Questões resolvidas
QUESTIONÁRIO DE CÁLCULO NUMÉRICO
Considere a função: f(x) = ln(x) - 2sen(x). Em qual dos intervalos abaixo há uma raiz real?
a. I [3,4]
b. I [4,5]
c. I [2,3]
d. I [1,2]
e. I [5,6]
Calcule o número de iterações necessárias, no método da bissecção, para identificar a raiz de uma função sabendo que essa pertence ao intervalo I [4, 6] e com erro e < 0,001
a. 9 iterações
b. 10 iterações
c. 11 iterações
d. 12 iterações
e. 8 iterações
Utilize o método da Bissecção para determinar o zero real da função f(x) = -4x7-3x3-x2+3 com erro e < 0,001 sabendo que pertence ao intervalo I [0,78;0,8]. Utilize quatro casas decimais
a. x=0,7994
b. x=0,7901
c. x=0,7950
d. x=0,7943
e. x=0,7988
Considere a função f(x)=ln(x)-3x²+5 e o intervalo I [1,325 ; 1,328]. Utilize o método da bissecção para calcular a raiz, com quatro casas decimais com erro e < 0,0002.
a. x=1,3271
b. x=1,3269
c. x=1,3345
d. x=1,3408
e. x=1,3399
Calcule o determinante da seguinte matriz
???? = [ 2 1 0 1 −5 −2 4 1 2 ]
a. 32
b. -44
c. 26
d. -26
e. 0
Ao resolver o sistema abaixo pelo Método de Cramer, no qual utilizamos os cálculos dos determinantes, temos que Det, Det y e o valor da variável y são:
4x -2y + 1z = 15 -x -3y + 2z = 2 x + 3y + 5z = 5
a. Det = 65; Det y = -65 e y = -1
b. Det = -98; Det y = 98 e y = -1
c. Det = 65; Det y = -65 e y = 1
d. Det = 65; Det y = -195 e y = -3
e. Det = 98; Det y = 98 e y = 1
Ao utilizar o método de Cramer para resolver o sistema abaixo, temos que Det y e Det z e os valores das variáveis y e z, são respectivamente:
2x -y -2z = -12 3x + 2y +z = 5 3x - 3y = -9
a. Det y = 48; Det z = 64; y = 1 e z = 2
b. Det y = 66; Det z = 132; y = 2 e z = 4
c. Det y = 66; Det z = 64; y = -2 e z = 1
d. Det y = 33; Det z = 132; y = 1 e z = -4
e. Det y = 48; Det z = 128; y = 3 e z = -1
A partir dos dados abaixo, e admitindo que há uma relação linear entre as variáveis x e y, ajuste uma reta y = a0 + a1x que “ajuste” os pontos conforme a tabela abaixo:
xi 2 3 5,5 3 6 yi 0,5 1 2,5 6 10 Considere 4 casas decimais.
a. y = -1,7945 + 1,6704x
b. y = -1,6742 + 1,4549x
c. y = 1,4589 + 3,0037x
d. y = -1,5885 + 1,3586x
e. y = 1,6806 + 1,7904x
Observe a tabela abaixo:
xi 1 3 2 4 5 yi 5 4 3 2 1 Supondo que entre as variáveis x e y há uma relação linear em que y depende de x, ajuste uma reta tal que: y = a0 + a1x.
a. y = 4,8 – 0,7x
b. y = -6,2 + 0,7
c. y = 5,7 - 0,9x
d. y = 5,7 + 0,9x
e. y = 6,2 – 0,7x
Considere a função f (x) = 3 lnx+x² e o intervalo [2,3]. Calcule a integral da função nesse intervalo utilize o método de 1/3 Simpson com n=2 e quatro casas decimais.
a. I= 9,0034
b. I= 8,9457
c. I= 9,0619
d. I= 9,1308
e. I= 8,8994
Utilizando o método de ponto médio, determine a solução da equação diferencial dy/dt=y; com a condição inicial y(0)=1, trabalhando com quatro casas decimais, adotando o intervalo [0,4] e passo Δt=1.
a. 41,2007
b. 39,0625
c. 40,0002
d. 51,6283
e. 38,6662
Dada a equação diferencial dy/dt=2y/ (t+1)+(t+1)³, com a condição inicial y(0)=3; determine, pelo método de Runge-Kutta com cinco casas decimais, os valores y(1) e y(2) usando passo Δt=0,2.
