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Volume 2 
Anual 2014  Plus 
 
 
 
Eletrostática 
Eletrodinâmica 
Eletromagnetismo 
MHS 
Ondas 
Física Moderna 
Termologia Geral 
 
Prof Renato Brito 
FOTOCÓPIA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
É PROIBIDA A REPRODUÇÃO PARCIAL OU TOTAL POR 
QUAISQUER MEIOS SEM AUTORIZAÇÃO PRÉVIA DO AUTOR. 
OS TRANSGRESSORES SERÃO PUNIDOS COM BASE NO 
ARTIGO 7°, I DA LEI 9.610/98 . DENUNCIE O PLÁGIO. 
 
 
 
 
 
 
TODO O CONTEÚDO DESSA OBRA ENCONTRA-SE REGISTRADO . 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prezados Alunos, 
 
 Bem-vindos ao 2º semestre do nosso Curso Anual de Física para Medicina. 
 Em suas mãos agora encontra-se o fruto de um trabalho de longos anos, trabalho esse que 
nunca está completamente terminado, sempre aprimorado ano a ano: o volume 2 da nossa apostila 
do Anual de Física do prof. Renato Brito. 
 Em Julho, durante duas semanas (12/07 a 26/07), dediquei longas 16h de trabalho diário, 
entrando madrugada a dentro, para produzir o melhor material que estivesse ao meu alcance 
visando ao seu melhor aprendizado da Física, tendo como ponto de partida a apostila II do Anual 
2013. 
 Como vocês já devem ter percebido, ao longo das aulas, faço minhas próprias anotações na 
minha apostila sobre dificuldades detectadas no aprendizado dos alunos, assim como possíveis 
melhorias que uma ou outra questão pode sofrer de forma a permitir uma melhor assimilação dos 
conceitos por parte dos estudantes. 
 As anotações de cada ano são úteis para o aprimoramento da qualidade do material didático 
que chega aos alunos do ano seguinte. O resultado desse trabalho meticuloso é um material 
didático que literalmente fala com os meus alunos, que antecipa as dúvidas que o estudante terá ao 
longo da leitura e as elucida previamente, tornando o aprendizado da Física algo prazeroso, 
dinâmico e estimulante. Acredite, Física é legal  ! 
 Gradativamente, o estudante vai desenvolvendo sua autoconfiança, um fator muito 
importante na preparação de vestibulandos de Medicina, na medida em que a Física vai deixando 
de ser aquele mistério indecifrável. As fórmulas físicas ganham um mero papel coadjuvante quando 
a parte conceitual é colocada em primeiro plano e o aluno percebe que, tendo assimilado o que está 
por traz do fenômeno físico, a fórmula vem gratuitamente, sem sacrifício, já que agora a Física vai 
se tornando cada vez menos matemática, cada vez mais intuitiva. 
 Alguns capítulos, como Potencial Elétrico, sofreram aprimoramentos em sua parte teórica. 
Quase todos os capítulos tiveram aprimoramento em suas questões de casa e de Classe, em 
especial, os capítulos de Circuitos Elétricos, Capacitores e Ondas, sempre visando a facilitar o 
aprendizado da Física, mas nunca subestimando a inteligência do estudante. As novas questões 
de Ondas para casa permitem ao estudante avaliar de forma muito mais eficaz se ele assimilou 
todas as sutilezas conceituais e teóricas dessa matéria, sutilezas que não estão embutidas nas 
fórmulas matemáticas desse assunto. 
 Ao longo dos Capítulos, semanalmente, o aluno vai recebendo sugestões de quais 
capítulos ele deveria revisar, do assunto referente ao 1º semestre, com o objetivo de evitar o 
desespero às vésperas do vestibular. É a chamada Revisão Semanal Programada. Logicamente, 
nem todos os alunos vão seguir os conselhos, mas aqueles que o fizerem certamente terão 
melhores resultados. 
 Além da Revisão semanal Programada, uma maravilhosa Lista de Revisão com todos os 
conteúdos da Física foi criteriosamente produzida, lapidada e aprimorada para garantir que todo o 
nosso trabalho feito pelo 1º semestre ainda produza bons frutos no seu vestibular. 
 O segundo semestre será corrido, mas tenho certeza que aqueles que souberem priorizar 
corretamente suas metas, as matérias onde são mais vulneráveis, os conteúdos chaves, terão 
maiores chances de sucesso. 
 No final da apostila, o aluno também vai encontrar o Cronograma Completo de todas as 
nossas aulas do 2º semestre de 2014 (Frente 1 e Frente 2), com todas as datas e assuntos relativos 
a cada aula. Isso se chama organização, seriedade e compromisso com você. 
Por final, quero acreditar que você, querido aluno que está me lendo, nesse momento, seja 
capaz de percebe quanto esmero despendi na produção desse material didático. Nada mais justo e 
correto ! Afinal, esse é o meu compromisso com você: fazer tudo que estiver ao meu alcance para 
o seu pleno aprendizado da Física e, conseqüentemente, para o seu sucesso no Vestibular com ou 
sem ENEM. 
Bom segundo semestre a todos ! 
 Prof. Renato Brito (e Claudete  !!) 
Fortaleza, 27 de Junho de 2014 
 
S U M Á R I O 
 
Capítulo 12 – Cargas Elétricas 
 1 – Introdução 1 
 2 – Princípios da Eletrostática 1 
 3 – Condutores e Isolantes 2 
 4 – Processos de Eletrização 2 
 5 – Eletroscópio 7 
 6 – Unidades de Carga Elétrica 8 
 7 – Lei de Coulomb 8 
 8 – Apêndice – Noções de Equilíbrio Eletrostático 9 
 
Capítulo 13 – Campo Elétrico 
 1 – Introdução 12 
 2 – Entendendo como um Campo de Forças atua 12 
 3 – Definição do Vetor Campo Elétrico 13 
 4 – Características do Vetor Campo Elétrico 13 
 5 – Campo Elétrico gerado por uma Carga Puntiforme 14 
 6 – Linhas de Força do Campo Elétrico 14 
 7 – Densidade Superficial de Cargas 16 
 8 – O Poder das Pontas 16 
 9 – Campo Elétrico Uniforme 16 
10 – Cargas sujeitas a Campos Elétricos Uniformes 17 
11 – Polarização de um isolante (dielétrico) 18 
12 – O significado Físico da Permissividade Elétrica  18 
13 – Como a Água Dissolve Substâncias Polares ? 19 
 - Pensando em classe 20 
 - Pensando em casa 25 
 - Hora de Revisar 32 
 
Capítulo 14 – Trabalho e Energia no Campo Eletrostático 
 1 – Por que estudar Trabalho e Energia em Eletrostática ? 35 
 2 – Forças Conservativas e Função Potencial 35 
 3 – Energia Potencial em Campos Coulombianos 35 
 4 – Entendendo Fisicamente a Energia Potencial Elétrica 36 
 5 – O Referencial da Energia Potencial Elétrica 39 
 6 – Energia Potencial Elétrica de um Sistema de Partículas 40 
 7 – Número de Ligações elétricas num Sistema de Partículas 41 
 8 – Energia Potencial de uma Partícula do Sistema 41 
 9 – O Conceito de Potencial 42 
10 – Cálculo do Potencial Elétrico num Campo Criado por uma Partícula Eletrizada 43 
11 – Potencial num Ponto Causado por Duas ou Mais Partículas 45 
12 – Equipotenciais 46 
13 – Trabalho em Superfícies Eqüipotenciais 46 
14 – Propriedades do Campo Elétrico 46 
15 – Espontaneidade e Trabalho 47 
16 – Partícula Abandonada num Campo Elétrico 47 
17 – Trajetória da Carga 47 
18 – Diferença de Potencial Entre Dois Pontos 48 
19 – Campo Elétrico do Condutor Esférico 48 
20 – Cálculo do Campo Elétrico Causado por Distribuições Esféricas de Cargas 49 
21 –Campo Elétrico no interior de uma Esfera isolante 51 
22 – Potencial Criado por um Condutor Eletrizado de qualquer formato 52 
23 – Potencial Criado por um Condutor Esférico Isolado 53 
24 – Condutores Esféricos Ligados entre Si 53 
25 – O Potencial Elétrico da Terra 54 
26 – O Pára-Raios 55 
27 – Cálculo do Potencial Elétrico de uma Esfera Não-Isolada (induzida) 55 
28 – Blindagem Eletrostática 57 
29 – Entendendo Matematicamente o Poder das Pontas 57 
 - Pensando em classe 58 
 - Pensando em casa 65 
 - Hora de Revisar 73 
 
Capítulo 15 – Circuitos Elétricos 
 1 - O Divisor de Corrente Simples 75 
 2 - O Divisor de Corrente Composto 76 
 3 - Cálculo de Diferenças de Potencial em Circuitos 76 
 4 - Método Renato Brito para Simplificação de Circuitos Elétricos 77 
 5 - Equivalência entre Elementos Lineares 77 
 6 - Interpretando o Coeficiente Angular da Característica 78 
 7 - Interpretando a Corrente de Curto-Circuito icc na Curva Característica 78 
 - Pensando em classe 84 
 - Pensando em casa 90 
 - Hora de Revisar 99 
 
Capítulo 16 – Capacitores 
1 – Introdução 102 
2 – Visão geral de um Capacitor 1023 – Estudo do Capacitor Plano 102 
4 – Rigidez Dielétrica 104 
5 – Energia Armazenada no Capacitor 104 
6 – Associação de Capacitores 104 
7 – Circuito R-C Paralelo 105 
8 – Circuito R-C série - Como um capacitor se carrega ? 106 
9 – Associação de Dielétricos 106 
 - Pensando em classe 108 
 - Pensando em casa 111 
 - Hora de Revisar 115 
 
 
Capítulo 17 – Interações entre Cargas Elétricas e campos Magnéticos 
1 – Ímãs 121 
2 – O Campo Magnético 121 
3 – O Campo Magnético da Terra 122 
4 – Campo Magnético Uniforme 123 
5 – Ação do Campo magnético Sobre uma Agulha Imantada 124 
6 – Ação do Campo magnético Sobre Cargas Elétricas 124 
7 – Orientação da Força Magnética Fm 124 
8 – Trajetória de Cargas Elétricas em Movimento em Campos Magnéticos Uniformes 125 
9 – O Filtro de Velocidades 127 
10 – O Espectrômetro de Massa 128 
11 – O Trabalho Realizado pela Força Magnética 128 
12 – Trajetória de Cargas Elétricas em Movimento em Campo Magnético B não-Uniforme 129 
13 – Leitura Complementar: Os Aceleradores de Partículas 130 
 - Pensando em classe 133 
 - Pensando em casa 138 
 - Hora de Revisar 145 
 
Capítulo 18 – Campo Magnéticos Gerados por Correntes Elétricas 
1 – A Corrente Elétrica é Fonte de Campo Magnético 147 
2 – Campo Gerado por Corrente Retilínea 147 
3 – Campo Gerado por Corrente Circular (Espira Circular) 148 
4 – Campo Magnético Gerado por um solenóide 149 
5 – Influência da Permeabilidade  Magnética do Meio 150 
6 – Força Magnética Sobre Correntes Elétricas 150 
7 – Aplicações de Forças Magnéticas Agindo Sobre Correntes Elétricas 151 
8 – Forças Magnéticas entre dois Condutores Retilíneos e Paralelos 154 
9 – A Definição do Ampère 154 
 - Pensando em classe 155 
 - Pensando em casa 
 
 
161 
 
Capítulo 19 – Magnetismo Indução Eletromagnética 
1 – A Grande Descoberta 167 
2 – Fluxo do Campo Magnético (  ) 167 
3 – Variação do Fluxo de Indução 168 
4 – Indução Eletromagnética 168 
5 – Lei de Lenz e o sentido da corrente induzida (Princípio da Conservação da Energia) 170 
6 – Lei de Faraday-Neumann 171 
7 – A Força Eletromotriz (Fem) de Movimento 173 
8 – A Fem  (volts) de Movimento – Com Base na Lei de Faraday 174 
9 – Análise Energética do Processo 175 
10 – Correntes de Foucault e os Freios Magnéticos 177 
11 – O Transformador 178 
 - Pensando em classe 180 
 - Pensando em casa 185 
 - Hora de Revisar 191 
 
Capítulo 20 – Movimento Harmônico Simples 
 1 – Introdução 193 
 2 – MHS 193 
 3 – Oscilador Harmônico 193 
 4 – Energia Mecânica no MHS 194 
 5 – Relação entre o MHS e o MCU 195 
 6 – Funções Horárias 195 
 7 – Diagramas Horários 196 
 8 – Período (T) e Constante Elástica (k) 196 
 9 – Associação de Molas 196 
 - Pensando em Classe 198 
 - Pensando em Casa 202 
 - Hora de Revisar 207 
 
Capítulo 21 – O N D A S 
 1 – Introdução 209 
 2 – Ondas 209 
 3 – Natureza das Ondas 210 
 4 – Tipos e Classificações das Ondas 210 
 5 – Velocidade e Comprimento de Onda 211 
 6 – Função de Onda 212 
 7 – Fenômenos Ondulatórios 213 
 8 – Ondas unidimensionais 214 
 9 – Ondas Estacionárias 216 
10– Ondas bidimensionais 217 
11– A Experiência de Young da Dupla Fenda 222 
12– Ondas tridimensionais 223 
13– Velocidade do Som 224 
14– Altura, Intensidade e Timbre 224 
15– Freqüências Naturais e Ressonâncias 225 
16– Cordas vibrantes 226 
17– Tubos Sonoros 228 
18– Efeito Doppler 229 
 - Pensando em classe 232 
 - Pensando em casa 242 
 - Hora de Revisar 255 
 
Capítulo 22 – Física Moderna – Parte 1 (Noções de Física Quântica) 
 1 – Uma Visão Geral Sobre a História da Física Quântica 259 
 2 – O mundo Quântico 260 
 3 – Max Planck e o Estudo do Corpo Negro 260 
 4 – O Efeito Fotoelétrico 261 
 5 – O estudo Experimental do Efeito Fotoelétrico 262 
 6 – Conflitos com a Física Clássica 262 
 7 – A Explicação de Einstein para o Efeito Fotoelétrico 262 
 8 – O Efeito Fotoelétrico na Prática 263 
 9 – Observações e Conclusões 264 
10 – A Dualidade da Luz 265 
11 – Unidade Prática de Energia: o elétron-volt (eV) 265 
12 – O átomo 265 
13 – O modelo atômico de Bohr 266 
14 – Transições Eletrônicas Causadas por Incidência de Radiação Eletromagnética 267 
 - Pensando em classe 268 
 - Pensando em casa 271 
 
 Complementos Finais (Termologia, Análise Dimensional) 279 
 Lista de Revisão Geral com Gabarito 285 
 GABARITO COMENTADO – Questões de Casa 338 
 
Calendário de Todas as Aulas – 2º Semestre – Anual 2014 379 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Charles Chaplin - Albert Einstein 
 
 
 
 
 
"Não faças do amanhã o sinônimo de nunca, nem o ontem te seja 
o mesmo que nunca mais. Teus passos ficaram. Olhes para trás ... 
mas siga em frente pois há muitos que precisam que chegues para 
poderem seguir-te." 
 
Charles Spencer Chaplin 
Renato 
Brito
 
Simétrico Pré-Universitário – Turma Saúde 10 – Especialista em Medicina ou Odontologia – www.simetrico.com.br - www.fisicaju.com.br 
1 – Introdução 
A teoria atômica avançou bastante nesses últimos séculos e, 
atualmente, sabe-se que a matéria é constituída basicamente 
de três partículas elementares: os prótons, os nêutrons e os 
elétrons. 
A rigor, mais de 200 partículas subatômicas já foram 
detectadas. Os prótons, por exemplo, assim como os nêutrons, 
ainda são formados por partículas menores: os “quarks”. No 
entanto, para as propriedades que estudaremos, é suficiente o 
conhecimento apenas dos prótons, nêutrons e elétrons . 
Experimentalmente, comprovou-se que os nêutrons não têm 
a propriedade denominada “carga elétrica”, sendo essa 
propriedade um privilégio exclusivo dos prótons e elétrons. A 
massa e a carga elétrica relativa dessas partículas são expressas 
na tabela abaixo: 
 
Partícula Massa 
Relativa 
Carga 
Relativa 
Localização 
Prótons 1836 +1 Núcleo 
Nêutrons 1836 0 Núcleo 
Elétrons 1 - 1 Eletrosfera 
 
Observe que embora prótons e elétrons tenham massas bem 
diferentes, apresentam a mesma quantidade de carga elétrica em 
módulo. 
A carga de um próton ou de um elétron, em módulo, é 
denominada carga elétrica elementar , por ser a menor quantidade 
de carga elétrica existente na natureza, sendo representada por e. 
A grandeza carga elétrica, no Sistema Internacional de Unidades 
(SI) , é medida em coulombs (c). 
É importante ressaltar que os prótons e nêutrons estão 
firmemente presos ao núcleo, portanto sem nenhuma chance de 
movimentar pela estrutura. Só os elétrons, especialmente os das 
camadas eletrônicas mais externas, possuem mobilidade para 
“abandonar” a estrutura atômica. Assim, um corpo se eletriza 
sempre pela perda ou ganho de elétrons. 
Eletricamente falando, existem três estados possíveis para 
um corpo : 
1. Neutro: um corpo encontra-se neutro quando a quantidade de 
cargas negativas (elétrons) em sua estrutura for igual à 
quantidade de cargas positivas (prótons) na mesma. 
Pensei que um corpo
fosse neutro quando não
tivesse cargas ?
 
Não, amigo Nestor. O correto é afirmar que um corpo está neutro 
quando não tem cargas em excesso. 
Um corpo, ainda que esteja eletricamente neutro, sempre 
conterá uma quantidade enorme e igual de prótons (portadores de 
carga positiva) e elétrons (portadores de caga negativa) em sua 
estrutura, de tal forma a cancelarem suas cargas positivas e 
negativas elétricas, garantindo a eletroneutralidade. 
A maioria dos corpos, no nosso dia-a-dia, encontra-se 
eletricamente neutro. 
2. Corpo eletrizado positivamente: um corpo encontra-se nesse 
estado quanto tiver uma quantidade maior de prótons do que de 
elétrons. 
Ah ! Já sei !
Então é porque
ele ganhou
prótons, né ?
 
 
Impossível, amigo Nestor ! Um corpo nunca ganhará ou 
perderá prótons, pois essas partículas encontram-se 
enclausuradas no núcleo dos átomos, sem chances de se 
locomover, conforme dito anteriormente. 
Se um corpo encontra-seeletrizado positivamente, é porque 
perdeu elétrons para um outro corpo, por algum motivo. Tendo 
perdido elétrons, ficará com mais prótons que elétrons. A partir 
desse ponto, sempre que falarmos de carga elétrica, estamos 
nos referindo à carga elétrica em excesso ou em falta no corpo. 
Um corpo, inicialmente neutro, ao perder n elétrons de sua 
estrutura, adquirirá uma carga positiva: 
 
Q = + n. e 
 
onde e é a carga elementar, dada por e = 1,6.10–19 C . 
 
3. Corpo eletrizado negativamente: para finalizar, um corpo 
encontra-se eletrizado negativamente, quando tiver um excesso 
de cargas negativas, ou seja, se tiver recebido elétrons de 
outro corpo, por algum motivo. 
Um corpo, inicialmente neutro, ao ganhar n elétrons , adquirirá 
uma carga negativa: 
 
Q = – n. e 
 
onde e é a carga elementar, dada por e = 1,6.10–19 c . 
Em síntese, a carga elétrica de um corpo eletrizado é 
conseqüência do desequilíbrio da quantidade de prótons e elétrons 
total na estrutura desse corpo. Pela perda ou ganho de n elétrons, 
um corpo inicialmente neutro adquirirá a carga: 
 
Q = ± n. e 
 
Do exposto acima, vemos que a carga elétrica adquirida por 
qualquer corpo eletrizado é sempre um múltiplo inteiro da carga 
elementar e. Dizemos que a carga elétrica é quantizada. 
Isso significa que sua intensidade não pode assumir qualquer 
valor numérico real, mas apenas os valores 
 e,  2e,  3e, ...,  ne, onde n é um número inteiro. Esse 
resultado acima foi comprovado por Millikan, em 1910, na famosa 
experiência das “gotas de óleo”. Na verdade, a título de 
curiosidade, existem “quarks” com cargas elétricas 1/3e e 2/3e, 
contrariando a denominação de “carga elementar” para a carga de 
um próton, entretanto, esse fato foge do conteúdo da Física 
clássica. 
 
2 – Princípios da Eletrostática 
A eletrostática estuda a interação entre cargas elétricas em corpos 
em equilíbrio eletrostático, isto é, em corpos onde as cargas estão 
distribuídas em equilíbrio e qualquer movimento de cargas é 
decorrente exclusivamente da “agitação térmica” do corpo. A 
eletrostática baseia-se em 2 princípios: 
Capítu lo 12 
Cargas Elétr icas 
 
Simétrico Pré-Universitário – Há 23 anos ensinando com excelência os estudantes cearenses – www.simétrico.com.br 
2 
 
 Princípio da atração e da repulsão 
 
Partículas eletrizadas com cargas de sinais opostos se atraem, 
enquanto partículas com cargas de sinais iguais se repelem. 
Esquematicamente: 
F F
FF
F F
 
Adiante, aprenderemos que corpos eletricamente neutros 
também são atraídos por corpos eletrizados. 
 
 
 
 
 
 
 Princípio da conservação das cargas elétricas 
 
Seja um sistema eletricamente isolado, isto é, um sistema que não 
troca cargas elétricas com o meio exterior. O princípio da 
conservação da carga elétrica diz que “a soma algébrica das 
cargas elétricas existentes num sistema eletricamente isolado 
permanece constante”. Exemplo: 
 
 
 
Fronteira do sistema
 
 Situação inicial Situação final 
 
 
Vemos acima um sistema eletricamente isolado. Após sucessivos 
contatos entre seus componentes, notamos apenas uma 
redistribuição da carga elétrica do sistema, já que: 
Carga inicial = + 5q + (- 2q) + 0 = + 3q 
Carga final = + 2q + (- 2q) + (+ 3q) = + 3q 
Notamos, então, que a quantidade de carga elétrica do sistema 
permanece constante, já que a fronteira do sistema não permite 
passagem de carga em nenhum sentido. 
 
3 – Condutores e Isolantes 
Denominamos condutores elétricos os materiais que contêm 
portadores de cargas elétricas e que permitem o “livre” movimento 
desses portadores pela sua estrutura. Dizemos que os portadores 
de cargas precisam ter boa mobilidade, como os elétrons de 
valência nos metais e na grafite, como os íons dissociados em 
soluções eletrolíticas (água + sal), como moléculas ionizadas nos 
gases de lâmpadas fluorescentes etc. 
Em oposição, um corpo é denominado isolante elétrico (ou 
dielétrico) quando satisfaz uma das condições abaixo: 
I. O corpo não possui portadores de cargas elétricas, como íons, 
elétrons de condução etc. É o caso da borracha, madeira, giz, 
dentre outros. 
II. O corpo possui portadores de cargas elétricas, mas esses 
portadores não conseguem se deslocar pela estrutura, 
provendo a condução elétrica, por estarem fixos, presos à 
mesma. Dizemos que os portadores não têm mobilidade. Ë o 
caso dos sais no estado sólido. 
O sal NaCl, por exemplo, quando no estado sólido, possui íons 
Na
+
 e Cl

 presos numa rede cristalina, sem nenhuma mobilidade, 
constituindo um isolante elétrico. Entretanto, quando esse sal é 
dissolvido em água, a rede cristalina se desfaz e os íons adquirem 
mobilidade, passando a conduzir corrente elétrica. Outros 
exemplos de isolantes são ar, água pura, vidro, borracha, cera, 
plástico, madeira, etc. 
 
4 – Processos de Eletrização 
Eletrizar um corpo significa ceder ou retirar elétrons de sua 
estrutura de forma a provocar na mesma o aparecimento de cargas 
positivas (falta de elétrons) ou cargas negativas (excesso de 
elétrons) . 
Tanto um condutor quanto um isolante podem ser eletrizados. A 
única diferença é que nos isolantes a carga elétrica adquirida 
permanece na região onde se deu o processo de eletrização, não 
conseguindo se espalhar devido à baixa mobilidade. Nos 
condutores essa carga busca uma situação de equilíbrio, de 
mínima repulsão elétrica, distribuindo-se completamente em sua 
superfície externa. 
 
Num condutor em equilíbrio eletrostático, a carga elétrica em seu 
interior é sempre nula. 
 
 
Os processos de eletrização mais comuns são: 
 
1o processo: por atrito de materiais diferentes 
Este é o primeiro processo de 
eletrização conhecido pelo homem. 
Atritando-se, por exemplo, seda a 
um bastão de vidro, constata-se 
que o vidro adquire cargas 
positivas, cedendo elétrons para a 
seda, que adquire cargas 
negativas. Os materiais atritados 
sempre adquirem cargas iguais de 
sinais opostos. Este processo é 
mais eficiente na eletrização de 
materiais isolantes que 
condutores. 
Para entendermos a eletrização por contato, é fundamental 
termos em mente duas características importantes do equilíbrio 
eletrostático: 
I. Em qualquer condutor, as cargas em excesso se dispõem na 
superfície externa de tal forma a minimizar a repulsão entre as 
mesmas. Num condutor esférico, por exemplo, dada a sua 
perfeita simetria, as cargas se espalham homogeneamente por 
toda sua superfície mais externa a fim de minimizar as repulsões 
mútuas: 
 
 
Simétrico Pré-Universitário – Há 23 anos ensinando com excelência os estudantes cearenses – www.simétrico.com.br 
 3 
II. Em condutores não esféricos, observa-se que as cargas se 
concentram preferencialmente nas regiões mais extremas e 
pontiagudas, a fim de minimizar as repulsões mútuas. A essa 
propriedade dá-se o nome de Poder das Pontas que 
aprenderemos com detalhes na página 57. 
 
Agora o aluno está apto a compreender, sem dificuldades, como 
acontece a eletrização por contato. 
 
2o processo: Eletrização por contato 
Trata-se de um processo de eletrização que funciona melhor entre 
materiais condutores, embora também ocorra com isolantes. 
Considere as esferas condutoras abaixo: uma negativa e a outra 
neutra. 
-12
 
Ao encostarmos as esferas entre si, para os elétrons em excesso, 
tudo se passa como se houvesse apenas um único condutor com 
o formato estranho a seguir: 
-12
 
As cargas, então, se espalham na superfície desse “novo” 
condutor assim formado, mais uma vez buscando minimizar as 
repulsões mútuas. 
-8
-4
 
 
Como o “novo condutor” não tem formato esférico, no equilíbrio 
eletrostático as cargas se concentram nas regiões mais extremas. 
Tudo o que foi descrito acima acontece num piscar de olhos. 
 
Finalmente, separando-se os condutores, cada um manterá sua 
carga adquirida após o contato: 
 
-8 -4
 
Sobre o processo anterior, dois fatos importantes devem ser 
enfatizados : 
I. Houve conservaçãoda carga total do sistema, como era de se 
esperar: 
Carga inicial = –12 = (–8) + (–4) = Carga final 
II. As cargas elétricas se distribuíram proporcionalmente aos raios 
das esferas. A esfera maior adquiriu o dobro das cargas da 
esfera menor, por ter o dobro do raio desta. 
Se, porventura, a eletrização por contato se desse entre materiais 
não condutores, a troca de cargas limitar-se-ia a uma região 
elementar em torno do ponto de contato. 
A B
++
+
+
+ +
+
+
++
+
 
Eletrização por contato. O corpo B é de material não-condutor. A troca de cargas se 
limita à região destacada. 
 
 
Contato entre condutores idênticos 
Há um caso particular que merece nossa atenção: é aquele em que 
os corpos são esferas metálicas de mesmo raio. Durante o contato, 
o excesso de cargas distribui-se igualmente pelas duas superfícies 
esféricas. Assim, após o contato, cada um deles estará com 
metade da carga inicial. 
 Antes: 
 
 carga: Q neutra 
Durante: 
 
 Depois: 
 
 carga: Q/2 carga: Q/2 
 
De uma forma geral, se as esferas, antes do contato, tiverem carga 
inicial Qa e Qb, respectivamente, cada uma delas, após o contato, 
apresentará em sua superfície a metade da carga total do sistema: 
 Antes: 
 
 carga: Qa = +8 carga: Qb = +4 
 
Durante: 
 
 
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4 
 
 
 Depois: 
 
a b
final A final B
Q Q 8 4
Q Q = 6
2 2
 
    
Perceba que, mais uma vez, houve conservação da carga total do 
sistema: 
Carga inicial = 8 + 4 = 6 + 6 = Carga final 
 
Exemplo Resolvido 1 
Três esferas condutoras de raios R, 2R e 3R estão eletrizadas, 
respectivamente, com cargas + 20q, + 10q e –6q. Fazendo um 
contato simultâneo entre essas esferas e separando-as, pede-se 
determinar as cargas adquiridas por cada esfera ao final do 
processo. 
R
2R
3R
+ 20q + 10q - 6q
Configuração inicial
 
Solução: Quando esferas condutoras são colocadas em contato, 
as suas cargas se dividem proporcionalmente aos seus raios. O 
motivo disso só será compreendido no capítulo de Potencial 
Elétrico. Adicionalmente, a conservação da carga elétrica precisa 
ser satisfeita. Assim: 
R
2R
3R
x 2x 3x
Configuração Final
 
Soma das cargas antes = soma das cargas depois 
x + 2x + 3x = + 20q + 10q – 6q 
6x = +24q  x = +4q 
Assim, as cargas finais adquiridas pelas esferas são, 
respectivamente, 1x = +4q, 2x = +8q e 3x = +12q 
 
Contato entre um condutor e a Terra 
Para fins de eletricidade, o nosso planeta terra é suposto tendo as 
seguintes características: 
 É uma esfera condutora ; 
 É admitida neutra, por convenção, apesar de estar eletrizada 
negativamente devido ao constante bombardeio de raios 
cósmicos. 
 De raio infinito, comparado às dimensões dos objetos do 
dia-a-dia. 
Além disso, vimos nas últimas secções que, ao encostarmos duas 
esferas condutoras entre si, a carga total do sistema se divide 
entre as esferas, proporcionalmente aos seus raios. ou seja, quem 
tiver o maior raio, adquirirá a maior parte da carga total do sistema. 
Assim sendo, o que
acontecereria se
encostassémos uma
esfera condutora
eletrizada negativamente,
por exemplo, na esfera
terrestre ?
Esfera condutora
terrestre
pequena
esfera
condutora 
Uma eletrização por contato pouco fraterna, como mostra o 
exemplo a seguir. 
 
Exemplo Resolvido 2 
Uma pequena esfera condutora de raio r, eletrizada com carga q, 
e uma gigante esfera condutora (Terra) de raio R, eletrizada com 
carga Q, serão postas em contato mútuo e separadas em 
seguida. Determine as cargas elétricas finais Q’ e q’ adquiridas 
por carga esfera, admitindo que R seja muuuuuito maior que r. 
r R
q Q
Configuração Inicial
 
Solução: Quando esferas condutoras são colocadas em contato, 
as suas cargas se dividem proporcionalmente aos seus raios, por 
isso, afirmamos que as cargas finais das esferas podem ser dadas 
por q’ e Q’ diretamente proporcionais aos respectivos raios das 
esferas: 
q' Q'
 
r R
 
Adicionalmente, a conservação da carga elétrica precisa ser 
satisfeita. Assim: Q’ + q’ = Q + q 
r R
q' Q’
Configuração Final
 
Assim, temos um sistema de duas equações e duas incógnitas Q’ 
e q’. Para resolver o sistema, faremos uso de uma propriedade 
bastante útil das proporções que é usada como atalho. Veja: 
Se 
2
1
6
3
 então 
2
1
6
3
 = 
26
13
26
13





; 
Assim, pelo mesmo motivo, podemos escrever: 
q' Q' q' Q '
 
r R R r

 

 
Alegando a conservação da carga elétrica total do sistema 
(Q’ + q’ = Q + q), temos: 
q' Q' q' Q ' q Q
 
r R R r R r
 
  
 
 
 
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Assim, da expressão anterior, podemos determinar as cargas 
finais Q’ e q’ adquiridas pelas esferas : 
 
r R
Qq
r R
'Q 'q
R
Q'
 
r
'q





 )qQ.(
rR
r
 ' q 


 
 
r R
Qq
r R
'Q 'q
R
Q'
 
r
'q





 )qQ.(
rR
R
 ' Q 


 
 
No limite, lembrando que R é infinitamente maior que r (o raio da 
Terra R = 6400 km é muito maior que o raio de uma bolinha 
comum do dia-a-dia r = 10 cm), podemos fazer as seguintes 
aproximações: 
R + r  R e 0 
R
r
 substituindo, vem: 
q' = )qQ.(
rR
r


  0 . (Q+q)  0  q’ = 0 
Q' = )qQ.(
rR
R


  )qQ.(
R
R
  Q + q  Q ' = Q + q 
 
Assim, percebemos matematicamente o que ocorre quando um 
corpo é ligado ao planeta Terra (que age como uma esfera 
condutora de raio R infinitamente maior que o de qualquer esfera 
comum): ao final, a carga total do sistema é transferida para a 
Terra, ficando a bolinha com carga final nula, isto é, neutra. 
Quando um corpo não está sofrendo indução elétrica devido à 
presença de outros corpos eletrizados na sua vizinhança, dizemos 
que ele encontra-se isolado eletricamente. 
Todo corpo isolado eletricamente tem seu excesso de carga 
elétrica neutralizado, quando ligado à Terra, isto é, passa a ser 
neutro. 
Mas não é, Claudete !
Afff...mostrei
matematicamente
Que legal ! Parece
mágica, profinho!
 
Todo condutor isolado (ou seja, que não esteja sofrendo indução) 
tem suas cargas neutralizadas ao ser ligado à Terra. 
 
Se o corpo estiver sofrendo indução elétrica ao ser ligado à Terra, 
ele não será neutralizado. Estudaremos indução eletrostática 
adiante. 
 
 
e -
 
 
Quando um corpo isolado eletricamente (isto é, que não está 
sofrendo indução) e eletrizado negativamente é ligado à Terra 
(uma esfera condutora de raio infinito), os elétrons em excesso do 
referido corpo escoam para a Terra até neutralização da carga 
elétrica do corpo. 
Se o condutor fosse positivo, elétrons subiriam da Terra em 
quantidade suficiente para compensar a carga positiva do 
condutor (falta de elétrons) . 
 
3o processo: Eletrização por Indução 
 
Denomina-se indução eletrostática o fenômeno da separação de 
cargas que ocorre na superfície de um condutor quando colocado 
próximo de um corpo eletrizado. 
Dependendo do seu sinal, o corpo eletrizado deforma o “mar 
de elétrons” da superfície do condutor, atraindo-o ou repelindo-o, 
de tal forma a provocar (induzir) o aparecimento de cargas elétricas 
nos extremos do condutor: 
Contudo, após a ocorrência da indução eletrostática, a carga 
total do corpo metálico permanece inalterada, já que não houve 
nenhum contato entre os corpos e, portanto, nenhuma troca de 
cargas entre estes. 
bastão positivo
condutor neutro
 
A presença do bastão positivo nas proximidades do condutor neutro “deforma” seu 
“mar de elétrons”, atraindo seus elétrons para a extremidade mais próxima do 
bastão. A extremidade oposta,com falta de elétrons, adquire cargas positivas. 
Contudo, o condutor permanece neutro, pois a soma de suas cargas ainda é 
nula: +4 + (–4) = 0. 
 
Ainda assim, podemos tirar proveito dessa separação de cargas 
(indução de cargas) ocorrida no condutor a fim de eletrizá-lo 
definitivamente. Veja esquematicamente: 
 
 (eletrizado) (neutro) 
 
Inicialmente A e B estão longe uma da outra. 
 
 
 (indutor) (induzido) 
 
 
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Aproximando-se A de B ocorre a indução eletrostática. 
 
 
O induzido é ligado à Terra em presença do indutor. 
 
 
Elétrons neutralizaram a região direita do induzido. 
 
 
Em presença do indutor é retirado o fio-terra 
 
 
Agora, isolado, o induzido está negativo. 
 
Comentários Finais sobre Indução : 
1) Quando o induzido é ligado à terra, as cargas que serão 
neutralizadas são sempre as cargas do induzido mais afastadas 
do indutor; 
2) A partir do instante em que ocorre a indução eletrostática, 
indutor e induzido se atraem mutuamente. 
Puxa, mas como é
possível uma atração
se um dos metais
encontra-se neutro ?
 
 
bastão positivo
condutor neutro
F
1F2
 
Para entender esse fato, Nestor, perceba que a presença do 
bastão positivo provoca nos extremo do condutor duas forças F1 e 
F2, respectivamente atrativa e repulsiva. O efeito atrativo prevalece 
sobre o repulsivo ( F1 > F2 ) pelo fato de que o bastão positivo 
está mais próximo do extremo direito do condutor. Assim, o efeito 
global do bastão positivo sobre o condutor neutro é atrativo. 
Do exposto anteriormente, podemos concluir que, se dois corpos 
se atraem mutuamente, existem três possibilidades para seus 
estados de eletrização: 
ATRAÇÃO 
+  
+ N 
 N 
Um fato interessante é que, ao contrário do que muitas pessoas 
pensam, se dois corpos se atraem, eles não precisam, 
necessariamente ter cargas de sinais contrários. Na verdade, um 
deles pode até estar neutro. Essa novidade só vale para corpos, 
não vale para partículas. Prótons e nêutrons (por exemplo) nunca 
vão se atrair eletricamente. Neutrons não têm como sofrer indução, 
afinal, nêutrons não têm elétrons rrssrsrr . 
Para haver repulsão entre dois corpos, de fato, os corpos 
precisam, necessariamente, estar eletrizados com cargas de 
mesmo sinal: 
REPULSÃO 
+ + 
  
3) Ao final do processo de eletrização por indução, o induzido 
adquire sempre carga de sinal oposto ao da carga do indutor. A 
seguir temos um exemplo de indução, utilizando indutor com 
cargas negativas: 
 
O induzido é ligado à Terra, em presença do indutor. 
 
 
Com a descida de elétrons ficou neutra a região direita do induzido. 
 
 
Em presença do indutor é retirado o fio-terra. 
 
 
Agora, isolado, o induzido está positivo. 
 
Qual a diferença entre Indução Parcial e Indução Total ? 
A figura a seguir mostra um condutor neutro que sofreu indução, 
devido à presença de um bastão eletrizado com carga +16q. 
Perceba que a carga induzida no condutor neutro é menor que a 
carga do indutor (corpo que provoca a indução), isto é, 
|16q| > | 4q| . 
 
 
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bastão
positivo
condutor
neutro +16q
+4q -4q
 
 
Quando o módulo da carga indutora é maior que o módulo da 
carga induzida, esse tipo de indução é denominado indução 
parcial. 
 
Indução Total- Considere um condutor oco, com carga total +Q, 
distribuída ao longo de sua superfície mais externa. 
 
Percebemos que a carga em sua superfície mais interna é nula. A 
seguir, introduziremos em seu interior uma pequena esfera com 
carga elétrica –q. Esta carga negativa induzirá uma carga +q de 
mesma intensidade, mas de sinal contrário, na superfície interna 
do condutor oco. 
 
A carga da superfície mais externa do condutor oco se altera, a 
fim de que a soma total de suas cargas continue inalterada: 
+q + ( Q – q ) = + Q. 
Esse tipo de indução é denominado indução total, pelo fato de que 
a carga induzida tem a mesma intensidade da carga indutora, 
ainda que de sinal contrário 
A indução total só ocorre quando todas as linhas de força que 
nascem no indutor terminam no induzido, e vice-versa. Nesse 
caso a carga induzida é igual à carga indutora em módulo, 
conforme figura acima. Induções desse tipo acontecem, por 
exemplo, quando um condutor encontra-se no interior do outro. A 
indução que ocorre entre as placas de um capacitor também é 
considerada total. Detalhes sobre linha de força e indução serão 
estudados adiante. 
 
5 - Eletroscópio 
Para saber se determinado corpo está ou não eletrizado, sem 
alterar sua possível carga, usamos um aparelho denominado 
eletroscópio. Os mais utilizados são o pêndulo eletrostático e o 
pêndulo de folhas. Abaixo está exemplificado como utilizar cada 
um deles: 
 
Usando o pêndulo eletrostático 
 
1º pergunta: Como saber se um corpo encontra-se eletrizado ou 
neutro ? 
Resposta: Usando o eletroscópio inicialmente neutro e testando se 
ocorre ou não indução eletrostática e, consequentemente, atração 
eletrostática devido às cargas induzidas, veja: 
 
Suporte com fio isolante e pequena esfera leve inicialmente neutra. 
 
 
Condutor eletrizado com 
carga positiva – ocorre atração por 
indução 
Condutor eletrizado com 
carga negativa - ocorre atração por 
indução 
 
O esquema mostra que a aproximação de qualquer corpo 
eletrizado à esfera neutra do pêndulo provocará a atração da 
mesma, devido ao fenômeno da indução eletrostática. A esfera do 
pêndulo será atraída, independente do sinal da carga do corpo 
aproximado à mesma, como pode ser visto na figura. 
 
2º pergunta: Após notar a presença de cargas no corpo, como 
saber o sinal destas cargas? 
 
 
 
 
A seqüência mostra o procedimento do uso do pêndulo 
eletrostático, para se descobrir o sinal da carga elétrica de um 
corpo eletrizado. 
 
 I - Eletriza-se a esfera do pêndulo com carga de sinal 
conhecido. No exemplo, foi usada carga negativa. 
 II - A esfera do pêndulo já está eletrizada. 
 
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III - Se a esfera é repelida quando aproximamos dela um corpo 
eletrizado, podemos concluir que esse corpo está eletrizado 
com carga de sinal igual ao da esfera. Na figura, o corpo A 
possui carga elétrica negativa. 
IV - Se a esfera é atraída quando aproximamos dela um corpo, 
podemos concluir que esse corpo está eletrizado com carga 
de sinal oposto ao da esfera. Na figura, o corpo B possui 
carga elétrica positiva. 
 
Usando o Eletroscópio de Folhas 
 
1º pergunta: Como detectar a presença de cargas no corpo de 
prova ? 
Resposta: Usando o eletroscópio inicialmente neutro e testando se 
ocorre ou não indução eletrostática e, consequentemente, atração 
eletrostática devido às cargas induzidas, veja: 
 
 
Eletroscópio fora da 
influência de carga. 
Eletroscópio sob a 
influência de carga 
negativa. 
Eletroscópio sob a 
influência de carga 
positiva. 
2º pergunta: 
Como detectar o sinal da carga eventualmente presente? 
Resposta: Carregando o eletroscópio com carga de sinal 
conhecido previamente, veja: 
 
 
 I 
 
 
II 
 
 
 III 
 
 
 IV 
 
I - Eletriza-se o eletroscópio com carga de sinal conhecido. No 
exemplo, foi usada carga negativa, através da eletrização por 
indução. 
 
II - As folhas se afastam um pouco devido à repulsão, já que o 
eletroscópio encontra-se eletrizado. 
 
III - Se um bastão eletrizado negativamente for aproximado da 
esfera do eletroscópio, alguns elétrons serão repelidos a ponto 
de descer para as folhas, aumentando a repulsão entre estas. 
Tais folhas se afastam aindamais, devido ao aumento da 
repulsão entre elas. 
 
IV - Se, ao contrário, aproximarmos da esfera do eletroscópio um 
bastão eletrizado positivamente, alguns elétrons serão atraídos 
pelo bastão a ponto de subir até a esfera do eletroscópio, 
abandonando as folhas. Tais folhas, então, se aproximam 
devido à diminuição da repulsão entre elas. 
 
 
6 – Unidade de Carga Elétrica 
A Unidade de Carga Elétrica no sistema internacional é o Coulomb 
(C). Como 1 Coulomb é uma carga muito grande, na prática são 
muito utilizados os submúltiplos: 
mili = m = 103 
micro =  = 106 
nano = n = 109 
pico = p = 1012 
 
A carga elementar, expressa em Coulomb, vale e = 1,6 x10
19 C. 
 
7 – Lei de Coulomb 
Foi o francês Charles Augustin de Coulomb (1736-1806) quem 
descobriu, em 1785, a lei que rege as interações entre partículas 
eletrizadas. Recordemos que se deve entender por partículas os 
corpos de dimensões desprezíveis em comparação com as demais 
dimensões consideradas. A interação entre partículas eletrizadas 
manifesta-se através de forças de atração ou de repulsão, 
dependendo dos sinais das cargas. Esquematicamente: 
 
 F F
FF
F F
 
 
O enunciado da LEI DE COULOMB pode ser apresentado da 
seguinte forma: 
 
As forças de interação entre duas partículas eletrizadas possuem 
intensidades iguais e são sempre dirigidas segundo o segmento de 
reta que as une. Suas intensidades são diretamente proporcionais 
ao módulo do produto das cargas e inversamente proporcionais ao 
quadrado da distância entre as partículas. 
 
Sejam duas partículas eletrizadas com cargas Q e q, a uma 
distância d uma da outra. De acordo com a lei de Coulomb, a 
intensidade da força de interação (atração ou repulsão) entre as 
cargas é calculada por: 
F = K
|Q q|
d2
 
onde K é uma constante de proporcionalidade. 
 
 
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O valor da constante K (maiúsculo), denominada constante 
eletrostática, depende do meio em que as cargas elétricas se 
encontram. Essa constante K é definida, no SI, por: 
 4
1
=K 
sendo  a permissividade absoluta do meio onde as cargas se 
encontram. Como, em nosso estudo, de forma geral, o meio 
considerado é o vácuo, nesse dielétrico temos, no sistema SI ou 
MKS (metro, quilograma, segundo) : 
0
-12 -1 -2 28,85 . 10 N .m .C 
e, portanto, a constante eletrostática do vácuo no SI vale: 
K =
1
4 .
=
1
4 8,85 . 10
0
0
-12   .
 
-229
0 .CN.m10 . 9,0K  
É comum encontrar os termos permissividade relativa r ou 
constante dielétrica (representada por um k minúsculo), denomina-
ções referentes a uma mesma grandeza, definida pela relação: 
0
meio
r k=


  meio = k. o 
Assim, se a constante dielétrica de um meio vale k , significa que 
a sua permissividade elétrica meio é k vezes maior que a do 
vácuo o. A seguir, apresentamos uma tabela com os valores das 
permissividades relativas de alguns dielétricos. 
 
Meio Constante Dielétrica (k = r ) 
Vácuo 1,00000 
Ar 1,00054 
Água 80 
Papel 3,5 
Mica 5,4 
Âmbar 2,7 
Porcelana 6,0 
Vidro Pirex 4,5 
Baquelita 4,8 
Polietileno 2,3 
Teflon 2,1 
 
Por exemplo, a constante dielétrica da água vale k = r = 80, 
significa que a permissividade elétrica da água água é 80 vezes 
maior que a do vácuo (água = 80. o, veja as constantes 
dielétricas de vários meios na tabela). 
Sim, profinho,
mas isso é bom
ou ruim ?
 
Claudete, a expressão da Lei de Coulomb mostra que, a força 
elétrica entre duas cargas mergulhadas num meio, é inversamente 
proporcional à permissividade elétrica meio desse meio. Confira 
na expressão matemática a seguir: 
2meiomeio d
Q.q
K=F = 
2
meio d
q Q.
.
..4
1

 
 
Assim, como a permissividade elétrica da água é 80 vezes maior 
que a do vácuo, a força elétrica entre duas cargas Q e q 
mergulhadas na água é 80 vezes menor que quando elas estão no 
vácuo, separadas pela mesma distância de antes. 
O que faz o meio interferir na força elétrica entre cargas 
mergulhadas nele é um fenômeno chamado Polarização elétrica e 
será estudado na parte de campo elétrico, nas páginas 18 e 19 
(0 significado físico da permissividade elétrica ). 
 
8 - Apêndice: Noções de Equilíbrio Eletrostático. 
 
A idéia de Equilíbrio Eletrostático é fundamental em nosso curso e 
precisa ser bem entendida a fim de garantir um perfeito 
aprendizado.Para isso, recordemos um pouco as características 
dos metais. 
 
8.1) Os Metais 
 
As principais características dos metais são: 
 Quando neutros, possuem igual quantidade de prótons e 
elétrons. Tais prótons estão presos no núcleo atômico e não 
podem se deslocar pelo metal, sendo úteis apenas para manter 
a eletroneutralidade. 
 Possuem uma vasta nuvem de elétrons (da camada de 
valência) sobre sua superfície, o que explica o fato de serem 
excelentes condutores elétricos. 
 Os elétrons dessa nuvem não sofrem tanta atração do núcleo 
quanto os elétrons das camadas eletrônicas mais internas, 
portanto, facilmente podem passar de um metal para outro. 
 Devido a essa grande mobilidade dos elétrons de sua nuvem 
eletrônica, os metais podem facilmente perder elétrons (ficando 
eletrizado positivamente) ou ganhar elétrons (ficando eletrizado 
negativamente), eletrizando-se por contato e por indução. 
8.2) Metais em Equilíbrio Eletrostático 
 
Basicamente, dizemos que um metal está em equilíbrio 
eletrostático quando não há mais nenhum movimento ordenado de 
cargas quer em sua superfície, quer em seu interior. Apenas 
movimento aleatório de origem térmica que talvez só cesse no zero 
kelvin. 
 
Significa que tais cargas já se acomodaram de forma a minimizar 
as repulsões entre si e encontraram suas posições ideais de 
equilíbrio. 
 
A dificuldade do aluno, geralmente, é identificar, em cada caso, 
como as cargas se posicionam no equilíbrio eletrostático. 
Aprenderemos isso neste apêndice. 
 
8.3) Distribuição de cargas em condutores em 
equilíbrio eletrostático. 
 
Nesta secção, discutiremos como as cargas em excesso se 
distribuem em um metal, após atingido o equilíbrio eletrostático. 
1- Condutor eletrizado: Se um condutor eletrizado não tiver em 
seu interior uma cavidade contendo esferas ou partículas 
eletrizadas, toda sua carga se distribuirá em sua superfície mais 
externa. Não haverá nenhuma carga residual em seu interior, quer 
o condutor seja maciço ou oco. 
 
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Em sua superfície, haverá maior concentração de carga 
(C/ m2) nas regiões mais pontiagudas, conforme podemos notar 
na figura acima. 
8.4) Condutores eletrizados na presença de outros 
condutores também eletrizados: 
 
Primeiramente, consideraremos o caso em que ambos os corpos 
têm cargas de mesmo sinal. Nesse caso, tais cargas afastar-se-ão 
o máximo possível, sem deixar os respectivos condutores, é claro: 
 
 
Assim, distribuir-se-ão conforme a figura acima, independente-
mente dos corpos serem ocos ou maciços. 
 
No caso em que os corpos possuem cargas de sinais contrários, 
tais cargas aproximar-se-ão ao máximo, devido à atração entre 
elas: 
 
Nessa situação, tais corpos se atraem mutuamente. 
 
8.5) Condutor neutro na presença de condutor eletrizado: 
 
Ocorrerá o fenômeno da indução parcial, isto é, uma separação 
de cargas no corpo neutro: 
 
 
 Corpo eletrizado Corpo neutro 
 
Perceba que o corpo inicialmente neutro permanece neutro, 
mesmo após ter sofrido a indução, já que sua carga total continua 
nula. Além disso, suas cargas localizam-se apenas no seus 
extremos (v. figura). 
 
A presença do corpo neutro também influencia a distribuição de 
cargas no corpo eletrizado positivamente: as cargas positivas 
neste último estão levemente deslocadas para a direita (v. figura) , 
devido àatração que sofrem pelas cargas negativas do corpo 
induzido. 
Nessa situação, tais corpos se atraem mutuamente. 
8.6) Corpo eletrizado no interior de uma cavidade metálica: 
Seja a esfera metálica oca abaixo, 
eletrizada positivamente com carga 
+Q, inicialmente isolada. Conforme 
vimos anteriormente, toda sua carga 
permanecerá na sua superfície mais 
externa, enquanto não houver corpos 
eletrizados em seu interior que possam 
produzir indução e m sua superfície 
interna. 
 
Agora, colocaremos, no seu interior, uma pequena esfera 
eletrizada com carga -q: 
Mas prôfi, o sistema da
figura ao lado ainda não
atingiu o equilíbrio
eletrostático não, né ?
 
 
De fato, as cargas positivas sofrerão atração pelas cargas 
negativas da esfera interior, e parte delas se deslocará para a 
superfície interna da esfera oca, conforme a figura abaixo: 
Dizemos que a pequena esfera 
negativa induz na superfície 
interna da esfera maior uma 
carga de mesmo módulo da 
sua e sinal contrário (indução 
total). Assim, se a pequena 
esfera tem carga -q , esta 
induz na superfície interna da 
esfera oca uma carga 
exatamente +q. 
Mas prôfi, e o que acontece
com a carga da superfície
externa da esfera oca ?
 
Ora, como não houve contato entre as esferas, a carga total da 
esfera maior deve permanecer constante antes e após a indução. 
Dessa forma, a carga total da esfera oca, isto é, a soma das cargas 
de suas superfícies internas e externas, deve totalizar a carga +Q 
inicial. 
 
