Noções Básicas de Geometria

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Levantar uma perpendicular no meio de uma reta
NOçÕES BÁSICAS DE GEOMETRIA
03
AB, reta dada. Com ponta seca em A traçar dois arcos acima e abaixo da 
reta. Em seguida, com ponta seca em B, traçar outros dois arcos que 
cortem os primeitos nos pontos C e D. Por estes pontos, passa a 
perpendicular pedida.
Levantar uma perpendicular por um ponto qualquer de uma reta
AB, reta dada. Ponto X. Com ponta seca em X marcar os pontos C e D. 
Depois , com ponta seca em C e D, respectivamente, traçar dois arcos 
que se cruzem no ponto E. A reta que une E com X é a perpendicular 
pedida.
Por um ponto Y dado, fora da reta, fazer passar uma perpendicular
AB, reta dada. Y ponto fora da reta. Com ponta seca em Y, traçar dois 
arcos que cortem a reta nos pontos C e D. Em seguida com ponta seca 
em C e depois em D, traçar dois arcos abaixo da reta AB, que se 
cruzem no ponto E.
A reta que une o ponto E com o ponto Y é a perpendicular procurada.
Levantar uma perpendicular na extremidade de uma reta
AB, reta dada. Com ponta seca em A, e qualquer abertura do compasso traçar o arco 
CD. Continuando com a mesma abertura do compasso e ponta seca em D, traçar o 
arco E. Com ponta seca em E (e mesma abertura de compasso) traçar o arco F. 
Ainda com mesma abertura do compasso e ponta seca em E e depois em F, traçar 
dois arcos acima que se cruzem no ponto G. A linha que une o ponto C ao ponto A é a 
perpendicular procurada
04
Traçar a bissetriz de uma ângulo qualquer
ABC, ângulo dado. Com abertura qualquer do compasso e ponta seca 
no vértice do angulo dado, traçar um arco que corte seus dois lados 
nos pontos E e F. Depois, com ponta seca em E e depois em F, traçar 
outros dois arcos que se cruzem no ponto G. 
A linha que liga o vértice B do angulo com o ponto G é a bissetriz.
Traçar duas parelelas a uma distância dada
AB, primeira paralela. Z, dstancia dada. Em dois locais quaisquer, 
próximos das extremidades da semi-reta AB, levantar duas 
perpendiculares C e D. Depois, com abertura de compasso igual a Z e 
ponta seca em C, marcar E. Com ponta seca D marcar F. A linha que liga E 
com F é paralela a AB.
05
Dividir o ângulo em três partes iguais
ABC, angulo dado. X, vértice do angulo. Centrar em X e com uma 
abertura qualquer do compasso traçar o arco DE. Em seguida, com a 
mesma abertura, centrar em E e traçar um arco marcando o ponto G. 
Centrar em D com mesma abertura e marcar o ponto H. Ligando X com G 
e X com 11 o ângulo reto fica dividido em três partes iguais.
06
Divisão da circunferência em três partes iguais
1) trace a linha inicial e desenho o diêmetro desejado marcando os pontos A e B
2) com abertura de compasso igual a A.B (ou qualquer abertura) com ponta seca em A, marcar 
metade dos X acima e abaixo da circunferência.
3) com mesma abertura de compasso e ponta seca em B, completar os X acima e abaixo a 
circunferência marcando os pontos Y e Z.
4) com uma régua trace a perpendicular YZ marcando o ponto C (que será também o ponto 1) 
marque tambpem D e o ponto 0 da circunferència (centro da circunferência).
5) com abertura de compasso igual a D.0 e ponta seca em D, girar o compasso para direita e depois 
para esquerda marcando os pontos 2 e 3 (os pontos 1, 2 e 3 é o que procuramos).
- OBS: ospontos 1, 2, 3 estão a 120º um do outro pois 360 = 3 x 120.
DIVISÃO DA CIRCUNFERÊNCIA E PARTES IGUAIS
07
Divisão da circunferência em quatro partes iguais
1) trace a linha inicial e desenhe o diâmetro desejado marcando os pontos A e B (que serão 
também os pontos 2 e 4)
2) com abertura de compasso igual à AB (ou qualquer abertura) com ponta seca em A, marcar 
metade dos X acima e abaixo da circunferência.
3) com mesma abertura de compasso e ponta seca em B, completar os X acima e abaixo da 
circunferência marcando os pontos Y e Z.
