Lista de Exercícios Resolvidos - Vigas Simples Isostáticas

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LISTA DE EXERCÍCIOS 1 
TEORIA DAS ESTRUTURAS 
 
 
1- Vigas Simples Isostáticas 
Determine as reações de apoio e trace os diagramas de esforços solicitantes (N, Q e M). 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
Equilíbrio externo: Esforços ativos e reativos 
∑FH = 0 → -Ha + 28 = 0 → Ha = 28kN 
∑Mb = 0 → 50 x 6 – Va x 5 + 28 x 3 + 20 x 3 x 1,5 = 0 → Va = 94,8kN 
∑FV = 0 → -50 + 94,8 – 28 – 60 + Vb = 0 → Vb = 43,2kN 
 
Esforços Internos Solicitantes 
Normal 
Nc = 0 
Na = +28kN 
Nd = +28kN 
Nb = 0 
 
Cortante 
Qc = -50kN 
Qa = -50 + 94,8 = 44,8kN 
Qd = +44,8 – 28 = +16,8kN 
Qb = +16,8 – 20 x 3 = -43,2kN 
 
Momento 
Mc = 0 
Ma = -50 x 1 = -50kN.m 
Md = -50 + 44,8 x 2 = 39,6kN.m 
Mb = + 39,6 + 16,8 x 3 – 20 x 3²/2 = 0 
 
 
 
 
C A D B 
Normal:+ (tração) – (compressão) 
Cortante: + (horário) – (anti-horário) 
Momento: + (inferior) – (superior) 
Sinais diferentes, conforme 
o sentido das forças. 
20 x 3= 60kN 
 LISTA DE EXERCÍCIOS 1 
TEORIA DAS ESTRUTURAS 
 
Diagramas 
 
Normal 
 
 
Cortante 
 
 
Momento 
 
Trecho DB → Mmax → Q = 0 
Qdb = +16,8 -20 . x = 0 → x = 0,84m 
MmaxDB = +39,6 + 16,8 x 0,84 – 20 x 0,84²/2 = 46,7kN.m 
 
 
+ 
+ 
- 
C A D B 
 LISTA DE EXERCÍCIOS 1 
TEORIA DAS ESTRUTURAS 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
∑FH = 0 → Ha = 0 
∑Ma = 0 → 20 x 1,5 -120 x 1,5 + Vb x 5 – 50 = 0 → Vb = 40kN 
∑FV = 0 → -20 + Va – 120 + 40 = 0 → Va = 100kN 
 
Cortante 
Qc = -20kN 
Qa = -20 + 100 = 80kN 
Qd = 80 – 40 x 3 = -40kN 
Qb = -40kN 
 
Momento 
Mc = 0 
Ma = -20 x 1,5 = -30kN.m 
Md = -30 + 80 x 3 – 40 x 3²/2 = 30kN.m 
Mb = 30 - 40 x 2 = -50kN.m 
 
 
 
Diagramas 
 
Normal 
 
 
Cortante 
 
 
 
 
+ 
- - 
Normal:+ (tração) – (compressão) 
Cortante: + (horário) – (anti-horário) 
Momento: + (inferior) – (superior) 
Sinais diferentes, conforme 
o sentido das forças. 
 LISTA DE EXERCÍCIOS 1 
TEORIA DAS ESTRUTURAS 
 
Momento 
 
Trecho AD → Mmax → Q = 0 
Qad = 80 - 40 . x = 0 → x = 2m 
MmaxAD = -30 + 80 x 2 – 40 x 2²/2 = 50kN.m 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∑FH = 0 → 10 + 20 – Hb = 0 → Hb = 30kN 
∑Mb = 0 → – 15 x 5 + 15 x 3 + 5 x 3 x 1,5 - Mb = 0 → Mb = - 7,5kN.m 
∑FV = 0 → 15 – 15 – 5 x 3 + Vb = 0 → Vb = 15kN 
 