F 
F 
F 
F 
 
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 11 
Assim, a carga da superfície externa será Qq , que somada à 
carga +q da superfície interna , resultará +Q, que era a carga 
inicial da esfera oca. Perceba que estamos aqui aplicando o 
princípio de conservação da carga, motivados pelo fato de que os 
corpos permaneceram isolados entre si durante todo o fenômeno . 
É importante perceber que não haverá nenhuma carga presente 
na região sombreada da coroa circular da esfera oca 
(v. figura). Nessa esfera, obrigatoriamente, todas as cargas 
distribuir-se-ão apenas ou na sua superfície interna, ou na sua 
superfície externa. 
 
8.7) Corpo eletrizado no interior de uma cavidade metálica, 
em contato com a mesma: 
O que aconteceria com as cargas no sistema discutido 
anteriormente, se fosse feito contato entre as esferas, diretamente 
ou através de um fio condutor ? 
 
 
Ora, quando corpos metálicos são ligados entre si, para as cargas 
elétricas tudo se passa como se aqueles corpos agora 
constituíssem um único corpo metálico. Para onde vão todas as 
cargas num único corpo metálico em equilíbrio eletrostático ? 
 
Exatamente, vão para a superfície mais externa do novo condutor 
formado que, nesse caso, coincide com a superfície externa da 
esfera oca. Assim, a carga presente na superfície da esfera oca 
será: 
 (+q) + ( q) + (Qq) = Qq 
 
O que aconteceria se colocássemos uma
pequena esfera neutra no interior de
uma esfera metálica oca eletrizada e
fizéssemos contato entre elas através de
um fio condutor ?
 
 
Ora, Claudete está se referindo à figura acima: nenhuma carga 
passaria para a esfera interna, já que toda essa carga deseja ficar 
na superfície mais externa do novo condutor assim formado, 
conforme vimos anteriormente. Assim, a esfera interior 
permaneceria neutra . 
 
E se ligássemos à terra a
superfície da esfera oca
abaixo ?
 
 
 
Analogamente, as cargas +q da superfície interna da esfera oca 
estão “amarradas” às cargas -q da esfera menor, devido à uma 
forte atração proporcionada pela indução total. Assim, somente as 
cargas da superfície externa da esfera oca serão neutralizadas 
pela subida ou descida de elétrons da terra, dependendo do sinal 
da carga (Qq) dessa superfície. A configuração final, no equilíbrio 
eletrostático, será a seguinte: 
 
Note que já não há mais cargas na superfície externa da esfera 
maior. No cômputo geral, tal esfera apresenta-se eletrizada 
positivamente, após a ligação á terra . 
Afffff.... esse tal de 
equilíbrio eletrostático 
era só isso ?
Calminha, 
Claudete. Não é 
assim que se 
esfola um bode !
 
 
Na verdade, o conceito de equilíbrio eletrostático é mais amplo e 
traz consigo muitas conseqüências importantes, conforme veremos 
ao longo do curso de Eletrostática. 
 
Renato 
Brito
 
Simétrico Pré-Universitário – Turma Saúde 10 – Especialista em Medicina ou Odontologia – www.simetrico.com.br - www.fisicaju.com.br 
1 – Introdução 
A Lei de Coulomb nos diz que duas cargas pontuais exercem 
forças uma sobre a outra. Entretanto, a lei nada diz a respeito de 
como uma carga "sente" a presença distante da outra. Suponha 
que uma das cargas mova-se, subitamente, em direção à outra. 
De acordo com a Lei de Coulomb, a força sobre a segunda carga 
deve aumentar. Como a segunda carga 'sente' que a força 
exercida pela primeira deve aumentar ? Como a segunda carga 
"sente" que a primeira se moveu ? 
A chave para o entendimento desse tipo de comunicação entre 
cargas é o conceito de campo eletromagnético. Dizemos que a 
segunda carga 'sabe' que a primeira foi deslocada, através de 
uma perturbação do campo eletromagnético que atravessa o 
espaço entre elas com a velocidade da luz. Este conceito levou à 
percepção de que a luz é uma onda eletromagnética e que as 
ciências da Eletricidade, do Magnetismo e da Óptica devem ser 
reunidas num único corpo de conhecimento: o Eletromagnetismo. 
Entre as conseqüências práticas da idéia do campo 
eletromagnético estão a invenção do rádio, o desenvolvimento do 
radar e da televisão e um conhecimento amplo de instrumentos 
eletromagnéticos, como motores, geradores e transformadores. 
 
2 – Entendendo Como Um Campo de Forças atua 
No início, os físicos pensavam que a força que atuava entre as 
partículas eletricamente carregadas fosse uma interação direta e 
instantânea entre as cargas. Podemos representar essa “ação à 
distância” como: 
carga carga
 [eq-1] 
Atualmente, interpretamos o campo elétrico como um agente 
intermediário entre as cargas. Assim, a carga elétrica A cria um 
campo elétrico à sua volta, sugerido pelo sombreado na figura 1. 
Este campo atua sobre a carga B, transmitindo até ela a força 
ABF

 elétrica que A exerce em B . 
 
Figura 1 – A carga A causa um campo elétrico em todo o 
espaço à sua volta, que atua sobre a carga B, imersa nesse 
campo, transmitindo até ela a força elétrica atrativa FAB. 
 
Entretanto, como essa interação é perfeitamente simétrica, 
podemos inverter os papéis das cargas A e B. Isso significa que 
também podemos dizer que B é que cria um campo elétrico à sua 
volta, sugerido pelo sombreado na figura 2. Este campo atua 
sobre a carga A, transmitindo até ela a força elétrica BAF

que B 
exerce em A . 
 
Figura 2 – A carga B, por sua vez, causa um campo elétrico 
em todo o espaço à sua volta, que atua sobre a carga A, imersa 
nesse campo, transmitindo até ela a força elétrica atrativa FBA 
 
Note que, nas figuras 1 e 2, os campos elétricos criados pelas 
cargas A e B são diferentes, mas as forças que uma carga exerce 
sobre a outra são iguais em módulo e formam um par ação-reação, 
isto é, ABF

= – BAF

. 
Refletindo a respeito de como as cargas A e B exercem forças 
umas sobre as outras, vemos nossa tarefa dividida em duas partes: 
(1) o cálculo do campo criado por uma dada distribuição de cargas 
e (2) o cálculo da força que esse campo exercerá sobre uma carga 
nele colocada. Isto significa que, atualmente, raciocinamos em 
termos de: 
carga campo carga
 [eq-2] 
e não sob o ponto de vista da ação a distância entre as cargas, 
como sugeria [eq-1]. 
Um aspecto importantíssimo a ser salientado é o fato de que o 
campo causado por uma carga elétrica não age sobre ela mesma. 
Assim, na figura 1, o campo elétrico da carga A só atua sobre a 
carga B,ao passo que, na figura 2, o campo elétrico causado pela 
carga B só atua sobre a carga A. 
 
Ei, Renato Brito, mas por que
uma carga não sofre a ação
do campo causado por ela
mesma ? Seria tão legal !
 
Claudete, se isso ocorresse, a carga exerceria força sobre si 
mesma e aceleraria por conta própria, violando a lei da Inércia de 
Newton. 
Entretanto, caso uma terceira carga C fosse colocada na presença 
das cargas A e B (figura 3), ela sofreria, ao mesmo tempo, os 
campos elétricos devidos a A e B , ou seja, o campo resultante da 
superposição deles. 
Capítu lo 13 
Campo Elétr ico 
 
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 13 
 
Figura 3 – A carga C sofre a ação conjunta dos campos 
elétricos devidos a A e B e, logicamente, não sofre a ação 
do seu próprio campo. 
 
 
3 – Definição do Vetor Campo Elétrico 
Considere que o planeta Terra causa, num ponto A nas suas 
imediações, um campo gravitacional de intensidade g. Se uma 
massa m for colocada nesse ponto, ficará sujeita a uma força 
gravitacional P (peso). 
A
g
m
 
Sabemos que o campo gravitacional g pode ser dado por: 
m
P
 g


 
Analogamente, considere que uma carga elétrica fonte Q crie um 
campo elétrico em toda a região em torno de si. 
Q q
carga
fonte
carga de
prova
p
D
 
Seja um ponto P desse campo-elétrico a uma distância D da 
carga-fonte. Se uma carga de prova q fica sujeita a uma força Fe 
quando colocada no ponto P, dizemos que o campo elétrico 

E 
nesse ponto é dado por: 
q
F
 E e


 
Assim, percebemos que: 
 Uma massa m, quando imersa em um campo gravitacional g, 
sofre desse a ação de uma força gravitacional ( peso) dada por 
P = m.g; 
 Uma carga q, quando imersa em um campo elétrico E, sofre 
desse a ação de uma força elétrica ( Fe) dada por Fe = q.E. 
 
Puxa ! Tudo se passa como se a
força elétrica fosse uma espécie
de "peso elétrico" , a carga elétrica
fosse uma espécie de "massa
elétrica" e o campo elétrico fosse
como uma "gravidade elétrica" ?
 
Exatamente, Claudete ! A Mecânica e a eletricidade são 
perfeitamente análogas. 
 
4 – Características do Vetor Campo Elétrico 
 Módulo: E =
F
|q|
. O módulo ou intensidade do campo elétrico, no 
SI, é medido em N/C. 
 Direção: A mesma da força 

F . 
 
 Sentido: Afastamento em relação à carga-fonte, se esta for 
positiva; e aproximação se a carga-fonte for negativa. 
 
A figura abaixo ilustra a direção e o sentido do vetor campo-elétrico 
devido a uma carga-fonte +Q positiva: 
 
 
Figura 4 - A carga fonte +Q exerce uma força F atrativa sobre a carga de prova 
negativa –q ; e uma força repulsiva F sobre a carga de carga positiva +q . 
Independente do sinal da carga de prova q, o campo elétrico E causado pela carga 
fonte +Q diverge dela. 
 
 
A figura abaixo ilustra a direção e o sentido do vetor campo-elétrico 
devido a uma carga-fonte –Q negativa: 
 
 
Figura 5 - A carga fonte –Q exerce uma força F atrativa sobre a carga de prova 
positiva + q ; e uma força repulsiva F sobre a carga de carga negativa q . 
Independente do sinal da carga de prova q, o campo elétrico E causado pela carga 
fonte –Q converge para ela. 
 
Pelas ilustrações anteriores, podemos tirar algumas conclusões 
importantes: 
 
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 Cargas-fonte: o campo elétrico causado por cargas-fonte 
positivas +Q diverge delas, ao passo que o campo elétrico 
causado por cargas-fonte negativas –Q converge para elas, 
independente do sinal da carga de prova q. 
 Cargas de prova: As cargas de prova positivas +q sofrem força 
elétrica Fe na mesma direção e no mesmo sentido do campo 
elétrico E que age sobre elas (veja figura abaixo). As cargas de 
prova negativas –q sofrem força elétrica Fe na mesma direção e 
sentido oposto ao do campo elétrico E que age sobre elas, 
como mostra a figura abaixo: 
+q
E
Fe
 
-q
E
Fe
 
 
5 - Campo Elétrico gerado por uma Carga Puntiforme 
Consideremos, agora, o caso em que o campo elétrico é criado 
por uma partícula eletrizada com carga Q: 
E
d
P
Q +
E
d
P
Q - 
 
Para calcular o módulo do vetor campo elétrico num ponto P 
situado a uma distância d da carga fonte Q, imaginemos uma 
carga de prova q nesse ponto. Nessa carga de prova atua uma 
força, cuja intensidade é dada pela lei de Coulomb: 
 
F = K
|Q q|
d 2
 (I) 
 
O módulo do vetor campo elétrico é dado por: 
E =
F
|q|
 (II) 
Substituindo (I) em (II), obtemos: 
 
E = K
|Q|
d 2
 
 
Podemos observar, nessa expressão, que o módulo do vetor 
campo elétrico 

E depende de três fatores: 
 a carga elétrica Q, fonte do campo; 
 a distância d do ponto considerado à carga fonte Q; 
 o meio (recorde-se que K é a constante eletrostática que 
depende do meio). 
Observemos, porém, que o módulo de 

E não depende da carga 
de prova q. 
A representação gráfica do módulo do vetor campo 

E , em função 
da distância entre o ponto considerado e a carga fonte Q, é a 
curva mostrada na figura a seguir. Isso porque a variação de E 
ocorre com o inverso do quadrado da distância. 
 
E = K
|Q|
d 2
 
 
E
0 d
 
O gráfico representa o módulo do vetor campo E, 
criado por uma partícula eletrizada com carga Q, 
em função da distância d. 
 
É importante observar que, no ponto onde se encontra a carga 
fonte Q, o vetor campo elétrico devido a ela é nulo, em virtude da 
distribuição simétrica desse vetor em torno do ponto. Se isto não 
fosse verdade, Q poderia acelerar-se sob a ação de seu próprio 
campo, o que é absurdo: um corpo não pode, por si só, alterar sua 
velocidade (Princípio da Inércia). Assim, pode-se dizer que: 
 
 
Uma partícula eletrizada gera campo elétrico na região do espaço 
que a circunda, porém, no ponto onde foi colocada o vetor campo, 
devido à própria partícula, é nulo. 
 
 
Essa afirmativa leva-nos a concluir que uma carga de prova, ao ser 
colocada num ponto qualquer de um campo elétrico, não altera o 
campo existente nesse ponto. Assim, o vetor campo elétrico, num 
ponto, independe da carga de prova que possa existir ali. 
 
6 – Linhas de Força do Campo Elétrico 
As linhas de força do campo elétrico são uma representação gráfica 
desse campo. Michael Faraday (1791-1867) foi quem introduziu o 
conceito de campo e sempre imaginou o espaço em torno de um 
corpo carregado sendo preenchido por linhas. Estas representam, 
ainda hoje em dia, um modo conveniente de visualizarmos a 
configuração dos campos elétricos. Elas serão utilizadas com essa 
finalidade, mas não as empregaremos no sentido quantitativo. Em 
qualquer ponto do campo, o vetor do corpo E é tangente a uma das 
curvas. As linhas do campo elétrico são também chamadas linhas de 
força, pois mostram, em cada ponto, a direção da força que se 
exerce sobre uma carga de prova positiva. 
 
De qualquer ponto ocupado por uma carga positiva, as linhas de 
força se irradiam para fora, pois o campo aponta radialmente para 
além da carga. As linhas do campo elétrico, ao contrário, convergem 
para qualquer ponto ocupado por uma carga negativa. 
 
Figura 6 – campo elétrico causado por uma carga elétrica negativa isolada 
 
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 15 
 
A figura 6 mostra as linhas do campo elétrico de uma única carga 
puntiforme negativa. Quanto mais concentradas forem as linhas, 
mais intenso será o campo. 
 
 
O campo elétrico numa dada região do espaço é tanto maior 
quanto maior for a densidade de linhas de força naquela região. 
 
 
Consideremos a figura a seguir, que representa, através de linhas 
de força, uma região onde existe um campo elétrico: 
 
 
 
Figura 7 – o campo elétrico é mais intenso onde as linhas de campo estão mais 
concentradas, isto é, onde há maior densidade de linhasPartindo desse exemplo, podemos dizer que a intensidade do 
vetor campo elétrico é maior no ponto B e menor no ponto A: 
 
E > E > EB C A 
 
Observemos que a intensidade do campo elétrico é maior na 
região de maior densidade de linhas de força e menor na região 
de menor densidade de linhas de força. 
Deve-se entender por densidade de linhas de força como 
sendo a quantidade dessas linhas que “perfuram” cada unidade de 
área de um plano perpendicular a elas, na região considerada. 
 
. .
. .
. . .
. . .
. . .
Região P Região Q 
 
Neste outro exemplo, considerando que os pontos indicados 
pertencem a linhas de força que perfuram o plano do papel, pode-
se afirmar que: 
E > EQ P 
 
A figura 8 mostra as linhas do campo elétrico de duas cargas 
puntiformes positivas q separadas por pequena distância. Nas 
vizinhanças de cada carga, o campo coincide, aproximadamente, 
com o campo de uma carga isolada, pois a outra carga está muito 
afastada. As linhas do campo são, nesta região, radialmente 
dispostas e estão igualmente espaçadas. 
Como as cargas são iguais, o número de linhas que partem de 
uma é igual ao número de linhas que partem da outra. A 
distâncias muito grandes das cargas os detalhes do sistema não 
têm importância, e o sistema se assemelha a uma carga 
puntiforme de módulo 2q. Examinando a figura, é fácil perceber 
que o campo elétrico na região entre as cargas é muito fraco, pois 
são poucas as linhas de força nesta região, em comparação com 
as linhas do campo à direita ou à esquerda das cargas. E claro que 
se pode confirmar esta afirmação pelo cálculo do ponto nos 
campos dessa região. 
 
Figura 8 – campo elétrico causado por um par de cargas idênticas. A concentração de 
linhas na região entre as cargas é muito pequena, revelando que o campo elétrico ali 
é muito fraco. 
 
A figura 9 exibe as linhas do campo elétrico de um par de cargas de 
mesmo valor e sinais contrários +Q e –Q, o chamado dipolo 
elétrico. Nas proximidades da carga positiva, as linhas são radiais 
para fora. Nas vizinhanças de carga negativa, são radiais para 
dentro. 
 
Figura 9 – campo elétrico causado por um dipolo elétrico 
 
Como as duas cargas têm valores iguais, o número de linhas que 
principiam na carga positiva é igual ao de linhas que terminam na 
negativa. Neste caso, o campo é intenso na região entre as cargas, 
como se percebe pela alta densidade de linhas de força nesta região 
da figura. 
Embora não seja freqüente o uso de linhas de força 
quantitativamente, elas são muito úteis para uma rápida 
visualização do campo. Podemos quase "ver" as cargas se 
repelindo na figura 8 e se atraindo na figura 9. 
A figura 10 mostra as linhas do campo elétrico de uma carga 
negativa -q nas proximidades de uma carga positiva +2q. Da carga 
positiva saem duas vezes mais linhas de força do que entram na 
carga negativa. Portanto, metade das linhas que começam na 
carga positiva +2q (a) entra na carga negativa –q. O restante sai do 
sistema. Nos pontos muito distantes das cargas, as linhas que 
saem do sistema estão regularmente espaçadas e orientadas 
 
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radialmente, como se fossem as linhas do campo de uma carga 
puntiforme positiva +q. 
 
Figura 10 – campo elétrico causado por duas cargas +2q e –q. Note que a 
quantidade de linhas que parte da carga +2q (16 linhas, conte agora) é o dobro da 
quantidade de linhas que chegam até a carga –q (8 linhas, confira). Essa 
proporção sempre ocorrerá. 
 
7 - Densidade Superficial de Cargas 
No processo de eletrização de um condutor, ocorre uma 
movimentação de portadores de carga elétrica até que o corpo 
atinja o chamado equilíbrio eletrostático, situação em que todos os 
portadores responsáveis pela eletrização acomodam-se em 
posições convenientes. Essa acomodação se dá, como já foi 
dito, na superfície externa do condutor. 
Por definição, a densidade superficial média de cargas (m) 
desse condutor é dada pelo quociente da carga elétrica Q pela 
área A: 
 m =
Q
A
 
 
A densidade superficial de cargas é uma grandeza física dotada 
do mesmo sinal da carga Q, tendo por unidade, no SI, C/m2. 
O termo média, na densidade superficial de cargas, é usado 
porque em geral as cargas elétricas não se distribuem de maneira 
uniforme sobre a superfície externa do condutor. 
Experimentalmente, observa-se que a concentração de cargas é 
maior nas regiões em que o corpo possui menor raio de curvatura, 
isto é, onde o corpo torna-se mais pontiagudo. 
 
8 – O Poder das Pontas 
Verifica-se que num condutor eletrizado o acúmulo de cargas por 
unidade de área (densidade superficial de cargas) é maior nas 
pontas. Experimentalmente, comprova-se que são válidas as 
seguintes observações: 
 É difícil manter eletrizado um condutor que tenha regiões 
pontiagudas, pois as pontas perdem cargas com maior facilidade 
do que outras regiões. 
 Na interação entre condutores eletrizados, observa-se que as 
pontas agem de forma muito mais expressiva que as demais 
regiões. 
A esse conjunto de observações dá-se o nome de poder das 
pontas. Uma aplicação prática disso é a utilização de pára-raios 
pontiagudos sobre prédios para protegê-los de descargas 
elétricas, visto que tais descargas ocorrem preferencialmente 
através de regiões pontiagudas. É por isso que em dias de 
tempestade é mais seguro não ficar abrigado sob árvores. As 
árvores funcionam como “pontas” no relevo terrestre e são alvos 
procurados pelos raios e descargas elétricas. 
 
Ei, prôfi, quer dizer que nas regiões mais
ponteagudas dos corpos, teremos mais
cargas ali, teremos mais coulombs ali ?
Calminha, Claudete. Não teremos
mais coulombs nas pontas não !
Nas pontas teremos mais coulombs
por metro quadrado, entende ?
Maior densidade de cargas ! Não
confunda ok ?
 
9 - Campo Elétrico Uniforme 
Se num local onde existe um campo elétrico encontramos uma 
região onde o vetor representativo do campo é constante, nesse 
local o campo elétrico é denominado uniforme. 
Campo elétrico uniforme é uma região do espaço onde o vetor 
representativo do campo (
r
E ) tem, em todos os pontos, a mesma 
direção, o mesmo sentido e o mesmo módulo. 
 
Num campo elétrico uniforme, as linhas de força são sempre 
retilíneas, paralelas e igualmente espaçadas. Em outras palavras, o 
número de linhas de força que “perfuram” cada unidade de área de 
um plano perpendicular a essas linhas é constante. 
 
E E
E
E
E
 
Na ilustração, observamos as linhas de força de um campo elétrico 
uniforme, representadas lateral e frontalmente. 
 
CAMPO ELÉTRICO UNIFORME 
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
A
B
 
 
E = E =
2
A B


 
 Independe da distância do 
ponto até a placa 
 
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 17 
Na ilustração anterior, se a placa fosse negativa, inverter-se-iam 
apenas os sentidos das linhas do campo elétrico. As linhas 
continuariam paralelas e eqüidistantes, evidenciando um campo 
elétrico uniforme. 
Consideremos, agora, duas placas condutoras planas e idênticas, 
sendo uma eletrizada com carga positiva e a outra com carga 
negativa. Admitamos, ainda, que as placas têm cargas de 
módulos iguais. Desse modo, a densidade superficial de cargas 
() será a mesma, em valor absoluto, para ambas as placas. 
Colocando as placas de frente uma para a outra, de modo que a 
distância entre elas seja pequena, obtemos três regiões: duas 
externas, onde o campo elétrico é nulo, e uma, entre as placas, 
onde o campo elétrico é uniforme e de módulo: 
 
E =
| |

 
 
A demonstração desse fato não é difícil. Para tanto, representam-
se os planos eletrizados A e B e os pontos P, Q e R: 
E
B
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
P
E
A
E
PE
B
BA
E
A
E
B
R
E
A
Q
 
Como vimos anteriormente, cada placa eletrizada cria um campouniforme, sendo o de afastamento criado pela placa positiva e o 
de aproximação criado pela placa negativa. Uma vez que as 
densidades superficiais () são iguais em módulo e que as placas 
estão no mesmo meio, tem-se que: 
E = E =
| |
2
A B


 
 
Assim, nos pontos Q e R, que pertencem às regiões externas, o 
campo elétrico resultante é nulo. No entanto, na região interna às 
placas o campo elétrico é uniforme, sendo dado por: 
E = E + E =
| |
2
+
| |
2
 P A B




 E =
| |
P


 
 Campo na região entre as placas 
 
A principal maneira de se conseguir uma região com campo 
elétrico uniforme é através da distribuição plana, uniforme e infinita 
de partículas eletrizadas, que passaremos a estudar. 
 
10 - Cargas sujeitas a campos elétricos uniformes 
Nesse ponto, sabemos que um campo uniforme é um campo cuja 
intensidade é constante numa dada região. Por exemplo, o campo 
gravitacional g em toda sua sala é uniforme, motivo pelo qual, seu 
peso P é constante em qualquer lugar dessa sala, quer próximo à 
porta, quer em pé sobre a mesa, já que P = mg, sendo m e g 
constantes em toda a sala. 
 
Assim, quando deixamos cair um copo, durante sua queda, esse 
corpo fica sujeito a uma única força , constante, que é seu peso P. 
 
Corpos que se deslocam sob ação de uma força resultante F=P 
constante, também ficam sujeitos a uma aceleração constante a, 
já que F=m.a. Por esse motivo, sendo a constante durante toda 
sua queda, seu movimento será um MUV, conforme aprendemos 
no curso de Cinemática. 
 
Corpos em queda livre num campo gravitacional uniforme ficam sujeitos a uma 
força resultante constante P e, portanto, sujeitos a uma aceleração constante a=g, 
por isso seu movimento é um MUV. 
Assim, concluímos que pelo fato do campo gravitacional ser 
uniforme numa dada região, corpos abandonados ali deslocar-se-
ão em queda livre (MUV), com aceleração constante a=g. 
O mesmo raciocínio pode ser feito, quando imaginamos cargas q 
abandonadas num campo elétrico uniforme (constante) E. 
 
Cargas abandonadas num campo elétrico uniforme ficam sujeitas a ação de forças 
elétricas F= q.E constantes, independente da posição destas no campo E, já que a 
intensidade de um campo uniforme é a mesma em qualquer posição do espaço. Ou 
seja, F1 = F2 = F3 . 
 
Desprezando o peso das partículas na figura acima, cada uma 
destas fica sujeita apenas a uma força elétrica constante 
F1=F2=F3=q.E ao longo do seu deslocamento pelo espaço. Isso só 
é verdade pelo fato de que E terá o mesmo valor em qualquer 
ponto do espaço, visto que o campo é uniforme. 
Sendo constante a força resultante Fr sobre tais cargas, e 
lembrando que Fr = m.a, concluímos que também será constante 
a aceleração resultante sobre tais partículas: 
m
q.E
 a 
m
q.E
 
m
Fe
 
m
Fr
 a  
Portanto, seu movimento será um MUV, da mesma forma que um 
corpo, quando abandonado em queda livre num campo 
gravitacional uniforme. 
Note, na figura anterior, que embora a carga 1 esteja mais próxima 
da placa do que a carga 3, a força de repulsão que a placa exerce 
sobre essas cargas é a mesma (F1 = F3 = q.E), já que o campo 
elétrico E é constante em qualquer ponto da região em torno da 
placa. 
Isso é análogo ao fato de que seu peso é o mesmo, independente 
de você estar a 1 metro ou a 5 metros de distância do chão de sua 
sala. Em ambos os casos o campo é uniforme. 
Conclusão: 
Cargas abandonadas em um campo uniforme se deslocam em 
MUV. 
 
 
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11 - Polarização de um Isolante (dielétrico) 
Como você já deve ter estudado em seu curso de Química, 
algumas substâncias (como a água, por exemplo) apresentam 
moléculas denominadas moléculas polares. Nestas moléculas, o 
centro das cargas positivas não coincide com o centro das cargas 
negativas havendo, portanto, uma assimetria na distribuição de 
cargas na molécula, como mostra a figura a seguir: 
 
Molécula polar – o centro de cargas 
positivas não coincide com o centro de 
cargas negativas 
Molécula Apolar – o centro de cargas 
positivas coincide com o centro de 
cargas negativa 
 
As substâncias cujas moléculas possuem as cargas elétricas 
distribuídas simetricamente são denominadas apolares. 
Consideremos um dielétrico AB, não eletrizado, cujas moléculas 
são polares, afastado de influências elétricas externas. 
 
 
Figura 1a 
Nestas condições, as moléculas desta substância estão 
distribuídas ao acaso, como está representado na figura 1a. 
Aproximando-se, deste dielétrico, um corpo eletrizado (por 
exemplo, com carga positiva), a carga deste corpo atuará sobre as 
moléculas do isolante, fazendo com que elas se orientem, 
alinhando-se da maneira mostrada na figura a seguir: 
 
Figura 1b 
Quando isto ocorre, dizemos que o dielétrico está polarizado. 
Devemos notar que, embora a carga total no dielétrico seja nula, a 
polarização faz aparecer cargas elétricas de sinais contrários nas 
extremidades A e B (figura 1c), de maneira semelhante ao que 
ocorria na indução eletrostática de um condutor. São as 
chamadas “cargas de polarização”. 
 
Figura 1c 
Se o dielétrico AB fosse constituído por moléculas apoIares, o 
mesmo efeito final seria observado, pois, com a aproximação do 
corpo eletrizado, as moléculas se tornariam polares e 
conseqüentemente se alinhariam da mesma forma. 
A figura 2 mostra uma placa eletrizada produzindo um campo 
elétrico uniforme E através do vácuo. Colocando-se um dielétrico 
no interior desse campo, suas moléculas se orientarão na mesma 
direção dele e diremos que o dielétrico, então, está polarizado 
(figura 3). 
E
 
 
Figura 2 - campo elétrico causado 
por uma placa eletrizada através do 
vácuo. 
E
E
P
 
Figura 3 - cargas de polarização 
causam o campo elétrico EP que se opõe 
ao campo elétrico que originou a 
polarização. 
 
Conforme vimos na figura 1c, a polarização faz aparecer as 
chamadas “cargas de polarização” nas extremidades do dielétrico, 
semelhante ao processo de indução eletrostática. 
Essas cargas de polarização (cargas brancas na figura 3), por sua 
vez, causam um campo de polarização EP no interior do dielétrico 
que tende a enfraquecer o campo elétrico E que originou a 
polarização (figura 3). 
O efeito global, no interior do dielétrico polarizado, é a 
superposição desses dois campos para resultar um campo ER 
mais fraco que o original E. Assim, podemos dizer que a 
polarização do dielétrico leva a uma redução do campo elétrico que 
o atravessa. 
E
R
 
Figura 4 – O campo elétrico resultante ER através do 
dielétrico acaba sendo mais fraco que o original E, devido à 
polarização. 
 
É por isso que a intensidade de um campo elétrico não depende 
exclusivamente da carga fonte que cria o campo, mas também do 
meio através do qual ele irá se propagar. Essa influência do meio é 
computada através de uma propriedade física denominada 
permissividade elétrica do meio, representada pela letra  
(epson). 
 
12 – O Significado Físico da Permissividade Elétrica  
A permissividade elétrica é característica de cada meio, e figura em 
todas as expressões para cálculos de campo elétrico, como na 
expressão [eq-1] do campo devido a uma carga puntiforme e na 
expressão [eq-2] do campo elétrico devido a um plano de cargas. 
E = 
2d
Q
.
..4
1

, onde 
..4
1
= K [eq-1] 
 
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E = 


.2
, com  = 
A
Q
 (C / m2) [eq-2] 
Essas expressões mostram que, quanto maior a permissividade 
elétrica  do meio, menor é a intensidade do campo elétrico E que 
se estabeleceráatravés dele. 
Afff.. profinho, mas o que
isso tem a ver com a
polarização do meio que o
senhor tava falando antes ?
 
Amiga Claudete, a permissividade elétrica  de uma substância é 
uma medida da polarizabilidade das suas moléculas, isto é, sua 
capacidade de se orientar de tal modo a "neutralizar" uma 
determinada carga ou campo elétrico no seu interior, como mostra 
a figura 3, lembra ? 
Dielétricos que são bastante polares (grande momento de dipolo) 
e cujas moléculas apresentam boa mobilidade para sofrerem 
polarização sob ação de um campo elétrico externo, tendem a 
apresentar grandes permissividades elétricas . 
Quanto maior a permissividade elétrica  de um meio, mais cargas 
de polarização surgem quando ele é polarizado, mais intenso é o 
campo elétrico EP devido a essas cargas, menor é o campo 
elétrico ER que resultará nesse meio (figuras 3 e 4). 
O vácuo é um meio não material, portanto, não apresenta 
moléculas que possam ser polarizadas sob ação de um campo 
externo. É por esse motivo que a permissividade elétrica do vácuo 
é a menor de todas ( o = 8,85.10–12 no SI), afinal, qualquer outro 
meio apresenta mais matéria que o vácuo . 
Se um meio tem uma permissividade elétrica k vezes maior que a 
do vácuo ( = k.o), uma carga elétrica colocada nesse meio gera 
um campo K vezes mais fraco que o que ela geraria no vácuo. 
A constante k ( = k.o) é chamada de constante dielétrica do 
meio. A constante dielétrica da água vale k = 80, significa que 
agua = 80.o e, portanto, cargas elétricas mergulhadas na água 
geram campos 80 vezes mais fracos que gerariam no vácuo , 
por causa da polarização dela ! 
Assim, a polarização do dielétrico é o que faz com que a 
intensidade do campo elétrico que se propaga através de um meio 
também seja dependente das características elétricas desse meio. 
 
13 – Como a água dissolve as substância polares ? 
Os alquimistas sonharam com um solvente universal, um líquido 
que dissolvesse qualquer coisa (e é provavelmente uma felicidade 
que não exista nenhum. Como ele poderia ser armazenado?). 
Apesar do fato da água ser a substância mais comum na 
superfície da terra, este líquido tem algumas propriedades raras. 
Uma das mais importantes destas é a sua habilidade para 
dissolver muitos tipos de substâncias. Embora não sendo o 
solvente universal, uma vez imaginado, a água dissolve muitos 
compostos iônicos, muitas substâncias polares, orgânicas e 
inorgânicas e mesmo algumas substâncias de baixa polaridade 
com as quais pode formar interações específicas. 
Uma razão para a água dissolver substâncias iônicas é a sua 
capacidade de estabilizar os íons em solução, mantendo-os 
separados uns dos outros. Isto é devido principalmente à alta 
permissividade elétrica  da água. 
 
figura 5 
 
A figura 5 mostra um par de íons Na+ e Cl– no vácuo (meio não 
polarizável) e a figura 6 mostra esse mesmo par de íons na água, 
um meio de permissividade elétrica 80 vezes maior que a do 
vácuo. 
Assim, devido à polarização da água, a força F entre os íons do 
NaCl, quando este sal é dissociado em água, é enfraquecida a um 
octogésimo do seu valor no estado sólido (cristalino). Essa 
enorme redução da força entre eles permite que esses íons sejam 
individualmente estáveis em água e permaneçam dissociados, 
disseminados entre as moléculas de água, sem se aglutinarem 
novamente. 
Uma interpretação alternativa é a seguinte: a cargas de polarização 
surgem aos pares, uma positiva e outra negativa, e se dispõem 
como na figura 6. No seio do dielétrico, a carga elétrica resultante é 
nula em cada porção dele, mas junto ao íon só há cargas de 
polarização de sinal oposto ao do respectivo íon. O efeito disso é 
uma “neutralização aparente” dessa carga do íon. Por exemplo, se 
esse íon tivesse uma carga +100.e e as cargas de polarização ao 
redor dele somam –70.e , a carga elétrica efetiva dele passa a 
valer apenas +30.e. 
 
figura 6 - água polarizada, formando as famosas gaiolas de 
solvatação, reduzindo a interação elétrica entre os íons a 1/80 do 
que seria no vácuo. 
 
Daí, quando dizemos que “solvente polar dissolve soluto polar”, 
estamos dizendo que o meio polar tem uma permissividade elétrica 
suficientemente grande, para blindar a atração eletrostática entre 
aqueles íons, garantindo a estabilidade deles em solução. 
Meios apolares, como óleo de cozinha, não propiciam tamanha 
redução na força eletrostática entre os íons Na+ e Cl– (têm baixa 
permissividade) e, portanto, não consegue mantê-los estáveis 
individualmente, não consegue mantê-los afastados, em suma, não 
consegue dissolver o sal NaCl. 
 
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Pensando em Classe
Pensando em Classe
 
Questão 1 
(FATEC) Um bastão isolado é capaz de permanecer eletrizado em uma de suas extremidades e 
neutro na outra extremidade. Isto será possível : 
a) se o bastão for de metal. 
b) apenas se o bastão for de vidro. 
c) se o bastão for de metal, mas muito comprido. 
d) se o bastão for de metal, mas receber pequena quantidade de carga. 
e) se o bastão for feito de qualquer isolante 
 
Questão 2 
(PUCCAMP-SP) Dispõe-se de uma barra de vidro, um pano de lã e duas pequenas esferas 
condutoras, A e B, apoiadas em suportes isolados, todos eletricamente neutros. Atrita-se a barra de 
vidro com o pano de lã; a seguir coloca-se a barra de vidro em contato com a esfera A e o pano 
com a esfera B. Após essas operações: 
a) o pano de lã e a barra de vidro estarão neutros; 
b) o pano de lã atrairá a esfera A; 
c) as esferas A e B continuarão neutras; 
d) a barra de vidro repelirá a esfera B; 
e) as esferas A e B se repelirão. 
Questão 3 
(FGV-SP) Uma pequena esfera de isopor (B), pintada 
com tinta metálica, é atraída por outra esfera maior (A), 
também metalizada. Tanto A como B estão 
eletricamente isoladas. Este ensaio permite afirmar que: 
a) As esferas têm cargas de sinais contrários 
b) B possui carga positiva 
c) as cargas elétricas em A e em B são de mesmo sinal. 
d) A possui carga positiva 
e) A pode estar neutra 
B
A
 
Questão 4 
A figura abaixo mostra as esferas metálicas A e B, de raios 3R e R, neutras, montadas em suportes 
isolantes. Elas estão em contato, de modo a formarem um único condutor descarregado. Um 
bastão isolante, carregado com carga negativa, -Q, é trazido para perto da esfera A, sem tocá-la. 
Em seguida, com o bastão na mesma posição, as duas esferas são separadas. Sobre as cargas 
finais QA e QB de cada esfera, pode-se afirmar que: 
a) QA > 0, QB < 0 e |QA| = 3.|QB| 
b) QA > 0, QB < 0 e |QA| = |QB| 
c) QA > 0, QB < 0 e |QA| = |QB| / 3 
d) QA < 0, QB > 0 e |QA| = |QB| 
e) QA = QB = 0 
 
A
B
 
Questão 5 
(UECE) Um cone maciço de ferro está carregado eletricamente, isolado por uma haste de vidro 
que se prende à sua base. É correto afirmar: 
a) A carga elétrica concentra-se no centro de gravidade do cone; 
b) A carga elétrica distribui-se apenas na base do cone; 
c) A carga elétrica distribui-se apenas em torno do vértice do cone; 
d) A carga elétrica é nula no interior do cone. 
 
 
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Questão 6 
(UNIFOR) Duas pequenas esferas condutoras idênticas estão eletrizadas com cargas de +6,0C e 
–10C, respectivamente. Colocando-se as esferas em contato, o número de elétrons que passam 
de uma esfera para a outra vale: Dado: carga elementar e = 1,6.1019C 
a) 5,0. 1013 b) 4,0 .1013 c) 2,5 .1013 d) 4,0 .106 e) 2,0 .106 
 
Questão 7 
Sejam 5 pequenas esferas condutoras a, b, c, d e x de mesmo raio, das quais apenas a esfera 
x encontra-se eletrizada. Após fazer contatos sucessivos da esfera x com cada uma das demais 
esferas, percebe-se que a esfera b adquire uma carga de 24 C a mais que a esfera d.O prof Renato Brito pede para você determinar a carga final da esfera x : 
a) 4 C 
b) 8 C 
c) 12 C 
d) 16 C 
e) 32 C 
a b c d
x
 
Questão 8 
Uma pequena esfera condutora A de raio 2 cm, maciça, eletrizada com carga –4C, está no interior 
de uma casca esférica metálica B de raio 6 cm, eletrizada com carga + 16C. Um fio isolante que 
passa por pequeno orifício permite descer a esfera A até que encoste na casca esférica B. 
a) quais as cargas finais de cada esfera, após esse contato interno ? 
b) caso o contato tivesse ocorrido externamente, quais as cargas finais adquiridas por cada 
esfera ? 
 
Questão 9 
O prof Renato Brito conta que existe um plano onde se 
encontra fixa uma carga +Q fonte de campo elétrico. 
Quando uma carga de prova +q é posicionada num 
ponto A do plano, é repelida pela carga fonte com uma 
força FA de intensidade 50 N. Quando levada para o 
ponto B do plano, a referida carga de prova +q passa 
a ser repelida pela carga fonte com uma força FB 
indicada na figura. Assim, quando a carga de prova 
é finalmente posicionada no ponto C, sofrerá uma 
força elétrica repulsiva de intensidade: 
a) 40 N b) 36 N c) 27 N d) 18 N e) 12 N 
C
F
A
F
B
+q
+q
A
B
+q
 
Questão 10 
Na figura abaixo, duas bolinhas de mesma massa e cargas elétricas positivas idênticas q = +12C 
estão suspensas a um mesmo ponto por fios de mesmo comprimento L = 1m. Sabendo que a gravidade 
local vale g = 10 m/s², a constante eletrostática do meio vale K = 9.109 (no SI) e as partículas encontram-
se em equilíbrio, determine a massa das partículas. Dados: sen = 0,6 e cos = 0,8 
 
LL
+q +q
 
 
 
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Questão 11 
(UFJF-MG) Quatro cargas elétricas iguais de módulo q estão 
situadas nos vértices de um quadrado, como mostra a figura. Qual 
deve ser o módulo da carga Q de sinal contrário que é necessário 
colocar no centro do quadrado para que todo o sistema de cargas 
fique em equilíbrio? 
 
+
qq
q q
Q
 
 
Questão 12 
Três pequenas esferas isoladas, carregadas com cargas idênticas, estão localizadas como mostra 
a figura. A força (resultante) exercida sobre a esfera B, pelas esferas A e C, é de 54N. Qual a força 
(resultante) exercida sobre a esfera A ? 
a) 80N 
b) 32N 
c) 36N 
d) 27N 
e) 9N 
 
Questão 13 
(Inatel-MG) Uma partícula de massa m, carregada com 
quantidade de carga Q, negativa, gira em órbita circular em torno 
de uma partícula de massa M, carregada com quantidade de 
carga Q, positiva. Sabendo que o raio da órbita é r, determine: 
a) a intensidade da velocidade V em função de K, Q, m e r; 
b) o período do movimento. 
 
 
r
+Q
-Q
M
m
V
 
Questão 14 
O prof Renato Brito conta que duas esferas A e B condutoras de raios 2R e R e cargas 
elétricas +Q e –2Q estão separadas a uma grande distância D e que se atraem mutuamente 
com uma força elétrica de intensidade F = 9 N. Se as esferas forem postas em contato e 
separadas, novamente, a uma distância D, passarão a: 
a) se repelir com uma força elétrica de 1N 
b) se repelir com uma força elétrica de 2N 
c) se repelir com uma força elétrica de 4N 
d) se repelir com uma força elétrica de 8N 
e) se repelir com uma força elétrica de 9N 
 
 
Questão 15 
(Med. Marília-SP) A figura mostra quatro cargas pontuais, colocadas nos vértices de um quadrado. 
O vetor-campo-elétrico produzido por estas cargas no ponto p tem direção e sentido dados por: 
a)
b)
c)
d)
e)
 
 
 
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Questão 16 
(Cesgranrio-RJ) Duas cargas elétricas pontuais, de mesmo valor e de sinais opostos, encontram-se 
em dois dos vértices de um triângulo eqüilátero. No ponto médio entre esses dois vértices, o 
módulo do campo elétrico resultante devido às duas cargas vale X. Qual o valor do módulo do 
campo elétrico no terceiro vértice do triângulo? 
a) X/2 
b) X/3 
c) X/4 
d) X/6 
e) X/8 
Questão 17 
Na distribuição de cargas elétricas representadas na figura, onde devemos colocar uma 3ª carga 
elétrica, para ela ficar em equilíbrio ? Qual deve ser o sinal dessa carga ? 
a) entre as cargas e no centro. 
b) entre as cargas e a 0,3 m de q. 
c) a 2 m de – 4q e à sua direita. 
d) a 1m de q e à sua esquerda. 
e) a 4 m de q e à sua esquerda. 
 
 
d = 1 m
+q -4q
 
Questão 18 
A figura mostra duas cargas fixas ao longo de um eixo. Em qual posição se deve colocar uma 
terceira Q, para que ela permaneça em equilíbrio ? 
a) entre as cargas, a 5cm da carga +q 
b) entre as cargas e a 10cm de +q. 
c) à esquerda de +q , a 5 cm dessa carga. 
d) a 8 cm +q e à sua esquerda. 
e) a 8 cm de +4q e à sua direita. 
 
d = 15 cm
+q +4q
 
 
Questão 19 
Duas grandes placas planas paralelas têm área A e estão uniformemente eletrizadas com cargas 
opostas +q e –q. Considerando que a distância entre elas vale D e que o meio entre as placas 
tem permissividade elétrica , o prof Renato Brito pede para você determinar a força de atração 
entre as placas : 
a) 
D.A..2
q2

 b) 
2
2
D.A..2
q

 c) 
D.A.
q2

 d) 
A.
q2

 e) 
A..2
q2

 
 
 
Questão 20 
Uma partícula de massa m = 6g e carga q = +3C foi lançada com velocidade inicial Vo numa 
direção normal a uma placa eletrizada uniformemente com carga positiva. A partícula, freada pelo 
campo elétrico da placa, de intensidade E = 4000 N/C, percorre uma distância D = 9 m até parar. 
Desprezando efeitos gravitacionais, a velocidade inicial Vo da carga vale: 
a) 2 m/s b) 4 m/s c) 6 m/s d) 8 m/s e) 10 m/s 
 
 
 
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Questão 21 
Uma carga de prova +q positiva é abandonada nas proximidades de uma carga fonte +Q fixa numa 
certa região do espaço. O efeito da gravidade é desprezível. Durante o movimento posterior da 
carga de prova, quais gráficos abaixo representam respectivamente o comportamento da força que 
age sobre ela, da sua aceleração e da sua velocidade da partícula em função do tempo ? 
a) I, I e II 
b) I, I e IV 
c) II, II e II 
d) I, II e III 
e) II, II e IV 
E
+Q
+q
fixa
 
tempo
 
(I) 
tempo
 
(II) 
tempo
 
(III) 
tempo
 
(IV) 
 
 
 
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Pensando em Casa
Pensando em Casa
 
 
Questão 1 
(UNESP-SP) De acordo com o modelo atômico atual, os prótons e 
nêutrons não são mais considerados partículas elementares. Eles 
seriam formados de três partículas ainda menores, os quarks. 
Admite-se a existência de 12 quarks na natureza, mas só dois tipos 
formam os prótons e nêutrons, o quark up (u), de carga elétrica 
positiva, igual a 2/3 do valor da carga do elétron, e o quark down 
(d), de carga negativa, igual a 1/3 do valor da carga do elétron. A 
partir dessas informações, assinale a alternativa que apresenta 
corretamente a composição do próton e do nêutron. 
 Próton Nêutron 
a) d,d,d u,u,u 
b) d,d,u u,u,d 
c) d,u,u u,d,d 
d) u,u,u d,d,d 
e) d,d,d d,d,d 
 
Questão 2 
(PUC-SP) Tem-se três esferas metálicas A, B e C, inicialmente 
neutras. Atrita-se A com B, mantendo C a distância. Sabe-se que 
nesse processo, B ganha elétrons e que, logo após, as esferas são 
afastadas entre si de uma grande distância. Um bastão eletrizado 
positivamente é aproximado de cada esfera, sem toca-la. Podemos 
afirmar que haverá atração: 
a) apenas entre o bastão e a esfera B. 
b) entre o bastão e a esfera B e entre o bastão e a esfera C. 
c) apenas entre o bastão e a esfera C. 
d) entre o bastão e a esfera A e entre o bastão e a esfera B. 
e) entre o bastão e a esfera A eentre o bastão e a esfera C. 
 
Questão 3 
(Eng. São Carlos-SP) Uma esfera de material isolante, recoberta 
com uma fina camada de grafite, que é condutora, é suspensa por 
um fio e trazida para as proximidades de uma placa metálica que 
apresenta um excesso de cargas positivas distribuídas na sua 
superfície conforme a figura abaixo.: 
 
Observa-se o seguinte: 
a) A bola é eletricamente neutra e não é afetada pela placa. 
b) A bola é atraída pela placa e permanece em contato. 
c) A bola é repelida pela placa. 
d) A bola é atraída pela placa e, ao tocá-la, é imediatamente 
repelida 
e) A bola adquire uma carga induzida negativa. 
Questão 4 
(Cefet-PR) Um cubo é feito de alumínio e está eletrizado e em 
equilíbrio eletrostático. Quanto ao campo elétrico, podemos dizer 
que este é: 
a) mais intenso nas proximidades dos centros das faces do cubo. 
b) mais intenso nas proximidades dos centros das arestas do cubo. 
c) mais intenso nas proximidades dos vértices do cubo. 
d) de igual intensidade nas proximidades de qualquer parte do 
cubo. 
e) tão intenso nas proximidades quanto no seu interior. 
 
Questão 5 
A figura mostra, em corte longitudinal, um objeto metálico oco 
eletrizado. 
A B C D E
 
Em qual das regiões assinaladas há maior concentração de 
cargas? 
 
Questão 6 
(Fuvest-SP) Aproxima-se uma barra eletrizada de duas esferas 
condutoras, inicialmente descarregadas e encostadas uma na 
outra, observa-se a distribuição de cargas esquematizadas na 
figura abaixo. 
+
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
-
-
-
+
+
+
+
+
 
Em seguida, sem tirar do lugar a barras eletrizada, afasta-se um 
pouco uma esfera da outra. Finalmente, sem mexer mais nas 
esferas, remove-se a barra, levando-a para muito longe das 
esferas. Nessa situação final, a figura que melhor representa a 
distribuição de cargas nas duas esferas é: 
a) 
-
-
-
-
-
-
-- +
+
+
+
+
+ +
 
d) 
-
-
-
-
-
-
- - +
+
+
+
+
++
 
b) 
-
-
-
-
-
-
--
-
-
-
-
-
-
-
-
-
++
+
+
+
+ +
+ +
+
+
+
++
 
e) 
++
+
+
+
+ +
+ +
+
+
+
++
++
+
+
+
+ +
+ +
+
+
+
++
 
c) 
++
+
+
+
+ +
+ +
+
+
+
++
 
 
 
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Questão 7 
Uma pequena esfera de isopor B, recoberta por uma fina lâmina de 
alumínio, é atraída por outra esfera condutora A. tanto A como B 
estão eletricamente isoladas. 
BA
 
Tal experimento permite afirmar que: 
a) a esfera A possui carga positiva. 
b) a esfera B possui carga negativa. 
c) a esfera A não pode estar neutra. 
d) as cargas elétricas existentes em A e B têm sinais opostos. 
e) pelo menos uma bola está eletrizada, podendo a outra estar 
neutra. 
 
Questão 8 
Na figura abaixo, A é uma esfera condutora e B é uma pequena 
esfera de isopor, ligada a um fio flexível. Supondo que a situação 
indicada é de equilíbrio, analise as afirmativas a seguir: 
B
A
 
I. É possível que somente a esfera B esteja eletrizada. 
II. As esferas A e B devem estar eletrizadas. 
III. A esfera B pode estar neutra, mas a esfera A certamente está 
eletrizada. 
Para a resposta, utilize o código: 
a) A afirmação I está correta. 
b) Somente a afirmação II está correta. 
c) As afirmações II e III estão corretas. 
d) Somente a afirmação III está correta. 
e) Todas as afirmações estão corretas. 
 
Questão 9 
(Fuvest-SP) Uma esfera condutora A, de peso P, eletrizada 
positivamente, é presa por um fio isolante que passa por uma 
roldana. A esfera A se aproxima, com velocidade constante, de 
uma esfera B, idêntica à anterior, mas neutra e isolada. A esfera A 
toca em B e, em seguida, é puxada para cima, com velocidade 
também constante. Quando A passa pelo ponto M a tração no fio é 
T1 na descida e T2 na subida. Podemos afirmar que: 
a) T1 < T2 < P. 
b) T1 < P < T2 
c) T2 < T1 < P 
d) T2 < P < T1 
e) P < T1 < T2 
 
Dicas: 
1) velocidade constante implica equilíbrio, lembra disso 
Aristóteles ? 
2) indução eletrostática implica atração eletrostática (na 
descida). 
A
M
B
 
Questão 10 
(UFRS) Três esferas metálicas idênticas , x y, z, estão colocadas 
sobre suportes feitos de isolantes elétrico e y está ligada a terra por 
um fio condutor, conforme mostra a figura a seguir. x e y estão 
descarregadas, enquanto z está carregada com uma quantidade 
de carga elétrica q. Em condições ideais, faz-se a esfera z tocar 
primeiro a esfera x e depois a y. Logo após esse procedimento, as 
quantidades de carga elétrica nas esferas x, y e z, são, 
respectivamente: 
X Y Z
 
a) 
3
q
, 
3
q
, 
3
q
 b) 
2
q
, 
2
q
, 
4
q
 c) 
2
q
, 
2
q
 e nula 
d) 
2
q
, nula e 
2
q
 e) 
2
q
, nula e nula 
Questão 11 
Sejam A, B, C e D quatro pequenas esferas condutoras isoladas. 
Através de experiências laboratoriais, a aluna Mariana da Turma 
Saúde 10 percebeu que: 
I. A atrai B 
II. A repele C 
III. A atrai D 
IV. B atrai D 
Adicionalmente, seu amigo Leandro verificou, através de um 
eletroscópio, que a esfera D não está neutra. A partir desses fatos, 
Mônica pode concluir que: 
a) A e D podem se repelir. 
b) A está neutra. 
c) B e D têm sinais contrários. 
d) A e B têm sinais contrários. 
e) B está neutra. 
 
