou se onde fi é a frequência simples da classe
i e Zi o ponto médio de classe transformado. Qual a variância
amostral do atributo X sabendo-se que a média de X é 138
	 
��
�
���
���
= 1680
Z = (X-140) / 10 n = 200 observações
X = 140 + 10Z  VAR(X) = 102 x VAR(Z)
MÉDIA(X) = 138
MÉDIA (Z) = [ MÉDIA (X) - 140 ] /10
MÉDIA (Z) = [ 138 - 140 ] /10 = -0,2
VAR(Z) = 1680/200 - (-0,2)2 (Média dos quadrados - quadrado da Média) 
VAR(Z) = 8,4 - 0,04 = 8,36
VAR(X) = 102 x 8,36 = 836
1680
200
1
2
= =i ii fZObs. Soma dos quadrados de Z 
VAR(X) = 836
2,840
1200
200
836)( =
−
×=XVAR
BESSELDECORREÇÃODEFATOR
n
n

−
=
− 11200
200
08- Um atributo W tem média amostral a ≠ 0 ‚ e desvio padrão positivo
b ≠ 1. Considere a transformação Z=(W-a)/b. Assinale a opção correta.
a) A média amostral de Z coincide com a de W.
b) O coeficiente de variação amostral de Z é unitário.
c) O coeficiente de variação amostral de Z não está definido.
d) A média de Z é a/b.
e) O coeficiente de variação amostral de W e o de Z coincidem.
UNICARIOCA
ESTATÍSTICA APLICADA
EXERCÍCIO_03 - GABARITO 2 MANUEL
08- Um atributo W tem média amostral a ≠ 0 ‚ e desvio padrão positivo
b ≠ 1. Considere a transformação Z=(W-a)/b. Assinale a opção correta.
NÃO ESTÁ DEFINIDO !
GABARITO - C
b
aWMédia
ZMédia
−
=
)(
)( 0=Média(Z)
b
aW
Z
−
= aWMédia =)( bWDP =)(
)(
)(
)(
ZMédia
ZDP
ZCV = ????
0
1
)( ==ZCV
b
WDP
ZDP
)(
)( =
b
aa
ZMédia
−
=)(
1)( ==
b
b
ZDP
TRANSFORMAÇÃO DE VARIÁVEL
VARIÁVEL ALEATÓRIA X
XXdeMédia 
XSXdePadrãoDesvio 
VARIÁVEL ALEATÓRIA TRANSFORMADA Z
XS
XX
Z
−
= 0=
−
=
XS
XX
ZZdeMédia
1==
X
X
Z S
S
SZdePadrãoDesvio
!!!!????
0
1
definidoestáNão
Z
S
CV ZZ ==
!!!!. CONSTANTESsãoSeXObs X
TRANSFORMAÇÃO DE VARIÁVEL
EXEMPLO - VARIÁVEL ALEATÓRIA X
4= XXdeMédia
3= XSXdePadrãoDesvio
VARIÁVEL ALEATÓRIA TRANSFORMADA Z
3
4−
=
X
Z
0
3
0
3
44
3
4
==
−
=
−
=
X
Z
1
3
3
3
===
X
Z
S
S
0=Z
1=ZS
????
0
1
===
Z
S
CV ZZ OLHOU....E VIU !
XS
XX
Z
−
=
Quando subtraímos de uma variável aleatória (X) a
sua MÉDIA e dividimos pelo seu DESVIO PADRÃO
criamos uma nova variável aleatória (Z) que tem
MÉDIA 0 (zero) e DESVIO PADRÃO 1!
XS
XX
Z
−
=
ZdeMédiaZ →= 0
ZdePadrãoDesvioSZ →=1
ZdeVariânciaSZ →=1
2
09- Uma variável contábil Y, medida em milhares de reais, foi
observada em dois grupos de empresas apresentando os resultados
seguintes:
CV(A) = DESVIO PADRÃO(A) / MÉDIA (A) = 4/20 = 0,20
CV(B) = DESVIO PADRÃO(B) / MÉDIA (B) = 3/10 = 0,30
DESVIO PADRÃO = DISPERSÃO ABSOLUTA
CV = DISPERSÃO RELATIVA
GABARITO - C
A Dispersão RELATIVA de B (0,30) é maior que a Dispersão
RELATIVA de A (0,20) !
