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Profa. Dra. Deiby Gouveia UNIDADE II Matemática Plano Cartesiano Formado por duas retas reais perpendiculares, denominadas eixo x e y. Funções – Plano cartesiano Fonte: Livro-texto 2º quadrante 1º quadrante 3º quadrante 4º quadrante Ponto de origem Y (eixo das ordenadas) x (eixo das abscissas) 0 Par Ordenado Representa um único ponto no plano cartesiano e vice-versa. Notação: P = (a; b), P (a; b) ou P (a; b) Exemplo: A (1; 3) C (0; 2) B (-1; -2) D (3; 0) Funções – Par ordenado Fonte: autoria própria 1 2 3 0 -1 -2 1 2 3 4 5 -2 -1 y x Os pontos (2,3), (5,3) e (2,7) são vértices de um triângulo retângulo. Determinar a área desse triângulo: Funções – Aplicação 0 1 2 3 4 5 7 6 5 4 3 2 1 x y Área do triângulo: A = (b x h) 2 Fonte: autoria própria É o conjunto de todos os pares ordenados (x; y). Notação matemática: A e B não podem ser conjuntos vazios Representação: Notação de conjuntos, Diagrama de flechas e Plano Cartesiano. Funções – Produto cartesiano: A x B A x B = {x |x ∈ A e y ∈ B} Exemplo: Dados os conjuntos A = {-2;3} e B = {0;1;3}, pede-se: a) Representar o Produto Cartesiano A x B utilizando: 1) Notação do conjunto: A x B = Funções – Produto cartesiano: A x B 3) Plano Cartesiano -2 -1 0 1 2 3 3 2 1 -2 -3 x y 2) Diagrama de Flechas Fonte: autoria própria Função: Funções – Relação entre conjuntos f : A B , - A e B não podem ser conjuntos vazios. - Cada elemento de A é relacionado a apenas um elemento de B. R1: A BA 1 2 3 4 B1 2 3 4 5 R3: A B A 1 2 3 4 B1 2 3 4 5 A 1 2 3 4 B1 2 3 4 5 R2: A B Fonte: autoria própria Exemplo: Verificar se o conjunto de pares {(3; 5), (2; 4), (5; 8), (6;12), (7; 12), (18; 15)} Constitui ou Não uma função. Se a resposta for afirmativa, determine o conjunto imagem dessa função. Funções – Relação entre conjuntos Fonte: autoria própria Exemplo: Verificar se o conjunto de pares {(2; 10), (3; 8), (5; 13), (3; 4), (8; 20)} Constitui ou Não uma função. Se a resposta for afirmativa, determine o conjunto imagem dessa função. Funções – Relação entre conjuntos Fonte: autoria própria Exemplos: Determinar o Domínio das funções Funções – Definindo o domínio de uma função O domínio da função é: a) -3 b) 3 c) 9 d) R - {0} e) R Interatividade Resposta: e) R Resolução: D = R Resposta f: A → B pode ser representada por uma lei, como y = f(x) Tipos: Funções de 1 grau, Funções de 2 grau, Função Exponencial, Função Logarítmica Representação: Tabela, Diagrama de Flechas, Representação no Plano Cartesiano Funções – Funções definidas por fórmulas matemáticas Exemplo: Dados os conjuntos A = {1; 2; 3} e B = {0; 2; 4; 6; 8}, nos quais a relação de f: A → B é definida pela função f(x) = 2x. A) Tabela B) Diagrama de Flechas C) Plano Cartesiano D (f) = CD (f) = Im (f) = Funções – Funções definidas por fórmulas matemáticas x y = 2x (x; y) Função do 1 grau é toda função f: R → R definida pela regra Obs.: a e b constantes coeficientes da função. b = coeficiente linear a = coeficiente angular da reta Funções do 1º grau (função linear ou afim) y = f(x) = ax + b, com a e b ∈ R a > 0 crescente a < 0 decrescente a = 0 constante Exemplo: Representar graficamente as funções e identificar suas raízes: a) f(x) = 2x + 6 b) f(x) = -2x – 6 c) f(x) = 2x – 6 d) f(x) = 2x Função do 1º grau (função linear ou afim) Exemplo: Dado o Sistema de Equações Ponto de intersecção de duas retas Função do 2 grau é toda função f: R → R definida pela regra 1º passo: Análise do coeficiente “a” se a > 0 CVC se a < 0 CVB 2º passo: Calcular os zeros ou raízes da função Função do 2º grau (função quadrática) y = f(x) = ax2 + bx + c, com a, b e c ∈ R OBS.: = 0 a Equação admite duas raízes reais e iguais (x’ = x”). > 0 a Equação admite duas raízes reais e diferentes (x’ e x”). < 0 a Equação não admite duas raízes reais. 3º passo: Calcular o vértice da parábola 4º passo: Calcular o ponto que intercepta o eixo y (eixo vertical). Considerar x = 0 Função do 2º grau (função quadrática) Exemplo: Construa o gráfico da função f(x) = x2 – 4x – 5: Função do 2º grau (função quadrática) Exemplo: Dada a função R(q) =-q2 +800q, determinar a quantidade de peças que deve ser vendida para que a receita seja máxima. Função do 2º grau (função quadrática): Aplicação Dado o Sistema de Equações 1 Passo: Representar as duas funções no mesmo plano cartesiano. y = -2x + 5 Raízes: (0; 5) (2,5; 0) Ponto de intersecção: reta e parábola y = -x2 + 4x + 4 = 32 x’ = -0,83 x’’ = -4,83 Fonte: Livro-texto 8,0 7,0 6,0 5,0 4,0 3,0 2,0 1,0 -2,0 -1,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 -1,0 -2,0 -3,0 -4,0 -5,0 -6,0 -7,0 2 Passo: Obter o PI das duas equações. A) Calcular as raízes da função. = 32 x’ = 0,17 e x” = 5,83 B) Achar os valores de y: Substituir x’ e x’’ em uma das equações. y' = 2(0,17) + 5 y’ = 4,66 y" = 2(5,83) + 5 y” = 6,66 Ponto de intersecção: reta e parábola Ao igualar as duas funções, uma nova função quadrática é formada. Representação gráfica Ponto de intersecção: reta e parábola Fonte: Livro-texto PI (5,83; -6,66) PI (0,17; 4,66) 8,0 7,0 6,0 5,0 4,0 3,0 2,0 1,0 -2,0 -1,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 -1,0 -2,0 -3,0 -4,0 -5,0 -6,0 -7,0 Dadas as funções: O Ponto de Intersecção das funções é: a) PI (140, -720) b) PI (-720, 140) c) PI (-140, 720) d) PI (20, 240) e) PI (240, 20) Interatividade Resposta: d) PI (20, 240) Resolução: Determinar o PI das duas retas. A) Igualar as duas equações: 6x + 120 = -8x + 400 14x = 280 x = 20 B) Substituir o valor de x = 20 em uma das equações para achar y: y = 6(20) + 120 y = 240 PI (20; 240) Resposta Definição: Exemplo: Determinar o valor de x da equação exponencial: a) 2x = 16 b) (1/3)x = 81 Equação Exponencial – Definição ax1 = ax2 x1 = x2 Definição matemática: Exemplos: f(x) = 2x função exponencial de base a = 2 e b = 1 f(x) = 5 . 8x função exponencial de base a = 8 e b = 5 Comportamento da curva: Função Exponencial – Definição f(x) = b.ax b 0, a > 0 e a 1 a > 1 e b > 0 função crescente b < 0 função decrescente 0 < a < 1 e b > 0 função decrescente b < 0 função crescente 1 caso: a > 1 e b > 0 Função Exponencial – Gráfico: curva exponencial: y = b.ax Crescente 2 caso: 0 < a < 1 e b > 0 Decrescente 3 caso: a > 1 e b < 0 Crescente Decrescente 4 caso: 0 < a < 1 e b < 0 Fonte: autoria própria Exemplo: Classifique