07-Taxas - V4-Resumido

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TAXAS DE JUROS
MATEMÁTICA FINANCEIRA
1
UM CUIDADO CONSTANTE EM OPERAÇÕES FINANCEIRAS DEVE SER 
TOMADO COM AS OPERAÇÕES MATEMÁTICAS ENVOLVENDO TAXAS 
DE JUROS.
TAXAS DE JUROS
MATEMÁTICA FINANCEIRA
2
O que na verdade queremos mostrar é a relação entre taxa e 
risco, ou seja, quanto maior o risco, existirá a tendência de se 
obter uma maior taxa de remuneração.
TAXAS DE JUROS
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3
𝐹𝑉 = 𝑃𝑉 ⋅ 1 + 𝑖 𝑛
𝑃𝑉 =
𝐹𝑉
1 + 𝑖 𝑛
𝑛 =
𝐿𝑁 𝐹𝑉 − 𝐿𝑁 𝑃𝑉
𝐿𝑁 1 + 𝑖
𝑖 =
𝐹𝑉
𝑃𝑉
𝑄𝑄
𝑄𝑇
− 1 × 100
JUROS COMPOSTOS
TAXAS DE JUROS
MATEMÁTICA FINANCEIRA
4
JUROS COMPOSTOS
(1) Calcular o valor futuro ou montante de uma aplicação financeira de R$ 
15.000,00, admitindo-se uma taxa de 2,5% ao mês para um período de 17 
meses. 
PV = R$ 15.000,00
FV = ?
i = 2,5% a.m.
n = 17 meses
15000 [CHS] [PV]
2,5 [i]
17 [n]
[FV]
Resp: R$ 22.824,27
TAXAS DE JUROS
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5
JUROS COMPOSTOS
(2) Calcular o valor presente ou capital de uma aplicação de R$ 98.562,25, 
efetuada pelo prazo de 6 meses a uma taxa de 1,85% ao mês. 
PV = ?
FV = R$ 98.562,25
i = 1,85% a.m.
n = 6 meses
98562,25[FV]
1,85 [i]
6 [n]
[PV]
Resp: R$ 88.296,69
TAXAS DE JUROS
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6
JUROS COMPOSTOS
(3) Durante quanto tempo uma aplicação de R$ 26.564,85 produziu um 
montante de R$ 45.562,45 com uma taxa de 0,98% ao mês? 
PV = R$ 26.564,85
FV = R$ 45.562,45
i = 0,98% a.m.
n = ?
26564,85 [CHS][PV]
45562,45 [FV]
0,98 [i]
[n]
Resp: 56 meses
TAXAS DE JUROS
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7
JUROS COMPOSTOS
(4) Qual a taxa mensal de juros necessária para um capital R$ 2.500,00 
produzir um montante de R$ 4.489,64 durante um ano?
PV = R$ 2.500,00
FV = R$ 4.489,64
n = 1 ano
i = ?
2500 [CHS] [PV]
4489,64 [FV]
12 [n]
[i]
Resp: 5% ao mês
TAXAS DE JUROS
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8
JUROS COMPOSTOS
(5) Determinar os juros obtidos através de uma aplicação de R$ 580,22 
com uma taxa de 4,5% a.m. durante 7 meses.
PV = R$ 580,22
FV = ---
i = 4,5% a.m.
n = 7 meses
J = ???
580,22 [CHS] [PV]
4,5 [i]
7 [n]
[FV] R$ 789,60
[RCL] [PV]
[+]
Resp: R$ 209,38
TAXAS DE JUROS
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9
JUROS COMPOSTOS
(11) Qual o valor do investimento, que aplicado à taxa de 12% 
ao trimestre, durante 218 dias, produziu um resgate de R$ 
125.563,25? 
PV = ???
i = 12% a.t.
n = 218 dias
FV = R$ 125.563,25
125563,25 [FV]
12 [i]
218 [ENTER] 90 [] [n]
[PV]
Resp: R$ 95.421,35
TAXAS DE JUROS
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10
JUROS COMPOSTOS
(12) Qual a taxa de juros necessária para se dobrar um 
capital, no final de 15 meses?
