Mecanica dos sólidos

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Figura 4 
Universidade Federal Fluminense - UFF 
Departamento de Engenharia Mecânica – TEM 
Mecânica dos sólidos I / Primeira Prova (1a VE) 1o semestre - 06/06/2016 
Prof.: Luiz Carlos da Silva Nunes 
Aluno:________________________________________________ 
 
Prova I 
 
1) A barra AB da figura 1 sofre uma deformação devido ao 
carregamento distribuído triangular W e a uma força F 
aplicada no cabo que passa pela polia fixa. Antes das forças 
serem aplicadas, a barra CD está perpendicular ao plano 
horizontal. Sabe-se que a área da seção transversal da barra 
AB é igual a A, que a deformação transversal na barra AB 
nessas condições de carregamento é 
€ 
ε t e que a relação 
tensão-deformação da barra AB submetida a tração é dada 
por: 
€ 
σ = kε /1+ lε( ) , sendo k e l constantes e 
€ 
ε a deformação 
axial. (2.5) 
a) Qual o coeficiente de Poisson da barra AB? 
b) Se as cargas forem removidas, qual será a configuração 
permanente da barra AB? 
 
2) Um material elástico com módulo de elasticidade E e 
coeficiente de Poisson v inicialmente preenche a cavidade 
com dimensões 
€ 
2a×2a×L de uma estrutura rígida, como 
mostrado na figura 2. Um bloco rígido é colocado na 
superfície do material elástico, e neste é aplicado uma força F. 
Tal força provoca um deslocamento vertical h no bloco em 
contato com o material. Qual a magnitude de F ? (2.5) 
 
3) O estado de tensão em um plano retangular submetido a um 
carregamento biaxial, como indicado na figura 3, é dado por 
 
€ 
σ[ ] =
σ x 0
0 σ x
⎡ 
⎣ 
⎢ 
⎤ 
⎦ 
⎥ . 
 Determine o vetor tensão e as tensões normal e cisalhante no 
plano inclinado S. (2.5) 
 
4) Considere um estado de tensão plana no ponto A da suspensão 
frontal de um automóvel, como mostrado na figura 4. Usando 
o conceito de autovalor, determine as tensões principais nesse 
ponto. (2.5) 
 
========================================= 
Tensão normal: 
€ 
σnormal = t ⋅ n 
Vetor tensão: 
€ 
t = σn 
Equações constitutivas: 
€ 
εx = σx − v σy +σz( )[ ] /Ε + αΔθ 
€ 
εy = σy − v σx +σz( )[ ] /Ε + αΔθ 
€ 
εz = σy − v σx +σy( )[ ] /Ε + αΔθ 
€ 
γ ij = 2ε ij = τ ij /G , i,j = 1,2,3. 
 
Figura 1 
Figura 2 
Figura 3 
Figura 4 
Universidade Federal Fluminense - UFF 
Departamento de Engenharia Mecânica – TEM 
Mecânica dos sólidos I / Segunda Prova (2a VE) 1o semestre - 18/07/2016 
Prof.: Luiz Carlos da Silva Nunes 
Aluno:________________________________________________ 
 
 
1) O eixo ilustrado na figura 1 é formado por uma região (AB) 
maciça de aço e uma região (BC) tubular feita de aço com 
núcleo de latão. O eixo está fixo a um apoio rígido em A. Se 
for aplicado um torque T na seção da extremidade C do eixo, 
(a) qual será o ângulo de torção que ocorrerá em C? (b) 
Calcule a tensão de cisalhamento máximo no latão e no aço. 
Dados: GA e GL são os módulos de cisalhamento do aço e do 
latão; rA e rL são os raios da seção de aço e latão. (2.5) 
 
2) Uma viga com perfil T é submetida a um 
carregamento distribuído ωo sobre seu 
comprimento livre de 100a, como mostrado na 
figura 2. A altura da viga é 9a e a base βa. 
Assumindo um regime linear elástico, determine 
o valor de β para o qual a tensão de flexão 
trativa máxima seja um terço da tensão de 
flexão compressiva máxima, ou seja, 
€ 
3σT max =σC max . Qual o valor da tensão de flexão 
trativa
€ 
σT max máxima ? (2.5) 
 
3) A barra retangular de largura b e altura h mostrada na figura 3 
é submetida a uma força de cisalhamento V. Determine uma 
expressão para a tensão cisalhante em função da coordenada y 
e dos parâmetros dados.(2.5) 
 
4) Uma força F atua no ponto B de uma chave de roda do tipo L, 
como indicado na figura 4a. A força atua na direção vertical e 
está perpendicular ao plano (xy) da chave de roda. As 
dimensões da chave de roda são mostradas na figura 4b, e o 
diâmetro da chave é 2r (r igual ao raio). Determine o estado 
de tensões no ponto A, que está no topo da chave de roda. 
. 
 
========================================= 
€ 
φ =
TL
GJ
; 
€ 
τ =
Tr
J
; 
€ 
J = 1
2
πr4 
€ 
τ =
VQ
It
; 
€ 
I = bh
3
12
; 
€ 
Q = Ay ; 
€ 
y = yiAi
i
∑ Ai
i
∑ ou 
€ 
Q = ydA
A
∫ 
€ 
σ = −
M
I
y 
Figura 1 
Figura 2 
Figura 3 
Figura 4 
Universidade Federal Fluminense - UFF 
Departamento de Engenharia Mecânica – TEM 
Mecânica dos sólidos I / Terceira Prova (3a VE) 1o semestre - 25/07/2016 
Prof.: Luiz Carlos da Silva Nunes 
Aluno:________________________________________________ 
 
1) Na figura 1, um tanque cilíndrico de paredes finas 
com comprimento L, raio r e espessura t está 
posicionado entre duas paredes muito rígidas, e 
inicialmente não há pressão no tanque. Determine a 
força exercida nas paredes rígidas pelo tanque, 
quando o tanque for submetido a uma pressão interna 
p. O material do tanque possui módulo de elasticidade 
E e coeficiente de Poisson v. Assumir que o material 
do tanque segue as leis de Hooke. (2.5) 
 
