slides aula 1 trigonometria

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Prof.ª Flavia Sucheck Mateus da Rocha
Fundamentos de Matemática
Aula 1
Conversa Inicial
Proporcionalidade e semelhança
Relações métricas no triângulo retângulo
Razões trigonométricas 
Lei do senos
Lei dos cossenos
Área de um triângulo qualquer
Trigonometria nos triângulos
Teorema de Tales 
Se um feixe de retas 
paralelas é cortado por 
duas transversais, então 
dois segmentos de uma 
delas são proporcionais 
ao segmento 
correspondente da outra
Teorema de Tales
A
B
C
M
N
P
Exemplo 1 
A
B
C
M
N
P
5 m
8 m
7,5 m
x
1 2
3 4
5 6
2
Exemplo 2
A
B
C
M
N
P
8 cm 
10 cm
AC = 10cm 
x Semelhança de triângulos 
AA
LLL
LAL
Semelhança de triângulos
A
B C
D
E F
A
B C
D
E F
A
B C
D
E F
Qual o valor de x no triângulo a seguir?
Exemplo
𝟑𝟎 𝟏𝟖 𝒉 𝒉 𝟐𝟒
𝟐𝟒
𝟏𝟖
𝒙
𝟑𝟔
 𝟏𝟖𝒙 𝟖𝟔𝟒
𝑥 48
A B
C
30cm
56o
18cm D E
F
56o
36cm
X
Relações métricas no triângulo 
retângulo 
O triângulo retângulo é aquele que contém 
um ângulo reto
Possui hipotenusa e catetos
Triângulo retângulo
A
B
Hipotenusa
Cateto
Cateto
α
β
C
7 8
9 10
11 12
3
Animação sobre as relações entre os 
quadrados dos lados do triângulo retângulo
Disponível em: "Guru da Ciência“ - http://youtube.com/danielpetri
https://www.youtube.com/watch?v=skkeC4QLz8o
Outras relações métricas
ℎ 𝑚.𝑛 
𝑐 𝑎.𝒎 
𝑏 𝑎.𝒏 
 𝑎. ℎ 𝑏. 𝑐 
𝑎 𝑚 𝑛
B C
H
m
A
c b
h
n
a
Um poste de 9 metros quebrou-se num ponto 
a uma distância x do solo. A parte de cima do 
poste inclinou-se e tocou o solo a uma 
distância de 3 m da base deste. A que altura 
do solo o poste quebrou?
Exemplo
(9-x)²=x²+3²
81-18x+x²=x²+9
-18x=-72 x=4
Exemplo
3
9-xx
Relações trigonométricas no 
triângulo retângulo Seno = 
𝑪𝑶
𝑯𝑰
Cosseno = 𝑪𝑨
𝑯𝑰
Tangente = 𝑪𝑶
𝑪𝑨
Seno, cosseno e tangente
A B
Hipotenusa
Cateto
Cateto
α
β
C
13 14
15 16
17 18
4
Exemplos
Calcule sen α e sen β. 
𝒔𝒆𝒏 𝒂
𝟒
𝟓
𝒔𝒆𝒏 𝑩
𝟑
𝟓
5
4
3
α
β
Ângulos notáveis
30o 45o 60o
sen
𝟏
𝟐
𝟐
𝟐
𝟑
𝟐
cos 𝟑
𝟐
𝟐
𝟐
𝟏
𝟐
tan 𝟑
𝟑
𝟏 𝟑
Qual a altura do prédio?
𝐭𝐠𝟑𝟎
𝑪𝑶
𝟔𝟎
𝟑
𝟑
𝒉
𝟔𝟎
 𝒉 𝟐𝟎 𝟑 𝒎
Lei dos senos e dos cossenos 
Lei dos senos
A
B
b
a
c
C
𝒂
𝒔𝒆𝒏𝑨
= 
𝒃
𝒔𝒆𝒏𝑩
𝒄
𝒔𝒆𝒏𝑪
Calcule a medida do lado AB do seguinte 
triângulo:
Exemplo
𝒔𝒆𝒏 𝟒𝟓
𝒙
𝒔𝒆𝒏 𝟑𝟎
𝟏𝟐
𝟐
𝟐
𝒙
𝟏
𝟐
𝟏𝟐
𝟏𝟐 𝟐
𝟐
𝒙
𝟐
 𝒙 𝟏𝟐 𝟐 𝒄𝒎 
B
30o
X
12cm
45o
A
C
19 20
21 22
23 24
5
Lei dos cossenos
𝑎 𝑐 𝑏 2𝑏. 𝑐. 𝑐𝑜𝑠𝛼
𝑏 𝑎 𝑐 2.𝑎. 𝑐. 𝑐𝑜𝑠𝛽
𝑐 𝑎 𝑏 2.𝑎. 𝑏. 𝑐𝑜𝑠𝛾
B
𝞬
c𝞪
A
C
b
a
𝝱
Determine o valor de b no triângulo abaixo. 
Considere 2 1,41.
Exemplo
𝒃𝟐 𝟏𝟐𝟐 𝟏𝟎𝟐 𝟐.𝟏𝟐.𝟏𝟎. 𝒄𝒐𝒔𝟒𝟓°
𝒃𝟐 𝟏𝟒𝟒 𝟏𝟎𝟎 𝟏𝟐𝟎 𝟐
𝒃𝟐 𝟕𝟒,𝟖
𝒃 ≅ 𝟖,𝟔𝟓 𝒄𝒎
C
45o
10cm
b12cm
B
A
Teorema das áreas 
Teorema das áreas
𝑨∆
𝒂.𝒃. 𝒔𝒆𝒏𝒀
𝟐
𝒃. 𝒄. 𝒔𝒆𝒏𝒂
𝟐
𝒄.𝒂. 𝒔𝒆𝒏𝜷
𝟐A
C
D
p
B
c a
h
q
b
𝞬
𝝱
𝞪
Exemplo: determine a área do triângulo ABC:
Área = 𝒂.𝒄.𝒔𝒆𝒏𝜷
𝟐
Área = 𝟏𝟎.𝟖.𝒔𝒆𝒏𝟑𝟎
∘
𝟐
Área = 𝟏𝟎.𝟖.𝒔𝒆𝒏𝟑𝟎
∘
𝟐
= 20
c = 8
b
a = 10
30o Na Prática
25 26
27 28
29 30
6
𝒙
𝟏𝟐
𝟐
𝟐𝟎
 𝒙 𝟏,𝟐 𝒄𝒎
Qual o valor de x na figura?
12cm
4
cm 6
cm
8cm
x
Uma escada de 6 m de comprimento está 
apoiada em uma parede, formando um ângulo 
de 30º com o chão. Qual é a altura em que a 
escada toca a parede?
𝒔𝒆𝒏 𝟑𝟎
𝑪𝑶
𝑯𝑰
 
𝟏
𝟐
𝒉
𝟔
 𝒉 𝟑 𝒎6mh
30o
Finalizando Teorema de Tales
Semelhança de triângulos
Trigonometria no triângulo
O que vimos nesta aula?
31 32
33 34