turmafevereiro-matemática1-Produtos notáveis e Fatoração-25-02-2021-

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Matemática 
Produtos notáveis e Fatoração 
Objetivo 
Identificar e aplicar corretamente casos de produtos notáveis e fatoração. Saber utilizar os produtos notáveis 
e fatoração para facilitar o tratamento de expressões algébricas. 
 
Se liga 
Para este módulo, é interessante algumas propriedades de potenciação. Quer relembrá-las? Então assiste a 
essa aula. ;) 
 
Curiosidade 
O produto notável (𝑎 + 𝑏)² equivale a calcular a área de um quadrado cujo lado mede 𝑎 + 𝑏. 
Teoria 
 
Produtos Notáveis 
Por serem frequentes no cálculo algébrico, alguns produtos são chamados de produtos notáveis. São eles: 
• Produto da soma pela diferença de dois termos: (𝑥 + 𝑦) ∙ (𝑥 − 𝑦) 
• Quadrado da soma de dois termos: (𝑥 + 𝑦) ∙ (𝑥 + 𝑦) = (𝑥 + 𝑦)² 
• Quadrado da diferença de dois termos: (𝑥 − 𝑦) ∙ (𝑥 − 𝑦) = (𝑥 − 𝑦)² 
 
Desenvolvendo esses produtos temos (aplicando a distributiva): 
• (𝑥 + 𝑦) ∙ (𝑥 − 𝑦) = 𝑥² + 𝑥𝑦 − 𝑥𝑦 − 𝑦² = 𝒙² − 𝒚² 
O produto da soma pela diferença é igual à diferença de quadrados. 
 
• (𝑥 + 𝑦) ∙ (𝑥 + 𝑦) = (𝑥 + 𝑦)² = 𝑥² + 𝑥𝑦 + 𝑥𝑦 + 𝑦² = 𝒙² + 𝟐𝒙𝒚 + 𝒚² 
O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro, mais duas vezes o primeiro termo 
vezes o segundo, mais o quadrado do segundo. 
Obs.: esse resultado é chamado trinômio quadrado perfeito. 
 
• (𝑥 − 𝑦) ∙ (𝑥 − 𝑦) = (𝑥 − 𝑦)² = 𝑥² − 𝑥𝑦 − 𝑥𝑦 + 𝑦² = 𝒙² − 𝟐𝒙𝒚 + 𝒚² 
O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro, menos duas vezes o primeiro 
termos vezes o segundo, mais o quadrado do segundo. 
https://descomplica.com.br/cursos/enem-extensivo-2018/aulas/potenciacao/videos/propriedades-da-potencia/
 
 
 
 
 
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Matemática 
Alguns exemplos de aplicação: 
• (3 + 𝑥)² = 3² + 2 ∙ 3 ∙ 𝑥 + 𝑥² = 9 + 6𝑥 + 𝑥² 
• (2𝑥 − 3𝑦)² = (2𝑥)² − 2 ∙ 2𝑥 ∙ 3𝑦 + (3𝑦)² = 4𝑥² − 12𝑥𝑦 + 9𝑦² 
• (4𝑥 + 2)(4𝑥 − 2) = (4𝑥)2 − 22 = 16𝑥² − 4 
 
 
Fatoração 
Fatorar uma expressão diz respeito a transformação em fatores de um produto. Por exemplo: A forma 
fatorada de 𝑥² + 2𝑥 + 1 é (𝑥 + 1)² (que é igual (𝑥 + 1)(𝑥 + 1)), a forma fatorada de 𝑥² − 5𝑥 + 6 é (𝑥 − 2) ∙
(𝑥 − 3). O que faremos, muitas vezes, é fazer o caminho inverso ao de um produto notável. 
Fatorar muitas vezes é útil para simplificações algébricas. Por exemplo: 
𝑥²+2𝑥+1
𝑥+1
=
(𝑥+1) ∙ (𝑥+1)
(𝑥+1)
= (𝑥 + 1). 
 
Fator comum em evidência 
Uma técnica muito útil é a de fatorar pelo fator comum em evidência. Como, por exemplo: 2𝑥 + 2𝑦. Note que 
2 é fator comum em ambos os termos. Logo, podemos reescrever 2𝑥 + 2𝑦 como 2(𝑥 + 𝑦). Caso efetue a 
distributiva chega-se ao termo original 2𝑥 + 2𝑦. Observe alguns exemplos de fatoração pelo fator comum em 
evidência: 
• 𝑎 + 𝑎𝑏 = 𝑎(1 + 𝑏). Nesse caso, o fator comum é o 𝑎. 
• 10𝑥 − 20𝑦 = 10(𝑥 − 2𝑦). Nesse caso, o fator comum é o 10, que é o maior divisor comum entre 10 e 20. 
• 𝑥³ + 3𝑥 = 𝑥(𝑥² + 3). Nesse caso, o fator comum é o 𝑥. 
• 𝑥3𝑦2 − 𝑥𝑦2 + 𝑥𝑦 = 𝑥𝑦(𝑥2𝑦 − 𝑦 + 1). Nesse caso, o fator comum é 𝑥𝑦. 
 