2) Um teleférico é sustentado por dois braços, como 
mostrado na figura 2. Cada braço possui um perfil do tipo 
C com um offset b da linha onde atua a força peso W. A 
tensão normal admissível em cada braço é 
€ 
σa. Qual é o 
mínimo diâmetro de cada braço, considerando que b seja 
10 vezes o valor do diâmetro? (2.5) 
 
3) Na figura 3, uma barra retangular com área de seção 
transversal A é submetida a uma força axial trativa P. 
Determine a tensão de cisalhamento média máxima na 
barra e encontre a orientação θ de uma seção na qual ela 
ocorre. (2.5) 
 
4) Considere uma barra cilíndrica maciça de raio r submetida a 
uma força de compressão F e um torque T, como mostrado na 
figura 4. Usando o conceito de autovalor, determine as tensões 
principais no ponto P, que está posicionado na superfície da 
barra cilíndrica. (2.5) 
 
 
========================================= 
€ 
εr = σ r −v σθ +σz( )[ ]/Ε 
€ 
εθ = σθ −v σ r +σz( )[ ]/Ε 
€ 
εz = σz −v σ r +σθ( )[ ]/Ε 
€ 
γ ij = 2ε ij = τ ij /G , i,j = 1,2,3. 
 
€ 
τ =
Tr
J ; 
€ 
J = 12πr
4 
 
€ 
σ = −
M
I y; 
€ 
I = 14πr
4 
 Tensões longitudinal e circunferencial: 
€ 
σL =
pr
2t e 
€ 
σc =
pr
t 
Figura 1 
Figura 2 
Figura 3 
Universidade Federal Fluminense - UFF 
Departamento de Engenharia Mecânica – TEM 
Mecânica dos sólidos I / Primeira Prova (1a VE) 1o semestre - 14/10/2016 
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Aluno:________________________________________________ 
 
Prova I 
 
1) Na estrutura representada na Figura 1, uma força P atua no 
ponto C. a) Qual a força de tração média em cada barra BD, 
considerando que a área da seção transversal de cada uma é A? 
b) Considere que conexões aparafusadas são usadas nos pontos 
O, B e D. Se a tensão de cisalhamento admissível em um 
parafuso é 
€ 
σ adm , qual é o diâmetro mínimo exigido do parafuso 
no suporte D? c) Quando as barras BD se deformam devido a 
força P, a barra rígida (não deforma) OC gira um ângulo θ. 
Determine a deformação das barras BD em função do ângulo θ 
de rotação da barra OC. (2.5) 
 
2) Uma peça metálica soldada é submetida à um carregamento, 
gerando um estado de tensão (cisalhamento puro) mostrado na 
Figura 2. Determine as tensões normais e cisalhantes sobre a 
linha de solda orientada de um ângulo θ com a vertical. As 
tensões atuantes nesse elemento são críticas à estrutura? 
Justifique a sua resposta. Dados no final da prova. (2.5) 
 
3) Um cilindro de borracha (R), com módulo de elasticidade E e 
coeficiente de Poisson v, de comprimento L e área da seção 
transversal A é comprimido dentro de um tubo de parede grossa 
de aço (S) por uma força F que transfere uma pressão uniforme à 
borracha, como mostrado na Figura 3. (a) Derive uma expressão 
para a pressão lateral p sofrida pela borracha (Despreze o atrito 
entre a borracha e o aço, e assuma que a rigidez do aço é muito 
maior que a da borracha). (b) Determine a variação do 
comprimento da borracha. Dados no final da prova. (2.5)4) Considere um estado plano de tensões dado por: 
 
€ 
σ[ ] =
3 1
1 2
# 
$ 
% 
& 
' 
( MPa. 
 Determine, usando o conceito de autovalor, as tensões 
 principais e a tensão cisalhante máxima. (2.5) 
 
========================================= 
Transformação do tensor tensão 
€ 
[σ # ] = Q[ ]T [σ] Q[ ] , onde 
€ 
Q[ ] =
cosθ sinθ
−sinθ cosθ
$ 
% 
& 
' 
( 
) 
Equações constitutivas: 
€ 
ε x = σx − v σy +σz( )[ ] /Ε + αΔθ 
€ 
ε y = σy − v σx +σz( )[ ] /Ε + αΔθ 
€ 
ε z = σ z − v σ x +σ y( )[ ] /Ε +αΔθ e 
€ 
γ ij = 2ε ij = τ ij /G , i,j = 1,2,3. 
 
Figura 2 
Figura 3 
Figura 1 
Figura 4 
Universidade Federal Fluminense - UFF 
Departamento de Engenharia Mecânica – TEM 
Mecânica dos sólidos I / Segunda Prova (2a VE) 1o semestre - 12/07/2016 
Prof.: Luiz Carlos da Silva Nunes 
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1) Um tubo circular vazado A está encaixado na extremidade de 
uma barra circular maciça B, como ilustrado na Figura 1. 
Despreze o atrito entre as partes. As extremidades opostas do 
tubo e da barra estão engastadas. O tubo e a barra possuem 
furos transversais, mas inicialmente eles estão desalinhados. 
O furo na barra B faz um ângulo β com uma linha que passa 
nos dois furos do tubo A, como indicado na figura. Então, a 
barra B é torcida até que os furos estejam alinhados, e um 
pino é colocado através dos furos. Quando a barra B é solta, 
qual o torque que atua nela devido ao pino? (2.5) 
 Dados: JA– Momento de inércia polar do tubo A 
 JB – Momento de inércia polar da barra B 
 G – Módulo de cisalhamento de ambas as barras 
 
2) Considere uma viga linear-elástica em balanço, 
com uma forma trapezoidal como ilustrado na 
Figura 2. Na extremidade engastada a viga possui 
altura 3d e na extremidade livre, onde é aplicada 
uma força P, possui altura d. O comprimento da 
viga é L e a espessura é b. Encontre a localização e 
a magnitude da tensão de flexão máxima. (2.5) 
 
