Estudo sobre estado duplo, triplo de tensão e círculo de Mohr

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UNIVERSIDADE PAULISTA - UNIP 
 
 
 
 
EDUARDO ANDERSON PACHECO DE ALMEIDA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS: 
Estudo sobre estado duplo, triplo de tensão e círculo de Mohr 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SANTANA DE PARNAÍBA 
2022 
EDUARDO ANDERSON PACHECO DE ALMEIDA 
TURMA: EM6P06 
RA: N657JA-2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS: 
Estudo sobre estado duplo, triplo de tensão e círculo de Mohr 
 
 
 
 
 
 
Trabalho de graduação referente à 
disciplina de Resistência dos materiais do 
6° semestre do curso de ENGENHARIA 
MECÂNICA da Universidade Paulista. 
 
 
 
 
 
 
SANTANA DE PARNAÍBA 
2022 
RESUMO 
 
 
Tendo em vista que analise de tensões são de extrema importância no 
conhecimento profissional de um engenheiro, este trabalho foi elaborado para abordar 
os estados duplos, triplos de tensões, que nada mais é do que todos as componentes 
de tensões em uma face de um objeto tridimensional. A fim de identificar as principais 
etapas para se obter as tensões nos planos, para tanto, é necessário fazer uma 
análise das equações no qual serão utilizadas no processo de obtenção das tensões, 
descrever as equações, junto com a explicação de cada uma das tensões e utilizar 
métodos que facilitam a compreensão do assunto. Realizou-se, então, uma pesquisa 
bibliográfica com os principais assuntos sobre o tema. Diante disso, verifica-se que o 
estado de tensões é utilizado para achar as tensões em um corpo, seja qual for ele, e 
que se utiliza formas gráficas para resolver este tipo de estado, como o círculo de 
Mohr, junto também a matrizes. 
 
Palavras-chaves: Tensão. Estado. Círculo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LISTA DE FIGURAS 
 
Figura 1 - Representação das tensões .................................................................... 7 
Figura 2 - Tensões no plano x e y ............................................................................ 8 
Figura 3 - Plano inclinado ......................................................................................... 9 
Figura 4 - Equações de equilíbrio para achar 𝝈𝒙´ ................................................... 9 
Figura 5 - Equações de equilíbrio para achar 𝝉𝒙´𝒚´ .............................................. 10 
Figura 6 - Adaptação da equação 𝝈𝒙´ .................................................................... 11 
Figura 7 - Equação de máx. e mín. tensão normal ............................................... 11 
Figura 8 - Equação de máx. mín. de tensão de cisalhamento ............................. 12 
Figura 9 – Equações 𝝈𝒙´ e 𝝉𝒙´𝒚´ reescritas ........................................................... 12 
Figura 10 - Equações retrabalhadas ...................................................................... 13 
Figura 11 - Equações retrabalhadas ...................................................................... 13 
Figura 12 - Círculo de Mohr .................................................................................... 13 
Figura 13 - Análise do círculo de Mohr.................................................................. 14 
Figura 14 - Estado triplo ou geral de tensão ......................................................... 15 
Figura 15 – Teorema de Cauchy ............................................................................ 15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SUMÁRIO 
 
1 INTRODUÇÃO ......................................................................................................... 6 
1.1 Justificativa .......................................................................................................... 6 
1.2 Objetivo ................................................................................................................ 6 
2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA .................................................................................... 7 
2.1 Tensão .................................................................................................................. 7 
2.2 Estado duplo de tensão ...................................................................................... 8 
2.2.1 Equações gerais do estado duplo de tensão ................................................. 9 
2.2.2 Tensões principais ......................................................................................... 10 
2.3 Círculo de Mohr ................................................................................................. 12 
2.4 Estado triplo de tensão ..................................................................................... 14 
3 CONCLUSÃO ........................................................................................................ 16 
REFERÊNCIAS ......................................................................................................... 17 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 
1 INTRODUÇÃO 
 