Normal 
Na = -10kN 
Nc = -10 -20 = -30kN 
Nb = -30kN 
 
Cortante 
Qa = +15kN 
Qc = +15 – 15 = 0 
Qb = -5 x 3 = -15kN 
 
Momento 
Ma = 0 
Mc = +15 x 2 = 30kN.m 
Mb = +30 + 0. 3 – 5 x 3²/2 = 7,5kN.m 
 
Normal:+ (tração) – (compressão) 
Cortante: + (horário) – (anti-horário) 
Momento: + (inferior) – (superior) 
Sinais diferentes, conforme 
o sentido das forças. 
Sentido oposto devido ao 
sinal negativo na ∑Mb 
 LISTA DE EXERCÍCIOS 1 
TEORIA DAS ESTRUTURAS 
 
 
 
Diagramas 
 
Normal 
 
 
 
Cortante 
 
 
 
Momento 
 
 
 
 
 
+ 
- 
- 
- 
 LISTA DE EXERCÍCIOS 1 
TEORIA DAS ESTRUTURAS 
 
 
 
2- Vigas Gerber 
 
Trace os diagramas de esforços solicitantes para as vigas Gerber que seguem: 
 
 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Trecho DE 
 
 
∑Me = 0 → - Vd x 3 + 4 x 3 x 1,5 -18 = 0 → Vd = 0 
∑FV = 0 → 0 – 12 + Ve = 0 → Ve = 12kN 
 
 
Trecho BD 
 
 
 
 
 
 
 
∑Mb = 0 → Vc x 3 – 16 - 4 x 2 x 4 + 0 x 5 = 0 → Vc = 16kN 
∑FV = 0 → Vb – 20 + 16 – 4 x 2 - 0 = 0 → Vb = 12kN 
 
 
Trecho AB 
 
 
 
 
∑Ma = 0 → -12 x 2 + Ma = 0 → Ma = 24kN.m 
∑FV = 0 → = Va – 12 = 0 → Va = 12kN 
 
 
 
 
 
A B C D E 
0 
0 
12 
16 12 
12 
Sinais diferentes, conforme 
o sentido das forças. 
 LISTA DE EXERCÍCIOS 1 
TEORIA DAS ESTRUTURAS 
 
Cortante 
Qa = +12kN 
Qb = +12 – 20 = -8kN 
Qc = -8 +16 = +8kN 
Qd = +8 – 4 x 2 = 0 
Qe = 0 – 4 x 3 = -12kN 
 
Momento 
Ma = -24kN.m 
Mb = -24 +12 x 2 = 0 
Mc = 0 - 8 x 3 = -24kN.m 
Mcdepois = 0 – 8 x 3 + 16 = -8kN.m 
Md = -8 + 8 x 2 – 4 x 2²/2 = 0 
Me = 0 + 0 x 3 – 4 x 3²/2 = -18kN.m 
 
Diagramas 
 
Normal 
 
Cortante 
 
Momento 
 
 
 
 
 
 
A 
B C 
D 
E 
A 
B C 
D 
E 
Normal:+ (tração) – (compressão) 
Cortante: + (horário) – (anti-horário) 
Momento: + (inferior) – (superior) 
+ 
- - 
+ 
 LISTA DE EXERCÍCIOS 1 
TEORIA DAS ESTRUTURAS 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Trecho CF 
 
∑Mc = 0 → - 8 x 1 + Ve x 2 – 8 x 4 → Ve = 20kN 
 
∑FV = 0 → Vc – 8 + 20 – 8 = 0 → Vc = -4kN 
 
 
 
 
 
 
Trecho AC 
 
∑Ma = 0 →- 4 x 4 x 2 + Vb x 4 + 4 x 6 = 0 → Vb = 2kN 
∑FV = 0 → Va – 4 x 4 + 2 + 4 = 0 → Va = 10kN 
 
 
Esforços Internos Solicitantes 
 
Cortante 
Qa = +10kN 
Qbantes = +10 -4 x 4 = -6kN 
Qbdepois = -6 + 2 = -4kN 
Qc = -4 kN 
Qd = -4 -8 = -12kN 
Qe = -12 +20 = +8kN 
Qf = +8kN 
 