3) A barra ABC possui uma densidade igual à γ e suas 
dimensões estão indicadas na Figura 3. Uma força 
3P é aplicada no meio do trecho AB e um momento 
fletor M é aplicado na extremidade livre C. 
Encontre uma expressão para a largura da barra b 
em função dos parâmetros dados e sabendo que a 
tensão cisalhante admissível é 
€ 
τa . (2.5) 
 
4) Um vaso de pressão de parede fina, com raio r e 
espessura t, é submetido à uma pressão interna p 
(Figura 4). Uma das suas extremidades é fixa, 
enquanto na outra extremidade são aplicados 
esforços oriundos de uma barra rígida. Conhecendo 
as forças Fi, determine o estado de tensões no ponto 
A localizado na parte superior do vaso.(2.5) 
========================================= 
€ 
φ =
TL
GJ
; 
€ 
τ =
Tr
J
;
€ 
τ =
T
2tAm
 
€ 
J = 1
2
πr4 
Seção retangular: 
€ 
τ =
6V
bh3
h2
4
− y 2
$ 
% 
& 
' 
( 
) ; 
€ 
I = bh
3
12
 
Tensão cisalhante máxima de viga circular de parede fina: 
€ 
τ =
2V
A
 
€ 
σ = −
M
I
y ; 
€ 
σL =
pr
2t
 e 
€ 
σc =
pr
t
 
Figura 1 
Figura 2 
Figura 3 
Figura 3 
Universidade Federal Fluminense - UFF 
Departamento de Engenharia Mecânica – TEM 
Mecânica dos sólidos I / Terceira Prova (3a VE) 1o semestre - 19/12/2016 
Prof.: Luiz Carlos da Silva Nunes 
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1) Na Figura 1, um bloco de borracha (R) é confinado 
entre duas paredes paralelas de um bloco de aço (S). 
Uma distribuição de pressão uniforme p0, gerada pela 
força F, é aplicada na parte superior do bloco de 
borracha. Encontre: (a) uma expressão para a pressão 
lateral entre o bloco de borracha e a parede de aço; (b) 
a dilatação da borracha. Despreze o atrito entre os 
materiais e assuma que a rigidez do aço é muito maior 
que a rigidez da borracha. (2.5) 
 
2) Considere um estado plano de tensões dado por: 
€ 
σ[ ] =
σ x τxy
τxy σy
⎡ 
⎣ 
⎢ 
⎤ 
⎦ 
⎥ , determine as tensões principais 
usando o conceito de autovalor. (2.5) 
 
3) Considere uma barra retangular uniforme com 
largura b e altura h submetida a um 
carregamento distribuído q, uma força P e um 
momento M, como indicado na Figura 2. 
Encontre uma expressão para a largura da barra 
b em função dos parâmetros dados e sabendo 
que a tensão normal admissível é 
€ 
σa. (2.5) 
 
4) Um eixo propulsor de seção transversal circular 
sólida e diâmetro d é unido por uma argola de 
diâmetro externo de. A argola está soldada de 
forma segura a ambas as partes do eixo. O 
material do eixo sólido tem tensão cisalhante 
máxima admissível dada por 
€ 
τmax. Qual deve ser 
a tensão cisalhante máxima admissível da argola 
para que a junção possa transmitir a mesma 
potência que o eixo sólido? (2.5) 
 
========================================= 
€ 
εx = σx − v σy +σz( )[ ] /Ε + αΔθ 
€ 
εy = σy − v σx +σz( )[ ] /Ε + αΔθ 
€ 
εz = σ z −v σ x +σy( )[ ]/Ε +αΔθ e 
€ 
γ ij = 2ε ij = τ ij /G , i,j = 1,2,3. 
 
€ 
τ =
Tr
J ; 
€ 
J = 12πr
4 
 
€ 
σ = −
M
I y; 
€ 
I = 14πr
4 
 
Figura 1 
Figura 2 
Universidade Federal Fluminense - UFF 
Departamento de Engenharia Mecânica – TEM 
Mecânica dos sólidos I / Primeira Prova (1a VE) 1o semestre - 08/05/2017 
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Prova I 
 
1) Um elastômero (borracha) foi colado entre duas placas rígidas 
cujas dimensões são a e b, como indicado na Figura 1. A 
espessura do elastômero é t. Uma barra RQ com dimensões 
€ 
c × a, encostada na placa superior, é submetida a uma variação 
de temperatura ΔT e se deforma. Consequentemente, uma força 
V é aplicada à placa superior, que sofre um deslocamento lateral 
em relação à inferior. A placa inferior está fixa no plano 
horizontal. Sabendo que o coeficiente de expansão térmica da 
barra RQ é α, qual o módulo de cisalhamento do elastômero? 
Considere que apenas a barra RQ sofre dilatação térmica, sendo 
esta na direção horizontal. (2.5) 
 
2) Encontre as tensões principais, usando o conceito de autovalor 
(
€ 
σn = λn), sabendo que as componentes de um tensor tensão de 
Cauchy são dadas por: 
€ 
σx =σy =σz = 2, 
€ 
τ xy = τ yz = −1 e 
€ 
τ xz = 0. 
Lembre-se que tal tensor é simétrico. (2.5) 
 
3) Encontre os deslocamentos em uma barra retangular homogênea 
e uniforme submetida a um carregamento de tração P. Considere 
um regime linear elástico. Dados: módulo de elasticidade E, 
coeficiente de Poisson v e dimensões na Figura 2. (2.5) 
 
4) O elemento rígido ABC é suportado por um pino em C e por 
um cabo BD que possui a área da seção transversal igual a A0, 
como ilustrado na Figura 3. Sabendo que uma carga P é 
aplicada na extremidade A e que a tensão de escoamento do 
cabo é 
€ 
σy , determine o fator de segurança com relação à falha 
do cabo. Despreze a massa do elemento ABC. (2.5) 
 
 
========================================= 
Deformação: 
€ 
εx =
∂u
∂x
; 
€ 
εy =
∂v
∂y
; 
€ 
εz =
∂w
∂z
; 
€ 
εxy =
1
2
∂u
∂y
+
∂v
∂x
$ 
% 
& 
' 
( 
) ;
€ 
εxz =
1
2
∂u
∂z
+
∂w
∂x
$ 
% 
& 
' 
( 
) 
€ 
εyz =
1
2
∂w
∂y
+
∂v
∂z
$ 
% 
& 
' 
( 
) 
Equações constitutivas: 
€ 
εx = σx − v σy +σz( )[ ] /Ε +αΔT 
€ 
εy = σy − v σx +σz( )[ ] /Ε +αΔT 
€ 
εz = σz − v σx +σy( )[ ] /Ε +αΔT e 
€ 
γ ij = 2ε ij = τ ij /G, i,j = 1,2,3. 
 