Questão 12 
(UFPE 2002) Duas partículas de massas 2M e M têm cargas 
respectivamente iguais a +Q e +3Q. Sabendo-se que a força 
gravitacional é desprezível em comparação com a força elétrica, 
indique qual das figuras melhor representa as acelerações 
vetoriais das partículas. 
a) 
Q 3Q
 
b) 
Q 3Q
 
c) 
Q 3Q
 
d) 
Q 3Q
 
e) 
Q 3Q
 
Pergunta conceitual: Qual delas sofre maior força elétrica, com base na 
3ª lei de Newton (ação e reação) ? Qual delas tem mais massa ? Com 
base na 2ª lei de Newton (FR = m.a), qual delas sofrerá maior aceleração ? 
 
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 27 
Questão 13 
Uma pequena esfera condutora de raio 2 cm, maciça, eletrizada 
com carga –4C, está no interior de uma casca esférica metálica 
de raio 5 cm, eletrizada com carga + 18C. Um fio isolante que 
passa por pequeno orifício permite descer a esfera A até que 
encoste na casca esférica B. 
a) quais as cargas finais de cada esfera, após esse contato ? 
b) caso o contato tivesse ocorrido externamente, quais as cargas 
finais adquiridas por cada esfera ? 
 
 
Questão 14 
(Fuvest-SP) Três pequenas esferas carregadas com cargas de 
mesmo módulo, sendo A positiva e B e C negativa, estão presas 
nos vértices de um triângulo eqüilátero. No instante em que elas 
são soltas, simultaneamente, a direção e o sentido de suas 
acelerações serão mais bem representados pelo esquema: 
a) 
 
A
BC
 
b) 
 
A
BC
 
c) 
 
A
BC
 
d) 
 
A
BC
 
e) 
 
A
BC
 
 
Questão 15 
(UEL-PR) Três partículas carregadas positivamente, cada uma com 
carga q, ocupam os vértices de um triângulo retângulo cujos 
catetos são iguais e medem d. Sabendo-se que as cargas estão 
num meio cuja constante eletrostática é k, a força elétrica 
resultante sobre a carga do ângulo reto é dada pela expressão: 
a) 
2
2
d2
kq
 b) 
2
2
d2
kq2
 c) 
2
2
d
kq
 
d) 
2
2
d
kq2
 
e) 
2
2
d
kq2
 
Questão 16 
A figura mostra três cargas A, B e C de mesma intensidade Q 
posicionadas ao longo de um hexágono regular interagindo 
eletricamente com uma carga de prova positiva +q. O prof Renato 
Brito pede para você determinar a intensidade da força elétrica 
resultante sobre esta última, sabendo que ela é repelida pela 
carga A com uma força elétrica de intensidade F. 
a) F 
b) 2F 
c) 3F 
d) 4F 
e) 5F 
+q
A
B
C
 
Dica: Propriedade da resultante entre doss vetores que têm módulos 
iguais e formam 120o entre si. 
 
Questão 17 
(FUVEST) Considere as três cargas pontuais representadas na 
figura por +Q, Q e +q. Determine o módulo da força eletrostática 
total que age sobre a carga q. 
+Q -Q
+q
30
o 30
o
R
R
 
 
 
Dica: Se dois vetores têm o mesmo módulo, a resultanteentre eles está 
na bissetriz. FR = F.cos30o + F.cos30o 
 
 
Semana 1 de 15
Assunto sugerido: 
 Vetores e Cinemática Geral.
REVISÃO SEMANAL PROGRAMADA
Se você revisar um pouquinho a cada 
semana, não acumulará toda a revisão 
para a semana da véspera do 
vestibular, né verdade ?  
 
Questão 18 
Uma carga elétrica +Q desconhecida encontra-se fixa no plano 
mostrado abaixo. Uma carga de prova +q, quando colocada nos 
pontos A e C desse plano, fica sujeita a forças elétricas 
repulsivas FA e FC de mesma intensidade 64 N, mostradas na 
figura abaixo. Assim, quando prof Renato Brito colocá-la no ponto 
B, a carga de prova +q fica sujeita a uma força elétrica de 
intensidade: 
A
B
C
F
A
F
C
 
a) 80 N b) 64 N c) 36 N d) 90 N e) 120 N 
 
 
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28 
Questão 19 
(UFPE) Duas bolinhas iguais, carregadas negativamente, estão 
presas por fios de seda de 3 cm de comprimento a um ponto 
comum, como mostra a figura. Cada bola tem massa igual a 80 g. 
Qual a quantidade de carga das bolas para que os fios formem 
entre si 90o ? 
 
a) 4 .10–2 C. 
b) 4.10–4C. 
c) 4 .10–6 C. 
d) 4.10–7C. 
e) 4.10–8 C. 
90º
3 cm 3 cm
qq
 
Dica: A massa precisa estar em kg, distâncias em metros. 
 
Questão 20 
Três pequenas esferas isoladas, carregadas com cargas 
respectivamente +q, –q e +q estão localizadas como mostra a 
figura. A força (resultante) exercida sobre a esfera C pelas esferas 
A e B é de 5N. A força (resultante) exercida sobre as esferas A e B, 
valem, respectivamente: 
a) 32N, 27 N 
b) 30N, 45N 
c) 36N, 48N 
d) 27N, 36N 
e) 16N, 25N 
 
Questão 21 
(Cescea-SP) Uma mola de constante elástica K = 400 N/m tem 
uma extremidade presa a um suporte fixo e a outra possui uma 
carga elétrica puntiforme, de massa desprezível, de +10C. Essa 
mola encontra-se permanentemente comprimida devido à presença 
de uma segunda carga elétrica q, localizada a uma distância 
d = 60 cm da primeira. Sabendo que a compressão permanente da 
mola vale x = 0,5 cm nesse equilíbrio, a carga q deve ser de: 
a) 16 C b) 8 C c) –12 C d) –36C e) 24C 
 
 
 
Questão 22 
O prof Renato Brito conta que duas esferas A e B condutoras de 
raios 3R e 2R e cargas elétricas +2Q e –Q estão separadas a 
uma grande distância D e que se atraem mutuamente com um 
força elétrica de intensidade F = 50 N. Se as esferas forem postas 
em contato e separadas, novamente, a uma distância D, passarão 
a: 
 
a) se repelir com uma força elétrica de 2N 
b) se repelir com uma força elétrica de 4N 
c) se repelir com uma força elétrica de 6N 
d) se repelir com uma força elétrica de 8N 
e) se repelir com uma força elétrica de 9N 
 
Questão 23 
(Fuvest-SP) Quatro cargas pontuais estão colocadas nos vértices 
de um quadrado. As duas cargas +Q e –Q têm mesmo valor 
absoluto e as outras duas, q1 e q2, são desconhecidas. A fim de 
determinar a natureza destas cargas, coloca-se uma carga de 
prova positiva no centro do quadrado e verifica-se que a força 
sobre ela é F, mostrada na figura. Podemos afirmar que: 
a) q1 > q2 > 0 
b) q2 > q1 > 0 
c) q1 + q2 > 0 
d)q1 + q2 < 0 
e) q1 = q2 > 0 
F
-Q
+Q q
1
q
2
Carga de
prova
positiva
 
Questão 24 
(Mack-SP) Um modelo conhecido para o átomo de hidrogênio é o 
de um elétron de carga q girando em trajetória circular de raio R 
em torno do próton localizado no núcleo. Sendo k a constante 
eletrostática do vácuo, a energia cinética do elétron, nessas 
condições, é: 
a) 
2
R.q.k.5 2
 
b) 
R
q.k.2 2
 
c) 
2
R.q.k.3 2
 
d) 
R.2
q.k 2
 
e) 
4
R.q.k.5 2
 
Dica: encontre inicialmente a velocidade v do elétron, lembrando que a 
força elétrica é a força resultante centrípeta que age sobre o elétron. A 
energia cinética é dada por Ecin = m.v² / 2 . 
Questão 25 
Duas pequenas esferas de carga +q e massa 600g cada, 
penduradas em cordões de comprimento L = 2 m , giram em 
movimento circular num plano horizontal com velocidade angular 
 = 2 rad/s. Sendo g = 10 m/s2 a aceleração da gravidade, 
determine +q. (K = 9.109 e g = 10 m/s2) 
 
Dica: Colocação de forças num pêndulo cônico : uma prá cima, uma prá baixo, uma 
prá dentro e (eventualmente) uma prá fora , lembra ? 
 
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 29 
Questão 26 
(UFRS) A figura representa os pontos A, B, C , D e E e duas 
cargas elétricas iguais e de sinais opostos, todos contidos no plano 
da página. Em qual dos pontos indicados na figura o campo 
elétrico é mais intenso? 
+ -
A
B
D
E
C
 
Dica: Veja figura 9 página 15 
Questão 27 
(UFRS) A figura representa duas cargas elétricas positivas iguais e 
diversos pontos. As cargas e os pontos estão localizados no plano 
da página. Em qual dos pontos indicados na figura o campo 
elétrico é menos intenso? 
+ +
A
E
C
D
B
 
Dica: Veja figura 8 página 15 
Questão 28 
(UF-RS) A figura representa as linhas de força do campo elétrico 
que existe em certa região do espaço. Sobre uma carga de prova 
positiva colocada em P agirá uma força : 
a) dirigida para A 
b) dirigida para B 
c) dirigida para C 
d) dirigida para D 
e) nula. 
A
B P C
D
 
Questão 29 
(Cesgranrio-RJ) Quatro cargas elétricas: três positivas e uma 
negativa, estão colocadas nos vértices de quadrado, como mostra 
a figura. O campo elétrico produzido por estas cargas no centro do 
quadrado é representado por: 
+ 2q +q
+q -2q
 
 
a) 
+ 2q +q
+q -2q
 
b) 
+ 2q +q
+q -2q
 
 
c) 
+ 2q +q
+q -2q
 
d) 
+ 2q +q
+q -2q
 
Questão 30 
A figura mostra uma estrela (hexágono regular estrelado) em cujos 
vértices encontram-se fixas 6 cargas elétricas puntiformes. O 
prof Renato Brito pede para você determinar qual dos vetores 
abaixo melhor representa o campo elétrico resultante no 
centro dessa estrela : 
a)
b)
c)
d)
e)
 
-q
+3q
+3q +3q
-q
+q
 
Semana 2 de 15
Assunto sugerido: 
 Leis de Newton Sem Atrito, Espelhos Planos.
REVISÃO SEMANAL PROGRAMADA
Se você revisar um pouquinho a cada 
semana, não acumulará toda a revisão 
para a semana da véspera do 
vestibular, né verdade ?  
 
Questão 31 
Na distribuição de cargas elétricas representadas na figura, o ponto 
onde o campo elétrico é nulo fica: 
d = 2m
+9q -4q
 
a) entre as cargas e no centro. 
b) entre as cargas e a 0,3 m de +9q. 
c) a 2 m de – 4q e à sua direita. 
d) a 4 m de – 4q e à sua direita. 
e) a 2 m de +9q e à sua esquerda. 
 
Questão 32 
A figura mostra duas cargas fixas ao longo de um eixo. Em qual 
posição se deve colocar uma terceira Q, para que ela permaneça 
em equilíbrio ? 
d = 2m
+9q +4q
 
a) entre as cargas e no centro. 
b) entre as cargas e a 1,2 m de +9q. 
c) a 2 m de – 4q e à sua direita. 
d) a 4 m de – 4q e à sua direita. 
e) a 2 m de +9q e à sua esquerda. 
 
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30 
Questão 33 
A figura mostra duas cargas fixas ao longo de um eixo. Em qual 
posição se deve colocar uma terceira Q, para que ela permaneça 
em equilíbrio ? 
d = 2m
+q -q
 
a) entre as cargas e no centro. 
b) entre as cargas e a 1,2 m de +9q. 
c) a 2 m de – 4q e à sua direita. 
d) a 4 m de – 4q e à sua direita. 
e) não existe uma posição de equilíbrio 
 
Questão 34 
(FMC Santa Casa - SP) Considerando o esquema abaixo. Se a 
constante eletrostática vale K, o módulo do vetor campo elétrico no 
ponto P, devido às cargas elétricas + q e – q, é dado por: 
+q -q P
r r
 
a) 
2r3
kq4
 
b) 
2r
kq
 
c) 
2r4
kq3
 
d)
2r
kq2
 
Questão 35 
(UFAL) Considere um retângulo de lados 3 cm e 4 cm. Uma carga 
elétrica q colocada num dos vértices do retângulo gera no vértice 
mais distante um campoelétrico de modulo E. Nos outros dois 
vértices, o modulo do campo elétrico é: 
a) E/9 e E/16 
b) 4E/25 e 3E/16 
c) 4E/3 e 5E/3 
d) 5E/4 e 5E/3 
e) 25E/9 e 25E/16 
 
Questão 36 
(Fuvest-SP) O campo elétrico de uma carga puntiforme em 
repouso tem, nos pontos A e B, as direções e sentidos indicados 
pelas flechas na figura. O módulo do campo elétrico do ponto B 
vale 24V/m. O módulo do campo elétrico no ponto P da figura vale, 
em volt por metro: 
a) 3 
b) 6 
c) 4 
d) 12 
e) 23 
 
A
B
P
 
Dica: veja questão 9 de classe – página 21 
Questão 37 
(FUMEC-MG) Qual dos gráficos pode representar o campo elétrico 
criado por uma carga elétrica positiva, sendo d a distância do ponto 
considerado à carga? 
a) 
E
0
d
1
 
b) 
E
0 d
 
c) 
E
0
2d
1
 
d) 
E
0 d2
 
e) 
E
0
d 
 
 
Questão 38 
(Fafeod-MG) Uma placa condutora extensa e carregada 
positivamente produz um campo elétrico uniforme, conforme 
mostrado na figura a seguir. Uma carga pontual positiva 
q = 2C, colocada no ponto P sofre a ação de uma força elétrica 
FP = 30 N. Se essa mesma carga for colocada nos pontos Q e R, 
sofrerá ação de forças elétricas FQ e FR, tais que: 
a) FQ = FR = 30 N 
b) FQ = 15 N e FR = 10 N 
c) FQ = 60 N e FR = 90 N 
d) FQ = 15 N e FR = 90 N 
e) FQ = 60 N e FR = 10 N 
 
+
+
+
+
+
E
P Q R
xxx
 
Questão 39 
Uma partícula com carga positiva é abandonada entre duas placas 
planas, verticais, eletrizadas como mostra a figura abaixo. 
Considerando que o peso desta partícula não é desprezível, a 
trajetória que ela irá descrever será melhor representada por: 
 
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
----
----
----
----
----
----
----
 
 
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 31 
a) b) c) d) e)
 
Questão 40 
(UFPA) Entre as placas defletoras de um osciloscópio de raios 
catódicos a intensidade do vetor campo-elétrico é de 30.000 N/C. 
Sabendo-se que um elétron tem massa m = 910
31 kg e carga 
elétrica q = 1,6 10–19 C, a intensidade da aceleração que atua 
sobre um elétron colocado entre as placas é, aproximadamente, 
de: 
a) 1,9 . 1012 m/s2. b) 5,3 . 1015 m/s2. 
c) 1,9 . 1016 m/s2. d) 1,9 . 1050 m/s2. 
e) 5,3 . 1050 m/s2. 
 
Questão 41 
(FEI-SP) Uma pequena esfera de massa m, eletrizada com carga 
q, está apoiada numa placa isolante, inclinada, com um ângulo de 
 com o horizonte. Calcular a intensidade do campo eletrostático 
E que mantém a esfera em equilíbrio. 

E
 
Dica: você não vai esquecer de desenhar a normal N, vai ?  
Como se trata de um problema de equilíbrio, qualquer par de eixos resolve o 
problema. Assim, há duas opções para decompor as forças: 
1) decompor apenas a normal N em suas componentes Nx e Ny, sem decompor 
nem o peso nem a força elétrica; 
2) decompor o peso e a força elétrica, sem decompor a normal N, o que é mais 
trabalhoso e inviável. 
Questão 42 
(FUVEST)Sobre uma partícula carregada atuam exclusivamente as 
forças devidas aos campos elétrico e gravitacional terrestres. 
Admitindo que os campos sejam uniformes e que a partícula caia 
verticalmente, com velocidade constante (equilíbrio), podemos 
afirmar que: 
a) a intensidade do campo elétrico é igual à intensidade do campo 
gravitacional 
b) a força devida ao campo elétrico é menor, em modulo, do que o 
peso da partícula 
c) a força devida ao campo elétrico é maior, em modulo, do que o 
peso da partícula 
d) a força devida ao campo elétrico é igual, em modulo, ao peso da 
partícula 
e) a direção do campo elétrico é perpendicular à direção do campo 
gravitacional 
Dica: velocidade constante lhe diz alguma coisa, Aristóteles ? Equilíbrio, 
força resultante nula. 
 
Questão 43 
A figura mostra um pêndulo elétrico em equilíbrio sob ação de um 
campo gravitacional g = 10 m/s² e um campo elétrico uniforme de 
intensidade E = 7,5 . 103 N/C. Se a massa da esfera do pêndulo 
vale m = 10 g e  = 37o, determine a carga elétrica da esfera do 
pêndulo (expressa em C ). (Dado: sen 37o = 0,6 cos37o = 0,8) 
 
 
E
 
Questão 44 
Uma carga elétrica +q está localizada a uma distância D de um 
enorme plano eletrizado uniformemente com densidade superficial 
de carga + num meio onde a permissividade elétrica vale . 
O prof Renato Brito pede para você determinar a força elétrica 
com que essa carga será repelida : 
a) 

 q.
 b) 


2
q.
 c) 
2D.2
q.


 d) 
2D.
q.


 e) 


4
q.
 
 
Dica: veja questão 19 de classe, página 23. A carga elétrica sofrerá a ação do 
campo elétrico gerado por uma única placa. 
 
Questão 45 
Uma carga elétrica negativa q está localizada exatamente no 
ponto médio entre duas placas planas paralelas eletrizadas com 
densidades superficiais de cargas respectivamente iguais a + e 
 num meio onde a permissividade elétrica vale . Se a distância 
entre as placas vale D, o prof Renato Brito pede para você 
determinar a força elétrica com que age nessa carga: 
-q
+
+
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
-
-
-
D
 
a) 

 q.
 b) 


2
q.
 c) 
2D.2
q.


 d) 
2D.
q.


 e)
2D.4
q.


 
Dica: veja questão 19 de classe, página 23. A carga elétrica sofrerá a ação do 
campo elétrico total gerado pelas duas placas. Quanto vale esse campo elétrico ? 
 
Semana 3 de 15 
Assunto sugerido: 
 Leis de Newton Sem Atrito, Espelhos Esféricos.
REVISÃO SEMANAL PROGRAMADA
Se você revisar um pouquinho a cada 
semana, não acumulará toda a revisão 
para a semana da véspera do 
vestibular, né verdade ?  
 
Questão 46 
Duas pequenas esferas condutoras idênticas apresentam cargas 
elétricas +3q e –q, estão inicialmente separadas por uma distância 
d e se atraem com uma força de 6N. Quando colocadas em 
contato e colocadas em suas posições iniciais, as esferas: 
a) passam a se atrair com uma força de 8 N 
b) passam a se repelir com uma força de 8 N 
 
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32 
c) passam a se atrair com uma força de 2 N 
d) passam a se repelir com uma força de 2 N 
e) passam a se repelir com uma força de 6 N 
 
Questão 47 
Uma carga de prova q negativa é abandonada nas proximidades 
de uma carga fonte negativa Q fixa numa certa região do espaço. 
O efeito da gravidade é desprezível. Durante o movimento 
posterior da carga de prova, quais gráficos abaixo representam 
respectivamente o comportamento da intensidade da força que age 
sobre ela, da sua aceleração e da sua velocidade da partícula em 
função do tempo ? Despreze a gravidade. 
a) I, I e II 
b) I, I e I 
c) II, II e II 
d) I, II e III 
e) II, II e II 
E
-Q
fixa
-q
 
tempo
 
(I) 
tempo
 
(II) 
tempo
 
(III) 
tempo
 
(IV) 
 
Questão 48 
Seja um campo elétrico E uniforme gerado por um par de placas 
elétricas eletrizadas com cargas de sinais opostos. Uma carga 
elétrica é abandonada no interior desse campo elétrico uniforme 
nas proximidades da placa negativa. Quais gráficos a seguir 
melhor representam respectivamente a intensidade da força 
resultante agindo sobre a partícula, sua aceleração e sua 
velocidade em seu movimento posterior no interior desse campo 
elétrico ? Despreze as ações gravitacionais. 
 
-q
+
+
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
-
-
-
 
tempo
 
(I) 
tempo
 
(II) 
tempo
 
(III) 
tempo
 
(IV) 
a) IV, IV e IV b) III, III e III c) II, II e II 
d) I, II e III e) III, III e IV 
 
Questão 49 
(UECE 2010.2 1ª fase) Qual é o efeito na força elétrica entre duas 
cargas q1 e q2 quando se coloca um meio isolante, isotrópico e 
homogêneo entre elas? 
a) Nenhum, porque o meio adicionado é isolante. 
b) A força aumenta, devido a cargas induzidas no material isolante. 
c) A força diminui, devido a cargas induzidas no material isolante. 
d) Nenhum, porque as cargas q1e q2 não se alteram. 
Dica: esse conteúdo está explicado em detalhes nas páginas 18 e 19. 
Hora de Revisar
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Questão 01 
Um automóvel percorre a estrada ABC mostrada na figura ao lado, 
da seguinte maneira: trecho AB = velocidade média de 60 km/h 
durante 2 horas; trecho BC = velocidade média de 90 km/h durante 
1 hora. A velocidade média do automóvel no percurso AC será: 
 
a) 75 km/h b) 70 km/h c) 65 km/h d) 80 km/h 
 
Questão 02 
Qual dos gráficos abaixo representa melhor a velocidade v, em 
função do tempo t, de uma composição do metrô em viagem 
normal, parando em várias estações? 
a) 
 
b) 
 
 
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c) 
 
d) 
 
 
Questão 03 
Os gráficos abaixo referem-se às distâncias percorridas por três 
móveis à medida que o tempo passa. Podemos afirmar que o 
módulo da velocidade diminui em: 
 
 
 
 
 
a) I b) II c) III d) I, II e III e) I e II 
 
Questão 04 
Dois corpos partem em queda livre no mesmo instante. Ao corpo A 
é aplicada uma velocidade inicial para baixo, enquanto B parte do 
repouso. Se A é mais pesado que B, temos o seguinte gráfico 
velocidade x tempo: 
a) 
 
b) 
 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
 
 
Questão 05 
O famoso professor Raul Brito viaja para Sobral toda semana para 
lecionar Matemática. Usualmente, ele desenvolve uma velocidade 
média de 100 km/h durante todo o percurso. Na viagem da semana 
passada, ao ser surpreendido por uma chuva, decide reduzir a 
velocidade para 60 km/h, permanecendo assim até a chuva parar, 
20 min depois, quando retorna à sua velocidade inicial. Essa 
redução temporária de velocidade fez com que o tempo da viagem 
do Raul aumente, com relação à estimativa inicial, em: 
a) 4 min 
b) 6 min 
c) 8 min 
d) 10 min 
e) 12 min 
 
 
 
Questão 06 
Uma pessoa que estava no alto de um prédio lançou uma pedra 
verticalmente para cima. Se a resistência do ar é desprezível, qual 
dos gráficos abaixo melhor descreve a velocidade escalar da 
pedra, em função do tempo, durante o seu movimento posterior 
sob ação exclusiva da gravidade ? 
(a) 
tempo
V
 
(b) 
tempo
V
 
(c) 
tempo
V
 
 
(d) 
tempo
V
 
 
(e) 
tempo
V
 
 
 
Questão 07 (Unifor) 
Um corpo escorrega por um plano inclinado, sem a ação de forças 
dissipativas. Aceleração da gravidade vale g = 10 m/s². Partindo do 
repouso, ele desce 10 m em 2,0 s. Nessas condições, o ângulo 
que o plano inclinado forma com a horizontal mede: 
a) 15o b) 30º c) 45º d) 60º e) 75º 
 
Questão 08 (Unifor) 
Um projétil de massa 10 g e velocidade 400 m/s atravessa um 
obstáculo de 2,0 cm de espessura, perdendo 50% da sua 
velocidade. Nestas condições, a intensidade da força de 
resistência, exercida pelo obstáculo à penetração do projétil, 
suposta constante, foi de: 
a) 1000 N b) 2000 N c) 10.000 N d) 20.000 N 
e) 30.000 N 
 
 
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Questão 09 
Na questão anterior, o módulo do impulso sofrido pelo projétil, ao 
atravessar o obstáculo,vale: 
a) 2 N.s 
b) 4 N.s 
c) 20 N.s 
d) 40 N.s 
e) 0,2 N.s 
 
Questão 10 (Unifor) 
Um bloco de madeira, de massa 40 kg e volume 50 litros, flutua 
parcialmente submerso em água. Sendo g = 10 m/s², determine a 
intensidade da força mínima que deve ser aplicada ao bloco de 
madeira para que ele fique completamente imerso na água: 
a)100 N 
b) 200 N 
c) 300 N 
d) 400 N 
e) 500 N 
 
Questão 11 (Unifor 2013.2) 
Dois aviões comerciais partem de Fortaleza com destino a Lisboa, 
com 30 minutos de diferença. O primeiro viaja a uma velocidade de 
880 km/h. Já o segundo viaja a 1.040 km/h. Em quanto tempo, 
após a partida do segundo avião, o primeiro é ultrapassado? 
a) 2h 15min. 
b) 2h 20min. 
c) 2h 30min. 
d) 2h 45min. 
e) 2h 50min. 
 
Questão 12 (Unifor 2013.2) 
Em uma construção, os tijolos são arremessados do solo plano por 
um servente de pedreiro, para outro que se encontra no alto e na 
borda do prédio, com uma velocidade inicial Vo = 10,0 m/s, 
formando um ângulo β de 60º com a horizontal, conforme figura 
abaixo. Cada tijolo é pegado (o certo é pegado, pego é errado) 
pelo servente de pedreiro no alto do prédio, 1,0 s após ser 
arremessado. Despreze as dimensões dos tijolos, dos serventes de 
pedreiro e a resistência do ar. Adote g = 10,0 m/s2, sen60o = 0,8 e 
cos60o = 0,5. 
 
A partir dessas informações, analise as proposições a seguir: 
I. Os tijolos são recebidos pelo servente na trajetória descendente 
do arremesso. 
II. A distância X do arremessador ao prédio é menor do que 6,0 
metros. 
III. Os tijolos são pegos pelo servente ainda na trajetória 
ascendente. 
IV. A altura do prédio, o valor de Y, é maior do que 5,0 metros. 
Assinale a alternativa CORRETA: 
a) São verdadeiros os itens I, II e III. 
b) São verdadeiros os itens II, III e IV. 
c) São verdadeiros os itens I e II. 
d) São verdadeiros os itens II e III. 
e) São verdadeiros os itens III e IV. 
 
Questão 13 
Dois carros da polícia se cruzam numa esquina e prosseguem, 
cada um, em seus movimentos retilíneos com velocidades 
30 m/s e 40 m/s, respectivamente. A comunicação entre os carros 
via rádio só é possível enquanto a distância entre eles for inferior a 
1 km. 
 
Durante quanto tempo, após o cruzamento, os policiais 
conseguirão manter a comunicação via rádio ? 
 
 
 
Renato 
Brito
 
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1– Por que Estudar Trabalho e Energia em Eletrostática ? 
No capítulo de “Trabalho e Energia”, mostramos a importância 
desses conceitos na análise e resolução de problemas de 
Mecânica, especialmente em situações em que as forças atuantes 
eram variáveis (força elástica, por exemplo) e, portanto, tornava-se 
indispensável a aplicação dos conceitos de Energia para solucionar 
as questões usando apenas matemática de 2o grau. 
Em problemas de Eletrostática, a intensidade da força elétrica 
que atua sobre cargas elétricas, geralmente, varia, durante o 
deslocamento delas. Esse fato faz, dos conceitos de Trabalho e 
Energia, uma ferramenta indispensável ao estudo da dinâmica do 
movimento de cargas elétricas. 
 
2 – Forças Conservativas e a Função Potencial 
No capítulo de “Trabalho e Energia”, aprendemos que uma Força 
Conservativa é aquela cujo rabalho realizado no deslocamento 
entre dois pontos tem sempre o mesmo valor, independente da 
trajetória seguida pela força ao se mover entre aqueles dois 
pontos. 
Essa propriedade se deve, em parte, ao fato de que cada Força 
Conservativa tem uma função peculiar, denominada função 
potencial, que surge naturalmente, quando se determina o trabalho 
realizado por qualquer força desse tipo, conforme estudado no 
capítulo 5 para o caso das forças peso e elástica. 
Em geral, as funções potenciais são função de alguma coordenada 
espacial tal como a altura H de uma massa no campo 
gravitacional, ou a deformação X apresentada por uma mola, 
sendo, tipicamente, funções independentes do tempo. 
Por essas suas características, os valores fornecidos por essas 
funções potenciais são, fisicamente, interpretados como Energias 
Potenciais, isto é, energias que estão armazenadas no sistema e 
que estão relacionadas à posição ocupada pelo corpo, medidas em 
relação a algum nível de referência do sistema. 
 
Tabela – Forças conservativas e suas energias potenciais 
Forças 
Conservativas 
Energia Potencial Trabalho Realizado 
Força peso Ep = m.g.H  = mg.H i – m.g.H F 
Força elétrica Ep = q . v  = q.V i – q.V F 
Força elástica Ep =
2
xK 2
  = 
2
x.K
2
x.K 2
F
2
i  
 
A grande utilidade do conceito de função potencial e energia 
potencial é calcular o trabalho realizado por qualquer uma dastrês forças conservativas FC , no deslocamento de um móvel entre 
dois pontos, sem levar em conta o caminho percorrido pelo móvel 
entre esses dois pontos, isto é, conhecendo-se apenas as posições 
inicial e final ocupada pelo móvel, fazendo uso da expressão: 
FC = Epot inicial – Epot Final [eq-1] 
A tabela mostra a aplicação da expressão [eq-1] para cada uma 
das três forças conservativas da natureza. 
Ei, Renato Brito, quer dizer que a
força elétrica também tem uma
função potencial peculiar, eh?
 
Certamente, Claudete. Por ser conservativa, a Força Elétrica 
apresenta uma função potencial associada a si e, conseqüente-
mente, uma energia potencial elétrica. A forma da função potencial 
varia, dependendo do tipo de campo elétrico em que se esteja 
trabalhando. Basicamente, trabalharemos com dois tipos de 
campo: (1) o campo coulombiano causado por cargas puntiformes; 
(2) e o campo elétrico uniforme, produzido por placas ou planos 
uniformemente eletrizados. 
 
3 – Energia Potencial em campos coulombianos 
A figura 1 mostra uma carga puntiforme +q se move entre dois 
pontos A e B do campo elétrico coulombiano gerado por uma 
carga fonte puntiforme +Q. 
 
figura 1 
 
Durante esse deslocamento, a força elétrica que atua sobre a 
carga de prova +q é dada pela Lei de Coulomb e sua 
intensidade diminui desde o valor inicial FA até o valor final FB 
conforme o gráfico da figura 2: 
 
F
d
d
A
d
B
F
A
F
B
Figura 2
 
 
com 
 
FA = 
2
A )d(
q.Q.K
 
e 
FB = 
2
B )d(
q.Q.K
 
O trabalho realizado pela força elétrica, quando a carga puntiforme 
se desloca da posição A até a posição B, representado por AB , 
é dado pelo valor da área hachurada no gráfico F x d. A técnica 
matemática capaz de calcular a área sob o gráfico de qualquer 
Capítu lo 14 - Trabalho e 
Energia no Campo Eletrostát ico 
 
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36 
função chama-se Integração, uma ferramenta matemática de nível 
superior que foge aos interesses do nosso curso. 
O aluno não deve se
preocupar com os detalhes
operacionais do cálculo da
área hachurada, mas, sim,
com o seu significado físico.
 
Sem entrar nos detalhes operacionais, o valor da área hachurada 
sob o gráfico da figura 2, entre as posições dA e dB , é dada por: 
AB = área hachurada 
AB = 
Ad
q.Q.K
 – 
Bd
q.Q.K
 [eq-2] 
Comparando as expressões [eq-1] e [eq-2], mais uma vez 
percebemos a presença da função potencial no cálculo do trabalho 
realizado por uma força conservativa. Ela surge naturalmente, 
conforme dito anteriormente e, nesse caso, é dada por: 
EP = 
d
q.Q.K
 [eq-3] 
Pela análise dimensional da expressão [eq-2], como o trabalho 
AB é expresso em joules (SI), a função potencial [eq-3] também 
fornece valores em joules e, assim, associa um valor de energia 
potencial elétrica a cada posição d da carga de prova +q no 
campo coulombiano gerado por +Q na figura 1. 
 
 
Energia potencial elétrica de um par de cargas elétricas Q e q 
Quando um par de cargas Q e q interagem eletricamente entre 
si, separadas por uma distância d, a energia potencial elétrica EP 
associada a essa interação é dada pela expressão [eq-3] e é 
conhecida como a Energia de ligação elétrica do par de cargas. 
 
 
figura 4 – a todo par de cargas elétricas que interagem entre si 
está associada uma energia potencial elétrica, uma “energia de ligação”. 
 
 
4 – Entendendo Fisicamente a Energia Potencial elétrica 
Costumo dizer aos alunos que, por ser muito abstrato, o conceito 
de Energia Potencial é um desafio tanto para quem vai ensiná-lo 
quanto para quem vai aprendê-lo. Assim, a fim de torná-lo o mais 
intuitivo possível, tirarei proveito de algumas semelhanças entre a 
Energia Potencial Elétrica de um par de cargas e a Energia 
Potencial Elástica armazenada numa mola. 
Desse ponto em diante, o aluno deve se concentrar bastante no 
texto, tentando abstrair o simples do complicado, para que 
vençamos, juntos, o desafio. 
Afff.. profinho, eu pensava
que era só eu que achava
essa matéria abstrata.
Tomara que eu consiga
entender a Física em jogo
dessa vez.
 
Para entender, fisicamente, a Energia Potencial Elétrica, tomemos, 
por exemplo, um sistema atrativo como o da figura 5: Uma carga 
positiva, fixa à parede, atraindo uma carga elétrica negativa. 
Esse sistema elétrico atrativo possui energia potencial negativa, 
segundo a expressão eq-3 (produto de cargas de sinais contrários). 
Isso ocorre à maioria dos sistemas atrativos e compreenderemos a 
seguir o significado físico desse sinal negativo. 
EPot = 
    

K ( Q) ( q) K.Q.q
d d
 < 0 
Para aumentar a distância d entre as cargas elétricas da figura 5, 
ou seja, para aumentar o comprimento da “ligação elétrica” 
existente entre elas, o operador precisa aplicar uma força e, assim, 
realizar um trabalho contra as força elétricas atrativas (movimento 
forçado), como ilustra a figura 5. 
Quanto maior se tornar a distância d entre essas cargas elétricas, 
maior terá sido o trabalho realizado pelo garoto para afastá-las. 
Esse trabalho que ele realiza fica armazenado no sistema na forma 
de Energia Potencial Elétrica, aumentando a “energia de ligação do 
par de cargas” (eq-3). 
d
 
figura 5 – garoto afastando cargas elétricas que se atraem - movimento forçado - 
A energia potencial do sistema aumenta 
 
Assim, à medida que a distância d entre as cargas elétricas for 
progressivamente aumentando ( d = 1 m, 10 m, 100 m, 1000 m...), 
até atingir uma distância infinita d = , o sistema armazenará uma 
energia potencial crescente – 1000J, –800J, – 500 J,...., – 200J, 
100 J, 10 J..... etc. atingindo energia potencial elétrica máxima 
de 0 J quando as partículas estiverem infinitamente afastadas. 
Isso está está de acordo com eq-3 . 

 

K.Q.q
Epot elétrica
d
 < 0 
O operador na Figura 5 está realizando trabalho positivo ( força 
F  para a direita, deslocamento  para a direita; enquanto a 
força elétrica que age na carga negativa está realizando 
trabalho negativo (força elétrica para a esquerda , 
deslocamento para direita ). 
d
 
figura 5 – garoto afastando cargas elétricas que se atraem 
 movimento forçado - A energia potencial do sistema aumenta 
 
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Esse comportamento também é esperado. Em todo movimento 
não-espontâneo, a força conservativa (força gravitacional, peso, 
força elétrica ou força elástica) sempre realiza trabalho negativo. 
 
De acordo com a famosa relação abaixo (válida para qualquer 
força conservativa), esse trabalho negativo da força elétrica está 
associado ao aumento da Epot do sistema (Epot final > Epot inicial) 
Forças Conservativas = Epot inicial – Epot Final 
Felétrica = Epot inicial – Epot Final 
Esse aumento da Epotencial elétrica do sistema está associado ao 
descréscimo de energia que o próprio operador sofre nesse 
processo. Se a energia potencial elétrica do sistema aumentar 
100J, o corpo humano do operador teve esse decréscimo de 
energia e precisará se alimentar novamente para repor esse gasto 
de energia. Pode parecer brincadeira  mas é sério. 
Ei, Renato Brito, e
se o sistema
fosse repulsivo ?
 
Boa pergunta, como sempre, Claudete. Para falar sobre isso, 
considere o sistema mostrado na figura 7. Para um operador 
reduzir a distância entre cargas que se repelem, ele terá que 
realizar um trabalho contra as forças elétricas repulsivas 
(movimento forçado), trabalho esse que irá sendo armazenado no 
sistema, na forma de “energia potencial da ligação elétrica do par 
de cargas”, à medida que for sendo realizado. 
d
 
figura 7 – garoto aproximando cargas elétricas que se repelemmovimento forçado – A energia potencial do sistema aumenta 
 
Assim, à medida que a distância d entre as cargas repulsivas 
(figura 7) for diminuindo (+, 1000 m, 100 m, 10 m, 1 m .. etc 
o sistema armazenará uma energia potencial elétrica crescente 
começando com o valor mínimo de 0 J (para d = ) e 
aumentando +10 J, 100J, + 200J, + 400J, ..., + 1000J), o que está, 
matematicamente, de acordo com a expressão eq-3. 

 

K.Q.q
Epot elétrica
d
 > 0 
O operador na Figura 7 está realizando trabalho positivo ( força 
F  para a direita, deslocamento para a direita ; enquanto a 
força elétrica que age na carga negativa está realizando 
trabalho negativo (força elétrica para a esquerda , 
deslocamento para direita ). 
Esse comportamento também é esperado. Em todo movimento 
não-espontâneo, a força conservativa (força gravitacional, peso, 
força elétrica ou força elástica) sempre realiza trabalho negativo. 
 
De acordo com a famosa relação abaixo (válida para qualquer 
força conservativa), esse trabalho negativo da força elétrica está 
associado ao aumento da Epot do sistema (Epot final > Epot inicial) 
Forças Conservativas = Epot inicial – Epot Final 
Felétrica = Epot inicial – Epot Final 
Podemos generalizar, dizendo que, ao aproximarmos cargas que 
se repelem, estamos realizando um processo não-espontâneo, um 
deslocamento forçado. Nesses tipos de processos, a energia 
potencial do sistema sempre aumenta. 
Por outro lado, ao afastarmos cargas elétricas que se repelem, a 
energia potencial do sistema diminuirá, visto que o deslocamento 
será espontâneo. 
Esse princípio é geral e se aplica ao trabalho realizado por 
qualquer uma das três forças conservativas (elétricas, elásticas ou 
gravitacionais). O diagrama da figura 9 resume as idéias em jogo: 
Movimentos
não-espontâneos
Energia potencial
aumenta
Movimentos
espontâneos
Energia potencial
diminui
Figura 9 – Diagrama mostrando a relação entre a Espontaneidade e Energia 
potencial no trabalho realizado por forças conservativas 
É devido a essa conexão entre Espontaneidade e Energia 
Potencial que, em geral, sistemas atrativos apresentam Energia 
potencial negativa, e vice-versa. Esse fato pode ser verificado até 
mesmo em sistemas atrativos gravitacionais como a Terra-sol , 
estudados em gravitação. 
A exceção ocorre apenas no caso da energia potencial elástica, 
que é sempre positiva (EPelást = k.x2 / 2) , independente de o sistema 
elástico estar se comportando como atrativo (mola elongada) ou 
repulsivo (mola comprimida). Ainda assim, a relação entre 
Espontaneidade e Energia Potencial , esquematizada na figura 9, 
permanece verdadeira para qualquer uma das três forças 
conservativas da natureza, inclusive a força elástica. 
Ei, Renato Brito, e se ambas as
cargas se moverem durante o
episódio, como se calcula o trabalho
realizado pelas forças elétricas
nesse processo?
 
Claudete, observe o episódio da figura 10 onde duas cargas 
elétricas Q e q se deslocam, enquanto interagem mutuamente. 
Conforme as expressões eq-1 e eq-2, dado o caráter conservativo 
das força elétricas, o trabalho que todas elas realizam nesse 
deslocamento das cargas (no caso, temos um par de forças 
ação-reação) , é simplesmente dado por: 
Felétricas = Epot inicial – Epot Final = 
Ad
q.Q.K
 – 
Bd
q.Q.K
 
 
figura 10 – A energia potencial elétrica do sistema só depende da energia de 
ligação do par de cargas nos estados inicial e final, independente do percurso. 
 
 
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Exemplo Resolvido 1 : Duas cargas elétricas que estão no vácuo, 
inicialmente distanciadas de di = 4 m, se atraem com uma força 
elétrica Fi = 500 N. O garoto Raul irá aumentar a distância entre 
essas cargas desde di = 4m até dF = 20m, puxando a carga 
negativa com muito sacrifício, como mostra a figura. A carga 
positiva está fixa à parede. 
a) Determine a intensidade da força elétrica entre as cargas, 
quando a distância entre elas for dF = 20 m. 
b) Adotando o referencial no infinito, determine a energia potencial 
elétrica do sistema quando as distâncias que separam as 
cargas valerem, respectivamente, di = 4m e dF = 20m. 
c) Qual o trabalho realizado pela força elétrica nesse episódio ? 
d) Sabendo que a caixa está em repouso no início e no término 
desse deslocamento, qual o trabalho realizado pelo Raul ? 
 
d
Figura 11
 
Solução: 
a) Se a força inicial vale Fi = 500 N, para di = 4 m, com base na 
Lei de Coulomb, facilmente determinamos o valor da força FF para 
dF = 20 m. Veja: 
Fi = 
2
i )d(
q.Q.K
  500 = 
2)4(
q.Q.K
 [eq-4] 
FF = 
2
F )d(
q.Q.K
  FF = 
2)20(
q.Q.K
 [eq-5] 
Dividindo, membro a mesmo, as relações [eq-4] e [eq-5], vem: 
FF
500
 = 
16
400
  FF = 20 N 
F(N)
d(m)4 20
500
20
 
figura 12 – gráfico mostrando a intensidade da força 
elétrica que atua sobre as cargas +q e –q quando a 
distância entre elas é aumentada de 4m até 20 m. 
b) Da expressão [eq-4], é fácil perceber que: 
K.|Q|.|q| = 500 x 42 = 8000 (no SI) [eq-6] 
Ei, Renato Cabrito.... como vou
saber se a conta deve ser feita
"em módulo" ou levando em
consideração os sinais, hein?
Isso é moleza,
Claudete ! Veja
a seguir.
 
Claudete, quando estivermos determinando o módulo de uma 
grandeza vetorial, como força, campos etc. o cálculo é sempre 
efetuado “em módulo”. Por outro lado, em se tratando de 
grandezas escalares, como energia, o cálculo precisa ser feito 
algebricamente, levando-se em conta o sinal das grandezas 
envolvidas, como as cargas elétricas. Nesse problema, estamos 
tratando com cargas de sinais opostos. Todas as expressões de 
energia, incluindo as expressões eq-1, eq-2 e eq-3 , serão usadas 
algebricamente (escalarmente). 
Fazendo uso das expressões eq-3 e eq-6, vem: 
Epi = 
id
)q).(Q.(K 
 = 
4
8000
 = –2000 J [eq-7] 
EpF = 
Fd
)q).(Q.(K 
 = 
20
8000
 = –400 J [eq-8] 
Como era esperado, a energia potencial elétrica do sistema (da 
figura 11) aumentou , no deslocamento não-espontâneo da carga 
negativa, passando de Epi = –2000 J para EpF = –400J. Assim, 
ao final desse deslocamento, o sistema apresenta um maior 
conteúdo energético (–400J > –2000 J) . 
c) O trabalho realizado pela força elétrica pode ser determinado 
pelas expressões eq-1 ou eq-2, resultando: 
Felet = Epot inicial – Epot Final 
Felet = [ –2000 ] – [ –400J ] 
Felet = –1600 J [eq-9] 
Fisicamente, esse resultado diz que a energia potencial elétrica do 
sistema aumentou 1600 J , em conseqüência desse deslocamento 
não-espontâneo. Note que esse valor corresponde à área 
hachurada sob o gráfico da figura 12, conforme aprendemos 
em eq-2. 
 
d) Como a caixa parte do repouso vi = 0 e pára, ao término do 
deslocamento, vF = 0, pelo Princípio do Trabalho Total, temos: 
total = Ecin F – Ecin i 
total = Felétrica + operador = Ecin F – Ecin i 
total = Felétrica + operador = 0 – 0 
operador = – Felet , assim : 
operador = – Felet = + 1600 J [eq-9] 
 
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Por que o trabalho realizado pelo operador foi positivo? 
Fisicamente, a força  que Raul aplicou, durante o deslocamento 
da carga negativa, está na mesma direção e sentido do 
deslocamento  dessa carga, o que justifica o sinal algébrico 
positivo (+) encontrado para o trabalho realizado por essa força. 
Em última análise, o Raul gastou 1600 J nesse episódio e essa 
energia ficou armazenada no sistema em forma de energia 
potencialelétrica da interação entre as cargas. 
Exemplo Resolvido 2: 
profinho, se o Raul soltar agora
a corda, qual será a velocidade
da carga negativa, ao passar
pela posição original ?
Facinho, claudete !
Aplique conservação
de energia !
 
 
Solução: 
Se o Raul soltar a corda, a energia potencial elétrica do sistema irá, 
gradativamente, diminuir (–400J, –600J, –1000J, ... , –2000J) , 
durante o movimento espontâneo de retorno da caixa, sendo 
convertida em energia cinética durante a realização de trabalho por 
parte da força elétrica. Como a única força a realizar trabalho, 
nesse retorno, é conservativa (força elétrica), o sistema será 
conservativo. 
 d = 20 m
 
figura 13 – Situação inicial, no retorno da caixa: o sistema 
só tem energia potencial elétrica. A carga negativa parte do 
repouso (v=0). 
 
 d = 4 m v
 
figura 14 – Situação final , no retorno da caixa: o sistema tem 
energia potencial elétrica e tem energia cinética da carga 
negativa que se move. 
Energia total inicial = Energia total final 
Epot i + Ecin i = Epot F + Ecin F 
Epot i + 0 = Epot F + Ecin F 
Ecin F = Epot i – Epot F 
A expressão acima confirma que a energia cinética Ecin adquirida 
pela carga negativa é proveniente da redução da Epot do sistema, 
evidenciada pela redução da distância entre as cargas. 
Substituindo, vem: 
Ecin F = Epot i – Epot F 
2
v.m 2
 = 
di
)q).(Q.(K 
 – 
Fd
)q).(Q.(K 
 
Para fins de cálculo, adotaremos que a massa da carga negativa 
vale m = 20 g = 20.10–3 kg. Ainda se tratando das cargas do 
exemplo anterior, podemos fazer uso da relação eq-6, e escrever: 
 
2
v.m 2
= (
20
8000
) – ( 
4
8000
 ) 
2
v.10.20 23
 = 1600  v = 400 m/s 
O cálculo acima mostrou que, durante o retorno espontâneo da 
carga negativa, a força elétrica realizou trabalho e converteu em 
energia cinética os 1600 J que Raul havia, inicialmente, injetado 
no sistema na forma de trabalho. 
 
5 – O Referencial da Energia Potencial elétrica 
Conforme já aprendemos, energia potencial significa energia de 
posição, energia associada à posição dos corpos num sistema. 
Essa modalidade de energia estará presente sempre que corpos 
interagirem entre si através de alguma das três forças 
conservativas da natureza. 
Assim como a toda mola deformada está associada uma Energia 
Potencial Elástica, a todo par de cargas elétricas está associada 
uma Energia Potencial Elétrica. 
No caso de uma mola, é preciso que a mesma apresente qualquer 
deformação (compressão ou elongação) para que haja interação 
elástica, para que haja força e energia potencial elásticas em jogo. 
Caso contrário, força e energia potencial elásticas no sistema 
serão nulas. 
Entretanto, no caso das cargas elétricas, basta que uma delas 
esteja, meramente, na presença da outra para que haja interação 
(força) elétrica entre elas, para que haja energia potencial elétrica 
no sistema. 
Para anular a Energia potencial elétrica de um sistema composto 
por duas cargas elétricas (figura 4 – pág 36), seria preciso afastá-
las infinitamente. Matematicamente, isso significa d na 
expressão eq-3 (pág 36), implicando que EP0. Fisicamente, 
significa que uma carga elétrica deixaria de “sentir a presença da 
outra”, deixaria de haver interação (força) elétrica entre elas, a 
“ligação entre elas seria rompida”, como se diz na Química. 
Vale ressaltar que, de fato, as ligações iônicas são de natureza 
meramente eletrostática, ao contrário das ligações covalentes. 
Assim, da mesma forma que convencionamos que a energia 
potencial gravitacional EPot = m.g.h é zero quando o corpo está 
no chão (h = 0), também fica convencionado que, num campo 
coulombiano, a energia potencial do sistema é nula quando a 
distância entre as cargas for infinita ( d ). 
 
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40 
 
 
LEITURA COMPLEMENTAR 
Rigorosamente, a energia potencial de um par de cargas poderia 
ser admitida nula para qualquer distância d de separação entre 
elas (figura 4 – pág 36), o que faz com que a expressão eq-3 
possa ser escrita na forma mais geral : 
EP = 
d
q.Q.K
 + Ep0 [eq-10] 
onde Epo é uma constante arbitrária que permite ajustar para 
qual distância d de separação entre as cargas a energia potencial 
elétrica Ep do par será anulada. 
Conforme dito, em geral, em campos coulombianos o 
referencial é tomado no infinito, isto é, convenciona-se EP = 0 
quando d  . Assim, conforme eq-10, quando essa for a 
convenção adotada, teremos: 
EP = 
d
q.Q.K
 + Ep0 = 0 , com “d = ” 
EP = 
K.Q.q

 + Ep0 = 0  0 + Ep0 = 0 
Ep0 = 0 
Nesse caso, portanto, adotaremos EPo = 0 e diremos que 
“o referencial adotado está no infinito”, ou seja, que arbitramos 
Epot = 0 para d = . 
A constante arbitrária EP0 tem papel secundário em nosso 
estudo, visto que o nosso objetivo maior é determinar o trabalho 
realizado por forças elétricas nas mais diversas circunstâncias e 
saber tirar proveito disso. Como esse cálculo é realizado 
subtraindo-se as energias potenciais inicial e final do sistema 
através da expressão eq-2 (pág 36), o valor do trabalho acaba 
independendo da constante arbitrária EP0, que é cancelada durante 
a operação de subtração. 
Quando nada for dito sobre o referencial adotado em 
problemas de eletrostática (em campos elétricos coulombianos, 
subentende-se que o referencial está adotado no infinito. Em 
campos elétricos uniformes não existe essa convenção uma vez 
que a relações eq2 e eq3 pagina 36 não são validas para esses 
campos. 
 
6 – A Energia Potencial elétrica de um sistema de partículas 
Quando um sistema é composto por apenas um par de partículas 
elétricas, apenas uma interação elétrica (ligação elétrica) ocorrerá 
no sistema (figura 4 – pág 36). Nesse caso, a energia potencial do 
sistema será a energia de uma única ligação elétrica, dada pela 
expressão eq-3 (pág 36) . 
 
 
figura 15 – A figura ilustra um sistema elétrico composto por 
três cargas elétricas puntiformes +Q dispostas nos vértices de 
um triângulo equilátero de lado L. 
 
Mas o que dizer de um sistema composto por três cargas elétricas 
de mesmo módulo Q dispostas, por exemplo, nos vértices de um 
triângulo equilátero de lado L (figura 15) num plano horizontal 
liso ? Quantas interações elétricas ocorrem nesse sistema ? Para 
melhor compreender, note que cada interação consiste em: 
 um par de cargas 
 um par de forças (ação-reação) 
 e uma energia de ligação daquele par, dada por eq-3. 
 
A Energia Potencial Elétrica total de um sistema é a soma das 
energias de todas as “ligações elétricas” presentes no sistema, 
resultado da interação de todos os pares de cargas elétricas que o 
compõem, duas a duas. 
 
Na figura 15, facilmente podemos contar um total de três “ligações 
elétricas”. Somando a energia de cada uma das três ligações, 
fazendo uso de eq-3, facilmente determinamos a energia potencial 
elétrica total do sistema: 
Epot-elet- sistema = Epot A-B + EpotA-C + Epot B-C 
Epot-elet- sistema = 
L
)Q).(Q.(k 
 + 
L
)Q).(Q.(k 
 + 
L
)Q).(Q.(k 
 
Epot-elet- sistema = – 
L
Q.k 2
 [eq-11] 
Essa é a energia potencial elétrica total armazenada no sistema 
da figura 15. 
 