4) com uma régua, trace a perpendicular YZ, marcando também os pontos C e D (que seráo 
também os pontos 1 e 3) (os pontos 1, 2, 3 e 4 são o que procuramos)
- OBS: os pontos 1, 2, 3, 4 estão à 90º um do outro pois 360 = 4 X 90º
08
Divisão de circunferência em cinco partes iguais
1) trace a linha inicial e desehe o diâmetro desejado marcando os pontos A e B
2) com abertura de compasso iaugl à AB (ou qualquer abertura) com ponta seca em A, marcar 
metade dos X acima e abaixo da circunferência.
3) com a mesma abertura de compasso e ponta seca em B, completar os X acima e abaixo da 
circunferência marcando os pontos Y e Z.
4) com uma régua ligando os pontos Y e Z, trace a perpendicular YD marcando o ponto C (que será 
também o ponto1)
5) com qualquer abertura de compasso e ponta seca em D, e depois em B, trace outros dois X 
acima e abaixo da linha inicial, ligando esses dois X, marque na linha inicial o ponto E.
6) com abertura de compasso igual à EC e ponta seca em E, trace o arco DF, com uma régua, trace 
a linha tracejada CF.
7) com abertura de compasso igual à linha tracejada e ponta seca em C (1) gire o compasso para 
direita e para esquerda marcando os pontos 2 e 5 com mesma abertura de compasse e ponta seca 
em 2, marcar o ponto 3 com ponta seca em 5, marcar o ponto 4.
- OBS: os pontos 1, 2, 3, 4, 5 são o que procuramos.
09
Divisão de circunferência em seis partes iguais
1) trace a linha inicial e desenhe o diâmetro desejado marcando os pontos 
A e B (que serão também os pontos 1 e 4)
2) com mesma abertura de compasso que traçou o diâmetro e ponta seca 
no ponto 1, girar para cima e para baixo e marque os pontos 2 e 6, com a 
mesma abertura e ponta seca em 4, girar para cima e para baixo 
marcando os pontos 3 e 5.
-OBS: os pontos 1, 2, 3, 4, 5, 6, estão a 60º um do outro, pois 360 = 6 X 60
10
Divisão de circunferência em sete partes iguais
1) trace a linha inicial e desenhe o diâmetro desejado, marcando os pontos A e B (o ponto A será 
também o ponto 1)
2) com abertura de compasso igual à AB (ou qualquer outra abertura) com ponta seca em A, 
marcar metade dos X acima e abaixo da circunferência.
3) com mesma abertura de compasso e ponta seca em B, complear os X acima e abaixo da 
circunferência marcando os pontos Y e Z.
4) com uma régua, trace a perpendicular YZ marcando os pontos C e D, marque também o ponto 0 
(centro da circunferência)
5) com abertura de compasso igual a D0, com ponta seca em D, girar o compasso para a direita e 
para esquerda, marcando os pontos E e F.
6) com uma régua, trace a linha racejada que liga os pontos E e F marcando o ponto G
7) com abertura de compasso igual à GF, comece com ponta seca no ponto 1 e faça a sequencia 
dos pontos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 que são o equivalente ao que procuramos.
11
Divisão de circunferência em oito partes iguais
1) Trace a linha inicial e desenhe o diâmetro desejado marcando os pontos AeB( que serão
também os pontos Ie5 )
2) com abertura de compasso igual à AB (ou qualquer abertura) com ponta seca em A
marcar metade dos X acima e abaixo da circunferência
3) com mesma abertura de compasso e ponta seca em B completar os X acima e abaixo da
circunferência marcando os pontos Y e Z
4) com uma régua trace a perpendicular YZ marcando os pontos C e D (que serão também
os pontos 7e3) marque também o ponto O (centro da circunferência)
5) com qualquer abertura de compasso e ponta seca no ponto l em seguida no ponto 3 criar
o ponto E com uma régua ligar o ponto E ao ponto O marcando os pontos 2e6
6) com mesma abertura de compasso e ponta seca em 3 e depois em 5 criar o ponto F com
uma régua ligar o ponto F ao ponto O marcando os pontos 4e8 (encontramos o que
Procurávamos) 
Obs: os pontos 1,2,3,4,5,6,7,8 estão à 45° um do outro pois 360° = 8 x 45°
12
l) Trace a linha inicial e desenhe o diâmetro desejado marcando os pontos AeB(que serão também 
os pontos l e?)
