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1 1. Em cada grupo de triângulos, verificar os congruentes e indicar o caso de congruência. SOLUÇÃO: a) I II caso oLAA . b) I III caso LAL . 2 2. Prove que, se um triângulo tem dois ângulos congruentes, então ele é isósceles. SOLUÇÃO: Considere os triângulos: ( ) ( ) B C C B ALA I II Definição AB BC AB BC Então o triângulo ABC é isósceles. 3. Prove que, se um triângulo tem os três ângulos congruentes entre si, então ele é equilátero. SOLUÇÃO: Considere os triângulos: ( ) ( ) A B B A ALA I II Definição AB AC BC AB AC BC AB BA Então o triângulo ABC é equilátero. 3 4. Considere o triângulo isósceles ABC da figura. Seja os segmentos BD e CE sobre a base BC congruentes entre si. Prove que o triangulo ADE é isósceles. SOLUÇÃO: ( ) ( ) B C ABC AB AC ABD ACE BD CE LAL I II Definição AD AE AB AC Então o triângulo ADE é isósceles. 5. Sobre os lados de um triângulo equilátero, tomam-se três pontos D, E e F conforme figura. Sendo AD ≡ BE ≡ CF, prove que o triângulo DEF é equilátero 4 SOLUÇÃO: ( ) ( ) A B C AD BE CF LAL I II III Definição DE EF DF AB AC BC AF BD CE Então o triângulo ADE é equilátero. 6. Na figura, o triângulo ABD é congruente ao triângulo CBD. Calcular x e y. SOLUÇÃO: ( ) 2 3 8( ) 2 ( ) ( ) ( ) 2 2 3 8 4 3 8 8 ( ) 2 8 16 16 8 x y I x y II II I y y y y y II x x y = + = = + = + = = = = = 7. Na figura, o triângulo ABC é congruente ao triângulo CDE. Determine o valor de x e y 5 SOLUÇÃO: 18 3 3 3 15 5 2 6 12 2 6 3 3 5 y y y x x x x y = + = = − = = = = = 8. Prove que a bissetriz relativa à base de um triângulo isósceles é também mediana e altura. SOLUÇÃO: Considere os triângulos ACD e BCD. 0( ) ( ) 90 ( ) A B ACD BCD ALA I II Definição AD BD ADC BDC AD comum = Então o AD é mediana e altura do triângulo ABC. 9. Na figura, o triângulo PCD é congruente ao triângulo PBA. Determine os valores de x, y e a razão entre os perímetros dos triângulos PCA e PBD. 6 SOLUÇÃO: Como os triângulos I e III são congruentes, temos: 5 15 10 3 2 2 7 3 2 7 2 9 10 9 x x y y y y y x y + = = − = + − = + = = = Os triângulos PCA e PBD são congruentes, então possuem o mesmo perímetro, logo a razão entre eles é 1. 10. Na figura, sendo BF=CD, ABC EDF e BEC DEF , prove que AC=EF. SOLUÇÃO: Como BF=CD e FC é comum a BC e DF, temos que BC=DF. Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º, ACB EFD , portanto, pelo caso ALA, os triângulos ABC e EDF são congruentes, implicando AC=EF. 11. Prove o caso ALA. SOLUÇÃO: Seja os triângulos ABC e CDF tal que A D B E AB DE = . Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º, C F , portanto, pelo caso oLAA , os triângulos ABC e DEF são congruentes, implicando o caso ALA. 12. Prove o caso especial de congruência SOLUÇÃO: Este caso é uma consequência do Teorema de Pitágoras implicando o caso LLL. 7 13. Calcule a soma das medidas dos ângulos internos de um undecágono convexo. SOLUÇÃO: Um undecágono é um polígono com 11 lados e 11 ângulos. Como a soma dos ângulos internos iS de um polígono convexo com n lados é calculada usando-se a fórmula ( ) 02 180iS n= − temos: ( ) ( ) 0 0 0 2 180 11 11 2 180 9 180 1620 i i S n n S = − = = − = = 14. A soma dos ângulos internos de um polígono convexo é 1080º. Calcule o número de diagonais desse polígono. SOLUÇÃO: ( ) ( ) 02 180 1080 1080 2 180 180 360 1080 1440 180 1080 360 1440 8 180 i i S n S n n n n = − = = − − = = + = = = Como o número de diagonais d de um polígono convexo com n lados é calculada usando- se a fórmula ( )3 2 n n d − = temos: ( ) ( ) 3 2 8 8 3 40 8 20 2 2 n n d n d − = − = = = = 15. Num quadrilátero convexo, a soma de dois ângulos internos consecutivos mede 190º. Determine o ângulo formado pelas bissetrizes internas dos dois outros ângulos. SOLUÇÃO: Como a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º e a soma dos ângulos internos de um quadrilátero é 360º podemos, baseado na figura acima, montar o sistema: 8 ( ) ( ) 0 180 180 ( ) 2 2 360 2 360( ) 190( ) ( ) ( ) 2 180 360( ) ( ) ( ) 190 360 2 360 190 2 190 95 2 d c d c I c d c d II III I II IV III IV + + = + = − + + + = + + + = + = → + + − = → + − = = = = 16. Na figura, os ângulos a, b, c e d medem, respectivamente, 3 , 2 , , 2 2 x x x x . O ângulo e é reto. Qual é a medida do ângulo f? SOLUÇÃO: Como o polígono cujos ângulos são a, b, c e d é um quadrilátero podemos afirmar que: 0 3 360 2 360 2 2 720 4 3 2 720 10 720 72 10 x x a b c d x x x x x x x x + + + = + + + = + + + = = = = O ângulo oposto pelo vértice ao ângulo d mede então 072d = e: 090 72 180 18f f+ + = = 17. Num polígono regular convexo ABCDE..., o ângulo BAD mede 18◦. Calcule o número de lados do polígono. SOLUÇÃO: 9 Como o polígono é regular, o quadrilátero ABCD é um trapézio isósceles, portanto: 0 18 18 360 2 360 36 324 2 324 162 2 + + + = = − = = = ( ) ( ) 2 180 162 162 2 180 162 180 360 360 18 360 20 18 i i S n S n n n n n n n = − = = − = − = = = 18. Seja ABCDE...um polígono regular. Calcule o número de diagonais desse polígono sabendo que as diagonais AC e BD formam um ângulo de 20º. SOLUÇÃO: Observando a figura e considerando que o polígono é regular, temos que: 180 20 160 180 160 10 2 180 20 10 150 150 10 160 BXC XBC XCB ABX ABC = − = − = = = = − − = = + = Portanto cada ângulo interno do polígono regular mede 160º. ( ) ( ) 2 180 160 160 2 180 160 180 360 360 20 360 18 20 i i S n S n n n n n n n = − = = − = − = = = Como o número de diagonais de um polígono é dado por ( )3 2 n n d − = 10 Temos: ( ) ( ) 3 2 18 18 18 3 9 15 135 2 n n d n d d − = = − = = = 19. Na figura, determine a soma das medidas dos ângulos A B C D E F+ + + + + . SOLUÇÃO: No triângulo ABJ temos que: ( )180J A B= − + No triângulo CDI temos que: ( )180I C D= − + No triângulo EFH temos que: ( )180H E F= − + No quadrilátero GHIJ temos que: ( ) ( ) ( ) ( ) 0 120 360 120 180 180 180 360 120 540 360 120 540 360 300 H I J E F C D A B A B C D E F A B C D E F A B C D E F + + + = + − + + − + + − + = + − + + + + + = + + + + + = + − + + + + + = 11 20. (Modificado) Os lados de um pentágono regular, são prolongados para formar uma estrela. Determine o número de graus em cada vértice da estrela. SOLUÇÃO: Nossa estrela fica assim: A soma dos ângulos internos de um pentágono é: ( ) ( ) 2 180 5 5 2 180 540 i i S n n S = − = = − = Como o pentágono é regular, cada um deles mede 0540 5 108 = , portanto observando a figura o ângulo interno da estrela é 36º. 21. Achar dois polígonos regulares cuja razão entre os ângulos internos é 3 5 e a razão entre o número de lados é 1 3 . SOLUÇÃO: Seja 1P e 2P dois polígonos regulares