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BIK0102-2020.QS - Lista de Exercícios 
 
Tópico 6 - Introdução à mecânica quântica: a radiação do corpo negro, a hipótese de quantização de Planck e o efeito 
fotoelétrico. Dualidade onda-partícula, comprimento de onda de De Broglie. 
 
1) No tubo de imagem de um velho aparelho de TV os elétrons são acelerados por uma diferença de potencial de 25 kV. 
Qual o comprimento de onda de de Broglie desses elétrons? 
 
Resp.: λ = 49,61 pm 
 
Resolução: 
V = 25kV -> E = e.V = 25 x 103 x 1,6 x 10-19 = 4 x 10-15 J 
E = ½ (mv2) = (mv)2/2m = p2/2m -> 𝑝 = √2𝑚𝐸 = 8,542 x 10-23 kg m / s 
 
Da relação de de Broglie: 
𝜆 =
ℎ
𝑝
=
6,63. 10−34
8,542. 10−23
= 7,757. 10−12𝑚 
 
 
2) Os fótons dos raios γ emitidos durante o decaimento nuclear de um átomo de tecnécio-99 usado em produtos 
radiofarmacêuticos têm energia total iguala 140,511 keV. Calcule o comprimento de onda λ de um fóton desses raios γ 
Resp.: λ ≈ 8,84 pm 
 
Resolução: 
E = h×f (h = 4,14×10⁻¹⁵ eVs = 4,14×10⁻¹⁸ keVs ) 
140,511 = 4,14×10⁻¹⁸×f ⇒ 𝑓 = 3,39 × 10⁻¹⁹ 𝑠⁻¹ 
𝑓 =
𝑐
𝜆
⇒ 𝜆 =
𝑐
𝑓
⇒ 𝜆 =
2,998×10⁸
 3,39×10⁻¹⁹
⇒ 𝜆 = 8,84 × 10⁻¹² 𝑚 = 8,84 pm 
 
3) Um carro de massa 1550 kg viaja em uma rodovia a velocidade de 200 km/h. Qual e o comprimento de onda (λ) do 
carro? 
 
Resp.: λ ≈ 7,691 × 10-39 m 
 
Resolução: 
Utilizando a relação de de Broglie: 
𝜆 =
ℎ
𝑝
=
ℎ
𝑚 ⋅ 𝑣
=
6,626 × 10−34
1550 ⋅ 55,56
⇒ 𝜆 ≈ 7,691 × 10−39𝑚 
 
4) Qual é a energia de um quantum de luz que tem um comprimento de onda de 11,592 Å? 
 
Resp.: E = 1,714 × 10-16 J 
 
 
 
5) O olho humano é mais sensível a luz verde, de comprimento de onda igual a 505 nm. Verificou-se em experiências 
que, quando pessoas são mantidas em um quarto escuro até que seus olhos se adaptem à escuridão, um único fóton de 
luz verde ativará as células receptoras nas camadas externas da retina. 
 
(a) Qual a frequência desse fóton? 
 
(b) Quanta energia (em joule e elétron-volt) ele fornece às células receptoras? 
 
Resp.: (a) f ≈ 5,94 × 10¹⁴ Hz; (b) E ≈ 3,94x10⁻¹⁹ J = 2,46 eV 
 
Resolução: 
(a) 𝜆 = 505 𝑛𝑚 
c = 3,00x10⁸ m/s 
𝑓 =
𝑐
𝜆
 
 𝑓 =
3,00𝑥10⁸
505𝑥10⁻⁹
 
f = 5,94x10¹⁴ Hz 
(b) h = 6,626 × 0⁻³⁴ Js 
1 eV = 1,602 × 10⁻¹⁹ J 
E = hf 
E = (6,626x10⁻³⁴)(5,94 × 10¹⁴) = 3,94x10⁻¹⁹ J 
E = 2,46 eV 
 
 
6) O comprimento de onda de de Broglie de um elétron é de 28nm. Determine: 
 
(a) o módulo de seu momento linear; 
 
(b) sua energia cinética em Joule e em elétron-Volt; 
 
Resp.: (a) 2,4 × 10-26 kg·m·s-1 ; (b) 3,16 × 10-22 J = 1,97 × 10-3 eV 
 
Resolução: 
 𝜆 = 28𝑛𝑚 = 28 ⋅ 10−9𝑚 
 
(b) Lembrando que: 𝑚𝑒 = 9,11 ⋅ 10
−31𝑘𝑔 e usando as equações: 
 
Para a conversão: 1𝑒𝑉 = 1,6 ⋅ 10−19𝐽. Portanto: 3,16 ⋅ 10−22𝐽 = 1,97 ⋅ 10−3𝑒𝑉 
 
7) A difração de nêutrons é uma importante técnica para determinar a estrutura das moléculas. Calcule a velocidade de 
um nêutron que tem comprimento de onda característico de 0,955 Å. (massa do nêutron = 1,67492716 × 10-24 g) 
 
Resp.: 4,16 × 103 m/s 
 
Resolução: 
 𝜆 = 0,955Å = 0,955 ⋅ 10−10 
 
 
 
8) O que significa “dualidade partícula-onda”? Quais são suas implicações para nossa visão moderna de estrutura 
atômica? 
 
