Problemas de funciones lineales y su representacion mediante matrices.

Cálculo Diferencial en Varias Variables
BENEMÉRITA UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE PUEBLA
Lázaro R. Dı́az Lievano
Licenciatura en F́ısica
201910145
Febrero 2021
1.68. Evaluar los determinantes
a) det
(
1 0
0 1
)
= (1)(1)− (0)(0) = 1
b) det
(
1 0
0 −1
)
= (1)(−1)− (0)(0) = −1
c) det
(
1 2
0 −1
)
= (1)(−1)− (2)(0) = −1
d) det
(
1 4
1 4
)
= (1)(4)− (1)(4) = 0
e) det[U V ], donde las columnas U y V son linealmente dependientes en R2.
Como U y V son linealmente dependientes, y por propiedad v) del determinante, tenemos que:
det[U V ] = 0
1.69. Demuestre que det[UV ] es una función bilineal de pares de vectores columna U , V en R2 verificando
que:
a) det[U + W V ] = det[U V ] + det[W V ] y det[U V + W ] = det[U V ] + det[U W ]
Sea U = (u1, u2), V = (v1, v2) y W = (w1, w2), entonces:
det[U + W V ] = det
(
u1 + w1 v1
u2 + w2 v2
)
= (u1 + w1)v2 − (u2 + w2)v1
= u1v2 + w1v2 − u2v1 − w2v1
= u1v2 − u2v1 + w1v2 − w2v1
= det[U V ] + det[W V ]
1
det[U V + W ] = det
(
u1 v1 + w1
u2 v2 + w2
)
= u1(v2 + w2)− u2(v1 + w1)
= u1v2 + u1w2 − u2v1 − u2w1
= u1v2 − u2v1 + u1w2 − u2w1
= det[U V ] + det[U W ]
b) det[cU V ] = cdet[U V ] y det[U cV ] = cdet[U V ]
Sea c un numero y U = (u1, u2), V = (v1, v2) vectores en R2, entonces:
det[cU V ] = det
(
cu1 v1
cu2 v2
)
= (cu1)v2 − (cu2)v1
= cu1v2 − cu2v1
= c det[U V ]
det[U cV ] = det
(
u1 cv1
u2 cv2
)
= u1(cv2)− u2(cv1)
= cu1v2 − cu2v1
= c det[U V ]
1.70. Utilice la bilinealidad de la función determinante para demostrar que cada expresión es cero.
a) det
(
5a b
5c d
)
− 5det
(
a b
c d
)
det
(
5a b
5c d
)
− 5det
(
a b
c d
)
= det
[(
5a b
5c d
)
− 5
(
a b
c d
)]
= det
[(
5a b
5c d
)
−
(
5a 5b
5c 5d
)]
= det
(
0 −4b
0 −4d
)
= (0)(−4d)− (0)(−4b) = 0
b) det
(
x y − z
v w
)
− det
(
x y
v w
)
+ det
(
x z
v 0
)
det
(
x y − z
v w
)
− det
(
x y
v w
)
+ det
(
x z
v 0
)
= det
[(
x y − z
v w
)
−
(
x y
v w
)]
+ det
(
x z
v 0
)
= det
(
x− x (y − z)− y
v − v w − w
)
+ det
(
x z
v 0
)
= det
(
0 −z
0 0
)
+ det
(
x z
v 0
)
= det
(
x− x (y − z)− y
v − v w − w
)
= det
(
0 −z
0 0
)
= (0)(0)− (0)(−z) = 0
2
1.71. Evalua las determinantes
a) det
1 0 00 1 0
0 0 1
 = 1det(1 0
0 1
)
= 1(1− 0) = (1)(1) = 1
b) det
1 0 00 1 0
0 0 −1
 = 1det(1 0
0 −1
)
= (1)(−1− 0) = −1
c) det
1 0 00 −1 0
0 0 −1
 = 1det(−1 0
0 −1
)
= 1(1− 0) = 1
d) det
1 0 00 0 2
0 3 0
 = 1det(0 2
3 0
)
= 1(0− 6) = −6
e) det
0 0 30 2 0
1 0 0
 = 3det(0 2
1 0
)
= 3(0− 2) = −6
1.72. Encuentre la forma s(3241) a partir de la ecuación
(x3x2)(x3x4)(x3x1)(x2x4)(x2x1)(x4x1)
= s(3241)(x1x2)(x1x3)(x1x4)(x2x3)(x2x4)(x3x4).
Tenemos que:(
1 2 3 4
3 2 4 1
)
por lo que: p(1) = x1 = 3, p(2) = x2 = 2, p(3) = x3 = 4 y p(4) = x4 = 1, sustituyen-
do estos valores en nuestra ecuación, tenemos:
(4− 2)(4− 1)(4− 3)(2− 1)(2− 3)(1− 3) = s(3241)(3− 2)(3− 4)(3− 1)(2− 4)(2− 1)(4− 1)
(2)(3)(1)(1)(−1)(−2) = s(3241)(1)(−1)(2)(−2)(1)(3)
(2)(3)(1)(1)(−1)(−2)
(1)(−1)(2)(−2)(1)(3)
= s(3241)
1 = s(3241)
=⇒ s(3241) = 1
1.73. En la permutación 3241 hay un numero par de casos en los que un número mayor está a la izquierda
de uno menor, 41, 21, 31, 32, y la signatura es +1. (Ver Problema 1.72.)
a) Demostrar en general la signatura de una permutación es +1 si hay un número par número de tales
casos y es −1 si hay un número impar.
Sea P = P1P2...Pn, una permutación, como c(P ) es el número de intercambios, el signo de la permuta-
ción esta denotado como P (s) = (−1)c(P ), por otro lado sea 2n+1 impares y 2n pares, demostremos que:
P (s) = (−1)2n = 1 ∧ P (s) = (−1)2n+1 = −1
3
Demostremos P (s) = (−1)2n = 1
Demostremos por inducción
Para n=1
(−1)2(1) = (−1)2 = 1
Supongamos que es valido para un numero cualquiera en N, n = k
(−1)2k = 1
Ahora para n=k+1
(−1)2(k+1) = (−1)2k+2 = (−1)2k(−1)2 = (1)(1) = 1
∴ La signatura de la permutación es +1 cuando c(P) es par.
Análogamente demostramos P (s) = (−1)2n+1 = −1
Demostremos por inducción
Para n=1
(−1)2(1)+1 = (−1)3 = −1
Supongamos que es valido para un numero cualquiera en N, n = k
(−1)2k+1 = −1
Ahora para n=k+1
(−1)2(k+1)+1 = (−1)2k+2+1 = (−1)2k+1(−1)2 = (−1)(1) = −1
∴ La signatura de la permutación es −1 cuando c(P) es impar.
b) Encuentra s(1237456).
Como 74, 75, 76, son los números en los que un numero mayor esta a la izquierda de un menor, entonces
c(P)=3, por inciso a) tenemos que es −1, ya que 3 es impar.
∴ s(1237456) = −1.
c) Encuentra s(1273456).
Como 73, 74, 75, 76, son los números en los que un numero mayor esta a la izquierda de un menor,
entonces c(P)=4, por inciso a) tenemos que es 1, ya que 4 es par.
∴ s(1273456) = 1.
1.74. Evalúa las determinantes
a)