 
 
Momento 
Ma = 0 
Mb = 0 + 10 x 4 – 4 x 4²/2 = +8kN.m 
Mc = +8 -4 x 2 = 0 
Md = 0 -4 x 1 = -4kN.m 
Me = -4 -12 x 1 = -16kN.m 
Mf = -16 + 8 x 2 = 0 
 
MmaxAB → Q = 0 
QAB = +10 – 4 . x = 2,5m 
MmaxAB = 0 + 10 x 2,5 – 4 x 2,5²/2 = 12,5kN.m 
 
 
A B C D E 
Sentido oposto 
devido ao sinal 
negativo na 
∑FV 
F 
F Sinais diferentes, conforme 
o sentido das forças. 
E D 
Normal:+ (tração) – (compressão) 
Cortante: + (horário) – (anti-horário) 
Momento: + (inferior) – (superior) 
 LISTA DE EXERCÍCIOS 1 
TEORIA DAS ESTRUTURAS 
 
Diagramas 
 
Normal 
 
Cortante 
 
Momento 
 
 
A 
B C 
D 
E F 
A B 
C 
D 
E F 
+ + 
- 
- - 
 LISTA DE EXERCÍCIOS 1 
TEORIA DAS ESTRUTURAS 
 
c) 
 
 
Trecho DE 
 
∑Md = 0 → - 30 x 4 x 2 + Ve x 4 = 0 → Ve = 60kN 
∑FV = 0 → Vd – 120 + 60 = 0 → Vd = 60kN 
 
 
Trecho BD 
 
 
 
 
 
∑Mb = 0 → - 20 x 4 x 2 + Vc x 4 – 60 x 6 = 0 → Vc = 130kN 
∑FV = 0 → Vb – 20 x 4 + 130 – 60 = 0 → Vb = 10kN 
 
Trecho AB 
 
 
 
 
 
 
∑Ma = 0 → -10 x 3 + Ma = 0 → Ma = 30kN.m 
∑FV = 0 →Va – 10 = 0 → Va = 10kN 
 
Cortante 
Qa = +10kN 
Qb = +10kN 
Qcantes = +10 – 20 x 4= -70kN 
Qcdepois = -70 + 130 = +60kN 
Qd = +60kN 
Qe = +60 -30 x 4 = -60kN 
 
Momento 
Ma = -30kN.m 
Mb = -30 + 10 x 3 = 0 
Mc = 0 + 10 x 4 – 20 x 4²/2 = -120kN.m 
Md = -120 + 60 x 2 = 0 
Me = 0 + 60 x 4 – 30 x 4²/2 = 0 
 
MmaxBC → Q = +10 – 20 . x = 0,5 
MmaxBC = 0 + 10 x 0,5 – 20 x 0,5²/2 = 2,5kN.m 
 
20 kN/m 
Sinais diferentes, conforme 
o sentido das forças. 
Normal:+ (tração) – (compressão) 
Cortante: + (horário) – (anti-horário) 
Momento: + (inferior) – (superior) 
 LISTA DE EXERCÍCIOS 1 
TEORIA DAS ESTRUTURAS 
 
MmaxDE → Q = + 60 – 30 . x = 0 → x = 2m 
MmaxDE = 0 + 60 x 2 – 30 x 2²/2 = 60kN.m 
 
 
Diagramas 
 
Normal 
 
 
 
 
Cortante 
 
 
Momento 
 
 
 
 
+ 
+ 
- 
- 
- 
 LISTA DE EXERCÍCIOS 1 
TEORIA DAS ESTRUTURAS 
 
3- Linhas de Influência e Envoltória de Esforços 
A viga simplesmente apoiada com balanços indicada na figura abaixo, está solicitada por uma carga permanente 
uniformemente distribuída - g = 20kN/m - e por um carregamento móvel constituído por uma carga de multidão 
- q = 10kN/m – e um trem-tipo com duas cargas concentradas de 20kN e 10kN, que pode trafegar nos dois 
sentidos, as forças concentradas podem inverter de posição. 
 