PV = R$ 1.000,00
FV = R$ 2.000,00
n = 15 meses
i = ???
1000 [CHS] [PV]
2000 [FV]
15 [n]
[i]
Resp: 4,73% ao mês
TAXAS DE JUROS
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11
TAXAS EQUIVALENTES A JUROS COMPOSTOS
Duas taxas são consideradas equivalentes, a juros
compostos, quando aplicadas a um mesmo capital, por um
período de tempo equivalente e geram o mesmo rendimento.
( ) ( )1 1 100
QQ
QT
ceq
i i
 
= + −  
 
i(eq) = Taxa Equivalente
ic = Taxa Conhecida
QQ = Quanto eu Quero
QT = Quanto eu Tenho
TAXAS DE JUROS
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12
TAXAS EQUIVALENTES A JUROS COMPOSTOS
Exemplo:
Calcular a equivalência entre as taxas
Taxa Conhecida Taxa Equivalente para: 
a) 79,5856% ao ano 1 mês 
b) 28,59% ao trimestre 1 semestre 
c) 2,5% ao mês 105 dias 
d) 0,5% ao dia 1 ano 
e) 25% (ano comercial) 1 ano exato (base 365 dias) 
( ) ( )1 1 100
QQ
QT
ceq
i i
 
= + −  
 
TAXAS DE JUROS
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TAXAS EQUIVALENTES A JUROS COMPOSTOS
𝑖 𝑒𝑞 = 1 + 𝑖𝑐
𝑄𝑄
𝑄𝑇 − 1 × 100
TAXAS DE JUROS
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TAXAS EQUIVALENTES A JUROS COMPOSTOS
𝑖 𝑒𝑞 = 1 + 𝑖𝑐
𝑄𝑄
𝑄𝑇 − 1 × 100
TAXAS DE JUROS
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15
TAXAS EQUIVALENTES A JUROS COMPOSTOS
𝑖 𝑒𝑞 = 1 + 𝑖𝑐
𝑄𝑄
𝑄𝑇 − 1 × 100
TAXAS DE JUROS
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TAXAS EQUIVALENTES A JUROS COMPOSTOS
𝑖 𝑒𝑞 = 1 + 𝑖𝑐
𝑄𝑄
𝑄𝑇 − 1 × 100
TAXAS DE JUROS
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TAXAS EQUIVALENTES A JUROS COMPOSTOS
𝑖 𝑒𝑞 = 1 + 𝑖𝑐
𝑄𝑄
𝑄𝑇 − 1 × 100
TAXAS DE JUROS
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18
TAXA OVER EQUIVALENTE
•A taxa over equivalente é uma taxa usada pelo mercado
financeiro para determinar a rentabilidade por dia útil,
normalmente multiplicada por 30 (conversão do mercado
financeiro).
•Várias aplicações são efetuadas tomando como base os dias
úteis; entre elas temos as operações de CDls (Certificados de
Depósitos Interbancários).
TAXAS DE JUROS
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19
TAXA OVER EQUIVALENTE
•Paga juros somente para os dias úteis, e sua taxa nominal é 
igual a 30 vezes a taxa efetiva diária de uma operação 
financeira cuja remuneração ocorre somente nos dias úteis do 
período da operação. 
TAXAS DE JUROS
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20
TAXA OVER EQUIVALENTE
• Os Certificados de Depósito Interbancário são os títulos de
emissão das instituições financeiras, que lastreiam as
operações do mercado interbancário.
•Suas características são idênticas às de um CDB, mas sua
negociação é restrita ao mercado interbancário.
•Sua função é, portanto, transferir recursos de uma instituição
financeira para outra.
•Em outras palavras, para que o sistema seja mais fluido,
quem tem dinheiro sobrando empresta para quem não tem.
