apol 1 CÁLCULO DIFERENCIAL INTEGRAL - CAMPOS VETORIAIS

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Questão 1/10 - Cálculo Diferencial Integral - Campos Vetoriais
Leia o seguinte extrato de texto:
"Definiremos a integral sobre uma superfície tendo em mente ainda a generalização do que fizemos quando definimos integral de linha sobre um campo escalar. Embora geometricamente os objetos são diferentes, teremos que integrais de superfície generalizam a área de maneira análoga que a integral de linha sobre um campo escalar generaliza o conceito de comprimento de uma curva." (livro-base, p. 116)
Considere a superfície definida por σ(u,v)=(u,v,u3)σ(u,v)=(u,v,u3) para (u,v)(u,v) no primeiro quadrante e tais que u,v≤1u,v≤1. Marque a alternativa que contém o valor correto para ∫∫σzdS∫∫σzdS.
Nota: 10.0
	
	A
	154(10√10−1)154(1010−1)
Você assinalou essa alternativa (A)
Você acertou!
De acordo com o livro-abase, p. 117
∂σ∂u(u,v)∧∂σ∂v(u,v)=(−3u2,0,1)∂σ∂u(u,v)∧∂σ∂v(u,v)=(−3u2,0,1)
Dessa forma,
∫∫σzdS=∫10∫10u3√1+9u4dvdu=154(10√10−1)∫∫σzdS=∫01∫01u31+9u4dvdu=154(1010−1)
	
	B
	5√102751027
	
	C
	(10√10−1)(1010−1)
	
	D
	154(√10−1)154(10−1)
	
	E
	(√10−1)(10−1)
Questão 2/10 - Cálculo Diferencial Integral - Campos Vetoriais
Leia a passagem extraída do livro-base, Cálculo Diferencial e Integral - Campos de Vetores, p. 6:
"O divergente de uma função vetorial ou de um vetor, representado por div⃗F(x,y,z)divF→(x,y,z) ou ∇⋅⃗F∇⋅F→ é definido por:
∇⋅⃗F=∂Fx∂x(x,y,z)+∂Fy∂y(x,y,z)+∂Fz∂z(x,y,z)∇⋅F→=∂Fx∂x(x,y,z)+∂Fy∂y(x,y,z)+∂Fz∂z(x,y,z)"
Sendo ⃗r=x⃗i+y⃗j+z⃗kr→=xi→+yj→+zk→, marque a alternativa que apresenta o valor correto de ∇⋅⃗r∇⋅r→.
Nota: 10.0
	
	A
	1
	
	B
	2
	
	C
	3
Você assinalou essa alternativa (C)
Você acertou!
Utilizando a equação dada no enunciado, verificamos que:
∇⋅⃗r=3∇⋅r→=3
	
	D
	4
	
	E
	5
Questão 3/10 - Cálculo Diferencial Integral - Campos Vetoriais
Leia o texto a seguir:
"Se a superfície SS tem uma parametrização ϕ:A⊂R2→R3ϕ:A⊂R2→R3 diferenciável, podemos
definir os vetores tangentes a estas curvas no ponto ϕ(u0;v0)ϕ(u0;v0), respectivamente, por:
Tu0=∂ϕ∂u=(∂x∂u,∂y∂u,∂z∂u)Tv0=∂ϕ∂v=(∂x∂v,∂y∂v,∂z∂v).Tu0=∂ϕ∂u=(∂x∂u,∂y∂u,∂z∂u)Tv0=∂ϕ∂v=(∂x∂v,∂y∂v,∂z∂v).
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: VILCHES, Mauricio A., CORRÊA, Maria Luiza. Cálculo Vetorial. <https://www.ime.uerj.br/~calculo/reposit/calculo3.pdf>. Acesso em 09 dez. 2019.
Considerando o trecho de texto apresentado e os conteúdos do livro-base Cálculo Diferencial Integral - Campo Vetorial, sobre área de superfícies e uma esfera de centro na origem e raio a em R3R3 e definida por S2={(x,y,z)|x2+y2+z2=a2,a>0},S2={(x,y,z)|x2+y2+z2=a2,a>0}, cuja parametrização é dada por:
ϕ(u,v)=(asen(u)cos(v),asen(u)sen(v),acos(u)),(u,v)∈A.ϕ(u,v)=(asen(u)cos(v),asen(u)sen(v),acos(u)),(u,v)∈A.
Assinale a alternativa que representa a área da superfície S.S. 
Obs.: A área é dada por A(S)=∫∫D||Tu×Tv||dudv.A(S)=∫∫D||Tu×Tv||dudv.
Nota: 10.0
	