a. y(1)= 15,95765 e y(2)= 62,67890
b. y(1)= 17,99838 e y(2)= 62,99581
c. y(1)= 13,10123 e y(2)= 67,16412
d. y(1)= 39,74576 e y(2)= 50,32921
e. y(1)= 4,63654 e y(2)= 6,82025
26 - Dado o polinômio de Lagrange de grau 3, para quatro pontos quaisquer, x0, x1, x2, x3, qual o valor de L0 (x1)
a. 1
b. 0
c. 4
d. 3
e. Não está definido
Utilizando os pontos básicos x0=2, x1=2.5, x2=4 determine o polinômio Lagrangiano L0(x).
a. x² +6,5x -10
b. x² -2,5x -4
c. 2x² +2,5x +4
d. x² +6,5x +10
e. x²- 6,5x + 10
Seja dado um conjunto de pontos reais quaisquer {(xi,yi)| i=1,2,3,4}, num intervalo [a,b]. Considere as seguintes afirmacoes:
I. Fazer a interpolação por um polinômio de Lagrange P3(x) de grau 3, ou fazer o ajuste por um polinômio de grau 3, os resultados para um ponto xj diferente dos pontos dados, dois a dois, são os mesmos. II. Fazer a interpolação por um polinômio de Lagrange P3(x) de grau 3 produz um resultado, em geral, diferente do ajuste por um polinômio de grau 3, tanto para os pontos tabelados como outros pontos dentro do intervalo [a,b]. III. O valor do polinômio interpolador de Lagrange no ponto x1, dado por P3(x1) é igual y1. Qual alternativa abaixo, está correta?
a. Todas as afirmações são verdadeiras.
b. Somente as afirmações II e III são verdadeiras.
c. Somente as afirmações I e III são verdadeiras.
d. Somente a afirmação I é verdadeira.
e. Só a afirmação II é verdadeira.
Determinar o valor do polinômio interpolador de Lagrange para x=3,5, a partir dos seguintes pontos da tabela:
25 - Determinar o valor do polinômio interpolador de Lagrange para x=3,5, a partir dos seguintes pontos da tabela:
I xi yi
0 0 3
1 1 5
2 3 7
3 4 9
a. 7,0833
b. 6,7500
c. 7,8125
d. 7,9012
e. 6,4375
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QUESTIONÁRIO DE CÁLCULO NUMÉRICO
1- Considere a função: f(x) = ln(x) - 2sen(x). Em qual dos intervalos abaixo há
uma raiz real?
a. I [3,4]
b. I [4,5]
c. I [2,3]
d. I [1,2]
e. I [5,6]
Resposta: [2,3]
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
2 - Calcule o número de iterações necessárias, no método da bissecção, para
identificar a raiz de uma função sabendo que essa pertence ao intervalo I [4, 6]
e com erro e < 0,001
a. 9 iterações
b. 10 iterações
c. 11 iterações
d. 12 iterações
e. 8 iterações
Resposta: 11 iterações
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
3 - Utilize o método da Bissecção para determinar o zero real da função f(x) = -
4x7-3x3-x2+3 com erro e < 0,001 sabendo que pertence ao intervalo I [0,78;0,8].
Utilize quatro casas decimais
a. x=0,7994
b. x=0,7901
c. x=0,7950
d. x=0,7943
e. x=0,7988
Resposta: 0,7994
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
4 - Considere a função f(x)=ln(x)-3x²+5 e o intervalo I [1,325 ; 1,328]. Utilize o
método da bissecção para calcular a raiz, com quatro casas decimais com erro
e < 0,0002.
