PROVA PRESENCIAL - 1 CHAMADA - ÁLGEBRA LINEAR E VETORIAL 2022

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PROVA PRESENCIAL - 1º CHAMADA - ÁLGEBRA LINEAR E
VETORIAL 2022
Questão 1
Podemos associar os vetores entre si por meio dos produtos definidos sobre os conjuntos de
vetores. Quando investigamos os produtos definidos sobre vetores do espaço vetorial R3, por
exemplo, podemos também analisar geometricamente o significado dos resultados obtidos.
Considerando este tema, sejam os vetores de R3 dados por:
u = (-1, 3, 2)
v = (1, 5, -2)
w = (-7, 3, 1)
Assinale a alternativa que indica a representação correta para o vetor a resultante do produto
vetorial entre u - w e v, ou seja,
a = (u - w) x v
na base canônica de R3:
A) a = – 5i – 15j + 30k.
B) a = – 5i + 13j + 30k.
C) a = 5i + 13j – 30k.
D) a = – 5i + 15j + 30k.
E) a = – 14i – 26j – 20k.
Questão 2
Os determinantes podem ser associados a matrizes que satisfaçam a condições específicas e
podem ser classificados em função dos tamanhos das matrizes a que correspondem, sendo
esta uma análise essencial para a identificação dos métodos de cálculo adequados às ordens
dos determinantes.
Sabendo que x é um número real, considere a seguinte matriz:
Assinale a alternativa que indica o valor que deve ser assumido por x para que o
determinante da matriz K seja igual a 40, ou seja, det(K) = 40:
A) x = 1.
B) x = 0.
C) x = 2.
D) x = -1.
E) x = 3.
Questão 3
O estudo das transformações lineares pode contribuir com outros campos além da
Matemática, como é o caso do tratamento de imagens relacionados à computação gráfica.
Além de conhecer as transformações lineares e suas definições, também é importante estudar
os conjuntos que estão associados aos espaços vetoriais considerados.
Nesse sentido, seja a transformação linear definida por:
Com base na transformação linear apresentada, assinale a alternativa que indica um vetor do
espaço vetorial R2 que pertence ao núcleo da transformação linear T:
A) u = (2, 2).
B) u = (4, 1).
C) u = (1, 0).
D) u = (-1, 2).
E) u = (3, -1).
Questão 4
As transformações lineares podem ser associadas a funções (ou aplicações), em que o
domínio e o contradomínio são espaços vetoriais. A respeito desse conceito, analise as
seguintes afirmações:
I) Uma transformação é denominada linear se forem satisfeitas duas igualdades, sendo elas:
T(u + v) = T(u) + T(v) e T(αu) = αT(u)
II) A transformação de R² → R², dada por
T(x, y) = (2y, x + 3)
é linear.
III) A soma de transformações lineares é linear.
Assinale a alternativa correta:
A) Todas as afirmações estão corretas.
B) Apenas as afirmações I e III estão corretas.
C) Apenas as afirmações I e II estão corretas.
D) Apenas as afirmações II e III estão corretas.
E) Apenas a afirmação I está correta.
Questão 5
Podemos empregar as operações entre matrizes para construir novas matrizes, a partir de
outras cujas entradas sejam conhecidas. Dentre as diferentes matrizes que podem ser
estudadas, podemos destacar as matrizes cujas entradas são descritas por elementos do
conjunto de números reais.
Considerando este tema, analise a seguinte matriz:
Deseja-se determinar uma matriz Y = (yij) tal que
Com base nessas informações, qual deve ser o elemento y12 da matriz Y?
A) y12 = 3.
B) y12 = 2.
C) y12 = 6.
D) y12 = 0.
E) y12 = -3.
Questão 6
Considere a seguinte figura, que apresenta um paralelepípedo retângulo com vértices A, B, C,
D, E, F, G e H:
A partir das características apresentadas pela figura em questão, e nas relações que podem
ser estabelecidas entre os vetores construídos a partir de seus vértices, analise as seguintes
afirmações, classificando-as como verdadeiras (V) ou falsas (F):
( ) Os vetores DB e EG possuem mesmo módulo.
( ) Os vetores HG e AB são paralelos.
( ) Os vetores HD e BF são de mesmo sentido.
( ) Os vetores FG, AD e HE são iguais.
A partir da figura e das afirmações apresentadas, assinale a alternativa que indica todas as
classificações corretas, considerando a ordem de cima para baixo:
A) V – V – F – F.