Para esta viga e carregamentos indicados, pede-se: 
a) Elabore as Linhas de Influência das reações de apoio; bem como da Q e do M, para cada seção; 
b) Preencha a tabela abaixo com os valores máximos e mínimos de Q e M e trace as envoltórias destes dois esforços. 
Considere a simetria e utilize as linhas de influência somente onde necessário. 
 
ESFORÇO TREM-TIPO MÁX MÍN 
ST g Max Min Ꜫmax = Ꜫg + Ꜫmaxacid Ꜫmin = Ꜫg + Ꜫminacid 
A 
BESQ 
BDIR 
C 
D 
E 
FESQ 
FDIR 
G 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Trem-tipo 
10 kN/m 
20 kN 
3m 
10 kN 
Carga permanente: g = 20kN/m 
 LISTA DE EXERCÍCIOS 1 
TEORIA DAS ESTRUTURAS 
 
SEÇÃO A 
 
 
LIQA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
QAMAXq = 0 
 
QAMINq = - 20 x 1 = -20kN 
 
QAg = 0 
 
 
 
LIMA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MAMAXq = 0 
 
MAMINq = 0 
 
MAg = 0 
 
 
 
 
-1 
A B F 
10 kN/m 
20 kN 
3
10 kN 
- (a-c) = - (3-3) = 0 
A B F 
10 kN/m 
20 kN 
3
10 kN 
 LISTA DE EXERCÍCIOS 1 
TEORIA DAS ESTRUTURAS 
 
SEÇÃO Besq 
 
 
LIQBESQ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
QBESQMAXq = 0 
 
QBESQMINq = - (20 x 1 + 10 x 1 + 10 x 3 x 1) = - 60kN 
 
QBESQg = - (20 x 3 x 1) = - 60kN 
 
 
 
 
LIMBESQ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MBESQMAXq = 0 
 
MBESQMINq = - 20 x 3 + 10 x 0 + 10 x
 = - 105kN.m 
 
MBESQg = - 20 x 
 = - 90kN.m 
 
 
 
 
1A B F 
- 
A B F 
-(3-0) = -3 
10 kN/m 
20 kN 
3m 
10 kN 
10 kN/m 
20 kN 
3m 
10 kN 
Carga permanente: g = 20kN/m 
Carga permanente: g = 20kN/m 
 LISTA DE EXERCÍCIOS 1 
TEORIA DAS ESTRUTURAS 
 
SEÇÃO Bdir 
 
 
LIQBDIR 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
QBDIRMAXq = 20 𝑥 1 + 10 𝑥 0,8 + 10 𝑥 
 ,
+
 = 91,75kN 
 
QBDIRMINq = - 20 x 0,25 + 10 x 0 + 10 x 
 , = - 8,75kN 
 
QBDIRg = 20 𝑥 +
 ,
+
 
−
 ,
 = 120kN 
 
 
 
LIMBDIR 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MBDIRMAXq = 0 
 
MBDIRMINq = - 20 x 3 + 10 x 0 + 10 x
 = - 105kN.m 
 
MBDIRg = - 20 x 
 = - 90kN.m 
 
 
 
1 
A B F 
- 
A B F 
−
𝑎
𝑙
(𝑙 − 𝑐) = −
3
12
(12 − 0) = −3 
10 kN/m 
20 kN 
3m 
10 kN 
10 kN/m 
20 kN 
3m 
10 kN 
Carga permanente: g = 20kN/m 
Carga permanente: g = 20kN/m 
- 
𝑎
𝑙
=
3
12
= 0,25 
−
𝑏
𝑙
= −
3
12
= −0,25 
10 kN/m 
10 kN 
3m 
20 kN 
+ 
+ 
- 
0,8 
 LISTA DE EXERCÍCIOS 1 
TEORIA DAS ESTRUTURAS 
 