Agrupamento 
Essa outra técnica é usada quando o fator comum é um grupo comum. Por exemplo: 2𝑥 + 2 + 𝑎𝑥 + 𝑎. Nesse 
caso podemos fatorar pelo fator comum os dois primeiros e os dois últimos termos dessa soma, ficando com 
2(𝑥 + 1) + 𝑎(𝑥 + 1). Note que, após essa primeira etapa, 𝑥 + 1 é comum a ambos os termos da soma. Logo, 
podemos por esses termos em evidência, agrupando-o: (𝑥 + 1)(2 + 𝑎). Para verificar se isso foi feito 
corretamente, efetue a distributiva e você voltará ao 2𝑥 + 2 + 𝑎𝑥 + 𝑎. Outros exemplos: 
• 𝑥² + 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑎𝑏 = 𝑥(𝑥 + 𝑎) + 𝑏(𝑥 + 𝑎) = (𝑥 + 𝑎)(𝑥 + 𝑏) 
• 𝑥³ − 𝑥² + 𝑥 − 1 = 𝑥²(𝑥 − 1) + 1 ∙ (𝑥 − 1) = (𝑥 − 1)(𝑥2 + 1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Matemática 
Exercícios de fixação 
 
1. Aplique os seguintes produtos notáveis: 
a) (4𝑟 + 3)2 
b) (
9
2
− 𝑠)
2
 
c) (6𝑢 + 5)(6𝑢 − 5) 
 
 
2. Determine o valor de 2021
2 − 2020²
4041
. 
 
 
3. Julgue os itens a seguir em verdadeiro (V) ou falso (F). 
( ) Dados dois números 𝑎 e 𝑏, temos que (𝑎 + 𝑏)² = (−𝑎 − 𝑏)². 
( ) Dados dois números 𝑚 e 𝑛, temos que (𝑚 + 𝑛)2 − 4𝑚𝑛 = (𝑚 − 𝑛)². 
( ) O valor de (√2 + √3)
2
 é igual a 5 + 2√6. 
 
 
4. A diferença entre o quadrado da soma e o quadrado da diferença de dois números reais é igual a: 
a) a diferença dos quadrados dos dois números. 
b) a soma dos quadrados dos dois números. 
c) a diferença dos dois números. 
d) ao dobro do produto dos números. 
e) ao quádruplo do produto dos números. 
 
 
5. Faça o que se pede: 
a) Seja 𝑥2 + 𝑦2 = 60. Qual é o valor positivo de 𝑥 + 𝑦, sabendo que 𝑥𝑦 = 20? 
b) Preencha as lacunas a fim de tornar a sentença abaixo verdadeira: 
(3 𝑎 + ) ² = 9 𝑎 ² + 30 𝑎 + 
c) Preencha as lacunas a fim de tornar a sentença abaixo verdadeira: 
( + 8 ) ² = 4𝑥 ² + + 64 
d) Que número devemos adicionar à expressão 25𝑥2 + 30𝑥 para transformá-la em um trinômio 
quadrado perfeito? 
e) Que número devemos adicionar à expressão 
𝑥2
4
+ 7𝑥 para transformá-la em um trinômio quadrado 
perfeito? 
 
 
 
 
 
 
 
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Matemática 
Exercícios de vestibulares 
 
 
1. Qual é o fator comum a todos os termos do polinômio 18𝑥2𝑦8 − 36𝑥9𝑦9 + 24𝑥³𝑦5? 
a) 6𝑥2𝑦5 
b) 2𝑥2𝑦9 
c) 36𝑥9𝑦9 
d) 3𝑥9𝑦9 
e) 6𝑥9𝑦9 
 
 
2. O produto (4𝑥 + 𝑦)(4𝑥 – 𝑦) equivale a: 
a) 16𝑥² – 𝑦² 
b) 8𝑥² – 𝑦² 
c) 4𝑥² – 𝑦² 
d) 16𝑥² – 8𝑥𝑦 + 𝑦² 
e) 8𝑥2– 4𝑥𝑦 + 𝑦2 
 
 
 
3. Fatorando a expressão 𝑎𝑐 + 2𝑏𝑐 – 𝑎𝑑 – 2𝑏𝑑, obtemos: 
a) (𝑎 – 2𝑏)(𝑐 – 𝑑) 
b) (𝑎 + 2𝑏)(𝑐 – 𝑑) 
c) (𝑎 – 2𝑏) (𝑐 + 𝑑) 
d) (𝑎 + 𝑐)2(𝑎 – 𝑏) 
e) (𝑎– 𝑐)(𝑎 + 2𝑏) 
 