10- Seja X uma variável com média 5 e variância 2 e seja V = X - 6.
MÉDIA (X) = 5
VAR(X) = 2  DP(X) = RAIZ(2)
V = X – 6
MÉDIA(V) = MÉDIA (X) – 6 = 5 – 6 = -1
MÉDIA(V) = -1
VAR(V) = VAR(X) = 2
DP(V) = DP(X) = RAIZ(2)
CV(X) = DP(X) / MÉDIA (X)
CV(X) = RAIZ(2) / 5 (A) E (C ) JÁ ESTÃO ERRADAS
UNICARIOCA
ESTATÍSTICA APLICADA
EXERCÍCIO_03 - GABARITO 3 MANUEL
10- Seja X uma variável com média 5 e variância 2 e seja V = X - 6.
(A) o coeficiente de variação de X é 2/5.
V = X - 6
MÉDIA (X) = 5
VAR(X) = 2  DP(X) = RAIZ(2)
CV(X) = DP(X) / MÉDIA (X)
CV(X) = RAIZ(2) / 5
FALSO
10- Seja X uma variável com média 5 e variância 2 e seja V = X - 6.
(B) se a distribuição de X e ASSIMÉTRICA POSITIVA, a moda
de V é maior do que -1.
Temos
V = X – 6
MÉDIA (X) = 5
MÉDIA(V) = MÉDIA (X) - 6 = 5 – 6 = -1
MÉDIA(V) = -1
Se a distribuição de X e ASSIMÉTRICA POSITIVA, V também é
ASSIMÉTRICA POSITIVA, logo a MODA(V) é menor do que a
MÉDIA(V), ou seja MODA(V) é menor do que -1 e não maior.
FALSO
10- Seja X uma variável com média 5 e variância 2 e seja V = X - 6.
(C) o coeficiente de variação de X é RAIZ(2)
V = X - 6
MÉDIA (X) = 5
VAR(X) = 2  DP(X) = RAIZ(2)
CV(X) = DP(X) / MÉDIA (X)
CV(X) = RAIZ(2) / 5
FALSO
(D) se X tem distribuição simétrica, V terá distribuição
assimétrica negativa.
SE X É SIMÉTRICA V TAMBÉM SERÁ SIMÉTRICA
FALSO
10- Seja X uma variável com média 5 e variância 2 e seja V = X - 6.
(E))se a distribuição de X é assimétrica negativa, a mediana de
V é maior ou igual a -1.
SE X É ASSIMÉTRICA NEGATIVA V TAMBÉM É
ASSIMÉTRICA NEGATIVA
MÉDIA(V) = -1
ASSIMÉTRICA NEGATIVA MÉDIA < MEDIANA < MODA
LOGO MEDIANA DE (V) > MÉDIA(V) = -1
CORRETO !
GABARITO - E
11- A média da distribuição dos salários da Cia. Monte Branco corresponde a
R$ 3.000,00, com desvio padrão igual a R$ 30,00. Se, por hipótese, os
salários de todos os funcionários forem multiplicados por 1,2, comparando-se
a nova distribuição com a antiga, é correto afirmar que
MÉDIA = 3.000
DP = 30
Constante = 1,2
SALÁRIO NOVO = SALÁRIO ANTIGO × 1,2
A) MÉDIA NOVA = 3.000 x 1,2 = 3.600
B) VAR NOVA = VAR ANTIGA x (1,2)2
C) MEDIANA NOVA = MEDIANA ANTIGA × 1,2
D) A soma dos DESVIOS é sempre igual a 0 (ZERO !)
E) DP NOVO = 30 x 1,2 = 36  CORRETO !
GABARITO -E
(A) a média aumentou para R$ 3.800,00.
MÉDIA NOVA = 3.000 x 1,2 = 3.600
FALSO
(C) a mediana fica multiplicada por 1,44
MEDIANA NOVA = MEDIANA ANTIGA × 1,2
FALSO
(B) a variância fica inalterada, continuando a ser 900 (R$)2.