B) V – V – F – V.
C) F – V – V – F.
D) F – F – V – F.
E) V – F – V – V.
Questão 7
Com os vetores é possível realizar operações, como a adição, a subtração, multiplicação por
escalar, produto escalar e vetorial. Sabendo disso e dados os vetores u = (2, -2, 4) e v = (0,
-6, 3), assinale a alternativa que forneça o produto vetorial entre u e v.
A) (18, 6, 12).
B) (30, -6, -12).
C) (18, -6, -12).
D) (-18, -6, 12).
E) (-30, -6, 12).
Questão 8
Associado à determinadas transformações lineares podemos estudar os autovalores e
autovetores correspondentes e, nestes casos, a identificação das imagens dos autovetores
pode ser realizada por meio da operação de multiplicação por escalar.
Com base nesse tema, considere a transformação linear definida por
Qual das seguintes alternativas indica corretamente o polinômio característico associado à
transformação linear T, o qual possibilita a identificação dos autovalores e autovetores
associados a T?
A) p(λ) = λ² – 5λ.
B) p(λ) = λ² – 20λ – 6.
C) p(λ) = λ² + 3λ – 2.
D) p(λ) = λ² – 9λ + 26.
E) p(λ) = λ² – λ + 20.
Questão 9
Dados dois vetores pertencentes a um espaço vetorial, podemos calcular o ângulo θ formado
entre eles empregando os produtos entre vetores, o que possibilita a classificação de θ como
agudo, obtuso ou reto.
Considere os vetores
u = (-1, 0, 3)
v = (2, -1, 4)
do espaço tridimensional R3. Com base em u e v, analise as seguintes asserções e a relação
proposta entre elas:
I. Os vetores u e v podem ser classificados como ortogonais entre si, sendo o ângulo entre
eles classificado como reto.
PORQUE
II. O produto escalar entre os vetores u e v é não nulo.
A respeito dessas asserções, assinale a alternativa correta:
A) As asserções I e II são proposições verdadeiras e a II é uma justificativa correta para I.
B) A asserção I é uma proposição falsa e a II é verdadeira.
C) As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta para
I.
D) As asserções I e II são proposições falsas.
E) A asserção I é uma proposição verdadeira e a II é falsa.
Questão 10
As matrizes podem ser relacionadas entre si por meio das operações definidas sobre o
conjunto de matrizes, desde que determinadas condições sejam satisfeitas de acordo com o
tipo de operação considerada.
Com base nesse tema, sejam as matrizes A e B descritas a seguir:
Deseja-se determinar a matriz C tal que
Assinale a alternativa que descreve corretamente a matriz C apresentada:
A) A matriz C é dada por
B) A matriz C é dada por
C) A matriz C é dada por
D) A matriz C é dada por
E) A matriz C não pode ser obtida a partir do produto entre as matrizes A e Bt.
Questão 11
Considere o seguinte sistema de equações lineares:
Em relação ao sistema em questão, foram apresentadas as seguintes afirmações:
I. O sistema de equações lineares pode ser classificado como possível e indeterminado.
II. O sistema de equações lineares possui a matriz de coeficientes correspondente inversível.
III. A solução para o sistema em estudo é dada por x = 1, y = 1 e z = 2.
Considerando o sistema e as afirmações apresentadas, assinale a alternativa correta:
A) Apenas as afirmações I e III estão corretas.
B) Apenas as afirmações II e III estão corretas.
C) Apenas as afirmações I e II estão corretas.
D) Apenas a afirmação II está correta.
E) Apenas a afirmação III está correta.
Questão 12
Seja o losango EFGH inscrito no retângulo ABCD, com O sendo o ponto de interseção das
diagonais desse losango, conforme a figura apresentada a seguir:
Com base na figura apresentada, e nas relações que podem ser estabelecidas entre os
vetores, analise as seguintes afirmações:
I. Os vetores AE e GC possuem mesmo módulo.
II. Os vetores AO e DB são paralelos.
III. Os vetores HC e AF são de mesmo sentido.
IV. Os vetores FG, EH e CO são de mesmo módulo.
A partir da figura e das afirmações apresentadas, assinale a alternativa correta:
A) Apenas as afirmações I e IV estão corretas.
B) Apenas as afirmações I, III e IV estão corretas.
C) Apenas as afirmações II e III estão corretas.
D) Apenasas afirmações III e IV estão corretas.
E) Apenas a afirmação II está correta.