 
4. Se (𝑥 − 1
𝑥
)
2
= 3 , então 𝑥2 +
1
𝑥2
 é igual a: 
a) 0 
b) 1 
c) 5 
d) 6 
e) 8 
 
 
 
 
 
 
 
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Matemática 
5. Se 𝑥 + 𝑦 = 13 e 𝑥 · 𝑦 = 1, então 𝑥² + 𝑦² é 
a) 166 
b) 167 
c) 168 
d) 169 
e) 170 
 
 
6. O valor da expressão 
𝑥2−𝑦²
𝑥+𝑦
∙
𝑥2−2𝑥𝑦+𝑦²
𝑥−𝑦
 , para 𝑥 = 1,25 e 𝑦 = 0,75, é: 
a) – 0,25 
b) – 0,125 
c) 0 
d) 0,125 
e) 0,25 
 
 
7. O valor da expressão 𝑥²𝑦 + 𝑥𝑦², no qual 𝑥𝑦 = 12 e 𝑥 + 𝑦 = 8, é: 
a) 40 
b) 96 
c) 44 
d) 88 
e) 22 
 
 
8. A expressão (𝑥 – 𝑦)² – (𝑥 + 𝑦)² é equivalente a: 
a) 0 
b) 2𝑦² 
c) – 2𝑦² 
d) – 4𝑥𝑦 
e) – 2(𝑥 + 𝑦)² 
 
 
9. Simplificando a expressão 
𝑥2+6𝑥+9
𝑥2−9
, obtém-se: 
a) 6𝑥 
b) – 6𝑥 
c) 
𝑥 − 3
𝑥 + 3
 
d) 
𝑥 + 3
𝑥 − 3
 
e) 
𝑥 + 9
𝑥 − 9
 
 
 
 
 
 
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Matemática 
 
10. O valor da expressão (𝑎−1 + 𝑏−1)−2 é: 
a) 
𝑎𝑏
(𝑎+𝑏)2
 
b) 
𝑎𝑏
(𝑎²+𝑏²)2
 
c) 𝑎2 + 𝑏² 
d) 
𝑎²𝑏²
(𝑎+𝑏)2
 
e) 
𝑎+𝑏
(𝑎+𝑏)2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sua específica é exatas e quer continuar estudando esse assunto? 
Clique aqui para fazer uma lista de exercícios extras. 
https://dex.descomplica.com.br/enem/matematica/exercicios-produtos-notaveis-e-fatoracao/questao/1
 
 
 
 
 
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Matemática 
Gabaritos 
 
Exercícios de fixação 
 
1. 
a) (4𝑟 + 3)2 = (4𝑟)2 + 2 ∙ 4𝑟 ∙ 3 + 32 = 16𝑟2 + 24𝑟 + 9 
b) (
9
2
− 𝑠)
2
= (
9
2
)
2
− 2 ∙
9
2
∙ 𝑠 + 𝑠2 =
81
4
− 9𝑠 + 𝑠2 
c) (6𝑢 + 5)(6𝑢 − 5) = (6𝑢)2 − 52 = 36𝑢2 − 25 
 
2. O resultado é 𝟏. 
Aplicando a fatoração da diferença de quadrados: 
 
20212 − 2020²
4041
=
(2021 − 2020)(2021 + 2020)
4041
=
1 ∙ 4041
4041
= 1 
 
3. V-V-V 
(V) Como, (−𝑎 − 𝑏)2 = ((−1)(𝑎 + 𝑏))
2
= (−1)2(𝑎 + 𝑏)2 = 1 ∙ (𝑎 + 𝑏)2 = (𝑎 + 𝑏)², então a sentença é 
verdadeira. Outra forma de verificar sua veracidade é realizando a distribuição (−𝑎 − 𝑏)(−𝑎 − 𝑏) =
(−𝑎)2 + 𝑎𝑏 + 𝑎𝑏 + 𝑏2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 = (𝑎 + 𝑏)². 
 
(V) Aplicando o produto notável do quadrado da soma de dois termos: (𝑚 + 𝑛)2 − 4𝑚𝑛 = 𝑚2 + 2𝑚𝑛 +
𝑛2 − 4𝑚𝑛 = 𝑚2 − 2𝑚𝑛 + 𝑛2 = (𝑚 − 𝑛)². 
 
(V) (√2 + √3)
2
= √2
2
+ 2 ∙ √2 ∙ √3 + √3
2
= 2 + 2√2 ∙ 3 + 3 = 5 + 2√6. 
 