TAXAS DE JUROS
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21
TAXA OVER EQUIVALENTE
•Grande parte das operações é negociada com período de
apenas um dia. Apesar disso, tem as vantagens de ser rápido,
seguro e não sofrer nenhum tipo de taxação.
•Agora, os CDI's também podem ser negociados em prazos
mais dilatados e com taxas pré-fixadas e pós-fixadas.
•Os Certificados de Depósitos Interbancários negociados por
um dia, também são denominados Depósitos Interfinanceiros
e detém a característica de funcionarem como um padrão de
taxa média diária, a CDI over.
TAXAS DE JUROS
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22
TAXA OVER EQUIVALENTE
( )
1
1 1 3000
QQ ndu
QT
cTOE i
 
  
= + −   
   
TOE = taxa over equivalente
ic = taxa de juros conhecida
QQ = nº de dias efetivos da operação
QT = nº de dias referente à taxa conhecida (ic)
ndu = nº de dias úteis no período da operação
3.000 = resultante da multiplicação de 30 dias por 100 (porcentagem)
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23
TAXA OVER EQUIVALENTE
Exemplo:
O gerente financeiro da empresa "Investimentos S/A"
cotou taxas de CDB (Certificado de Depósito Bancário)
em dois bancos.
•No Banco A, foi oferecida uma taxa de 28,00% a.a.
para uma aplicação de 63 dias, considerando-se 43
dias úteis,
•enquanto o Banco B ofereceu uma taxa de 26,00%
a.a. para 32 dias, considerando 19 dias úteis.
Qual é a melhor aplicação?
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TAXA OVER EQUIVALENTE
Dados do Banco A:
ic= 28% a.a.
QQ = 63 dias
QT = 360 dias
ndu = 43 dias
TOE = ?
𝑇𝑂𝐸 = 1 + 𝑖𝑐
𝑄𝑄
𝑄𝑇
1
𝑛𝑑𝑢
− 1 × 3000
TAXAS DE JUROS
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25
TAXA OVER EQUIVALENTE
Dados do Banco A:
ic= 28% a.a.
QQ = 63 dias
QT = 360 dias
ndu = 43 dias
TOE = ?
𝑇𝑂𝐸 = 1 + 𝑖𝑐
𝑄𝑄
𝑄𝑇
1
𝑛𝑑𝑢
− 1 × 3000
TAXAS DE JUROS
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TAXA OVER EQUIVALENTE
Dados do Banco B:
ic= 26% a.a.
QQ = 32 dias
QT = 360 dias
ndu = 19 dias
TOE = ?
𝑇𝑂𝐸 = 1 + 𝑖𝑐
𝑄𝑄
𝑄𝑇
1
𝑛𝑑𝑢
− 1 × 3000
TAXAS DE JUROS
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TAXA OVER EQUIVALENTE
Dados do Banco B:
ic= 26% a.a.
QQ = 32 dias
QT = 360 dias
ndu = 19 dias
TOE = ?
𝑇𝑂𝐸 = 1 + 𝑖𝑐
𝑄𝑄
𝑄𝑇
1
𝑛𝑑𝑢
− 1 × 3000
TAXAS DE JUROS
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28
TAXA OVER EQUIVALENTE
•Neste caso, deveremos escolher a aplicação do Banco B, pois
foi possível verificar e comprovar que a rentabilidade por dia
útil é maior que a do Banco A.
•A aplicabilidade do conceito da Taxa Over Equivalente não
deve ser limitada às operações do mercado financeiro e
bancário, assim como os demais conceitos da matemática
financeira.
•O conceito da Taxa Over Equivalente pode ser usado também
em operaçõescomerciais, como no financiamento de uma
venda de mercadoria aos seus clientes, por exemplo.
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29
TAXA OVER EQUIVALENTE
•Uma das dificuldades para utilização do conceito da Taxa
Over Equivalente é a informação do número de dias úteis
(ndu), devido ao grande número de feriados do calendário
nacional.
•Uma alternativa é conseguir com a rede bancária um
calendário que contenha o número de dias úteis, já
contemplando os feriados nacionais.