ângulos internos e números de lados sejam, respectivamente, 1 2 1 2, , ,a a n n . Para o polígono 1P temos: ( )1 1 1 2 180n a n= − (I) Para o polígono 2P temos: ( )2 2 2 2 180n a n= − (II) Fazendo ( ) ( ) I II : ( ) ( ) 11 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 180 2 180 2 2 nn a n a n n a n n a n − = − − = − De acordo com o problema temos: 12 1 1 2 2 1 2 1 2 2 23 1 1 5 3 2 2 5 5 10 2 5 8 n n nn n n n n − − = = − − − = − = + Como 1 2 1 2 1 3 3 n n n n = = , substituindo na expressão anterior, temos: 1 1 1 1 1 1 2 5 3 8 5 3 8 2 8 8 4 3 4 12 2 n n n n n n n = + − = = = = = = Portanto os polígonos têm 4 e 12 lados, portanto são, respectivamente, o quadrado e o dodecágono. 22. Na figura, r é a bissetriz do ângulo ABC . Se α=40º e β=30º, determine a medida do ângulo γ. SOLUÇÃO: Observe a figura acima. O ângulo E externo ao triângulo BEC mede 055 30 85E = + = , portanto, considerando o triângulo retângulo BEH temos: 0 90 85 180 180 175 5 + + = = − = 13 23. Dados dois polígonos regulares com 1n+ lados e n lados, respectivamente, determine n sabendo que o ângulo interno do polígono de 1n+ lados excede o ângulo interno do polígono de n lados de 5º. SOLUÇÃO: Para 3n = os polígonos são o triângulo e o quadrado cujos ângulos internos medem, respectivamente, 60º e 90º. Não é o caso do problema. Para 5n = os polígonos são o pentágono e o hexágono cujos ângulos internos medem, respectivamente, 108º e 120º. Não é o caso do problema. Para 8n = os polígonos são o octógono e o eneágono cujos ângulos internos medem, respectivamente, 135º e 140º. Não é o caso do problema. Poderíamos também resolver o problema usando a fórmula da medida do ângulo interno de um polígono regular de n lados ( )2 180 i n a n − = da seguinte forma: Vamos considerar o ângulo interno do polígono de n lados e o ângulo interno do polígono de 1n+ lados, então: ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 180 1 2 180 2 180 5 5 1 1 180 2 180 5 1 180 180 180 360 1 5 1180 180 180 360 5 1 1 1 1 180 180 180 180 360 360 5 5 5 5 180 360 360 180 0 5 5 360 0 i n a n n n n n n n n n n n n n n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n − = + − − = + = + + − − = + + − − + +− − = + = + + + + + − = + − − + + + + − − + = + − = + − 72 0 8 ' 9( ) n n Não = = = − Portanto os polígonos são o octógono e o eneágono. 24. Um polígono convexo tem cinco lados mais que o outro. Sabendo-se que o número total de diagonais vale 68, determine o número de diagonais de cada polígono. SOLUÇÃO: Vamos considerar N e D o número de lados e diagonais, respectivamente, de um dos polígonos e n e d a quantidade de lados e diagonais, respectivamente, do outro. Observando os dados do problema temos: 14 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 2 2 2 3 2 5 68 3 3 68 2 2 5 5 3 3 68 2 2 5 2 3 68 5 2 3 136 2 2 2 5 10 3 136 0 2 4 126 0 2 63 0 7 ' 9( ) n n d N n D d N N n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n Não − = = + + = − − + = + + − − + = + + − + = + + + − = + + + + − − = + − = + − = = = − Logo um polígono tem 7 lados e o número de diagonais è: ( ) ( ) 3 2 7 7 3 14 2 n n d d − = − = = O outro polígono tem 12 lados e o número de diagonais è: ( ) ( ) 3 2 12 12 3 54 2 n n d d − = − = =
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