4. E 
Quadrado da soma:(𝑥 + 𝑦)2 = 𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦² 
Quadrado da diferença: (𝑥 − 𝑦)2 = 𝑥2 − 2𝑥𝑦 + 𝑦² 
Diferença entre o quadrado da soma e o quadrado da diferença: 
(𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦2) − (𝑥2 − 2𝑥𝑦 + 𝑦2) = 𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦2 − 𝑥2 + 2𝑥𝑦 − 𝑦2 = 4𝑥𝑦 
 
5. 
a) Desenvolvendo o quadrado da soma de dois termos: 
(𝑥 + 𝑦)2 = 𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦2 = 𝑥2 + 𝑦2 + 2𝑥𝑦 
 
Pelo enunciado, 𝑥2 + 𝑦2 = 60 e 𝑥𝑦 = 20. Logo, 
(𝑥 + 𝑦)2 = 60 + 2 ∙ 20 → (𝑥 + 𝑦)2 = 60 + 40 → (𝑥 + 𝑦)2 = 100 → (𝑥 + 𝑦) = ±10 
 
Porém, foi pedido somente o valor positivo. Assim, 𝑥 + 𝑦 = 10. 
 
b) O termo central no desenvolvimento do quadrado da soma é “duas vezes o primeiro termo vezes o 
segundo”. Como sabemos que o primeiro termo é 3𝑎, segue que 2 ∙ 3𝑎 ∙ ? = 30𝑎 → ? =
30𝑎
6𝑎
→ ? = 5. 
Assim, o segundo termo desse produto notável é 5 e as lacunas devem ser preenchidas 
respectivamente por 5 e 25 (já que 52 = 25). 
 
 
 
 
 
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Matemática 
c) O primeiro e o último termos do trinômio quadrado perfeito são iguais ao quadrado do primeiro e ao 
quadrado do segundo termo, respectivamente. Assim, se 4𝑥² é o o quadrado do primeiro termo, 
então o primeiro termo é 2𝑥. Se 64 é o quadrado do segundo termo, então o segundo termo é 8. 
Assim, as lacunas devem ser preenchidas respectivamente com 2𝑥 e 32𝑥 (já que 2 ∙ 2𝑥 ∙ 8 = 32𝑥). 
 
d) Dado que 25𝑥2 = (5𝑥)2, o primeiro termo desse trinômio é 5𝑥. Seja 𝑦 o valor do segundo termo. 
Como 30𝑥 = 2 ∙ 5𝑥 ∙ 𝑦 → 𝑦 =
30𝑥
10𝑥
→ 𝑦 = 3, que é o valor do segundo termo. Assim, devemos somar 
32 = 9 à expressão para transformá-la em um quadrado perfeito. 
 
e) Dado que 
𝑥2
4
= (
𝑥
2
)
2
, o primeiro termo desse trinômio é 
𝑥
2
. Seja 𝑦 o valor do segundo termo. Como 
7𝑥 = 2 ∙
𝑥
2
∙ 𝑦 → 𝑦 =
7𝑥
𝑥
→ 𝑦 = 7, que é o valor do segundo termo. Assim, devemos somar 72 = 49 à 
expressão para transformá-la em um quadrado perfeito. 
 
 
Exercícios de vestibulares 
 
1. A 
8 5
9 9 5 7 4
5 5
18x²y 6x²y .3y³
36x y 6x²y .6x y
24x³y 6x²y .4x
=
=
= 
 
2. A 
+ − = − = −(4x y)(4x y) (4x)² (y)² 16x² y² 
 
3. B 
+ = − + − = + −ac 2bc – ad – 2bd a(c d) 2b(c d) (a 2b)(c d) 
 
4. C 
 
2
1 1 1 1 1
x x² 2.x. 3 x² 2 3 x² 5
x x x² x² x²
 
− = − + =  − + =  + = 
 
 
 
5. B 
x y 13 (x y)² 169 x² 2xy y² 169
 x.y 1
x² 2 y² 169 x² y² 167
+ =  + =  + + =
=
+ + =  + =
 
 
6. E 
 
· ·
− − + + −
= = − =
+ − + −
= − = =
2 2 2 2x y x 2xy y (x y)(x y) (x - y)²
 (x y)²
x y x y x y x y
(1,25 0,75)² (0,5)² 0,25 
 
 
 
 
 
 
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Matemática 
7. B 
+ = + = =x²y xy² xy(x y) 12.8 96 
 
8. D 
( ) ( )+ = − + − − − = −x – y ² – x y ² x² 2xy y² x² 2xy y² 4xy
 
 
9. D 
+ + + +
= =
− + − −
x² 6x 9 (x 3)² x 3
x² 9 (x 3)(x 3) x 3 
 
10. D 
( )
−
− −  + +     
= + = + + = =        +      
+
–2
–1 –1
1
2 1 1
1 1 1 2 1 b² 2ab a² a²b²
a b a² ab b
a b
² a²b² (a b)²