Exemplo Resolvido 3 : 
Noooossa, profi ! Se liberarmos a
carga C, a partir do repouso, na
figura 15, teremos uma baladeira
elétrica ! Com que velocidade a
carga C cruzaria o segmento que
une as cargas fixas A e B, profi ?
Boa idéia, Claudete !
Aplique de novo a
conservação de
energia !
Solução: 
A energia cinética adquirida pela carga C é proveniente da 
diminuição das energias potenciais elétricas das interações AC e 
BC,evidenciada pela redução do comprimento dessas ligações. O 
problema é facilmente resolvido por conservação de energia, visto 
que a única força que realiza trabalho é conservativa 
(força elétrica). 
 
 
figura 16 – Liberando a carga C a partir do repouso, a 
sua energia cinética aumentará às custas da diminuição 
da energia potencial elétrica do sistema. 
 
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A seguir, determinaremos a energia potencial elétrica total do 
sistema (final) mostrado na figura 16: 
Epot-elet- sistema Final = Epot A-B + EpotA-C + Epot B-C 
Epot-elet-sistemaFinal = 
L
)Q).(Q.(k 
 + 
2/L
)Q).(Q.(k 
 + 
2/L
)Q).(Q.(k 
 
Epot-elet- sistema Final = – 
L
Q.k.3 2
 [eq-12] 
Comparando-se as energias potenciais do sistema antes e após o 
deslocamento da carga C, vemos que sua energia potencial 
diminuiu. Em se tratando de um sistema conservativo, isso implica 
tanto que a energia cinética do sistema aumentou, quanto que o 
movimento da partícula foi espontâneo: 
– 
L
Q.k.3 2
< –
L
Q.k 2
  Epot final < Epot inicial  
movimento
espontâneo
 
 
 
 
Podemos aplicar a conservação da energia total do sistema e, 
facilmente, determinar a velocidade v da carga C da figura 16: 
 Energia total antes = energia total depois 
Epot antes + Ecin antes = Epot depois + Ecin depois 
Epot antes + 0 = Epot depois + Ecin depois 
Ecin depois = Epot antes – Epot depois 
A expressão acima confirma que a energia cinética Ecin adquirida 
pela carga C provém da diminuição da Epot do sistema. Seja m a 
massa da carga C. Substituindo os resultados anteriores eq-11 e 
eq-12 , vem: 
Ecin depois = Epot antes – Epot depois 
Ecin depois = (–
L
Q.k 2
) – (– 
L
Q.k.3 2
) 
2
v.m 2
 = 
L
Q.k.2 2
  v = 
L.m
k
.Q.2 
Essa é a velocidade v atingida pela carga C, ao cruzar o segmento 
que une as cargas A e B (figura 16). Vale ressaltar que a carga C 
permanecerá oscilando indefinidamente, sobre a mediatriz do 
segmento AB, entre dois extremos simétricos em relação a esse 
eixo. O movimento será periódico, mas não será um MHS. Afinal, 
nem todo movimento periódico pertence à classe dos movimentos 
harmônicos simples, conforme veremos no módulo de MHS 
adiante. 
 
7 – Numero de ligações elétricas num sistema de partículas 
O leitor deve perceber que a quantidade de “ligações elétricas” a 
serem computadas, no cálculo da energia potencial elétrica de um 
sistema , aumenta muito rapidamente, quando mais cargas são 
adicionadas ao sistema. Por exemplo, acrescentando apenas mais 
uma carga elétrica ao sistema da figura 15, o número de ligações 
a serem computadas salta de três ligações para seis ligações, 
como mostra a figura 17. 
A energia potencial elétrica desse sistema (formado por 4 cargas 
elétricas positivas +Q dispostas nos vértices de um quadrado de 
lado L) é dada pela somas das energias das seis ligações: 
Epot. Elétr sistema = 
K.Q.Q K.Q.Q
4. 2.
L L. 2
  
   
   
 
Podemos generalizar dizendo que, num sistema composto por N 
cargas elétricas, cada carga interage com as demais (N–1) cargas, 
perfazendo um total de N.(N–1) interações. Entretanto, note que 
cada interação foi contada duas vezes (AB e BA) e, assim, 
precisamos dividir esse resultado por dois. 
 
 
figura 17 – um sistema composto por quatro cargas elétricas possui um total de 6 
interações elétricas, isto é, seis ligações cujas energias devem ser somadas para se 
obter a energia potencial total do sistema. 
Finalmente, para um sistema composto por N cargas elétricas (que 
podem estar alinhadas ou não) , estarão presentes um total de 
“N.(N–1) / 2” interações a ser computadas no cálculo da Energia 
Potencial Elétrica total do sistema. No caso particular da figura 17, 
temos um sistema com N = 4 cargas elétricas e um total de 6 
ligações elétricas a serem computadas. 
 
figura 18 – esse sistema também é formado por quatro 
cargas elétricas e, portanto, também apresenta 6 “ligações 
elétricas” . Você é capaz de contá-las ? 
 
Usando a linguagem da Análise Combinatória, o número de 
ligações a serem computadas é “combinação no número N de 
cargas do sistema, tomadas 2 a 2”, já que precisamos computar 
todos os pares presentes, dois a dois. 
 
8 – Energia potencial de uma partícula do sistema 
Conforme já vimos, a energia potencial do sistema é o resultado de 
todas as interações que ocorrem em seu interior e está disponível 
para todas as partículas que o compõem. Em outras palavras, essa 
energia, rigorosamente, pertence a todo o sistema e, não, a uma 
partícula individual. 
Entretanto, costumeiramente, é útil imaginar qual parcela dessa 
energia potencial está disponível para uma certa partícula do 
sistema, se todas as demais fossem mantidas fixas. É o que se 
chama de energia potencial daquela partícula. 
 
figura 19 – sistema composto por três cargas QA , QB e QC . 
Assim, considere o sistema da figura 19. Se mantivermos B e C 
fixas, qual é a energia potencial elétrica da carga A ? 
 
A energia potencial de uma partícula de um sistema é soma das 
energias de todas as ligações das quais ela participa naquele 
sistema. 
 
 
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Observando a carga elétrica QA , vemos que ela interage com as 
cargas B e C, através das ligações LAC e LAB e, portanto, a sua 
energia potencial elétrica é dada por: 
EpotA = Epot-AC + Epot-AB = 
AC
CA
D
QQ.K
 + 
AB
BA
D
QQ.K
 [eq-13] 
Exemplo Resolvido 4 : 
Noooossa, profi ! Se liberarmos a
carga A, a partir do repouso, na
figura 19, ela irá se afastar
indefinidamente do sistema pelos
próximos um milhão de anos ?
Quase isso, Claudete.
Analisemos a sua
pergunta a seguir.
 
 
Solução: 
Se abandonarmos a carga A, mantendo B e C fixas, essa é a 
energia (EpotA) que a carga A irá dispor para se afastar 
espontaneamente de B e C rumo ao infinito. 
À medida que A vai se afastando, sua energia potencial elétrica 
vai, gradativamente, sendo convertida em energia cinética, durante 
a realização do trabalho realizado pela força elétrica. 
Quando a carga A estiver infinitamente distante das demais 
cargas (DAC  , DAB , EpotA  0) , a sua energia potencial 
será nula, porque terá sido totalmente convertida na sua energia 
cinética de movimento. Em termos químicos, as ligações LAC e LAB 
terão sido rompidas. Fisicamente, significa que a carga A não 
estará mais interagindo com B e C, não haverá mais forças 
elétricas agindo sobre A, restando a ela apenas a sua energia 
cinética, apenas a sua velocidade, dada pela conservação de 
energia: 
Epot Sist- inicial + Ecin sist - inicial = Epot sist- final + Ecin sist -final 
BC
CB
D
QQ.K
+
AC
CA
D
QQ.K
+
AB
BA
D
QQ.K
 + 0 = 
BC
CB
D
QQ.K
+
2
V.m 2A 
AC
CA
D
QQ.K
+
AB
BA
D
QQ.K
 + 0 = 
2
V.m 2A 
onde mA é a massa da carga A e V, a velocidade que ela 
atingirá, quando estiver infinitamente afastada do sistema. De 
posse dos valores numéricos das cargas, massas e distâncias 
envolvidas, facilmente obteríamos o valor dessa velocidade v . 
 Para complementar, o prof Renato Brito mostra a seguir o 
cálculo da energia potencial elétrica de cada uma das demais 
cargas B e C do sistema da figura 19, a fim de solidificar o 
aprendizado do aluno. 
Por interagir com as cargas A e C, a carga B apresenta uma 
energia potencial : 
EpotB = Epot-BC + Epot-AB = 
BC
CB
D
QQ.K
 + 
AB
BA
D
QQ.K
 [eq-14] 
A carga C, por interagir com as cargas A e B, apresenta uma 
energia potencial: 
EpotC = Epot-AC + Epot-BC = 
AC
CA
D
QQ.K
 + 
BC
CB
D
QQ.K
 [eq-15] 
ai ai ....não foi
isso que eu lhe
disse na seção
6 !
Afff.. profinho, quer dizer que a Energia
Potencial Elétrica total de um sistema é a
soma das energias potenciais de todas as
cargas que pertencem ao sistema, certo ?
Claudete, tome, por exemplo, o sistema da figura 19. Se você 
somar as energias potenciais elétricas de cada carga A, B e C, 
dadas por eq-13, eq-14 e eq-15, obterá, como resultado, o dobro 
da Energia Potencial Elétrica do Sistema, visto que a energia de 
cada ligação será computada duas vezes. Pense sobre isso, e 
revise a seção 6, caso se sinta insegura nos conceitos. 
 
figura 20 – sistema elétrico composto por um par 
de cargas Q e q, contendo uma única ligação 
(interação) elétrica. 
 
No caso particular do sistema composto por uma única ligação 
(figura 20), vimos que a sua Energia Potencial é dada pela 
expressão eq-3: 
Epot = 
d
q.Q.K
 [eq-3] 
Fisicamente, essa energia potencial elétrica está disponível para 
qualquer uma das cargas Q e q que estejam livres para se 
mover, por isso, essa energia potencial elétrica do par pode ser 
interpretada de duas formas alternativas: 
I) Ela é a Energia Potencial Elétrica da carga q, caso Q seja 
admitida imóvel e fonte do campo elétrico que atuará sobre a 
carga móvel q; 
II) Ela é a Energia Potencial Elétrica da carga Q, caso q seja 
admitida imóvel e fonte do campo elétrico que atuará sobre a 
carga móvel Q; 
Logicamente que, se ambas as cargas da figura 20 se moverem, 
como ocorreu na figura 10, é preferível raciocinar em termos de 
“energia da ligação” , ao invés de computar a energia potencial de 
cada carga individualmente. 
9 – O conceito de Potencial 
Tão abstrato quanto o conceito de Energia potencial é o conceito 
de Potencial . Esses conceitos surgem tanto na eletricidade 
quanto na Mecânica e, mais uma vez, conto com o seu esforço 
para, juntos desvendarmos esse conceito. 
 
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43 
O conceito de potencial, em alguns contextos da Física, chega a 
ser mais útil que o próprio contexto de Energia potencial e, 
portanto, merece nossa atenção especial. 
Tomemos como exemplo, o trabalho realizado pela força pelo, 
estudado no módulo de Trabalho e Energia: 
Seja uma bola de massa m que está caindo em trajetória 
parabólica, como mostra a figura 21, sob ação exclusiva da força 
peso P. 
P
A
P
P
P
B
HA
HB
 
 
Figura 21 – Uma bola cai em trajetória parabólica, sob ação exclusiva 
da força peso P, movendo-se de um ponto A a um ponto B. 
 
Sendo, o peso, uma força conservativa, o aluno aprendeu, naquela 
ocasião, que esse trabalho, poderia ser calculado pela 
relação eq-1 : 
AB peso = Epot inicial – Epot final [eq-1] 
AB peso = m . g (HA – HB) = m g HA – m g HB [eq-16] 
onde a energia potencial gravitacional foi definida pela função 
Epot-grav = m.g.h. Podemos, arbitrariamente, chamar, o termo 
Vg = g.h de potencial gravitacional, de tal forma que a energia 
potencial gravitacional poderia ser rescrita como: 
Epot-grav = m.g.h = m . V
g
joules joules kg joules
kg
, com V
g
 = g.h
 [eq-17] 
mas profinho, qual seria o significado físico
desse tal de potencial gravitacional V
g 
? É a
mesma coisa que energia potencial
gravitacional ?
 
Perceba a diferença, Claudete – a cada ponto do campo 
gravitacional terrestre, podemos associar duas grandezas físicas: 
o vetor campo gravitacional g

 e a grandeza escalar denominada 
potencial gravitacional , Vg. 
Enquanto o vetor campo gravitacional g

 define o valor da força 
gravitacional P

= m. g

 que atua numa massa de prova m 
colocada naquele ponto, a grandeza escalar Potencial 
Gravitacional Vg define o valor da energia potencial gravitacional 
Epot-grav = m. Vg armazenada por uma massa m de prova 
localizada naquele ponto. 
Note que, tanto o campo gravitacional g

 quanto o potencial 
gravitacional Vg são característicos de cada ponto do campo 
gravitacional e seus valores independem de haver ou não uma 
massa m localizada naquele ponto. Afinal, essas grandezas são 
causadas, em cada ponto do campo de forças, pela respectiva 
fonte do campo de forças, no caso , o planeta Terra. 
Uma forma alternativa de se definir o potencial gravitacional Vg , é 
escrevê-lo como: 
Vg = 
m
Epot grav
g.h 
m
h.g.m
 [eq-18] 
 
Figura 22 – Toda carga elétrica Q causa campo elétrico em torno 
de si. A cada ponto do campo elétrico, podemos associar as 
grandezas Vetor Campo Elétrico E e Potencial Elétrico V. 
Da mesma forma, a cada ponto do espaço em volta de uma carga 
fonte Q (figura 22) podemos associar duas grandezas físicas: o 
vetor campo elétrico E

 e a grandeza escalar denominada 
potencial elétrico V. 
Enquanto o vetor campo elétrico E

 define o valor da força 
elétrica E q. Fe

 que atua numa carga de prova q colocada 
naquele ponto do campo, a grandeza escalar Potencial elétrico V 
define a energia potencial elétrica Epot-eletr = q.V armazenada por 
uma carga q de prova colocada naquele ponto do campo. 
Note que tanto o campo elétrico E

 quanto o Potencial elétrico V 
são característicos de cada ponto do campo elétrico e seus 
valores independem de haver ou não uma carga de prova q 
localizada naquele ponto. Afinal, essas grandezas são causadas, 
em cada ponto do campo de forças, pela respectiva fonte do 
campo de forças, no caso , a carga fonte Q (figura 22) 
Uma forma alternativa de se definir o potencial elétrico de um 
ponto de um campo elétrico coulombiano, com base na eq-3, é 
escrevê-lo como: 
V = 
q
Epot eletri
d
K.Q
 
q
d
q.Q.K
  V 
d
K.Q
  [eq-19] 
 
10 - Cálculo do Potencial Elétrico num campo criado por uma 
partícula eletrizada 
Vimos que o potencial gravitacional em um ponto a uma altura h 
acima do nível de referência era dado pela expressão: 
V = g.hP 
Assim, vemos que o potencial, bem como a energia potencial, são 
grandezas que dependem basicamente da posição do corpo de 
prova dentro do campo de forças. 
 
 
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44 
O potencial elétrico em um ponto do campo elétrico gerado por 
uma carga fonte Q depende, também, basicamente, da posição do 
ponto dentro do campo elétrico. Especificamente, depende, 
basicamente, da distância D do ponto até a carga fonte. Veja: 
P
+
D
 
Figura 23 
 
O potencial no ponto P acima é dado pela expressão: 
 
 V =
KQ
D
 [eq-19] 
 
onde K é a constante eletrostática do meio e Q é o valor algébrico 
da carga fonte. 
 
O gráfico representativo do potencial em função da distância à 
carga puntiforme gerada do campo elétrico é uma curva 
denominada hipérbole eqüilátera. 
 
V
0 d
Q > 0
V
0 d
Q < 0
 
Para carga positiva Para carga negativa. 
 
Figura 24 – Gráficos do potencial V x d para carga fonte positiva (Q>0) e para 
carga fonte negativa (Q<0) . 
 
 
Figura 25 –Gráfico tridimensional do potencial V próximo de uma carga pontual 
positiva. 
 
Observe que, para pontos vizinhos à carga positiva, o potencial é 
bastante intenso e positivo. 
 
Exemplo Resolvido 5: Uma carga de –2C foi abandonada num 
ponto de um campo elétrico onde o potencial elétrico vale +30V. 
Determine a energia potencial elétrica armazenada por essa 
carga ? 
Solução: A energia potencial elétrica é dada pela expressão: 
Ep = q.V = (–2.10–6C) . (+ 30 V) = –6.10–5 J 
Perceba que as grandezas devem ser substituídas com os seus 
respectivos sinais algébricos. 
Exemplo Resolvido 6: Determine o potencial elétrico causado por 
uma carga de –4C nos pontos A e B, distantes respectivamente 
20 cm e 30 cmda carga . 
Solução: 
- Q
d
a
A B
d
b
 
VA = kV180V180.10- 
10.20
)10.4.(9.10
 
d
Q.K 3
2
69
a





 
VB = kV120V120.10- 
10.30
)10.4.(9.10
 
d
Q.K 3
2
69
b





 
Exemplo Resolvido 7: Uma carga puntiforme de +2C é 
abandonada em repouso no ponto B do exemplo anterior. Devido 
à atração, essa carga desloca-se aceleradamente em direção ao 
ponto A. Determine: 
a) A energia potencial elétrica da carga puntiforme, quando 
abandonada no ponto B; 
b) A energia potencial elétrica da carga puntiforme, quando passar 
pelo ponto A; 
c) O trabalho realizado pela força elétrica nesse deslocamento; 
d) A energia cinética da carga puntiforme, ao passar por A 
Solução: 
A partir da expressão da energia potencial elétrica, vem : 
EpB = q. VB = (+ 2.10–6 ). (–120.103) = –2,4.10–1 J 
que é a energia potencial elétrica armazenada pela carga 
puntiforme, quando localizada no ponto B; 
 
- Q A B
+q
carga
fonte fixa
 
a seguir, calcularemos a sua energia potencial elétrica, ao passar 
pelo ponto A: 
EpA = q. VA = (+ 2.10–6 ). (–180 x 103) = –3,6.10–1 J 
 
- Q A B
+q
carga
fonte fixa
F F
 
 
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45 
Perceba que a força elétrica atrativa entre as cargas de sinais 
opostos varia, aumenta durante a aproximação da carga de prova, 
já que a distância entre elas diminui. 
Assim, não podemos lançar mão da expressão T = F.d para o 
cálculo do trabalho da força elétrica. O trabalho realizado pela força 
elétrica no deslocamento da carga puntiforme de B até A é 
calculado pela variação da energia potencial elétrica: 
TBA = Epot-B – Epot-A = –2,4.10–1 J – (–3,6.10–1 J) = + 0,12 J 
O trabalho realizado pela força elétrica foi positivo; isso é uma 
indicação de que o deslocamento da carga de prova foi 
espontâneo. De fato, a carga de prova desloca-se 
espontaneamente, devido à atração. 
A determinação da energia cinética da carga ao passar pelo ponto 
A pode ser efetuada pela conservação da Energia Total do 
sistema: 
Epotsist- inicial + Ecin sist- inicial = Epotsist- final + Ecin sist- final 
(–2,4.10 –1 J ) + ( 0 + 0 ) = (–3,6.10–1 J) + ( 0 + Ec) 
Ec = + 0,12 J 
Determinamos, assim, a energia cinética da carga puntiforme, ao 
se deslocar meros 10 cm do ponto B até o ponto A, atraída pela 
carga fonte. O aluno talvez não tenha percebido o significado 
fantástico desse valor de energia cinética aparentemente pequeno. 
Para dar um significado mais real a esse número, suponhamos que 
essa carga puntiforme + q tenha uma massa de 6.10–16 kg, o que é 
razoável, lembrando que a massa de um elétron vale 
9.10–31 kg. Determinemos a velocidade da carga puntiforme, ao 
passar pelo ponto A: 

    
2 16 2
7a a
c a
m.V 6.10 .V
E 0,12 V 2.10 m/s
2 2
 
Uau ! A carga puntiforme foi
acelerada, a partir do repouso,
até a velocidade de setenta e
dois milhões de quilômetros por
hora, após percorrer apenas
10 cm sob ação da força elétrica
atrativa ?
 
É realmente quase inacreditável, amigo Nestor. Grandes 
acelerações como estas têm duas causas importantes: 
 A força elétrica coulombiana aumenta muito rapidamente quando 
a distância entre as cargas diminui; 
 As partículas em questão apresentam massas muito pequenas. 
Grandes acelerações desse tipo são utilizadas para construir 
aceleradores de partículas, extremamente úteis para o estudo e 
descoberta das mais variadas sub-partículas atômicas, através do 
bombardeamento do material em análise com um feixe de elétrons 
de alta energia. 
 
11 - Potencial num ponto causado por duas ou mais partículas 
Seja o ponto A da figura 26, imerso no campo produzido pelas 
cargas Q1, Q2 e Q3. O potencial elétrico resultante VA é dado 
pela soma algébrica dos potenciais que cada uma das cargas 
causa em A: 
A 1A 2A 3A V = V + V + V 
3
3
2
2
1
1
A
d
KQ
+
d
KQ
+
d
KQ
=V [eq-20] 
 
 
Q3
D1
D2
Q2
D3
A
 
 
Figura 26 – Três cargas Q1 , Q2 e Q3 
causando potencial elétrico no ponto A 
 
Isso é válido para um sistema com um número qualquer de 
partículas. 
 
Note que trata-se, simplesmente, de uma soma escalar algébrica e 
não, uma soma vetorial, além do mais, cada uma das parcelas 
acima pode ser positiva ou negativa, de acordo com o sinal das 
cargas Q1, Q2, Q3 ... 
 
Figura 27 –Gráfico tridimensional do potencial V próximo a um par de cargas do 
mesmo sinal. Veja esses gráficos ampliados em www.fisicaju.com.br/potencial 
 
Figura 28 –Gráfico tridimensional do potencial V próximo a um dipolo elétrico de 
cargas +Q e –Q. Note como o potencial tende a + quando nos aproximamos da 
carga +Q e, a –, quando nos aproximamos da carga –Q. 
 
Exemplo Resolvido 8: Duas cargas puntiformes qa = +12C e 
qb = –6C localizam-se nos vértices de um triângulo equilátero, de 
lado 30 cm. Determine: 
 
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46 
+qa -qb
C
da db
 
a) O potencial elétrico resultante no vértice C; 
b) A energia potencial elétrica armazenada por uma carga de 4C, 
quando colocada no vértice C. 
Solução: 
O potencial resultante no ponto C é calculado pela soma algébrica 
dos potenciais que cada carga qa e qb , individualmente, causam 
no referido ponto. Matematicamente: 
Vc = Va-c + Vb-c 
d
q .K
 
d
q .K
 
b
b
a
a  
Vc 




2
69
2
69
b
b
a
a
10.30
)10.6 (- .9.10
 
10.30
10.12 .9.10
 
d
q .K
 
d
q .K
 
Vc = 360 KJ / C  180 KJ / C = 180 KJ / C 
Assim, após determinarmos o potencial elétrico do ponto C, 
calculamos a energia potencial elétrica armazenada pela carga de 
prova, quando colocada em C: 
Ep = q. Vc = 4.10–6 C . ( 
C
J
.10 180 3 ) = 0,72 J 
 
12 - Eqüipotenciais 
Eqüipotenciais são linhas (no plano) ou superfícies (no espaço) 
onde o potencial, em todos os pontos, assume o mesmo valor 
algébrico. 
 
As eqüipotenciais, num campo elétrico criado por uma partícula 
eletrizada, são circunferências (no plano) ou superfícies esféricas 
(no espaço). Tal afirmativa é facilmente constatável, bastando, 
para isso, analisar a expressão do potencial. Desse modo, 
notaremos que, para os mesmos Q e K, o potencial assumirá 
valores iguais nos pontos do espaço eqüidistantes da carga fonte. 
+
 
A ilustração mostra eqüipotenciais num campo elétrico criado por uma carga 
puntiforme positiva. Observemos que, se a carga fosse negativa, mudaria apenas o 
sentido das linhas de força, que passariam a ser de aproximação. Com relação ao 
formato das eqüipotenciais, nada mudaria. 
 
 
Num dipolo elétrico, isto é, para duas partículas eletrizadas com 
cargas de mesmo módulo, porém de sinais opostos, as 
eqüipotenciais assumem o aspecto da figura a seguir: 
- +
 
 
É muito importante observar que as eqüipotenciais são sempre 
perpendiculares às linhas de força. 
 
 
Para um campo elétrico uniforme, as eqüipotenciais são retas ou 
planos normais à direção definida pelas linhas de força. 
 
A figura mostra eqüipotenciais num campo elétrico uniforme. 
 
13 - Trabalho em superfícies eqüipotenciais 
É importante lembrar que em dois pontos de uma mesma 
eqüipotencial a diferença de potencial é nula. Assim, o trabalho que 
o campo elétrico realiza sobre uma partícula eletrizada q, para 
levá-la de um ponto a outro da mesma eqüipotencial, também é 
nulo, independente da trajetória seguida por essa partícula. 
 = 0 AB 
+
d
q
Q
B
A
 
Agora, podemos explicar por que as eqüipotenciais são sempre 
perpendiculares às linhas de força. Para isso, consideremos dois 
pontos A e B quaisquer de uma mesma eqüipotencial: 
BA 
Desloquemos uma partícula de carga q de A para B, ao longo da 
eqüipotencial. O trabalho realizado pelo campo elétrico é nulo, pois 
VA = VB: 
0=)Vq.(V= BAAB  
Masisto será verdade somente se a força eletrostática se mantiver 
sempre perpendicular à trajetória seguida. 
 
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47 
BA 
Como a força tem a mesma direção do campo elétrico este, por 
uma vez, tem a mesma direção das linhas de força, concluímos 
que essas linhas também são perpendiculares à superfície 
eqüipotencial. 
 
14 - Propriedades do Campo Elétrico 
Na figura abaixo, utilizando a eq-19 , calculamos alguns potenciais 
ao longo da linha de força do campo elétrico criado por cargas 
puntiformes. 
 Q
+
+200V +100V +20V . . .
Q
-
 - 200V - 100V - 20V . . . 
Conclusão: O potencial sempre decresce algebricamente ao longo 
da linha de força e no mesmo sentido dela. 
 
Conseqüência Direta: As linhas de força do campo elétrico 
(estático) não podem ser fechadas. 
 
15 - Espontaneidade e Trabalho 
Seja um corpo que se desloca sob ação de uma força e na mesma 
direção dela. Se o deslocamento se der no mesmo sentido da 
força, dizemos que essa força realiza um trabalho espontâneo, um 
trabalho motor. Caso contrário, dizemos que a força realiza um 
trabalho não-espontâneo, resistente, que se opõe ao movimento. 
 
Exemplo: Uma pedra, quando abandonada a uma certa altura, 
desloca-se espontaneamente para baixo. A força peso e a direção 
de deslocamento apontam (ambas) para baixo. Dizemos que a 
força peso realiza um trabalho positivo, já que não se opõe ao 
movimento. 
Deslocamento espontâneo  Trabalho positivo 
 > 0 
 
Uma pedra foi jogada para cima. A força peso se opõe ao 
movimento (não - espontâneo) da pedra, realizando um trabalho 
negativo. A força peso aponta para baixo e o deslocamento para 
cima. 
Deslocamento não-espontâneo  Trabalho negativo 
 < 0 
 
Conclusão: Todo sistema evolui espontaneamente a fim de 
minimizar sua energia potencial. É o que acontece com a pedra, 
quando abandonada a uma certa altura, que cai, diminuindo cada 
vez mais sua energia potencial Ep = m.g.h. 
 
16 - Partícula abandonada num campo elétrico 
CARGA ELÉTRICA POSITIVA: 
Quando abandonada sob ação de um campo elétrico, busca 
minimizar sua energia potencial elétrica. 
Como: 
E = q.VP 
Sendo q positiva, esta se deslocará espontaneamente para pontos 
de potencial V cada vez menor algebricamente. Assim, se q se 
desloca espontaneamente de um ponto A para um ponto B, temos 
necessariamente V < VB A . 
Veja: )V q.(V= BA  , se q > 0 e V < VB A , teremos  > 0, 
garantindo um trabalho espontâneo! 
 
CARGA ELÉTRICA NEGATIVA: 
Quando abandonada sob ação de um campo elétrico, também 
busca minimizar sua energia potencial elétrica. Como EP = q.V e 
sendo a carga q negativa, esta se deslocará espontaneamente 
para os pontos de potencial V cada vez maior algebricamente. 
 
Assim, se q se desloca espontaneamente de um ponto A para um 
ponto B, temos, necessariamente, V > VB A . 
Veja: )V q.(V= BA  , se q < 0 e V > VB A , teremos  > 0, 
correspondendo a um movimento espontâneo ! 
 
RESUMINDO: 
 Quando abandonadas num campo elétrico, as cargas positivas 
dirigem-se para potenciais menores, enquanto as negativas 
dirigem-se para potenciais maiores. 
 Tanto as cargas positivas como as negativas buscam uma 
situação de energia potencial mínima. 
 Quando partículas eletrizadas são abandonadas sob a ação 
exclusiva de um campo elétrico, o trabalho realizado por este 
campo é sempre positivo. 
 
17 - Trajetória da Carga: 
Quando uma partícula carregada se move sob ação exclusiva de 
um campo elétrico E, ela fica sujeita a uma força elétrica resultante 
FE que é sempre tangente às linhas de força do campo elétrico em 
cada instante (veja figura abaixo). O que mais se pode afirmar 
sobre o movimento da partícula ? 
E
FE
FE
FE
v
 
A trajetória dela coincidirá com alguma das linhas de força do 
campo elétrico E ? Ora, para que isso aconteça, é necessário que 
as linhas de força do campo elétrico sejam retilíneas, o que ocorre 
tanto no caso do campo elétrico uniforme quanto no caso do 
campo elétrico radial produzido por uma carga puntiforme.Veja as 
figuras abaixo: 
 
E
 
E
 
A partícula se manterá sobre a linha de força retilínea do campo 
elétrico tanto se ela for abandonada em repouso nesse campo, 
quanto se ela for inicialmente impulsionada na direção do campo 
retilíneo. 
Se a partícula for impulsionada numa direção oblíqua a um campo 
elétrico uniforme, descreverá uma trajetória parabólica, analoga-
mente ao que ocorre no lançamento de projéteis no campo 
gravitacional uniforme, como mostra a figura a seguir: 
 
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48 
E
FE
FE
FE
v
v
v
v
 
 
Uma partícula não consegue se manter sobre uma linha de força 
curvilínea de um campo elétrico E pelo fato de que a força elétrica 
age estritamente na direção tangencial, faltando uma força na 
direção centrípeta para curvar a trajetória da partícula. 
 
18 – Diferença de Potencial entre dois pontos 
Consideremos um campo elétrico uniforme, representado por suas 
linhas de força retilíneas, paralelas e espaçadas igualmente, e 
duas eqüipotenciais A e B, tal que o potencial elétrico em A é 
maior do que em B ( V > VA B ). Uma partícula eletrizada com carga 
positiva q é abandonada em A. 
q E
+
d
BA
 
O campo elétrico existente na região incumbe-se de levar a carga 
positiva q ao longo da linha de força, através da aplicação de uma 
força 

F . 
Uma vez que o campo elétrico é uniforme, a força 

F é constante, 
pois 
 
F = q E . Assim, o trabalho realizado pelo campo, no 
deslocamento da carga q entre as eqüipotenciais A e B, pode ser 
calculado por: 
 AB = F.d (I) 
Entretanto, também pode ser usada a expressão: 
)Vq.(V= BAAB  (II) 
 
Sendo U=VV BA  e comparando-se (I) e (II), tem-se: 
F.d = q.U (III) 
 
Mas F = q E. Substituindo em (III), vem: q.E.d = q.U 
 
E.d = U 
[eq-21] 
Num campo elétrico uniforme, a diferença de potencial (ddp) entre 
duas eqüipotenciais é igual ao produto do módulo do campo 

E 
pela distância entre as eqüipotenciais. 
A expressão eq-21 só vale em campos uniformes, não sendo 
válida em campos coulombianos. 
 
Da relação encontrada, pode-se perceber que, no SI, a unidade de 
campo elétrico é volt / metro, que equivale a newton / coulomb. 
 
19 - Campo Elétrico do Condutor Esférico 
Um condutor esférico não possui saliências nem reentrâncias. 
Assim, ao ser eletrizado, as cargas distribuem-se uniformemente 
pela sua superfície externa, de tal modo que a sua densidade 
superficial de cargas é a mesma em todas as regiões. Daí dizer-se 
que a superfície de uma esfera condutora, ao receber cargas, fica 
uniformemente eletrizada. Assim, pode-se afirmar, para um 
condutor esférico eletrizado em equilíbrio eletrostático, que: 
 Nos pontos internos o vetor campo elétrico é nulo: 
 
E = 0int 
 O vetor campo elétrico é perpendicular à superfície externa 
do condutor esférico em cada ponto dela, tendo módulo dado 
por: 
E =
| |
2
sup


 
 
A densidade superficial de cargas é dada pelo quociente da carga 
total Q existente na esfera pela área A de sua superfície externa: 

A
|Q|
|=| 
A2
|Q|
=Esup

 
Entretanto, para uma esfera, A = 4 r 2 , onde r é o raio. Por isso, 
vem: 
E =
|Q|
4 2r
=
1
4 
.
|Q|
2r
sup 2 2   
 
Mas, no SI, 
1
4 
= K
 
 (constante eletrostática do meio). 
Assim, segue que: 
E =
1
2
 K
|Q|
r
sup 2
 
 Nas vizinhanças da superfície da esfera, o módulo do vetor 
campo elétrico é dado por: 
E = 2Epróx sup 
Daí: 
E = K
|Q|
r
próx 2
 
 
 Devido à simetria da esfera e à distribuição de cargas em sua 
superfície, para se calcular o módulo do vetor campo elétrico em 
pontos mais afastados, tudo se passa como se a carga 
estivesse totalmente concentrada nocentro da esfera. Assim, 
para uma esfera genérica eletrizada, tem-se: 
d
r
o
P
+
+
+ +
+
+
+
+
 
E = K
|Q|
d
ext 2
 
É importante observar que d é a distância do ponto externo 
considerado (P) ao centro O da esfera. 
 
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49 
E
ro

-
-
- -
-
-
-
-



d
 
O gráfico mostra a variação do módulo do vetor campo elétrico criado por uma 
esfera condutora eletrizada. Convém observar que o sinal da carga não muda 
o aspecto do gráfico, pois é usado o módulo da carga no cálculo da 
intensidade do vetor campo elétrico. 
 
20 - Cálculo de campos elétricos causados por distribuições 
esféricas de carga. 
Nesta secção, estamos interessados em resolver a seguinte 
questão: 
Exemplo Resolvido 09: 
Seja uma cavidade esférica metálica de raio interno r e raio externo 
R eletrizada com uma carga +Q. Coloca-se em seu centro uma 
pequena esfera metálica eletrizada com carga +q. 
Pede-se calcular a intensidade do campo elétrico nos pontos A,B e 
C, localizados a distâncias Ra, Rb e Rc do centro das esferas, 
respectivamente, conforme a figura. 
 
Solução: Antes de partirmos para a solução do problema, 
precisamos aprender o seguinte lema: 
 
 
“Nenhuma distribuição esférica de cargas elétricas consegue 
criar campo elétrico no seu interior. O campo elétrico causado 
por tal distribuição só atua fora da superfície esférica”.
 
 
 
A figura anterior mostra que o campo elétrico de uma distribuição 
esférica de cargas só atua fora da superfície esférica. Tal 
distribuição é incapaz de causar campo no interior da região 
esférica. Observe na figura que não há linhas de forças no interior 
da esfera. 
Visto esse lema, precisamos, ainda, determinar como as cargas da 
esfera oca e da esfera menor se arranjarão no equilíbrio 
eletrostático 
Como assim, prôfi ?
 
 
Perceba que a questão especifica apenas a carga total da esfera 
oca (+Q), mas não diz como tal carga está distribuída ao longo das 
superfícies interna e externa dessa esfera. Isso fica por conta do 
aluno. Assim, nesse caso ocorrerá uma indução total e a 
distribuição de cargas no equilíbrio será : 
 
A carga +q da pequena esfera induz uma carga q na superfície 
interna da cavidade. Pelo princípio da conservação das cargas, 
uma carga (Q+q) deve aparecer na superfície externa da cavidade 
Agora estamos aptos a calcular os campos pedidos. 
 
Cálculo de Ea: A figura anterior nos mostra as três distribuições 
esféricas de carga formadas após atingido o equilíbrio, quais sejam 
(+q) , (q) e (Q+q). Quais destas distribuições de carga causam 
campo elétrico em A ? 
Ora, segundo o lema visto anteriormente, o ponto A encontra-se no 
interior das distribuições esféricas (Q+q) e (q) que são, portanto, 
incapazes de criar campo em A . Assim, o campo em A é causado 
apenas pela distribuição de cargas (+q). 
Apenas para efeito de cálculo, consideramos essa carga 
concentrada no centro das esferas e calculamos esse campo: 
 
Ea = 
K q
Ra
.
( )2
 
 
Cálculo de Eb: Pela figura, vemos que o ponto B encontra-se no 
interior apenas da distribuição de cargas (Q+q) que, segundo o 
lema, não causará campo em B. Apenas as outras duas 
distribuições causarão campo nesse ponto. 
 
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50 
Assim, para efeito de cálculo, consideramos a carga total dessas 
duas distribuições concentrada no centro das esferas e calculamos 
o campo em B: 
Eb = 
2)Rb(
] (-q) + (+q) [ . K
= 0 
 
Esse resultado já era esperado, pois B é um ponto de uma região 
metálica de um condutor em equilíbrio eletrostático, onde o campo 
elétrico sempre é nulo . 
 
Cálculo de Ec: Pela figura, percebemos que o ponto C é externo 
às três distribuições esféricas de carga, portanto todas elas 
causarão campo em C. 
Assim, para efeito de cálculo, consideramos a carga total das três 
distribuições concentrada no centro das esferas e calculamos o 
campo nesse ponto: 
 
Ec = 
K. [ (+q) + (-q) + (Q+q) ]
(Rc)2
  Ec = 
K ( Q
Rc
+ q)
( )2
 
 
 
 
Linhas de força do campo elétrico : Perceba que só há campo elétrico nas 
regiões onde as linhas de força estão presentes. Nas regiões acinzentadas o 
campo elétrico é nulo. 
 
 Comentários finais: 
Note que, antes de se fazer o cálculo do campo elétrico causado 
por condutores esféricos eletrizados, é indispensável determinar 
como as cargas desses condutores se distribuíram no equilíbrio 
eletrostático. 
 
Ei, prôfi, e o que aconteceria aos
campos Ea, Eb e Ec se a esfera
fosse ligada à Terra ?
 
 
Embora seja uma excelente pergunta, é facilmente respondida 
seguindo-se o procedimento anterior: determina-se como as cargas 
estarão distribuídas no equilíbrio eletrostático e, a partir daí, 
calcula-se os campos Ea, Eb e Ec. Veja: 
 
Conforme aprendemos no apêndice do capítulo 1, após a ligação 
à terra, a esfera atingirá o equilíbrio eletrostático com sua 
superfície externa neutralizada pela subida de elétrons 
provenientes da terra, como na figura anterior. 
 
Assim, é fácil concluir que os campos Ea e Eb permanecem 
inalterados, pois independem da distribuição de cargas que foi 
neutralizada. 
 
O cálculo de Ec será: 
Ec = 
K. [ (+q) + (-q) + (0) ]
(Rc)
 0
2
 
Assim como Eb, Ec também passa a ser nulo, por ser nula a carga 
total capaz de causar campo nesses pontos. Apenas o campo Ea 
será diferente de zero, nesse caso. 
 
Linhas de força do campo elétrico após a ligação à terra. Perceba 
a existência de linhas de força apenas no interior da cavidade. O 
campo elétrico é nulo tanto nas regiões sombreadas, como fora da 
esfera maior. 
 
Ei, prôfi, e o que aconteceria a estes
campos se, ao invés de termos ligado a
esfera maior á terra, ligássemos as
esferas entre si ?
 
Uma boa pergunta, também de fácil resolução. Para respondê-la, 
façamos outra pergunta: ligando-se as esferas entre si, no 
equilíbrio eletrostático, onde estarão as cargas desse novo 
 
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51 
sistema ? Ora, as duas esferas, ligadas entre si, atuarão como um 
único condutor eletrizado. Assim, toda a carga desse condutor só 
poderá estar em sua superfície mais externa, que coincide com a 
superfície externa da cavidade. 
 
 
Assim, a carga total (+q) + (–q) + (Q+q) = (Q+q) estará toda na 
superfície mais externa. É fácil ver que teremos: 
Ea = Eb = zero, Ec = 
K ( Q
Rc
+ q)
( )2
 
 
Linhas de força do campo elétrico, após as esferas terem sido ligadas entre si. 
Perceba que só teremos campo elétrico fora da esfera maior. 
 
Ea e Eb serão nulos pelo fato de que a distribuição esférica de 
cargas (Q+q) não é capaz de criar campo elétrico no seu interior, 
onde estão os pontos A e B, de acordo com o lema visto 
anteriormente. 
Nesse momento, o aluno deve sentir-se capaz de calcular o campo 
elétrico de qualquer distribuição esférica de cargas, em qualquer 
situação. 
 
Um aspecto curioso da indução total em esferas é mostrado a 
seguir. A figura anterior mostra uma carga puntiforme +q no 
centro de uma esfera condutora oca neutra. 
Devido à indução total, a carga puntiforme +q induz uma carga 
superficial –q na face interna. Uma carga de sinal oposto +q é 
induzida na face externa, visto que o condutor está neutro. As 
linhas do campo elétrico da carga puntiforme central principiam no 
centro da esfera e terminam na face interna. As linhas de um novo 
campo, agora devido às cargas induzidas na superfície externa +q, 
recomeçam na face externa e vão para o infinito. 
Se a carga puntiforme for deslocada do centro da esfera, a 
distribuição das cargas induzidas na superfície interna do condutor 
se altera, de forma a manter nulo o campo elétrico no interior da 
paredemetálica (E = 0 através da parede). Assim, a parede 
metálica blinda e impede qualquer comunicação entre os campos 
internos e externos à esfera. 
 
Por esse motivo, as cargas da superfície externa “não tomam 
conhecimento” do que houve no interior da esfera, e a sua 
distribuição na superfície externa permanece homogênea e 
uniforme. O campo elétrico externo, portanto, não sofre nenhuma 
alteração. Isso não é incrível  ? 
 
 
Após este breve apêndice, é fundamental o aluno ter em mente, 
pelo menos, o fato de que em um condutor eletrizado em equilíbrio 
eletrostático , jamais haverá cargas em suas partes metálicas. 
Apenas em sua superfície mais externa e, eventualmente, em sua 
superfície interna, caso esteja ocorrendo indução total. 
 
21 – Campo Elétrico no Interior de uma esfera Isolante 
Na seção anterior, fizemos uso do seguinte lema para determinar o 
campo elétrico causado por distribuições esféricas de cargas: 
 
 
“Nenhuma distribuição esférica de cargas elétricas consegue 
criar campo elétrico no seu interior. O campo elétrico causado 
por tal distribuição só atua fora da superfície esférica”.
 
 
A seguir, faremos mais uma vez o uso desse lema para calcular a 
intensidade do campo elétrico uniforme E gerado por uma esfera 
maciça isolante neutra uniformemente eletrizado em todo o seu 
volume com uma carga total Q. 
 
Para isso, considere o problema a seguir: 
 
 
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52 
Exemplo Resolvido 10: Uma esfera isolante, de raio R, encontra-
se uniformemente carregada em todo o seu volume com uma 
carga total Q. Isso significa que temos cargas elétricas 
uniformemente espalhadas desde o centro da esfera isolante até a 
sua superfície. 
Determine a intensidade do campo elétrico E gerado por essa 
esfera eletrizada em pontos internos à mesma, localizados a uma 
distância genérica x do seu centro, com x  R. 
Q
R
 
 
Se fosse uma esfera condutora, toda a sua carga elétrica se 
distribuiria sobre sua superfície mais externa. Como se trata de 
uma esfera isolante, sua carga elétrica não tem como se 
deslocar, permanecendo uniformemente eletrizada. 
 
Solução: 
Seja o ponto A localizado no interior da esfera a uma distância 
genérica x do seu centro. Conforme o lema estudado 
anteriormente, sabemos que apenas a carga elétrica q contida na 
esfera sombreada de raio x gera campo elétrico no ponto A. 
Q
R
A
x
q
 
 
Entretanto, a carga q da região sombreada é uma fração da carga 
total Q da esfera isolante. Como determinar essa carga q ? Ora, 
como a carga elétrica total Q encontra-se uniformemente 
distribuída em todo o volume da esfera isolante de raio R, podemos 
dizer, por exemplo, que se o volume da esfera cinza de raio x 
fosse a metade do volume total, a sua carga q seria a metade da 
carga elétrica total Q da esfera. Assim, a carga q da região cinza é 
diretamente proporcional ao seu volume, valendo, portanto, a 
seguinte proporção: 
interna aargC
interno Volume
 
total aargC
total Volume
  
q
x.
3
4
 
Q
R.
3
4 33 


 
Assim, determinarmos a carga q contida na região esférica de raio 
genérico x: 
q = 3
3
.x 
R
Q






, válido para 0  x  R 
Finalmente, estamos aptos a determinar o campo elétrico que 
essa carga q gera no ponto A, localizado a uma distância x do 
centro da esfera: 
E = 
2
3
3
22 x
.x 
R
Q
.K
x
q.K
D
q.K






 = .x 
R
Q.K
3 






 
E = .x 
R
Q.K
3 






 , válido para 0  x  R 
 
Assim, sendo K, Q e R constantes, vemos que o campo elétrico E 
gerado no interior dessa esfera (ou seja, para 0  x  R) aumenta 
lineamente com a distância x ao centro da mesma conforme a 
expressão determinada acima. 
Para x = 0 (centro da esfera), temos E = .0 
R
Q.K
3 






  E = 0 
Para x = R, temos E = .x 
R
Q.K
3 






= .R 
R
Q.K
3 






  E = 
2R
Q.K
 
E
X
R
2R
Q.K
0
0
 
Para pontos externos à esfera (x  R), o campo elétrico E 
decresce com o aumento da distância x ao centro da esfera, de 
acordo com a expressão convencional : 
E = 
2X
Q.K
, para x  R 
O gráfico acima mostra o comportamento do campo elétrico E em 
função da distância x ao seu centro tanto para pontos internos à 
esfera quanto para pontos externos à mesma. Note que no interior 
da esfera, a intensidade do campo elétrico uniforme E aumenta 
linearmente com o aumento da distância x, ao passo que fora da 
esfera sua intensidade diminui proporcionalmente a 1/x². 
 
22 - Potencial Criado Por Um Condutor Eletrizado 
 
É importante lembrar que: 
Partículas eletrizadas, abandonadas sob a influência exclusiva de 
um campo elétrico, movimentam-se entre dois pontos quaisquer 
somente se entre eles houver uma diferença de potencial (ddp) 
não-nula. 
 
Quando fornecemos elétrons a um condutor, eletrizamos, 
inicialmente, apenas uma região do mesmo. Nessa região, as 
cargas negativas produzem uma diminuição no potencial, que é 
mais acentuada do que no potencial de regiões mais distantes. A 
diferença de potencial estabelecida é responsável pela 
movimentação dos elétrons para regiões mais distantes, o que 
provoca um aumento no potencial do local onde se encontravam e 
uma diminuição no potencial do local para onde foram. 
 
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-
-
--
---
-
-
-
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-
-
-
- -
-
- - - - -
-
-
-
--
-
- --
 
No início No final 
 
Por outro lado, na eletrização positiva são tirados elétrons de uma 
região, provocando um aumento no potencial desse local. Como 
conseqüência, elétrons livres das partículas neutras das regiões 
mais distantes movimentam-se para o local inicialmente eletrizado. 
Tal fato faz surgir cargas positivas nas regiões neutras, diminuindo 
a quantidade de cargas positivas na região eletrizada inicialmente. 
Tudo acontece como se as cargas positivas se movimentassem ao 
longo do condutor. 
-
-
-
+
+++
+
+
+
+
+
+
+
+ +
+
+ + + +
+
+
+
+
++
+
+ ++
+
+
+
 
 No início No final 
 
É fácil notar que a movimentação das cargas, no condutor, ocorre 
durante um breve intervalo de tempo, após o que as partículas 
elementares atingem posições tais que a diferença de potencial 
entre dois pontos quaisquer do corpo torna-se nula. Dizemos, 
então, que o condutor atingiu o equilíbrio eletrostático. 
A diferença de potencial (ddp) entre dois pontos quaisquer de um 
condutor em equilíbrio eletrostático é sempre nula. 
Do exposto, conclui-se que, nos pontos internos e na superfície de 
um condutor eletrizado em equilíbrio, o potencial elétrico assume o 
mesmo valor. O potencial assume valores diferentes apenas nos 
pontos externos ao condutor. 
V = Vinterno superfície 
 
Assim, um condutor em equilíbrio eletrostático é uma superfície 
eqüipotencial. 
 
23 - Potencial criado por um condutor esférico isolado 
Suponhamos uma esfera condutora eletrizada em equilíbrio 
eletrostático. O potencial elétrico assume o mesmo valor em todos 
os pontos desse condutor, sejam eles internos ou localizados na 
superfície. 
Para pontos externos à esfera condutora, o potencial varia com a 
distância do ponto considerado ao centro O da esfera. 
Para efeito de cálculo desse potencial, considera-se toda a carga 
elétrica da esfera concentrada em seu centro. Isso, entretanto, só é 
possível devido à simetria da mesma. Assim, tem-se: 
d+
+ +
++
+
++
+
+
+
+
+
+
+
+
r
O
P
 
 
V = V = K
Q
r
interno superfície 
 
V = K
Q
d
externo 
 
 
O gráfico da variação do potencial em função da distância ao 
centro da esfera eletrizada é dado pelo gráfico a seguir: 
d
+
+ +
++
+
++
+
+
+
+
+
+
+
+
r
O
V = K. Q
r
V
-
- -
--
-
--
-
-
-
-
-
-
-
-
rO
V = K. Q
r
V
 
 
24 - Condutores Esféricos Ligados Entre Si 
Na página 4, exercício resolvido No 1, o prof Renato Brito mostrou 
como se determinar as cargas finais de dois condutores que foram 
encostados entre si, dados os seus raios e as suas cargas elétricas 
iniciais. A seguir, retomamos o mesmo problema no contexto do 
Potencial Elétrico: 
 
Exemplo Resolvido 11 
Sejam duas esferas metálicas A e B, de raios Ra e Rb, 
eletrizadas com cargas, respectivamente, iguais a Qa e Qb. 
 
Qa, Ra Qb, Rb
 
Pede-se determinar : 
a) Os potenciais iniciais de cada esfera. 
b) Os potencial final das esferas, após ligarmos uma à outra. 
c) As cargas finais Qa’ e Qb’ de cada uma. 
 
 
Solução: Seus potenciais iniciais podem ser facilmente calculados 
pelas expressão vista na secção anterior: 
 
Va = 
K Qa
Ra
.
 Vb = 
K Qb
Rb
.
 
 
Mas o que acontece se ligarmos entre si esferas metálicas 
eletrizadas de raios diferentes ? 
 
Figura 29 –Cilindros contendo líquidos em níveis diferentes. Sabemos que o líquido 
fluirá para o cilindro da direita até que seus níveis fiquem à mesma altura, isto é, 
ao mesmo potencial gravitacional Vg = g.h 
 
Para uma perfeita compreensão, façamos uma breve analogia: 
Observe os dois cilindros acima. O potencial gravitacional 
(Vg = g.h) do líquido A está, inicialmente, superior ao do líquido B. 
Assim, ao ligarmos os cilindros através de um cano, o líquido A 
fluirá em direção ao cilindro B, até que seus potenciais 
gravitacionais se tornem iguais (Vga =Vgb), o que, obviamente, 
ocorrerá quando seus níveis estiverem iguais (ha = hb). 
 
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54 
Analogamente, quando conectarmos as esferas através de um fio 
condutor, elétrons fluirão de uma esfera a outra até que seus 
potenciais elétricos se tornem iguais (Va=Vb). 
 
Qa’, Ra Qb’, Rb
 
 
Elétrons fluirão de uma esfera a outra até que seus potenciais elétricos se tornem 
iguais (Va = Vb). Quando a diferença de potencial (ddp) entre tais esferas se anular 
(Va  Vb = 0), cessará a corrente elétrica entre as mesmas e o sistema atingirá o 
equilíbrio eletrostático. 
 
A partir daí, quando a diferença de potencial (U=VaVb) entre as 
tais esferas se anular, cessará a corrente elétrica de uma a outra, e 
o sistema terá atingido o equilíbrio eletrostático. 
 