	A
	4πa24πa2
Você assinalou essa alternativa (A)
Você acertou!
A área é dada por A(S)=∫∫D||Tu×Tv||dudv,A(S)=∫∫D||Tu×Tv||dudv,
Tu×Tv=asen(u)ϕ(u,v)||Tu×Tv||=a2sen(u)A(S)=a2∫∫Dsen(u)dudv=a2∫2π0∫π0sen(u)dudv=4πa2u.a.Tu×Tv=asen(u)ϕ(u,v)||Tu×Tv||=a2sen(u)A(S)=a2∫∫Dsen(u)dudv=a2∫02π∫0πsen(u)dudv=4πa2u.a.
(livro-base p. 200-205)
	
	B
	2πa22πa2
	
	C
	43πa243πa2
	
	D
	6πa46πa4
	
	E
	4πa44πa4
Questão 4/10 - Cálculo Diferencial Integral - Campos Vetoriais
Leia a seguinte passagem extraída do livro-base, Cálculo Diferencial e Integral - Campos de Vetores, p. 6:
"O rotacional de uma função vetorial ou de um vetor, representado por rot⃗FrotF→ ou ∇×⃗F∇×F→, é definido por: ∇×⃗F=|⎡⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣⃗i⃗j⃗k∂∂x∂∂y∂∂z→Fx→Fy→Fz⎤⎥
⎥
⎥
⎥
⎥⎦|=[∂Fz∂y−∂Fy∂z]⃗i+[∂Fx∂z−∂Fz∂x]⃗j+[∂Fy∂x−∂Fx∂y]⃗k∇×F→=|[i→j→k→∂∂x∂∂y∂∂zFx→Fy→Fz→]|=[∂Fz∂y−∂Fy∂z]i→+[∂Fx∂z−∂Fz∂x]j→+[∂Fy∂x−∂Fx∂y]k→"
Para a função F(x,y,z)=(lnx,lnxy,lnxyz)F(x,y,z)=(ln⁡x,ln⁡xy,ln⁡xyz), determine seu rotacional.
Nota: 10.0
	
	A
	1y⃗i−1x⃗j+1z⃗k1yi→−1xj→+1zk→
Você assinalou essa alternativa (A)
Você acertou!
Pelo uso da equação dada no enunciado, verificamos que:
rot⃗F=1y⃗i−1x⃗j+1z⃗krotF→=1yi→−1xj→+1zk→
	
	B
	1y−1x+1z1y−1x+1z
	
	C
	1y⃗i+1x⃗j−1z⃗k1yi→+1xj→−1zk→
	
	D
	1y+1x+1z1y+1x+1z
	
	E
	1y⃗i−1x⃗j−1z⃗k1yi→−1xj→−1zk→
Questão 5/10 - Cálculo Diferencial Integral - Campos Vetoriais
De acordo com o livro-base, Cálculo Diferencial e Integral - Campos de Vetores, seja o campo de vetores definido por F(x,y)=(4x,2y)F(x,y)=(4x,2y) .  Considere as seguintes afirmações:
I. FF é um campo conservativo.
II. O divergente de FF é div(F)(x,y)=2x+ydiv(F)(x,y)=2x+y.
III. A função potencial de FF é f(x,y)=2x2+y2+c.f(x,y)=2x2+y2+c.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
Nota: 10.0
	
	A
	F - F - V
	
	B
	V - F - V
Você assinalou essa alternativa (B)
Você acertou!
Item I é verdadeiro, pois  se ∂F2∂x≠∂F1∂y∂F2∂x≠∂F1∂y, F não é conservativo. Como ∂F2∂x=0 e∂F1∂y=0∂F2∂x=0 e∂F1∂y=0, F é conservativo.
Item II é falso, pois div(F)=∇.F(x,y)=∂F1∂x+∂F2∂y⇒Div(F)=4+2=6.div(F)=∇.F(x,y)=∂F1∂x+∂F2∂y⇒Div(F)=4+2=6.
Item III é verdadeiro, pois a função potencial é dada f(x,y)=∫F1dx+∫[F2−∂M∂y]dy+c⇒M=∫4xdx=2x2N=∫[2y−0]dy=y2f(x,y)=2x2+y2+c.f(x,y)=∫F1dx+∫[F2−∂M∂y]dy+c⇒M=∫4xdx=2x2N=∫[2y−0]dy=y2f(x,y)=2x2+y2+c.
(livro-base p. 111-1120) f(x,y)=∫F1dx+∫[F2−∂M∂y]dy+c⇒M=∫4xdx=2x2N=∫[2y−0]dy=y2f(x,y)=2x2+y2+c.f(x,y)=∫F1dx+∫[F2−∂M∂y]dy+c⇒M=∫4xdx=2x2N=∫[2y−0]dy=y2f(x,y)=2x2+y2+c.
	
