Métodos Numéricos: Raízes de Funções

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m quarta, 1 jun 2022, 10:39
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Concluída em quarta, 1 jun 2022, 11:10
Tempo
empregado
31 minutos 41 segundos
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Questão 1
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Antes de aplicarmos o método de Newton para refinamento das raízes de uma função, devemos realizar o isolamento das raízes por meio
do método gráfico. Nesse sentido, suponha que esse trabalho inicial foi realizado e determinamos que . Dessa forma,
considere a função e uma tolerância . Ao utilizarmos o método de Newton, assinale a alternativa que
corresponde ao número mínimo de iterações necessárias para encontrarmos uma raiz pertencente ao intervalo .
a. 1.
b. 2.
c. 7 .
d. 5. Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando o método de Newton para a função 
, verificamos que o número mínimo de iterações com a tolerância e intervalos dados é
igual a 5, conforme tabela a seguir:
 
 
0
 
0,1
 
-2,2025851
 
11
 
 
 
1
 
0,30023501
 
-0,9029547
 
4,33072417
 
0,20023501
 
2
 
0,50873472
 
-0,1670939
 
2,965661
 
0,20849971
 
3
 
0,56507759
 
-0,0057146
 
2,76966848
 
0,05634287
 
4
 
0,56714088
 
-6,65E-06
 
2,76323032
 
0,00206329
 
5
 
0,56714329
 
-9,003E-12 2,76322283
 
2,4066E-06
 
e. 3.
A resposta correta é: 5.
Questão 2
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Uma das aplicação dos métodos numéricos é o cálculo de raízes de funções. Ao utilizar o método de Newton, calcule a quinta ( )
aproximação da raiz positiva da função . Para tanto, isole a raiz em um intervalo ( e naturais) de comprimento 1,
isto é, . Note que, ao determinar a raiz positiva da função dada, você estará calculando uma aproximação para a raiz quadrada
de 10. Assinale a alternativa que apresenta o valor correto de .
a.
b.
c.
d.
e. Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando o método de Newton para a função 
, calculamos uma aproximação para a raiz quadrada de 10, logo, .
 
 
0
 
4
 
6
 
8
 
 
 
1
 
3,25
 
0,5625
 
6,5
 
0,75
 
2
 
3,16346154
 
0,00748891
 
6,32692308
 
0,08653846
 
3
 
3,16227788
 
1,401E-06
 
6,32455576
 
0,00118366
 
4
 
3,16227766
 
4,9738E-14
 
6,32455532
 
2,2152E-07
 
A resposta correta é: 
Questão 3
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Um dos métodos numéricos utilizados para determinação das raízes de uma função qualquer é o método da iteração linear. Considere 
, em que . Assim, a partir do uso do método linear e considerando a sequência de raízes , calcule o .
Assinale a alternativa correta.
a. 2,13977838. Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando o método da iteração linear e calculando a
função de iteração , encontramos , conforme podemos verificar na
tabela a seguir:
 
 
0
 
2
 
 
 
1
 
2,13198295
 
0,131982947
 
2
 
2,13931949
 
0,007336548
 
3
 
2,13977838
 
0,000458881
 
b. 2,13980919.
c. 2,13198295.
d. 2,13235678.
e. 2,13931949.
A resposta correta é: 2,13977838.
Questão 4
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Com a equação de Lambert, dada por , em que t é um número real positivo, é possível obter uma única solução , que pertence ao
intervalo [0,t]. Por intermédio do método de Newton e usando essa estimativa como intervalo inicial, calcule quantas iterações são
necessárias para obter o valor numérico de quando t=2, considere uma tolerância . Assinale a alternativa correta.
a. 5.
b. 6. Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando o método de Newton na função 
, determinamos que o número mínimo de iterações é igual a 6, conforme a tabela a
seguir:
 
 
0
 
2
 
12,7781122
 
22,1671683
 
 
 
1
 
1,42355686
 
3,910411301
 
10,0622731
 
0,57644314
 
2
 
1,03493579
 
0,913267121
 
5,7281926
 
0,38862107
 
3
 
0,87550206
 
0,10127495
 
4,50135492
 
0,15943373
 
4
 
0,85300329
 
0,001729204
 
4,34841325
 
0,02249877
 
5
 
0,85260562
 
5,29273E-07
 
4,34575157
 
0,00039766
 
6
 
0,8526055
 
5,01821E-14
 
4,34575075
 
1,2179E-07
 
c. 4.
d. 7.
e. 8.
 