a. x=1,3271
b. x=1,3269
c. x=1,3345
d. x=1,3408
e. x=1,3399
Resposta: 1,3271
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
5 – Calcule o determinante da seguinte matriz
𝐴 = [
2 1 0
1 −5 −2
4 1 2
]
a. 32
b. -44
c. 26
d. -26
e. 0
Resposta: -26
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
6 – Calcule o determinante da seguinte matriz:
A = [
2 3 0 1
1 −5 −2 3
4
1
0
3
2
2
0
1
]
a. 140
b. -140
c. -28
d. -14
e. 240
Resposta: -140
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
7 - Ao resolver o sistema abaixo pelo Método de Cramer, no qual utilizamos os
cálculos dos determinantes, temos que Det, Det y e o valor da variável y são:
4x -2y + 1z = 15
-x -3y + 2z = 2
x + 3y + 5z = 5
a. Det = 65; Det y = -65 e y = -1
b. Det = -98; Det y = 98 e y = -1
c. Det = 65; Det y = -65 e y = 1
d. Det = 65; Det y = -195 e y = -3
e. Det = 98; Det y = 98 e y = 1
Resposta: Det = -98; Det y = 98 e y = -1
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
8 - Ao utilizar o método de Cramer para resolver o sistema abaixo, temos que
Det y e Det z e os valores das variáveis y e z, são respectivamente:
2x -y -2z = -12
3x + 2y +z = 5
3x - 3y = -9
a. Det y = 48; Det z = 64; y = 1 e z = 2
b. Det y = 66; Det z = 132; y = 2 e z = 4
c. Det y = 66; Det z = 64; y = -2 e z = 1
d. Det y = 33; Det z = 132; y = 1 e z = -4
e. Det y = 48; Det z = 128; y = 3 e z = -1
Resposta: Det y = 66; Det z = 132; y = 2 e z = 4
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
9 – A partir dos dados abaixo, e admitindo que há uma relação linear entre as
variáveis x e y, ajuste uma reta y = a0 + a1x que “ajuste” os pontos conforme a
tabela abaixo:
xi 2 3 5,5 3 6
yi 0,5 1 2,5 6 10
Considere 4 casas decimais.
a. y = -1,7945 + 1,6704x
b. y = -1,6742 + 1,4549x
c. y = 1,4589 + 3,0037x
d. y = -1,5885 + 1,3586x
e. y = 1,6806 + 1,7904x
Resposta: y = -1,6742 + 1,4549x
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
10 – Supondo que entre as variáveis x e y há uma relação linear em que y
depende de x, observe a tabela abaixo e ajuste uma reta tal que: y=a0 + a1x.
Considere quatro casas decimais.
xi 1 2 4 6
yi 5 3 1 0,5
a. y = 5,2119 - 0,8729x
b. y = 5,2119 + 0,8729x
c. y = -4,2810 + 0,8934
d. y = 4,2810 + 0,8934x
e. y = -5,2119 + 0,8729x
Resposta: y = 5,2119 - 0,8729x
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
11 – Observe a tabela abaixo:
xi 1 3 2 4 5
yi 5 4 3 2 1
Supondo que entre as variáveis x e y há uma relação linear em que y depende
de x, ajuste uma reta tal que: y = a0 + a1x
a. y = 4,8 – 0,7x
b. y = -6,2 + 0,7
c. y = 5,7 - 0,9x
d. y = 5,7 + 0,9x
e. y = 6,2 – 0,7x
Resposta: y = 5,7 - 0,9x
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
12 – Observe a tabela abaixo:
xi 1 3 5 9
yi 2 4 5 7
Supondo que entre as variáveis x e y há uma relação linear em que y depende
de x, ajuste uma reta tal que: y = a0 + a1x
a. y = 1,8 + 0,6x
b. y = 2,2 + 0,7x
c. y = 3,6 + 0,5x
d. y = 2,5 – 0,4x
e. y = 1,5 + 0,3x
Resposta: y = 1,8 + 0,6x
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
13 – Observe a função abaixo. Calcu le sua in tegra l u t i l izando o
método dos t rapézios com n=4, in terva lo [0 ,2] e quat ro casas
decimais.
a . I= 2,6136
b. I= 2,5994
c. I= 2 ,6204
d. I= 2,5930
e. I= 2,5730
Resposta: I= 2,5930
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
14 – Ca lcu le a integra l da função f (x)=lnx+5x² no interva lo I [2,4]
u t i l ize o método de 1/3 S impson com n=2 e quat ro casas
decimais.
a . I= 96,1229
b. I= 96,0034
c. I= 95,0456
d. I= 95,4921
e. I= 98,5023
Resposta: I= 95,4921
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
15 – Ut i l izando o método dos Trapézios ca lcu le a integra l da
função abaixo, considerando n=4, no interva lo [1 ,3 ] .
a . I= 4,5609
b. I= 13,2480
c. I= 3 ,3676
d. I= 3,4204
e. I= 13,0743
Resposta: I= 3,3676
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
16 – Considere a função f (x) = 3 lnx+x² e o interva lo [2 ,3 ] . Calcu le
a integra l da função nesse interva lo u t i l ize o método de 1/3
S impson com n=2 e quat ro casas decimais.
a . I= 9,0034
b. I= 8,9457
c. I= 9 ,0619
d. I= 9,1308
e. I= 8,8994
Resposta: I= 9,061
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
17 - Ut i l izando o método de Euler , determine a so lução da
equação d i ferencia l d y /d t=y-t -1, com a condição in ic ia l y(0)=1,
t raba lhando com quatro casas decimais, adotando o in terva lo
[0 ,0 ,3 ] e passo Δt=0,1 .