Figura 2 
Figura 3 
Figura 1 
Universidade Federal Fluminense - UFF 
Departamento de Engenharia Mecânica – TEM 
Mecânica dos sólidos I / Segunda Prova (2a VE) 1o semestre - 10/07/2017 
Prof.: Luiz Carlos da Silva Nunes 
Aluno:________________________________________________ 
 
1) Uma barra circular AB com extremidades fixas 
contra rotação tem um furo que se estende até a 
metade do seu comprimento, como indicado na 
Figura 1. O diâmetro externo da barra é d2 e o 
diâmetro do furo é d1 . A qual distância x da 
extremidade esquerda da barra um torque T0 deve 
ser aplicado de forma que os torques de reação nossuportes sejam iguais? 
 
2) Considere uma viga com a seção transversal 
quadrada (
€ 
a × a) submetida a um carregamento 
distribuído ao longo do seu comprimento L, dado 
por 
€ 
w(x) = w0sen πx /L( ) onde w0 é uma constante, 
como indicado na Figura 2. Determine a tensão de 
flexão máxima. (2.5) 
 
3) Uma barra do tipo T (seção transversal) foi 
fabricada soldando duas peças retangulares. Suas 
dimensões são mostradas na Figura 3. 
Considerando que a barra seja submetida a uma 
força cortante vertical V, determine a tensão 
cisalhante na solda e a tensão cisalhante máxima. 
(2.5) 
 
4) Na Figura 4, uma estrutura maciça em L, com seção 
transversal circular, é fixa numa de suas 
extremidades e na outra é submetida à duas forças Fy 
e Fz nas direções vertical e horizontal, 
respectivamente. Conhecendo as dimensões na 
figura, determine o estado de tensões no ponto P 
localizado na superfície da estrutura.(2.5) 
========================================= 
€ 
φ =
TL
GJ
; 
€ 
τ =
Tr
J
; 
€ 
J = 1
2
πr4 = πd
4
32
; 
€ 
σ = −
M
I
y ; 
€ 
Iretangular =
bh3
12
; 
€ 
Icircular =
1
4
πr4 
€ 
τ =
VQ
It
; 
€ 
Qx = y A = y iAi
i
∑ 
Carregamentos: 
€ 
w(x) = − dV
dx
; 
€ 
V (x) = dM
dx
 
Figura 1 
Figura 2 
Figura 3 
Figura 4 
Figura 3 
Figura 4 
Universidade Federal Fluminense - UFF 
Departamento de Engenharia Mecânica – TEM 
Mecânica dos sólidos I / Terceira Prova (3a VE) 1o semestre - 14/07/2017 
Prof.: Luiz Carlos da Silva Nunes 
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1) Na Figura 1, a barra rígida AD é sustentada por dois 
fios deformáveis que possui diâmetro 2r e módulo de 
elasticidade E. A barra AD é articulada em A e 
inicialmente está no plano horizontal sem a carga P. 
Sabendo que os fios estão tensionados, determine: (a) 
a tensão adicional em cada fio ao aplicar uma carga P 
em D; (b) A deflexão (deslocamento vertical) do 
ponto D. Considere um regime elástico linear e 
pequenas deformações. (2.5) 
 
2) O motor transmite uma potência P ao eixo AB quando 
gira a uma frequência f. Essa potência é transmitida ao 
eixo CD pelas engrenagens E1 e E2. Determine a 
tensão de cisalhamento máxima no eixo AB, o torque 
de equilíbrio no eixo CD e o raio mínimo da 
engrenagem E2. A tensão de cisalhamento máxima 
em CD é τ2, o raio da engrenagem E1 é r1, e os 
diâmetros dos eixos AB e CD são d1 e d2. Os mancais 
B, C e D permitem livre rotação dos eixos. (2.5) 
 
3) Sabendo que as tensões normais admissíveis na 
seção a-a da morsa/torno, ilustrado na Figura 3, 
são 
€ 
σ a
T = σ a na tração e 
€ 
σ a
C = 2σ a na 
compressão, determine o maior valor de P que 
pode ser exercido pela morsa. OBS: todas as 
dimensões estão na figura. (2.5) 
 
4) A viga com perfil T (seção transversal) é 
submetida a um carregamento pontual P, como 
indicado na Figura 4. Determine a tensão 
cisalhante na seção a-a, considerando os 
esforços na seção n-n. (2.5) 
 
=================================== 
 
€ 
P = 2πfT ; 
€ 
τ =
Tr
J
; 
€ 
J = πd
4
32
 
 
€ 
σ = −
M
I
y ; 
€ 
Iretangular =
bh3
12
 
 
€ 
τ =
VQ
It
; 
€ 
Qx = y A = y iAi
i
∑ 
 
Figura 1 
Figura 2 
Figura 3 
Universidade Federal Fluminense - UFF 
Departamento de Engenharia Mecânica – TEM 
Mecânica dos sólidos I / Primeira Prova (1a VE) 1o semestre - 02/10/2017 
Prof.: Luiz Carlos da Silva Nunes 
Aluno:________________________________________________ 
 