•Este calendário é próprio para calcular a quantidade de dias
úteis nas aplicações financeiras. A alternativa tradicional é
contar no próprio calendário, o que muitas vezes pode se
tornar uma dificuldade no processo.
TAXAS DE JUROS
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30
TAXA ACUMULADA DE JUROS COM TAXAS VARIÁVEIS
•A taxa acumulada de juros com taxas variáveis é normalmente
utilizada em situações de correções de contratos como, por
exemplo, atualização de aluguéis, saldo devedor da casa
própria e contratos em geral.
•A composição das taxas pode ocorrer de duas formas, com
taxas positivas ou com taxas negativas; nesse caso podemos
exemplificar as taxas positivas como do tipo 5%, 2% e 1,5% e
as taxas negativas como do tipo -2%, -3,5% e -1,7% etc.
•Matematicamente, o fator de acumulação de uma taxa positiva
pode ser representado (1 + i) e a taxa negativa (1 – i).
TAXAS DE JUROS
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31
TAXA ACUMULADA DE JUROS COM TAXAS VARIÁVEIS
•Assim teremos a seguinte fórmula genérica:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 31 1 1 ... 1 1 100naci i i i i= +  +  +   + −   
TAXAS DE JUROS
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32
TAXA ACUMULADA DE JUROS COM TAXAS VARIÁVEIS
Exemplo:
Com base na tabela a seguir, calcular a variação do IGP-M
(FGV) acumulada durante os meses de jan./2001 a maio/2001.
TAXAS DE JUROS
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TAXA ACUMULADA DE JUROS COM TAXAS VARIÁVEIS
IGP-M -
FGV 
INPC -
IBGE 
IGPDI-
FGV 
IPC - FIPE 
IPCA -
IBGE 
Janeiro/2001 0,62 0,77 0,49 0,38 0,57 
Fevereiro/2001 0,23 0,49 0,34 0,11 0,46 
Março/2001 0,56 0,48 0,80 0,51 0,38 
Abril/2001 1,00 0,84 1,13 0,61 0,58 
Maio/2001 0,86 - - 0,17 -
Acumulado no 
ano 
3,31 2,60 2,79 1,79 2,00 
Acumulado 12 
meses 
11,04 7,07 11,16 5,52 6,61 
TAXAS DE JUROS
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TAXA ACUMULADA DE JUROS COM TAXAS VARIÁVEIS
Dados:
IGP-M/FGV: (jan./2001) = 0,62%
IGP-M/FGV: (fev./2001) = 0,23%
IGP-M/FGV: (mar./2001) = 0,56%
IGP-M/FGV: (abr./2001) = 1,00%
IGP-M/FGV: (maio/2001) = 0,86%
TAXAS DE JUROS
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35
TAXA ACUMULADA DE JUROS COM TAXAS VARIÁVEIS
Dados:
IGP-M/FGV: (jan./2001) = 0,62%
IGP-M/FGV: (fev./2001) = 0,23%
IGP-M/FGV: (mar./2001) = 0,56%
IGP-M/FGV: (abr./2001) = 1,00%
IGP-M/FGV: (maio/2001) = 0,86%
TAXAS DE JUROS
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36
TAXA ACUMULADA DE JUROS COM TAXAS VARIÁVEIS
Calcular a taxa acumulada de juros à seguinte seqüência de 
taxas: 5%, 3%, -1,5%, -2% e 6,5%.
TAXAS DE JUROS
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TAXA ACUMULADA DE JUROS COM TAXAS VARIÁVEIS
Calcular a taxa acumulada de 
juros à seguinte seqüência de 
taxas: 5%, 3%, -1,5%, -2% e 
6,5%.
TAXAS DE JUROS
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38
TAXA MÉDIA DE JUROS
•A taxa média de juros tem como base teórica o conceito
estatístico da média geométrica.
•Do ponto de vista da matemática financeira, podemos
calcular a taxa média de um conjunto de taxas extraindo a raiz
enésima, tomando-se como base o número de termos do
próprio conjunto de taxas.