VAR NOVA = VAR ANTIGA x (1,2)2
FALSO
(E) o desvio padrão passou a ser R$ 36,00
DP NOVO = 30 x 1,2 = 36
CORRETO !
(D) a soma algébrica dos desvios em relação à nova média
aumenta de valor.
A soma dos DESVIOS é sempre igual a 0 (ZERO !)
FALSO
GABARITO - E
UNICARIOCA
ESTATÍSTICA APLICADA
EXERCÍCIO_03 - GABARITO 4 MANUEL
12- Considerando as respectivas definições e propriedades das
medidas de posição e das medidas de dispersão, é correto
afirmar:
(A) Um reajuste de 20% em todos os salários dos empregados
de uma empresa significa que o respectivo desvio padrão fica
aumentado em 44%.
REAJUSTE DE 20%  DP AUMENTADO DE 20%
FALSO
(B) Adicionando um valor fixo em cada salário dos
empregados de uma empresa, tem-se que o respectivo desvio
padrão dos novos valores é diferente do desvio padrão dos
valores anteriores.
ADICIONANDO UM VALOR FIXO AOS SALÁRIOS
DP NÃO SE ALTERA !
FALSO
(C) Dividindo todos os valores de uma sequência de números
estritamente positivos por 4, o correspondente coeficiente de
variação dos novos valores é igual ao coeficiente de variação
dos valores anteriores.
PROPRIEDADE DO CV  NÃO SE ALTERA QUANDO SE
MULTIPLICA OU DIVIDE OS DADOS POR UM VALOR
POSITIVO (NO CASO 4).
VERDADEIRO
AntigoCV
x
S
x
S
NovoCV ==
×
×
=
4
4
SSNovo ×= 4 xMédiaNova ×= 4
GABARITO - C
(D) Multiplicando por 100 todos os valores de uma sequência
de números estritamente positivos, tem-se que o
correspondente coeficiente de variação dos novos valores é
igual a um décimo do coeficiente de variação dos valores
anteriores.
MULTIPLICAR POR 100  CV NÃO ALTERA !
PROPRIEDADE DO CV  NÃO SE ALTERA QUANDO SE
MULTIPLICA OU DIVIDE OS DADOS POR UM VALOR
POSITIVO (NO CASO 100).
FALSO
GABARITO - C
(E) Em um trabalho de medição do comprimento de
determinado tipo de peça, o valor do coeficiente de variação da
sequência de medidas apuradas fica alterado caso o
trabalhador modifique a unidade de medida de metro para
centímetro.
O CV NÃO É INFLUENCIADO PELA UNIDADE DE MEDIDA !
FALSO
13- Uma população com 16 valores estritamente positivos X1, X2, X3, ..., X16
correspondente a um determinado atributo, apresenta as seguintes
informações:
VARIÂNCIA ANTES
MÉDIA(A) = 192 / 16 = 12
SOMA DOS QUADRADOS = 4.464
VAR(A) = 4464/16 - (12)2 (média dos quadrados - quadrado da média)
VAR(A) = 279 - 144 = 135
O elemento X10, tal que X10 = 12 , é retirado da população. Os valores da
variância da primeira população e da nova população formada são,
respectivamente, iguais a
13- Uma população com 16 valores estritamente positivos X1, X2, X3, ..., X16
correspondente a um determinado atributo, apresenta as seguintes
informações:
VARIÂNCIA DEPOIS - SÓ TEMOS 15 VALORES (O VALOR 12 FOI
RETIRADO)
MÉDIA(D) = (192 -12) / 15 = 12  A média não alterou!
A SOMA DOS QUADRADOS AGORA É = 4464 - 122 (O VALOR QUE SAIU)
SOMA DOS QUADRADOS = 4464 - 144 = 4320
VAR(D) = 4320/15 - (12)2 =média dos quadrados menos...
VAR(D) = 288 - 144 = 144
O elemento X10, tal que X10 = 12 , é retirado da população. Quais os valores
da variância da primeira população e da nova população formada ?
13- Uma população com 16 valores estritamente positivos X1, X2, X3, ..., X16
correspondente a um determinado atributo, apresenta as seguintes
informações:
VARIÂNCIA DEPOIS - MÉTODO RÁPIDO - OLHOU E VIU !