1 0 0 · · · 0
0 2 0 · · · 0
...
...
. . .
...
0 0 0 · · · n

Como se trata de una matriz diagonal, y el determinante de una matriz diagonal es igual al producto
de su diagonal, tenemos que 1 · 2..... · n = n!
∴ det

1 0 0 · · · 0
0 2 0 · · · 0
...
...
. . .
...
0 0 0 · · · n
 = n!
4
b)

n 1 1 · · · 1
0 n− 1 1 · · · 1
...
...
. . .
...
0 0 0 3 1
0 0 0 · · · 2

Como se trata de una matriz triangular, y el determinante de una matriz triangular es igual al producto
de su diagonal, tenemos que n · (n− 1) · (n− 2)..... · 3 · 2 = n!
∴ det

n 1 1 · · · 1
0 n− 1 1 · · · 1
...
...
. . .
...
0 0 0 3 1
0 0 0 · · · 2
 = n!
1.75. Cuando p y q son permutaciones de 1, 2, 3, ..., n escribimos la composición q seguida de p como pq.
Demuestre que la signatura de las permutaciones tiene la propiedad s(pq) = s(p)s(q).
La definición [1.15] define el signo de la permutación p de 1, 2, ..., n como el número s(p) = 1 o −1 tal que:∏
i<j
(xpi − xpj ) = s(p)
∏
i<j
(xi − xj)
Ahora bien, sea q = q1q2...qn, entonces la combinación de pq es pq = pq1pq2 ...pqn , denotemos xpqi = yqi , i.e.
xpk = yk, ∀k, entonces:∏
i<j
(xpqi − xpqj ) =
∏
i<j
(yqi − yqj ) = s(p)
∏
i<j
(yi − yj) = s(p)
∏
i<j
(xpi − xpj ) = s(q)s(p)
∏
i<j
(xi − xj)
∴ s(pq) = s(q)s(p)
1.76. Utilice el resultado del problema 1.75 para demostrar que una permutación y su inversa tienen la
misma signatura.
s(pp−1) = s(p)s(p−1) =⇒ s(1) = 1 = s(p)s(p−1)
Entonces, concluimos que
s(p) =
1
s(p−1)
Como el numerador es positivo y el signo de la fracción depende del valor de s(p−1), entonces s(p) = s(p−1).
s(pp−1) = s(p)s(p−1) =⇒ s(1) = 1 = s(p)s(p−1)
Entonces, concluimos que
s(p) =
1
s(p−1)
Como el numerador es positivo y el signo de la fracción depende del valor de s(p−1), entonces s(p) = s(p−1).
Como el numerador es positivo y el signo de la fracción depende del valor de s(p−1), entonces s(p) =
s(p−1).
1.77. Demuestre que la orientación de la lista ordenada de vectores E1, E3, E2 en R3, y la signatura
5
s(132), son ambas negativas.
Sea E1 = (1, 0, 0), E2 = (0, 1, 0), E3 = (0, 0, 1) en R3, entonces:
det
1 0 00 0 1
0 1 0
 = 1det(0 1
1 0
)
= 1(0− 1) = −1
Por otro lado, como 32 es el único número en el que un numero mayor esta a la izquierda de uno menor, por
lo que c(P ) = 1, entonces s(P ) = (−1)1 = −1
∴ la orientación de E1, E3, E2 en R3, y la signatura s(132) son negativas.
1.78. Demuestre que la orientación de la lista ordenada de vectores E3, E1, E2 en R3, y la signatura
s(312), son ambas positivas.
Sea E1 = (1, 0, 0), E2 = (0, 1, 0), E3 = (0, 0, 1) en R3, entonces:
det
0 0 11 0 0
0 1 0
 = 1det(1 0
0 1
)
= 1(1− 0) = 1
Por otro lado, como 31, 32 son los números en donde un numero mayor esta a la izquierda de uno menor,
por lo que c(P ) = 2, entonces s(P ) = (−1)2 = 1.
∴ la orientación de E3, E1, E2, y la signatura s(312) son positivas.
6