2) com abertura de compasso igual à AB (ou qualquer abertura) com ponta seca em A .narcar 
metade dos X acima e abaixo da circunferência
3) com mesma abertura de compasso e ponta seca em B completar os X acima e abaixoda 
circunferência marcando os pontos Y e Z
4) com uma régua trace a perpendicular Y.Z marcando o ponto CeD (que serão também os pontos 
l Oe4)marque também o ponto o( centro da circunferência) : )com abertura de compasso igual à 
1.0 e ponta em l girar para cima e para baixo marcando os pontos 3el l com ponta seca em 4 girar e 
marcar os pontos 2e6 com ponta -,eca em 7 girar e marcar os pontos 5e9 com ponta seca em 10 
girar e marcar os pontos 8el2 Os pontos 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 éo que procuramos Gbs:os 
pontos 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 estão á 30° um do outro pcis 360°= 12 x 30°
Divisão de circunferência em doze partes iguais
13
PLANIFICAçÃO
As figuras 31, 32 e 33 mostram o desenvolvimento lateral de um cilindro, que é um retângulo, cujo 
comprimento é igual ao diâmetro médio encontrado, multiplicado por 3,142. Em planificação de 
chapas, tanto em funilaria industrial como em caldeiraria, deve-se sempre usar o diâmetro médio, 
indicado aqui pelas letras DM. Método para se encontrar o DM. Se o diâmetro indicado no desenho 
for interno, acrescenta-se uma vez a espessura do material e multiplica-se por 3,142. 1° exemplo: 
Diâmetro indicado no desenho 120mm interno; espessura do material, 3mm. 120 + 3 = 123. O 
número 123 é o DM encontrado e é ele que deve ser multiplicado por 3,142. 2° exemplo: O 
diâmetro indicado no desenho é 120mm externo: subtrai-se uma vez a espessura do material. 
Assim, 120 - 3 = 117. O número 117 é o DM encontrado e é ele que deve ser multiplicado por 3,142. 
Obs.: Em chapada é costume usar-se apenas o número 3,14 ao invés de 3,142. Entretanto, se 
acrescentarmos 0,0004 (quatro décimos milésimos) ao 3,1416 obteremos o número 3,142 que dá 
uma melhor precisão ao diâmetro da peça que será confeccionada.
Para confirmar seguem-se dois exemplos:
1° 120X3,14 = 376.
2° 120X3,142 = 377.
Verifica-se assim que obtivemos uma melhor 
aproximação.
Desenvolvimento lateral de um cilindro
14
Muitas vezes, a chapa em que se está traçando a peça é pequena, sendo suficiente apenas para 
fazer o desenvolvimento não tendo espaço para se traçar a vista de elevação do cilindro. Neste 
caso, utiliza-se o provesso 3 que consiste em se traçar a vista de elevação (fig 38) em qualquer 
pedaço de chapa (em separado) com todos os detalhes já indicados nas figuras anteriores. 
Depois traça-se a linha AB na chapa em que se está traçando a peça. Dividi-se em partes iguais e 
levanta-se perpendiculares. Então, abre-se o compasso com a abertura igual a 1A (fig 39). Volta-se 
ao perfil e pega-se a medida 2B passando-a para o desenvolvimento. Pega-se a medida 3C 
transportando-a também. E assim por diante, sempre marcando as medidas à esquerda e à direita 
da linha de centro 7G da fig 39.
15
30º
3”
1
7
0
As figuras 44 e 45 que representam o cotovelo de 90º, não precisam também de maiores 
explicações. Basta que se desenvolvam 2 tubos de 45º, como já foi explicado anteriormente, e 
solde-se um no outro.
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Traçando-se uma semi-circunferência (a) da (Fig A 
e A’) do tubo menor e dividindo em seis partes 
iguais.
Projetando os pontos sobre a (Fig B’) e estes 
pontos projetando no sentido horizontal, para se 
cruzarem com o ponto da (Fig B) assim 
determinamnos a entrada do tubo menor no maior.
Para traçar o desenvolvimento da (fig B”), marcar 
sobre uma reta os pontos tomados da (Fig A) e 
projetá-lo no sentido horizontal conforme mostra na 
(Fig B”) para determinarmos o futo da (fig B) do tu-
bo maior. Para traçar o 
desenvolvimento da (Fig A) 
tubo menormarcar sob uma 
reta 12 partes iguais.