Prova I 
 
1) A estrutura apresentada na Figura 1 está submetida a uma força P 
no ponto A. Os pontos A e B estão ligados por uma corda com 
tensão admissível σCadm. Os elementos AC, BD, CD e CE formam 
fabricados com o mesmo material e possuem tensão admissível 
σBadm. Considere que as barras BD, CD e CE não sofrem rotação. 
A) Assumindo a ≠ b, calcule as tensões normais (longitudinais) na 
barra AC, na barra BD e na corda AB. B) Considerando a = b, 
calcule a força P máxima que as barras AC, BD e a corda AB 
suportam sem que nenhum destes elementos rompa. C) Calcule o 
diâmetro mínimo exigido para parafuso do ponto C, assumindo a 
≠ b e que a tensão de cisalhamento admissível no parafuso seja 
σPadm. Dados: 5A2 = 3A1 ; 5Ac = A1 (Sendo Ac é a área transversal 
da corda) ; ,10σCadm = 3 σBadm. (2.5) 
 
2) Encontre as tensões principais, usando o conceito de autovalor 
(
€ 
σn = λn ), do seguinte tensor tensão: 
 
€ 
σ[ ] =
2 0 0
0 3 4
0 4 −3
⎡ 
⎣ 
⎢ 
⎢ 
⎢ 
⎤ 
⎦ 
⎥ 
⎥ 
⎥ 
. (2.5) 
 
3) Determine o alongamento Δl do elemento cônico ilustrado na 
Figura 2 que é submetido a um carregamento uniaxial F. Tal 
elemento possui módulo de elasticidade E. Considere um regime 
linear-elástico. (2.5) 
 
4) Uma placa fina elástica A, com altura h, módulo de elasticidade 
E e coeficiente de Poisson v, tem seu movimento restrito por 
uma estrutura rígida B, como ilustrado na Figura 3. Determine a 
tensão 
€ 
σx e o valor do deslocamento 
€ 
υR (na extremidade 
superior) para uma pressão constante p. Despreze as forças de 
atrito. (2.5) 
========================================= 
Deformação: 
€ 
εx =
∂u
∂x
; 
€ 
εy =
∂v
∂y
; 
€ 
εz =
∂w
∂z
; 
€ 
εxy =
1
2
∂u
∂y
+
∂v
∂x
⎛ 
⎝ 
⎜ 
⎞ 
⎠ 
⎟ ;
€ 
εxz =
1
2
∂u
∂z
+
∂w
∂x
⎛ 
⎝ 
⎜ 
⎞ 
⎠ 
⎟ 
€ 
εyz =
1
2
∂w
∂y
+
∂v
∂z
⎛ 
⎝ 
⎜ 
⎞ 
⎠ 
⎟ 
Equações constitutivas: 
€ 
εx = σx − v σy +σz( )[ ] /Ε +αΔT 
€ 
εy = σy − v σx +σz( )[ ] /Ε +αΔT 
€ 
εz = σz − v σx +σy( )[ ] /Ε +αΔT e 
€ 
γ ij = 2ε ij = τ ij /G, i,j = 1,2,3. 
 
Figura 2 
Figura 1 
Universidade Federal Fluminense - UFF 
Departamento de Engenharia Mecânica – TEM 
Mecânica dos sólidos I / Segunda Prova (2a VE) 1o semestre - 24/11/2017 
Prof.: Luiz Carlos da Silva Nunes 
Aluno:________________________________________________ 
 
1) O eixo tubular cônico ilustrado na Figura 1 tem 
raio externo rae e raio interno rai na extremidade 
engastada A, enquanto a extremidade oposta B 
possui raio externo rbe e raio interno rbi. Um torque 
constante T é aplicado na extremidade B. Deduza 
uma equação para a tensão de cisalhamento 
máxima em função de x e dos parâmetros dados. 
Determine também o ângulo de torção do eixo na 
extremidade B quando submetida ao torque. O 
módulo de cisalhamento do material é G. Dados: 
rae - rai= rbe- rbi , rai=2 rbi. (10/3) 
 
2) A viga mostrada na Figura 2 é submetida a um 
momento fletor M em uma de suas extremidades. 
Ela possui comprimento L e seção transversal 
quadrada com lado a. Sabendo que a deflexão 
máxima permitida é ymax, determine o momento 
fletor aceitável. Qual o valor da tensão de tração 
associada ao momento fletor nesse caso? (10/3) 
 
3) A Figura 3 ilustra uma barra do tipo I (seção 
transversal com suas dimensões) submetida a um 
carregamento distribuído q ao longo do seu 
comprimento L. Determine a tensão cisalhante na 
seção a-a na posição x mostrada. (10/3) 
 
 
========================================= 
 
€ 
dφ
dx
=
T
GJ
; 
 
€ 
τ =
Tr
J
; 
 
€ 
σ = −
M
I
y ; 
 
€ 
I retangular =
bh3
12
; 
 
€ 
τ =
VQ
It
; 
 
€ 
Qx = y A = y i Ai
i
∑ 
Equação de Euler-Bernoulli:; 
 
€ 
EI d
2 y
dx2
= M (x) 
Figura 1 
Figura 2 
Figura 3 
Figura 3 
Figura 4 
Universidade Federal Fluminense - UFF 
Departamento de Engenharia Mecânica – TEM 
Mecânica dos sólidos I / Terceira Prova (3a VE) 1o semestre - 12/12/2017 
Prof.: Luiz Carlos da Silva Nunes 
Aluno:________________________________________________ 
 
1) Os campos de deslocamentos horizontal e vertical, ou 
seja u e υ, em uma placa fina (ver Figura 1) são 
dados por: 
 
€ 
u = x2 + y2 
 
€ 
υ = 2xy + x2 
Determine as deformações principais. (2.5) 
 
 
2) Na Figura 2, um bloco deformável com módulo de 
elasticidade E e coeficiente de Poisson v é submetido 
a uma pressão p0 na direção z por uma plataforma 
muito rígida. Não há deformação na direção y. 
Assumindo que o comportamento do material é 
elástico e linear, determineas deformações e tensões. 
(2.5) 
 
3) A viga engastada, com seção transversal 
mostrada na Figura 3, é submetida a uma força 
F no ponto 1 na extremidade livre. Determine a 
tensão normal no ponto 2 no engaste. OBS: 
todas as dimensões estão na figura. (2.5) 
 
