AP3_PreCalculoEng_2020_1_gabarito

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APX3 - Pré-Cálculo para Engenharia - 2020-1
Orientações gerais
I
1. As respostas devem vir acompanhadas de justificativas. Caso contrário, serão desconsi-
deradas.
2. Preencha cada folha de resposta com NOME, MATŔICULA e POLO.
3. Escreva o total de folhas utilizadas.
4. Todas as respostas devem apresentar TODOS os cálculos.
5. Todas as respostas devem ser MANUSCRITAS. Questões digitadas receberão ZERO.
6. Use APENAS canetas AZUIS ou PRETAS.
7. Todos os arquivos devem estar no formato PDF.
8. É permitido o uso de folhas A4, folhas de caderno, ou qualquer tipo de papel que o
aluno ache conveniente.
9. Até 20 arquivos podem ser enviados, cada um com 2 Mb no máximo.
I
ATENCÃO: O descumprimento de quaisquer das orientações poderá implicar em prejúızo na sua
avaliação, o que será de sua inteira responsabilidade.
Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
APX3 – Pré-Cálculo para Engenharia – / /2020
Código da disciplina: EAD01073
Nome:
Matŕıcula:
Polo:
Atenção!
Considere f(x) =
√
x2 + 2x− 3
p(x) e p(x) = x
3 − 5x2 + 6x. Faça o que se pede nas questões 1 e 2.
Questão 1 [1,5 ponto] Fatore o polinômio p(x) e encontre suas ráızes.
Solução:
Observemos que o polinômio p(x) = x3 − 5x2 + 6x possui 0 como raiz, pois x3 − 5x2 + 6x =
x(x2−5x2 +6). Para calcular as ráızes de x2−5x2 +6, usamos a Fórmula de Báshkra e encontramos
2 e 3. Portanto,
p(x) = x(x− 2)(x− 3),
sendo suas ráızes 0, 2, e 3.
Questão 2 [2,0 pontos] Determine o doḿınio da função f .
Solução:
Devemos ter x2 + 2x− 3 ≥ 0 e p(x) 6= 0.
Mas o gráfico de x2 + 2x − 3 é uma parábola de concavidade para cima, e ráızes 1 e −3. Assim,
x2 + 2x− 3 ≥ 0 se x ≤ −3 ou x ≥ 1.
Pela fatoração de p(x) na questão 1, temos que p(x) = 0 em 0, 2, e 3.
Logo, o doḿınio de f é dado por {x ∈ R;x ≤ −3, x ≥ 1, x 6= 2.x 6= 3} =
(
(−∞,−3] ∪ [1,∞)
)
−
{2, 3}, onde consideramos a interseção das condições para o numerador e para o denominador.
Considere as funções f(x) = 3−x+2 e g(x) = log3
(
27x2
)
e faça o que se pede nas questões 3 e 4.
Questão 3 [2,0 pontos] Determine a expressão simplificada de (g ◦ f)(x) (usando propriedades
de logaritmo e exponencial), e o valor de x tal que (g ◦ f)(x) = 0, caso exista.
Solução:
Temos
(g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g(3−x+2) = log3
(
27(3−x+2)2
)
=
log3
(
27
)
+ 2 log3
(
3−x+2
)
= 3 + 2(−x+ 2) = 3− 2x+ 4 = −2x+ 7.
Pré-Cálculo para Engenharia AP2 3
Assim, (g ◦ f)(x) = 0 se −2x+ 7 = 0, ou seja, x = 7/2.
Questão 4 [1,0 ponto] Calcule f(g(1/3)).
Solução:
Temos que g(x) = log3
(
27x2
)
, e assim, g(1/3) = log3(27/9) = log3(3) = 1.
Logo,
f(g(1/3)) = f(1) = 31 = 3.
Questão 5 [1,5 ponto] Considere a função bijetora f : [1,+∞) → (−∞, 3] definida por
f(x) = −3x2 + 2x + 2 e seja (a, b) o ponto de interseção de f com sua inversa f−1. Determine o
valor numérico de a+ b.
Solução:
Para determinar o gráfico da função inversa de uma função bijetora, basta fazer a reflexão do gráfico
da função sobre a reta y = x. Desta forma, a fim de encontrar tal ponto, devemos resolver o sistema{
y = x
y = −3x2 + 2x+ 2
Assim, −3x2 + 2x+ 2 = x, se x = 1 ou x = −23 .
Como x = −23 não pertence ao doḿınio da função f , temos que a única solução é x = 1 e, portanto,
y = 1. Logo, (1, 1) é o ponto de interseção. Portanto, a+ b = 1 + 1 = 2.
Questão 6 [1,0 ponto] Determine a imagem da função f(x) = −2 + 3 cos
(
πx
4 +
π
6
)
.
Solução:
Como −1 ≤ cos
(
πx
4 +
π
6
)
≤ 1, multiplicando ambos os membros da desigualdade por 3, −3 ≤
3 cos
(
πx
4 +
π
6
)
≤ 3. Somando ambos os lados da desigualdade por (−2), obtemos:
−5 ≤ −2 + 3 cos
(
πx
4 +
π
6
)
≤ 1
Logo, Im(f) = [−5, 1].
Questão 7 [1,0 ponto] Considere o gráfico da função f : [−3, 3] → R abaixo e determine a lei
que define a função f para x ∈ [−1, 2]..
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Pré-Cálculo para Engenharia AP2 4
Solução:
Observe que, para x ∈ [−1, 2], o gráfico de f é uma parábola que passa pelos pontos (−1, 2), (0, 1)
e (2, 5). Assim, considerando f(x) = ax2 + bx + c neste intervalo, temos que c = f(0) = 1. Além
disso, a − b + 1 = f(−1) = 2, 4a + 2b + 1 = f(2) = 5. Logo, a = 1 e b = 0. Portanto, para
x ∈ [−1, 2], temos que f(x) = x2 + 1.
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RASCUNHO
Nome: Matŕıcula:
Atenção!
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