Aula 7 - Series de pagamento e financiamento

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AULA 7 – SÉRIES DE PAGAMENTOS & FINANCIAMENTO 
 
 
Valores financeiros vinculados a datas diferentes não podem ser comparados nem 
adicionados ou subtraídos. 
 
Conceito de série: qualquer sequência de capitais reunidos sob uma determinada 
característica pode ser considerada uma série, também denominada, historicamente, 
anuidade. Esses capitais podem ser valores que caracterizam uma série de 
pagamentos, que tem como objetivo a quitação de uma dívida, ou uma série de 
rendas, que tem por objetivo a capitalização de um valor futuro. Exemplos: anuidades 
escolares, aluguéis, seguros, condomínios, poupança programada, previdências 
pública e privada. 
 
Uma série de pagamentos tem como principal característica seu valor atual na data 
zero, também denominado valor à vista, que é igual à soma de todos os valores 
(termos) da série na data zero; e depende do número e do valor dos pagamentos, bem 
como da taxa de juros utilizada no cálculo do financiamento. 
 
De acordo com suas características, as séries podem ser classificadas em dois grandes 
grupos, as séries certas ou determinísticas e as séries probabilísticas ou aleatórias. 
Uma série é denominada certa quando as datas e os valores dos seus termos são 
conhecidos. Como exemplo, temos os financiamentos com taxas prefixadas como 
mensalidades escolares e aluguel. A série aleatória não tem datas nem valores 
determinados e não serão abordadas. Os cálculos das séries aleatórias são feitos pela 
estatística, com modelos probabilísticos complexos, em uma área da matemática 
denominada atuária. 
 
Nos concentraremos em séries com as seguintes características: 
 
 série periódica: seus termos ocorrem a períodos de tempo iguais; 
 temporária: a série tem uma duração determinada; 
 constante: todos os termos da série têm o mesmo valor; 
 imediata: o primeiro termo da série está no primeiro período do prazo; 
 postecipada: cada termo localiza-se no final do período de vencimento. 
 
 
FINANCIAMENTO 
 
Fórmula do valor financiado (F): o valor de uma série na data zero é a soma de todos 
os pagamentos trazidos para a essa data. 
 
Adotando ! para representar o valor das prestações, " para o número de 
prestações, # para a taxa de financiamento, e aplicando a definição de valor atual na 
data zero a cada um dos termos da série, teremos: 
 
! = !(#$%)! +
!
(#$%)" +
!
(#$%)# +⋯+
!
(#$%)$ 
 
Fatorando e agrupando os termos da expressão acima, teremos: 
 
! = # ∙ [(#$%)
!'#]
[%.(#$%)!] {1} 
 
Note que fica bem mais simples aplicar {1} que trazer para a data zero todos os termos 
de uma série. 
 
Exemplo: Calcule o valor à vista do financiamento que quita um bem em treze 
pagamentos mensais iguais a R$250, sem entrada, sabendo que a operação foi 
calculada a juros compostos de 3% ao mês. 
 
Solução: Substituindo os valores numéricos na fórmula, temos: 
$ = 250 ∙ [(1 + 0,03)
!" − 1]
[0,03. (1 + 0,03)!"] = 4$6. 789, :; 
 
Na Calculadora RPN (HP12C) fazemos: 
 
f FIN; 250 CHS PMT; 13 n; 3 <; PV 
 
onde: 
 Valor financiado (F) PV; Taxa de financiamento (#) 	#; 
 Número de pagamentos (n) n; Valor dos Pagamentos(P) PMT 
 
Não existe nenhuma sequência fixa para a entrada dos dados nas funções de cálculo, 
a não ser que a incógnita deve ser digitada no final da sequência. 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
Exercício 1: Podemos afirmar que o valor da prestação mensal do financiamento que 
quita uma dívida de valor à vista R$ 5.000,00, a juros compostos de 5% ao mês, em 
quinze pagamentos mensais iguais, sem entrada será quanto? (R.: R$481,71) 
 
Exercício 2: O valor à vista do financiamento que quita (paga) um bem em doze 
pagamentos mensais iguais a R$500,00 sem entrada, sendo que a operação foi 
calculada a juros compostos de 5% ao mês é quanto? (R.: R$4431,63) 
 
Exercício 3: Podemos afirmar que o valor da prestação mensal do financiamento que 
quita uma dívida de valor à vista R$50.000,00, a juros compostos de 4% ao mês, em 
vinte pagamentos mensais iguais, sem entrada será de? (R.: R$3679,09) 
 
Exercício 4: Um professor compra um terreno dando R$10.000,00 de entrada mais 
trinta e seis prestações mensais consecutivas e iguais de R$500,00. Sabendo que o 
banco cobra juros compostos de 2,5% ao mês, podemos afirmar que o valor à vista do 
imóvel é quanto? (R.: R$21.778,13) 
 
Exercício 5: Um bem foi pago em dez prestações mensais consecutivas e iguais de 
R$500,00 sem entrada, em um financiamento feito a juros compostos de 5% ao mês. 
Podemos afirmar que seu valor à vista é de quanto? (R.: R$3860,87) 
 
Exercício 6: Um relógio custa à vista R$1.500,00, podendo ser pago com uma entrada 
de 20% do valor à vista mais dez prestações mensais consecutivas e iguais. Sabendo 
que a financeira cobra juros compostos de 2% a.m., podemos afirmar que o valor da 
prestação mensal será de quanto? (R.: R$133,59)