A resposta correta é: 6.
Questão 5
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Vamos considerar um problema físico de estática: uma plataforma está fixada em uma janela de madeira por meio de uma dobradiça, em
que momento é calculado por , é o ângulo da plataforma com a horizontal e k é uma constante positiva. A plataforma é feita de
material homogêneo, seu peso é P e sua largura é l. Modelando o problema, podemos mostrar que com . A partir
do método de Newton, com uma tolerância e o menor número possível de iterações, determine o valor de para l=1 m, P=400 N,
k=50 Nm/rad, sabendo que o sistema está em equilíbrio. Assinale a alternativa que corresponde ao valor correto de .
a. .
b. .
c. .
d. .
e. . Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando o método de Newton na função 
, determinamos que satisfaz a tolerância desejada, conforme a tabela a
seguir:
 
0
 
1,57079633
 
1,57079633
 
5
 
 
 
1
 
1,25663706
 
0,02056908
 
4,80422607
 
0,31415927
 
2
 
1,25235561
 
1,1379E-05
 
4,79889904
 
0,00428146
 
3
 
1,25235323
 
3,5203E-12
 
4,79889607
 
2,3711E-06
 
A resposta correta é: .
Questão 6
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Questão 7
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Um dos métodos numéricos utilizados para determinação das raízes de uma função polinomial é o método da iteração linear. Isole a raiz
positiva da função polinomial em um intervalo ( e naturais) de comprimento 1, isto é, Calcule a
quarta ( ) aproximação para esta raiz, considere . Assinale a alternativa correta.
a. 1,07989647.
b. 1,10048178.
c. 1,07998603. Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando o método da iteração linear e calculando a
função de iteração , encontramos , conforme a tabela a seguir:
 
 
0
 
1,4
 
 
 
1
 
1,10048178
 
0,299518223
 
2
 
1,08125569
 
0,019226082
 
3
 
1,07998603
 
0,001269666
 
d. 1,08125569.
e. 1,07990202.
A resposta correta é: 1,07998603.
Quando desejamos determinar a raiz de uma função com precisão elevada, podemos utilizar o método de Newton. Sendo assim,
considere a função e uma tolerância . Utilizando o método de Newton, calcule qual o número mínimo de
iterações necessárias para encontrar uma raiz pertencente ao intervalo [2,7;3,3]. Assinale a alternativa correta.
a. 5.
b. 7.
c. 9 .
d. 3. Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando o método de Newton para a função 
, percebemos que o número mínimo de iterações é igual a 3, conforme tabela a
seguir:
 
 
0
 
3,3
 
1,60892373
 
6,52810763
 
 
 
1
 
3,05353903
 
0,06096316
 
6,03339181
 
0,24646097
 
2
 
3,04343474
 
0,00010247
 
6,01310873
 
0,01010429
 
3
 
3,0434177
 
2,9149E-10
 
6,01307452
 
1,7042E-05
 
e. 1.
A resposta correta é: 3.
Questão 8
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Um dos métodos numéricos usado na resolução de equações/funções é o método da iteração linear, também conhecido como método do
ponto fixo. A partir da utilização do método citado, calcule em relação à sequência de raízes aproximadas da raiz da função 
 no intervalo de . Para tanto, faça e escolha uma função de iteração apropriada. Assinale a alternativa
correta.
a. 0,003458.
b. 0,444036.
c. 0,000772.
d. 0,054729.
e. 0,006486. Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando o método da iteração linear e calculando a
função de iteração igual a , obtemos , como podemos verificar
na tabela a seguir:
 
 
0
 
-0,2
 
 
 
1
 
-0,6440364
 
0,444036421
 
2
 
-0,5893074
 
0,054728994
 
3
 
-0,5957933
 
0,006485872
 
A resposta correta é: 0,006486.
Questão 9
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Em problemas de fluxo em tubulações, precisamos resolver a seguinte equação:
 
Se , e , usando o método da iteração linear, calcule a raiz da equação dada, com uma tolerância e o
menor número possível de iterações. Para isso, isole a raiz num intervalo de comprimento 1, ou seja, ( e inteiros) e 
.
 FRANCO, N. M. B. Cálculo Numérico. São Paulo: Pearson, 2006.
 Assinale a alternativacorreta.
a. -0,4000002.
b. -0,3996868. Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando o método da iteração linear e calculando
a função , encontramos , conforme a tabela a seguir:
 
 
 
0
 
-1
 
 
 
1
 
-0,4128918
 
0,587108208
 
2
 
-0,3999897
 
0,012902141
 
3
 
-0,3996868
 
0,000302884
 
c. -0,4003081.
d. -0,4131667.
e. -0,3999897.
A resposta correta é: -0,3996868.
Questão 10
Correto
Atingiu 1,00 de 1,00
Isolando a raiz positiva da função em um intervalo ( e naturais) de comprimento 1, isto é, e
utilizando o método da Iteração Linear, calcule a terceira ( ) aproximação para esta raiz. Calcule e escolha uma função de
iteração apropriada. Assinale a alternativa correta.
a. 1,10048178.
b. 1,07990202.
c. 1,07989647.
d. 1,07998603.
e. 1,08125569. Resposta correta. A alternativa está correta, pois aplicando o método da iteração linear e calculando a
função de iteração igual a , encontramos , conforme a tabela a
seguir:
 
 
0
 
1,4
 
 
 
1
 
1,10048178
 
0,299518223
 
2
 
1,08125569
 
0,019226082
 
A resposta correta é: 1,08125569.