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Prof.ª Fernanda Fonseca
FÍSICA ÓTICA E ONDAS
Aula 4
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Conversa Inicial
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Compreender os conceitos básicos da Física 
Quântica
Identificar e utilizar as teorias da Física 
Quântica na análise de fenômenos e 
resolução de problemas
OBJETIVO DA AULA
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TEMA 1 – PRINCÍPIOS DA FÍSICA 
QUÂNTICA
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Objeto hipotético que absorve toda 
a radiação incidente (não reflete luz)
Emite radiação proporcional á 
temperatura
Mesma temperatura T emitem 
radiação na mesma faixa do espectro 
eletromagnético
Exemplo: T=300 K (infravermelho)
CORPO NEGRO
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Rayleigh-jeans (séc. XX)
Descreve a radiância espectral da radiação 
eletromagnética
𝑆 𝜆 =
2𝜋𝑐𝑘𝑇
𝜆4
(𝐿𝑒𝑖 𝑑𝑒 𝑅𝑎𝑦𝑙𝑒𝑖𝑔ℎ − 𝐽𝑒𝑎𝑛𝑠)
Em que 𝑆(𝜆) é a radiância espectral → sendo 𝑆 𝜆 𝑑𝜆 a 
potência irradiada por unidade de área da abertura da 
cavidade
𝑘 = 1,38 × 10−23
𝐽
𝐾
= 8,62 × 10−23
𝑒𝑉
𝐾
(𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝐵𝑜𝑙𝑡𝑧𝑚𝑎𝑛𝑛)
LEI CLÁSSICA DA RADIAÇÃO
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LEI CLÁSSICA DA RADIAÇÃO
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Os átomos das paredes da 
cavidade em estados de energia 
com valores particulares
as partículas (osciladores) 
vibram com frequência 𝑓, com 
energia
𝐸 = 𝑛 ∙ ℎ ∙ 𝑓 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 = 0, 1, 2, …
MAX PLANCK: A QUANTIZAÇÃO DA ENERGIA
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Se ajusta melhor aos dados experimentais
𝑆 𝜆 =
2𝜋𝑐2ℎ
𝜆5
1
𝑒 ൗ
ℎ𝑐
𝜆𝑘𝑇 − 1
Em que
ℎ = 6,626 × 10−34 𝐽 ∙ 𝑠 = 4,136 × 10−15 𝑒𝑉 ∙ 𝑠
(𝐶𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑃𝑙𝑎𝑛𝑐𝑘)
LEI DA RADIAÇÃO DE PLANCK (1900)
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Luz como pacotes de energia
Quanta de luz
𝐸 = ℎ𝑓
Não tem massa (𝑚 = 0)
Momento de um fóton
𝐸2 = 𝑝 ∙ 𝑐 2 + 𝑚 ∙ 𝑐2 2 ⇒ p =
ℎ
𝜆
O FÓTON!!!
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Durante uma desintegração radioativa, um 
certo núcleo emite um raio gama, cujo fóton 
tem energia de 1,35 𝑀𝑒𝑉.
a) Qual o comprimento de onda correspondente 
a esse fóton?
b) Qual é o momento do fóton?
EXEMPLO
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Resolução
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Albert Einstein: Prêmio 
Nobel de 1921
Incidência de radiação em 
superfície metálica: 
emissão de elétrons
𝐸 = 𝜙 + 𝐾𝑚𝑎𝑥 ⇒ ℎ𝑓 = 𝜙 + 𝐾𝑚𝑎𝑥
Em que
𝐾𝑚𝑎𝑥 = 𝑒𝑉0
EFEITO FOTOELÉTRICO
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Obtenha a função trabalho do sódio a partir 
do gráfico.
EXEMPLO
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Resolução
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TEMA 2 – HIPÓTESE DE BROGLIE
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A dualidade onda-partícula
não se aplica apenas à luz
Comprimento de onda para
todos os corpos, grandes ou
pequenos!
𝑓ó𝑡𝑜𝑛 𝑝 =
ℎ
𝜆
⇒ 𝜆 =
ℎ
𝑝
(𝑝𝑎𝑟𝑡í𝑐𝑢𝑙𝑎)
HIPÓTESE DE LOUIS DE BROGLIE
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Experimento mostram 
que elétrons e fótons 
sofrem difração e 
interferência, assim 
como se comporta como 
partícula!!
HIPÓTESE DE LOUIS DE BROGLIE
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Mediram várias correntes elétricas 𝑖
para vários valores de 𝜙.
