Geometria-Euclidiana-Plana-Resolvido

Geometria Euclidiana Plana Resolvido por Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista/BA
Livro: Geometria Euclidiana Plana - SBM
(Joa˜o Lucas Marques Barbosa)
nibblediego@gmail.com
Compilado dia 29/10/2017
O livro do Joa˜o Lucas de Geometria Euclidiana Plana a-
presenta uma Geometria que quase beira a inutilidade. Publi-
cado inicialmente em 1995 vem sendo usado ate´ hoje, quase 20
anos depois, em cursos de matema´tica por pessoas que falharam
miseravelmente na vida com a tarefa de serem bons professores.
O documento a seguir traz algumas respostas dessa obra,
embora ainda na˜o esteja completo devido a´ falta de tempo. Pode
haver tambe´m uma ou outra passagem obscura, ou mesmo va´rios
erros de portugueˆs e codificac¸a˜o. Assim, se o leitor identificar
algum problema desse tipo, uma virgula errada que seja, sinta-se
a´ vontade para avisar-me por e-mail. Caso deseje ajudar ainda
mais pode enviar-me as respostas dos exerc´ıcios que ainda faltam.
O que certamente agilizaria a finalizac¸a˜o desse soluciona´rio.
Para obter as atualizac¸o˜es desse documento e ter acesso a outros exerc´ıcios resolvidos ascese:
www.number.890m.com
1
Suma´rio
1 OS AXIOMAS DE INCIDEˆNCIA E ORDEM 3
1.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 AXIOMAS SOBRE MEDIC¸A˜O DE SEGMENTOS 12
2.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3 AXIOMAS SOBRE MEDIC¸A˜O DE AˆNGULOS 22
3.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
4 CONGRUEˆNCIA 38
4.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
5 O TEOREMA DO AˆNGULO EXTERNO E SUAS CONSEQUEˆNCIAS 46
5.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
6 O AXIOMA DAS PARALELAS 52
6.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
6.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
7 SEMELHANC¸A DE TRIAˆNGULO 59
7.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
8 O CI´RCULO 60
8.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
8.2 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
9 FUNC¸E˜S TRIGONOME´TRICAS 77
9.1 Exerc´ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
10 A´REA 82
10.1 Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
11 AGRADECIMENTOS: 85
Geometria Euclidiana Plana Resolvido por Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista/BA
1 OS AXIOMAS DE INCIDEˆNCIA E ORDEM
1.1 Exerc´ıcios
1. Sobre uma reta marque quatro pontos A, B, C e D, em ordem, da esquerda para a direita.
Determine:
a) AB∪BC
b) AB∩BC
c) AC∩BD
d) AB∩CD
e) SAB∩SBC
f) SAB∩SAD
g) SCB∩SBC
e) SAB∪SBC
Soluc¸a˜o:
a) AC b) B c) BC d) ∅ e) SBC f) SAB g) BC h) SAB
2. Quantos pontos comuns a pelo menos duas retas pode ter um conjunto de 3 retas no
plano? E um conjunto de 4 retas do plano?
Soluc¸a˜o:
Na pior das hipo´teses teremos 3 retas r1, r2 e r3 que sera˜o distintas. Assim formara˜o pontos
Pij de intercessa˜o conforme indicado na tabela abaixo:
• r1 r2 r3
r1 – P12 P13
r2 P21 – P23
r3 P31 P32 –
A tabela possui treˆs linhas e treˆs colunas logo o numero de ce´lulas e´ 3 · 3 = 9.
Os elementos das diagonais sa˜o nulos (pois uma reta na˜o pode interceptar-se consigo mesma),
assim o nu´mero de pontos de intercessa˜o passa a ser (3 · 3− 3) = 6
Como os pontos P12 e P21 sa˜o o mesmo ponto de intercessa˜o, nesse caso entre as retas r1 e
r2, e a mesma situac¸a˜o ocorre para os demais pontos enta˜o o numero de pontos de intercessa˜o
distintos e´ igual a 3.
6
2
=
3(3− 1)
2
= 3
Se tive´ssemos n retas com racioc´ınio ana´logo chegar´ıamos a formula
n(n− 1)
2
onde n e´ o
numero de retas.
Assim para n = 3 temos 3 pontos e para n = 4 temos 6 pontos.
3
Geometria Euclidiana Plana Resolvido por Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista/BA
3. Prove o item (b) da proposic¸a˜o (1.4).
Soluc¸a˜o:
Vamos provar a igualdade (SAB ∩ SBA = BA) por dupla inclusa˜o.
� Provando que AB ∈ SAB ∩ SBA
Tome um ponto P pertencente a AB. Neste caso termos que P ∈ SAB e tambe´m que
P ∈ SBA o que implica em P ∈ SAB ∩ SBA.
� Provando que SAB ∩ SBA ∈ AB
Imagine uma reta com os pontos A e B.
A B
Agora imagine tambe´m um ponto D tal que D ∈ SAB ∩ SBA. Neste caso D na˜o pode
estar depois de B, pois neste caso na˜o pertenceria a SBA. Ta˜o pouco poderia estar
antes de A, pois se assim fosse D /∈ SAB. Sendo assim, D esta´ entre A e B o que implica
em D ∈ AB.
Como todo ponto de AB ∈ SAB ∩ SBA e vice versa enta˜o fica provado a igualdade.
4. Prove a afirmac¸a˜o feita, no texto, de que existem infinitos pontos em um segmento.
Soluc¸a˜o1
Dada uma reta r com os pontos A e B distintos, suponha por absurdo que entre A e B exista
um conjunto finito de pontos. Por definic¸a˜o um conjunto e´ finito quando pode ser colocado em
correspondeˆncia biun´ıvoca com N. Assim teremos que AB = {P1, P2, ..., Pn}, que significa
que AB e´ um conjunto com n elementos.
Tomando agora um ponto Pk (k ≤ n) e o ponto Pk−1 pelo axioma II2 existe um ponto Pr,
(k− 1 < r < k) tal que Pk−1 – Pr – Pk o que seria um absurdo pois nesse caso AB teria n + 1
elementos.
5. Sejam P = {a, b, c}, m1 = {a, b}, m2 = {a, c}, m3 = {b, c}. Chame P de plano e m1, m2 e
m3 de retas. Verifique que nesta “geometria” vale o axioma I2.
Definic¸a˜o:
Um subconjunto do plano e´ convexo se o segmento ligando
quaisquer dois de seus pontos esta´ totalmente contido nele.
Soluc¸a˜o:
Basta observar que todas as combinac¸o˜es poss´ıveis entre os 3 pontos do plano P, tomados dois
a dois pertence a uma das treˆs retas dessa geometria. Por exemplo, as combinac¸o˜es poss´ıveis sa˜o:
1Onde esta´ escrito Pk−1 − Pr − Pk leˆ-se: o ponto Pr esta´ entre Pk−1 e Pk:
4
Geometria Euclidiana Plana Resolvido por Diego Oliveira - Vito´ria da Conquista/BA
ab, ac, ba, bc, ca e cb. Note que por ab passa somente uma reta, a reta m1. Do mesmo modo
pelos demais pares de pontos passam apenas uma das retas citadas (m1, m2, m3). O que mostra
que nessa geometria vale o axioma I2.
6. Os exemplos mais simples de conjuntos convexos sa˜o o pro´prio plano e qualquer semi-plano.
Mostre que a intersec¸a˜o de dois semi planos e´ um convexo.
Soluc¸a˜o:
Imagine os semi planos S1, S2 e S3 tal que S3 = S1 ∩ S2. Tomando dois pontos P1 e P2 ambos
pertencentes a S3 enta˜o:
P1 e P2 pertence tanto a S1 como a S2
Se S1 e S2 sa˜o convexos enta˜o P1P2 pertence tanto a S1 como a S2 e portanto pertence a
intersec¸a˜o. Logo S3 tambe´m e´ convexo.
7. mostre que a intercessa˜o de n semi-planos e´ ainda um convexo.
Soluc¸a˜o:
Considere os semi planos α1, α2, ..., αn todos convexos. Seja B = {α1∩α2∩, ...,∩αn} considere
os pontos X e Y pertencentes a B. Isso implicara´ no fato de que X e Y pertence a α1, α2, ..., αn
como todos esses semi-planos sa˜o convexos enta˜o o segmento XY pertence a α1, α2, ..., αn logo
tambe´m pertence a intercessa˜o e portanto tambe´m pertencem a B, o que mostra que B ainda e´
convexo.
Dica: Reveja o problema 6.
8. Mostre, exibindo um contra exemplo, que a unia˜o de convexos pode na˜o ser um convexo.
Soluc¸a˜o:
Os quatro retaˆngulos