Trabalho N2_ Calculo RESPOSTAS

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Centro Universitário Ritter dos Reis 
Departamento de Engenharias 
Cálculo Aplicado Várias Variáveis 2021/Ii 
Profª MsC. Aline Brum Seibel 
Aluna: Franciele de Liz Medeiros Rodrigues 
Matrícula: 201825835 
Lista de revisão para N2 – Equações Diferenciais Ordinárias e 
Parciais 
1) Um corpo com temperatura desconhecida é colocado em um refrigerador 
mantido à temperatura constante de 0℉. Se após 20 minutos a temperatura do 
corpo é 40℉ e após 40 minutos é 20℉ , determine a temperatura inicial do corpo.
Solução. 
Considere a temperatura ambiente 𝑇𝑎 = 0 °𝐹, e 𝑇(𝑡) a temperatura do corpo 
em 𝑡 minutos, pela lei de resfriamento: 
𝑑𝑇
𝑑𝑡
= 𝑘(𝑇 − 𝑇𝑎) = 𝑘𝑇
Logo 
1
𝑇
𝑑𝑇 = 𝑘 𝑑𝑡 ⟹ ∫
1
𝑇
𝑑𝑇 = ∫ 𝑘𝑑𝑡 
ln|𝑇| = 𝑘𝑡 + 𝐶 ⟹ 𝑇(𝑡) = 𝐶𝑒𝑘𝑡 
Dado que 
𝑇(20) = 40 °𝐹, 𝑇(40) = 20 °𝐹 
Logo 
𝑇(40)
𝑇(20)
=
20
40
𝐶𝑒40𝑘
𝐶𝑒20𝑘
=
1
2
𝑒20𝑘 =
1
2
Assim 
𝑇(𝑡) = 𝐶𝑒𝑘𝑡 = 𝐶𝑒20𝑘(
𝑡
20
) = 𝐶(𝑒20𝑘)
𝑡
20 = 𝐶 (
1
2
)
𝑡
20
=
𝐶
2
𝑡
20
Dado que 
𝑇(20) = 40 °𝐹 
𝐶
21
= 40 °𝐹 ⟹ 𝐶 = 80 
Portanto 
𝑇(𝑡) = 80(2)−
𝑡
20
Segue-se que a temperatura inicial é: 
𝑇(0) = 80(2)0 = 80 °𝐹 
2) Um corpo à temperatura de 50◦C é colocado em um forno cuja temperatura á
mantida à 150◦C. Se após 10 minutos a temperatura do corpo aumentou em
25◦C, determine o tempo necessário para o corpo atingir os 100◦C.
Solução. 
Considere a temperatura ambiente 𝑇𝑎 = 150 °𝐶, e 𝑇(𝑡) a temperatura do corpo
em 𝑡 minutos, pela lei de resfriamento: 
𝑑𝑇
𝑑𝑡
= 𝑘(𝑇 − 𝑇𝑎) = 𝑘(𝑇 − 150)
Logo 
1
𝑇
𝑑𝑇 = 𝑘 𝑑𝑡 ⟹ ∫
1
𝑇
𝑑𝑇 = ∫ 𝑘𝑑𝑡 
ln|𝑇| = 𝑘𝑡 + 𝐶 ⟹ 𝑇(𝑡) = 𝐶𝑒𝑘𝑡 
Dado que 
𝑇(0) = 50 °𝐶, 𝑇(10) = 75 °𝐶 
Logo 
𝑇(10)
𝑇(0)
=
75
50
𝐶𝑒10𝑘
𝐶𝑒0
=
3
2
𝑒10𝑘 =
3
2
Assim 
𝑇(𝑡) = 𝐶𝑒𝑘𝑡 = 𝐶𝑒10𝑘(
𝑡
10
) = 𝐶(𝑒10𝑘)
𝑡
10 = 𝐶 (
3
2
)
𝑡
10
Dado que 
𝑇(0) = 50 °𝐶 
𝐶 (
3
2
)
0
= 50 °𝐶 ⟹ 𝐶 = 50 
Portanto 
𝑇(𝑡) = 50 (
3
2
)
𝑡
10
O instante quando a temperatura é 100 °C é: 
𝑇(𝑡) = 100 °𝐶 ⟹ 50 (
3
2
)
𝑡
10
= 100 
(
3
2
)
𝑡
10
= 2 ⟹
𝑡
10
(ln 3 − ln 2) = ln 2 
𝑡 =
10 ln 2
ln 3 − ln 2
𝑡 ≈ 17.095 minutos ≈ 17 minutos 6 segundos 
3) O corpo de uma vítima de assassinato foi descoberto. O perito da polícia chegou
à 1:00h da madrugada e, imediatamente, tomou a temperatura do cadáver, que
era de 34, 8 ◦C. Uma hora mais tarde ele tomou novamente a temperatura e
encontrou 34, 1 ◦C. A temperatura do quarto onde se encontrava a vítima era
constante a 20◦C. Estime a hora em que se deu a morte, admitindo que a
temperatura normal de uma pessoa viva é 36, 5 ◦C.