Segundo o Hibbeler (2009, p.14) “A resistência dos materiais é um ramo da 
mecânica que estuda as relações entre as cargas externas aplicadas a um corpo e a 
intensidade das forças internas que agem no interior do corpo”, com está frase 
podemos entender o porquê se estuda estado de tensões em um material. 
O estudo de cargas internas de um determinado material vai nos gerar o que 
costumamos dizer de tensões, essas tensões são de extrema importância no estudo 
de resistência dos materiais para que se possa projetar com confiabilidade e de 
maneira correta, no caso selecionando o material certo, em determinada área onde a 
uma aplicação de força. 
Por isso, os estudos de estado de tensões são de extrema importância, pois 
ele nos gera a disposição, intensidade e comportamento de determinadas tensões em 
um ponto de um material. No caso esse estudo vai nos dar os tipos de tensões, seja 
elas normal ou de cisalhamento, e mostrar através do estado triplo de tensões como 
ficam dispostas em um ponto. 
Como este tipo de análise é pouco usual na engenharia se faz uma 
simplificação deste estado, daí surgindo o estado duplo de tensões junto também com 
a facilitação da interpretação dos dados através do círculo de Mohr. 
Na perspectiva geral, nota-se este tipo de pesquisa vai nos dar a interpretação 
das tensões de maneira geral e assim podendo mensurá-las em sua plenitude 
utilizando as equações gerais para este tipo de problema. 
 
1.1 Justificativa 
 
 Este trabalho foi criado com o alvo de esclarecer que durante os estudos 
de resistência dos materiais e na vida profissional de um engenheiro, será de grande 
importância compreender e aprender como são os estudos de tensões em um ponto 
de um material qualquer. 
 
1.2 Objetivo 
 
 O objetivo desta pesquisa é compreender os estados de tensão duplo e triplo 
junto com o método de resolução círculo de Mohr. 
7 
 
2 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA 
 
2.1 Tensão 
 
 Antes de começar a falar sobre o estado duplo de tensões, vamos estabelecer 
o que é tensão e como isso afeta os objetos de estudo da disciplina resistência dos 
materiais. 
 A tensão estudada em resistência dos materiais é a tensão mecânica, no qual 
atua em materiais estudados em engenharia, mais especificamente na engenharia 
mecânica. A tensão é à distribuição de uma força aplicada em cada unidade de uma 
área que fica em volta de um ponto de estudo dentro de um determinado material, ou 
seja, a tensão é a força distribuída em uma área interna de um material. 
 Ela mede a intensidade no qual essas forças internas agem sobre um plano 
nos pontos internos do material conforme é aplicada forças externas neste mesmo 
material. Então tensão nada mais é do que a reação das estruturas internas do 
material a forças aplicadas externamente. 
 Segundo o autor Hibbeler (2009), existe dois tipos de tensão, tensão normal e 
de cisalhamento. Ele define tensão normal como a intensidade da força que age 
perpendicularmente à umaárea, utilizando a letra grega sigma (σ) para ser 
representada. Quando a tensão normal traciona o material fica denominada de tensão 
de tração, e quando comprime é denominada tensão de compressão. 
 Já a tensão de cisalhamento é a intensidade de força que age tangencialmente 
a área, utiliza a letra grega tau (τ) para ser representada. 
 
Figura 1 - Representação das tensões 
 
Fonte: https://docplayer.com.br/23834733-Resistencia-dos-materiais-controle-de-qualidade-industrial-
aula-03-tensao.html 
8 
 
Unidade de medida de tensão é força dividido por unidade de área. No Sistema 
Internacional de Unidades: Pa (Pascal) = 
𝑁
𝑚2
. Como 1 Pa representa uma pressão 
relativamente pequena, utiliza prefixos do tipo kilo ou mega (103 𝑒 106 ). 
 
 
2.2 Estado duplo de tensão 
 
 Para o Hibbeler (2009, p. 321) o estado duplo de tensão é “aproximações ou 
simplificações das cargas sobre um corpo de modo que a tensão produzida em um 
elemento estrutural ou mecânico possa ser analisada em um único plano”. 
 Está afirmação se dá porque o estado duplo de tensão vem da simplificação do 
estado geral de tensão que será abordado ainda nesta pesquisa (Estado triplo ou 
triaxial), e faz com que a abordagem do estado de tensão seja “facilitada” para 
somente uma análise em um plano x e y ao invés de um x, y e z. Então podemos dizer 
que o estado duplo de tensão pode se chamar de estado plano de tensão. 
 O estado duplo de tensão será a combinação de dois elementos de tensão 
normal e um de cisalhamento (𝜎𝑥, 𝜎𝑦 𝑒 𝜏𝑥𝑦) que vão agir sobre as quatro faces do 
plano. A figura 2 faz a representação desta afirmação. 
 