4) A Figura 4 ilustra uma barra do tipo I (seção 
transversal com suas dimensões) submetida a 
um carregamento distribuído q ao longo do seu 
comprimento L. Determine a tensão cisalhante 
na seção a-a na posição x mostrada. (2.5) 
 
=================================== 
 
 
 
€ 
σ = −
M
I
y ; 
 
€ 
I retangular =
bh3
12
 
 
 
€ 
τ =
VQ
It
; 
 
€ 
Qx = y A = y i Ai
i
∑ 
 
€ 
εx =
∂u
∂x
; 
 
€ 
ε y =
∂v
∂y
; 
 
€ 
ε z =
∂w
∂z
; 
 
€ 
εxy =
1
2
∂u
∂y
+
∂v
∂x
⎛ 
⎝ 
⎜ 
⎞ 
⎠ 
⎟ ;
 
€ 
εxz =
1
2
∂u
∂z
+
∂w
∂x
⎛ 
⎝ 
⎜ 
⎞ 
⎠ 
⎟ ; 
 
€ 
ε yz =
1
2
∂w
∂y
+
∂v
∂z
⎛ 
⎝ 
⎜ 
⎞ 
⎠ 
⎟ 
 
€ 
εx = σ x − v σ y +σ z( )[ ] /Ε +αΔT 
 
€ 
ε y = σ y − v σ x +σ z( )[ ] /Ε +αΔT 
 
€ 
ε z = σ z − v σ x +σ y( )[ ] /Ε +αΔT e 
€ 
γ ij = 2ε ij = τ ij / G , i,j = 1,2,3. 
 
 
Figura 1 
Figura 2 
Universidade Federal Fluminense - UFF 
Departamento de Engenharia Mecânica – TEM 
Mecânica dos sólidos I / Primeira Prova (1a VE) 1o semestre - 11/05/2018 
Prof.: Luiz Carlos da Silva Nunes 
Aluno:________________________________________________ 
 
1) A estrutura mostrada na Figura 1 está submetida a um 
carregamento triangular q. Os pontos A e B estão ligados por um 
cabo com tensão admissível σ Cadm e área AC . As barras BC e BD 
são constituídas pelo mesmo material, têm área AB e possuem 
tensão admissível σ Badm . A) Calcule as reações de apoio nos 
pontos C e E. B) Calcule as forças nas barras BD, BC e no cabo 
AB. C) Determine o carregamento qmax para que as barras BC, BD 
ou o cabo AB não atinjam a tensão de escoamento, sabendo que 
 σ Cadm = 3σ Badm e AC = AB . D) Determine o diâmetro mínimo do 
cabo AB para que não atinja a tensão de escoamento. OBS: Para 
todos os casos considere que a tensão de escoamento para 
compressão e tração são iguais. (2.5) 
 
2) Encontre as tensões principais ( σ 1 e σ 2 ), usando o conceito de 
autovalor ( σn = λn ), sabendo que as componentes de um tensor 
tensão de Cauchy são dadas por: σ x = 2 , 
σ y = 5 , 
τ xy = τ yx = 3. 
(2.5) 
 
3) Uma cantoneira, com espessura t, é fixada ao flange de uma 
coluna do tipo I através de dois parafusos idênticos com diâmetro 
d, como mostrado na Figura 2. Uma viga na horizontal exerce 
uma pressão uniforme, p, para baixo, sobre a parte superior da 
cantoneira. As dimensões estão indicadas na figura. Determine a 
tensão cisalhante média em cada parafuso. (2.5) 
 
4) Uma caixa muito rígida com seção transversal quadrada é 
preenchida com argila ( volume = a2h , densidade igual a ρ), 
como ilustrada na Figura 3. Considere que o comportamento 
mecânico da argila obedece a lei de Hooke. O modulo de 
elasticidade (E) e o coeficiente de Poisson (v) da argila são 
conhecidos. Determine o assentamento Δh da argila como 
uma consequência do peso da argila e a distribuição da 
pressão horizontal nas paredes da caixa como uma função de 
y. OBS: lembre-se que a tensão vertical varia com y. (2.5) 
========================================= 
Deformação: 
 
ε x =
∂u
∂ x
; 
 
ε y =
∂v
∂ y
; 
 
ε z =
∂w
∂ z
; 
 
ε xy =
1
2
∂u
∂ y
+ ∂v
∂ x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
;
 
ε xz =
1
2
∂u
∂ z
+ ∂w
∂ x
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
;
 
ε yz =
1
2
∂w
∂ y
+ ∂v
∂ z
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
 
Equações constitutivas: 
 
ε x = σ x − v σ y +σ z( )⎡⎣ ⎤⎦ / Ε +αΔT 
 
ε y = σ y − v σ x +σ z( )⎡⎣ ⎤⎦ / Ε +αΔT 
 
ε z = σ z − v σ x +σ y( )⎡⎣ ⎤⎦ / Ε +αΔT e γ ij = 2ε ij = τ ij / G , i,j = 1,2,3. 
Figura 2 
Figura 3 
Figura 1 
Seção a-a 
Universidade Federal Fluminense - UFF 
Departamento de Engenharia Mecânica – TEM 
Mecânica dos sólidos I / Segunda Prova (2a VE) 1o semestre - 02/07/2018 
Prof.: Luiz Carlos da Silva Nunes 
Aluno:________________________________________________ 
 
