Trabalho de Quântica

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1) Como pode a energia de um fóton ser dada por E = hf, quando a simples presença da frequência f indica que a luz é uma onda?
R:
Qualquer onda tem características de acordo com sua energia. O fóton tem característica dual, ou seja, ela se comporta em alguns fenômenos como onda e em outros como partícula. Esse fenômeno é chamado com dualidade onda-partícula, ou dualidade da luz.
2) Na mecânica ondulatória clássica (como no caso do som, das ondas de água, etc) é possível gerar ondas de qualquer frequência com qualquer energia. Por exemplo, é possível gerar um som muito agudo (alta frequência) porém muito pouco intenso (pouca energia). O que muda nesta descrição com a introdução da condição de energia de Planck, E = hν?
R:
No caso da energia de Planck, ela nos diz que a radiação é emitida ou absorvida por “pacotes de energia” ou “quanta” como ele chamou. A energia de Planck diz nos coloca uma proporcionalidade entre energia e frequência de uma certa radiação, então, agora temos uma condição de que a energia não é só a freqûencia da onda, mas sim, um valor proporcional da frequência, no caso .
3) A teoria de Einstein, dos fótons, que admite ser a luz uma corrente de fótons, invalida a experiência da interferência numa fenda dupla, de Young, em que a luz se comporta como uma onda?
R:
O experimento de Young provou experimentalmente que a luz é uma onda, ao contrário do pensamento de cientistas da época. A prova dele foi em demonstrar que a fenômenos de difração e da interferência, que foram descobertas por ele, tinham exclusividade da característica ondulatória. Então, a teoria de Einstein não invalida a experiência da interferência numa fenda dupla, muito pelo contrário, a teoria de Young se prova verdadeira.
4) Após polarizar a luz em uma determinada direção, digamos, z, podemos fazer os seguintes experimentos: Primeiro, podemos passar esse feixe de luz por um polarizador orientado na própria direção z, e observaríamos que o feixe passa inalterado, confirmando que todos os fótons têm a mesma polarização. Em seguida, podemos passar esse mesmo feixe por um polarizador orientado a 45° em relação ao eixo z. Observaremos que apenas 50% dos fótons passam (a intensidade do feixe diminui em 50%). Mas se todos os fótons eram iguais, por que uns passaram e outros não? Ao aceitar a existência dos fótons e ao atribuir uma polarização para cada fóton, temos como escapar de uma interpretação puramente probabilística para este experimento?
R:
5) Enuncie e discuta (a) o princípio da correspondência, (b) princípio da incerteza e (c) o princípio da complementaridade
R:
O princípio da correspondência de Niels Bohr, é uma propagação de se tirar as barreiras entre o mundo da física clássica e da física quântica, propondo que grandezas (não todas), podem se relacionar entre os dois mundos
O principio da incerteza de Heisenberg, afirma que nós não podemos determinar, ou conhecer, simultaneamente com precisão a posição e o momento linear de uma partícula. Ele é escrito pela sequinte formula:
Com sendo a incerteza na medição do momento linear;
Com sendo a incerteza na medição da posição
h a constante de Planck
Essa equação nos diz que a multiplicação entre as incertezas, é sempre maior ou igual uma constante, então, quanto mais conhecemos a posição ( pequeno. Maior deve ser , não sabendo exatamente seu momento linear.
O princípio da complementaridade foi enunciado por Niels Bohr e foi um marco na compreensão e na constituição da matéria e energia. O princípio indica que os comportamentos de natureza corpuscular e ondulatória podem ser detectados separadamente.
6) O átomo de hidrogênio pode emitir raios X? Em caso positivo, descreva como. Em caso negativo, explique as razões.
R:
Não, o átomo de hidrogênio não tem energia em sua orbital para emitir Raio X.
O hidrogênio tem um único eletron em seu orbital, não sendo suficiente para o comprimento de onda do Raio x, o Raio X é são compostos de “radiação comprida”, não sendo permitido pela baixa energia de H. O átomo H é o átomo menos energético que temos conhecimento.
7) Certo fóton de raios-X tem o comprimento de onda de 35,0 pm. Calcular: (a) energia do fóton; (b) a sua frequência; (c) o seu momento linear:
R:
Energia do fóton:
A energia do fóton é dada por:
Com:
Precisamos da frequência:
Onde e 
Portanto, a energia do fóton é:
Em eV temos:
Então, dividindo temos por temos:
Momento linear:
 = 35,429 keV
8) A luz amarela de uma lâmpada de sódio, usada na iluminação de estradas, tem o comprimento de onda de 589 nm. Qual a energia de um fóton emitido por uma dessas lâmpadas? Para uma lâmpada de 200W, calcule o número máximo de fótons emitidos pela lâmpada por segundo.