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O resultado desta operação, pegar com o compasso e marcar sobre a reta e projetar os pontos 
perpendiculares e tomar as distancias com o compasso da (fig A) e marcar sobre as retas 
perpendiculares os pontos correspondentes como na (fig A”)
Boca de Lobo inclinada - Qualquer ângulo
Para traçarmos uma boca de lobo, primeiro temos que determinar a intersecção dos tubos, para 
isto temos que traçar uma semi-circunferência, conforme mostra na peça -A, e um quarto (1/4) da 
circunferência da peça A, abaixo da extremidade da peça B na (fig Z) e dividir em seis partes iguais 
a semi-circunferência que determinamos os pontos 0 a 6; projetamos estes pontos perpendicular 
com a linha do centro que vão se cruzar com os pontos 1’ - 2’ - 3’ , que estão projetados 
horizontalmente na extremidade do tubo assim determinamos a intersecção dos tubos e os pontos 
1” - 2” - 3” - 4”. Para desenvolver o furo formado na peça B, projetamos estes pontos 
perpendiculares com a linha de centro de (fig W) e tomando a distancia de 0 a 1’ da (fig Z) com o 
centro na linha de centro da (fig W) sobre a projetante 3”, marcamos para cima e para baixo a 
proceder igualmente para os demais pontos 1’ - 2’ e 3” - 3’. Depois é só ligar os pontos 
correspondentes com as retas horizontais. Assim determinamos o furo conforme mostra a (fig 
W).Para traçarmos o desenvolvimento da peça - A, traçamos uma reta horizontal e marcamos 
sobre ela doze vãos igualmente espaçados, e levantamos retas perpendiculares a cada ponto e 
tomando a distancia da linha de centro da peça - A na (fig Z) os pontos 1” - 2” - 3” - 4”.
19
Metade do tubo
Furo no tubo
45º
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B
B
Z
Tubo “Calça” com as bases (bocas) superiores inclinadas a 45º
O desenvolvimento da parte superior desta peça pode ser feito do mesmo modo que o anterior.A 
parte inferior desenvolve-se como foi explicado nas figuras 49 e 50
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0
3”
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Curva de gomo com um gomo inteiro e dois semigomos
Processo para se achar com o compasso o semigomo:
Centra-se em A e traça-se um arco. Centra-se em B e traça-se outro 
arco de modo que corte o primeiro no ponto 54º, dividendo-se a curva 
em duas partes iguais. Depois, dividi-se cada uma destas partes em 
outras duas partes iguais, marcando os pontos.
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4”
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Quadrado para redondo concêntrico
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D1
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Desenha-se a vista de planta (Fig. 140) e divide-se a boca redonda em partes iguais, as quais 
serão ligadas aos cantos da parte quadrada. Para se achar a verdadeira grandeza da peça, 
desenha-se a altura norma! da peça (Fíg. 142) e depois abre-se o compasso com medida A1 (Fig. 
140), centra-se em E (Fig. 142) e marca-se um ponto que será ligado ao ponto F. Volta-se à Fig. 
140, pega-se a medida A', a qual também é transportada para a Fig. 142.
Sendo a peça concêntrica, as linhas 2 e 3 (Fig. 140) têm a mesma dimensão, como também as 
linhas 1 e 4 são iguais. Deve-se transportar também o deslocamento da peça indicado na planta 
com a letra D e na Fig. 142 com a letra D' . Para se fazer o desenvolvimento (Fig. 143) traça-se a 
linha de centro G1. Abre-se então o compasso com medida AH (Fig. MO), centra-se no ponto G 
(Fig. 143) e marcam-se os pontos l e J. Vai-se à Fig. 142, pega-se a medida 1F, passa-se para a 
Fig. 143, centra-se em l e depois em J e traçam-se dois arcos que se cruzem na linha de centro, 
marcando o ponto 1. Abre-se o compasso com medida 1-2 (Fig. 140), centra-se no ponto 1 da Fig. 
143 e traçam-se dois arcos. Pega-se a medida 2F da Fig. 142, centra-se em l e J da Fig. 143 e 
traçam-se outros dois arcos que cruzem com os anteriores, marcando os pontos 2. E assim por 
diante, até o fina! da peça, quando, por último, se deverá usar a medida AK e D1 para concluir a 
peça.