1) A viga mostrada na Figura 1 é submetida a um carregamento triangular q sobre o seu 
comprimento livre de 100a. Despreze o peso da viga. A) Determine as coordenadas do 
centroide da viga em função de β e a. B) Assumindo regime linear elástico, determine o valor 
de β para o qual a tensão de flexão trativa máxima seja metade da tensão de flexão compressiva 
máxima, ou seja, . C) Determine o momento fletor máximo e a coordenada 
em que ocorre tal momento em função de a e do carregamento q. (Lembrete: os eixos x e y 
estão mostrados na figura). (2.5) 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Na Figura 2, uma barra cilíndrica sólida AB, com 
comprimento L e diâmetro d, possui extremidades fixa 
em A e livre em B. Um carregamento torsional é aplicado 
ao longo do comprimento da barra, ou seja, torque por 
unidade de comprimento. Tal carregamento, definido 
como t(x) , varia linearmente do valor máximo tA em A a 
zero em B. Conhecendo o módulo de cisalhamento G, 
determine: a tensão cisalhante máxima na barra e o 
ângulo de torção φ entre as extremidades da barra. (2.5) 
 
3) A seção transversal de uma barra homogênea do tipo I é 
ilustrada na Figura 3 com todas as dimensões. 
Considerando que a barra seja submetida a uma força 
cortante vertical V, determine a tensão cisalhante 
máxima. (2.5) 
 
4) A Figura 4 ilustra uma morsa que é capaz de exercer uma 
força P para fixar qualquer objeto. Sabendo que na seção 
transversal a-a ela possui uma forma retangular com 
dimensões dadas na figura, determine o estado de tensões 
nos pontos A e B. (2.5) 
========================================= 
 
dφ
dx
= T
GJ
; 
 
τ = Tr
J
; 
 
J = 1
2
πr 4 = πd
4
32
; 
 
σ = − M
I
y ; 
 
Iretangular =
bh3
12
; 
 
Icircular =
1
4
πr 4 
 
τ = VQ
It
; 
 
Qx = yA = yi Ai
i
∑ 
Carregamentos: 
 
w(x) = − dV
dx
; 
 
V (x) = dM
dx
 
Figura 1 
Figura 2 
Figura 3 
Figura 4 
Figura 4 
Universidade Federal Fluminense - UFF 
Departamento de Engenharia Mecânica – TEM 
Mecânica dos sólidos I / Terceira Prova (3a VE) 1o semestre - 09/07/2018 
Prof.: Luiz Carlos da Silva Nunes 
Aluno:________________________________________________ 
 
1) Considere uma viga com seção quadrada (a x a) 
submetida a um carregamento como mostrado na 
Figura 1. a) Determine as forças de reação nos apoios 
A e B. b) Determine o esforço cortante e o momento 
fletor na seção C. c) Determine a tensão cisalhante 
máxima e a tensão de flexão máxima (tração ou 
compressão) na seção C. (2.5) 
 
2) Determine a distribuição de tensão σ(x) ao longo da 
barra homogênea devido ao seu peso próprio. A barra 
tem espessura constante e a largura varia linearmente, 
como indicado na Figura 2. A densidade de massa é 
dada por ρ, a área em x = h é A0 e as dimensões estão 
na figura. A aceleração da gravidade é g. (2.5) 
 
3) A Figura 3 ilustra um tanque cilíndrico de paredes 
finas com suas extremidades fechadas com placas 
grossas. Tal tanque é submetido a uma pressão interna 
p. Encontre uma expressão para a razão da mudança 
de comprimento pela mudança do diâmetro do tanque, 
ou seja δL / δD . O módulo de elasticidade (E) e o 
coeficiente de Poisson (v) são conhecidos. (2.5) 
 
4) A Figura 4 ilustra uma morsa que é capaz de exercer 
uma força P para fixar qualquer objeto. Sabendo que 
na seção transversal a-a ela possui uma forma 
retangular com dimensões dadas na figura, determine 
o estado de tensões nos pontos A e B. (2.5) 
 
=================================== 
 
σ = − M
I
y ; 
 
Iretangular =
bh3
12
; 
 
τ = VQ
It
; 
 
Qx = yA = yi Ai
i
∑ 
 
εr = σ r − v σθ + σ z( )⎡⎣ ⎤⎦ / Ε 
 
εθ = σθ − v σ r + σ z( )⎡⎣ ⎤⎦ / Ε 
 
εz = σ z − v σ r + σθ( )⎡⎣ ⎤⎦ / Ε 
 
γ ij = 2εij = τij / G , i,j = 1,2,3. 
Tensões longitudinal e circunferencial (pressão): 
 
σ L =
pr
2t
 e 
 
σθ =
pr
t
 
Figura 1 
Figura 2 
Figura 3 
Seção a-a 
Figura 4 
Universidade Federal Fluminense - UFF 
Departamentode Engenharia Mecânica – TEM 
Mecânica dos sólidos I / Primeira Prova (1a VE) 2o semestre - 01/10/2018 
Prof.: Luiz Carlos da Silva Nunes 
Aluno:________________________________________________ 
 
1) O mecanismo ilustrado na Figura 1 possui uma barra AB com 
comprimento L e área de seção transversal A. Esta barra é 
submetida a uma variação de temperatura linear (ΔT) e se 
encontra no regime elástico com módulo de elasticidade E. A 
barra rígida (não deformável) BD está conectada à barra AB, e no 
ponto D existe uma força P aplicada. Determine o deslocamento 
da barra AB em função da coordenada y e dos parâmetros dados. 
A variação de temperatura é definida como: ∆!(!) = ∆!! + 
(!/!)*(∆!! − ∆!!), onde ∆!A e ∆!B são as variações de 
temperatura nos pontos A e B, respectivamente. O coeficiente de 
expansão térmica da barra AB é α. (2.5) 
 
2) A barra retangular de comprimento L possui uma ranhura 
no seu centro com metade do comprimento (L/2), como 
ilustrada na Figura 2. A barra tem largura b, espessura t e 
módulo de elasticidade E. A largura da ranhura é b/4. 
Obtenha uma expressão para o alongamento total da barra 
em função do carregamento aplicado P e dos parâmetros 
dados. OBS: Deduza as equações necessárias.(2.5) 
 
3) Um paralelepípedo de borracha, com módulo de elasticidade E 
está contido numa estrutura rígida de aço, como mostrado na 
Figura 3. Uma força vertical compressiva F é aplicada na 
estrutura de aço superior (área A) que está em contato com a 
borracha. A borracha está livre para se movimentar na direção z. 
Os deslocamentos nas direções y e z são dados, respectivamente, 
por υ = −β y
2 / 2 e w = γ z
2 / 2 , onde β e γ são constantes. 
Encontre uma expressão para a força F em função dos parâmetros 
dados. Qual o valor do coeficiente de Poisson? (2.5) 
 