R:
A energia do fóton é dada por:
Relacionando com o comprimento de onda 
Então:
Sabemos que
Então:
Em eV:
Para 200 W a taxa de emissão de fóton é:
9) (a) A energia necessária para remover um elétron do sódio metálico é 2,28 eV. Uma luz vermelha, com l = 680 nm, provocará efeito fotoelétrico no sódio? (b) Qual o comprimento de onda do limiar fotoelétrico do sódio e a que cor corresponde esse limiar?
R:
O problema faça que a função trabalho de , é . O comprimento de onda é e terá energia:
Como a energia é menos que a energia de remoção, então não provocará efeito fotoelétrico no sódio
Comprimento de onda de corte:
Como , o comprimento de corte será:
Logo:
Isso corresponde a
10) Um projétil de 40 g desloca-se a 1.000 m/s. (a) Qual o comprimento de onda que podemos associar a ele? (b) Por que a natureza ondulatória do projétil não se revela em efeitos de difração?
R:
O comprimento de onda de uma partícula é dado por:
E o momento linear é 
Portanto
Substituindo os valores:
Para que seja revelada a natureza ondulatória por meio de um efeito de difração é necessário que o comprimento de onda seja da mesma ordem de grandeza dos “burcados” ou “barreiras” do meio. Temos que m de comprimento é um comprimento muito pequeno, não existindo na natureza “buracos” ou “barreira” desse tamanho. Por isso o caráter ondulatório não se manifesta.
11) O poder de resolução mais elevado de um microscópio só está limitado pelo comprimento de onda utilizado; isto é, o menor detalhe que pode ser separado tem as dimensões mais ou menos iguais ao comprimento de onda. Suponhamos que queremos "olhar “para dentro de um átomo. Admitindo que o diâmetro do átomo seja 100 pm, significa que desejamos ver detalhes da ordem de 10 pm, aproximadamente. (a) Se for usado um microscópio eletrônico, qual a energia mínima que os elétrons devem ter? (b) Se for usado um microscópio de luz, qual a energia mínima dos fótons? (c) Qual dos dois microscópios parece mais prático para este fim? Por quê
R:
Energia mínima microscópico eletrônico
Para elétrons, temos que o momento corresponde a:
Então a energia é:
Para os elétrons, sabemos que , então:
Percebe-se que 15 keV está bem abaixo da energia de repouso , então é valido a aproximação clássica
Energia mínima microscópico ótico
c) 
Como a energia do elétron é menor que a do fóton, com o mesmo comprimento de onda, vemos que o microscópico eletrônico é mais prático, pois necessita de menos energia para o funcionamento
12) Imagine um jogo de bola num universo cuja constante de Planck fosse 0,60 J.s. Qual seria a incerteza na posição de uma bola de 0,50 kg que estivesse em movimento a 20 m/s, com uma incerteza de 1,0 m/s? Por que seria difícil apanhar essa bola?
R:
Pelo principio da incerteza:
Vamos encontrar a menor indeterminação de , considerando igualdade do principio:
Usando a relação entre momento e velocidade para determinar :
Então:
Substituindo em :
0,19 m é a menor incerteza possível
13) A equação de uma onda clássica, unidimensional, é
Use a técnica de separação de variáveis para mostrar que as soluções são combinações lineares de funções da forma
R:
14) Discuta os postulados da Mecânica Quântica (sugestão capítulo 3 do volume I do livro do Cohen-Tannoudji)
Postulado 1:
Em um instante de tempo, o estado de um sistema físico é definido especificando-se um ket, que pertence ao espaço de estado do sistema. Princípio da superposição
Esse principio nos diz especificamente que, para qualquer sistema linear, a resposta é a soma das respostas que teriam sido causadas por cada estimulo individualmente.
15) Mostre que na mecânica clássica o momento de uma partícula pode ser calculado por
	
16) Como deve ser o aspecto aproximado da curva de energia potencial de uma molécula diatômica, em função da distância entre os átomos? Justifique os aspectos principais da curva.