Máximo de difração (𝑖 máxima) para 𝑉 =
54 𝑉 𝑒 𝜙 = 50°
Obs: Gráficos em coordenadas 
polares: comprimento indica 
intensidade e ângulo de difração.
EXPERIMENTO DE DAVISSON-GERMER
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Mas o que isso significa??
𝑑 ∙ 𝑠𝑒𝑛 𝜙 = 𝑚𝜆 (𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑚 = 0, 1, 2, … )
No Cristal de Níquel 𝑑 =
215 𝑝𝑚
Para 𝑚 = 1 𝑒 𝜙 = 50°
215 × 10−12 ∙ 𝑠𝑒𝑛 50° = 1𝜆
𝜆 = 164,7 × 10−12 𝑚
𝜆 = 164,7 𝑝𝑚
Comprimento de onda para 
elétrons com energia de 54 𝑒𝑉
EXPERIMENTO DE DAVISSON-GERMER
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Raio X ou Elétrons: mesmo padrão de 
interferência
Fenômenos de mesma natureza
EXPERIMENTO DE GEORGE P. THOMPSON
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NÃO É POSSÍVEL MEDIR A POSIÇÃO E O MOMENTO 
DO ELÉTRON AO MESMO TEMPO
Perde-se precisão
𝛥𝑥 ∙ ∆𝑝 ≥
ℎ
4𝜋
ou 𝛥𝐸 ∙ ∆𝑡 ≥
ℎ
4𝜋
𝛥𝑥 ∙ ∆𝑝 ≥
ℏ
2
ou 𝛥𝐸 ∙ ∆𝑡 ≥
ℏ
2
Em que ℏ =
𝒉
𝟐𝝅
, denominada Constante de Planck
cortada.
PRINCÍPIO DA INCERTEZA DE HEISENBERG
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Qual o comprimento de onda de De Broglie de um 
elétron que tem energia cinética de 120 𝑒𝑉?
EXEMPLO
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Resolução
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TEMA 3 – EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER E 
O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO
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Característica ondulatória da matéria
Descreve a distribuição de uma partícula no espaço
Equação de Edwin Schödinger (1926)
−
ℏ
𝟐𝒎
∙
𝝏𝟐𝚿(𝒙; 𝒕)
𝝏𝒙2
= 𝒊 ∙ ℏ ∙
𝝏𝚿(𝒙; 𝒕)
𝝏𝒕
Função de onda para uma partícula livre (sem ação de forças 
sobre ela)
𝚿 𝒙; 𝒕 = 𝑨 𝒄𝒐𝒔 𝒌𝒙 − 𝝎𝒕 + 𝒊 ∙ 𝒔𝒆𝒏(𝒌𝒙 − 𝝎𝒕)
ou
𝚿 𝒙; 𝒕 = 𝑨 ∙ 𝒆𝒊(𝒌𝒙−𝝎𝒕)
FUNÇÃO DE ONDA
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A integral de 𝚿 𝒙; 𝒕 𝟐𝒅𝒙 sobre todos os 
valores possíveis de x deve ser 1 (100%)
𝚿 𝒙; 𝒕 𝟐 não é uma probabilidade, mas é a 
função de distribuição de probabilidade
Descreve como a probabilidade de 
encontrar a partícula em diferentes locais 
se distribui no espaço
DENSIDADE DE PROBABILIDADE
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𝚿 𝒙; 𝒕 𝟐 = 𝑨 𝟐 (independe da posição)
Para ter uma função de onda mais localizada 
no espaço: sobreposição de funções 
senoidais
Reforço de máximos, anulação de ondas 
intermediárias
DENSIDADE DE PROBABILIDADE
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Partícula e onda: pacote de ondas
𝛹 𝑥; 𝑡 = න
−∞
+∞
𝐴(𝑘) ∙ 𝑒𝑖(𝑘𝑥−𝜔𝑡)𝑑𝑘
PACOTE DE ONDAS
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Armadilha de elétrons: poço de potencial
CONFINAMENTO DE ELÉTRONS
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A probabilidade de encontrarmos um elétron 
em qualquer ponto é proporcional ao 
quadrado da amplitude da função de onda 
nesse poço
න
0
𝐿
𝚿(𝒙; 𝒕) 2 𝑥 𝑑𝑥 = 1
Isso significa que o elétrons está no poço!!