Solução. 
Considere a temperatura ambiente 𝑇𝑎 = 20 °𝐶, e 𝑇(𝑡) a temperatura do corpo
em 𝑡 horas depois da 1:00h, pela lei de resfriamento: 
𝑑𝑇
𝑑𝑡
= 𝑘(𝑇 − 𝑇𝑎) = 𝑘(𝑇 − 20)
Logo 
1
𝑇
𝑑𝑇 = 𝑘 𝑑𝑡 ⟹ ∫
1
𝑇
𝑑𝑇 = ∫ 𝑘𝑑𝑡 
ln|𝑇| = 𝑘𝑡 + 𝐶 ⟹ 𝑇(𝑡) = 𝐶𝑒𝑘𝑡 
Dado que 
𝑇(0) = 34,8 °𝐶 
Logo 
𝑇(0) = 34,8 
𝐶𝑒0(𝑘) = 34,8 
𝐶 = 34,8 
Assim 
𝑇(𝑡) = 34,8𝑒𝑘𝑡 
Dado que 
𝑇(1) = 34,1 °𝐶 
34,8 𝑒𝑘(1) = 34,1 
𝑒𝑘 =
34,1
34,8
Isto é 
𝑇(𝑡) = 34,8𝑒𝑘𝑡 = 34,8(𝑒𝑘)𝑡 = 34,8 (
34,1
34,8
)
𝑡
Se a temperatura normal é 36,5 °C então: 
𝑇(𝑡) = 36,5 °𝐶 ⟹ 34,8 (
34,1
34,8
)
𝑡
= 36,5 
(
34,1
34,8
)
𝑡
=
36,5
34,8
⟹ 𝑡(ln 34,1 − ln 34,8) = ln 36,5 − ln 34,8 
𝑡 =
ln 36,5 − ln 34,8
ln 34,1 − ln 34,8
𝑡 ≈ −2.35 ≈ −2 horas 20 minutos 
Portanto, a hora em que se deu a morte foi as 22 horas 40 minutos do dia anterior. 
11) Foi observado que a população de uma colônia de bactérias dobra a cada 3
horas. Assumindo que a lei de Malthus de crescimento populacional é válida,
obtenha o tempo necessário para que a população original se quadriplique.
Solução.
Considere 𝑃0 a população original e seja 𝑃(𝑡) a população no tempo 𝑡 (em
horas).
Por hipótese, temos que a cada 3 horas a população dobra, de forma que
𝑃(𝑡) = 𝑃0𝑒
𝑘𝑡
2𝑃0 = 𝑃0𝑒
𝑘(3)
2 = 𝑒3𝑘 
Logo 
𝑃(𝑡) = 𝑃0𝑒
𝑘𝑡 = 𝑃0𝑒
3𝑘(
𝑡
3
)
= 𝑃0(𝑒
3𝑘)
𝑡
3
𝑃(𝑡) = 𝑃0(2)
𝑡
3
Assim, o tempo necessário para que a população original se quadriplique é: 
𝑃(𝑡) = 4𝑃0 
𝑃0(2)
𝑡
3 = 4𝑃0 
2
𝑡
3 = 22 
𝑡 = 6 horas 
12) Considere um país cuja população está crescendo a uma taxa de 0,2% por ano.
Caso essa taxa se mantenha constante, em quantos anos a população desse
país dobrará?
Solução. 
Considere 𝑃0 a população original e seja 𝑃(𝑡) a população no tempo 𝑡 (em anos).
Por hipótese, 𝑘 = 0,2 % = 0,002; logo 
𝑃(𝑡) = 𝑃0 (1 + 0,002)
𝑡 ⟹ 𝑃(𝑡) = 𝑃0 (1,002)
𝑡
Assim, o tempo necessário para que a população seja o dobro da população 
original: 
𝑃(𝑡) = 2𝑃0 
𝑃0(1,002)
𝑡 = 2𝑃0
1,002𝑡 = 2 
𝑡 =
ln 2
ln 1,002
≈ 346,9 
𝑡 ≈ 347 𝑎𝑛𝑜𝑠