SEÇÃO C 
 
 
LIQC 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
QCMAXq = 20 𝑥 0,75 + 10 𝑥 0,5 + 10 𝑥 
 ,
+
 , = 57,5kN 
 
QCMINq = - 20 x 0,25 + 10 x 0 + 10 x 
 ,
+ 
 , = - 12,5kN 
 
QCg = 20 𝑥 +
 ,
− 
 ,
+
 ,
−
 ,
 = 60kN 
 
 
LIMC 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MCMAXq = 20 𝑥 2,25 + 10 𝑥 1,5 + 10 𝑥 
 , = 195kN.m 
A B F 
- 
A B F 
−
𝑎
𝑙
(𝑙 − 𝑐) = −
3
12
(12 − 3) = −2,25 
10 kN/m 
20 kN 
3m 
10 kN 
10 kN/m 
20 kN 
3m 
10 kN 
Carga permanente: g = 20kN/m 
Carga permanente: g = 20kN/m 
- 
𝑎
𝑙
=
3
12
= 0,25 
−
𝑏
𝑙
= −
3
12
= −0,25 
10 kN/m 
10 kN 
3m 
20 kN 
+ 
+ 
- 
0,5 
−
𝑐
𝑙
= −
3
12
= −0,25 
1 −
𝑐
𝑙
= 1 −
3
12
= 0,75 
- 
𝑐
𝑙
(𝑙 − 𝑐) = 
3
12
(12 − 3) = 2,25 
−𝑐
𝑏
𝑙
= −3 
3
12
= 0,75 
10 kN/m 
20 kN 
3m 
10 kN 
1,5 
 LISTA DE EXERCÍCIOS 1 
TEORIA DAS ESTRUTURAS 
 
 
MCMINq = - 20 x 2,25 + 10 x 0 + 10 x
 ,
+
 , = - 90kN.m 
 
MCg = 20 𝑥 −
 ,
+
 ,
−
 , = 180 kN.m 
 
 
 
 
SEÇÃO D 
 
 
LIQD 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
QDMAXq = 20 𝑥 0,5 + 10 𝑥 0,25 + 10 𝑥 
 ,
+
 , = 31,25kN 
 
QDMINq = - 20 𝑥 0,5 + 10 𝑥 0,25 + 10 𝑥 
 ,
+
 , = - 31,25kN 
 
QDg = 20 𝑥 +
 ,
− 
 ,
+
 ,
−
 ,
 = 0kN 
 
 
A B F 
- 
10 kN/m 
20 kN 
3m 
10 kN 
Carga permanente: g = 20kN/m 
𝑎
𝑙
=
3
12
= 0,25 
−
𝑏
𝑙
= −
3
12
= −0,25 
10 kN/m 
10 kN 
3m 
20 kN 
+ + 
- 
0,25 
−
𝑐
𝑙
= −
6
12
= −0,5 
1 −
𝑐
𝑙
= 1 −
6
12
= 0,5 
- 
0,25 
 LISTA DE EXERCÍCIOS 1 
TEORIA DAS ESTRUTURAS 
 
 
LIMD 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MDMAXq = 20 𝑥 3 + 10 𝑥 1,5 + 10 𝑥 
 = 255 kN.m 
 
MDMINq = - 20 x 1,5 + 10 x 0 + 10 x
 ,
+
 , = - 75 kN.m 
 
MDg = 20 𝑥 −
 ,
+
 
−
 , = 270 kN.m 
 
 
ST 
Cortante (kN) Momento Fletor (kN.m) 
Qg Qqmáx Qqmín Qmáx Qmín Mg Mqmáx Mqmín Mmáx Mmín 
A 0 0 -20 0 -20 0 0 0 0 0 
BESQ -60 0 -60 -60 -120 -90 0 -105 -90 -195 
BDIR 120 91,75 -8,75 211,75 111,25 -90 0 -105 -90 -195 
C 60 57,5 -12,5 117,5 47,5 180 195 -90 375 90 
D 0 31,25 -31,25 31,25 -31,25 270 255 -75 525 195 
E -60 12,5 -57,5 -47,5 -117,5 180 195 -90 375 90 
FESQ -120 8,75 -91,75 111,25 211,75 -90 0 -105 -90 -195 
FDIR 60 60 0 120 60 -90 0 -105 -90 -195 
G 0 20 0 20 0 0 0 0 0 0 
 