	C
	V - V - F
	
	D
	V - V - V
	
	E
	F - V - F
Questão 6/10 - Cálculo Diferencial Integral - Campos Vetoriais
De acordo com o livro-base, p. 129,
"Definimos a massa MM de σσ por
M=∫∫σδ(x,y,z)dSM=∫∫σδ(x,y,z)dS
e definimos o centro de massa, o ponto (xc,yc,zc)∈R3(xc,yc,zc)∈R3, da superfície σσ por
xc=∫∫σxδdSM,yc=∫∫σyδdSM,zc=∫∫σzδdSMxc=∫∫σxδdSM,yc=∫∫σyδdSM,zc=∫∫σzδdSM"
Marque a alternativa que apresenta o valor correto da massa do corpo delgado dado por z=x+y2z=x+y2 onde 0≤x≤10≤x≤1 e 0≤y≤20≤y≤2 onde a densidade superficial de massa é dada por σ(x,y,z)=yσ(x,y,z)=y.
Nota: 0.0Você não pontuou essa questão
	
	A
	133133
	
	B
	13√2132
	
	C
	13√231323
De acordo com o livro-base, p. 129,
σ(u,v)=(u,v,u+v2)σ(u,v)=(u,v,u+v2)
e ainda,
∂σ∂u(u,v)∧∂σ∂v(u,v)=(−1,−2v,1)∂σ∂u(u,v)∧∂σ∂v(u,v)=(−1,−2v,1)
Assim,
M=∫∫σydS=13√23M=∫∫σydS=1323
	
	D
	1313
	
	E
	√2323
Questão 7/10 - Cálculo Diferencial Integral - Campos Vetoriais
Leia a seguinte passagem de texto:
"Seja σ:K⊂R2→R3σ:K⊂R2→R3 uma superfície regular de classe C2C2 num aberto AA contendo K,KK,K compacto de interior não-vazio cuja fronteira tem conteúdo nulo, σσ injetora em todo o conjunto KK e σσ orientável. Seja ainda ∂K∂K uma curva C1C1 por partes, fechada e simples, orientada positivamente. Se temos ⃗F=P⃗i+Q⃗j+R⃗kF→=Pi→+Qj→+Rk→ então
∫Γ⃗FdΓ=∫∫σ(rot⃗F)⋅⃗ndS∫ΓF→dΓ=∫∫σ(rotF→)⋅n→dS
onde ΓΓ é a imagem de γγ por σσ orientada positivamente em relação ao vetor normal ⃗n(σ(u,v))n→(σ(u,v)).
Fonte: Livro-base, p. 140.
Considere o campo dado por ⃗F(x,y,z)=(xz,zex,−y)F→(x,y,z)=(xz,zex,−y) e σ(u,v)=(−1+u2+v2,u,v)σ(u,v)=(−1+u2+v2,u,v) definido sobre K={0≤u2+v2≤1}K={0≤u2+v2≤1}. Marque a alternativa que apresenta o valor correto de ∫∫σrot⃗F⋅⃗ndS∫∫σrotF→⋅n→dS.
Nota: 10.0
	
	A
	2π2π
	
	B
	ππ
	
	C
	00
	
	D
	−π−π
	
	E
	−2π−2π
Você assinalou essa alternativa (E)
Você acertou!
De acordo com o livro-base, p. 142,
rot⃗F=(−1,−ex,x,zex)rotF→=(−1,−ex,x,zex)
Assim, temos
∂σ∂u(u,v)∧∂σ∂v(u,v)=(1,−2u,−2v)∂σ∂u(u,v)∧∂σ∂v(u,v)=(1,−2u,−2v)
Ainda,
Γ(t)=(0,cost,sent),t∈[0,2π]Γ′(t)=(0,−sent,cost)Γ(t)=(0,cost,sent),t∈[0,2π]Γ′(t)=(0,−sent,cost)
E pelo Teorema de Stokes,
∫∫σrot⃗F⋅⃗ndS=−2π∫∫σrotF→⋅n→dS=−2π
Questão 8/10 - Cálculo Diferencial Integral - Campos Vetoriais
De acordo com o livro-base, Cálculo Diferencial e Integral - Campos de Vetores, sobre integral de linha sobre trajetórias, assinale a alternativa que representa a integral de linha ∫C(2xy2)dS∫C(2xy2)dS, onde C é a curva dada por x2+y2=1,x2+y2=1, tal que x=cost,y=sent e 0≤t≤π2.x=cost,y=sent e 0≤t≤π2.
Nota: 0.0Você não pontuou essa questão
	