as funções do tipo y = b.ax, em Crescente ou Decrescente: a) y = -(1/2)x b) y = 2x c) y = 2-x Função Exponencial – Gráfico: curva exponencial: y = b.ax a > 1 e b > 0 função crescente b < 0 função decrescente 0 < a < 1 e b > 0 função decrescente b < 0 função crescente Definição matemática: Exemplos: log28 = log232 = Sistema de Logaritmo: Decimal – Neperiano (de Neper) – Sistema de base e (e = 2,71828...), também chamado de sistema de logaritmos naturais. Logaritmo – Definição log10x = log x logex = ln x logba = x a x = b a> 0, a 1 e b > 0 Propriedades Logaritmo – Consequências da definição Fonte: acervo próprio C1 loga1=0 C2 logaa=1 C3 logaa n=n C4 a logan=n C5 Se x=y logax = logay P1 Logaritmo do Produto loga (M.N)= loga M + logaN P2 Logaritmo do Quociente logaa= logaM – logaN P3 Logaritmo da Potência logab n=n.logab P4 Mudança de Base loga b= M N logc b logc a Exemplo: Utilizando as propriedades operatórias, calcular log216, sabendo que log24 = 2. Logaritmo Definição matemática: Exemplos: f(x) = 2.log2 x, f(x) =– log x Gráfico da função y = b.logax está localizado no I e IV quadrantes, pois a função só é definida para x > 0. Comportamento da curva: Logaritmo – Função logarítmica f(x) = b. logax com b 0, a > 0, a 1, x > 0 a > 1 e b > 0 função crescente b < 0 função decrescente 0 < a < 1 e b > 0 função decrescente b < 0 função crescente Logaritmo – Gráfico: f(x) = b. logax Função Decrescente: 0 < a < 1 e b > 0 6.0 5.0 4.0 3.0 2.0 1.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 11.0 12.0 13.0 14.0 x -2.0 -1.0 -1.0 -2.0 -3.0 -4.0 -5.0 y Fonte: Livro-texto Logaritmo – Gráfico: f(x) = b. logax Função Crescente: 0 < a < 1 e b < 0 6.0 5.0 4.0 3.0 2.0 1.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 11.0 12.0 13.0 14.0 x -2.0 -1.0 -1.0 -2.0 -3.0 -4.0 -5.0 y Fonte: Livro-texto Logaritmo – Gráfico: f(x) = b. logax Função Crescente: a > 1 e b > 0 6.0 5.0 4.0 3.0 2.0 1.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 11.0 12.0 13.0 14.0 x -2.0 -1.0 -1.0 -2.0 -3.0 -4.0 -5.0 y Fonte: Livro-texto Logaritmo – Gráfico: f(x) = b. logax Função Decrescente: a > 1 e b < 0 6.0 5.0 4.0 3.0 2.0 1.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 11.0 12.0 13.0 14.0 x -2.0 -1.0 -1.0 -2.0 -3.0 -4.0 -5.0 y Fonte: Livro-texto Exemplo: Classifique as funções Logarítmicas do tipo f(x) = b.logax em Crescente ou Decrescente: a) f(x) = log2x b) f(x) = log1/2x c) f(x) = -log2x Logaritmo – Gráfico: f(x) = b. logax a > 1 e b > 0 função crescente b < 0 função decrescente 0 < a < 1 e b > 0 função decrescente b < 0 função crescente Definição: Domínio = Reais com Q(x) ≠ 0. Exemplo: Outras funções – Função Racional f(x) = P(x) Q(x) 0 Q(x) Função Hipérbole Propriedades: 1) Domínio são os reais, exceto o zero; 2) Quando x se aproxima de zero tende ao infinito. Outras funções – Função racional Fonte: Livro-texto 6,0 5,0 4,0 3,0 2,0 1,0 -6,0 -5,0 -4,0 -3,0 -2,0 -1,0 1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 -1,0 -2,0 -3,0 -4,0 -5,0 Nos EUA, em anos recentes, a população pode ser modelada pela função exponencial p(t) = 205.