Sendo Qa’ e Qb’ as cargas finais das esferas A e B após atingido 
o equilíbrio eletrostático, pelo princípio da conservação das cargas, 
podemos escrever: 
 
 Qa + Qb = Qa’ + Qb’ (1) 
Queremos calcular o potencial final VF das esferas. Sobre VF, 
podemos escrever: 
VF = 
K
Ra
. Qa '
 = 
K
Rb
. Qb '
 (2) 
 
Pela propriedade das proporções, podemos reescrever: 
 
VF = 
K
Ra 
. Qa ' + K.Qb '
+ Rb
= 
K Qa
Ra Rb
( ' + Qb ' )

 = 
K Qa
Ra Rb
( + Qb)

= 
 
VF = 
KQa + KQb
Ra +Rb
, mas como temos Va =
K Qa
Ra
.
 e Vb =
K Qb
Rb
.
, 
podemos reescrever: 
 
VF = 
Va
Ra Rb
.Ra + Vb.Rb

 
(3) 
 
A equação (3) é extremamente útil pois expressa o potencial de 
equilíbrio VF das esferas apenas em função de seus potenciais 
iniciais Va e Vb e de seus raios. Pode, facilmente ser memorizada. 
 
Assim, de posse da equação (3), determinamos VF. Substituindo-se 
VF na equação (2), facilmente determinamos Qa’ e Qb’. Confira: 
 VF = 
K
Ra
. Qa '
 = 
K
Rb
. Qb '
 (2) 
 
25 - O Potencial Elétrico Da Terra. 
No estudo da eletrostática, o planeta Terra é considerado uma 
enorme esfera condutora eletrizada negativamente com carga 
elétrica estimada em 600.000 C. 
Sendo o seu de raio de aproximadamente 6.400 km, o potencial 
elétrico da Terra em relação ao infinito, suposta isolada no 
universo, vale: 
VTerra = 8 x 108 V (em relação ao infinito) 
Embora, a rigor, o potencial resultante na Terra sofra influência das 
cargas elétricas dos corpos celestes vizinhos, as cargas elétricas 
separadas pela atividade humana praticamente não produzem 
efeitos sensíveis no seu potencial elétrico. 
Assim, para todos os efeitos, a Terra atua como um padrão 
invariável de potencial elétrico e, portanto, pode ser tomada como 
nível de referência para potenciais elétricos, isto é, podemos 
arbitrar um potencial fixo para a Terra. Qual seria um valor 
interessante de potencial para se adotar para a Terra ? Por 
simplicidade, adotamos VTerra = 0 V. 
Ei, prôfi, e o que aconteceria se 
um condutor isolado de outros 
condutores fosse conectado à 
Terra ? Ela ficaria eletricamente 
neutro ? Por que ?
 
Calminha, Claudete. Se o condutor estiver isolado (ou seja, não 
estiver sofrendo indução eletrostática devido a presença de outras 
cargas ao seu redor), ele realmente se tornará neutro após ser 
conectado à Terra. Para entendermos por que isso ocorre, 
consideraremos três casos possíveis: 
Caso 1 – Condutor Com Potencial Elétrico Positivo 
Estando o corpo isolado eletrizado positivamente com carga +Q, 
ele terá um potencial elétrico positivo +K.Q/R em relação à Terra 
(isto é, Vcorpo > VTerra = 0 ), ou seja, haverá uma ddp entre ele e a 
Terra, o que motivará o aparecimento de uma corrente elétrica 
entre os mesmos. 
Conectando-se o condutor à Terra, elétrons (que têm carga elétrica 
negativa) passarão espontaneamente da Terra para o condutor (do 
potencial menor para o potencial maior). Durante essa passagem, 
o potencial +K.Q/R do corpo vai gradativamente diminuindo 
(+200V, +100V, +50V, +10V) com a chegada de elétrons (visto que 
a carga +Q do condutor vai diminuindo) até que seu potencial se 
iguale ao da Terra, cujo potencial é admitido constante VTerra = 0. 
 
VA > VTerra 
Quando finalmente tivermos Vcorpo = VTerra = 0, não haverá mais 
ddp entre eles e, portanto, não haverá mais corrente elétrica (cessa 
o movimento de elétrons). Dizemos que o sistema “Terra+corpo” 
atingiu o equilíbrio eletrostático. Nesse caso, o anulamento do 
potencial elétrico do condutor obriga o anulamento da sua carga 
elétrica, ou seja, +K.Q/R = 0  Q = 0) 
Note que, quando dois corpos estão em equilíbrio eletrostático 
entre si, eles não precisam ter necessariamente cargas elétricas 
iguais, mas sim, potenciais elétricos iguais. 
Caso 2 – Condutor Com Potencial Elétrico Negativo 
Estando o corpo isolado eletrizado negativamente com carga Q, 
ele terá um potencial elétrico negativo K.Q/R em relação à Terra 
(isto é, Vcorpo < VTerra = 0 ), ou seja, haverá uma ddp entre ele e a 
Terra, o que motivará o aparecimento de uma corrente elétrica 
entre os mesmos. 
 
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Conectando-se o condutor à Terra, elétrons (que têm carga elétrica 
negativa) passarão espontaneamente do condutor para a Terra (do 
potencial menor para o potencial maior). Durante essa passagem, 
o potencial K.Q/R do corpo vai gradativamente aumentando 
(100V, 80V, 40V, 20V, 10V) com a saída de elétrons (visto 
que o módulo da carga do condutor vai diminuindo) até que seu 
potencial se iguale ao potencial da Terra, potencial este admitido 
constante (VTerra = 0 = constante) durante todo o processo. 
 
VB < VTerra 
Quando finalmente tivermos Vcorpo = VTerra = 0, não haverá mais 
ddp entre eles e, portanto, não haverá mais corrente elétrica (cessa 
o movimento de elétrons). Dizemos que o sistema “Terra+corpo” 
atingiu o equilíbrio eletrostático. Nesse caso, o anulamento do 
potencial elétrico do condutor obriga o anulamento da sua carga 
elétrica, ou seja, K.Q/R = 0  Q = 0) 
Caso 3 – Condutor Com Potencial Elétrico Nulo 
Tendo o condutor um potencial elétrico nulo em relação à Terra 
(isto é, Vcorpo = VTerra = 0 ), não há diferença de potencial elétrico 
(ddp) entre eles, portanto, não haverá corrente elétrica. Os elétrons 
não têm motivação para fluir espontaneamente de umcorpo ao 
outro. Dizemos que os corpos já estão em equilíbrio eletrostático 
entre si. Em suma, se não houver ddp, não haverá corrente 
elétrica. 
As ligações à Terra são muito usadas para proteger o homem 
contra o perigo de um choque elétrico ou mesmo uma descarga 
elétrica. 
Por exemplo: um pára-raios é sempre aterrado, assim como um 
chuveiro elétrico, uma torneira elétrica, uma máquina de lavar 
roupas. Toda vez que ligamos à Terra uma armadura metálica 
garantimos que o seu potencial elétrico se anula. Assim, se uma 
pessoa que está com os pés no chão (potencial elétrico nulo) tocar 
numa geladeira (cuja superfície metálica também está a um 
potencial nulo, visto que está aterrada), a pessoa jamais tomará 
choque, visto que não haverá ddp para provocar descarga elétrica 
através da pessoa em direção à Terra. Afinal, todos estão no 
mesmo potencial elétrico. 
 
26 - O PáraRaios. 
O objetivo principal de um pára-raios é proteger uma certa região 
ou edifício ou residência, ou semelhante, da ação danosa de um 
raio. Estabelece com ele um percurso seguro, da descarga 
principal, entre a Terra e a nuvem. 
 
Um pára raios consta essencialmente de uma haste metálica 
disposta verticalmente na parte mais alta do edifício a proteger. A 
extremidade superior da haste termina em várias pontas e a inferior 
é ligada à Terra através de um cabo metálico que é introduzido 
profundamente no terreno. 
Quando uma nuvem eletrizada passa nas proximidades do pára-
raios, ela induz neste cargas de sinal contrário. O campo elétrico 
nas vizinhança das pontas torna-se tão intenso que ioniza o ar e 
força a descarga elétrica através do pára-raios, que proporciona ao 
raio um caminho seguro até a Terra. 
 
27 – Cálculo do Potencial Elétrico de uma Esfera Não-Isolada. 
Seja uma esfera metálica neutra de raio R, com cargas induzidas 
+q e q, na presença de um indutor puntiforme de carga +Q a 
uma distância D do seu centro. 
Para determinar o potencial elétrico da esfera induzida, é suficiente 
determinar o potencial elétrico do seu centro A. Tanto a carga 
indutora +Q, quanto as cargas induzidas q e +q produzem 
potencial no ponto A. Note que estamos admitindo, por 
simplicidade, a esfera induzida como estando neutra (q + q = 0). 
+
+Q
+
+
+
+ +
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
D
-q +q
RR
indutor
A
Esfera 
induzida
 
Segundo o prof Renato Brito, o potencial da esfera induzida A é a 
soma dos potenciais elétricos que todas as cargas geram no seu 
centro A. Assim, matematicamente, vem: 
Efeito do 
indutor
R
)q.(K
 
R
)q.(K
 
D
Q.K
 VA






Efeito das 
cargas induzidas
 
A expressão acima nos mostra que, estando o condutor neutro, as 
cargas que aparecem por indução (+q e q) não influenciam o seu 
potencial elétrico resultante. 
Segundo o prof Renato Brito, para determinar o potencial elétrico 
de um condutor esférico neutro na presença de vários indutores ao 
seu redor (logicamente, o condutor esférico estaria sofrendo 
indução), basta determinar somar dos potenciais que cada um 
deles individualmente gera no centro da esfera induzida, conforme 
a expressão a seguir: 
Efeito dos indutores
R
)q.(K
 
R
)q.(K
 .... 
D
Q.K
 
D
Q.K
 
D
Q.K
 V
3
3
2
2
1
1
A




Efeito das 
cargas induzidas 
onde D1, D2, D3 ... são as distância do centro de cada um dos 
indutores ao centro da esfera induzida. 
+
+
+
+
+
-
-
-
-
--q +q
R
Esfera 
induzida
A
Q3
Q1
D1
D2Q2
D3
 
 
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56 
Como as cargas indutoras puntiformes Q1, Q2, Q3 poder sem 
positivas ou negativas, o potencial elétrico resultante da esfera 
induzida terá um sinal algébrico que dependerá tanto dos valores 
das cargas indutoras, quanto da maior ou menor proximidade delas 
ao centro da esfera. Lembre-se que os cálculos acima não são 
feitos em módulos, mas sim, com os respectivos sinais algébricos 
das cargas elétricas. 
Caso a esfera metálica não estivesse neutra, a determinação do 
potencial elétrico da esfera condutora seguiria um raciocínio 
semelhante, como o prof. Renato Brito mostrará a seguir: 
Seja uma esfera condutora com várias cargas q1, q2, q3 ..... qn 
distribuídas sobre sua superfície esférica. Tais cargas podem ter 
sido induzidas ou não, esse fato é irrelevante. Seja qTotal o 
somatório dessas cargas: 
q1 + q2 + q3 + ..... + qn = qTotal 
Note na figura a seguir que a distância de todas as cargas q1, q2, 
q3, q4 ..... qn ao centro da esfera indutora sempre vale R. 
q1
indutores
R
q2
q3
qn
Q1
Q2
Q3
D1
D2
D3
R
 
Sejam D1, D2, D3 as respectivas distâncias dos centro das cargas 
indutoras ao centro da esfera. Segundo o prof Renato Brito, o 
potencial elétrico resultante dessa esfera condutora, nesse caso 
geral, é dado por: 
 
R
)q.(K
 .....
R
)q.(K
R
)q.(K
 ... 
D
Q.K
 
D
Q.K
 
D
Q.K
 V n21
3
3
2
2
1
1
A  
R
)q ... qqq.(K
 ... 
D
Q.K
 
D
Q.K
 
D
Q.K
 V n321
3
3
2
2
1
1
A

 
Sendo q1 + q2 + q3 + ..... + qn = qTotal, vem: 
R
)q.(K
 ... 
D
Q.K
 
D
Q.K
 
D
Q.K
 V Total
3
3
2
2
1
1
A  
 A expressão geral acima mostra que o sinal algébrico do potencial 
elétrico de um condutor sofrendo indução não depende apenas do 
sinal da sua carga total qTotal, mas também dos sinais algébricos 
dos indutores ao seu redor, bem como das distâncias entre eles. 
Assim, o sinal algébrico do potencial elétrico de um condutor 
sofrendo indução (condutor não-isolado) não precisa coincidir com 
o sinal algébrico da carga elétrica total qTotal desse corpo. 
É possível, por exemplo, que um corpo eletrizado negativamente 
esteja a um potencial elétrico positivo, bastando, para isso, que 
haja vários indutores positivos ao seu redor que compensem o 
potencial negativo produzido pela sua carga total qtotal negativa. 
Ei, prôfi, e o que aconteceria se 
uma esfera dessas que está 
sofrendo indução fosse 
conectada à Terra ? Ela também 
ficaria eletricamente neutra ?
 
O processo é semelhante ao explicado nos casos 1, 2 e 3 da 
seção 25 (O Potencial Elétrico da Terra), Claudete. Entretanto, 
conforme veremos a seguir, no equilíbrio eletrostático entre o 
condutor não-isolado (isto é, condutor sofrendo indução) e a Terra, 
ele não ficará mais eletricamente neutro. 
Para entender melhor, considere uma esfera condutora (suposta 
eletricamente neutra por simplicidade) sofrendo indução devido à 
presença de uma carga +Q nas proximidades. 
+
+Q
+
+
+
+ +
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
D
-q +q
RR
indutor
induzido
A
Vesfera > 0
Sendo 
+Q uma carga positiva, e estando condutor com carga total nula 
(+q  q = 0), seu potencial elétrico VA nesse caso é positivo e 
dado por: 
Efeito do 
indutor
0 
R
)q.(K
 
R
)q.(K
 
D
Q.K
 VA 






Efeito das 
cargas induzidas
 
Como o potencial VA do condutor esférico é maior que o da Terra 
(Vesfera > VTerra = 0 V), existe uma ddp entre eles, ddp essa que 
motiva o aparecimento de uma corrente elétrica entre os mesmos. 
Elétrons gradativamente subirão da Terra para o condutor (do 
potencial menor para o potencial maior), reduzindo pouco a pouco 
o potencial elétrico do condutor (+100V, +80V, +40V, +20V) até 
que ele se iguale ao potencial elétrico da Terra (suposto constante 
Vterra = 0). 
+
+Q
+
+
+
+ +
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
D
-q +qindutor
e
-
R
 
Logicamente, durante esse processo, o condutor (inicialmente 
neutro) se tornará mais e mais eletronegativo, durante a subida dos 
elétrons. 
Quando o equilíbrio eletrostático for finalmente atingido, não 
haverá mais ddp (Vesfera = VTerra = 0) nem corrente elétrica entre a 
Terra e o condutor (que agora estará eletrizado negativamente e 
com potencial elétrico nulo), como mostra a figura a seguir: 
+
+Q
+
+
+
+ +
-
-
-
-
-
D-qindutor
R
Vesfera = 0
A
 
Podemos, agora, calcular o potencial elétrico do condutor esférico 
da figura acima (calculando o potencial elétrico do seu centro A) e 
igualá-lo a zero. 
 
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57 
Efeito do 
indutor
esfera A Terra
K.( Q) K.( q)
V V V 0
D R
 
    
Efeito da 
carga induzida
 
Fazendo isso, determinamos o módulo da carga indutora q que 
haverá na superfície da esfera condutora em função de Q, do 
raio R da esfera e da distância D do indutor ao centro da esfera. 
Isso não é o máximo !!??  Veja: 
esfera A Terra
K.( Q) K.( q)
V V V 0
D R
 
     
R
)q.(K
 
D
)Q.(K
 

  q =
D
R.Q
 !!!!!!!! 
O interessante resultado acima mostra que a carga induzida que 
haverá na esfera, conforme esperado, é tão maior quanto maior for 
a carga indutora Q e quanto menor for a distância D da indutora à 
esfera, ou seja, quanto mais próximo eles estiverem, maior será o 
módulo da carga induzida. Assim, mantendo a esfera ligada à 
Terra e variando-se a distância D entre o indutor e a mesma, a 
carga induzida q variará de tal forma a manter nulo o potencial da 
esfera, enquanto a mesma estiver conectada à Terra, sendo 
sempre dada por: 
q =
D
R.Q
 
Ainda assim, como a distância D será sempre maior que o raio R 
da esfera (D > R), vemos que o módulo da carga induzida será 
sempre menor que o módulo da carga indutora (|q| < |Q|) nesses 
casos em que o indutor está do lado de fora do induzido. Essa 
relação (|q| < |Q|) caracteriza o que chamamos de Indução 
Parcial. 
 
28 - Blindagem eletrostática. 
Consideremos um condutor oco (A), eletrizado ou não. Ele 
apresenta as mesmas propriedades que um condutor maciço: é 
nulo o campo elétrico em seu interior e as cargas elétricas em 
excesso, se existirem, distribuem-se pela sua superfície. 
 
Se considerarmos um corpo B, neutro, no interior de A, o campo 
elétrico no seu interior será nulo; mesmo que A esteja eletrizado, B 
não será induzido. Se, agora, aproximarmos de A um corpo E, 
eletrizado, haverá indução eletrostática em A, mas não em B. 
Observamos que o condutor oco A protege eletrostaticamente os 
corpos no seu interior. Dizemos que o condutor oco A constitui 
uma blindagem eletrostática. 
A carcaça metálica de um amplificador eletrônico é uma blindagem 
eletrostática. A carcaça metálica de um carro ou de um ônibus é 
uma blindagem eletrostática. 
 
29 - Entendendo Matematicamente o Poder das Pontas 
No começo do nosso curso de Eletrostática, ficamos intrigados 
com o poder das pontas: Por que a densidade de cargas 
elétricas (Coulombs / m2 ) é maior nas regiões mais pontudas 
de um condutor ? 
Agora sim, após ter adquirido uma base sólida no conceito de 
Equilíbrio Eletrostático, o prof. Renato Brito te explicará, com 
detalhes, passo-a-passo: 
 Passo 1: Como se calcula o potencial elétrico de um condutor 
(suposto inicialmente esférico, por simplicidade) ? 
 
K.Q 1 Q
V .
R 4 R
 

 (eq 1) 
 Passo 2: Como se calcula a densidade superficial de cargas 
elétricas espalhadas sobre a superfície esférica do condutor de 
raio R e área A = 4R2 (geometria espacial) ? 
 
2 2
coulombs Q Q
 = 
Am 4 R
  

 (eq2) 
 Passo 3: Isolando a carga Q em eq1 e substituindo em eq2, 
temos: 
 
2 2
Q 4 .R.V .V
 = 
R4 R 4 R
 
  
 
  
.V
 = 
R

 (eq3) 
Sabemos, adicionalmente que, independente de o condutor ser 
esférico ou não, o potencial elétrico V em todos os pontos de sua 
superfície metálica e do seu interior tem o mesmo valor 
(V.=.constante). Afinal de contas, se ele está em equilíbrio 
eletrostático, não haverá corrente i, portanto não poderá haver ddp 
U, o que obriga que todos os pontos tenham “o mesmo tanto de 
volts”. 
Sendo constantes a permissividade elétrica  do meio e o potencial 
elétrico V em toda superfície do condutor metálico, de acordo com 
a relação eq3, onde haverá maior densidade superficial de cargas 
 (Coulombs/ m2) ? Ora, onde o condutor tiver menor raio R de 
curvatura, isto é, no lado mais pontiagudo (lado A na figura abaixo). 
RB
Condutor de Metal
Modelo simplificado 
usando esferas
RA
A B
 
No condutor acima, supondo que sua extremidade esquerda tenha 
raio 3 vezes menor que sua extremidade direita (RA.=.RB./.3), a 
densidade de cargas (Coulombs./.m2) A será 3 vezes maior que 
B (A = 3.B) conforme a relação eq3 acima !! É o poder das 
pontas ! 
Entretanto, não confunda densidade superficial de cargas 
(Coulombs./.m2) com cargas elétricas (Coulombs): sendo VA = VB, 
ou seja, K.QA / RA = K.QB / RB, com RB = 3.RA, teremos QB = 3.QA !! 
A extremidade A tem mais C/m² que a extremidade B, porém, a 
extremidade B tem mais coulombs que a extremidade A . 
Sentiu a pegadinha ?  
 
 
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58 
Pensando em Classe
Pensando em Classe
 
Questão 1 
Duas cargas elétricas que estão no ar (k = 9x109), inicialmente distanciadas de di = 5 m, se 
atraem com uma força elétrica Fi = 800 N. O garoto Raul irá aumentar a distância entre essas 
cargas desde di = 5m até dF = 20m, puxando a carga negativa com muito sacrifício, como mostra a 
figura. A carga positiva está fixa à parede. 
d
 
a) Este deslocamento será espontâneo ou forçado ? 
b) A energia potencial elétrica do sistema deverá aumentar ou diminuir ? 
c) O trabalho realizado pela força elétrica será positivo ou negativo ? e o trabalho realizado pelo 
garoto ? 
d) Determine a intensidade da força elétrica entre as cargas, quando a distância entre elas for 
dF = 20 m. 
e) Adotando o referencial no infinito, determine a energia potencial elétrica do sistema quando as 
distâncias que separam as cargas valerem, respectivamente, di = 5m e dF = 20m. 
f) Qual o trabalho realizado pela força elétrica nesse episódio ? 
g) Sabendo que a caixa está em repouso no início e no término desse deslocamento, qual o 
trabalho realizado pelo Raul ? 
 
Questão 2 
O sistema abaixo foi abandonado do repouso sobre um plano horizontal liso infinitamente grande. 
Se a massa de cada pequena esfera vale m e suas cargas elétricas valem +Q, o prof Renato Brito 
pede para você determinar a velocidade atingida por esses corpos, quando estiverem infinitamente 
distanciados. 
 
 
Questão 3 
(ITA) Uma partícula de massa m e outra de massa 2m têm cargas elétricas q de mesmo módulo, 
mas de sinais opostos. Estando inicialmente separadas de uma distância R, são soltas a partir do 
repouso. A constante eletrostática no meio vale K. Nestas condições, quando a distância entre as 
partículas for R/2, desprezando a ação gravitacional terrestre, pode-se afirmar que: 
a) Ambas terão a mesma velocidade v = q(K / 3mR)1/2 . 
b) Ambas terão a mesma velocidade v = q(K / mR)1/2. 
c) Ambas terão a mesma velocidade v = 2q(K / 3mR)1/2. 
d) Uma terá velocidade q(K / mR)1/2 e a outra terá velocidade de 2q(K / 3mR)1/2. 
e) Uma terá velocidade q(K / 3mR)1/2 e a outra terá velocidade 2q( K / 3mR)1/2. 
 
 
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Questão 4 
O sistema abaixo foi montado trazendo-se, uma a uma, cada uma das pequenas esferas a, b e c, 
idênticas, a partir do repouso, do infinito. Inicialmente foi trazida a esfera a. 
 
a) Qual o trabalho realizado pelo operador para trazer a segunda esfera b, a partir do infinito, e 
colocá-la em repouso a uma distância d da esfera a ? 
b) Qual o trabalho realizado pelo operador para trazer a terceira e última esfera c, a partir do 
infinito, e colocá-la em repouso a uma distância d da esfera b ? 
c)Qual a energia potencial elétrica do sistema abc montado. 
 
Questão 5 
Quatro cargas elétricas ABCD de mesmo valor +Q encontravam-se infinitamente distanciadas entre 
si inicialmente. Um operador teve o trabalho de pegar todas essas cargas e aproximá-las, fixando 
as mesmas nos vértices de um tetraedro regular de lado L. A primeira carga +Q trazida foi fixada 
ao vértice A. O trabalho realizado pelo operador para trazer a 2ª carga +Q e fixá-la ao vértice B foi 
de +100 J. O prof Renato Brito pede que você determine: 
a) o trabalho realizado pelo operador para trazer a 3ª carga +Q e fixá-la ao vértice C do tetraedro; 
b) o trabalho realizado pelo operador para trazer a 4ª carga +Q e fixá-la ao vértice D do tetraedro; 
c) o trabalho total realizado pelo operador para montar esse tetraedro ABCD; 
d) a energia potencial elétrica armazenada no sistema montado. 
 
Questão 6 
UECE 2003 (modificada) No átomo de hidrogênio, o módulo da força de atração entre o núcleo (um 
próton), e o elétron é dado por F = K.q2 / r2 , onde q é o módulo das cargas do elétron e do 
próton, k é uma constante e r é a distância entre o elétron e o centro do núcleo. Imagine que o 
elétron esteja inicialmente se movendo em torno do núcleo ao longo de uma circunferência de raio 
r1 , de acordo com o modelo atômico de Bohr : 
a) determine a energia cinética do elétron em função de K, q e do raio r1 da órbita: 
b) determine a energia potencial elétrica do par elétron-próton; 
c) a partir das letras a e b, determine a energia total do átomo; 
d) para que o elétron transite dessa órbita de raio r1 para uma órbita r2 > r1 , qual a energia do fóton 
que ele precisa absorver? 
 
Questão 7 
O prof Renato Brito conta que duas cargas estão localizadas sobre o eixo X e simetricamente 
dispostas em torno do eixo Y de um sistema de coordenadas cartesianas. Considere o trabalho 
realizado pela força elétrica quando uma terceira carga elétrica +q é levada do ponto a até o ponto 
b desse campo. Pode-se afirmar que: 
-Q+Q
a
b
c
d 
a) o trabalho realizado será negativo; 
b) o trabalho realizado será nulo; 
c) o trabalho é positivo, sendo maior quando realizado pelo trajeto acb 
d) o trabalho é positivo, sendo maior quando realizado pelo trajeto adb 
e) o trabalho é positivo e seu valor independe da trajetória seguida entre os pontos a e b. 
 
 
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Questão 8 
(ITA-SP) Duas cargas elétricas puntiformes, de mesmo valor absoluto e de sinais contrários +q e 
q, estão em repouso em pontos A e B. Traz-se de muito longe uma terceira carga positiva, ao 
longo de uma trajetória que passa mais perto de B do que de A. Coloca-se essa carga num ponto C 
tal que ABC é um triângulo eqüilátero. Podemos afirmar que o trabalho necessário para trazer a 
terceira carga: 
a) é menor se em B estiver a carga +q do que se em B estiver –q. 
b) é maior se em B estiver a carga +q do que se em B estiver –q. 
c) será independente do caminho escolhido para trazer a terceira carga e será nulo. 
d) será independente do caminho escolhido para trazer a terceira carga e será positivo. 
e) será independente do caminho escolhido para trazer a terceira carga e será negativa. 
Questão 9 
A figura mostra as linhas de força do campo elétrico coulombiano gerado por uma carga positiva 
Q = +6C no vácuo. As circunferências de raios 3m, 6m e 9m são superfícies equipotenciais 
desse campo. O prof Renato Brito pergunta: 
a) Quanto valem os potenciais elétricos dos pontos A e B ? 
E quanto vale a diferença de potencial elétrico UAB = VA – VB ? 
b) Qual o trabalho total realizado pela força elétrica, quando uma 
carga +q é movida no percurso ACD ? 
c) Se uma carga positiva q = +4C fosse abandonada em repouso 
no ponto D, quanto seria a sua velocidade a passar pelo ponto 
B ? (dado massa m = 2 x 10–5 kg ) ? 
d) e quanto seria a sua velocidade, quando estivesse infinitamente 
distanciada da carga fonte ? 
 
E
A
B
C
+
Q
D
 
Questão 10 
O prof Renato Brito conta que uma partícula de carga q e 
massa m foi abandonada nas proximidades de uma placa 
infinita uniformemente eletrizada que produz um campo 
elétrico uniforme E. Não há gravidade. Sobre o movimento 
posterior da partícula, pode-se afirmar que: 
a) durante o movimento, a intensidade força elétrica Fe 
que atua sobre a partícula será cada vez menor caso ela 
tenha carga positiva +q ;. 
E

q
 
b) sendo o campo elétrico uniforme, a partícula abandonada se moverá em movimento uniforme ; 
c) durante o movimento da carga, sua energia potencial elétrica aumentará caso a partícula tenha 
carga positiva +q ; 
d) durante o movimento da carga, sua energia potencial elétrica aumentará caso a partícula tenha 
carga negativa –q ; 
e) independente do sinal da carga, sua energia potencial elétrica necessariamente diminuirá durante 
o seu movimento. 
Este enunciado refere-se às questões 11, 12, 13 e 
14: ao se mapear uma região do espaço onde 
existe um campo elétrico produzido por uma 
determinada distribuição de carga, encontrou-se o 
seguinte conjunto de linhas de força: 
 
E
A
B C
VA VB VC 
Questão 11 
Estabeleça uma ordem crescente para as intensidades EA, EB e EC dos campos elétricos 
respectivamente nas regiões A, B e C. 
 
Questão 12 
Estabeleça uma ordem crescente para os potenciais elétricos VA, VB e VC respectivamente nas 
regiões A, B e C. 
 
 
 
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Questão 13 
Se uma carga elétrica for abandonada nas regiões A, B e C desse campo Elétrico, ficará sujeita a 
forças elétricas respectivamente iguais a FA, FB e FC. Estabeleça uma ordem crescente para essas 
forças elétricas. Essa ordem depende do sinal da carga elétrica ? 
 
 
 
 
Questão 14 
Se uma carga elétrica for abandonada nas regiões A, B e C desse campo Elétrico, ela armazenará 
energias potenciais elétricas respectivamente iguais a EpotA, EpotB e EpotC. Estabeleça uma ordem 
crescente para essas energias potenciais elétricas. Essa ordem depende do sinal da carga 
elétrica ? 
 
 
 
 
Questão 15 
A figura mostra um campo elétrico uniforme de intensidade E = 200 V/m. O prof Renato Brito 
pergunta: 
E
1 cm
1 cm
A
C
B
D
 
a) se adotarmos a referência de potencial nulo no ponto D (VD = 0V) , quais os potenciais elétricos 
dos pontos C, B e A ? 
b) Uma carga negativa q = –5C foi colocada inicialmente no ponto C desse campo. Sua energia 
potencial elétrica, quando posicionada no ponto C, foi arbitrada como valendo 
EpotC = +50J. Qual energia potencial elétrica essa carga teria no ponto B ? E no ponto A ? 
c) Se essa partícula, cuja massa vale m = 1,5 g, fosse abandonada em repouso no ponto B, com 
que velocidade ela atingiria o ponto A ? 
d) Ela estaria se movendo com aceleração de módulo crescente ou decrescente ? Quanto valeria 
essa aceleração ? 
Conclusão: A questão 15, elaborada pelo prof Renato Brito, mostra que no campo elétrico uniforme não existe um ponto 
privilegiado em relação ao qual todas as distâncias devem ser medidas.. A referência de potencial nulo pode ser escolhida 
em qualquer um desses pontos e, a partir daí, os potenciais dos demais pontos podem ser determinados. O importante é que 
as distâncias D sejam medidas “ao longo de uma linha de força do campo elétrico”. 
Questão 16 
Entre duas placas eletrizadas dispostas 
horizontalmente existe um campo elétrico 
uniforme. Uma partícula com carga de –3C e 
massa m é colocada entre as placas, 
permanecendo em repouso. Sabendo que o 
potencial da placa A é de 500 V, que a placa 
B está ligada a terra, que a aceleração a 
gravidade no local vale 10 m/s2 e que a 
distância d entre as placas vale 2 cm, 
determine a massa m da partícula. 
 
+++++++++++
d
A
B
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
-
 
 
 
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Questão 17 
O prof Renato Brito conta que duas enormes placas planas paralelas foram conectadas aos 
terminais de uma bateria, ficando submetidas a uma diferença de potencial U. Reduzindo-se a 
distância entre as placas à metade, sem desconectar a bateria, pode-se afirmar que: 
+++++++++++++++
-------------------------
U
Ed
 
a) a diferença de potencial entre as placas duplica; 
b) a diferença de potencial entre as placas se reduz à metade; 
c) a carga elétrica de cada placa se reduz à metade; 
d) o campo elétrico entre as placas se reduz à metade; 
e) a carga elétrica das placas duplica. 
 
Questão 18 
O prof Renato Brito conta que duas enormes placas planas paralelas foram conectadas aos 
terminais de uma bateria, ficando submetidas a uma diferença de potencial U. Duplicando-se a 
distância entre as placas, após ter desconectado a bateria, pode-se afirmar que: 
+++++++++++++++
-------------------------
U
Ed
 
a) a diferença de potencial entre as placas se reduz à metade; 
b) O campo elétrico entre as placas duplica; 
c) a carga elétrica de cada placa duplica; 
d) o campo elétrico entre as placas se reduz à metade; 
e) a diferença de potencial entre as placas duplica. 
 
Questão 19 
O prof Renato Brito conta que duas enormes placas planas paralelas foram conectadas aos 
terminais de uma bateria, ficando submetidas a uma diferença de potencial U. Para uma certa 
distância d entre as placas, o campo elétrico uniforme presente na região entre elas fez uma 
pequena esfera, de massa m e carga q, levitar (flutuar em equilíbrio) como mostra a figura. 
Reduzindo-se a distância entre as placas a um terço da distância inicial , pode-se afirmar que: 
+++++++++++++++
-------------------------
U
E
g
d
 
 
a) a diferença de potencial entre as placas triplica; 
b) a esfera passa a subir em movimento acelerado com aceleração a = g ; 
c) a esfera passa a subir em movimento acelerado com aceleração a = 2g ; 
d) a esfera passa a descer em movimento acelerado com aceleração a = g ; 
e) como o campo elétrico é uniforme, a força elétrica que atua sobre a esfera não se altera. 
 
 
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Questão 20 
Em um tubo de TV existem um filamento f e uma placa p, entre os quais é estabelecida uma certa 
voltagem Upf. Ao ser aquecido, o filamento emite elétrons (com velocidade praticamente nula) que 
são acelerados pela ddp fornecida por uma poderosa bateria em direção à placa p, passando por 
um orifício nela existente e deslocando-se até atingirem a tela. 
 
a) Determine a velocidade v do elétron ao passar pelo orifício existente na placa (dê sua resposta 
em função da carga q do elétron, de sua massa m e da voltagem Upf). 
b) Em um tubo de TV, um elétron, acelerado por voltagem Upf = 15000 V, atingiu a placa p com 
velocidade v. Caso o filamento f fosse aproximado da placa p, reduzindo-se a distância entre 
eles à metade, a intensidade do campo elétrico E uniforme na região entre o filamento e a placa 
se tornaria quantas vezes maior ? Nesse caso, a velocidade com que o elétron atingiria a placa 
p seria quantas vezes maior que v ? 
c) Qual deveria ser o valor da voltagem entre a placa e o filamento para que o elétron atingisse a 
placa com uma velocidade 2v ? 
 
Questão 21 
(UFSC) A figura abaixo mostra um arranjo de placas metálicas paralelas. As placas 2 e 3 possuem 
um furo em seus centros. Leia as afirmativas a seguir e marque V ou F : 
12 V 12 V
1 2
3 cm
3 4
3 cm3 cm
A
 
a) O potencial da placa 4 é igual ao da placa 1. 
b) O campo elétrico entre as placas 1 e 2 tem sentido da placa 2 para a placa 1 e seu módulo vale 
400 V/m 
c) Se abandonarmos um elétron no ponto A, o movimento do mesmo será acelerado entre as 
placas 1 e 2, uniforme entre as placas 2 e 3 e retardado entre as placas 3 e 4 
d) O trabalho realizado para deslocar um elétron da placa 1 até a placa 4 é nulo. 
e) O campo elétrico entre as placas 2 e 3 é nulo. 
f) A diferença de potencial entre as placas 1 e 4 é 24 V. 
 
Questão 22 
Nesta questão vamos analisar algumas particularidades a respeito do potencial elétrico produzido 
por cargas existentes em condutores em equilíbrio eletrostático. Observe as figuras para saber se 
mostram situações verdadeiras ou falsas. Dê como resposta a soma dos números associados às 
situações verdadeiras. 
(01) 
B
++
+
+
+ +
+
Linha de
força
A
 
02) 
B
++
+
+
+ +
+
+
+ E
B
 = E
C
 = 0
V
A
 > V
B
 = V
C
C
A
 
 
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(04) 
+
+
+
+
++
+
+
+
+ - -
-
-
--
-
-
-
-
-
Linhas
de força
 
 
(08) 
--
-
-
- -
-
-
-
A
-
Linha de
força
 
(16) 
++
+
+
+ +
+
+
+
B
+
A C V
A
 = V
B
 > V
C
 
(32) 
Linha
de força
D
C
A
B
E
 
Questão 23 
Considere um condutor esférico eletrizado negativamente e em equilíbrio eletrostático. Sejam VA, VB 
e VC os potenciais elétricos nos pontos A, B e C indicados na figura. Pode-se afirmar que: 
a) VA > VB > VC 
b) VA = VB < VC 
c) VA = VB = VC 
d) VA = VB > VC 
e) VA > VB = VC 
 
A B C
 
Questão 24 
Seja uma esfera condutora isolada em equilíbrio eletrostático. Se os potenciais elétricos a 20 cm, 
40 cm e 100 cm do centro da esfera vale 40 V, 40 V e 20V, respectivamente, O prof Renato Brito 
pede para você determinar: 
a) O raio dessa esfera; 
b) A intensidade do campo elétrico e do potencial elétrico a 45 cm do centro da esfera; 
c) A intensidade do campo elétrico e do potencial elétrico a 2 m do centro da esfera. 
 
Questão 25 
Quatro esferas condutoras de raios 10 cm, 20 cm, 30 cm e 40 cm têm potenciais elétricos 
respectivamente +120 V, +60 V, + 40 V e –30 V. Interligando-se essas esferas entre si através 
de fios condutores, elétrons fluirão através dos condutores até que todas as esferas atinjam um 
mesmo potencial elétrico de equilíbrio VF. O prof Renato Brito pede para você determinar VF . 
 
Questão 26 
O prof Renato Brito conta que uma esfera estava inicialmente neutra e que sofreu indução devido a 
um bastão que foi aproximado de sua superfície. Admita que o bastão e a esfera encontram-se fixos 
em repouso. A respeito do potencial elétrico nos pontos a, b, c, d e e, pode-se afirmar que: 
a) Vd < Vb 
b) Vb < Vd 
c) Ve < Va 
d) Vb < Vc 
e) Vb < Ve 
a
c
d
e
b
+
+
+
+
---
--
--
--
--
--
 
Pergunta: se desejássemos ligar essa esfera à Terra, a fim de eletrizá-la, qual dos pontos a, b, c 
ou d seria mais indicado para fazer a conexão ? Justifique. 
 
 
 
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Pensando em Casa
Pensando em Casa
 
 
Questão 1 
Duas cargas elétricas que estão no vácuo, inicialmente 
distanciadas de di = 4 m, se atraem com uma força elétrica 
Fi = 500 N. O garoto Raul irá aumentar a distância entre essas 
cargas desde di = 4m até dF = 20m, puxando a carga negativa 
com muito sacrifício, como mostra a figura. A carga positiva está 
fixa à parede. 
d
 
a) Determine a intensidade da força elétrica entre as cargas, 
quando a distância entre elas for dF = 20 m. 
 
b) Adotando o referencial no infinito, determine a energia potencial 
elétrica do sistema quando as distâncias que separam as 
cargas valerem, respectivamente, di = 4m e dF = 20m. 
 
c) Qual o trabalho realizado pela força elétrica nesse episódio ? 
 
 
d) Sabendo que a caixa está em repouso no início e no término 
desse deslocamento, qual o trabalho realizado pelo Raul ? 
Dica: Veja exemplo resolvido 1 – página 38 
Questão 2 
Quando duas partículas eletrizadas, que se repelem, são 
aproximadas, pode-se afirmar que: 
a) A energia potencial do sistema aumenta. 
b) a Energiacinética do sistema diminui 
c) A força elétrica realiza trabalho positivo 
d) A energia cinética do sistema aumenta 
e) A energia potencial do sistema diminui. 
 
Questão 3 
Quando duas partículas eletrizadas, que se atraem, são afastadas, 
pode-se afirmar que: 
a) A força elétrica realiza trabalho positivo 
b) A energia cinética do sistema aumenta 
c) A energia potencial do sistema diminui. 
d) A energia potencial do sistema aumenta. 
e) a Energia cinética do sistema diminui 
 
Questão 4 
Considere o sistema a seguir formado por três cargas A, B e C, 
de intensidades +Q, +Q e Q localizadas sobre um plano 
horizontal liso. 
 
Estando A e B fixas ao solo, abandona-se a carga C apartir do 
repouso. Determine a velocidade atingida por essa carga, ao 
cruzar o segmento AB. 
 
 
 
Dica: Veja exemplo resolvido 3 – página 40 
Questão 5 
Três pequenas esferas foram abandonadas em repouso 
(perfeitamente alinhadas) sobre um plano horizontal liso isolante 
infinitamente grande, como mostra a figura abaixo. Sabendo que 
as esferas têm massas idênticas m, cargas idênticas +Q e que 
estão no vácuo, determine a velocidade atingida por uma delas, 
quando estiverem infinitamente distanciadas. 
 
 
Dica: A esfera central é igualmente repelida de ambos os lados. Será que 
ela adquire velocidade ? 
 
Questão 6 
(MACK-SP) Uma partícula de massa igual a 2 centigramas e carga 
de +1 C é lançada com velocidade de 300 m/s, em direção a uma 
carga fixa de +3 C. O lançamento é feito no vácuo de um ponto 
bastante afastado da carga fixa. Desprezando ações 
gravitacionais, qual a mínima distância entre as cargas? 
 
Questão 7 
O sistema da figura foi montado trazendo-se, uma a uma, cada 
uma das cargas a, b e c, idênticas, a partir do repouso, do 
infinito. Inicialmente foi trazida a carga a. 
a) qual o trabalho realizado pelo operador para trazer a carga c, a 
partir do infinito, e colocá-la em repouso a uma distância 2d da 
carga a ? 
b) qual o trabalho realizado pelo operador para trazer a última 
carga b, a partir do infinito, e colocá-la em repouso exatamente 
entre as cargas a e c? 
c) qual a energia potencial elétrica do sistema abc montado. 
 
 
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Questão 8 
(UECE 2007.2 – 2ª fase) Qual é o trabalho realizado por um 
operador para montar a configuração a seguir , constituída de três 
cargas +Q iguais, trazendo-as do infinito ? 
Dado: K = constante eletrostática do meio. 
a a
aB
C
Q
Q
Q 
Dica: Fisicamente, a energia gasta na realização desse trabalho permanece 
armazenada no sistema, na forma de energia potencial elétrica . Veja as questões 
4 e 5 de classe – página 59. 
 
Questão 9 
(Fuvest-SP) Um sistema formado por 3 cargas puntiformes iguais, 
colocadas em repouso nos vértices de um triângulo eqüilátero, tem 
energia potencial eletrostática igual a U. Substitui-se uma das 
cargas por outra, na mesma posição, mas com o dobro do valor, 
qual será a energia potencial eletrostática do novo sistema em 
função de U ? 
 
Questão 10 - (ESCS – Escola Superior de Ciências de Saúde 2008) 
Duas partículas, de cargas iguais a +q e −q, estão fixas, 
respectivamente, nos vértices A e B do triângulo equilátero ABC 
representado na figura 1. Nesse caso, a energia potencial 
eletrostática do sistema formado por elas é U1. 
A B
+q -q
A B
+q -q
+q
C
figura 1 figura 2
A B
+q -q
C
figura 3
-q
 
Uma terceira partícula, de carga +q, é fixada no vértice C do 
triângulo, como mostra a figura 2. Nesse caso, designamos por U2 
a energia potencial eletrostática do sistema formado pelas três 
partículas carregadas. Substitui-se a partícula do vértice C por 
outra, de carga −q, como mostra a figura 3. Nesse caso, 
designamos por U3 a energia eletrostática das três partículas 
carregadas. Essas energias potenciais eletrostáticas são tais que 
a) U1 < U3 < U2 ; b) U1 < U3 = U2 ; c) U3 < U1 < U2 ; 
d) U3 < U2 < U1 ; e) U1 = U2 = U3 . 
 
Questão 11 
O prof. Renato Brito deseja posicionar quatro cargas elétricas 
idênticas +q nos vértices de um tetraedro regular de lado L. 
As cargas encontram-se infinitamente afastadas entre si na 
situação inicial, no vácuo, onde a constante eletrostática vale K. 
Determine o trabalho realizado pelo operador ao montar esse 
sistema. 
Dica: Veja as questões 4 e 5 de classe – página 59. 
Questão 12 
O prof. Renato Brito deseja posicionar quatro cargas elétricas de 
mesmo módulo nos vértices de um tetraedro regular de lado L, 
sendo três positivas +q e uma negativa q. As cargas encontram-
se infinitamente afastadas entre si na situação inicial, no vácuo, 
onde a constante eletrostática vale K. Determine o trabalho 
realizado pelo operador ao montar esse sistema. 
Dica: Veja as questões 4 e 5 de classe – página 59. 
Questão 13 
Três cargas elétricas positivas idênticas +q encontram-se fixas nos 
vértices de um triângulo eqüilátero de lado 2L, enquanto uma 
quarta carga elétrica positiva +q encontra-se infinitamente afastada 
do sistema. O prof. Renato Brito deseja mover essas quatro cargas 
e fixá-las aos vértices de um tetraedro regular de 
lado L. Determine o trabalho realizado pelo operador, ao realizar 
este procedimento. 
Dica: Veja as questões 4 e 5 de classe – página 59. 
Questão 14 
(UERN 2005) No modelo atômico de Bohr para o átomo de 
hidrogênio, o elétron se move em torno do núcleo positivo com actp 
proveniente da força elétrica coulombiana de atração entre eles. 
Sejam EP e Ecin, respectivamente, a energia potencial e a energia 
cinética do átomo de hidrogênio. O quociente EP / Ecin vale: 
a) 2 b) 1/2 c) 2 d) 1/2 
 
Dica: Veja a questão 6 de classe 
Questão 15 
No modelo atômico de Bohr para o átomo de hidrogênio, o elétron 
se move em torno do núcleo positivo com actp proveniente da 
força elétrica coulombiana de atração entre eles. Sejam EP, Ecin e 
ETOTAL respectivamente, a energia potencial, a energia cinética e a 
energia total do átomo de hidrogênio, com ETOTAL = EP + Ecin. 
O quociente Ecin / ETOTAL vale: 
a) 2 b) 1/2 c) 1 d) 1/2 
 
Semana 4 de 15 
Assunto sugerido: 
 Atrito, Óptica 3 (Refração)
REVISÃO SEMANAL PROGRAMADA
Se você revisar um pouquinho a cada 
semana, não acumulará toda a revisão 
para a semana da véspera do 
vestibular, né verdade ?  
 
Questão 16 
O prof Renato Brito conta que duas cargas estão localizadas sobre 
o eixo X e simetricamente dispostas em torno do eixo Y de um 
sistema de coordenadas cartesianas. Considere o trabalho 
realizado pela força elétrica quando uma terceira carga elétrica q é 
levada do ponto a até o ponto b desse campo. Pode-se afirmar 
que: 
 
-Q+Q
a
b
 
a) o trabalho realizado será negativo, se a carga deslocada for 
positiva; 
b) o trabalho realizado será positivo, se a carga deslocada for 
positiva; 
c) o trabalho realizado é positivo independe do sinal da carga 
deslocada; 
d) o trabalho realizado é negativo independe do sinal da carga 
deslocada; 
e) o trabalho realizado é nulo independe do sinal da carga 
deslocada; 
 
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67 
Questão 17 
(UFRS) Duas cargas elétricas puntiformes, de mesma intensidade 
e sinais contrários, estão situadas nos pontos X e Y representados 
na figura. Entre quais dois pontos, indicados na figura, a diferença 
de potencial gerada pelas cargas é nula? Em outras palavras, 
indique dois pontos nessa figura que tenham potenciais elétricos 
iguais. 
a) O e R 
b) X e R 
c) X e Y 
d) P e Q 
e) O e Y 
 
R
Y
QP
O
X
 
Questão 18 
A figura mostra as linhas de força do campo elétrico coulombiano 
gerado por uma carga positiva Q = +4C no vácuo. As 
circunferências de raios 3m, 6m e 9m são superfíciesequipotenciais desse campo. 
E
A B C
+
Q
 
O prof Renato Brito pergunta: 
a) Uma carga elétrica q = +5C foi abandonada em repouso no 
ponto A. Quanto valerá a sua Ecin ao passar pelo ponto C ? 
b) Se a massa da partícula vale m = 0,2 gramas, quanto valeria a 
sua velocidade ao passar pelo ponto C ? 
c) Se você tentar determinar essa velocidade usando a equação 
de Torricelli do MUV, não terá encontrará a resposta correta. 
Por que a equação de Torricelli não se aplica a esse cálculo? 
 
Questão 19 
Uma partícula fixa, eletrizada com carga + 5 C, é responsável 
pelo campo elétrico existente numa determinada região do espaço. 
Uma carga de prova de +2 C e 0,25 g de massa é abandonada a 
10 cm da carga fonte, recebendo desta uma força de repulsão. 
Determine: 
a) o trabalho que o campo elétrico realiza, para levar a carga de 
prova a 50 cm de distância da carga fonte; 
b) a velocidade da carga de prova, submetida exclusivamente ao 
campo citado, quando estiver a 50 cm da carga fonte. 
 
Atenção !!!! : Use K = 1 . 1010 N. m2 C2. 
Questão 20 
(FEI-SP) Sendo VA, VB e VC os potenciais eletrostáticos de três 
pontos de uma linha de campo, com 0 < VA – VC < VB – VC, 
podemos afirmar que no sentido da linha de campo a ordem dos 
três pontos é: 
a) A, B e C 
b) B, A e C 
c) C, A e B 
d) B, C e A 
e) A, C e B 
Questão 21 
(UFC 2001) A figura ao lado representa três condutores elétricos e 
algumas linhas de força entre eles. Se V1, V2 e V3 são os potenciais 
elétricos dos condutores, podemos afirmar, com certeza, que: 
a) V1 = V2 
b) V3 > V2 
c) V2 > V3 
d) V3 > V1 
e) V2 = V3 
 
1
2
3
 
Dica: O potencial elétrico SEMPRE DIMINUI quando se caminha na mesma direção 
e sentido da flecha do campo elétrico E  . 
 
Questão 22 
(Uniceb-SP) No campo elétrico devido a uma carga puntiforme 
positiva Q, são dados os pontos A, B e C situados em esferas 
concêntricas com centro em Q. Uma carga de prova q, positiva, 
pode ser deslocada nesse campo. Podemos afirmar que o trabalho 
da força elétrica, quando q é deslocada entre dois desses pontos: 
B
QC
A
 
a) tem módulo maior no percurso AC que no percurso BC 
b) é positivo no percurso BA 
c) é nulo no percurso AC 
d) é negativo no percurso AB 
e) em qualquer dos percursos, o trabalho depende da trajetória 
seguida pela carga q. 
 
Questão 23 
(FCMSC-SP) As linhas de força de um campo elétrico são: 
a) perpendiculares às superfícies eqüipotenciais e dirigidas dos 
pontos de menor para os de maior potencial. 
b) perpendiculares às superfícies eqüipotenciais e dirigidas dos 
pontos de maior para os de menor potencial 
c) inclinadas em relação às superfícies eqüipotenciais. 
d) tangentes às superfícies. 
e) necessariamente retilíneas e suas direções nada têm que ver 
com as superfícies eqüipotenciais. 
 
Questão 24 
A figura abaixo ilustra as superfícies equipotenciais do campo 
elétrico causado por uma carga fonte +Q puntiforme positiva. O 
prof Renato Brito pede para você marcar a opção correta: 
A
B
C
 
a) Uma carga de prova positiva +q abandonada no ponto B, se 
moverá espontaneamente para o ponto C; 
 
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68 
b) A energia potencial elétrica de uma carga elétrica negativa 
–q é maior quando ela é colocada em B do que quando ela é 
colocada em A. 
c) A força elétrica que uma carga +q sofre, quando colocada em 
A, é menor que ela sofreria se estivesse em C. 
d) Uma carga de prova positiva +q, abandonada no ponto B, se 
moverá espontaneamente para a esquerda; 
e) O campo elétrico em C é mais fraco que o campo elétrico em 
B. 
 
Questão 25 
Com relação ao trabalho realizado pelo campo elétrico, quando 
abandonarmos uma carga elétrica em repouso nesse campo, ele: 
a) será sempre positivo 
b) será sempre negativo 
c) será sempre nulo 
d) será negativo, se a carga abandonada for negativa. 
e) será nulo, se a carga for abandonada sobre uma linha 
eqüipotencial. 
 
Questão 26 
Com relação à uma carga elétrica abandonada em repouso em um 
campo elétrico, sob ação exclusiva da força elétrica, marque V 
verdadeiro ou F falso: 
a) a carga se moverá espontaneamente, independente do seu 
sinal elétrico; 
b) a sua energia cinética aumentará, independente do sinal da 
carga; 
c) a sua energia potencial elétrica diminuirá, independente do sinal 
da carga 
d) se a carga for positiva, ela se moverá em direção a potenciais 
elétricos cada vez menores; 
e) se a carga for negativa, ela se moverá em direção a potenciais 
elétricos cada vez maiores; 
f) o trabalho realizado pela força elétrica será necessariamente 
positivo, independente do sinal da carga elétrica. 
 