 
 
A B F 
−
𝑎
𝑙
(𝑙 − 𝑐) = −
3
12
(12 − 6) = −1,5 
10 kN/m 
20 kN 
3m 
10 kN 
Carga permanente: g = 20kN/m 
𝑐
𝑙
(𝑙 − 𝑐) = 
6
12
(12 − 6) = 3 
−𝑐
𝑏
𝑙
= −6 
3
12
= −1,5 
10 kN/m 
20 kN 
3m 
10 kN 
1,5 
 LISTA DE EXERCÍCIOS 1 
TEORIA DAS ESTRUTURAS 
 
Envoltória Cortante 
 
 
 
Envoltória Momento 
 
 
 
 
 
4- Pórticos Planos Isostáticos 
 
Determine as reações de apoio e trace os diagramas de esforços solicitantes (N, Q e M). 
 
 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∑FH = 0 → 10 – Hb = 0 → Hb = 10kN 
∑Ma = 0 → -10 x 4 + 20 x 2 x 1 – 20 x 6 x 3 + Vb x 9 = 0 → Vb = 40 
∑FV = 0 → Va – 20 x 2 – 20 x 6 + 40 = 0 → Va = 120kN 
 
 
 
 
 
 
111,3 
211,8 
111,3
211,8 
31,2 
525 
Sinais diferentes, conforme 
o sentido das forças. 
 LISTA DE EXERCÍCIOS 1 
TEORIA DAS ESTRUTURAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Barra 3 
QC3 = +120 – 40 = + 80kN 
QD3 = + 80 – 20 x 6 = -40 kN 
MD3 = -40 +80 x 6 – 20 x 6²/2 = -80kN.m 
 
Barra 4 
ND4 = -40 x 0,8 -10 x 0,6 = -38kN 
QD4 = - 40 x 0,6 + 10 x 0,8 = -16kN 
NB4 = -40 x 0,8 -10 x 0,6 = -38kN 
QB4 = - 40 x 0,6 + 10 x 0,8 = -16kN 
Diagramas 
Normal 
 
120kN 
A 
C 
120kN 
1 
C D 
120 kN 
40 kN.m 
20 kN/m 
80 kN.m 
40kN 
38kN 
16kN
80kN.m 
40kN 
40kN 
38kN 16kN
D 
B 
10 kN 10 kN 
10kN 
10kN 
cos α = = 0,8 
sen α = = 0,6 
20 kN/m 
10 kN 
40 kN 40 kN.m 
2 3 
4
Normal:+ (tração) – (compressão) 
Cortante: + (horário) – (anti-horário) 
Momento: + (inferior) – (superior) 
 LISTA DE EXERCÍCIOS 1 
TEORIA DAS ESTRUTURAS 
 
Cortante 
 
Momento 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 LISTA DE EXERCÍCIOS 1 
TEORIA DAS ESTRUTURAS 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∑FH = 0 → Ha = 0 
∑Ma = 0 → 20 x 1 x 0,5 - 20 x 4 x 2 – 20 x 4 x 6 + Vb x 8 = 0 → Vb = 78,75kN 
∑FV = 0 → Va – 20 x 1 – 20 x 4 – 20 x 4 + 78,75 = 0 → Va = 101,25kN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Barra 3 
QC3 = +101,25 – 20= +81,25kN 
QD3 = +81,25 – 20 x 4 = +1,25kN 
MD3 = -10 + 81,25 x 4 – 20 x 4²/2 = 155kN.m 
 
 
 