Quadrado para redondo Excêntrico
23
Como nas figuras anteriores, as distâncias D-1-2-3-4 são extraidas da 
vista de planta e transportadas para as linhas inferiores das figuras 185 e 
186 e dai projetadas aos pontos X e Y. A unica diferença é que a medida 
da linha de deslicamento (linha D) da parte que está a 90º com as horas, é 
a própria altura da peça.
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7
0
7
0
1
5
5
200
2
10
Desenvolvimento de Cone
Traça-se a vista de elevação do 
cone e em sua base o arco 1-7, o 
qual divide-se em partes iguais. 
Ao lado, com o mesmo com-
primento de A7, traça-se a reta 
B1 de modo quecruze a linha de 
centro (LC) logo acima de A. 
Centra-se em B e com abertura 
igual a B1 traça-se o arco 1-1c, 
Abre-se o compasso igual a uma 
das divisões feitas no arco 1-7 e 
marcam-se estas divisões no 
Obs.: A marcação com o compasso 
pode causar diferença ao comprimento 
da peça desenvolvida, daí ser 
necessário sempre multiplicar o 
diâmetro médio da base por 3,14, para 
conferir o Desenvolvimento.
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Traçado de Tronco de Cone
Traça-se a vista de elevação ABCD. Na base maior traça-se o arco 1-
9, o qual divide-se em partes iguais 1-2-3-4-5-6-7-8-9.
Prolongam-se as linhas AC e BD de modo que se cruzem, marcando o 
vértice S. Abre-se o compasso com medida igual a SA e traça-se o 
arco maior. Com mesmo centro e medida igual a SC, traça-se o arco 
menor. A seguir, com abertura de compasso igual a uma das divisões 
do arco 1-9, marcam-se a partir da linha de centro, metade para cada 
lado (1-2-3-4-5-6-7-8-9) no arco maior, determinando os pontos 9 e 
9e. Liga-se o ponto 9 ao vértice S, marcando o ponto F no arco menor. 
Liga-se o ponto 9e ao vértice S, marcando o ponto
G no arco menor, completando a figura.
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Redução Excêntrica
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Traça-se a vista de planta (Fig. 93) e dividem-se ambas as bocas em partes iguais. Liga-se 1 a 2; 2 
a 3; 3 a 4 4 a 5; 5 a 6, etc, formando as linhas de triangulação. Para se obter a verdadeira grandeza 
da peça, traça-se a linha ABC (Fig. 95), sendo a altura desejada marcada de B até A. A seguir, abre-
se o compasso com medida igual a 1-2 (da Fig. 93), centra-se em B da Fig. 95 e marca-se o ponto 1 
o qual deve ser ligado ao ponto A. Volta-se à Fig. 93, abre-se o compasso com medida igual a 2-3, 
passa-se para a Fig. 95, centra-se em B e marca-se o ponto 2, elevando-o também ao ponto A. E 
assim sucessivamente, vão-se transportando todas as medidas. Para traçar o desenvolvimento 
traça-se uma linha vertical e abre-se o compasso com medida 1A (Fig. 95) e marca-se na Fig. 96, 
determinando os pontos 1 e 2. Abre-se o compasso com medida igual a uma das divisões da boca 
maior, centra-se no ponto 1 da Fig. 96 e traça-se um pequeno arco. Passa-se para a Fig. 95, abre-
se o compasso com medida igual a 2A, centra-se no ponto 2 da Fig. 96 e traça-se outro arco, 
marcando o ponto 3, o qual liga-se ao ponto 2 através da linha pontilhada. Volta-se à Fig. 95, pega-
se uma das divisões da boca menor, centra-se no ponto 2 da Fig. 96 e traça-se um pequeno arco. 
Volta-se à Fig. 95, pega-se a distancia 3A, centra-se no ponto 3 da Fig. 96, e traça-se outro arco, 
marcando o ponto 4. E assim vai-se traçando o desenvolvimento. De preferência, para esse tipo de 
traçado deve-se usar três compassos do seguinte modo: um deles fica aberto com medida igual a 
uma das divisões da boca menor. O outro com medida igual a uma das divisões da boca maior. O 
terceiro compasso é o que vai variar as aberturas no transporte das medidas, da Fig. 95 para
a Fig. 96.
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Créditos: