Análise da Estabilidade de Sistemas de Controle

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ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO
GISELE A. DE GODOY
ANÁLISE DA ESTABILIDADE DE SISTEMAS DE CONTROLE
Caxias do Sul, 05 de maio de 2022.
Como avaliar a estabilidade de sistemas realimentados
· O conceito de estabilidade é peça crucial para a sintese de controle realimentados.
· Não é exatmente uma especificação, mas sim um pré-requisito de projeto.
· A não ser em casos muito particulares como, por exemplo em aviação de combate, o sistema de controle realimentado deve resultar em um sistema estável
Genericamento um sistema é dito estável se a resposta temporal for limitada para todo e qualquer sinal. 
Estabilidade absoluta: deseja-se saber se o sistema é estável ou não
Estabilidade relativa: é um contexto mais elaborado, sendo que para um sistema que já estável pode-se atribuir graus de estabilidade (isto é, impor que seja mais estável fortemente estável, por exemplo).
Claro que a localizados dos polos em malha fechada fornece uma indicação precisa sobre a estabilidade e o que se prevê para a resposta temporal do sistema.
A estabilidade de sistemas lineares pode ser definida em termos da localização dos polos da FT em malha fechada, genericamente.
Cuja resposta temporal quando aplica-se um degrau de amplitude A0 (N = ) é 
Então, a condição necessária e suficiente para que um sistema seja estável é que todos os polos da FT tenha parte real negativa.
Qual o papel do diagrama de Bode para comprovar a estabilidade do sistema
Os diagramas de Bode mostram a resposta em frequência, ou seja, as alterações de magnitude e fase em função da frequência. Isso é feito em dois diagramas em escala semi-log. 
O diagrama superior geralmente é a magnitude ou o “ganho” em dB. O diagrama inferior é a fase, geralmente em graus.
Margens de ganho e fase
A informação em um diagrama de Bode pode ser utilizada para quantificar a estabilidade de um sistema de feedback ao utilizar as margens de fase e de ganho.
A margem de fase é medida na frequência em que o ganho equivale a 0 dB. Isso também é chamado de "frequência de crossover". A margem de fase é uma medição da distância entre a fase medida e um deslocamento de fase de -180°. Em outras palavras, em quantos graus a fase tem que ser diminuída para alcançar -180°.
A margem de ganho, por outro lado, é medida na frequência em que o deslocamento de fase equivale a -180°. A margem de ganho indica a distância em dB desde o ganho medido até um ganho de 0 dB. Esses valores, 0 dB e -180°, são importantes pois ocorrem instabilidades no sistema quando esses dois valores se encontram.
Margens de ganho e de fase representam a distância entre os pontos em que a instabilidade pode ocorrer. Quanto maior a distância ou a margem, melhor; pois maiores margens de ganho e fase significam mais estabilidade. Um circuito com uma margem de ganho zero ou ainda menor somente seria estável sob determinadas condições e pode facilmente se tornar instável se o ganho for alterado. Uma meta típica para margem de fase é ter pelo menos 45 graus, e valores ainda mais altos podem ser desejáveis em aplicações decisivas.
Além das considerações de segurança, o desempenho também é afetado por valores que podem ser determinados por diagramas de Bode. Por exemplo, uma frequência de crossover maior do que 0 dB geralmente significa uma resposta mais rápida às alterações de carga. E menores ganhos em frequências mais altas significam melhor imunidade a ruídos e menor ripple na saída.
Sistemas instáveis e Estáveis de Circuitos Fechados
A fase medida em 0 dB é -135°, portanto a margem de fase é 45°. O ganho em -180° graus é -9 dB, portanto a margem de ganho é 9 dB. Uma vez que a margem de fase é positiva, esse sistema é estável.
O ganho medido é +13 dB quando a fase é -180°, de modo que a margem de ganho é 13 dB. Em um ganho de 0 dB, a fase medida é menos 215°, portanto a margem de fase é menos 35° no ponto de crossover de ganho. Esse sistema é instável.
Os diagramas de Bode são úteis para analisar as alterações de magnitude e fase introduzidas em um sistema invariável de intervalo linear de tempo (LTI system), por exemplo, a resposta de loop de controle de uma fonte de alimentação.