a . 0 ,3256
b. 0 ,969
c. 0,8524
d. 0 ,9375
e. 0 ,6352
Resposta: 0 ,969
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
18 – Ut i l izando o método de ponto médio, determine a so lução da
equação d i ferencia l d y /d t=y; com a condição in ic ia l y(0)=1,
t raba lhando com quatro casas decimais, adotando o i n terva lo
[0 ,4 ] e passo Δt=1.
a . 41,2007
b. 39,0625
c. 40,0002
d. 51,6283
e. 38,6662
Resposta: 39,0625
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
19 – Dada a equação d i ferencia l d y /d t=2y/ ( t+1)+( t+1) 3 , com a
condição in ic ia l y(0)=3; determine, pe lo método de Runge -Kut ta
com c inco casas decimais,os va lores y(1) e y(2) us ando passo
Δt=0,2.
a . y(1)= 15,95765 e y(2)= 62,67890
b. y(1)= 17,99838 e y(2)= 62,99581
c. y(1)= 13,10123 e y(2)= 67,16412
d. y(1)= 39,74576 e y(2)= 50,32921
e. y(1)= 4,63654 e y(2)= 6,82025
Resposta: y (1)= 17,99838 e y(2)= 62,99581
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
20 – Ut i l izando o método de Euler , determine a so lução da
equação d i ferencia l d y /d t=y+1, com a condição in ic ia l y(0)=1,
t raba lhando com quatro casas decimais, adotando o in ter va lo
[0 ,0 ,5 ] e passo tempora l Δt=0,1.
A so lução é:
a . 3 ,003
b. 2 ,221
c . 2,925
d . 1 ,012
e . 2 ,612
Resposta: 2,221
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
21 - Determinar o valor do polinômio interpolador de Lagrange para x=1,8, de
grau 3, a partir dos seguintes pontos da tabela a seguir.
I xi yi
0 1,7 1,8417
1 1,9 1,8963
2 2,1 1,9132
4 2,3 1,8957
a. 1,8714
b. 1,8690
c. 1,8901
d. 0
e. 1,8
Resposta: 1,8714
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
22 - Dado o polinômio de Lagrange de grau 3, para quatro pontos quaisquer, x0,
x1, x2, x3, qual o valor de L0 (x0)
a. 1
b. 0
c. 3
d. Não está definido
e. x 0
Resposta: 1
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
23 - Utilizando os pontos básicos x0=2, x1=2.5, x2=4 determine o polinômio
Lagrangiano L0(x).
a. x² +6,5x -10
b. x² -2,5x -4
c. 2x² +2,5x +4
d. x² +6,5x +10
e. x²- 6,5x + 10
Resposta: x²- 6,5x + 10
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
24 - Seja dado um conjunto de pontos reais quaisquer {(xi,yi)| i=1,2,3,4}, num
intervalo [a,b]. Considere as seguintes afirmações:
I. Fazer a interpolação por um polinômio de Lagrange P3(x) de grau 3, ou fazer
o ajuste por um polinômio de grau 3, os resultados para um ponto xj diferente
dos pontos dados, dois a dois, são os mesmos.
II. Fazer a interpolação por um polinômio de Lagrange P3(x) de grau 3 produz
um resultado, em geral, diferente do ajuste por um polinômio de grau 3, tanto
para os pontos tabelados como outros pontos dentro do intervalo [a,b].
III. O valor do polinômio interpolador de Lagrange no ponto x1, dado por P3(x1) é
igual y1.
Qual alternativa abaixo, está correta?
a. Todas as afirmações são verdadeiras.
b. Somente as afirmações II e III são verdadeiras.
c. Somente as afirmações I e III são verdadeiras.
d. Somente a afirmação I é verdadeira.
e. Só a afirmação II é verdadeira.
Resposta: Somente as afirmações II e III são verdadeiras.
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
25 - Determinar o valor do polinômio interpolador de Lagrange para x=3,5, a partir
dos seguintes pontos da tabela:
I xi yi
0 0 3
1 1 5
2 3 7
3 4 9
a. 7,0833
b. 6,7500
c. 7,8125
d. 7,9012
e. 6,4375
Resposta: 7,8125
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
26 - Dado o polinômio de Lagrange de grau 3, para quatro pontos quaisquer, x0,
x1, x2, x3, qual o valor de L0 (x1)
a. 1
b. 0
c. 4
d. 3
e. Não está definido
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