4) Em uma placa de aço são colados três extensômetros elétricos (A, 
B e C) nas direções x, y e t, como indicado na Figura 4. Após um 
determinado carregamento, os valores de deformação medidos 
são: εA = ε, εB = 3ε e εC = 2ε. Determine a deformação cisalhante 
εxy. (2.5) 
 
========================================= 
Deformação: 
 
ε ij =
1
2
∂ui
∂ x j
+
∂uj
∂ xi
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ; 
Equação constitutiva: 
 
ε ij =
1+ν
E
σ ij −
ν
E
σ kkδ ij +αΔTδ ij 
 !
′ε⎡⎣ ⎤⎦ =
!
Q⎡⎣ ⎤⎦ !
ε⎡⎣ ⎤⎦
!
Q⎡⎣ ⎤⎦
T
; Matrix rotação: 
 !
Q⎡⎣ ⎤⎦ =
cosθ sinθ
−sinθ cosθ
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥ 
Figura 2 
Figura 3 
Figura 1 
Universidade Federal Fluminense - UFF 
Departamento de Engenharia Mecânica – TEM 
Mecânica dos sólidos I / Segunda Prova (2a VE) 2o semestre - 07/12/2018 
Prof.: Luiz Carlos da Silva Nunes 
Aluno:________________________________________________ 
 
1) Uma viga bi-apoiada de seção transversal T está 
posicionada entre dois suportes A e B. Esta viga possui 
densidade β e está representada na Figura 1. Determine a 
máxima distância entre os suportes Lmax , sabendo que a 
viga suporta uma tensão cisalhante equivalente a τmax . As 
dimensões estão na figura. (2.5) 
 
2) Uma barra homogênea e segmentada em duas partes, 
com comprimentos e seções circulares diferentes, é 
submetida a um torque M0 como indicado na Figura 2. 
Tal barra possui suas extremidades fixas. Determine os 
torques nas extremidades A e B. (2.5) 
 
3) Um momento binário M é aplicado a uma barra de seção 
transversal retangular que é limitada por um tubo de 
seção circular, como ilustrado na Figura 3. Determine a 
razão d/b, para o qual a tensão máxima σ max seja a 
menor possível. (2.5) 
 
4) A Figura 4 ilustra um vaso de pressão de paredes finas, 
com espessura t e raio r, submetido a uma pressão interna 
p. A base do vaso é fixa e na parte superior é soltada uma 
barra esbelta rígida (desconsiderar massa) que possui 
uma massa m na sua extremidade livre. Determine o 
estado de tensões no ponto A. (2.5) 
========================================= 
 
dφ
dx
= T
GJ
; 
 
τ = Tr
J
; 
 
J = 1
2
πr 4 = πd
4
32
; 
 
σ = − M
I
y ; 
 
Iretangular =
bh3
12
; 
 
τ = VQ
It
; 
 
Qx = yA = yi Ai
i
∑ 
 
σ = pr
t
 e 
 
σ = pr
2t
 
Figura 1 
Figura 2 
Figura 3 
Figura 4 
Figura 4 
Universidade Federal Fluminense - UFF 
Departamento de Engenharia Mecânica – TEM 
Mecânica dos sólidos I / Terceira Prova (3a VE) 1o semestre - 14/12/2018 
Prof.: Luiz Carlos da Silva Nunes 
Aluno:________________________________________________ 
 
1) Dois eixos maciços, com módulo de cisalhamento G, tem 
diâmetro d e estão interligados por meio de engrenagens, como 
ilustrado na Figura 1. A extremidade D está engastada. 
Determine os ângulos de torção das extremidades B e C, 
quando um torque T é aplicado por um motor na extremidade 
A do eixo AB. Além disso, determine o torque máximo que 
esse motor pode aplicar no conjunto, sabendo que os eixos 
suportam uma tensão cisalhante admissível igual a !!!!. (2.5) 
 
2) Na Figura 2, uma bucha de mancal, com espessura t, modulo 
de elasticidade E, coeficiente de Poisson v e coeficiente de 
expansão térmica αT, é submetida à uma variação de 
temperatura ΔT, levando a uma contração. Ela é montada 
num eixo rígido de raio r. Quais são as tensões na bucha? 
Qual a pressão entre a bucha e o eixo rígido? Considere que t 
<< r e que não existe deslocamento da bucha na direção x 
devido ao atrito. (2.5) 
 
3) Um tubo C é fixo por um parafuso S com uma porca, como 
ilustrado na Figura 3. Determine a variação do comprimento 
do tubo C, ΔLC, de comprimento inicial L, se a porca do 
parafuso S sofrer uma rotação completa, levando a um 
deslocamento h. A seguinte relação é conhecida: 
 EAC / EAS = 4 / 3 , onde E é o módulo de elasticidade e AC e 
AS são as áreas da seções transversais do tubo e do parafuso, 
respectivamente. (2.5) 
 
4) A Figura 4 ilustra uma vida AB com comprimento L e 
seção transversal retangular (b x h) submetida a uma 
força concentrada F. Determine as tensões principais 
no ponto P, localizado na seção a-a, a uma distância x 
do ponto A e y da extremidade superior (y < h/2). 
Considere um estado plano de tensão. (2.5) 
 
=================================== 
 
σ = − M
I
y ; 
 
Iretangular =
bh3
12
; 
 
τ = VQ
It
; 
 
Qx = yA = yi Ai
i
∑ 
 
dφ
dx
= T
GJ
; 
 
τ = Tr
J
; 
 
J = 1
2
πr 4 
 
ε ij =
1+ν
E
σ ij −
ν
E
σ kkδ ij +αΔTδ ij 
 
σ L =
pr
2t
 e 
 
σθ =
pr
t
 
Figura 1 
Figura 2 
Figura 3