Questão 27 
(UFF-RJ) Duas placas metálicas, planas e paralelas são 
conectadas aos bornes de uma bateria. Sejam 1 e 2 pontos no 
espaço entre as placas, conforme mostra a figura. Sobre os 
potenciais, V1 e V2, e as intensidades, E1 e E2, do campo elétrico 
nos pontos 1 e 2, respectivamente, pode-se afirmar que: 
a) V1 < V2 e E1 < E2 
b) V1 < V2 e E1 > E2 
c) V1 = V2 e E1 = E2 
d) V1 > V2 e E1 = E2 
e) V1 > V2 e E1 > E2 
 
1
-+
2
 
Questão 28 
A figura mostra um campo elétrico uniforme de intensidade 
E = 400 V/m. O prof Renato Brito pergunta: 
a) Se adotarmos a referência de potencial nulo no ponto D 
(VD = 0V) , qual o potencial elétrico dos pontos C, B e A ? 
b) Uma carga negativa q = 10C foi colocada inicialmente no 
ponto C desse campo. Sua energia potencial elétrica, quando 
posicionada no ponto C, foi arbitrada como valendo 
EpotC = 100J. Qual energia potencial elétrica essa carga teria 
no ponto B ? E no ponto A ? 
E
1 cm
1 cm
A
C
B
D
 
Questão 29 
A figura mostra uma carga puntiforme de +2C em repouso 
imersa num campo elétrico uniforme de intensidade E = 4.108 V/m, 
numa posição onde armazena uma energia potencial elétrica de 
20 J. Em seguida, a carga foi movida 3 cm para baixo e 4 cm 
para a esquerda. Qual a energia potencial elétrica armazenada 
pela carga em sua posição final ? 
a) 52 J 
b) –12 J 
c) 60 J 
d) 8 J 
e) 20 J 
E
+q
 
Dica: Veja questão 15 de classe 
Questão 30 
(UFRS) Uma carga elétrica puntiforme positiva é deslocada ao 
longo dos três segmentos indicados na figura, AB , BC e CA , em 
uma região onde existe um campo elétrico uniforme, cujas linhas 
de força estão também representadas na figura. Assinale a 
alternativa correta. 
A B
C

E
 
a) De A até B a força elétrica realiza sobre a carga um trabalho 
negativo. 
b) De A até B a força elétrica realiza sobre a carga um trabalho 
nulo. 
c) De A até B a força elétrica realiza sobre a carga um trabalho de 
módulo igual a lWCAl.cos, onde lWCA l é o módulo do trabalho 
realizado por esta força entre C e A. 
d) De B até C a força elétrica realiza sobre a carga um trabalho 
nulo. 
e) De B até C a força elétrica realiza sobre a carga um trabalho 
igual àquele realizado entre A e B. 
 
Questão 31 
(UFRS) A figura representa linhas eqüipotenciais de um campo 
elétrico uniforme. Uma carga elétrica puntiforme positiva de 2,0 C 
é movimentada com velocidade constante sobre cada um dos 
trajetos de A até B, de B até C e de A até C. Nessas condições, o 
trabalho necessário para movimentar a carga: 
a) de A ate B é nulo 
b) de B até C é nulo 
c) de A até C é igual ao de B até C. 
d) de A até B é igual ao de B até C. 
e) de A até B é maior do que de A até C. 
 
 
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69 
 
A
B C
+10 V
+ 5V
0 V
- 5 V
- 10 V
 
 
Pergunta: Uma carga elétrica positiva abandonada em repouso no ponto 
B se moveria espontaneamente em qual direção ? E se ela fosse 
negativa ? 
 
 
Questão 32 
(Cesgranrio-RJ) Duas placas metálicas paralelas são ligadas aos 
terminais de uma bateria. Considere o caminho 1 –2 – 3 – 4 – 1 no 
espaço entre as duas placas. O potencial elétrico varia ao longo do 
caminho, conforme o gráfico. 
+
-
4
1 2
3
 
a) 
1 2 3 4 1
V
 
b) 
1 2 3 4 1
V
 
c) 
1 2 3 4 1
V
 
d) 
1 2 3 4 1
V
 
 
Questão 33 
Numa experiência nos laboratórios do Simétrico, um estudante fez 
com que uma pequena esfera de massa m e carga elétrica q 
“levitasse” entre duas placas eletrizadas, conectadas a uma 
bateria que fornece tensão elétrica U. Se a distância entre as 
placas vale d e a aceleração da gravidade é g, então: 
a) q.U = m.g.d 
b) q.d = U.m.g 
c) q.U =
d
g.m
 
d) 
d
g.m
U
q
 
e) E = g 
 
 
U
 
Questão 34 
(FM ABC-SP) No esquema representado abaixo, A e B são duas 
placas uniformemente eletrizadas, com cargas de sinais contrários. 
Entre as placas estabelece-se um campo elétrico uniforme, de 
intensidade E = 5 . 103 N/C. Um corpúsculo de massa m = 2 g é 
colocado num ponto entre as placas, ficando em equilíbrio. Admita 
a aceleração da gravidade igual a 10m/s2. A intensidade da força 
elétrica que atua sobre esse corpúsculo e sua carga elétrica vale, 
respectivamente: 
+ + + + + + + + + + + + +
- - - - - - - - - - - - - - - - - - -
q, m
A
B
g
 
a) F = 2.10–2 N; q = – 4 C b) F = 2,5. 10–5 N; q = – 0,4 C 
c) F = 2 . 10–2 N; q = + 4 C d) F = 2,5. 105 N; q = + 0,4 C 
e) F = 2,5. 10–1 N; q = – 0,4 C 
Questão 35 
(U Mackenzie-SP) Uma carga elétrica q = 1 C e massa 0,5 g, 
colocada num campo elétrico uniforme de intensidade E, sobe com 
aceleração de 2 m/s2. Sendo g = 10 m/s2 a aceleração da 
gravidade local, podemos afirmar que a intensidade do campo 
elétrico é, em N/C: 
a) 500 
b) 1000 
c) 2000 
d) 4000 
e) 6000 
q
+ + + + + + + + + + + + +
- - - - - - - - - - - - - - - - - - -
 
Dica: FR = m.g  q.E ou FR = q.E  m.g ? , FR = m.a 
 A massa deve estar em grama ou kg ? 
 Essa questão despreza a gravidade g, ou não ? 
 
Questão 36 
Duas enormes placas planas paralelas foram conectadas aos 
terminais de uma bateria, ficando submetidas a uma diferença de 
potencial U. Se o prof Renato Brito duplicar a distância entre as 
placas, sem desconectar a bateria, pode-se afirmar que: 
 
+++++++++++++++
-------------------------
U
Ed
 
 
a) a diferença de potencial entre as placas se reduz à metade; 
b) a diferença de potencial entre as placas duplica; 
c) a carga elétrica de cada placa duplica; 
d) o campo elétrico entre as placas duplica; 
e) a carga elétrica se reduz à metade. 
 
Questão 37 
Duas enormes placas planas paralelas foram conectadas aos 
terminais de uma bateria, ficando submetidas a uma diferença de 
potencial U. Se o prof Renato Brito reduzir a distância entre as 
placas à metade, após ter desconectado a bateria, pode-se afirmar 
que: 
 
Simétrico Pré-Universitário – Há 23 anos ensinando com excelência os estudantes cearenses – www.simétrico.com.br 
70 
+++++++++++++++
-------------------------
U
Ed
 
a) a diferença de potencial entre as placas duplica; 
b) O campo elétrico entre as placas se reduz à metade; 
c) a carga elétrica de cada placa se reduz à metade; 
d) o campo elétrico entre as placas duplica; 
e) a diferença de potencial entre as placas se reduz à metade. 
Questão 38 
Duas enormes placas planas paralelas foram conectadas aos 
terminais de uma bateria, ficando submetidas a uma diferença de 
potencial U. Para uma certa distância d entre as placas, o campo 
elétrico uniforme presente na região entre elas fez uma pequena 
esfera, de massa m e carga q, levitar (flutuar em equilíbrio) como 
mostra a figura. Se o prof Renato Brito reduzir a distância entre as 
placas à metade, pode-se afirmar que: 
+++++++++++++++
-------------------------
U
E
g
d
 
a) a diferença de potencial entre as placas duplica; 
b) a esfera passa a subir em movimento acelerado com aceleração 
a = g ; 
c) a esfera passa a subir em movimento acelerado com aceleração 
a = 2g ; 
d) a esfera passa a descer em movimento acelerado com 
aceleração a = g ; 
e) como o campo elétrico é uniforme, a força elétrica que atua 
sobre a esfera não se altera. 
 
Questão 39 
A figura deste problema mostra duas grandes placas metálicas A e 
D e uma caixa metálica oca cujas faces B e C são paralelas às 
placas. Duas baterias, de 300 V cada uma, são ligadas às placas e 
à caixa, da maneira mostrada na figura. Considerando a placa A 
como nível de potencial (potencial nulo), indique, entre as 
afirmativas seguintes, aquelas que estão corretas: 
a) O campo elétrico entre A e B está dirigido de B para A e vale 
1,5 x 104 V/m 
b) O campo elétrico entre B e C é nulo. 
c) O campo elétrico entre C e D está dirigido de C para D e vale 
1,5 x 104 V/m 
d) Os potenciais das faces B e C são ambos iguais a 300 V. 
e) O potencial da placa D vale zero. 
 
300 V
2 cmA B C D2 cm
300 V
+ +
 
Questão 40 
Um elétron, abandonado (em repouso) próximo à placa A, segue a 
trajetória mostrada na figura do problema anterior, passando 
através de pequenos orifícios existentes em B e C. Analise as 
afirmativas seguintes e indique aquelas que estão erradas: 
a) Entre A e B o movimento do elétron é retilíneo uniforme. 
b) Entre B e C a energia cinética do elétron não varia. 
c) Entre C e D o movimento do elétron é uniformemente retardado. 
d) Ao atingir a placa D a velocidade do elétron é nula. 
e) A velocidade do elétron aumenta continuamente desde A até D. 
 
Questão 41 
A diferença de potencial entre duas grandes placas paralelas 
separadas de 2 x 10–2 m é de 12 V. Se uma partícula de massa 
m = 2 g e carga elétrica 10–8 C for abandonada na região entre 
as placas, com que aceleração ela se moverá, em m/s2 ? 
a) 3 x10–3 b) 2 x10–3 c) 3 x10–6 d) 2 x10–6 
Dica: se a questão não falar nada sobre a gravidade g, é porque a questão está 
desprezando a gravidade (g = 0). Nesse caso, despreze o peso “m.g” da partícula. 
Questão 42 
Um elétron de massa m e carga q foi acelerada por um campo 
elétrico, atravessando uma diferença de potencial U a favor do seu 
movimento. O prof Renato Brito pede para você determinar a 
velocidade final V atingida pelo elétron: 
a) ( 2.q.U / m )1/2 b) ( q.U / m )1/2 
c) 2.( q.U / m )1/2 d) ( 2.q.m / U )1/2 
Dica: veja a questão 20 de classe 
Questão 43 
Elétrons emitidos com velocidade desprezível, a partir de um 
filamento aquecido, são acelerados por uma ddp U = 2000 V. A 
velocidade final atingida por eles vale, aproximadamente: 
a) A velocidade típica de um carro de Fórmula 1 
b) A velocidade do som no vácuo 
c) 10% da velocidade da luz no vácuo 
d) A velocidade típica de vôo de um Boeing comercial 
e) A velocidade do som na água 
Dado: massa do elétron = 9 x 10–31 kg 
Semana 5 de 15 
Assunto sugerido: 
 Força Centrípeta, Óptica 4 (Lentes)
REVISÃO SEMANAL PROGRAMADA
Se você revisar um pouquinho a cada 
semana, não acumulará toda a revisão 
para a semana da véspera do 
vestibular, né verdade ?  
 
Questão 44 
A figura representa um objeto metálico, isolado, eletrizado e em 
equilíbrio eletrostático, em que se distinguem as regiões A, B, C e 
D na superfície e E no interior. 
A
B
C
D
E
 
Representando os potenciais elétricos das mencionadas regiões, 
respectivamente, por VA, VB, VC, VD, e VE é correto afirmar que: 
 
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71 
a) VA > VD > VC > VB > VE 
b) VE > VB > VC > VD > VA 
c) VE = 0 e VA = VB = VC = VD  0 
d) VA = VB = VC = VD = VE  0 
e) VE > VA > VD 
 
Questão 45 
(PUC-SP) Um condutor carregado, afastado de outros condutores, 
é dotado de uma ponta. Em comparação às demais regiões do 
condutor, a região próxima ao ponto P da ponta: 
a) tem mais volts . 
b) tem menos volts. 
c) tem mais coulombs 
d) tem menos coulombs 
e) tem mais coulombs por 
metro quadrado 
 
P
 
Questão 46 
A figura representa uma esfera metálica eletrizadacom uma carga 
positiva Q, em equilíbrio eletrostático. A respeito da intensidade do 
campo elétrico E e do potencial elétrico V nos pontos indicados, 
podemos afirmar que: 
1
3
2
5
4
+
+
+
+
+
++
+
+
+
+
 
01) E1 = E2 = E3 = E4 = E5 = 0 
02) V1 = V2 = V3 = V4 = V5 > 0 
04) E1 < E5 e V1 < V5 
08) V1 = V2 = V3 = V4 = V5 = 0 
16) E1 = E2 = E3 = E4 = 0 
32) E5 > 0 
Dê como reposta a soma dos números associados às afirmações 
corretas. 
 
Questão 47 
(UFRS) A figura representa uma superfície esférica condutora 
carregada positivamente e dois pontos A e B, ambos no plano da 
página. Nessa situação, pode-se afirmar que: 
+
+ +
+ +
++
+ +
++
+
A B
 
a) o potencial em B é maior do que em A. 
b) um elétron em A tem maior energia potencial elétrica do que em 
B. 
c) o campo elétrico no ponto A é mais intenso do que no ponto B. 
d) o potencial em A é igual ao potencial em B. 
e) o trabalho realizado para deslocar um elétron de A para B com 
velocidade constante é nulo. 
Pergunta: o que mudaria, se a superfície condutora estivesse 
eletrizada negativamente ? 
Questão 48 
Duas esferas metálicas 1 e 2, de raios R1 e R2 , sendo R1 > R2 , 
estão ambas eletrizadas positivamente. Ligam-se as esferas por 
meio de um fio condutor. Após ser atingido o equilíbrio eletrostático, 
designemos por Q1 e Q2 as cargas em cada esfera e V1 e V2 os 
potenciais de cada uma. Podemos afirmar que: 
a) V1 > V2 e Q1 > Q2 
b) V1 > V2 e Q1 = Q2 
c) V1 = V2 e Q1 > Q2 
d) V1 = V2 e Q1 = Q2 
e) V1 < V2 e Q1 = Q2 
 
+
+
++
++
+ +
+
+
+
++
+
+
+
1 2
 
Questão 49 
(FM ABC-SP) Duas esferas metálicas A e B, de raios 3R e R, estão 
isolados e em equilíbrio eletrostático. Ambas estão eletrizadas com 
cargas positivas 6Q e Q, respectivamente. Interligando-as com fio 
metálico, podemos afirma que: 
a) os elétrons vão de B para A. 
b) os elétrons vão de A para B. 
c) cargas positivas movimentar-se-ão de A 
para B. 
d) não há passagem de cargas elétricas. 
e) cargas positivas movimentar-se-ão de B 
para A. 
Dica: Quem é maior, VA ou VB ? Elétrons, 
espontaneamente, se movem para em direção a 
potenciais maiores ou menores ? 
3R
+6Q
A
R
+Q
B
 
Pergunta: Para que a resposta fosse letra d, a carga inicial da 
esfera B deveria ser quanto ? 
Questão 50 
Seja um condutor metálico representado pela união entre duas 
esferas metálicas A e B, de raios RA e RB (com RB = 2.RA) 
eletrizados com cargas QA e QB. Sejam A e B as densidades 
superficiais de cargas das extremidades A e B do condutor. De 
acordo com seus conhecimentos sobre o Poder das Pontas em 
superfícies metálicas em Equilíbrio Eletrostático, assinale a 
alternativa correta: 
RB
Condutor de Metal Modelo simplificado usando esferas
RA
A B
 
a) B = 2.A e QB = 2.QA b) B = 2.A e QA = 2.QB 
c) A = 2.B e QA = 2.QB d) A = 2.B e QB = 2.QA 
Dica: Leia a página 57, Entendendo Matematicamente o Poder das pontas. 
Questão 51 
Três esferas condutoras de raios 10 cm, 30 cm e 60 cm têm 
potenciais elétricos respectivamente +120 V, +60 V e –30 V. 
Interligando-se essas esferas entre si através de fios condutores, 
elétrons fluirão através dos condutores até que todas as esferas 
atinjam um mesmo potencial elétrico de equilíbrio VF. Determine 
VF . 
Dica: Veja questão 25 de classe 
Questão 52 
(UFMG) Atrita-se um bastão com lã de modo que ele adquire carga 
positiva. Aproxima-se então o bastão de uma esfera metálica com 
o objetivo de induzir nela uma separação de cargas. Essa situação 
 
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72 
é mostrada na figura. Pode-se então afirmar que o campo elétrico 
no interior da esfera é: 
+ + + +
+
+++
+
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
-
-
 
a) diferente de zero, horizontal, com sentido da direita para a 
esquerda. 
b) diferente de zero, horizontal, com sentido da esquerda para a 
direita. 
c) nulo apenas no centro. 
d) nulo em todo o interior da esfera, devido à blindagem 
eletrostática. 
 
Questão 53 
O prof Renato Brito conta que uma esfera estava inicialmente 
neutra e que sofreu indução devido a um bastão que foi 
aproximado de sua superfície. Admita que o bastão e a esfera 
encontram-se fixos em repouso. A respeito do potencial elétrico 
nos pontos a, b, c, d e e, pode-se afirmar que: 
a) Vd > Vb 
b) Vb > Vd 
c) Ve > Va 
d) Vb > Vc 
e) Vb > Ve 
+
+
+
+
a
c
d
e
b
+++
++
++
++
++
++
 
Questão 54 
(Fuvest-SP) Quando se aproxima um bastão B, eletrizado 
positivamente, de uma esfera metálica, isolada e inicialmente 
descarregada, observa-se a distribuição de cargas representadas 
na Figura 1. Mantendo o bastão na mesma posição, a esfera é 
conectada a terra por um fio condutor que pode ser ligado a um 
dos pontos P, R ou S da superfície da esfera. Qual dos diagramas 
melhor indica o fluxo de elétrons através do fio e a carga final 
adquirida pela esfera: 
Isolante
SP
R
+
 +
 +
 +
 +
 +
 -
 -
 -
 -
 -
 -
 + + + + + + +
+ + + + + + + +
Bastão B
 
 
a) 
+
P
 
b) 
-
S
 
e) 
-
P
 
c) 
+
S
 
d) 
0
R
 
 
Pergunta conceitual: Tanto faz ligar qualquer um dos pontos P, Q 
ou R à Terra ? Por que ? Qual deles está a um maior potencial 
elétrico ? 
Questão 55 
(Fuvest-SP) Duas esferas metálicas A e B estão próximas uma da 
outra. A esfera A está ligada a Terra, cujo potencial é nulo, por um 
fio condutor. A esfera B está isolada e carregada com carga +Q. 
Considere as seguintes afirmações: 
I. O potencial da esfera A é nulo. 
II. A carga total da esfera A é nula. 
III. A força elétrica total sobre a esfera A é nula. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
a) I 
b I e II 
c) I e III 
d) II e III 
e) I, II e III 
 
B A
 
Questão 56 
Seja uma esfera condutora isolada em equilíbrio eletrostático. Se o 
potencial elétrico a 10 cm, 20 cm e 100 cm do centro da esfera vale 
40 V, 40 V e 10V, respectivamente, O prof Renato Brito pede para 
você determinar: 
a) O raio dessa esfera; 
b) A intensidade do campo elétrico e do potencial elétrico a 20 cm 
do centro da esfera; 
c) A intensidade do campo elétrico e do potencial elétrico a 2 m do 
centro da esfera. 
Semana 6 de 15 
Assunto sugerido: 
Trabalho e Energia, Gases
REVISÃO SEMANAL PROGRAMADA
Se você revisar um pouquinho a cada 
semana, não acumulará toda a revisão 
para a semana da véspera do 
vestibular, né verdade ?  
 
Questão 57 
A Rigidez dielétrica de um meio isolante é a maior intensidade de 
campo elétrico Emax que ele é capaz de suportar sem se tornar 
condutor. Para campos elétricos mais intensos, ele se tornará 
condutor. Os raios que saltam entre as nuvens e a Terra, durante 
uma tempestade, ocorrem exatamente quando o campo elétrico 
através da atmosfera fica intenso demais rompendo a rigidez 
dielétrica do ar atmosférico, da ordem de Emax = 3 .106 N/C. 
 
 
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73 
Baseado nessas informações, determine qual a maior carga 
elétrica com que se pode eletrizar uma esfera condutora 
de raio 10 cm no vácuo, sem que ela se descarregue através de 
faíscas. 
(Dado: K ar  k vácuo = 9 X 109 N.m2.C–2 ) 
a) 3,3 C b) 0,33 C c) 6,6 C d) 0,66 C e) 9 C 
Dica: A intensidade do campo elétrico E no ar ao redor da esfera, infinitamente 
próximo a ela, não pode ultrapassar a rigidez dielétrica do ar. Caso isso ocorra, o ar 
se torna condutor e raios começam a saltar da esfera  faíscas. 
Hora de Revisar
Hora de Revisar
 
Questão 01 
Em uma experiência, verificou-se que a velocidade inicial 
necessária para que um corpo atingisse a altura H, quando lançado 
verticalmente para cima, era igual a v0. Se o mesmo corpo for 
lançado com uma velocidade inicial igual a 2v0, a sua velocidadeao atingir a altura H (desprezada a resistência do ar) será: 
a) V0 
b) v0 / 2 
c) v0 / 4 
d) v0 3 
e) v0 / 3 
Dica: A questão deseja meramente relacionar velocidade com altura e 
altura com velocidade. É melhor resolver usando energia ou por 
cinemática ? 
 
Questão 02 
(UECE 2007.1 2ª Fase) - Uma máquina térmica funciona de modo 
que n mols de um gás ideal evoluam segundo o ciclo ABCDA, 
representado na figura.Sabendo-se que a quantidade de calor Q 
absorvida da fonte quente, em um ciclo, vale 18.n.R.To, onde To é a 
temperatura do estado A, o rendimento dessa máquina vale, 
aproximadamente: 
a) 55% b) 44% c) 33% d) 22% 
 
P
V
Vo 3Vo
Po
A
3Po
B C
D
 
Questão 03 
(UFPE 2007) Quando um corpo de 3,0 kg está completamente 
imerso em água, cuja densidade é r = 1,0 g/cm3, seu peso 
aparente é de 2 kgf. Quando o mesmo corpo é pesado dentro de 
outro líquido de densidade dL, a leitura da balança é igual a 1 kgf. 
Determine a densidade do líquido, em g/cm3. 
a) 2,6 b) 1,8 c) 2,0 d) 2,2 e) 2,4 
 
 
 
Questão 04 
(UFPE 2007) Um mol de um gás ideal, inicialmente à temperatura 
de 300 K, é submetido ao processo termodinâmico ABC 
mostrado no diagrama V versus T. Determine o trabalho realizado 
pelo gás, em calorias. Considere R = 2,0 cal/mol.K. 
a) 1600 cal 
b) 1200 cal 
c) 1300 cal 
d) 1400 cal 
e) 1500 cal 
 
 
 
Questão 05 
(UFPE 2007) Um objeto de altura h = 2,5 cm está localizado a 4 cm 
de uma lente delgada de distância focal f = +8 cm. Determine a 
altura deste objeto, quando observado através da lente. 
 
a) 6,5 cm b) 2,5 cm c) 3,0 cm d) 4,5 cm e) 5,0 cm 
 
Questão 06 
(UECE 2006.2 2ª fase) Dois blocos de massa m são ligados por 
um fio inextensível e de massa desprezível, que passa por uma 
roldana que pode girar sem atrito. Um dos blocos repousa sobre 
um plano inclinado com inclinação  com a horizontal, conforme a 
figura. 
 
O menor coeficiente de atrito para que o sistema esteja em 
equilíbrio estático vale: 
a) 


cos1
sen
 b) 


cos
sen 1
 c) 


cos1
sen
 d) 


cos
sen
 
 
 
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74 
Questão 07 
Um balde vazio, de capacidade igual a dez litros, é afundado 
verticalmente, com a boca para baixo, em um lago de águas 
tranqüilas, cuja densidade vale 103 kg/m3. Sendo de 105 N/m2 a 
pressão atmosférica na superfície da água e considerando que a 
temperatura da mesma não varia com a profundidade, o volume de 
ar, no interior do balde, a 10 m de profundidade, será. (g = 10m/s2) 
a) 2 litros d) 6 litros 
b) 4 litros e) 8 litros 
c) 5 litros 
 
Dica: 1 atm = pressão da coluna de 10 m de água. 
Questão 08 
(Cefet 2005) Na figura de dispersão apresentada, luz branca incide 
no dioptro AR-ÁGUA e se decompõe em suas formas 
monocromáticas do espectro visível. É correto afirmar que: 
 
a) na água, a velocidade da luz verde é maior que a velocidade da 
luz vermelha 
b) o índice de refração da água para a luz violeta é maior que para 
a luz vermelha 
c) o índice de refração da água é o mesmo para as diferentes 
cores 
d) a velocidade da luz na água é a mesma para as diferentes cores 
e) a luz que sofre o maior desvio no meio indica menor índice de 
refração para esse meio 
 
Questão 09 
O esquema da figura mostra um pêndulo cônico que executa um 
MCU num plano horizontal, numa circunferência de raio 7,5 m. 
Sabendo que a massa da esfera vale 4 kg, com que velocidade 
angular  ela deve se mover para que a tração no fio tenha 
intensidade T = 50 N ? ( g = 10 m/s2) 
 
Questão 10 
(UERN-2006) Considere-se uma pequena esfera presa a um fio 
ideal, de comprimento L, descrevendo um movimento circular 
uniforme em torno do centro, em um plano horizontal, constituindo 
um pêndulo cônico. Sabendo-se que o módulo da aceleração da 
gravidade local é igual a g e que o ângulo que o fio forma com a 
vertical é , então o período T de rotação é dada pela expressão: 
a) 2
L
g
 b) 2
g
L
 c) 2 cos
L
g
 
d) 2
g
cosL 
 e) 2
L
seng 
 
Dica: Veja demonstração, página 106, Figura 73, na apostila 1 (capa verde). 
 
Questão 11 
(AFA-2007) Um projétil de massa m incide horizontalmente sobre 
uma tábua com velocidade v1 e a abandona com velocidade, ainda 
horizontal, v2. Considerando-se constante a força exercida pela 
tábua de espessura d, pode-se afirmar que o tempo de perfuração 
é dado por: 
a) 
21 vv
2d

 
b) 
21 vv
2d

 
c) 
)21 v2(v
d

 
d) 
)21 v2(v
d

 
 
 
 
Questão 12 
(AFA-2007) Uma prancha de comprimento 4 m e de massa 2 kg está 
apoiada nos pontos A e B, conforme a figura. Um bloco de massa 
igual a 10 kg é colocado sobre a prancha à distância x = 1 m da 
extremidade da direita e o sistema permanece em repouso. Nessas 
condições, o módulo da força que a prancha exerce sobre o apoio 
no ponto B é, em newtons: 
a) 340 
b) 100 
c) 85 
d) 35 
 
 
Questão 13 
(AMAN-2005) Um fabricante de automóveis deseja colocar em 
seus veículos um espelho retrovisor que forneça ao motorista, uma 
imagem do veículo que o segue, reduzida à metade do seu 
tamanho natural, quando ele estiver a 5,0 m de distância do vértice 
do espelho. A opção que contém as características do espelho a 
ser utilizado é: 
a) espelho esférico côncavo com raio de curvatura igual a 2,50 m. 
b) espelho esférico côncavo com distância focal de 2,50 m. 
c) espelho esférico côncavo com distância focal de 5,0 m. 
d) espelho esférico convexo com distância focal de 2,50 m. 
e) espelho esférico convexo com raio de curvatura igual a 10,0 m. 
 
Questão 14 
(UECE 2010.1 – 1ª Fase) Um corpo de massa 2 kg parte do repouso 
e cai na vertical. O ar exerce no corpo uma forca de resistência ao 
seu movimento. O modulo da forca R de resistência do ar e o 
dobro do modulo da velocidade v do corpo em cada instante. 
(R = 2v) Considerando que a aceleração da gravidade e 10 m/s2, 
o trabalho da forca resultante que age no corpo, da posição inicial 
ate o ponto onde sua velocidade será metade da velocidade 
terminal, é: 
a) 35 J b) 15 J c) 25 J d) 50 J 
Renato 
Brito
 
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1. O DIVISOR DE CORRENTES SIMPLES 
 
Exemplo Resolvido 1: 
Considere o trecho de circuito abaixo. Nosso objetivo é determinar 
como as correntes se dividirão no trecho AB, só que de forma 
prática e rápida sabe como? 
4
2
3
10 A
i A B
 
 
Usando um método
facílimo importado de
cajúpiter trazido por
mim mesmo. Veja:
 
4
2
3
10 A
A B
i
2
i
1
 
Procuramos as correntes i1 e i2, tais que: 
 
I) i1 + i2 = i = 10 
 
II) UAB = R1 . i1 = R2 . i2 (em paralelo mesma ddp) ou seja, 
 2 . i1 = 3 i2 
 
Para isso, simplesmente “invertemos os valores dos resistores, 
acrescentando uma variável x”, veja: 
4
2
3
10 A
2 x
3 x
 
 
Pela lei dos nós, escrevemos: 3x + 2x = 10 
 5 x = 10 
 x = 2 
 
Assim: 3x = 6 A e 2x = 4 A 
 
 
Exemplo Resolvido 2: 
4
22 
88
30 A
2
30 A
45 
90 
 Como se determinar de forma prática e rápida todas as 
correntes no circuito? 
Usando uma
tática super
legal, veja:
 
Mantendo apenas a mesma proporção entre os valores das 
resistências, vem; 
 
y2
y1
2
1
90
45
 , 
x4
x
4
1
88
22
 
 
Agora atribuímos os valores de correntes ao resistor trocado: 
 
4
22 
88
30 A
2
30 A
45 
90
4x
x
2y
y
 
Facilmente determinamos os valores de x e y MENTALMENTE: 
 
4x + x = 30 
5x = 30  x = 6A 
x = 6 4x = 24A 
 
2y + y = 30 
3y = 30  y = 10A 
y = 10 2y = 20A 
 
Prontinho! Com esse método, com algum treino você encontrará 
as correntes elétricas do circuito mentalmente!Ei, profinho, e se fossem
mais de dois resistores,
hein ?
moleza,
claudete, veja
como será
beem facinho !
 
 
Capítu lo 15 
Circuitos Elétr icos 
 
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76 
 
2. DIVISOR DE CORRENTES COMPOSTO 
Não interessam quantos resistores estejam em paralelo, tudo fica 
igualmente simples de se resolver pelo método cajupiteriano veja: 
6
2
430 A
i 3 
6
4
 
Para saber qual a corrente em cada resistor do divisor de corrente, 
siga os passos: 
 
Passo 1: Mentalmente, responda qual o mmc de 2, 3, 4 e 6? 
 Parabéns! A resposta é 12. 
 
Passo 2: Sendo 12 o mmc, mentalize 12x. Agora divida 12x por 
cada resistor do divisor de corrente, determinando a 
corrente de cada um: 
x2
6
12x
 ,x3
4
12x
 ,x4
3
12x
 ,x6
2
x12
 
 
Passo 3: Agora que atribuímos uma variável para a corrente 
elétrica em cada resistor, determinamos o valor do x: 
6
2
4
30 A 3 
6
4
6x
4x
3x
2x
 
mentalmente determinamos o valor do x: 
 
6x + 4x + 3x + 2x = 30 
 
15x = 30  x = 2 
 
Agora estão determinadas as correntes: 
6x = 12 A 
4x = 8 A 
3x = 6 A 
2x = 4 A 
6
2
4
30 A 3 
6
4
8A
6A
A
B
12A
4A
 
Note que como todas os 4 resistores ligados entre A e B estão em 
paralelo, a ddp em cada um deles é a mesma, pois coincide com 
UAB: 
UAB = 12 x 2 = 8 x 3 = 6 x 4 = 4 x 6 = R . i = 24 V 
 
3 - CÁLCULO DE DIFERENÇAS DE POTENCIAL EM CIRCUITOS 
Passo 1: Estabelecemos um potencial de referência, atribuindo 
OV a algum nó do circuito 
 
Passo 2: Partindo do nó de referência, percorremos todo o circuito 
elétrico passando por cada elemento do circuito, 
determinando o potencial elétrico de cada ponto em 
relação ao potencial de referência. 
 
 Para isso, fazemos uso da tabela abaixo: 
 
 ix R X - R. i
i
x
R x + R.i
x + x-

x + -
 x
x + -
-+ C
Q
x 
Q
 
Passo 3: Determinamos a ddp entre dois pontos quaisquer 
desejados, a partir da subtração direta dos seus 
potenciais: 
 
Exemplo Resolvido 3 : 
2 
1 
3 
3 
2  2 
4 
1A
1A
20 V
+
-
10 V
+ -
3A
3A
3A
2A
 
 
Para determinar os potenciais de dos pontos desejados, elegemos 
um nó qualquer e atribuímos a ele o potencial OV. Os demais 
potenciais são determinados percorrendo o circuito: 
2 
1 
3 
3 
2  2 
4 
1A
20 V
+
-
10 V
+ -
3A
3A
3A
2A-8 V
+1 V
-9 V
0V
2A
4 V
6 V
12 V x
1A
1A
2 Vy
 
 
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2 
1 
3 
3 
2  2 
4 
1A
20 V
+
-
10 V
+ -
3A
3A
3A
2A-8 V
+1 V
-9 V
0V
2A
4 V
6 V
12 V x
1A
1A
2 Vy
 
 
Partindo da referência OV, percorrendo no sentido horário, vem: 
 
OV 
0 – 3 x 3 = –9V 
–9 + 10 = 1 V 
1 – 3 x 3 = –8 V 
–8 + 20 = + 12 V 
12 – 2 x 3 = 6 V 
 
 
 
6 – 2 x 1 = 4 V 6 – 4 x 1 = 2 V 
4 – 2 x 2 = 0V 2 – 2 x 1 = 0 V 
 
Voltamos à referência e encontramos OV. 
Assim, por exemplo, para determinar a tensão Uxy entre os pontos 
x e y, vem: 
 
Uxy = Vx – Vy 
Uxy = 12 – 4 
Uxy = 8 V 
 
4 - Método para Simplificação de Circuitos 
Na teoria de circuitos elétricos, denomina-se “uma porta” 
qualquer trecho de circuito que possua um único acesso de 
entrada e um único acesso de saída, representados pelos pontos 
A e B na figura 1. São os chamados terminais de acesso do 
uma porta. 
A
B
Uma 
porta
i
i
 
Figura 1 – esquema de um “uma porta” 
 
O conteúdo do “uma porta” nem sempre é conhecido e, 
frequentemente, ele é tratado como uma mera “caixa-preta” com 
dois terminais de acesso. 
Logicamente que, em qualquer instante, a corrente elétrica 
entrando por um dos terminais de acesso é igual à corrente saindo 
pelo outro terminal. Os geradores e receptores estudados no 
Ensino Médio são exemplos de “uma porta”. 

R
A
B
gerador
i
i

R
A
B
receptor
i
i
 
Figura 2 – exemplos de “uma porta” 
 
Considere os seguintes os seguintes parâmetros elétricos : 
U = ddp entre os terminais A e B de acesso do “uma porta” ; 
i = corrente que atravessa esse elemento. 
 
Nos circuitos estudados no Ensino Médio, para cada valor de 
corrente i que percorre o elemento, haverá um único valor de U 
associado. Dizemos que U é função de i, isto é, existe uma 
função matemática U(i). Quando essa função é do 1º grau, 
dizemos que se trata de um “uma porta linear”. 
U
i
(a)
(b)
(c)
 
Figura 3 – curvas características de elementos lineares 
 
Exemplos de funções lineares U x i : 
U = 2.i + 3 
U = 6  4.i 
U = 3.i 
U = 5 
Os circuitos estudados no ensino médio são, em geral, circuitos 
lineares, visto que são constituídos apenas de elementos lineares: 
Resistores: U = R.i (função linear, gráfico na figura 3a) 
Geradores: U =   R.i (função linear , gráfico na figura 3b) 
Receptores: U =  + R.i (função linear , gráfico na figura 3c) 
Um capacitor só tem característica linear quando já está 
plenamente carregado ( U = q / C é uma função constante no 
tempo). Do contrário, ele se comporta de forma não-linear. 
Circuitos que contém capacitores em processo de carga ou 
descarga têm comportamento não-linear. 
 
A função U(i) de um elemento chama-se Característica ou 
Função Característica do elemento e o seu gráfico U x i é 
chamado Curva Característica do elemento. Na figura 3, vemos 
curvas características de resistores (3a), geradores (3b) e 
receptores (3c). 
 
5 - Equivalência entre Elementos Lineares 
A equivalência entre dois elementos lineares de circuito pode ser 
estabelecida pela seguinte proposição: 
 
1º postulado da equivalência: dois elementos lineares são 
equivalentes entre si quando apresentarem características 
iguais e, consequentemente, curvas características iguais: 
 
 
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A
B
i
i
3
2
15V
5V
A
B
i
i
5
20V
i
Elemento a Elemento b
 
Figura 4 – elementos lineares equivalentes 
 
Os elementos lineares acima são equivalentes. Eles apresentam 
a mesma função característica VA  VB = UAB = U = 20  5.i e, 
conseqüentemente, a mesma curva característica: 
 
U
i
20
0
0 4
a icc
característica
inclinação
a
U = 20 – 5.i
 
Figura 5 – Curva Característica comum aos elementos a e b da figura 4 
 
 
6 - Interpretando o coeficiente angular da Característica 
Comparando a função característica (U = 20  5.i) dos 
elementos a e b da figura 4 com a função característica de um 
gerador genérico (equação do gerador, U =   R.i), temos: 
 
U = 20 – 5.i
U =  – R.i
Y = b – a.X
 
 
O parâmetro a de uma função do 1º grau ( y = a.x + b), conhecido 
como coeficiente angular, está relacionado com a inclinação da 
reta no gráfico U x i, isto é, com a tangente geométrica do ângulo 
a no gráfico U x i na figura 5. 
Vemos que o módulo desse coeficiente angular, no gráfico U x i 
da figura 5, é numericamente igual ao valor de uma resistência 
R = 5 . Entretanto, como determinar diretamente o valor dessa 
resistência interna R por inspeção direta dos circuitos a e b da 
figura 4, caso a função característica do “uma porta linear” não 
estivesse disponível ? 
Determinando o valor de R 
 
A resistência interna R do "uma porta” é a resistência 
equivalente medida entre os seus terminais de acesso (A e B) 
quando todas as baterias (geradores ou receptores) contidas no 
“uma porta” são substituídas por curtos-circuitos (fios de 
resistência nula). 

substituir cada bateria
por curto-circuito
para determinar R
 
 
 
A seguir, determinaremos a resistência interna dos elementos 
a e b da figura 4. Substituindo todas as baterias por curtos-
circuitos, temos: 
A
B
i
i
3
2
A
B
i
i
5
i
Req AB = R= 5
 
Figura 6 – identificando a resistência interna do “uma porta” 
Assim, por inspeção direta, vemos que ambos os circuitos a e b 
da figura 4 apresentam a mesma resistência interna R = 5 , o 
que era esperado já que eles têm curvas características idênticas 
(U = 20  5.i). 
 
7 - Interpretando a corrente de curto-circuito na característica 
Observando o gráfico da função característica U = 20  5.i na 
figura 4, vemos que ele toca o eixo horizontal no ponto icc, a 
chamada corrente de curto-circuito da bateria (icc = 4A na 
figura 4) . 
A corrente icc de curto-circuito de “uma porta” é a corrente 
que circula através através de um fio de resistência nula (o 
chamado curto-circuito), quando este é conectado externamente 
aos terminais A e B desse “uma porta”. Essa conexão é chamada 
de curto-circuito e impõe o anulamento da ddp U entre os 
terminais do elemento, isto é, UAB = VAVB = U = 0 . 
A seguir, o prof Renato Brito determiná a corrente icc de cada um 
dos elementos da figura 4, mostrando que ambos têm a mesma 
corrente de curto-circuito. Para o elemento a, tem-se: 
A
B
3
2
15V
5V
Icc a = 4A
Curto-circuito = fio 
de resistência nula
icc a
Elemento a
icc a
 
 
A4i
)32(
V)515(
Req
U
 i
cc
 cc




a
a
 
Para o elemento b, tem-se: 
A
B
icc b = 4A
Curto-circuito = fio 
de resistência nula
Elemento b
5
20V
i
icc b
icc b
 
 
A4 i
 5
V 20
Req
U
 i
 cc
 cc



b
b
 
Assim, vemos que os elementos de circuito a e b da figura 4 
têm : 
 
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 79 
 resistências internas iguais, isto é, R a = Rb = 5  (figura 6); 
conseqüência direta 1: Suas curvas características (U x i) são retas 
com inclinações iguais, já que o coeficiente angular dessas retas tem 
módulo numericamente igual à resistência interna do elemento linear. 
 correntes de curto-circuito iguais, isto é, icc a = icc b = 4A 
conseqüência direta 2: Suas curvas características (U x i) são retas que 
têm um ponto em comum no plano U x i : o ponto (U, i ) = (0, icc). 
Esse ponto está destacado como icc na figura 5. 
Ora, a geometria nos ensina que, se duas retas têm inclinações 
iguais (conseqüência direta 1) e têm um ponto em comum 
(conseqüência direta 2), então tratam-se da mesma reta. 
Em outras palavras, se dois elementos lineares têm a mesma 
resistência interna e a mesma corrente de curto-circuito icc, eles 
terão curvas características U x i idênticas e, portanto, serão 
elementos lineares equivalentes. 
Assim, o 1º postulado da equivalência pode ser enunciado de 
uma forma alternativa operacionalmente mais simples: 
 
2º postulado da equivalência: dois elementos lineares são 
equivalentes entre si, se e somente, apresentarem resistências 
internas R iguais e correntes de curto-circuito idênticas. 
 
Exemplo Resolvido 1: Mostre que os elementos de circuito 
abaixo são equivalentes. 
 
12V
6
9V
3
A
B
10V
2
A
B
circuito original circuito equivalente
simplificado 
Resolução: para mostrar que eles são equivalentes, devemos 
mostrar que eles têm resistências internas iguais e correntes de 
curto-circuito icc iguais. 
 Determinando Rinterna do circuito original: 
Para isso, devemos calcular a resistência equivalente entre os 
pontos A e B do circuito original, substituindo todas as baterias 
por fios de resistência nula (curto-circuito): 
6 3
A
B
circuito original 
 
Rinterna = Req AB = 6 // 3 = 
36
3 x 6

 
Rinterna = 2  
 
 Determinando Rinterna do circuito simplificado: 
Para isso, devemos calcular a resistência equivalente entre os 
pontos A e B do circuito simplificado, substituindo a bateria de 
10 V por um fio de resistência nula (curto-circuito): 
2
A
B
circuito equivalente
simplificado 
 
 
 Rinterna = 2  
Concluímos que, de fato, tanto o circuito original quanto o 
equivalente simplificado têm a mesma resistência interna 
Rinterna = 2 . 
A seguir, o prof Renato Brito verificará a igualdade entre as 
correntes de curto-circuito icc de cada um dos circuitos propostos. 
 Determinando a icc do circuito original: 
Para isso, devemos ligar um fio de resistência nula (curto-
circuito) externamente, entre os pontos A e B, e determinar a 
corrente icc que passa através desse fio: 
9V
3
A
B
circuito original
icc a
Curto-circuito = fio 
de resistência nula
12V
6
icc1 icc2
 
icc a = icc 1 + icc 2 = 







3
V9
 
6
V12
 
R
 
R 2
2
1
1 = 2 + 3 = 5A 
 Determinando a icc do circuito simplificado : 
Para isso, devemos ligar um fio de resistência nula (curto-
circuito) externamente, entre os pontos A e B, e determinar a 
corrente icc que passa através desse fio: 
 
A
B
Curto-circuito = fio 
de resistência nula
10V
2
circuito equivalente
simplificado
icc b
 
 
 
 
icc b = 5A 
2
10V
 
R




 
 
Após determinarmos as correntes de curto circuito icc a e icc b , 
verificamos que elas, de fato, são idênticas: icc a = icc b = 5A. Assim, 
como tanto o circuito original quanto o equivalente simplificado 
têm resistências internas e correntes de curto-circuito em comum, 
eles são equivalentes. 
 
Exemplo Resolvido 2: Determine os valores de  e R para 
obter um circuito equivalente simplificado . 
 
24V
12
12V
4
A
B

R
A
B
circuito original circuito equivalente
simplificado 
Resolução: 
Conforme aprendemos, o valor de R procurado é o valor da 
resistência equivalente entre os pontos A e B do circuito original, 
quando todas as baterias (geradores e receptores) são substituídas 
por fios de resistência nula (curto-circuito): 
12 4
A
B
circuito original 
 
Rinterna = Req AB = 12 // 4 = 
412
4 x 12

 
Rinterna = 3  
 
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Portanto, até agora, já determinamos o valor de R. 
24V
12
12V
4
A
B

A
B
circuito original Equivalente simplificado
3
 
Nesse ponto, a fim de determinar o valor de , o prof Renato Brito 
deverá impor a condição de que ambos, circuito original e 
equivalente simplificado, apresentem a mesma corrente icc de 
curto-circuito: 
 
Aplicando o curto-circuito nos terminais A e B do circuito original, 
podemos determinar icc a : 
 
 
Curto-circuito = fio 
de resistência nula
12V
4
circuito original
24V
12
icc1 icc2
A
B
icc a
 
icc a = icc 1 + icc 2 = 







4
V12
 
12
V24
 
R
 
R 2
2
1
1 = 2 + 3 = 5A 
 
Aplicando o curto-circuito nos terminais A e B do circuito 
equivalente (figura abaixo), determinaremos o valor de  
impondo a condição de que a corrente de curto-circuito icc b  
deverá ter o mesmo sentido e o mesmo valor da corrente de curto-
circuito icc a = 5A  do circuito original : 
 
A
B
icc b = 5A
Curto-circuito = fio 
de resistência nula

3
circuito equivalente
simplificado 
 
 
Assim, temos: 
 = R.i = 3 x 5 
 = 15V. 
Pronto. Após termos determinado o valor de  e R, finalmente 
obtivemos o equivalente simplificado do circuito original, mostrado 
abaixo: 
24V
12
12V
4
A
B
A
B
circuito original circuito equivalente
simplificado
3
15V
 
Exemplo Resolvido 3: Determine os valores de  e R para 
obter um circuito equivalente simplificado . 
 
12
12V
4
A
B

R
A
B
circuito original equivalente
24V
 
Resolução: 
Conforme aprendemos, o valor de R procurado é o valor da 
resistência equivalente entre os pontos A e B do circuito original, 
quando todas as baterias (geradores e receptores) são substituídas 
por fios de resistência nula (curto-circuito): 
4 12
A
B
circuito original 
 
Rinterna = Req AB = 12 // 4 = 
412
4 x 12
Rinterna = 3  
 
Portanto, até agora, já determinamos o valor de R. 
12
12V
4
A
B

A
B
circuito original equivalente
24V
3 
 
Nesse ponto, a fim de determinar o valor de , devemos impor a 
condição de que ambos, circuito original e equivalente 
simplificado, apresentem a mesma corrente icc de curto-circuito: 
 
Aplicando o curto-circuito nos terminais A e B do circuito original, 
podemos determinar icc a : 
 
 
12
circuito original
24V
4
icc1 icc2
A
B
12V
cu
rt
o-
ci
rc
ui
to
 
icc a
 
 
icc 1 = 



4
V12
 
R1
1 = 3A , icc 2 = 



12
V24
 
R 2
2 = 2A 
 
 
12
circuito original24V
4
3A 2A
A
B
12V
3A2A
 
 
Superpondo os efeitos, obtemos a corrente de curto circuito i cc a : 
 
icc a = 1A
12
circuito original
24V
4
3A 2A
A
B
12V
 
 
Aplicando o curto-circuito nos terminais A e B do circuito 
equivalente (figura abaixo), determinaremos o valor de  impondo 
a condição de que a corrente de curto-circuito icc b  deverá ter o 
mesmo sentido e o mesmo valor da corrente de curto-circuito 
icc a = 1A  do circuito original : 
 
 
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A
B
icc b = 1 A
Curto-circuito = fio 
de resistência nula

3
 equivalente
 
 
 
Assim, temos: 
 = R.i = 3 x 1 
 = 3 V. 
Percebemos nesse caso que, a fim de garantir que as correntes 
de curto-circuito icc a (no circuito original) e icc b (no circuito 
equivalente) tenham o mesmo sentido para cima 1A, a 
polaridade (+/) do elemento de tensão  no circuito 
equivalente teve que ser invertida, de forma que o pólo negativo 
() seja o de cima e vice-versa. Afinal, essa bateria funcionará 
como um gerador. 
Pronto. Após termos determinado o valor de  e R, finalmente 
obtivemos o equivalente simplificado do circuito original, mostrado 
abaixo: 
12
12V
4
A
B
A
B
circuito original equivalente
24V
3V
3
 
 
Exemplo Resolvido 4: Determine a corrente que atravessa o 
resistor de 1 . 
 
12
12V
4
Figura 7
24V 32V
3
1i
 
Resolução: podemos dividir o circuito acima em duas partes 
(trecho I e trecho II) , com terminais de acesso A e B conforme 
a figura abaixo: 
12
12V
4
A
Btrecho I
24V 32V
3
1A
B trecho II
 
O trecho I do circuito acima pode ser simplificado aproveitando 
o resultado obtido anteriormente no exemplo resolvido 3 : 
12
12V
4
A
B
A
B
trecho I
24V
3V
3
trecho I
equivalente
 
Substituindo, no circuito original, o trecho I pelo seu equivalente 
simplificado, obteremos o seguinte circuito: 
A
Btrecho I
equivalente
3V
3
B
32V
3
1A
trecho II
Figura 8 
3
B
32V
3
1A
3V
i i
i
 
Figura 9 
A partir do circuito simplificado da figura 9, o prof Renato Brito 
efetuará o cálculo da corrente elétrica i que atravessa o resistor 
de 1: 
i = 



1)3(3
3)V(32
 
qRe
U
 = 5A 
Note que o circuito da figura 7 foi temporariamente reduzido ao 
circuito da figura 9 (seu equivalente) apenas facilitar a 
determinação da corrente elétrica que atravessa o trecho II do 
circuito. 
Tendo sido determinado o valor dessa corrente elétrica, ela pode 
ser prontamente substituída de volta no circuito original na figura 
abaixo: 
12
12V
4
24V
32V
3
15A
5A
Figura 10
 
Ei Renato Brito, e como eu 
poderia calcular as outras 
duas corrente elétricas ?
é fácil, veja a 
seguir, 
claudete !
 
 
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82 
Atribuindo correntes x e y de sentidos arbitrários nos demais 
ramos do circuitos , obteremos o esquema da figura 11. 
Considere ainda os pontos A, B, C e D distribuídos nesse 
circuito. 
Atribuindo-se a referência de potencial VB = 0V para o ponto B e 
fazendo o percurso BCDA, podemos determinar o potencial VA: 
0  3 X 5 + 32  1 x 5 = VA 
0  15 + 32  5 = VA 
VA = 12 V 
12
12V
4
24V 32V
3
1
B
5A
5A
x
y
C
D
A
 
 Figura 11 
Agora, partindo do ponto B e chegando ao ponto A, passando 
pelo resistor de corrente x, podemos escrever: 
0 + 4.x  12 = VA , sendo VA = 12 V, vem: 
0 + 4.x  12 = 12 V  4.x = 24  x = 6A 
Agora, partindo do ponto B e chegando ao ponto A, passando 
através do resistor de corrente y, o prof Renato Brito pode 
escrever: 
0  12.y + 24 = VA, sendo VA = 12 V, vem: 
0  12.y + 24 = 12 V  12.y = 12  y = 1A 
Podemos facilmente verificar que nosso resultado obtido está 
correto, testando a lei dos nós para as correntes que chegam 
ou que saem do nó B. Essas correntes elétricas devem satisfazer 
a relação: 
x = y + 5A 
Os valores obtidos para as corrente x e y, de fato, satisfazem a 
relação acima. Verifique você mesmo . 
 