Resolução: 
A dualidade onda-partícula representa o comportamento ora corpuscular, ora ondulatório apresentado por entes 
quânticos, como átomos e elétrons. Essa noção surgiu a partir de experimentos nos quais os dois tipos de 
comportamento se manifestavam, dependendo da forma como o observador interagia com o experimento. Assim, a 
concepção de átomos e elétrons, por exemplo, como partícula não era satisfatória para explicar os fenômenos 
experienciados e uma mudança para a interpretação dual da matéria foi necessária. Ou seja, a matéria se comporta 
como onda e como partícula e existe, assim, em um estado de sobreposição. Somente, quando o observador interage 
com o experimento, um desses dois comportamentos vem à tona e pode ser observado. 
 
9) Uma superfície de sódio é iluminada com radiação com um comprimento de onda de 300 nm. A função trabalho para 
o sódio é de 2,64 eV. Calcule: 
 
(a) A energia cinética dos fotoelétrons ejetados; 
 
(b) O comprimento de onda de corte para o sódio; 
 
Resp.: (a) Kmax = 2.395 × 10-19 = 1,495 eV ; (b) λ ≈ 469 nm 
 
Resolução: 
(a) Kmax = hf - Φ ⇒ hf=
ℎ.𝑐
𝜆
 ⇒ Kmax= 
ℎ.𝑐
𝜆
 - Φ ⇒ c= 2,998 ×108 m/s h= 6,6207×10-34 m².kg/s 
Logo, substituindo e considerando 𝜆= 300×10-9m e Φ = 2,64eV ( 4.22x 10-19 J ), temos Kmax = 2.395×10-19 J ou Kmax 
=1,495 eV. 
(b) Φ = 
ℎ.𝑐
𝜆
 ⇒ 𝜆 = 
ℎ.𝑐
𝛷
 ⇒ 𝜆 = 
6,62𝑥10
−34
𝑚
2𝐾𝑔
𝑠
.2.99𝑥10
8𝑚
𝑠
4.22𝑥10
−19
𝐽
 = 469 nm 
 
10) Qual é a frequência da luz necessária para arrancar elétrons de uma superfície limpa de Platina (função trabalho = 
6.35 eV)? 
 
Resp.: ν ≈ 1,535 × 1015 Hz 
 
Resolução: 
 
Para resolver essa questão devemos utilizar a equação de Einstein para o efeito fotoelétrico: 
 
𝐸 = ℎ ⋅ 𝜈 − 𝛷 
 
Para que possamos retirar elétrons de algum metal precisamos garantir que haja energia no mínimo igual a dada pela 
função trabalho, logo: 
 
ℎ ⋅ 𝜈 = 𝛷 ⇒ 𝜈 =
𝛷
ℎ
⇒ 𝜈 =
6.35𝑒𝑉
4.136 × 10−15𝑒𝑉 ⋅ 𝑠
≈ 1.535 × 1015𝐻𝑧 
 
 
11) Qual é a frequência da luz necessário para arrancar elétrons de uma superfície limpa de Sódio (função trabalho = 
2.28 eV)? 
 
Resp.: ν ≈ 5,513 × 1014 Hz 
 
Resolução: 
 
Para resolver essa questão devemos utilizar a equação de Einstein para o efeito fotoelétrico: 
 
𝐸 = ℎ ⋅ 𝜈 − 𝛷 
 
Para que possamos retirar elétrons de algum metal precisamos garantir que haja energia no mínimo igual a dada pela 
função trabalho, logo: 
 
ℎ ⋅ 𝜈 = 𝛷 ⇒ 𝜈 =
𝛷
ℎ
⇒ 𝜈 =
2.28𝑒𝑉
4.136 × 10−15𝑒𝑉 ⋅ 𝑠
≈ 5.513 × 1014𝐻𝑧 
 
 
12) Qual é o comprimento de onda da luz necessário para arrancar elétrons de uma superfície limpa de Prata (função 
trabalho = 4,7 eV)? 
 