(1,0068)t, na qual p é a população (em milhões) e t é o tempo em anos, com t = 0 correspondendo a 1970. Em que ano a população ultrapassa a casa dos 300 milhões de pessoas? a) 1914 b) 1970 c) 1956 Interatividade d) 2000 e) 2026 Resposta correta: e) 2026 Resolução: p(t) = 205 . (1,0068)t 300 = 205 . (1,0068)t 300 = (1,0068)t 205 1,46341 = (1,0068)t Resposta OBS.: Como a variável está no expoente, utiliza log dos dois lados da igualdade. 1,46341 = (1,0068)t log 1,46341 = log (1,0068)t log 1,46341 = t . log 1,0068 log 1,46341 = t log 1,0068 t = 0,165366018 = 56,1856 0,002943206 t ≈ 56 Se 1970 é t = 0, então, 1970 + 56 = 2026 Sistema linear com duas equações e duas incógnitas. Sistema linear com três equações e três incógnitas. Métodos 1) Método de substituição; 2) Método de adição. Sistema de equações – Introdução É um conjunto de equações com duas ou mais incógnitas. Está relacionada ao número de soluções que ele possui. Sistema de equações – Classificação do sistema Fonte: acervo próprio Sistema Possível Impossível (Sl: sistema impossível) Conjunto solução vazio Indeterminado (SPl: sistema possível e indeterminado) Conjunto solução infinito Determinado (SPD: sistema possível e determinado) Conjunto solução unitário Exemplos: Sistema de equações – Classificação do sistema SPI S = {(1; 1; 2), (0; 2; 4), (1; 0; 1) etc. SI Não apresenta solução. SPD S = {1, 6} Exemplo: Resolver o sistema Sistema de equações – Solução do sistema S: x =1 e y = 1 Dá a solução de um sistema de equações lineares em termos de determinantes. Exigência: número de equações = número de incógnitas. Resolução de sistemas usando a Regra de Cramer: 1° passo: Calcular o determinante da matriz dos coeficientes (D) 2° passo: Verificar se a Regra de Cramer pode ser aplicada: - se D ≠ 0, se aplica a Regra de Cramer pois temos SPD; - se D = 0, não se aplica a Regra de Cramer. 3° passo: Aplicar a Regra de Cramer: x = Dx y = Dy D D Sistema de equações – Regra de Cramer Exemplo: Determinar os valores de x e y do sistema: Sistema de equações S: x =1 e y = 1 Uso: Sistemas do tipo 3 x 3, 4 x 4 etc. Passos: Sistema de equações: Regra de Sarrus Det = Diagonal principal – Diagonal secundária Fonte: Adaptado de: https://www.todamat eria.com.br/regra- de-sarrus/ a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 a11 a12 a21 a22 a31 a32 a11 a12 a13 a11 a12 a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32 a11 a12 a13 a11 a12 a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32 Exemplo: Determinar os valores de x e y do sistema: Sistema de equações: Regra de Sarrus Det = 15 Dx = 75 Dy = 45 Dz = 15 X = 5 Y = 3 Z = 1 A relojoaria do Sr. Joaquim consegue vender dez relógios a um preço de U$ 80,00. Desejando aumentar as vendas, ele resolveu reduzir o preço para R$ 60,00 e verificou que a quantidade de relógios vendidos duplicou. Utilizando a Regra de Cramer, determine a função Demanda, admitindo que seja uma função linear. Sistema de equações – Aplicação Dado o sistema a soma das incógnitas x e y é igual a: a) 0,5 b) 1,5 c) 1,9 d) 3,5 e) 2 Interatividade Resposta: b) 1,5 Resolução: Logo, a soma de x e y é igual a 1,5. Resposta ATÉ A PRÓXIMA!
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