Exemplo Resolvido 5: Determine a corrente elétrica X no 
circuito abaixo sem determinar as outras correntes : 
 
6
50V
15
40V
2
15
X
20V
10
Figura 12
 
Resolução: podemos dividir o circuito acima em duas partes 
(trecho I e trecho II) , com terminais de acesso A e B conforme 
a figura 13: 
6
50V
15
40V
2
15
X
20V
10
B
A
B
A
Figura 13
trecho I trecho II
 
Simplificaremos o trecho I do circuito a seguir, determinando o 
valor dos parâmetros  e R com base no 2º postulado da 
equivalência. A figura 14 mostra o trecho I e o seu equivalente 
simplificado que desejamos determinar: 
6
50V
15
20V
10
B
A
Figura 14
trecho I
A
B
R

trecho I equivalente
 
Conforme aprendemos, o valor de R procurado é o valor da 
resistência equivalente entre os pontos A e B do circuito original, 
quando todas as baterias (geradores e receptores) são substituídas 
por fios de resistência nula (curto-circuito): 
615
10
B
A
Figura 15
trecho I
A
B
R
trecho I equivalente
 
Assim, na figura 15, vemos que R é dado por: 
6
1
 
10
1
 
15
1
 
R
1
  R = 3 
Portanto, até agora, já determinamos o valor de R, estabelecendo 
a equivalência mostrada na figura 16. 
6
50V
15
20V
10
B
A
Figura 16
trecho I
A
B

trecho I equivalente
3
 
Nesse ponto, a fim de determinar o valor de , o prof Renato Brito 
deverá impor a condição de que ambos, trecho I original e 
trecho I equivalente, apresentem a mesma corrente icc de curto-
circuito: 
 
 
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 83 
Aplicando o curto-circuito nos terminais A e B do trecho I original, 
podemos determinar icc a : 
6
50V
15
20V
10
Figura 15
icc a
Curto-circuito = fio 
de resistência nula
A
B
icc1
icc2
A
B
icc3
trecho I original
A A
B B
 
 
icc a = icc 1 + icc 2 + icc 3 = 











6
V20
10
V0
15
V50
 
RR
 
R 3
3
2
2
1
1 
icc a = A
3
10
 0 A
3
10
  icc a = A
3
20
 
A figura 16 mostra a corrente icca = (20/3) A atravessando o 
curto-circuito (fio) conectado externamente aos terminais A e 
B do circuito do trecho I. 
6
50V
15
20V
10
Figura 16
icc a
A
B
icc1
icc2
A
B
icc3
techo I
A A
B B
A
3
20

 
 
Aplicando o curto-circuito nos terminais A e B do trecho I 
equivalente na figura abaixo, o prof Renato Brito determinará o 
valor de  impondo a condição de que a corrente de curto-
circuito icc b  deverá ter o mesmo sentido e o mesmo valor da 
corrente de curto-circuito icc a = (20/3) A  do trecho I original : 
icc b
Curto-circuito = fio 
de resistência nula
A
3
20

A
B
trecho I equivalente
3
 
 
 
Assim, temos: 
 = R.i = 3 x 
3
20
 
 = 20V. 
Pronto. Apóstermos determinado o valor de  e R, finalmente 
obtivemos o equivalente simplificado do circuito original, mostrado 
abaixo: 
6
50V
15
20V
10
B
A
Figura 17
trecho I
A
B
trecho I equivalente
3
20V
 
Substituindo o trecho I equivalente no circuito original pelo seu 
equivalente simplificado, obteremos o seguinte circuito: 
6
50V
15
40V
2
15
X
20V
10
B
A
B
A Figura 18
trecho I trecho II 
 
40V
2
15
X
B
A Figura 19
trecho II
A
B
trecho I equivalente
3
20V
 
40V
2
15
X
B
A
Figura 20
trecho IItrecho I equivalente
3
20V
X
 
A partir da figura 20, podemos efetuar o cálculo da corrente elétrica 
X desejada : 
i = 


)1523(
V)2040(
 = 1A 
Note que o circuito da figura 12 foi temporariamente reduzido ao 
circuito da figura 20 (seu equivalente) apenas para facilitar a 
determinação da corrente elétrica X que atravessa o trecho II do 
circuito. 
Tendo sido determinado o valor dessa corrente elétrica, ela pode 
ser prontamente substituída de volta no circuito original completo 
da figura 21: 
6
50V
15
40V
2
15
1A
20V
10
Figura 21
 
 
 
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84 
Pensando em Classe
Pensando em Classe
 
Questão 1 
Em cada circuito abaixo, calcule todas as correntes elétricas, bem com a diferença de potencial 
elétrico entre os pontos A e B, UAB = VA – VB : 
a) 
B
A
60 V2
4
6
4

 
b) 
A
6
2
4
3
1
60 V
B
 
 
 
Questão 2 
No circuito abaixo, sabendo que UAB = VA – VB = 4V, pede-se determinar: 
a) a tensão elétrica UCD = VC – VD entre os pontos C e D: 
b) A tensão U fornecida pela bateria. 
U
+ -
1 2
24
5
B
C
A
D
 
 
Questão 3 
No circuito abaixo, as tensões Uab = Va – Vb entre os pontos a e b com a chave k 
fechada e com a chave k aberta valem, respectivamente : 
a) 10 V, 40 V 
b) 10 V, 80 V 
c) 25 V, 45 V 
d) 20 V, 80 V 
3
3
15 V
60 V
20 V
2
2
3
A
B k
 
 
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 85 
Questão 4 
(UFMA) Na associação de lâmpadas abaixo, todas elas são iguais. Podemos afirmar, 
corretamente, que: 
a) nenhuma das lâmpadas tem brilho igual. 
b) a lâmpada L1 brilha mais que todas as outras. 
c) todas as lâmpadas tem o mesmo brilho. 
d) as lâmpadas L1, L2 e L3 têm o mesmo brilho. 
e) a lâmpada L1 brilha mais que a L2. 
L
1
L
3
U
L
2
L
4 
Questão 5 
(Cesgranrio) Você dispõe de duas lâmpadas, uma de 25 W–125 V e outra de 200 W– 125 V. Você 
liga essas lâmpadas, conectadas em série, a uma tomada de 125 V, e observa que: 
a) a lâmpada de 25 W queima. 
b) a lâmpada de 200 W queima. 
c) a lâmpada de 25 W tem brilho quase normal e a lâmpada de 200 W não chega a acender. 
d) a lâmpada de 25 W não chega acender e a lâmpada de 200 W tem brilho quase normal. 
e) as duas lâmpadas acendem com brilho normal. 
 
Questão 6 
(PUC-RJ) Três lâmpadas com as seguintes características L1 (100 W – 110 V), L2 (25 W– 110 V) e 
L3 (200 W – 110 V) são conectadas da maneira representada na figura e, em seguida, o conjunto é 
ligado a uma tomada de 220 V. Assim fazendo, qual (ou quais) das lâmpadas vai (vão) queimar? 
a) L1 apenas 
b) L2 apenas 
c) L1 e L2 apenas 
d) L2 e L3 apenas 
e) L1, L2 e L3. 
L
1
L
2
L
3
Tomada de
220 V
 
Questão 7 
(Fuvest-SP) Um circuito é formado de duas lâmpadas 
L1 e L2, uma fonte de tensão  e uma resistência R, 
conforme desenhado na figura. As lâmpadas estão 
acesas e funcionando em seus valores nominais 
L1(0,9 W e 3V) e L2 (0,3W e 3V). Determine: 
a) o valor da resistência R; 
b) a tensão  fornecida pela bateria. 
 
Lâmpada 2
R

Lâmpada 1
 
Questão 8 
A especificação da fábrica garante que uma lâmpada, ao ser submetida a uma tensão de 120 V, tem 
potência de 100 W. O circuito ao lado pode ser utilizado para controlar a potência dissipada pela 
lâmpada, variando-se a resistência R. Para que a lâmpada funcione com uma potência de 25 W, a 
resistência R deve ser igual a: 
a) 25  
b) 36  
c) 72  
d) 144  
e) 288  
 
 
Lâmpada
180V
R
 
 
 
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86 
Questão 9 
A figura abaixo ilustra um circuito elétrico composto por 4 lâmpadas idênticas conectadas a uma 
chave K e uma bateria elétrica. Fechando-se a chave K, podemos afirmar que: 
K
A
B
C
D
 
a) a lâmpada D entra em curto circuito e queima; 
b) o brilho da lâmpada A diminui e da lâmpada B aumenta; 
c) o brilho da lâmpada A aumenta e da lâmpada C aumenta; 
d) o brilho da lâmpada A aumenta e da lâmpada B diminui; 
e) o brilho das lâmpadas A e B diminui. 
 
Questão 10 
Considere o circuito da figura anterior. Sabendo que a tensão elétrica entre os terminais da 
lâmpada B vale 200V quando a chave encontra-se aberta, fechando-se essa chave, a tensão 
elétrica sobre a lâmpada A valerá: 
a) 150 V b) 250 V c) 300 V d) 350 V e) 450 V 
 
Questão 11 
(UFMG) A figura ilustra a forma como três lâmpadas idênticas estão ligadas a uma tomada. A 
corrente elétrica no ponto P do fio é iP e no ponto Q é iQ. 
P
Q
L
1
L
2 L3
 
Em um determinado instante, a lâmpada L2 se queima. Pode-se afirmar que: 
a) as duas correntes não se alteram. 
b) as duas correntes se alteram. 
c) a corrente iP não se altera e iQ se altera. 
d) a corrente iP se altera e iQ não se altera. 
 
Questão 12 
No circuito a seguir, o fio AB tem resistência 
desprezível. A corrente elétrica através desse fio vale: 
a) 3 A b) 2A c) 1 A d) 0A 6

3
4
4
2
36 V
A
B
 
Questão 13 
A figura abaixo mostra o circuito de um chuveiro elétrico com uma chave rotatória que pode 
assumir as posições a, b e c, de acordo com o aquecimento desejado para a água. 
tomada
220V
R R R
a
b
c
 
Pode-se afirmar que: 
 
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 87 
a) As posições a, b e c da chave rotatória representam, respectivamente as posições quente, 
morna e fria , pois nesse caso, quanto maior a corrente elétrica, maior a potência dissipada 
pelo conjunto. 
b) As posições a, b e c da chave rotatória representam, respectivamente as posições fria, 
morna e quente, pois nesse caso, quanto maior a resistência elétrica, maior a potência 
dissipada pelo conjunto. 
c) As posições a, b e c da chave rotatória representam, respectivamente as posições quente, 
morna e fria , pois nesse caso, quanto maior a resistência elétrica, maior a potência dissipada 
pelo conjunto. 
d) As posições a, b e c da chave rotatória representam, respectivamente as posições quente, 
morna e fria , pois nesse caso, quanto maior a tensão elétrica, maior a potência dissipada pelo 
conjunto. 
 
Questão 14 
Um estudante cearense utilizava um chuveiro elétrico de valores nominais 4400W/220V para tomar 
banho diariamente em Fortaleza. Ao se mudar para São Paulo, onde a tensão fornecida pela rede 
elétrica é de apenas 110 V,levou o chuveiro elétrico e percebeu que a água estava aquecendo 
menos do que quando ele morava em Fortaleza. Assinale os procedimentos que o estudante pode 
executar a fim de que o chuveiro em São Paulo passe a aquecer tão bem quanto antes. 
I) aumentar a resistência elétrica do chuveiro; 
II) diminuir o comprimento da resistência elétrica; 
III) Substituir por uma resistência de fio mais grosso; 
IV) Diminuir a vazão do chuveiro elétrico, abrindo menos a torneira. 
V) Trocar a resistência do chuveiro por outra feita de metal com maior resistividade 
 
Questão 15 
Considere duas lâmpadas, A e B, idênticas a não ser pelo fato de que o filamento de B é mais 
grosso que o filamento de A. Se essaslâmpadas forem ligadas em série a uma tensão elétrica 
adequada U de forma que nenhuma das lâmpadas chegue a queimar. Pode-se afirmar que: 
a) A será a mais brilhante, pois tem a maior resistência. 
b) B será a mais brilhante, pois tem a maior resistência. 
c) A será a mais brilhante, pois tem a menor resistência. 
d) B será a mais brilhante, pois tem a menor resistência. 
e) ambas terão o mesmo brilho. 
 
 
Questão 16 
(PUC-SP) Considere duas lâmpadas, A e B, idênticas a não ser pelo fato de que o filamento de B 
é mais grosso que o filamento de A. Se cada uma estiver sujeita a uma ddp de 110 volts: 
a) A será a mais brilhante, pois tem a maior resistência. 
b) B será a mais brilhante, pois tem a maior resistência. 
c) A será a mais brilhante, pois tem a menor resistência. 
d) B será a mais brilhante, pois tem a menor resistência. 
e) ambas terão o mesmo brilho. 
 
Questão 17 
Um jovem casal instalou em sua casa uma ducha elétrica moderna de 7700W/220V. No entanto, 
os jovens verificaram, desiludidos, que toda vez que ligavam a ducha na potência máxima, 
desarmava-se o disjuntor (o que equivale a queimar o fusível de antigamente) e a fantástica ducha 
deixava de aquecer. Pretendiam até recolocar no lugar o velho chuveiro de 3300W/ 220V, que 
nunca falhou. Felizmente, consultaram um velho amigo engenheiro eletrônico, o Renato Brito que, 
naturalmente - os socorreu. Substituiu o velho disjuntor por outro, de maneira que a nova ducha 
funcionasse normalmente. A partir desses dados, assinale a única alternativa que descreve 
corretamente a possível troca efetuada pelo amigo: 
 
 
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a) Substituiu o velho disjuntor de 20 A por um novo de 30 A. 
b) Substituiu o velho disjuntor de 20 A por um novo de 40 A . 
c) Substituiu o velho disjuntor de 10 A por um novo de 40 A. 
d) Substituiu o velho disjuntor de 30A por um novo de 20 A. 
e) Substituiu o velho disjuntor de 40 A por um novo de 20 A. 
 
Questão 18 
Considere o circuito abaixo contendo 4 lâmpadas elétricas incandescentes e dois fusíveis que 
suportam uma corrente elétrica máxima de 10A cada um. Quando o prof Renato Brito fecha a 
chave K, pode-se afirmar que: 
610A
3
72V
2
2
10A
K
 
a) Assim que a chave K é fechada, a corrente elétrica no circuito diminui; 
b) a lâmpada de resistência de 2 , em paralelo com a chave K, é queimada; 
c) ambos os fusíveis queimam; 
d) a corrente elétrica final, na bateria, será 9A. 
e) o fusível superior é queimado 
 
Questão 19 
(Fuvest) Um circuito doméstico simples, ligado à rede de 110 V e protegido por um fusível F de 
15 A, está esquematizado abaixo. A potência máxima de um ferro de passar roupa que pode ser 
ligado, simultaneamente, a uma lâmpada de 150 W, sem que o fusível interrompa o circuito, é 
aproximadamente de: 
a) 1100 W 
b) 1500 W 
c) 1650 W 
d) 2250 W 
e) 2500 W 
 
Questão 20 
O circuito elétrico do enfeite de uma árvore de natal é constituído por várias lâmpadas idênticas 
(cada uma com tensão nominal de 6V e resistência de 30 ohms) e uma fonte de tensão de 6V com 
potência máxima de 18 watts . Calcule o número máximo de lâmpadas que podem ser acesas 
simultaneamente sem queimar a fonte. 
 
Questão 21 
No alojamento dos alunos do Poliedro, existe um chuveiro elétrico de características 
200V – 4000W. Da experiência do dia-a-dia, os alunos percebem que a água que sai do chuveiro 
fica menos quente quando a torneira é demasiadamente “aberta”. Prá “melhorar a situação”  , 
descobriram que o sr. Hildo (o eletricista) ligou o chuveiro à rede elétrica de 100 V, por 
engano  ! Supondo que a água na caixa d’água esteja a 20C, pede-se: 
a) O valor da resistência elétrica desse chuveiro elétrico, e a corrente elétrica que ele “puxará”, 
nas condições em que foi ligado; 
b) Para que vazão devemos ajustar a torneira do chuveiro (em m/min ) para que a temperatura do 
banho seja de 45C ? 
 
 
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 89 
Questão 22 
Determine a resistência equivalente entre os pontos A e B em cada circuito a seguir: 
a) 
 
b) 
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
A B
 
Questão 23 
Calcule todas as correntes no circuito abaixo, sem efetuar muitos cálculos, fazendo uso das 
propriedades da simetria 
1 2
2 4
2 4
4
4
0,5 
40 V 
Questão 24 
Determine quanto marca os voltímetros e amperímetros idéias nos circuitos a seguir: 
a) 
3
60 V
20 V
2
A
V
 
 
b) 
3
60 V
20 V
2
V
A
 
Questão 25 
Determine a corrente elétrica no resistor em destaque: 
a) 
12 6 4
1
1
112V 12V 12V
2V
 
b) 
12
24V
4
12V 9V
3
2
 
c) 
 
4V
8V
24 V
32 V
1
12
2
1
1
12
 
 
 
 
 
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90 
Pensando em Casa
Pensando em Casa
 
 
Questão 1 
Em cada circuito abaixo, calcule todas as correntes elétricas, 
bem com a diferença de potencial elétrico entre os pontos A e B, 
VAB = VA – VB : 
a) 
B
A
60 V
4
4 
4  2 
3 
 
b) 
B
18A
A
B
2 
1 2 
2 
6 
5 
 
c) 
2 
5 
A
2 3

80 V
B
2
 
Questão 2 
Considerando o esquema e os valores nele indicados, a diferença 
de potencial entre os pontos X e Y, em volts, é igual a: 
2A
7
Z Y
i
X
10
30
20A
 
a) 10 b) 50 c) 154 d) 20 e) 90 
 
Questão 3 
No circuito elétrico a seguir, a diferença de potencial elétrico UAB 
entre os pontos A e B vale: 
a) 20 V 
b) 16 V 
c) 12 V 
d) 8 V 
e) 24 V 
 
60 V4
5
4
12
6
B
A
 
Semana 7 de 15 
Assunto sugerido: 
Impulso e QDM, Termodinâmica
REVISÃO SEMANAL PROGRAMADA
Se você revisar um pouquinho a cada 
semana, não acumulará toda a revisão 
para a semana da véspera do 
vestibular, né verdade ?  
 
Questão 4 
No circuito abaixo, as tensões Uab = Va – Vb entre os pontos a 
e b com a chave k fechada e com a chave k aberta 
valem, respectivamente : 
a) 10 V, 40 V 
b) 50 V, 80 V 
c) 20 V, 90 V 
d) 50 V, 90 V 3
3
30 V
60 V
20 V
2
2
3
A
B k
 
Questão 5 
(Eng. UFSCar-SP) No circuito da figura, quanto valem, 
respectivamente os potenciais dos pontos A e C do circuito, 
sabendo que VB = 0V ? 
+ -
 =14 Vr = 1
4 B
A C

 2
 
Questão 6 
 (Mackenzie-SP) No circuito esquematizado, a indicação do 
amperímetro ideal A é: 
a) 4A 
b) 3A 
c) 2A 
d) 1A 
e) 0,5 A 
 
 
Questão 7 
No circuito representado a seguir, calcule o valor da resistência R a 
fim de que seja nula a ddp entre os pontos A e B: 
 
BA 0,5 
0,3 
R1 
12 V
36 V
 
 
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Questão 8 
(U.E. Londrina-PR) Três resistores iguais, M, N e P, são 
associados como mostra a figura e ligados a uma fonte de tensão 
constante U. Sabendo que o resistor P dissipa uma potência de 
60 W, as potências dissipadas por M e N valem, respectivamente: 
a) 60 W e 30 W 
b) 60 W e 60 W 
e) 120 W e 30 W 
d) 120 W e 60 W 
e) 240 W e 60 W 
 
U
M
N P
 
Dica: veja questão 4 de classe 
Questão 9 
Quatro lâmpadas idênticas (de mesma resistência) são ligadas, 
conforme o circuito abaixo. 
200V
L1
L2 L3
L4
 
É correto afirmar que: 
a) as lâmpadas L3 e L4 têm a mesma luminosidade. 
b) a lâmpada L2 é a mais luminosa de todas. 
c) a lâmpada L1 é a mais luminosa de todas. 
d) as lâmpadas L1 e L2 têm a mesma luminosidade. 
Dica: veja questão 4 de classe 
Questão 10 
Três lâmpadas, L1, L2 e L3, identificadas, respectivamente, pelas 
inscrições (2w – 12V), (4w – 12V) e (6w – 12V), foram associadas 
conforme mostra o trecho de circuito a seguir. 
12 V
L1
L2
L3
 
Após calcular a resistência de cada lâmpada, determine a 
intensidade de correnteelétrica que passa pela lâmpada L3 : 
a) 0,25 A c) 1,0 A e) 2,0 A 
b) 0,33 A d) 1,6 A 
 
Dica: calcule a resistência de cada lâmpada e, em seguida, resolva normalmente 
como se fossem meros resistores, como de costume. 
 
Questão 11 
Duas lâmpadas incandescentes, cuja tensão nominal é de 110 V, 
sendo uma de 20 W e a outra de 100 W, são ligadas em série a 
uma fonte de 220 V. Conclui-se que: 
a) As duas lâmpadas acenderão com brilho normal. 
b) A lâmpada de 20 W apresentará um brilho acima do normal e 
logo queimar-se-á. 
c) A lâmpada de 100 W fornecerá um brilho mais intenso do que a 
de 20 W. 
d) A lâmpada de 100 W apresentará um brilho acima do normal e 
logo queimar-se-á. 
e) Nenhuma das lâmpadas acenderá. 
Dica: veja questão 5 de classe 
Questão 12 
 (MACK-SP) No trecho de circuito a seguir, L1 e L2 são lâmpadas 
de valores nominais (80 W, 20 V) e (36 W, 12 V), respectivamente: 
 
Determine o valor da resistência R a fim de que L1 e L2 funcionem 
conforme suas especificações. 
Dica: veja questão 7 de classe 
Questão 13 
O circuito ao lado mostra duas lâmpadas L1 e L2 de valores 
nominais respectivamente iguais a 20V–80 W e 12V–36 W, 
respectivamente. Ao fechar a chave k por um breve intervalo de 
tempo, percebeu-se que a lâmpada L1 apresentou um brilho 
abaixo do normal, ao passo que a lâmpada L2 não queimou por 
pouco. A fim de que ambas as lâmpadas passem a funcionar de 
acordo com suas especificações, o que se deve fazer: 
L1 L2
10  72 V 
ch
 
a) Associar em série com L1 um resistor de 6 ; 
b) Associar em paralelo com L1 um resistor de 8 ; 
c) Associar em série com L2 um resistor de 10 ; 
d) Associar em paralelo com L2 um resistor de 12 ; 
 
Questão 14 
(Fuvest-SP) A figura mostra um trecho de circuito com 3 lâmpadas 
funcionando de acordo com as características especificadas: L1: 
100 V – 50w , L2: 100 V e 100w e L3: 100 V. Os pontos A e B 
estão ligados numa rede elétrica. A potência dissipada por L3 é: 
a) 75 W 
b) 50 W 
c) 150 W 
d) 300 W 
e) 200 W 
L
1
L
2
A B
L
3
 
Dica: veja questão 7 de classe 
Questão 15 
O circuito esquematizado ao lado compreende um gerador, três 
lâmpadas iguais L1, L2 e L3 e uma chave interruptora Ch. Com a 
chave Ch aberta, as lâmpadas L1 e :L2 ficam acesas apresentando 
brilhos normais. Ao fechar a chave, observa-se que: 
L
1
L
2
G
E
R
A
D
O
R
L
3
Ch
 
a) os brilhos de L1 e L2 aumentam. 
b) os brilhos de L1 e L2 diminuem. 
c) os brilhos de L1, L2 e L3 apresentam-se normais. 
d) o brilho de L1 aumenta e o de L2 diminui. 
e) o brilho de L2 aumenta e o de L1 diminui. 
Dica: veja questão 9 de classe 
 
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Questão 16 
A figura abaixo ilustra um circuito elétrico composto por 
4 lâmpadas idênticas conectadas a uma chave K e uma bateria 
elétrica. Abrindo-se a chave K, podemos afirmar que: 
K
A
B
C
D
 
a) a lâmpada D entra em curto circuito e queima; 
b) o brilho da lâmpada A diminui e da lâmpada B aumenta; 
c) o brilho da lâmpada A aumenta e da lâmpada C aumenta; 
d) o brilho da lâmpada A aumenta e da lâmpada B diminui; 
e) o brilho das lâmpadas A e B diminui. 
Dica: veja questão 9 de classe 
Questão 17 
Considere o circuito da questão anterior. Sabendo que a tensão 
elétrica entre os terminais da lâmpada A vale 180V quando a 
chave encontra-se fechada, abrindo-se essa chave, a tensão 
elétrica sobre a lâmpada B valerá: 
a) 150 V b) 100 V c) 80 V d) 120 V e) 60 V 
 
Questão 18 
(UFC 2004) No circuito esquematizado a seguir, A1 e A2 são 
amperímetros ideais idênticos. Ligando-se a chave C, observa-se 
que: 
R1 A2
R1
A1
C
 
a) a leitura de A1 e a leitura de A2 não mudam. 
b) a leitura de A1 diminui e a leitura de A2 aumenta. 
c) a leitura de A1 não muda e a leitura de A2 diminui. 
d) a leitura de A1 aumenta e a leitura de A2 diminui. 
e) a leitura de A1 aumenta e a leitura de A2 não muda. 
 
Dica: veja questão 11 de classe. Amperímetro ideal pode ser substituído 
por um fio de resistência nula. 
 
Questão 19 
Quatro lâmpadas idênticas 1, 2, 3 e 4, de mesma resistência R, 
são conectadas a uma bateria com tensão constante V, como 
mostra a figura. 
V
2
3
BA
1
4
 
Se a lâmpada 1 for queimada, então: 
 
a) a corrente entre A e B cai pela metade e o brilho da lâmpada 3 
diminui. 
b) a corrente entre A e B dobra, mas o brilho da lâmpada 3 
permanece constante. 
c) o brilho da lâmpada 3 diminui, pois a potência drenada da 
bateria cai pela metade. 
d) a corrente entre A e B permanece constante, pois a potência 
drenada da bateria permanece constante. 
e) a corrente entre A e B e a potência drenada da bateria caem 
pela metade, mas o brilho da lâmpada 3 permanece constante. 
 
Dica: Quando a lâmpada 1 queima, a lâmpada 2 permanece acesa ou apaga ? A 
ddp entre os pontos A e B aumenta ou diminui ? A ddp que as lâmpadas 3 e 4 
recebem aumenta ou diminui ? Veja questão 12 de classe. 
Questão 20 
(UFV-MG) Dois chuveiros elétricos, um de 110 V e outro de 220 V, 
de mesma potência, adequadamente ligados, funcionam durante o 
mesmo tempo. Então, é correto afirmar que: 
a) o chuveiro ligado em 110 V consome mais energia; 
b) ambos consomem a mesma energia; 
c) a corrente é a mesma nos dois chuveiros; 
d) as resistências dos chuveiros são iguais; 
e) no chuveiro ligado em 220 V a corrente é maior. 
Questão 21 
Considere duas lâmpadas, A e B, de valores nominais 
respectivamente iguais a 220V/100W e 220V/60W. Se essas 
lâmpadas forem ligadas em série a uma tensão elétrica adequada 
U de forma que nenhuma das lâmpadas chegue a queimar. Pode-
se afirmar que: 
a) A será a mais brilhante, pois tem a maior resistência. 
b) B será a mais brilhante, pois tem a maior resistência. 
c) A será a mais brilhante, pois tem a menor resistência. 
d) B será a mais brilhante, pois tem a menor resistência. 
Dica: veja as questões 15 e 16 de classe. 
Questão 22 
(UFC 2004) Duas lâmpadas, L1 e L2, são idênticas, exceto por uma 
diferença: a lâmpada L1 tem um filamento mais grosso que a 
lâmpada L2. Ao ligarmos cada lâmpada a uma tensão de 220 V, 
observaremos que: 
a) L1 e L2 terão o mesmo brilho. 
b) L1 brilhará mais, pois tem maior resistência. 
c) L2 brilhará mais, pois tem maior resistência. 
d) L2 brilhará mais, pois tem menor resistência. 
e) L1 brilhará mais, pois tem menor resistência. 
Dica: veja as questões 15 e 16 de classe. 
Questão 23 
Ganhei um chuveiro elétrico de 6050W - 220V. Para que esse 
chuveiro forneça a mesma potência na minha instalação, de 110V, 
devo mudar a sua resistência para o seguinte valor, em ohms: 
 
a) 0,5 b) 1,0 c) 2,0 d) 4,0 e) 8,0 
 
Questão 24 
Para obter uma iluminação pouco intensa, pode-se utilizar uma 
lâmpada de 220 V ligando-a em 110 V, em vez de usar uma 
lâmpada de baixa potência, mas de mesma tensão que a da rede 
elétrica. A principal vantagem desta opção é a de aumentar a vida 
útil da lâmpada que, em condições nominais, é projetada para uma 
vida útil de 1000 horas. Ligando uma lâmpada de 
40 W - 220 V numa rede elétrica de 110 V e considerando que a 
resistência elétrica da lâmpada não varia com a temperatura, a 
potência dissipada por esta lâmpada será de 
a) 5 W. b) 7 W. c) 10 W d) 20 W. e) 40 W. 
 
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Semana 8 de 15 
Assunto sugerido: 
Impulso e QDM, Ciclos Termodinâmicos
REVISÃO SEMANAL PROGRAMADA
Se você revisar um pouquinho a cada 
semana, não acumulará toda a revisão 
para a semana da véspera do 
vestibular, né verdade ?  
 
 
Questão 25 
Uma lâmpada, cujos dados nominais são 120V – 60W, está 
funcionando de acordo com as especificações. Admitindo que a 
lâmpada seja um resistor de resistência constante, se a tensão 
sofrer um acréscimo de 10%a intensidade da corrente elétrica no 
filamento da lâmpada e a potência por ela dissipada aumentarão, 
respectivamente: 
a) 10% e 21% b) 11% e 10% c) 11% e 21% d) 21% e 10% 
b) 21% e 21% 
 
Questão 26 
Considere a montagem da figura, composta por 4 resistores iguais 
R, uma fonte de tensão , um medidor de corrente A, um medidor 
de tensão V e fios de ligação. O medidor de corrente indica 8 A e 
o de tensão, 2 V. Pode-se afirmar que a potência elétrica total, 
consumida pelos 4 resistores, vale : 
 
a) 8 W b) 16 W c) 32 W d) 48 W e) 64 W 
 
V
A
R
R
R
R

 
Dica: Pela conservação da energia elétrica no circuito, toda a potência 
elétrica fornecida pela bateria (Pot bateria = .i) será integralmente consu-
mida (dissipada) nos resistores. Veja questão 19 de classe. 
 
Questão 27 
(Cesgranrio-RJ) O fusível de entrada de uma casa, alimentada em 
110 V, queima se a intensidade da corrente total ultrapassar 20 A. 
Qual é o número máximo de lâmpadas de 100 W que poderão 
estar ligadas sem que o fusível queime? (Supõe-se que nenhum 
outro aparelho elétrico esteja funcionando.) 
a) 2 b) 22 c) 5 d) 60 e) 11 
 
Questão 28 
(Fuvest) No circuito elétrico residencial a seguir esquematizado, 
estão indicadas, em watts, as potências dissipadas pelos diversos 
equipamentos. O circuito está protegido por um fusível, F, que 
funde quando a corrente ultrapassa 30A, interrompendo o circuito. 
Que outros aparelhos podem estar ligados ao mesmo tempo que o 
chuveiro elétrico sem "queimar" o fusível? 
 
a) Geladeira, lâmpada e TV. b) Geladeira e TV. 
c) Geladeira e lâmpada. d) Geladeira. 
e) Lâmpada e TV. 
Dica: Veja questão 19 de classe. 
Questão 29 
A figura representa três resistências elétricas A, B e C, ligadas em 
série, que dissipam as potências de 20W, 40W e 60W, 
respectivamente, quando a ddp aplicada nas extremidades da 
ligação é de 12 V. 
A B C
12 V 
A corrente elétrica fornecida pela bateria vale: 
a) 2A b) 4A c) 6A d) 10A e) 12A 
Dica: Veja questão 19 de classe. 
Questão 30 
Na montagem esquematizada na figura, F1, F2 e F3 são fusíveis 
de resistências desprezíveis, que suportam, no máximo, as 
correntes neles indicadas: 
 
Se os pontos A e B forem submetidos a uma diferença de potencial 
de 120 V, que fusíveis deverão queimar-se? 
 
Questão 31 
Considere o circuito abaixo contendo 4 lâmpadas elétricas 
incandescentes e dois fusíveis que suportam uma corrente 
elétrica máxima de 5A cada um. Quando o prof. Renato Brito 
fecha a chave K, pode-se afirmar que: 
65A
3
36V
2
2
5A
K
 
a) Assim que a chave K é fechada, a corrente elétrica no circuito 
diminui; 
b) a lâmpada de resistência de 2 , em paralelo com a chave K, é 
queimada; 
c) ambos os fusíveis queimam; 
d) a corrente elétrica final, na bateria, será 4,5A; 
e) o fusível superior é queimado 
 
 
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Questão 32 
Uma estudante da Turma Saúde 10, descontente com o 
desempenho de seu secador de cabelos, resolve aumentar a 
potência elétrica do aparelho. Sabendo-se que o secador tem 
potência elétrica nominal 1200W e opera em 220V, a estudante 
deve: 
a) ligar o secador numa tomada de 110 V. 
b) aumentar o comprimento do fio metálico que constitui o resistor 
do secador. 
c) diminuir o comprimento do fio metálico que constitui o resistor 
do secador. 
d) diminuir a espessura do fio metálico que constitui o resistor do 
secador. 
e) trocar o material do fio metálico que constitui o resistor do 
secador por outro de maior resistividade. 
 
Questão 33 
Três fios metálicos resistivos R1, R2 e R3 cujas características são 
fornecidas pelo quadro a seguir, são submetidos a uma mesma 
tensão elétrica U, e dissipam, respectivamente, as potências P1, 
P2 e P3. 
fios comprimento diâmetro resistividade 
R1 L d  
R2 2L 2d  
R3 L/ 2 d / 2 2 
Entre as potências valem as relações: 
a) P1 = P2 = P3 b) P1 = 1/2 P2 = P3 c) P1 = 2P2 = 1/2 P3 
d) P1 = 1/2 P2 = 4P3 e) P1 = P2 = 2P3 
 
Questão 34 
Muitos aparelhos eletrodomésticos têm seu funcionamento 
baseado simplesmente no comportamento de resistências 
elétricas. Exemplos destes são as lâmpadas incandescentes, 
ferros de passar, chuveiros elétricos, entre outros. Considerando o 
funcionamento das resistências, é correto afirmar: 
a) Ao se diminuir a resistência de um chuveiro elétrico, reduz-se a 
potência consumida por ele. 
b) A resistência de uma lâmpada incandescente de 100W é maior 
que a de uma lâmpada de 60W. 
c) Em um chuveiro elétrico, para manter estável a temperatura 
quando se aumenta a vazão de água, deve-se diminuir a 
resistência do chuveiro. 
d) Quando se seleciona em um ferro de passar a posição "mais 
quente", o que se está fazendo é aumentar a resistência do 
ferro ao maior valor possível. 
e) A potência consumida independe da resistência desses 
aparelhos. 
 
Questão 35 
Para determinar a potência de um aparelho eletrodoméstico, um 
estudante da Turma Saúde 10 seguiu este procedimento: 
1) Desligou todos os aparelhos elétricos de sua casa, exceto uma 
lâmpada de 100W e outra de 60W; observou, então, que o disco 
de alumínio do medidor de consumo de energia elétrica, na caixa 
de entrada de eletricidade de sua casa, gastou 8,0 s para efetuar 
10 voltas. 
2) Em seguida, apagou as duas lâmpadas e ligou apenas o 
aparelho de potência desconhecida; verificou que o disco de 
medidor gastou 4,0s para realizar 10 voltas. 
O estudante calculou corretamente a potência do aparelho, 
encontrando, em watts; 
a) 80 b) 160 c) 240 d) 320 e) 480 
Dica: a corrente elétrica que atravessa o medidor e, conseqüentemente, a potência 
elétrica consumida por essa resistência é diretamente proporcional ao número de 
voltas que o disco dá por segundo, isto é, à sua freqüência de rotação ( 1 Hertz = 1 
voltas /seg). 
Questão 36 
(UERJ) A figura abaixo mostra quatro passarinhos pousados em 
um circuito no qual uma bateria de automóvel alimenta duas 
lâmpadas. Ao ligar-se a chave S, o passarinho que pode receber 
um choque elétrico é o de número: 
a) I. b) II. c) III. d) IV. e) nenhum deles 
 
 
 
 Questão 37 
O gráfico abaixo mostra a potência elétrica consumida, ao longo do 
dia, em uma certa residência alimentada com a voltagem de 120 V. 
Se o kWh custa R$ 0,10, o valor pago por 30 dias de consumo é: 
 
 
a) R$ 88,00. b) R$ 112,00. c) R$ 144,00. d) R$ 162,00. 
 
Questão 38 
Um forno de microondas opera na voltagem de 120 V e corrente de 
5A. Colocaram nesse forno 200 mililitros de água à temperatura de 
25°C. Admite-se que toda energia do forno é utilizada para aquecer 
a água. O tempo para elevar a temperatura da água a 100 °C é: 
a) 60 s. b) 100 s. c) 120 s. d) 150 s. 
 
Dica: 1 ml de água corresponde a 1 g de água – o calor específico da 
água vale c = 1 cal/g.oC, 1 cal = 4J 
 
Questão 39 
Um vaporizador converte 500 cm3 de água por hora em vapor de 
água, quando submetido a uma diferença de potencial de 120 V. 
Sabendo que são necessários 2.160 J de energia para vaporizar 
1g de água e considerando a perda de calor desprezível, a 
resistência elétrica do resistor do vaporizador tem valor, em , 
igual a: 
a) 48. b) 36. c) 28. d) 20. e) 12. 
 
 
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Questão 40 
Maria da Paz deseja ferver uma certa quantidade de água a fim 
de fazer café para o Dr..Rômulo. Para isso, a prendada 
cozinheira dispõe de dois resistores RA e RB bem como de uma 
fonte de tensão constante U. Admita que toda a potência 
dissipada nos resistores, em cada caso, seja integralmenteconvertida em calor a fim de aquecer a água. 
+-
RA
U
+-
RB
U
+-
RB
U
RA
1 2
3
 
Da Paz, dispondo de um cronômetro, percebeu que ao usar o 
circuito 1 para ferver a água, gastou um tempo TA para atingir o 
seu objetivo, ao passo que, usando o circuito 2, gastou um tempo 
TB > TA para ferver a mesma amostra de água. Assim, se a Da 
Paz fizer uso do circuito 3 para ferver a mesma amostra de água, 
levará um tempo: 
a) TA + TB b) A B
T T
2

 c) TB  TA d) A B
A B
T .T
T T
 
 
Questão 41 
Uma pequena esfera condutora, isolada eletricamente, é 
carregada com uma quantidade de carga Q. Em seguida essa 
esfera isolada é aterrada através de um resistor de 0,25  . A 
carga da esfera é descarregada em 0,5 s com uma corrente 
elétrica constante escoando através da resistência, que dissipa 
uma potência de 0,5 W. A carga Q, em coulombs, vale: 
a) 2 b) 4 c) 2 d) 22 
 
 
Questão 42 – (UECE 2005.2 2ª fase) - Resolvida 
 
Considere um conjunto constituído de infinitos resistores iguais 
(R), ligados entre si formando conforme a figura abaixo. 
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
P
Q
 
A resistência equivalente entre os pontos P e Q vale: 
a) R.( 1 + 2 3 ) b) R.( 3  1) 
c) R.( 3 + 1) d) R.(2 3  1) 
 
O prof Renato Brito comenta: 
 
Devemos calcular a resistência equivalente entre os pontos P e Q 
na figura 1, numa malha com infinitas células quadradas. 
Essa resistência equivalente entre os pontos P e Q, na figura 1, é 
a mesma resistência equivalente entre os pontos a e b, na 
figura 2. Afinal, na figura 2, a malha ainda possui infinitas células 
de resistores. 
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
a
P
Q
b
a
b
Req
Req
R
R
R
Req
a
P
Q
b
Figura 1
Figura 2
Figura 3
 
Req = resistência equivalente entre P e Q na figura 1. 
Req = resistência equivalente entre a e b na figura 2. 
 
Assim, o circuito da figura 1 equivale ao circuito da figura 3, onde 
os resistores em destaque (os da figura 2) foram substituídos 
pela resistência equivalente Req. 
 
A resistência equivalente entre os pontos P e Q, na figura 3, ainda 
vale Req. Calculando Req, na figura 3, temos: 
 
Req = R + 
Req R
qRe . R

 + R 
Req = 2R + 
Req) R(
qRe . R

 , desenvolvendo vem: 
Req = 2R + 
Req) R(
qRe . R

 
Req.( R + Req) = 2R.(R + Req) + R.Req 
Req.R + Req² = 2R² + 2R.Req + R.Req 
Req²  2.R.Req  2.R² = 0 
Equação do 2º grau na variável Req: 
a = 1 
b = (2R) 
c = (2.R²) 
Req = 
a2
 b 
= 
)1.(2
R2).4( R4 R2 22 
 = 
Req = 
2
R12 R2 2
 = 
2
R.32 R2 
 = R.( 1 + 3 ) 
 
Resposta: Req = R.( 1 + 3 ) 
 
 
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Questão 43 
A figura mostra uma rede resistiva composta por infinitas células 
compostas por resistores de 1 e 2 conectados regularmente. 
Sabendo que a bateria ideal fornece uma tensão de 6V para o 
circuito, o prof. Renato Brito pede que você determine a corrente 
elétrica fornecida pela bateria: 
a) 1 A b) 2 A c) 3 A d) 4 A e) 5 A 
1
6V
1
2 2
1
6V
1
2 2
 
Dica: Substitua esse conjunto de resistores pela sua Req, que precisa ser 
previamente calculada seguindo o raciocínio da questão 42 de classe. 
 
Questão 44 
No circuito elétrico, o gerador ideal fornece uma fem , os fios ac 
e bc têm resistência elétrica nula e não se tocam no ponto de 
cruzamento deles. O prof. Renato Brito pede que você determine 
a corrente elétrica que percorre o fio bd: 
a) 
4.
5R

 
b) 
3.
5R

 
c) 
2.
5R

 
d) 
5R

 
e) 0 
 

R R
R
R
R
a b
cd
 
Questão 45 
Em cada circuito a seguir, determine a resistência equivalente 
entre os pontos A e B: 
a) 
 
A B
2
3
4
2
3
4
5 6
 
 
b) 
 
A
B
R R
RR
R
R
 
c) 
 
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
A B
 
d) 
 
Questão 46 
(UECE 2007.1 2ª fase) Considere a figura a seguir. Ela é formada 
por um conjunto de resistores de mesma resistência R. A 
resistência equivalente entre os pontos A e B vale: 
a) R/3 
b ) R/5 
c) 2R/3 
d) 4R/5 
e) 5R/6 
 
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
A BR R
 
Questão 47 
No circuito abaixo, sabendo que  = 10V e R = 5, a potência 
elétrica total consumida pelos resistores vale: 
a) 5W 
b) 10W 
c) 15W 
d) 20W 
e) 50W 
 
R 2R
R
2R
2R
R
R
R RR

 
Questão 48 
No circuito abaixo, sabendo que  = 10V e R = 1, a a corrente 
elétrica fornecida pela bateria vale: 
a) 1A 
b) 2A 
c) 3A 
d) 4A 
e) 5A 
 
8R
16R
2R
4R
R

16R
 
 
 
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Questão 49 
Considere o circuito abaixo onde todos os resistores têm a mesma 
resistência R. Utilizando argumentos como Simetria e Kirchhoff, 
determine: 
i

 
a) A resistência equivalente “sentida” pela bateria, em função 
de R; 
b) Sendo R = 4 e  = 48 V, determine a corrente i em 
destaque no circuito. 
Dica: Se você olhar atentamente, vai perceber um octaedro, uma figura 
especial semelhante a um balão de festa junina  . 
Questão 50 
No circuito abaixo, todos os resistores valem 2. Sabendo que a 
corrente no resistor em destaque vale 2A, determine a fem  da 
bateria. Utilize argumentos de simetria. 
 

2A
 
 
 
Questão 51 (IME 2009) 
No circuito abaixo, a resistência equivalente entre os pontos A e B 
vale: 
 
a) R/3 b) R/2 c) 2R/3 d) 4R/3 e) 2R 
 
Questão 52 
Calcule todas as correntes no circuito abaixo, sem efetuar muitos 
cálculos, fazendo uso das propriedades da simetria (linhas iguais 
ou linhas proporcionais) em circuitos. 
3 9
2 6
2 6
4
4
2 
80V 
Questão 53 
Determine todas as correntes na ponte de resistores abaixo: 
4  4 46 
U = 60V
 2
 8
 
Dica: Essa circuito trata-se da tradicional ponte de Wheatstone com aquele formato 
de losango. Para achar o losango, gire a resistência de 4 central em 90º no 
sentido anti-horário. Ela será o resistor que fica no centro do losango  
 
Questão 54 
Determine quanto marca os voltímetros e amperímetros idéias nos 
circuitos a seguir: 
a) 
 
2
50 V
20 V
3
A
V
 
b) 
 
4
60 V
25 V
2
V
A
 
 
Questão 55 
Determine a corrente elétrica no resistor em destaque: 
 
8 4
1
2
9V 9V 1V9V
8
 
 
 
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Questão 56 
(UECE 2005.2 2ª fase) No circuito da figura, as baterias são 
ideais e os resistores são constantes. A corrente, em ampères, no 
resistor em destaque, vale: 
a) 4 
b) 3 
c) 1 
d) 6 
22
6V
2
6V
6V
 
Questão 57 
Determine todas as correntes elétricas no circuito 
16V
8V
18V
9V
1
42
2
3
1
6
 
Questão 58 
(UECE 2002) No circuito visto na figura, R = 10 e as baterias 
são ideais, com E1 = 60V, E2 = 10V e E3 = 10V. A corrente, em 
ampères, que atravessa E1, é: 
a) 2 
b) 4 
c) 6 
d) 8 
 
E2
R
E1 E3
R
R
 
Questão 59 
No circuito abaixo, apesar de haver corrente no resistor R, não há 
corrente elétrica na lâmpada L (i=0), o que a mantém permanente-
mente apagada. o valor da resistência R é: 
a) 1  b) 2 c) 3  d) 4  e) 5  
4
40V
32V
L
R
i
i
3
4
A
B
c
 
Questão 60 (UNIFOR Medicina 2009.2) 
Considere o circuito elétrico esquematizado abaixo e os valores 
indicados nos elementos constituintes. 
 
Nesse circuito é correto afirmar que a: 
a) intensidade da corrente elétrica em R1 vale 4A. 
b) intensidade da corrente elétrica em R2 vale 3A. 
c) ddp entre os pontos A e B vale 8 V. 
d) potência elétrica dissipada em R1 vale 25 W. 
e) potência elétrica dissipada em R2 vale 20 W. 
 
Questão 61 
(Fuvest) O circuito da figura é formado por quatro pilhas ideais 
(resistênciainterna nula) de tensão V e dois resistores de mesma 
resistência R. Podemos afirmar que as correntes i1 e i2 valem 
respectivamente: 
a) i1 = 
R
V2
, i2 = 
R
V4
 
b) i1 = zero, i2 = 
R
V2
 
c) i1 = 
R
V2
, i2 = 
R
V2
 
d) i1 = zero, i2 = 
R
V4
 
 
Questão 62 
O prof. Renato Brito associou M resistores de 4 em série e 
N resistores de 4 em paralelo, conforme o esquema abaixo, a fim 
de obter uma resistência equivalente de 129. 
 
M resistores em série N resistores
em paralelo
 
 
O total de resistores M+N usados nessa associação vale: 
 
a) 36 b) 32 c) 24 d) 16 e) 18 
 
Questão 63 
A figura abaixo uma matriz de baterias formada por n conjuntos 
ligados em paralelo. Cada conjunto contém m baterias idênticas 
ligadas em série. Cada uma das n x m baterias tem f.e.m.  = 2V 
e resistência interna r = 10. Sendo m = 30 e n = 20, se o prof. 
Renato Brito ligar uma resistência R = 5 aos terminais A e B 
dessa matriz, a corrente elétrica através de cada bateria valerá: 
a) 0,10 A b) 0,15 A c) 0,20 A d) 0,25 A e) 0,30 A 
1 2 3 m
1
2
3
n
A B
R
 
 
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Semana 9 de 15 
Assunto sugerido: 
Hidrostática e Entropia
REVISÃO SEMANAL PROGRAMADA
Se você revisar um pouquinho a cada 
semana, não acumulará toda a revisão 
para a semana da véspera do 
vestibular, né verdade ?  
 
Hora de Revisar
Hora de Revisar
 
Questão 01 
Na figura mostramos a trajetória seguida por uma abelha voando e 
o gráfico que descreve a velocidade da abelha em função do 
tempo. Assinale a afirmativa certa: 
 
a) No trecho AB, a resultante das forças que atuam sobre a abelha 
é igual a zero. 
b) No trecho BC, o movimento é retilíneo uniforme. 
c) No trecho CD, não existe aceleração. 
d) No trecho BC, o módulo e a direção da velocidade não variam. 
e) No trecho AB, o movimento é uniforme e tem aceleração. 
 
Questão 02 
A leitura de uma balança dentro de um elevador, subindo com 
uma aceleração constante para cima de 2,0 m/s2, quando uma 
pessoa de massa 70,0 kg está parada em cima dela, será: 
a) 0,00 N 
b) 140 N 
c) 700 N 
d) 840 N 
e) 1400 N 
 
Questão 03 
Um corpo de peso P, apoiado sobre uma superfície horizontal, é 
submetido à força, F, apresentada no diagrama. Sendo c o 
coeficiente de atrito cinético, o módulo da força de atrito entre o 
corpo e a superfície é: 
 
a) Igual à componente horizontal de F, quer o corpo esteja parado, 
quer esteja em movimento retilíneo uniforme. 
b) Igual a c.P, se o corpo estiver em movimento retilíneo 
uniforme. 
c) Maior do que a componente horizontal de F, se o corpo 
permanecer parado. 
d) Igual a c.(P + F cos), se o corpo estiver em movimento 
retilíneo uniforme. 
e) Não poderá ser inferior a c .(P + F sen ). 
 
 
Questão 04 
A figura abaixo representa um bloco de massa a 2 kg, apoiado 
sobre um plano inclinado, que faz com o plano horizontal um 
ângulo b = 37°, Sabendo-se que o coeficiente de atrito estático 
entre o bloco e o plano inclinado é igual a 0,50, para que este bloco 
fique em repouso sobre o plano inclinado, qual deverá ser o 
mínimo valor da força F (g = 10 m/s2 ) ? 
a) 4 N 
b) 8 N 
c) 10 N 
d) 12 N 
e) 20 N 
 
sen 37o = 0,6 , cos 37o = 0,8 
 
 
Questão 05 
A figura abaixo representa um bloco de massa a 2 kg, apoiado 
sobre um plano inclinado, que faz com o plano horizontal um 
ângulo b = 37°, Sabendo-se que o coeficiente de atrito estático 
entre o bloco e o plano inclinado é igual a 0,50, para que este bloco 
fique em repouso sobre o plano inclinado, qual deverá ser o 
máximo valor da força F (g = 10 m/s2 ) ? 
a) 4 N 
b) 8 N 
c) 10 N 
d) 12 N 
e) 20 N 
 
sen 37o = 0,6 , cos 37o = 0,8 
 
 
Questão 06 
(UNIFOR 2007.2) Uma máquina térmica opera segundo o ciclo de 
Carnot entre duas fontes térmicas cujas temperaturas são 23 oC 
e +227o C. Se, em cada ciclo, a máquina térmica rejeita 
24 calorias para a fonte fria, o trabalho que ela realiza em cada 
ciclo vale: 
a) 48 cal b) 36 cal c) 24 cal d) 12 cal e) 6,0 cal 
 
Questão 07 
(UNIFOR 2007.2) Um pequeno objeto é colocado a 60 cm do 
vértice de um espelho esférico côncavo, próximo ao seu eixo 
principal. O espelho conjuga ao objeto uma imagem real, três 
vezes menor que o objeto. A distância focal do espelho vale: 
a) 45 cm b) 35 cm c) 30 cm d) 20 cm e) 15 cm 
 
Questão 08 
(UFPE 2007) Quatro cargas elétricas puntiformes, de intensidades 
Q e q, estão fixas nos vértices de um quadrado, conforme indicado 
na figura. Determine a razão Q/q para que a força sobre cada uma 
das cargas Q seja nula. 
 