Resp.: λ ≈ 264 nm 
 
Resolução: 
 
Para resolver essa questão devemos utilizar a equação de Einstein para o efeito fotoelétrico: 
 
𝐸 = ℎ ⋅ 𝜈 − 𝛷 =
ℎ ⋅ 𝑐
𝜆
− 𝛷 
 
Para que possamos retirar elétrons de algum metal precisamos garantir que haja energia no mínimo igual a dada pela 
função trabalho, logo: 
 
ℎ ⋅ 𝑐
𝜆
= 𝛷 ⇒ 𝜆 =
ℎ ⋅ 𝑐
𝛷
⇒ 𝜆 =
4.136 × 10−15 ⋅ 3 × 108
4,7
= 264 𝑛𝑚 
 
 
13) Um experimento é montado para demonstrar o efeito fotoelétrico para os metais sódio (Na) e ouro (Au). Para isso, 
uma radiação incidente com comprimento de onda de 300 nm é utilizada. Assumindo que a função trabalho do sódio 
tem o valor de 4 × 10-19 J e a do ouro 8 × 10-19 J por átomo, responda as questões a seguir. 
 
(a) Represente qualitativamente, num único gráfico, como varia a energia cinética dos elétrons ejetados em função da 
frequência da radiação incidente para os dois metais; 
 
(b) Determine se a radiação com comprimento de onda de 300 nm será capaz de retirar elétrons dos metais em questão. 
(Resp.: será capaz de retirar os elétrons do Na); 
 
(c) Se a intensidade da radiação luminosa fosse aumentada, qual seria o efeito sobre o resultado obtido no ítem “b”? 
Justifique sua resposta em termos do modelo proposto por Einstein para o efeito fotoelétrico. 
 
 
 
14) A função trabalho do metal crômio é 4,37 eV. Que comprimento de radiação deve ser utilizado para provocar a 
emissão de elétrons com a velocidade de 1,5 x 103 km·s-1? Como o efeito fotoelétrico, exemplificado pela ejeção de um 
elétron pelo crômio, contribui para a elaboração do Modelo Atômico atual? Como é o modelo atômico aceito 
atualmente? 
 
Resp.: E = 1,72 × 10-18 J e λ = 115 nm 
 
Resolução: 
𝜙𝐶𝑟 = 4,37 𝑒𝑉 = 6,992 × 10−19𝐽 
𝑣 = 1,5 × 103𝑘𝑚/ℎ = 1,5 × 106𝑚/𝑠 
𝑚𝑒− = 9,11 × 10
−31𝑘𝑔 
𝐸𝑐 = 
𝑚𝑣2
2
= 
(9,11 × 10−31) × (1,5 × 106)2
2
= 1,02 × 10−18𝐽 
𝐸𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝐸𝑐 + 𝜙 = 1,02 × 10
−18 + 6,992 × 10−19 = 1,72 × 10−18𝐽 
𝐸 = ℎ𝑣 (𝐸𝑞. 1) e 𝜆𝑣 = 𝑐 => 𝑣 =
𝑐
𝜆
 (𝐸𝑞. 2) 
Substituindo a Eq. 2 na Eq. 1: 𝐸 =
ℎ𝑐
𝜆
=> 𝜆 =
ℎ𝑐
𝐸
 
𝜆 =
ℎ𝑐
𝐸
=(6,626 × 10−32) × (2,998 × 108)
1,72 × 10−18
= 115 𝑛𝑚 
 
15) A velocidade de um elétron emitido pela superfície de um metal iluminada por um fóton é 3,6 x 103 km·s-1. (a) Qual 
é o comprimento de onda do elétron emitido? (b) A superfície do metal não emite elétrons até que a radiação alcance 
2,50 x 1016 Hz. Quanta energia é necessária para remover o elétron da superfície do metal? (c) Qual é o comprimento 
de onda da radiação que causa a foto emissão do elétron? (d) Que tipo de radiação eletromagnética foi usada? 
 
Resp.: (a) 2,02 × 10-10 m ; (b) 1,66 × 10-17 J ; (c) λ = 8,6 nm ; (d) Raios-X 
 
 
 
 
 
16) (a) Quanta energia radiante é liberada, em watt/cm2, por um forno elétrico com uma temperatura de 1000 K? (b) Se 
a área do forno for 250 cm2, que potência, em watts, será emitida? 
 
Resp.: (a) 5,67 W/cm2 ; (b) 1417 W 
 
Resolução: 
(a) A intensidade de energia radiante é dada pela Lei de Stefan-Boltzmann: 
 
onde 𝜎 = 5,67051 ⋅ 10−12
𝑊
𝑐𝑚2𝐾4
 é a constante de Stefan-Boltzmann e T é a temperatura. 
 
(b) A potência é dada por: 
 
onde I é a intensidade de energia e A é a área. 
 
 
17) Se o ponto de fusão do ferro é 1540 °C, qual será o comprimento de onda (em nanômetros) que corresponde à 
intensidade máxima da radiação quando uma peça de ferro funde? 
 