	A
	∫Cf=2π∫Cf=2π
	
	B
	∫Cf=π2∫Cf=π2
	
	C
	∫Cf=23∫Cf=23
A integral de linha é dada por:
γ(t)=(cost,sent)γ′(t)=(−sent,cost)γ(t)=(cost,sent)γ′(t)=(−sent,cost)∫Cf=∫baf(γ(t))||γ′(t)||dt=∫π/20(2costsen2t)dt=∫π/202costu2du/cost=∫102u2du==2u33|10=23∫Cf=∫abf(γ(t))||γ′(t)||dt=∫0π/2(2costsen2t)dt=∫0π/22costu2du/cost=∫012u2du==2u33|01=23
(livro-base p. 123-125)
	
	D
	∫Cf=√2∫Cf=2
	
	E
	∫Cf=2√3∫Cf=23
Questão 9/10 - Cálculo Diferencial Integral - Campos Vetoriais
De acordo com o livro-base, p. 116,
Definimos a integral de superfície de ff sobre σσ por
∫∫σfdS=∫∫σf(x,y,z)dS=∫∫Kf(σ(u,v))||∂σ∂u(u,v)∧∂σ∂v(u,v)||dudv∫∫σfdS=∫∫σf(x,y,z)dS=∫∫Kf(σ(u,v))||∂σ∂u(u,v)∧∂σ∂v(u,v)||dudv
Considere a superfície σ(u,v)=(u,4v,2u),(u,v)∈[1,2]×[2,3]σ(u,v)=(u,4v,2u),(u,v)∈[1,2]×[2,3], e marque a alternativa que apresenta o valor correto da integral de superfície ∫σ(xy+z)dS∫σ(xy+z)dS.
Nota: 10.0
	
	A
	7272
	
	B
	√55
	
	C
	8√585
	
	D
	88
	
	E
	72√5725
Você assinalou essa alternativa (E)
Você acertou!
De acordo com o livro-base, p. 117
∂σ∂u(u,v)∧∂σ∂v(u,v)=(−8,0,4)∂σ∂u(u,v)∧∂σ∂v(u,v)=(−8,0,4)
Dessa forma,
∫∫σfdS=∫21∫32(4uv+2u)⋅4√5dvdu=72√5∫∫σfdS=∫12∫23(4uv+2u)⋅45dvdu=725
Questão 10/10 - Cálculo Diferencial Integral - Campos Vetoriais
Leia a seguinte passagem de texto:
"Definimos o centro de massa, o ponto (xc,yc,zc)∈R3(xc,yc,zc)∈R3 da superfície σσ como:
xc=∫∫σxδdSM,yc=∫∫σyδdSM,zc=∫∫σzδdSMxc=∫∫σxδdSM,yc=∫∫σyδdSM,zc=∫∫σzδdSM"
Fonte: Livro-base, p. 129
Considere a chapa delgada dada por σ(u,v)=(3v,u,2v+u)σ(u,v)=(3v,u,2v+u) uma chapa fina com (u,v)∈[0,1]×[0,1](u,v)∈[0,1]×[0,1] cuja densidade é dada por σ(x,y,z)=x+y+zσ(x,y,z)=x+y+z. Marque a alternativa que apresenta o valor correto do centro de massa da chapa:
Nota: 0.0Você não pontuou essa questão
	
	A
	(237√22,137√22,257√22)(23722,13722,25722)
	
	B
	(2517√22,2517√22,1314√22)(251722,251722,131422)
	
	C
	(137√22,2342√22,514√22)(13722,234222,51422)
	
	D
	(137√22,2342√22,2514√22)(13722,234222,251422)
De acordo com o texto-base, p. 130
∂σ∂u(u,v)∧∂σ∂v(u,v)=(2,3,−3)∂σ∂u(u,v)∧∂σ∂v(u,v)=(2,3,−3)
Dessa forma, 
P=(137√22,2342√22,2514√22)P=(13722,234222,251422)
representa o centro de massa.
	
	E
	(1317√22,342√22,2514√22)(131722,34222,251422)