Figura 2 - Tensões no plano x e y 
 
Fonte: adaptado de Hibeller, 2009. 
 
 Proponha-se uma face de um corte da uma chapa, para σ ou 𝜏 ser positivo tem 
que concordar com o eixo x ou y, ou seja, ter o mesmo sentido na parte positiva e o 
mesmo para a negativa. Logo, o objetivo da pesquisa é obter as tensões normais e 
de cisalhamento em um plano genérico que corta a chapa numa direção qualquer. 
9 
 
2.2.1 Equações gerais do estado duplo de tensão 
 
 Seguindo a bibliografia de Hibbeler, ele faz a dedução das equações utilizadas 
para transformar as componentes de tensão normal e de cisalhamento dos eixos 
coordenados x, y para os eixos coordenados quaisquer x', y', no qual ele diz que será 
equações de transformação de tensão. 
 Essa dedução começa com a inclinação dos eixos (figura 3) e estabelecendo 
as áreas das faces vertical e horizontal, ficando: 
 
(ΔA.sen θ) para a face horizontal; 
(ΔA.cos θ) para a face vertical. 
 
Figura 3 - Plano inclinado 
 
Fonte: Adaptado de Hibbeler, 2009. 
 
 Com isso, ele aplica as equações de equilíbrio de força para determinar os 
elementos 𝜎𝑥´ 𝑒 𝜏𝑥´𝑦´ que são desconhecidas, ficando: 
 
Figura 4 - Equações de equilíbrio para achar 𝜎𝑥´ 
 
Fonte: Adaptado de Hibbeller, 2009. 
10 
 
Figura 5 - Equações de equilíbrio para achar 𝜏𝑥´𝑦´ 
 
Fonte: Adaptado de Hibbeler, 2009. 
 
 Após isso, ele aplica uma simplificação para deixar as equações mais 
agradáveis e faz uma observação dizendo que se for necessário 𝜎𝑦´ , basta fazer uma 
substituição de θ = θ + 90° na equação do 𝜎𝑥´. Portanto, as equações ficam: 
 
𝜎𝑥´ = 
𝜎𝑥+𝜎𝑦
2
 + 
𝜎𝑥−𝜎𝑦
2
 . cos2 θ + 𝜏𝑥𝑦cos2 θ 
𝜎𝑦´ = 
𝜎𝑥+𝜎𝑦
2
 - 
𝜎𝑥−𝜎𝑦
2
 . cos2 θ - 𝜏𝑥𝑦sen2 θ 
𝜏𝑥´𝑦´ = 
𝜎𝑥−𝜎𝑦
2
 . sen2 θ + 𝜏𝑥𝑦cos2 θ 
 
 Estas equações são as expressões gerais para tensão normal e de 
cisalhamento, em qualquer plano definido pelo ângulo θ. 
 
 
2.2.2 Tensões principais 
 
 As funções angulares são cíclicas, ou seja, elas possuem um valor de máximo 
e um valor de mínimo. Logo, pela lógica existirá um máximo e um mínimo para a 
tensão normal. A estas tensões se dá o nome de Tensões Principais (MORILLA, 20??) 
 O autor continua dizendo que os plano em que essas tensões acontecem são 
os planos principais. A tensão de cisalhamento também produz um valor de máximo 
e mínimo, que possuem o mesmo valor, só que com sinais trocados. 
11 
 
 Para minha pesquisa, utilizarei as deduções do autor Hibbeler para achar as 
equações que dão os máximos e mínimos das tenções normais e de cisalhamento, 
onde para começar ele faz uma derivada da equação 𝜎𝑥´ em relação ao ângulo θ. 
Após isso ele iguala a equação a zero, ficando assim: 
 
Figura 6 - Adaptação da equação 𝜎𝑥´ 
 
Fonte: Adaptado de Hibbeler, 2009. 
 