Resp.: 1600 nm 
 
Resolução: 
O comprimento de onda que corresponde à intensidade máxima da radiação é dado pela lei de deslocamento de Wien: 
 
onde 𝑏 = 2,9 ⋅ 10−3𝑚 ⋅ 𝐾 é a constante de proporcionalidade. 
Primeiro, é preciso converter a temperatura para Kelvin: 
 
Assim: 
 
 
18) Descobriu-se, em 1965, que o universo é atravessado por radiação eletromagnética com o máximo em 1,05 mm (na 
região das microondas). Qual é a temperatura do universo no “vácuo”? 
 
Resp.: 2,76 K 
 
Resolução: 
𝜆 = 1,05 𝑚𝑚 = 1,05 × 10⁻³ 𝑚 
Lei do deslocamento de Wien: 𝜆𝑚á𝑥 × 𝑇 = 2,9 × 10⁻³ 𝑚𝐾 [𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 × 𝐾𝑒𝑙𝑣𝑖𝑛] 
 𝑇 =
2,9×10⁻³
𝜆𝑚á𝑥
→ 𝑇 =
2,9×10⁻³
1,05×10⁻³
→ 𝑇 =
2,9×10⁻³
1,05×10⁻³
→ 𝑇 = 2,76 𝐾 
 
 
19) (a) Qual é o fóton de mais alta energia que pode ser absorvido por um átomo de hidrogênio no estado fundamental 
sem causar ionização? (b) Qual é o comprimento de onda dessa radiação? (c) Em que região do espectro eletrônico 
observa-se esse fóton? 
 
Resp.: (a) 2,18 × 10-18 J ; (b) 91,1 nm ; (c) UV 
 
Resolução: 
(a) O fóton de mais alta energia é aquele que corresponde à energia de ionização do átomo, ou seja, a energia requerida 
para produzir a condição na qual o elétron e o núcleo estão “infinitamente” separados. Esta energia corresponde à 
transição 𝑛 = 1 → 𝑛 = ∞. 
 
(b) 
 
(c) O comprimento de onda 𝜆 = 91,1𝑛𝑚 corresponde ao ultravioleta (UV). 
 
20) (a) Use a fórmula de Rydberg para o hidrogênio atômico e calcule o comprimento de onda da transição entre n = 5 
e n = 1. (b) Qual é o nome dado à série espectroscópica a que esta linha pertence? (c) Indique a região do espectro que 
a transição é observada e, caso a transição ocorra na região do visível, indique qual a cor emitida. 
 
Resp.: (a) 94,9 nm ; (b) série de Lyman ; (c) região do UV 
 
Resolução: 
(a) A equação de Rydberg: 
𝑣 = 𝑅𝑐(
1
𝑛1
2 −
1
𝑛2
2) = (3,29 × 10
15𝑠−1)(
1
12
−
1
52
) = 3,16 × 1015 
Depois: 
𝑐 = 𝜆𝑣 => 𝜆 =
𝑐
𝑣
=
2,998 × 108𝑚/𝑠
3,16 × 1015𝑠−1
= 0,946 × 10−7𝑚 = 94,9 𝑛𝑚 
(b) Série de Lyman. 
(c) Esse comprimento de onda corresponde à região do ultravioleta (UV). 
 
21) No espectro do hidrogênio atômico, observa-se uma linha violeta em 434 nm. Determine os níveis de energia inicial 
e final da emissão de energia que corresponde a essa linha espectral. 
 
Resp.: Transição de n = 5 para n = 2 
 
Resolução: 
𝜆 = 434 𝑛𝑚 está localizada no espectro visível, temos a série de Balmer. Logo, 𝑛1 = 2. 
 
Portanto há um transição de 𝑛 = 5 pr 𝑛 = 2. 
 
22) Os raios dos núcleos dos átomos são da ordem de 5,0 × 10−15 m. 
 
(a) Estime a incerteza mínima no momento linear de um próton quando ele está confinado no núcleo; 
(b) Considere o valor da incerteza no momento linear como uma estimativa do módulo do momento linear e estime a 
energia cinética do próton dentro do núcleo; 
 
Resp.: (a) Δp = 1,05 × 10⁻²⁰ kg·m/s ; (b) Ec= 3,30 × 10⁻¹⁴ J 
 
Resolução: 
(a) A relação entre incertezas é dada por: 
 
E, no caso da incerteza mínima, temos: 
 
Portanto, a incerteza mínima no momento linear é dada por: 
 
(b) Considere o valor da incerteza no momento linear como uma estimativa do módulo do momento linear e estime a 
energia cinética do próton dentro do núcleo. 
Massa próton: 1,672x10⁻²⁷ kg 
Momento linear: 1,05x10⁻²⁰ 
𝑘𝑔.𝑚
𝑠
 
Ec= 
𝑝²
2𝑚
 
Ec= 
(1,05𝑥10⁻²⁰)²
2𝑥1,672𝑥10⁻²⁷
 
Ec= 3,30x10⁻¹⁴ J