VAR(ANTES) = 135
VAR(DEPOIS) = VAR(ANTES) x (16 / 15) = 144
O valor retirado (x10) foi 12 que é o valor da média, portanto
não influencia nem na nova soma dos quadrados dos desvios
e nem na nova média, apenas o número de observações
passa de 16 para 15 !
O elemento X10, tal que X10 = 12 , é retirado da população. Os
valores da variância da primeira população e da nova população
formada são, respectivamente, iguais a
UNICARIOCA
ESTATÍSTICA APLICADA
EXERCÍCIO_03 - GABARITO 5 MANUEL
EXISTE OUTRA SOLUÇÃO ?
O elemento X10, tal que X10 = 12 , é retirado da população. Os valores da
variância da primeira população e da nova população formada são,
respectivamente, iguais a:
(A) 144 e 134,40
(B) 144 e 144.
(C) 135 e 144.
(D) 135 e 135.
(E) 135 e 126.
O valor retirado (x10) foi 12 que é o valor da média, portanto
não influencia nem na nova soma dos quadrados dos desvios e
nem na nova média, apenas o número de observações passa
de 16 para 15 ! LOGO...
A NOVA VARIÂNCIA É NECESSARIAMENTE MAIOR QUE A
PRIMEIRA !!!!
n
xx
S i
2
2 )( −
=

EXEMPLO
CONSIDERE O SEGUINTE CONJUNTO DE DADOS: 1; 3 ; 4 ; 4 com 4
observações.
MÉDIA = SOMA / 4 = 12 / 4 = 3
VAR = MÉDIA DOS QUADRADOS MENOS O QUADRADO DA MÉDIA !
VAR = (1 + 9 + 16 + 16) / 4 – 32 = 42/4 - 9 = 10,5 - 9 = 1,5
Vamos tirar o valor 3 (igual a média) e ficar apenas com os valores 1 ; 4 ; 4
RECALCULANDO OS VALORES TEMOS:
NOVA MÉDIA = 9/3 = 3  NÃO SE ALTEROU !
NOVA VAR = (1 + 16 + 16) /3 – 32 = 33/3 - 9 = 11 - 9 = 2
NOVA VAR = VAR × 4/3 = 1,5 × 4/3 = 2 !!!!  OLHOU...E VIU !
14- Observe as estatísticas descritivas a seguir:
Média Desvio Padrão
Amostra1 120 245
Amostra2 82 15
Amostra3 1040 426
Amostra4 1,3 4,8
Amostra5 220 200
OBSERVE NA TABELA A RELAÇÃO ENTRE O DP E A MÉDIA.
DESCARTAMOS INICIALMENTE AS AMOSTRAS 2, 3 E 5 POIS A
RELAÇÃO ENTRE O DP E MÉDIA É MENOR DO QUE 1.
ENTRE AS AMOSTRAS 1 E 4 A QUE APRESENTA A MAIOR RELAÇÃO
ENTRE O DP E A MÉDIA (O MAIOR CV) É A 4.
Amostra1: 245/120 ≈ 2 Amostra4: 4,8/1,3 ≈≈≈≈ 4 !!!!
Qual a amostra que
apresenta maior dispersão
relativa?
15- Uma urna contém 5 bolas de dimensões idênticas
numeradas 0, 1, 2, 3 e 4. Uma bola é sorteada ao acaso da urna.
Seja X o número da bola escolhida. Qual a variância de ?
X Z X2 Z2
0 -2 0 4
1 -1 1 1
2 0 4 0
3 1 9 1
4 2 16 4
10 0 30 10 ⇐ SOMA
USANDO A VARIÁVEL 
TRANSFORMADA Z
Z = X - 2
VAR(Z) = VAR(X)
MÉDIA(Z) = 0 / 5 = 0
VAR(Z) = 10/5 – 02
VAR(Z) = 2
VAR(X) = 2
SE PREFERIR CALCULAR DIRETO A VARIÂNCIA DE X !
VAR(X) = 30/5 – (10/5)2 MÉDIA DOS QUADRADOS MENOS O QUADRADO DA MÉDIA
VAR(X) = 6 - 4 = 2
16- Uma variável aleatória discreta X apresenta a seguinte função de
probabilidade. Qual o valor da média e da variância?