 No qual resolvendo a equação ficamos com 𝑡𝑔 2θ𝑝= 
𝜏𝑥𝑦
(𝜎𝑥−𝜎𝑦)/2
. Segundo o 
Hibbeler (2009, p. 327), “A solução tem duas raízes, θ𝑝1 e θ𝑝2· Especificamente, os 
valores de θ𝑝1 e θ𝑝2 estão afastados um do outro por 180°' portanto, θ𝑝1 e θ𝑝2 
estarão afastados por 90°” e que substituindo na equação 𝜎𝑥´ vamos obter a equação 
que nos dá o ponto máximo e mínimo, ficando como a figura 7. 
 
Figura 7 - Equação de máx. e mín. tensão normal 
 
Fonte: Adaptado de Hibbeler, 2009. 
 
 Outra observação é que nestes pontos nenhuma tensão de cisalhamento age 
nos planos principais, ou seja, 𝜏𝑥𝑦= 0. 
 Agora para determinar a tensão de cisalhamento máxima e mínima, basta 
derivar a equação de 𝜏𝑥´𝑦´ em relação a θ e depois igualando a 0, igual foi feito na 
equação de tensão normal. Para o Hibbeler (2009, p. 328) “os planos para tensão de 
12 
 
cisalhamento máxima podem ser determinados orientando um elemento a 45° em 
relação à posição de um elemento que define os planos da tensão principal”. 
 Quando a equação é resolvida, obtém duas raízes e qualquer uma pode ser 
usada para determinar os ponto máximos e mínimos do cisalhamento. 
 
Figura 8 - Equação de máx. mín. de tensão de cisalhamento 
 
Fonte: Adaptado de Hibbeler, 2009. 
 
 
2.3 Círculo de Mohr 
 
 O autor Hibbeler (2009, p. 338), fala que “as equações para transformação da 
tensão no plano têm uma solução gráfica que muitas vezes é conveniente usar e fácil 
de lembrar”, então basicamente o círculo de Mohr é uma facilitação da resolução do 
estado de tensões em forma de gráfico. 
 Ele reescreve as equações gerais de estado de tensões, como mostra a figura 
9, depois ele elava as equações ao quadrado e iguala-se as duas, fazendo com que 
o termo θ seja eliminado, sendo o resultado a figura 10. 
Figura 9 – Equações 𝜎𝑥´ e 𝜏𝑥´𝑦´ reescritas 
 
Fonte: Adaptado de Hibbeler, 2009. 
 
 
13 
 
Figura 10 - Equações retrabalhadas 
 
Fonte: Adaptado de Hibbeler, 2009. 
 
 Como o próprio autor diz Hibbeler (2009, p.338), “Para um problema específico, 
𝜎𝑥 , 𝜎𝑦 𝑒 𝜏𝑥𝑦 são constantes conhecidas. Assim, a equação acima pode ser escrita 
de uma forma mais compacta”. Assim, surgem as equações que formam um círculo 
(figura 11). 
 
Figura 11 - Equações retrabalhadas 
 
Fonte: Adaptado de Hibbeler, 2009. 
 
 Se colocarmos eixos de coordenadas com σ e 𝜏 de forma positiva e aí utilizando 
as equações da figura 11 para plotar um gráfico, veremos um círculo de raio R e centro 
no eixo σ. Para Hibbeler (2009, p. 338), “Esse círculo é denominado círculo de Mohr 
porque foi desenvolvido pelo engenheiro alemão Otto Mohr”. 
 
Figura 12 - Círculo de Mohr 
 
Fonte: Adaptado de Hibbeler, 2009. 
14 
 
 Para fazer a análise do círculo vamos utilizar a mesma representação do livro 
do Hibbeler. 
 A tensão principal: as tensões principais σ1 e σ2 são representadas pelos dois 
pontos B e D onde o círculo intercepta o eixo σ da figura 13. 
 A tensão de cisalhamento máximo: As componentes de tensão normal média e 
de tensão de cisalhamento máxima no plano são determinadas pelo círculo como as 
coordenadas do ponto E ou F da figura 13. 
 
Figura 13 - Análise do círculo de Mohr 
 
Fonte: Adaptado de Hibbeler, 2009. 
 
 Lembrando novamente que todas essas afirmações foram tiradas do livro do 
auto Hibbeler, suas análises e deduções foram de grande serventia. 
 