Um diagrama de Bode facilita a determinação das margens de fase e ganho: margens de fase e 
ganho são importantes para determinar a estabilidade do sistema (quanto mais margem, melhor)
Testes de resposta de circuito fechado com um osciloscópio:
· Injeção de uma tensão de distúrbio no loop
· Medição da tensão através do resistor
· Geração e exibição de diagramas de Bode no osciloscópio
Quais critérios de estabilidade podem ser aplicados nos sistemas realimentados
Um sistema estável é um sistema dinâmico com uma resposta limitada para uma entrada limitada. Uma ilustração do conceito de estabilidade é exposta a seguir.
a) Se o cone está em repouso sobre sua base e um pequeno empurrão é aplicado, ele retorna a sua posição original de equilíbrio.
b) Se o cone repousa sobre sua lateral e aplica-se outro pequeno empurrão, o cone começa a deslizar sem tender a abandonar a posição lateral.
c) Se o cone é ligeiramente empurrado, ele cai.
A estabilidade de um sistema dinâmico é definida de maneira similar. A resposta ao deslocamento, ou a condição inicial, resulta num decaimento, neutralidade ou crescimento da resposta como ilustrado a seguir.
Um exemplo de sistema instável é exposto na figura abaixo. A primeira ponte sobre o estreito de Tacoma em Puget Sound, Washington, foi aberta ao tráfego no dia 1 de julho de 1940. Descobriu-se que a ponte oscilava sempre que ventava. Depois de quatro meses, uma ventania produziu uma oscilação que cresceu em amplitude até que a ponte se rompeu. 
A figura (a) mostra o início da oscilação e a (b) o colapso catastrófico.
Métodos para determinarem a estabilidade dos sistemas lineares contínuos invariantes no tempo sem a necessidade de resolução da equação característica:
O critério de Routh-Hurwitz
Este critério é um método algébrico que fornece informação sobre a estabilidade absoluta de um sistema linear invariante no tempo que possui uma equação característica com coeficientes constantes. O critério testa quando qualquer uma das raízes da equação característica encontra-se no semi-plano direito do plano-s. O número de raízes sobre o eixo jw e no semi-plano esquerdo.
O critério de Nyquist 
Este critério é um método semigráfico que fornece informação sobre a diferença entre o número de pólos e zeros da função de transferência que estão no semiplano direito do plano-s através da observação do gráfico de Nyquist da função de transferência.
Diagrama de Bode
Este diagrama é um gráfico da magnitude da função de transferência de malha G(jw)H(jw) em dB e da fase de G(jw)H(jw) em graus, todos versus a freqüência. A estabilidade do sistema de malha fechada pode ser determinada pela observação destes gráficos.
Pêndulo Invertido sobre um carrinho
Ao usar um giroscópio, pode-se medir o ângulo do segway em relação a vertical. O torque aplicado as rodas é gerado por motores elétricos e balança o segway fornecendo o movimento desejado para frente e para trás.
Ryno, the One-Wheeled Segway
O sistema (simplificado) eletromecânico de direção de um navio do tipo “drive-by-wire” serve como exemplo de aplicação do conceito de realimentação.
Nele, a posição do leme é determinada por um motor (atuador) e mecanismo redutor, comandado por um controlador eletrônico que recebe sinais:
1. Do sensor de posição do leme (sinal realimentado) que reflete o estado do leme, 
2. Do sensor de posição do timão (sinal de controle ou de ajuste) que reflete a posição desejada.
A função do controlador, que compara constantemente esses sinais, é a de comandar o motor de acionamento do leme até conseguir que a diferença entre eles seja nula ou a menor possível. Nesse momento, o leme estará na posição desejada.
Qualquer modificação na posição do timão implicará na modificação do sinal de ajuste 2 (controle) e consequentemente, no ângulo do leme, o qual “segue” constantemente, oprimeiro.
Este é um exemplo de sistema de controle realimentado funcionando em “malha fechada”. Pelo fato de não existir nenhuma ligação mecânica entre o timão e o leme, qualquer falha nos sinais ou sensores impede o funcionamento. Nesse caso, o sistema deve funcionar obrigatoriamente, em malha aberta.
 
 
 
 
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