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100 
a) 4 2 
b)  2 / 4 
c)  2 / 2 
d)  2 
e) 2 2 
 
 
Questão 09 
(UECE) Na seqüência de figuras, estão representadas três fases 
sucessivas de uma experiência para determinar a densidade de 
um sólido. Dispõe-se de uma balança de braços iguais, com 
massas aferidas, um vaso com água e o sólido atado a um fio. 
Sabendo que a densidade da água vale é 1 g/cm3 , a densidade 
do sólido vale: 
600 g
400g
440g
(1) (2)
(3) 
 
a) 2,0 g/cm3 b) 3,0 g/cm3 c) 4,0 g/cm3 
d) 4,5 g/cm3 e) 5,0 g/cm3 
 
Questão 10 
(Simulado Turma Saúde 10 – imperdível) A figura ilustra um 
pêndulo simples, composto de uma esfera de massa 200 g 
presa a um fio de comprimento L = 50 cm, oscilando entre as 
posições extremas A e C. Sabendo que a gravidade local vale g 
= 10 m/s2 e que o pêndulo atinge uma velocidade máxima v = 2 
m/s durante suas oscilações, pede-se determinar a aceleração 
do pêndulo ao atingir o ponto A, bem como a tração no fio, ao 
atingir o ponto C: 
a) 6 m/s2 , 1,6 N 
b) 8 m/s2, 1,2 N 
c) 5 m/s2, 1,6 N 
d) 6 m/s2, 1,2 N 
e) 8 m/s2, 1,5 N 
 
B
L
A
g C
 
Questão 11 
(UECE 2005.2 2ª fase) Uma pequena esfera métalica de raio R, 
com carga Q, produz em um ponto P, distante r do centro da 
esfera, um campo elétrico de intensidade E. Suponha r >>>R. 
Se, em vez da esfera, for colocado, no ponto antes ocupado pelo 
seu centro, uma carga puntiforme Q, o módulo do campo elétrico, 
no ponto P, será: 
a) 





 Rr
R
.E b) E c) 
R
r
.E d) 
r
R
.E 
 
Questão 12 
UFC 2005 – Um gás sofre o processo cíclico mostrado no 
diagrama PxT mostrado abaixo, composto pelos processos 
termodinâmicos ab, bc e ca. 
P
T
a
b
c
 
Assinale a alternativa abaixo que contém o diagrama PxV 
equivalente a esse ciclo: 
a) P
V
a
b
c
 
b) P
V
a
b
c
 
c) P
V
a
b
c
 
d) P
V
a
b
c
 
e) P
V
a
b
c
 
 
Questão 13 
(UECE 2007.2 2ª FASE) Uma bolha de ar (considerado um gás 
ideal), com volume de 5 cm3, forma-se no fundo de um lago, a 
20 m de profundidade. A bolha sobe com velocidade constante, ate 
atingir a superfície do lago. A pressão atmosférica na superfície do 
lago e 1,0 atm e a temperatura do lago e considerada a mesma em 
qualquer profundidade. 
O processo termodinâmico sofrido pela bolha de ar, ao se deslocar 
desde o fundo ate a superfície do lago, o valor da pressão (em atm) 
sobre a bolha no fundo do lago e o volume da bolha (em cm3) ao 
atingir a superfície são, respectivamente (considere g = 10m/s2): 
a) Isotérmico, 1, 5 b) Isotérmico, 2, 10 
c) Isotérmico, 3, 15 d) Isovolumétrico, 2, 5 
Dica: 1 atm = pressão de uma coluna de água de 10 m de altura. 
Questão 14 
Uma amostra gasosa de gás hidrogênio, para uma dada pressão P 
e temperatura T, apresenta uma densidade d. Uma amostra de 
gás oxigênio, nas mesma condições de pressão e temperatura, 
teria densidade: 
a) d b) 2d c) 4d d) 8d e) 16d 
 
Questão 15 
A figura mostra uma rampa que se move em movimento retilíneo e 
uniforme numsolo horizontal liso. Sobre a sua superfície inclinada, 
encontra-se uma caixa que permanece em repouso em relação à 
rampa. 
Dos cinco vetores desenhados na figura, qual deles melhor 
representa a força que a rampa exerce sobre o bloco ? 
 
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 101 
 
a) I b) II c) III d) IV e) V 
 
Questão 16 
O escorregador da figura a seguir tem massa M e encontra-se 
solto no piso horizontal sem atrito. Uma criança, de massa m, 
sobe cuidadosamente no escorregador e começa a escorregar 
pela sua superfície, também sem atrito. Para manter o 
escorregador em repouso durante a descida da criança, sua mãe, 
Dona Gorete, deve aplicar neste uma força horizontal F de 
intensidade: 
a)
2
1
.m.g.sen.cos 
b) 
2
1
.m.g.cos 2 
c) 
2
1
.m.g.sen 2 
d) 2.m.g.sen.cos 
e) M.g. sen.cos 
 
 
 
 
 
Questão 17 
Considere uma partícula maciça que desce uma superfície 
côncava e sem atrito, sob a influência da gravidade , como mostra 
a figura. Na direção do movimento da partícula, ocorre que: 
 
a) velocidade e aceleração crescem 
b) velocidade e aceleração decrescem 
c) a velocidade decresce e a aceleração cresce 
d) a velocidade e a aceleração decrescem 
e) a velocidade cresce e aceleração decresce. 
 
Questão 18 
Um pequeno bloco foi lançado ladeira acima com velocidade 
inicial Vo ao longo de uma rampa inclinada áspera. Responda: 
a) Qual dos gráficos melhor representa o módulo da aceleração do 
bloco durante seu movimento de sobe e desce ao longo dessa 
rampa ? 
b) Qual dos gráficos melhor representa o módulo da velocidade 
do bloco durante seu movimento de sobe e desce ao longo 
dessa rampa ? 
Vo
 
 
t(I) t(II)
t
(III)
t(IV)
t
t(V) (VI) 
Questão 19 
(UECE 2010.1 1ª Fase) Num prato giratório plano horizontal, esta 
localizada uma pequena moeda solta, a 10 cm do seu centro. A 
moeda gira com o prato com velocidade angular constante. Logo 
as forcas que o prato exerce sobre a moeda são: 
a) peso mais a forca normal. 
b) peso mais a forca de atrito. 
c) normal mais a forca de atrito. 
d) forca centrípeta mais a forca de atrito. 
 
Questão 20 
(UECE 2010.1 2ª Fase) A figura mostra as velocidades versus 
tempo de um caminhão e um automóvel ambos em MRUV. No 
instante t=0s o caminhão ultrapassa o automóvel. No instante 
t = 10 s, a distancia que separa o caminhão do automóvel em 
metros é: 
a) 10 
 
b) 5 
 
c) 0 
 
d) 20 
 
 
Dica: aplicação direta do método da gravata . 
 
Questão 21 
(UECE 2010.1 2ª Fase) Um bloco de massa M = 2 kg desliza sobre 
um plano inclinado com atrito, conforme a figura abaixo. O bloco 
parte do repouso do topo do plano inclinado e, após ter descido 
uma altura vertical de 5 m, atinge uma velocidade de 5 m/s. 
O modulo do trabalho da forca de atrito entre o bloco e a superfície 
da rampa, durante esse deslocamento, vale (em Joules): 
a) 150 b) 75 c) 50 d) 125 
 
 
Dica: use trabalho e energia 
Renato 
Brito
 
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1 – Introdução 
Até o presente momento, você aprendeu a analisar circuitos 
contendo geradores, receptores e resistores (lâmpadas, chuveiros 
elétricos) , calculando correntes elétricas e ddp’s em circuitos de 
uma ou várias malhas. 
No presente capítulo, você conhecerá mais um componente 
eletrônico presente em todos os circuitos elétricos modernos, 
como circuitos de televisores, computadores, video-cassetes, 
walkmans etc: o capacitor. 
De agora em diante, você será capaz de analisar circuitos que 
contenham também esse componente. 
 
2 – Visão Geral de um capacitor 
 
Um capacitor é formado por 
duas placas condutoras, 
separadas por um isolante 
( óleo, porcelana, ar ) , que impede 
qualquer contato elétrico entre 
as placas. 

Capacitor
Lâmpada não
acende
 
 
Assim, no circuito ao lado, 
estando o capacitor carregado, 
a lâmpada não acenderá, pois 
o capacitor funciona como 
uma chave aberta, impedindo 
a passagem da corrente 
elétrica através do circuito. 
 

Capacitor
Lâmpada
acende
 
 
Para “criar” um “caminho livre” 
para a corrente, podemos ligar 
um resistor em paralelo com o 
capacitor. 
Agora, a corrente elétrica 
passará integralmente pelo 
resistor e circulará, acendendo 
a lâmpada. 
 
Ora, Dirceu. Para simplificar, 
podemos resumir dizendo 
que um capacitor é como 
uma represa. 
 
Uma represa armazena 
energia potencial gravi-
tacional, que será convertida, 
posteriormente, em energia 
elétrica, nas turbinas da 
hidrelétrica. 
 
Puxa. Se ele impede
que a lâmpada acenda,
para que serve então
o capacitor ?
 
Um capacitor também armazena energia potencial elétrica, que 
poderá ser distribuída pelo circuito quando necessário. As 
verdadeiras aplicações para o capacitor ficam mais claras na 
Engenharia Eletrônica ou em Cursos Técnicos. 
 
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
-
-
-
-
+ -
+q -q
E
 
 
Um capacitor armazena cargas 
elétricas de sinais contrários em 
suas placas.  Suas placas 
eletrizadas armazenarão, no 
espaço entre elas, um campo 
elétrico uniforme.  
Tal campo, por sua vez, 
armazena energia potencial 
elétrica, capaz, por exemplo, de 
acelerar um elétron abandonado 
nesse campo. 
 
Conclusão: Um capacitor, em última análise, armazena cargas 
elétricas (em suas placas) e energia elétrica ( no seu campo) . 
 
Capacitância de um capacitor: indica a capacidade de 
armazenamento de um capacitor. Não significa o quanto de 
cargas ele pode armazenar. Na verdade, significa “ quantos 
coulombs ele consegue armazenar, por cada volt de ddp que é 
aplicado em seus terminais. “ . Todo capacitor tem um valor fixo 
de capacitância, que é sua característica mais importante. 
 
Unidade de capacitância: Farad (F) 
 
Equivalência: 1 Farad = 1 coulomb/ volt . Por exemplo, um 
capacitor de 100F ( cem micro-fárads) significa um capacitor de 
100C/ v ( cem micro-coulombs por volt ), ou seja, um capacitor 
U
C
q
 
de 100F é capaz de armazenar uma 
carga elétrica de 100C para cada volt 
que for aplicado entre seus terminais. 
Dobrando-se a ddp, dobra-se a carga 
elétrica armazenada, proporcionalmente. 
Matematicamente, podemos escrever: 
 
q = C.U (eq 1) 
onde: 
q = módulo da carga elétrica armazenada pelo capacitor (Coulomb) 
C = capacitância do capacitor ( Fárads ) 
U = módulo da ddp aplicada aos terminais do capacitor 
 
3 – Estudo do Capacitor plano 
Estudemos, agora com mais detalhes, o capacitor plano, cujas 
armaduras são placas planas, paralelas e iguais. Chamemos a 
área de uma face de cada placa de A e a distância que as separa 
de d. 
Ligando-se o capacitor a um gerador de tensão contínua, há 
corrente no gerador apenas durante o rápido processo de 
carga do capacitor. Em seguida, a corrente cessa e temos, então, 
as placas já eletrizadas, passando a existir entre elas um campo 
elétrico aproximadamente uniforme E

. 
Capítu lo 16 
C a p a c i t o r e s 
 
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103 
d
QQ
A AE

Dielétrico (E)
u
+
 
Da eletrostática, temos que: 

 ||
 = E , onde  é a densidade 
superficial de cargas ( C /m2 ) 
Mas como 
A
Q
 = ||  , vem: 
A 
Q
 = E 
Lembrando, ainda, que num campo elétrico uniforme E d = U, 
obtemos: 
A 
d Q
 = Ed = U 
Finalmente, determinemos a capacitância: 
d
 A
 = C 
A 
d Q
Q
 = 
U
Q
 = C



 
Importante: 
Dessa expressão, concluímos que a capacitância de um capacitor 
plano depende da permissividade absoluta () do meio, da área (A) 
e da distância (d) entre as placas, isto é, da sua geometria e do 
dielétrico. 
Da eletrostática, temos 
0
meio
R = = k


 , onde: 
Nomenclatura: 
k = (constantedielétrica) 
R = (permissividade relativa do meio) 
0 = (permissividade absoluta do vácuo) 
meio = (permissividade absoluta do meio) 
 
Assim, meio o = k .   
 
Como 

 
D
 A. 
 = C o
k . . A
C = 
D

 
 
Caso particular 
Meio é vácuo  k = R = 1, então 
o
o
1 . . A
C = 
D

 oo
. A
C = 
D

 
Observação: 
Observe que como 1k R  , a capacitância sempre aumenta 
com a introdução de um dielétrico entre as placas do capacitor 
a vácuo. 
 
Para aumentar consideravelmente a área, mantendo 
reduzidas as dimensões do capacitor, é comum utilizar, 
como armaduras, duas longas fitas metálicas muito finas – 
de alumínio, por exemplo – para construir capacitores. Essas 
fitas, isoladas entre si por fitas de papel, são enroladas, 
constituindo um capacitor tubular. 
Alumínio
Alumínio
Alumínio
Alumínio
Papel
Papel
Papel
Papel
Terminal
Terminal
 
 
Capacitor variável: 
Área Efetiva
 
Deslocando-se uma lâmina em relação a outra, alteramos a 
área efetiva do capacitor e, conseqüentemente, a sua 
capacitância. Este é o princípio de funcionamento do 
capacitor variável, utilizando, por exemplo, nos 
sintonizadores de rádio. 
Con
junt
o fix
o Conjunto
giratório
 
O conjunto fixo está isolado do conjunto giratório, mas as 
lâminas de cada conjunto estão ligadas entre si. 
 
 
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104 
4 – Rigidez Dielétrica 
Denomina-se rigidez dielétrica de um dielétrico o maior campo 
elétrico a que se dielétrico pode ser submetido, sem que ocorra 
sua ionização. Caso isso aconteça, ele se tornará condutor e uma 
faísca saltará através dele, danificando o capacitor. 
A máxima diferença de potencial em que o capacitor pode operar, 
sem ser danificado, é chamada tensão de ruptura do dielétrico. 
Por isso, ao adquirir um capacitor, devemos nos preocupar não 
apenas com sua capacitância, mas também com a tensão máxima 
a que ele poderá ser submetido, ou seja, com a tensão de ruptura. 
 
5 – Energia armazenada no capacitor 
Ao ligarmos um capacitor descarregado a uma bateria, ele 
gradativamente vai se carregar, num processo que demora alguns 
frações de segundos. 
C
q
 U 
A expressão acima nos diz que: quanto maior a carga q 
armazenada no capacitor, maior deverá ser a tensão U entre seus 
terminais. 
Acontece que existe um limite para o armazenamento de carga. O 
processo de carga termina quando a quantidade de cargas nas 
placas do capacitor forem suficientes para que a tensão entre suas 
placas seja igual à tensão aplicada pela bateria externa. A partir 
desse ponto, dizemos que o capacitor está carregado. 
Na figura representamos o gráfico da carga em função da d.d.p. 
Como vimos no item anterior, há uma energia elétrica armazenada 
no capacitor.Trata-se, portanto, de uma energia potencial. Esta 
energia pode ser calculada pela área hachurada do gráfico da 
figura. 
Q
O U
carga
d.d.p.
 
Assim: 
N
p = E área do triângulo hachurado 
2
U . Q
 = Ep 
 
Lembrando, também, que Q = C . U, vem: 
 
2
CU
 = 
2C
Q
 = 
2
QU
 = E
22
p 
 
6 – Associação de Capacitores 
Basicamente, as associações de capacitores podem ser de dois 
tipos: série ou paralelo. 
A seguir, faremos o estudo de cada uma dessas associações 
visando determinar o capacitor equivalente, isto é, o único 
capacitor que, quando submetido à mesma tensão de associação, 
armazena a mesma carga total e a mesma energia elétrica. 
 
a) Associação em paralelo 
Consideremos um conjunto de capacitores inicialmente neutros. 
Liguemos a um fio A todas as armaduras coletoras e a um mesmo 
fio B todas as armaduras condensadoras. A seguir, liguemos a 
uma bateria esta associação, tal que: o fio A esteja no pólo positivo 
e o fio B no negativo. 
B
A
T
E
R
IA
+
- C1
+
-
+
- C2
+
- C3
fio A
fio B
(V
A
)
(V
B
)
 
Ao longo do fio A tem-se um mesmo potencial VA e ao longo do fio 
B um mesmo potencial VB. Assim, todos os capacitores estão sob a 
mesma ddp U: 
U = VA – VB 
As armaduras coletoras adquirem cargas positivas, enquanto as 
armaduras condensadoras adquirem cargas negativas. 
Sejam Q1, Q2 e Q3 as cargas, em valor absoluto, de C1, C2 e C3, 
respectivamente. Temos: 
Q1 = C1 . U 
Q2 = C2 . U 
 Q3 = C3 . U 
(1) 
 
A carga total coletada é: 
Q = Q1 + Q2 + Q3 (2) 
O capacitor equivalente desta associação deverá ter carga igual à 
carga total Q, sob ddp igual a U. 
U
V
B
V
A
+
- Ceq
 
Para calcular sua capacitância equivalente basta aplicar a 
definição: 
U
Q
 = Ceq 
 
(3) 
Substituindo (2) em (3): 
U
Q + Q + Q
 = C 321eq 
 
(4) 
 
 
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105 
Substituindo (1) em (4): 
U
U . C + U . C + U . C
 = C 321eq 
Logo: 321eq C + C + C = C 
 
Resumo das principais propriedades da associação paralelo 
1a) Em paralelo, os capacitores ficam sob mesma ddp U. 
2a) A carga total acumulada pela associação é igual à soma das 
cargas de cada capacitor. 
3a) A carga de cada capacitor é diretamente proporcional à sua 
respectiva capacitância. 
4a) A capacitância equivalente é igual à somatória das 
capacitâncias individuais. 
5a) A capacitância equivalente é sempre maior do que cada uma 
das capacitâncias associadas. 
 
b) Associação em série 
Consideremos um conjunto de capacitores inicial-mente 
descarregados. Vamos associá-los conforme a figura abaixo, isto 
é: a armadura condensadora de C1 ligada à coletora de C2; a 
condensadora de C2 ligada à coletora de C3. Se mais capacitores 
houvesse, seguir-se-ia a mesma seqüência. 
A E F B
C
1
C
2
C
3
 
Ligamos, a seguir, ao pólo positivo de uma bateria a armadura 
coletora A de C1 e ao pólo negativo, a condensadora B de C3. 
Ocorrerá o seguinte fenômeno: a armadura coletora de C1 adquire 
carga positiva de valor +Q (proveniente do pólo positivo da bateria); 
devido à indução total, será induzida na outra armadura de C1 uma 
carga negativa -Q (esta carga só pode ter vindo da armadura 
coletora de C2). Evidentemente, C2 tem em sua armadura coletora 
uma carga +Q e, devido à indução total, a outra armadura adquire 
carga -Q (esta carga só pode ter vindo da armadura coletora de 
C3). Percebemos novamente, que o fenômeno se repete em C3: 
sua armadura coletora adquire carga +Q e, por indução total, a 
armadura condensadora, carga -Q (agora proveniente do pólo 
negativo da bateria). 
BATERIA
(+Q) (-Q)C
3
C
2
C
1
A B
-+
+Q -Q
+
+
+
+
-
-
-
-
+
+
+
+
-
-
-
-
+
+
+
+
-
-
-
-
+Q -Q +Q -Q
(-Q) (-Q)
 
Observemos que em todos os capacitores o valor absoluto das 
cargas adquiridas é Q, isto é, todos adquiririam a mesma carga. 
As cargas nas armaduras do capacitor equivalente desta 
associação deverão ser iguais aos valores algébricos obtidos na 
armadura coletora A e na condensadora B ou seja: +Q e 
-Q, respectivamente. 
+
+
+
+
-
-
-
-
U
A B
C
eq
+Q -Q
 
Observemos então que o capacitor equivalente tem carga total de 
valor absoluto Q igual a de qualquer um dos capacitores 
associados. Nele a ddp U é igual à soma das ddp individuais: 
 Então: 
eqC
Q
 = U (3) 
De (2) em (3), resulta: 








321eq C
1
 + 
C
1
 + 
C
1
 . Q = 
C
Q
 
 
 Logo: 
321eq C
1
 + 
C
1
 + 
C
1
 = 
C
1
 
 
Resumo das principais propriedades da associação-série 
1a) Capacitores inicialmente descarregados, associados em série, 
após eletrizados, apresentam a mesma carga. 
2a) A carga do capacitor equivalente e, portanto, da associação, é 
igual à carga de um dos capacitores associados. 
3a) A tensão total da associação é igual à somatória das tensões 
parciais. 
4a) As tensões em cada capacitor são inversamente proporcionais 
às suas respectivas capacitâncias. 
5a) O inverso da capacitância equivalente é igual à somatória dos 
inversos das capacitâncias individuais. 
6a) A capacitância equivalente,é sempre menor do que cada uma 
das capacitâncias associadas. 
 
7 – Circuito R-C Paralelo 
Consideremos um capacitor e um resistor ligados em paralelo e 
alimentados por um gerador de corrente contínua de intensidade 
constante i. 
A
C
B
R
i
U
 
Como sabemos, entre as armaduras do capacitor há um isolante o 
que impede a passagem da corrente contínua. 
O capacitor, no circuito elétrico, comporta-se como uma chave 
aberta para a corrente contínua. Assim, toda a corrente que 
alimenta o par R-C passa exclusivamente pelo resistor. 
No entanto, estando eles em paralelo, há, no capacitor, uma 
tensão igual à do resistor. A despeito de não ser percorrido pela 
corrente, o capacitor, sob ddp, acaba se carregando e adquire uma 
polaridade. 
 
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106 
A
C
B
R
i
U
i
i
 
Como, no resistor, há uma queda de potencial no sentido da 
corrente, concluímos que VA > VB. Conseqüentemente, no 
capacitor teremos o pólo positivo associados ao ponto A, enquanto 
o negativo está associado a B. 
Para efeito de resolução de problemas, desprezamos o fenômeno 
transitório de carga do capacitor, isto é, admitimos que ele já esteja 
carregado. 
Note que a placa superior ficou eletrizada positivamente pelo fato 
de que VA > VB no resistor R. 
 
8 – Circuito R-C Série - Como um capacitor se carrega ? 
Considere um circuito contendo um resistor R em série com um 
capacitor conectados a uma fonte de tensão  através de uma 
chave ch. Estando o capacitor inicialmente descarregado, fecha-se 
a chave do circuito. A partir desse momento vamos descrever o 
que ocorre na pequena fração de tempo que o capacitor leva para 
se carregar. 
Logo após fechar a chave, a bateria passa a retirar elétrons da 
placa a do capacitor e bombeá-los até a placa b, através do 
circuito externo. Ora, um fluxo de elétrons num certo sentido 
corresponde a uma corrente elétrica i no sentido contrário. 
Assim, durante o processo de carga do capacitor, haverá uma 
breve corrente elétrica i no circuito que perdura apenas durante o 
processo de carga do capacitor. 
 R
ch


C
a b
 elétrons
 
Observando o circuito abaixo, podemos escrever a seguinte 
equação dinâmica: 
 – 
C
q
 – R.i = 0 ou 
 
C
q
 + R.i =  
 
Essa relação é dita dinâmica, porque os seus termos variam com o 
passar do tempo. A carga q armazenada pelo capacitor, que era 
inicialmente nula (q = 0 em t = 0), vai aumentando 
gradativamente, ao passo que a corrente elétrica i vai diminuindo, 
visto que o termo  é constante. 

R
ch


C
a b
 i
i
i
 
No instante final t = tF , quando o capacitor atingir a sua carga final 
qF, a corrente elétrica no circuito terá se anulado (i = 0 em t = tF ). 
io
i2
q
f
t2
t2
t1
t1
i(A)
t(s)
t(s)
q(C)
i
1
q
1
q
2
 
Os gráficos descrevem o comportamento da corrente elétrica i e 
da carga elétrica q armazenada no capacitor, ao longo do tempo. 
Na maioria dos circuitos elétricos envolvendo capacitores, admite-
se que os mesmos já encontram-se plenamente carregados e, 
portanto, a corrente elétrica em todo o ramo do circuito que contém 
um capacitor é nula (i = 0). Estando plenamente carregado, o 
capacitor atua como uma chave aberta. 
 
9 – Associação de Dielétricos 
Nessa seção, estudaremos os casos especiais de associação de 
dielétricos através do estudo de três exemplos resolvidos: 
Exemplo Resolvido 1: Um capacitor a vácuo (ko = 1) é formado 
por um par de placas planas paralelas de área A cuja distância 
entre elas vale d. A sua capacitância inicial vale C. Admita que, em 
seguida, o meio entre as placas foi preenchido com um par de 
dielétricos de espessuras iguais a d/2, constantes dielétricas k1 e k2 
e áreas iguais à área A das placas do capacitor. Determine a 
nova capacitância do capacitor assim formado. 
 
K1
K2
 
Solução: 
A capacitância inicial do capacitor a vácuo (k = 1) é dada por: 
 C = 
d
A..k o = 
d
A..1 o  C =
d
A.o
 
O novo capacitor formado pode ser 
interpretado como uma associação em 
série de dois capacitores cuja distância 
entre as placas vale d/2: 
C1 = 

 
)2/d(
A..k o1
d
A..k .2 o1 
 
C2 = 

 
)2/d(
A..k o2
d
A..k .2 o2  
K1
K2
 
Calculando a capacitância equivalente em série, vem: 
 
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107 
21 C
1
C
1
 
Ceq
1
 =
A..k.2
d
o1 
+
A..k.2
d
o2 
= 








 21o k
1
k
1
.
A..2
d
 

Ceq
1







 
 21
21
o k. k
kk
.
A..2
d
  Ceq = 







 21
21
kk
k.k.2
d
A.o 
Entretanto, sendo C = 
d
A.o , temos: Ceq = 







 21
21
kk
k.k.2
.C 
 
Exemplo Resolvido 2: Um capacitor é formado por um par de 
placas planas paralelas de área A cuja distância entre elas vale 
d. O meio entre as placas é inicialmente preenchido com vácuo 
(ko = 1), situação em que a sua capacitância vale C. Admita que, 
em seguida, uma placa de metal de espessura b será inserida 
entre as placas do capacitor, paralelamente às mesmas, a uma 
distância qualquer entre as placas. Determine a nova 
capacitância do capacitor assim formado. 
 
d
 
 
metal bd
 
 
Solução: 
A capacitância inicial do capacitor a vácuo (k = 1) é dada por: 
 C = 
d
A..k o = 
d
A..1 o  C =
d
A.o 
Mais uma vez, podemos considerar o novo capacitor formado,após 
a introdução da placa metálica, como uma associação em série de 
vários capacitores. 
metalb
m
n
m
n
 
Note que a distância d entre as placas é tal que d = m + b + n. 
Adicionalmente, veja que na região preenchida com metal não 
haverá campo elétrico (não há campo elétrico no interior de um 
metal em equilíbrio eletrostático) nem ddp, podendo essa região 
ser ignorada. Assim, temos: 
Cm = 
m
A..k
 
distância
A..k oo 

, Cn = 
n
A..k
 
distância
A..k oo 

 
nm C
1
C
1
 
Ceq
1
 =
A..k
m
o
+
A..k
n
o
= 
A..k
nm
o

 
Lembrando que d = m + b + n  m + n = d  b, temos: 
Ceq
1
=
A..k
nm
o

= 
A..k
bd
o

  Ceq = 
)bd(
A..k o


 
Observando o resultado obtido acima vemos que, ao introduzir o 
metal de espessura b entre as placas, tudo se passa como se a 
as mesmas tivessem se aproximado em uma distância igual à 
espessura b do metal , de forma que a distância entre as placas 
passa de d para db . 
metal bd (d-b)
 
Exemplo Resolvido 3: Um capacitor a vácuo (ko = 1) é formado 
por um par de placas planas paralelas de área A cuja distância 
entre elas vale d. A sua capacitância inicial vale C. Admita que, em 
seguida, o meio entre as placas foi preenchido com um par de 
dielétricos de mesma espessura d, constantes dielétricas k1 e k2 e 
áreas iguais à metade área A das placas do capacitor. Determine 
a nova capacitância do capacitor assim formado. 
 
 
 
K1 K2
 
Solução: 
A capacitância inicial do capacitor a vácuo (k = 1) é dada por: 
 C = 
d
A..k o = 
d
A..1 o  C =
d
A.o 
O novo capacitor formado pode ser interpretado como uma 
associação em paralelo de dois capacitores cuja áreas das placas 
valem A/2: 
K1 K2 K1 K2
 
C1 = 

 
d
)2/A.(.k o1
d2
A..k o1  
C2 = 

 
d
)2/A.(.k o2
d2
A..k o1  
Calculando a capacitância equivalente em paralelo, vem: 
Ceq = C1 + C2 = 
d2
A..k o1  + 
d2
A..k o1  = 
d
A.
2
kk o21 





 
 
Entretanto, sendo C = 
d
A.o
, temos: Ceq = C.
2
kk 21





 
 
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108 
Pensando em Classe
Pensando em Classe
 
Questão 01 
No circuito a seguir, ao fechar-se a chave ch, a corrente i e a carga Q no capacitor variam no 
tempo de acordo com os gráficosabaixo: 
 
3F
16V48V
Rch
i
 
O prof Renato Brito pede para você 
determinar: 
a) O valor da resistência R 
b) A corrente inicial io 
c) a corrente i2 no instante t2 . 
d) A carga final qf 
io
3
i2
q
f
72
12
t2
t2
t1
t1
i(A)
t(s)
t(s)
q(C)
 
 
Questão 02 
No circuito abaixo, o capacitor C encontra-se inicialmente descarregado. Fechando-se a chave k, 
uma corrente elétrica percorrerá o circuito até que o capacitor seja plenamente carregado. 
Encerrado o processo de carga, nenhuma corrente elétrica percorrerá o circuito. Assim, o 
prof. Renato Brito pede para você determinar a corrente elétrica que estará percorrendo o circuito 
no momento em que a carga armazenada pelo capacitor for 1/4 da sua carga final. 
a) 
R2

 b) 
R3

 c) 
R6

 d) 
4R

 

C
R
2R
 
 
Questão 03 
Em cada um dos circuitos abaixo, determine as correntes em cada trecho do circuito e a carga 
armazenada no capacitor 
a) 
20V
2F
5
2
5
3
i1
i2
i3
6V
 
b) 
 
4V 3
40V
3
2 4
4F
3
 
 
 
 
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109 
 
Questão 04 
No circuito a seguir, determine a tensão e a carga armazenada em cada capacitor. 
2F 3F 4F
52 V3
 
 
Questão 05 
No circuito abaixo, determine: 
a) A corrente no circuito. 
b) A carga em cada capacitor 
c) A ddp Uab entre os pontos A e B 
12V
C
1
C
2
324V
A
B
5 12F4 F
 
 
 
Questão 06 
No circuito abaixo, o prof Renato Brito pede 
para você determinar: 
a) a) a carga em cada capacitor. 
b) a ddp Uab = VA – VB entre os pontos A e B. 
c) a energia armazenada no capacitor de 3F 
760V
B
A
4F
3F
12V
7 7
2F
 
 
 
 
Questão 07 
No circuito abaixo, os capacitores C1, C2 e C3 têm cargas elétricas respectivamente iguais a 5C, 
10C e 15C, com as polaridades indicadas na figura. Em seguida, a chave será fechada e o 
sistema rapidamente evoluirá para uma nova situação de equilíbrio. Determine: 
a) as cargas finais adquiridas por cada capacitor; 
b) a ddp final entre os terminais dos capacitores. 
ch
5uF
3
2uF 3uF
C1 C2 C3
 
 
 
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110 
Questão 08 
Seja um capacitor de capacitância C = 3F, composto por um par de placas quadradas de lado 
L, distanciadas entre si em uma distância D. O meio entre as placas é vácuo (k = 1). 
Se o prof Renato Brito duplicar o lado L das placas desse capacitor, reduzir a distância entre as 
placas à metade da distância inicial e preencher o meio entre as placas com o material isolante 
porcelana, de constante dielétrica k = 5, a capacitância passará a valer: 
a) 120 F b) 60 F c) 30 F d) 15 F e) 6 F 
 
 
Questão 09 
Um capacitor de capacitância C foi carregado até atingir uma carga Qo. Em seguida, foi 
conectado a um conjunto de resistores 6R, 2R e 3R em paralelo, como mostra a figura a seguir. 
Fechando-se a chave, o capacitor se descarrega através dos resistores, dissipando toda a sua 
energia armazenada em efeito joule através dos resistores. Determine a energia dissipada em 
cada resistor. 
6RC 3R
++ ++
-- --
Qo
2R
 
 
 
Questão 10 
Observando a figura abaixo, o capacitor é carregado com a chave do lado esquerdo fechada e a 
do lado direito aberta. Após o carregamento, a chave do lado esquerdo é aberta e, para lançar a 
energia acumulada no capacitor (desfibrilador) no paciente, a chave do lado direito é fechada. Uma 
bateria ou outra fonte de energia elétrica V carrega o banco de capacitores C quando a chave de 
carga é fechada. Quando os capacitores estão carregados, a chave de carga é aberta e a chave 
de descarga é fechada. O capacitor realiza uma rápida e intensa descarga da energia armazenada 
no peito do paciente. 
 
Usando o esquema mostrado, em uma determinada ocorrência, com o capacitor totalmente 
carregado, 800 J de energia foram suficientes para reanimar o paciente. Dessa forma, a 
quantidade de carga que ainda permaneceu no capacitor foi de 
a 0,1 C. b) 0,2 C . c) 0,4 C. d) 0,6 C. e) 0,8 C. 
 
 
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111 
Pensando em Casa
Pensando em Casa
 
Questão 01 
No circuito a seguir, ao fechar-se a chave ch, a corrente i e a carga 
Q no capacitor variam no tempo de acordo com os gráficos abaixo: 
io
4
i2
q
f
36
24
t2
t2
t1
t1
i(A)
t(s)
t(s)
q(C)
 
 
2F
10V34V
Rch
i
 
O prof Renato Brito pede para você determinar: 
a) O valor da resistência R 
b) A corrente inicial io 
c) a corrente i2 no instante t2 . 
d) A carga final qf 
 
Questão 02 
(UFC 2001) No circuito mostrado abaixo, o capacitor está 
inicialmente descarregado. A chave S é ligada e o capacitor 
começa a ser carregado pela bateria (de força eletromotriz igual a 
E) cuja resistência interna é desprezível. No instante em que a 
diferença de potencial no capacitor atingir o valor E / 3, a corrente 
no resistor R será : 
a) nula b) 
3R
E
 c) 
3R
2E
 d) 
R
E
3 e) 
2R
3E
 
E
C
R
 
Questão 03 
No circuito a seguir, a chave k encontra-se inicialmente aberta e o 
capacitor está descarregado. Fechando-se a chave o capacitor irá, 
gradativamente, se carregar até atingir a sua carga final QF . 
O prof Renato Brito pede para você determinar a carga 
armazenada no capacitor no instante em que a corrente i ainda 
vale 2A, bem como o valor da carga final QF. 
a) 24 C, 32 C 
b) 20 C, 36 C 
c) 24 C, 30 C 
d) 30 C, 36 C 
e) 30 C, 32 C 12 V
2
2
5F
3
i
 
 
Questão 04 
No circuito abaixo, a lâmpada L só permanece acesa se a chave 
Ch2 estiver fechada, independente do estado da chave Ch1. Isso 
acontece porque: 
Ch1
Ch2
C
R1
R2
L
 
a) As resistências impedem a passagem da corrente elétrica. 
b) O capacitor tem resistência nula, visto que suas placas são 
feitas de material condutor. 
c) A bateria é curto-circuitada pela chave Ch1 , o que justifica o 
comportamento da lâmpada. 
d) O capacitor carregado funciona como uma chave aberta, 
impedindo a passagem de corrente contínua pelo seu ramo no 
circuito. 
e) O capacitor carregado funciona como um curto-circuito, 
impedindo o acendimento da lâmpada ao fecharmos a chave 
Ch1. 
Questão 05 
No circuito abaixo, determine a carga armazenada no capacitor: 
40V
3
3
2
6F
 
Questão 06 
No circuito a seguir, determine: 
a) A corrente i1 . 
b) As correntes i2 e i3 . 
c) A carga armazenada no capacitor 
 
20 V
2F
5
2
5
3
i1
i2
i 3
 
 
 
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112 
Questão 07 
 No circuito ao lado, sabendo que a 
corrente no resistor de 3 vale 
i = 2A e que o capacitor encontra-se 
plenamente carregado, determine: 
a) A corrente i. 
b) A ddp U entre os terminais do 
capacitor 
c) A carga armazenada pelo 
capacitor. 
 
3F
22
5 3
2A

R
i
 
Questão 08 
No circuito abaixo, determine a carga do capacitor: 
2F
4 3
2
4
4 60V 
Questão 09 
(UFC 2002) Três capacitores idênticos, quando devidamente 
associados, podem apresentar uma capacitância equivalente 
máxima de 18 F. A menor capacitância equivalente que podemos 
obter com esses mesmos três capacitores é, em F: 
a) 8 b) 6 c) 4 d) 2 e) 1 
 
Questão 10 
Dados três capacitores iguais, de capacidade C cada um, vamos 
associá-los em série e depois em paralelo. Se aplicarmos uma ddp 
U na associação paralela, qual deve ser a ddp na associação em 
série para que ambas associações tenham a mesma carga elétrica: 
a) U / 9 b) U / 3 c) U d) 3U e) 9U 
 
Questão 11 
No circuito a seguir, determine a tensão e a carga armazenadaem 
cada capacitor. 
6F 3F 5F
42 V3 
Questão 12 
No circuito abaixo, determine: 
 
12V
12F 4F
C1 C2
5
736V
A
B
 
 
a) A corrente no circuito. 
b) A carga em cada capacitor 
c) A ddp Uab entre os pontos A e B 
 
Questão 13 
No circuito abaixo, determine a carga armazenada em cada 
capacitor: 
 
2F
4F
5
36V
3F
 
 
Questão 14 
No circuito abaixo, determine: 
 
760V
B
A
8F
4F
4F
12V
7 7
 
 
a) Determine a carga em cada capacitor. 
b) Determine a ddp Uab entre os pontos A e B. 
 
Questão 15 
Determine a carga armazenada em cada capacitor no circuito 
abaixo : 
32V
12F
3
40V5
6F
 
Questão 16 
Três capacitores iguais, C1, C2 e C3 estavam inicialmente 
descarregados e foram estão associados conforme o circuito 
abaixo: 
C1
C2 C3

 
Sendo Q1, Q2 e Q3 as suas respectivas cargas armazenadas, é 
correto afirmar que: 
a) Q1 = Q2 = Q3 b) Q1 = Q2  Q3 
c) 2.Q1 = Q2 + Q3 d) Q1 = Q2 + Q3 
e) Q1 = Q3  Q2 
 
 
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113 
Questão 17 
No esquema está representado um circuito com uma bateria e 
cinco capacitores idênticos. De acordo com as ligações do 
esquema, o capacitor que está com maior carga elétrica é o: 
a) C1 b) C2 c) C3 d) C4 e) C5 
 
C
1
C
2 C
3
C
4
C
5

 
Questão 18 
Na figura, apenas o capacitor de 5 F encontra-se inicialmente 
carregado com carga q = 30 C. Fechando-se a chave do circuito, 
o prof Renato Brito pede para você determinar: 
5uF
3
2uF 3uF
q
 
a) a carga final adquirida por cada capacitor; 
b) a ddp final entre as placas dos capacitores. 
c) a energia dissipada no resistor durante esse processo. 
Dica: veja questão 7 de classe. 
Questão 19 
Dois condensadores (capacitores) , C1 = 20 F e C2 = 30 F, são 
individualmente carregados através de duas baterias de 20 V e 
10 V, respectivamente. Em seguida, os capacitores são ligados 
entre si conforme cada um dos esquemas abaixo. Calcule a ddp 
final entre os pontos A e B: 
C1
C2
+ + ++
- - - -
A
B
C1
C2
+ +
- -
A
B
++
--
Montagem 1 Montagem 2 
 
a) Caso seja feita a montagem 1; 
b) Caso seja feita a montagem 2. 
Dica: veja questão 7 de classe. 
Questão 20 
(Mack-SP) No circuito representado a seguir, o gerador de força 
eletromotriz 10V é ideal e todos os capacitores estão inicialmente 
descarregados. Giramos inicialmente a chave ch para a posição (1) 
e esperamos até que o capacitor de 8F adquira carga máxima. A 
chave Ch é então girada para a posição (2). A nova diferença de 
potencial entre as armaduras do capacitor de 8F será igual a: 
a) 8 V 
b) 6 V 
c) 5 V 
d) 4 V 
e) zero. 
 
3 uFch
6 uF
10 V
8uF
1 2
 
Dica: veja questão 7 de classe. 
Questão 21 
Todo material condutor possui uma capacitância, podendo, assim, 
ser um capacitor. Considere duas esferas condutoras de raios 
diferentes, apoiadas sobre suportes isolantes e conectadas por um 
fio condutor fino, como mostra a figura. A capacitância da esfera A 
vale CA = 4 x10
12 F e a capacitância da esfera B é CB = 2 x 10
12 F. 
Uma carga total igual a Q = + 3,0 x 1011C está distribuída sobre as 
duas esferas, que se encontram conectadas por um fio de cobre. 
Esfera A
Esfera B
C
A
C
B
 
Nestas condições, as cargas nas esferas A e B são, 
respectivamente, 
a) QA = +1,5 x 10
11 C e QB = +1,5 x 10
11 C 
b) QA = +2,0 x 10
11 C e QB = +1,0 x 10
11 C 
c) QA = +1,0 x 10
11 C e QB = +2,0 x 10
11 C 
d) QA = +4,0 x 10
11 C e QB = -1,0 x 10
11 C 
 
Questão 22 
Seja um capacitor de capacitância C = 20F, composto por um 
par de placas quadradas de lado L, distanciadas entre si em uma 
distância D. O meio entre as placas é porcelana, cuja constante 
dielétrica vale k = 5. Se o prof Renato Brito retirar toda a 
porcelana da região entre as placas (deixando o vácuo), duplicar 
o lado L das placas desse capacitor, reduzir a distância entre as 
placas à 1/3 da distância inicial , a capacitância passará a valer: 
a) 48 F b) 16 F c) 80 F d) 15 F e) 60F 
Questão 23 
Seja Co a capacitância de um condensador a vácuo. Se a região 
entre as placas do capacitor for completamente preenchida por 
um isolante de constante dielétrica K, a capacitância do 
condensador passará a valer C, tal que: 
a) C = Co b) C = 
K
C o c) C = 
2
o
K
C
 d) C = K.Co 
Questão 24 
Dois condensadores iguais, a vácuo (k = 1) , estão associados em 
paralelo. A capacitância dessa associação é de 30 F. Supondo 
agora que esses condensadores sejam ligados em série e 
mergulhados num líquido dielétrico (isolante) de constante 
dielétrica k = 6, qual a capacitância final dessa nova associação ? 
 
 
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114 
Questão 25 
Um capacitor de armaduras planas e paralelas é carregado por 
uma bateria. Em seguida, a bateria é desligada e o espaço entre as 
armaduras é preenchida com um isolante. Com isso, pode-se 
afirmar que: 
a) a ddp entre as placas aumenta; 
b) a carga elétrica do capacitor aumenta 
c) a intensidade do campo elétrico entre as placas diminui 
d) a energia armazenada no capacitor aumenta 
e) a energia armazenada no capacitor não se altera. 
 
Questão 26 
Você sabia que, ao usar o teclado de um computador, na verdade 
você está pressionando plaquinhas de capacitores  ? O texto a 
seguir fala mais sobre essa interessante aplicação dos capacitores 
no nosso cotidiano: as chaves capacitivas. 
“Uma placa metálica ligada a cada tecla atua como a placa 
superior de um capacitor (veja figura). Quando a tecla é 
pressionada, a distância entre as suas placas é reduzida, 
aumentando-se a capacitância do capacitor. O circuito do 
computador é, então, disparado para registrar e processar o sinal.”
 
 Fonte: Paul Tipler – Física – 4ª edição- Editora LTC 
 
 
Admita que um desses capacitores esteja permanentemente ligado 
a uma bateria de 12 V e que, quando a sua respectiva tecla é 
pressionada, a distância d entre suas placas diminua 20%. Isso 
implica que: 
a) a carga armazenada nesse capacitor aumenta 25 %; 
b) o campo elétrico entre as placas desse capacitor aumenta 
80 %; 
c) a capacitância desse capacitor aumenta 60 %; 
d) a energia armazenada nesse capacitor aumenta 40 %; 
e) a ddp entre os terminais desse capacitor diminui 25 %. 
 
Questão 27 
Um capacitor de capacitância C foi carregado até atingir uma carga 
Qo. Em seguida, foi conectado a um conjunto de resistores RA, RB e 
RC em série, como mostra a figura a seguir. Fechando-se a chave, 
o capacitor se descarrega através dos resistores, dissipando toda a 
sua energia armazenada em efeito joule através dos resistores. 
Determine a energia dissipada em cada resistor. 
RA
RBC
RC
++ ++
-- --
Qo
 
Questão 28 (Unicamp 2014) 
O sistema de imagens street view disponível na internet permite a 
visualização de vários lugares do mundo através de fotografias de 
alta definição, tomadas em 360 graus, no nível da rua. 
a) Em uma câmera fotográfica tradicional, como a representada na 
figura abaixo, a imagem é gravada em um filme fotográfico para 
posterior revelação. A posição da lente é ajustada de modo a 
produzir a imagem no filme colocado na parte posterior da 
câmera. Considere uma câmera para a qual um objeto muito 
distante fornece uma imagem pontual no filme em uma posição 
p’ = 5 cm. O objeto é então colocado mais perto da câmera, em 
uma posição p = 100 cm, e a distância entre a lente e o filme é 
ajustada até que uma imagem nítida real invertida se forme no 
filme, conforme mostra a figura. Obtenha a variação da posição 
da imagem p’ decorrente da troca de posição do objeto. 
 
 
b) Nas câmeras fotográficas modernas, a captação da imagem é 
feita normalmente por um sensor tipo CCD (ChargeCouple 
Devide). Esse tipo de dispositivo possui trilhas de capacitores 
que acumulam cargas elétricas proporcionalmente à intensidade 
da luz incidente em cada parte da trilha. Considere um conjunto 
de 3 capacitores de mesma capacitância C = 0,6 pF, ligados em 
série conforme a figura ao lado. Se o conjunto de capacitores é 
submetido a uma diferença de potencial V = 5,0 V, qual é a 
carga elétrica total acumulada no conjunto? 
 
 
Questão 29 – (Medicina Christus) 
Observando a figura abaixo, o capacitor é carregado com a chave 
do lado esquerdo fechada e a do lado direito aberta. Após o 
carregamento, a chave do lado esquerdo é aberta e, para lançar a 
energia acumulada no capacitor (desfibrilador) no paciente, a 
chave do lado direito é fechada. Uma bateria ou outra fonte de 
energia elétrica V carrega o banco de capacitores C quando a 
chave de carga é fechada. Quando os capacitores estão 
carregados, a chave de carga é aberta e a chave de descarga é 
fechada. O capacitor realiza uma rápida e intensa descarga da 
energia armazenada no peito do paciente. 
 
 
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Usando o esquema mostrado, em uma determinada ocorrência, 
com o capacitor totalmente carregado, 500 J de energia foram 
suficientes para reanimar o paciente. Dessa forma, a quantidade 
de carga que ainda permaneceu no capacitor foi de 
a 0,2 C. b) 0,4 C . c) 0,5 C. d) 0,6 C. e) 0,8 C. 
 
Questão 30 – Medicina Christus 2013 
Numa determinada situação de emergência, um condensador é 
carregado a uma diferença de potencial de cerca de 
5.000 volts. O capacitor é então totalmente descarregado em 
alguns milésimos de segundo no peito do enfermo a ser 
reanimado. Sabendo que a capacitância do condensador vale 
20 F, a energia (em joules) liberada nessa descarga elétrica 
estará no intervalo entre: 
a) 93 – 160. 
b) 126 – 170. 
c) 144 – 194. 
d) 155 – 180. 
e) 194 – 253. 
Questão 31 
O circuito da figura é constituído por um condensador de 10F, 
eletrizado com 400 C , um resistor de 10 e uma chave aberta. A 
chave ch é fechada e, logo após, é aberta. Nesse intervalo de 
tempo, a energia dissipada em calor no resistor é de 6.103 J. 
A carga que restará no capacitor será: 
a) 50 C 
b) 100 C 
c) 150 C 
d) 200 C 
e) 250 C 
 
C = 10F
+ +
- - 10
ch
 
Hora de Revisar
Hora de Revisar
 
Questão 01 
Observa-se que um bloco, de massa m, desliza para baixo, com 
velocidade constante, quando abandonado em um plano inclinado 
cujo ângulo de inclinação é . A força de atrito cinético que o plano 
exerce no bloco vale: 
a) zero b) mg c) mg sen  d) mg tg  e) mg cos  
Questão 02 
Suponha que o mesmo bloco da questão anterior fosse lançado, 
para cima, ao longo do mesmo plano inclinado. O valor da 
aceleração do bloco, neste movimento, seria: 
a) zero b) g c) g sen  d) 2g sen  
Questão 03 
Um bloco está em repouso sobre um plano inclinado (veja figura) , 
Se o coeficiente de atrito estático entre o bloco e o plano é 
e = 0,70 e o peso do bloco é p = 100 N, a força de atrito no bloco 
vale: 
 
a) 70 N b) 60 N c) 100 N d) 50 N e) 110 N 
 
Questão 04 
Se O bloco da questão anterior estiver subindo o plano em 
velocidade constante, puxado por uma força F paralela ao plano, 
concluímos que o módulo de F deverá ser (considere c = 0,50): 
a) 50 N b) 100 N c) 60 N d) 93 N e) 43 N 
Questão 05 
Duas esferas, A e B, de materiais diferentes e de mesmo volume, 
ligadas entre si por um fio fino e inextensível de massa desprezível, 
flutuam em água (densidade igual a 1g/cm3) como indicado na 
figura. Sabendo-se que a tensão de ruptura do fio é de 0,1N , e 
que a densidade da esfera A é 0,8 g/cm3, podemos afirmar que o 
volume máximo que as esferas podem ter para que o fio não 
quebre vale: 
a) 30 cm3. 
b) 10 cm3. 
c) 50 cm3. 
d) 40 cm3. 
e) 20 cm3. 
 
 
 
Questão 06 
Um garoto, que se encontra em repouso, faz girar, com velocidade 
constante, uma pedra de massa m presa a um fio ideal. 
Descrevendo uma trajetória circular de raio R num plano vertical, 
essa pedra dá diversas voltas, até que, em um dado instante, o fio 
arrebenta e ela é lançada horizontalmente, conforme ilustra a figura 
a seguir. 
 
Sujeita apenas à aceleração da gravidade g, a pedra passou, 
então, a descrever uma trajetória parabólica, percorrendo uma 
distância horizontal x equivalente a 4R. 
A tração experimentada pelo fio toda vez que a pedra passava pelo 
ponto onde ele se rompeu era igual a 
a) mg b) 2 mg c) 3 mg d) 4 mg 
 
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Questão 07 
Uma criança se balança em um balanço, como representado 
esquematicamente na figura a seguir. Assinale a alternativa que 
melhor representa a aceleração a da criança no instante em que 
ela passa pelo ponto mais baixo de sua trajetória. 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
 
 
Questão 08 
Para facilitar a movimentação vertical de motores pesados em sua 
oficina, um mecânico montou a associação de roldanas mostrada 
de forma simplificada na figura. 
Todos os fios, roldanas, os ganchos 1 e 2 e a haste horizontal têm 
massas desprezíveis. Um motor de peso P será pendurado no 
gancho 1 e um contrapeso, de peso P / 5, é permanentemente 
mantido na posição indicada na montagem. 
O motor permanecerá em repouso, sem contato com o solo, se no 
gancho 2, preso no contrapeso, for pendurado outro corpo de peso: 
a) 
P
2
 
b) 
P
4
 
c) 
P
8
 
d) 
P
10
 
e) 
P
20
. 
 
 
 
 
Questão 09 
Uma esfera de raio = 0,500 m, com distribuição homogênea de 
massa flutua com 3/4
 
de seu volume submerso em água, conforme 
ilustração seguinte. 
 
A massa da esfera, em kg, e igual a 
a) 750 
b) 500 
c) 250 
d) 125 
 
Questão 10 
Um aluno de engenharia pretende determinar a densidade de um 
corpo maciço e realiza uma experiência que consiste, inicialmente, 
em suspender o corpo, em uma das extremidades de uma balança 
de braços iguais, com uma massa de 100 gramas, conforme figura 
1. A seguir ele coloca o corpo dentro de uma vasilha com água, 
cuja densidade é de 1,0 g/cm3, e a equilibra com uma massa de 
60 gramas (figura 2). O valor encontrado da densidade do corpo, 
em g/cm3, é igual a 
 
a) 8,75. b) 7,50. c) 6,75 d) 3,50. e) 2,50. 
 
Questão 11 - UFJF 2011 
O olho mágico é um dispositivo óptico de segurança residencial 
constituído simplesmente de uma lente esférica. Quando um 
visitante está a 0,5 m da porta, esse dispositivo óptico forma, para 
o observador, no interior da residência, uma imagem três vezes 
menor e direita do rosto do visitante. É correto afirmar que a 
distância focal e o tipo da lente que constituem o olho mágico são, 
respectivamente: 
a) 0,5 m, divergente. 
b) 0,25 m, divergente. 
c) +0,25 m, convergente. 
d) +0,5 m, convergente. 
e) 0,25 m, convergente. 
 
Questão 12 - UFPR 2012 
Um perito munido de uma lupa analisa uma impressão digital. Sua 
lupa é constituída por uma lente convergente com distância focal 
de 10 cm. Ao utilizá-la, ele vê a imagem virtual da impressão digital 
aumentada de 10 vezes em relação ao tamanho real. Com base 
nesses dados, assinale a alternativa correta para a distância que 
separa a lupa da impressão digital. 
a) 9,0 cm. 
b) 20,0 cm. 
c) 10,0 cm. 
d) 15,0 cm. 
e) 5,0 cm. 
 
Questão 13 
Um aluno possui hipermetropia e só consegue ler se o texto estiver 
a pelo menos 1,5 m de distância. Qual deve ser a distância focal da 
lente corretiva para que ele possa ler se o texto for colocado a 
25 cm de seus olhos? 
a) 10 cm 
b) 20 cm 
c) 30 cm