 
2.4 Estado triplo de tensão 
 
 Esse conceito nada mais é do que a atuação das tensõesem três direções 
definidas de um ponto qualquer de um material em equilíbrio. 
 O estado de tensão triplo ou triaxial é caracterizado por apresentar 3 elementos 
de tensão que atuam em cada face de um ponto infinitesimal definido para estudo. 
15 
 
Esses elementos descrevem o estado das tensões em relação a orientação dos eixos 
x, y e z (HIBELLER, 2009). 
 A figura a segui mostra a representação do estado triplo de tensões. 
 
Figura 14 - Estado triplo ou geral de tensão 
 
Fonte: https://www.ufjf.br/mac/files/2012/11/Apostila_Res_Mat_outubro_2012-atualizada.pdf 
 
 Utilizando o equilíbrio do cubo permite afirmar que os vetores de tensão em 
cada face ficarão com o mesmo valor, mas com seu sentido trocado, no qual o autor 
denomina equilíbrio de forças (MASCIA, 2006). 
 Com está afirmação, o elemento é equilibrado por 6 equações, nos quais temos 
σ𝑥, σ𝑦 e σ𝑧 e falta ter as do 𝜏𝑥𝑦 e 𝜏𝑥𝑦. O professor Mascia diz que: 
 
Figura 15 – Teorema de Cauchy 
 
Fonte: Adaptado de Mascia, 2006. 
 
 Este teorema reduz a somente 6 tensões o estado triplo de tensão, fazendo 
somente ter 6 incógnitas para ser calculadas com o teorema de Cauchy para achar as 
tensões gerais. 
16 
 
3 CONCLUSÃO 
 
Pode-se concluir que com as pesquisas feitas em livros, sites e documentos foi 
possível realizar os objetivos propostos nesta pesquisa, consegui explicar, analisar e 
entender sobre estado geral de tensão. 
Consegui analisar as tensões, concluindo que as tensões nada mais é do que 
a distribuição de forças em uma determinada área, assim como acontece na pressão, 
mas aqui se dispõe de forma diferente, no que nos traz diferentes tipos de tensões 
que são essenciais para as resistência dos materiais. 
Após a análise das tensões também consegui compreender e descrever o 
estado duplo e triplo de tensões, em que concluo ser uma disposição das tensões em 
faces de algum ponto de uma material, onde possui equações para poder calcular 
essas tensões ou utilizar métodos nos quais facilita o cálculo e compreensão dessas 
tensões, que é o caso do método do círculo de Mohr. 
Essa pesquisa foi e será de extrema importância, pois como já mencionado o 
estudo feito sobre o tema nos ajudará nas nossas vidas profissionais, também nos 
permitiu colocar conceitos e teorias que viemos aprendendo durante esses meses 
sobre a resistência dos materiais. Portanto, o estudo de estado duplo, triplo de tensões 
vai nos ajudar em nossos projetos futuros e em compreender como são projetados e 
executados processos de extrema importância no mundo da mecânica. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17 
 
REFERÊNCIAS 
 
 
HIBBELER, Russell Charles. Resistência dos materiais. 7° Edição. São Paulo: 
Pearson Prentice Hall, 2009. 
 
MASCIA, Nilson Tadeu. Teoria das tensões. 2006. Monografia - Faculdade de 
engenharia civil, arquitetura e urbanismo, Universidade Estadual de Campinas, 
Campinas, 2006. 
 
MORILLA, José Carlos. Estado duplo de Tensão. UNITANSA. Disponível em: 
https://cursos.unisanta.br/mecanica/ciclo6/estado-duplo-tensao.pdf. Acesso: 28 out. 
2022, 15:11. 
 
MORILLA, José Carlos. Estado triplo de Tensão. UNITANSA. Disponível em: 
https://cursos.unisanta.br/mecanica/ciclo6/estado-duplo-tensao.pdf. Acesso: 28 out. 
2022, 15:53. 
 
Resistência dos materiais controle de qualidade industrial. DocPlayer. Disponível 
em: https://docplayer.com.br/23834733-Resistencia-dos-materiais-controle-de-
qualidade-industrial-aula-03-tensao.html. Acesso: 28 out. 2022, 11:26. 
 
Tensão e tensão de cisalhamento. Efeito joule, 2015. Disponível em: 
https://efeitojoule.com/2013/03/tensao-e-tensao-de-cisalhamento/. Acesso: 28 out. 
2022, 9:32.