1.61 Imagine un cubo de n dimensiones en Rn con una longitud de arista c 0, que consta de todos los puntos X (x1, x2, ..., xn) con 0 xk c, k 1, ..., n . a) Encuentra el punto P en el cubo que tiene la

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1.61. Imagine un cubo de n dimensiones en Rn con una longitud de arista c > 0, que consta de todos los
puntos X = (x1, x2, ..., xn) con
0 ≤ xk ≤ c, k = 1, ..., n
.
a) Encuentra el punto P en el cubo que tiene la norma más grande. Llama a P la esquina más lejana del
cubo.
El punto que tiene la norma de mayor magnitud, es aquel que tiene el valor máximo en todas sus
componentes, como c es el valor máximo que puede tomar x, entonces P = (c, c, ...., c)
b) ¿Para qué valor de c es la esquina más lejana P en la esfera unitaria de Rn, ||X|| = 1?
Sea P = (c, c, ...., c) el punto mas alejado, tenemos que ||X|| = 1, entonces:
||X|| = ||P || = 1√
(c, c, ...., c) · (c, c, ...., c) = 1√
c2 + c2 + ....+ c2 = 1
√
nc2 = 1
nc2 = 1
c2 =
1
n
=⇒ c =
√
1
n
c) Manteniendo el punto de la esquina lejana en la esfera unitaria, ¿qué sucede con la longitud de la arista
c cuando la dimensión n tiende a infinito?.
Cuando la dimensión n tiende a infinito, el termino 1n tiende a cero, por lo que c también tiende a cero.
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