17) Compare a curva do exercício anterior com o potencial de Morse
onde D, a e re são constantes. (b) Interprete o significado físico dessas constantes (use análise dimensional e gráficos). (c) Mostre que próximo a r = re este potencial se comporta como um potencial harmônico, i.e., V (r) = k 2 (r −re) 2 (use gráficos e uma expansão em série de Taylor) e calcule o valor de k. (d) Um exemplo de sistema submetido a um potencial harmônico é um sistema massa mola. Discuta como a molécula diatômica pode ser aproximada por um sistema de massas ligadas a uma mola e o que você pode concluir sobre as vibrações moleculares (em particular calcule a frequência de vibração desse sistema). (e) Como vimos em aula os níveis de energia do oscilador harmônico quântico são dados por En = ℏω n + 1 2, onde ω é a frequência (angular) de vibração desse sistema. Discuta qual as frequências dos fótons capazes de alterar a vibração deste sistema (em que faixa do espectro eletromagnético estão esses fótons?)
18) No exercício anterior não consideramos a energia de rotação da molécula diatômica. Considere a molécula diatômica como um rotor rígido (i.e. duas massas m ligadas por uma barra rígida (de massa desprezível e comprimento re)). (a) Escreva a energia cinética de rotação deste sistema (discuta o uso de coordenadas relativas em relação ao centro de massa para transformar o sistema de duas partículas em um sistema de uma partícula). (b) Escreva a equação de Schrödinger desse sistema (use o Laplaciano em coordenadas esféricas e discuta oque fazer com a parte radial). (c) Na Hamiltoniana, identifique o operador correspondente ao momento angular total do sistema. (d) A solução deste sistema são os chamados harmônicos esféricos exiba em um gráfico essas soluções e indique as energias correspondentes. (e) Discuta qual as frequências dos fótons capazes de alterar a rotação deste sistema (Considere moléculas diatômicas típicas, em que faixa do espectro eletromagnético estão esses fótons?
19) (a) Escreva a Eq. de Schrödinger independente do tempo para o elétron em um átomo de Hidrogênio (justifique o uso de coordenadas esféricas). (b) Identifique os termos correspondentes a: Energia Cinética radial, Energia Cinética de Rotação, Energia Potêncial. (c) Discuta a solução dessa equação (em particular discuta a forma da função de onda, faça gráficos qualitativos para a dependência radial e também angular da da densidade de probabilidade de encontrar o elétron em cada ponto do espaço). (d) Faça um gráfico com os níveis de energia deste sistema. (d) Discuta qual as frequências dos fótons capazes de alterar o nível de energia do átomo de hidrogênio (em que faixa do espectro eletromagnético estão esses fótons?)
R:
A e. de Schroedinger independente do tempo para o elétron em um átomo de hidrogênio é:
A função de onda depende de 
O termo energia potencial é:
20) Nos átomos há uma probabilidade finita, embora muito pequena, de, num certo instante, um elétron orbital ser encontrado realmente no interior de um núcleo. Na verdade, alguns núcleos instáveis utilizam esse aparecimento ocasional do elétron para decair por um processo denominado captura eletrônica. Admitindo que o próton seja uma esfera de raio 1, 1 × 10−15m. e que a função de onda do elétron do átomo de hidrogênio tenha validade até o centro do próton, use a função de onda do estado fundamental a fim de calcular a probabilidade de o elétron do átomo de hidrogênio estar no interior do núcleo.
R:
Usando a função de onda do estado fundamental do átomo de hidrogênio, temos:
A densidade de probabilidade por unidade de volume é o quadrado da função de onda:
A probabilidade será:
Em coordenadas esféricas, escrevemos dV=
Queremos a probabilidade de o elétron estar entre r= 0 e r = R=, fazendo a integral:
Pela tabela de integrais, temos:
Usando k = 2/a
Então:
Com isso, a probabilidade fica:
Reescrevendo x = R/a:
Como 
Portanto:
21) Explique o princípio da exclusão de Pauli considerando que elétrons são férmions e, portanto, a função de onda de um sistema com dois elétrons deve ser antissimétrica.
R:
O princípio de exclusão de Pauli, diz que dois elétrons diferentes, não podem ter os números quânticos iguais. No caso ele fala que férmions (partícula com spin semi-inteiro, obedecendo a estatística de Fermi-Dirac) não podem ocupar mesmo estado quântico ao mesmo tempo.
A forma de explicar, ou, de enunciar, é nos atentando que a função de onda, com dois férmions iguais, tem que ser antissimétrica, com relação ao cambiamento das duas particular.
Se tem o mesmo estado, a expressão é nula
22) Justifique a distribuição eletrônica de Pauli e a organização da Tabela Periódica usando as conclusões dos exercícios anteriores.
23) (a) Como se altera a resposta do item (a) exercício 19 para um átomo de lítio (3 elétrons)? (b) Considere que os elétrons do lítio sejam não interajam entre si, como ficam os níveis de energia do Lítio?