MÉDIA = 1,0
VAR(X) = 2,2 - 1 = 1,2
Valores 
de X
Probabilidade X × P X2 × P
-1 0,1 -0,1 0,1
0 0,2 0,0 0,0
1 0,4 0,4 0,4
2 0,2 0,4 0,8
3 0,1 0,3 0,9
soma 1,00 2,2
A MÉDIA É CALCULADA SEM CONTA !
17- X é uma variável aleatória discreta com valores possíveis
-2, 0 e 2 e probabilidades 0,3, 0,4 e 0,3 respectivamente.
Qual o valor da média e da variância de 2X + 1?
MÉDIA(X) = 0  DISTRIBUIÇÃO SIMÉTRICA !
VAR(X) = 2,4
Y = 2X + 1
MÉDIA(Y) = 2 x MÉDIA(X) + 1 = 2 x 0 + 1 = 1
VAR(Y) = 22 x VAR(X) = 4 x 2,4 = 9,6
Valores de X Probabilidade X x P X2 x P
-2 0,3 -0,6 1,2
0 0,4 0 0
2 0,3 0,6 1,2
Soma 0,0 2,4
UNICARIOCA
ESTATÍSTICA APLICADA
EXERCÍCIO_03 - GABARITO 6 MANUEL
18- O quadro apresenta a média dos valores e a média dos
quadrados dos valores de três distribuições hipotéticas: X, Y e Z.
Com relação à dispersão absoluta, qual a mais e a menos
homogênea?
MÉDIA
Média dos 
Quadrados VAR
DP CV
X 20 425 25 5 0,25
Y 10 109 9 3 0,30
Z 8 80 16 4 0,50
VAR (X) = 425 - 202 = 25
VAR (Y) = 109 - 102 = 9
VAR (Z) = 80 - 82 = 16
DP (X) = RAIZ(25) = 5 MENOS
DP (Y) = RAIZ(9) = 3 MAIS
DP (Z) = RAIZ(16) = 4
CV (X) = DP(X) / MÉDIA (X) = 5/20 = 0,25  MENOR
CV (Y) = DP(Y) / MÉDIA (Y) = 3/10 = 0,30
CV (Z) = DP(Z) / MÉDIA (Z) = 4/8 = 0,50  MAIOR
VARIAÇÃO ABSOLUTA = DP ou VAR
VARIAÇÃO RELATIVA = CV
19- Na questão anterior com relação à variação relativa, qual a
mais e a menos homogênea?
18- Com relação à dispersão absoluta, qual a mais e a menos
homogênea?
20- Se a amplitude observada em um conjunto de
dados formado por 10 elementos for igual a 12, quanto
vale a variância?
TEMOS
AMPLITUDE = 12 
n = 10
SE O MENOR VALOR É X O MAIOR SERÁ X + 12
VARIÂNCIA  a distância (desvio) entre cada dado e a média é 6 em valor
absoluto, assim 5 desvios valem -6e 5 desvios valem +6.
xxd
ii
−=
n
xx
S
2
i2
)( −
=

6=
i
d
10
610
S
2
2 ×
= 36S
2
=
AMPLITUDE = MAIOR - MENOR=12
X (X+6) X+12
MÉDIA
O valor máximo da variância ocorre quando a metade dos
valores vale x e a outra metade vale x+12  são 10
observações.
10
12x5x5
x
)( ++
= 6x
10
60x10
x +=
+
=MÉDIA DE X 
SÃO 10 OBSERVAÇÕES !
AMPLITUDE = 12 
10 OBSERVAÇÕES 
COMO DISTRIBUIR OS VALORES PARA QUE A VARIÂNCIA SEJA MÁXIMA ? 
5 5
Segue o teu destino,
Rega as tuas plantas,
Ama as tuas rosas.
O resto é a sombra
De árvores alheias...
Fernando Pessoa
Lisboa - 1888 / Lisboa - 1935
UNICARIOCA
ESTATÍSTICA APLICADA
EXERCÍCIO_03 - GABARITO 7 MANUEL