CONFINAMENTO DE ELÉTRONS
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Energia total do elétron é sempre igual a sua energia 
cinética.
𝐸 = 𝐾 =
𝑝2
2𝑚
Como o momento depende do seu número quântico n,
𝑝 =
ℎ
𝜆
=
ℎ𝑛
2𝐿
Energia total
𝐸𝑛 = 𝑛
2
ℎ2
8𝑚𝐿2
ENERGIA DOS ESTADOS PERMITIDOS
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𝑛 = 1 (Estado Fundamental) → Estados 
Estacionários de cordas vibrantes
Elétrons NUNCA está em repouso no poço de 
potencial!!
Energia do ponto zero (𝑛 = 1)
𝐸1 =
ℎ2
8𝑚𝐿2
→ 𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 à 𝑇 = 0 𝐾 (𝑍𝑒𝑟𝑜 𝐴𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜)
ENERGIA DOS ESTADOS PERMITIDOS
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O elétron está confinado num poço infinito, cuja 
largura L é 120 𝑝𝑚, aproximadamente o diâmetro de 
um átomo. Quais são as energias dos quatro estados 
para os quais 𝑛 = 1, 𝑛 = 2, 𝑛 = 3 𝑒 𝑛 = 15?
EXEMPLO
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Resolução
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Uma partícula de poeira de 1,5 g move-se 
para frente e para trás entre as duas 
barreiras rígidas separadas por 0,10 mm. Ela 
se move tão lentamente que leva 120 s para 
cobrir essa distância. Vamos imaginar que 
esse movimento seja de uma partícula 
confinada num poço infinito. Qual o número 
quântico associado ao estado da partícula?
EXEMPLO
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Resolução
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Resolução
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SITUAÇÃO MAIS SIMPLES POSSÍVEL: 
elétron 𝑒− ⇔ 𝑛ú𝑐𝑙𝑒𝑜 𝑝+
TEORIA CLÁSSICA → O elétrons no 
estado
fundamental move-se em órbita circular 
(átomo de
Bohr) com raio 𝑟𝐵 = 52,92 𝑝𝑚
TEORIA QUÂNTICA → O núcleo é 
envolto por
uma nuvem de probabilidade de 
elétrons.
O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO
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Estados de Energia permitidos para o elétron
𝐸𝑛 = −
1
𝑛2
𝑚𝑒4
8𝜖0
2ℎ2
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 = 1, 2, 3, …
A medida que 𝑛 aumenta, o elétrons passa para estados mais 
energéticos (menos negativos) → porque 𝑈 = 0 no infinito
68% do tempo → afastado do núcleo
32% do tempo → próximo ao núcleo (região do raio de Bohr)
O ÁTOMO DE HIDROGÊNIO
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TEMA 4 – EFEITO TÚNEL
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Partícula escapa de regiões cercadas por 
barreiras de potencial mesmo quando sua 
energia cinética é menor que a energia 
potencial da barreira
Transposição estado de energia 
classicamente proibido
EFEITO TÚNEL
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Teoria Clássica: barreira de potencial pode ser 
transposta por uma partícula cuja energia E é 
maior que a energia da barreira (E>U)
Teoria Quântica: a probabilidade de uma 
partícula estar em determinada posição permite 
uma probabilidade de transmissão da partícula 
através da barreira, mesmo que sua energia seja 
menor que a energia potencial da mesma (E<U) 
EFEITO TÚNEL
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EFEITO TÚNEL
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𝑇 = 𝐺 ∙ 𝑒−2𝑘𝐿
Para a qual
𝑘 =
8𝜋2𝑚 𝑈−𝐸
ℎ2
e 𝐺 = 16
𝐸
𝑈
1 −
𝐸
𝑈
Probabilidade de Reflexão
𝑅 + 𝑇 = 1
PROBABILIDADE DE TUNELAMENTO
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Um elétron cuja energia total é 5,1 eV
aproxima-se de uma barreira de potencial 
cuja altura U é 6,8eV e cuja espessura L é 
750 pm.
a)Qual é o comprimento de onda de De Broglie 
do elétron incidente?
b)Qual o coeficiente de Transmissão?
c)E o coeficiente de Reflexão?
EXEMPLO
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Resolução
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Resolução
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Resolução
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TEMA 5 – CIÊNCIA NA TECNOLOGIA E 
NA SOCIEDADE
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MICROSCÓPIO ELETÔNICO DE 
TUNELAMENTO (STM)
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