101,25kN 
A 
C 
101,25kN 
1 
C D 
101,25 kN 
10 kN.m 
20 kN/m 
155 kN.m 
1,25kN 
0,75kN 
1kN
155kN.m 
1,25kN 
78,75kN 
47,25kN 63kN
D 
B 
sen α = = 0,8 
cos α = = 0,6 
20 kN/m 
20 kN 10 kN.m 
2 3 
4
20 X 4 = 80kN 
Sinais diferentes, conforme 
o sentido das forças. 
 LISTA DE EXERCÍCIOS 1 
TEORIA DAS ESTRUTURAS 
 
Barra 4 
ND4 = 1,25 x 0,6 = 0,75kN 
QD4 = 1,25 x 0,8 = 1kN 
NB4 = +0,75 – 80 x 0,6 = 47,25kN 
QB4 = +1 – 80 x 0,8 = 63kN 
MB4 = +155 + 1,25 x 4 – 80 x 2 = 0 
ou 
NB4 = 78,75 x 0,6 = 47,25kN 
QB4 = 78,75 x 0,8 = 63kN 
 
MmaxDB→ Q = 0 
QmaxDB = +1 – 20 . x . 0,8 = 0 → x = 0,06m 
MmaxDB = 155 + 1 x 0,06 – 20 x 0,06²/2 = 155,04kN.m 
 
 
Diagramas 
 
Normal 
 
 
 
 
 
Cortante 
 
 
 
 
 
Normal:+ (tração) – (compressão) 
Cortante: + (horário) – (anti-horário) 
Momento: + (inferior) – (superior) 
 LISTA DE EXERCÍCIOS 1 
TEORIA DAS ESTRUTURAS 
 
Momento 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ve 
20 x 4 = 80kN 
E 
B 
Vb 
40 
E 
20 kN/m 
Va 
20 kN 80 kN 30 kN 
C D 
 LISTA DE EXERCÍCIOS 1 
TEORIA DAS ESTRUTURAS 
 
Trecho EB 
∑Me = 0 → - 20 x 4 x 2 + Vb x 4 = 0 → Vb = 40kN 
∑FV = 0 → Ve – 20 x 4 + 40 = 0 → Ve = 40kN 
 
Trecho ACDE 
∑FV = 0 → Va – 30 – 20 - 80 - Ve = 0 → Va – 30 – 20 - 80 - 40 = 0 → Va = 170kN 
Ma = 30 x 1 + 20 x 1 x 0,5 – 20 x 4 x 2 – 40 x 4 = 280kN.m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Barra 3 
QC3 = +170 - 50 = 120kN 
MC3 = -280 – 40 = -320kN.m 
QD3 = +120 - 20 x 4 = +40kN 
MC3 = -320 + 120 x 4 – 20 x 4²/2 = 0 
 
Barra 4 
ND4 = +40 x 0,6 = +24kN 
QD4 = +40 x 0,8 = +32kN 
NB4 = +24 – 80 x 0,6 = -24kN 
QB4 = +32 – 80 x 0,8 = -32kN 
ou 
NB4 = -40 x 0,6 = -24kN 
QB4 = -40 x 0,8 = -32kN 
 
MmaxDB = 20 x 4²/8= 40kN.m 
170kN 
A 
C 
170kN 
1 
280kN 
280kN 
C D 
170 kN 
40 kN.m 
20 kN/m 
40kN 
24kN 
32kN
40kN 
40kN 
24kN 32kN
D 
B 
sen α = = 0,8 
cos α = = 0,6 
20 kN/m 
50 kN 30 kN 320 kN.m 
20 x 4 = 80kN 
2 3 
4
Sinais diferentes, conforme 
o sentido das forças. 
Normal:+ (tração) – (compressão) 
Cortante: + (horário) – (anti-horário) 
Momento: + (inferior) – (superior) 
 LISTA DE EXERCÍCIOS 1 
TEORIA DAS ESTRUTURAS 
 
Normal 
 
Cortante 
 
Momento