•Imagine o conjunto de taxas (5%, 7% e 2%); neste exemplo, 3
é a quantidade de termos deste conjunto de taxas.
•A definição da fórmula da taxa média segue basicamente o
conceito da taxa acumulada de juros com taxas variáveis.
TAXAS DE JUROS
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39
TAXA MÉDIA DE JUROS
•Na verdade, devemos em primeiro lugar calcular a taxa
acumulada e, na seqüência, a taxa média.
•Observe o exemplo a seguir:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
1 2 31 1 1 ... 1 1 100
n
nmédia
i i i i i= +  +  +  + −   
Onde n = número de taxas analisadas
TAXAS DE JUROS
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40
TAXA MÉDIA DE JUROS
Exemplo:
Com base nos dados abaixo calcular a taxa média.
Dados:
IGP-M/FGV: (jan./2001) = 0,62%
IGP-M/FGV: (fev./2001) = 0,23%
IGP-M/FGV: (mar./2001) = 0,56%
IGP-M/FGV: (abr./2001) = 1,00%
IGP-M/FGV: (maio/2001) = 0,86%
TAXAS DE JUROS
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TAXA MÉDIA DE JUROS
TAXAS DE JUROS
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42
TAXA MÉDIA DE JUROS
TAXAS DE JUROS
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43
TAXA REAL DE JUROS
•A taxa real de juros nada mais é do que a apuração de ganho
ou perda em relação a uma taxa de inflação ou de um custo
de oportunidade.
•Na verdade, significa dizer que taxa real de juros é o
verdadeiro ganho financeiro.
TAXAS DE JUROS
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44
TAXA REAL DE JUROS
•Se considerarmos que uma determinada aplicação financeira
rendeu 10% em um determinado período de tempo, e que no
mesmo período ocorreu uma inflação de 8%, é correto afirmar
que o ganho real desta aplicação não foram os 10%, tendo em
vista que o rendimento correspondente sofreu uma
desvalorização de 8% no mesmo período de tempo;
•desta forma temos de encontrar qual o verdadeiro ganho em
relação à inflação, ou seja, temos de encontrar a Taxa Real de
Juros.
TAXAS DE JUROS
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45
TAXA REAL DE JUROS
( )
( )inf
1
1 100
1
r
i
i
i
 +
= −  
+ 
i = representa a taxa de juros
iinf = a taxa de inflação ou custo de oportunidade
ir = taxa real de juros
TAXAS DE JUROS
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46
TAXA REAL DE JUROS
Exemplo:
Uma aplicação durante o ano de 2001 rendeu 9,5% ao ano,
sabendo-se que a taxa de inflação do período foi de 5,8% ao
ano, determine a taxa real de juros.
ir = ?
i = 9,5% ao ano
iinf = 5,8% ao ano
( )
( )inf
1
1 100
1
r
i
i
i
 +
= −  
+ 
TAXAS DE JUROS
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47
TAXA REAL DE JUROS
ir = ?
i = 9,5% ao ano
iinf = 5,8% ao ano
𝑖𝑟 =
1 + 0,095
1 + 0,058
− 1 ∙ 100
TAXAS DE JUROS
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48
TAXA EFETIVA E TAXA LÍQUIDA
•O conceito da taxa efetiva de juros pode ser entendido como
sendo o ganho real para uma aplicação, para um
determinado período, sem considerarmos a taxa de inflação.
• Na verdade, a taxa efetiva tem seu conceito muito
semelhante ao da taxa equivalente.
TAXAS DE JUROS
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49
TAXA EFETIVA E TAXA LÍQUIDA
•O que realmente difere os dois conceitos são apenas os
objetivos do cálculo, ou seja,
•Na taxa equivalente objetiva-se comparar duas taxas
que, aplicadas a um mesmo capital por período de tempo
considerado equivalente, produzem o mesmo rendimento,
•enquanto a taxa efetiva tem seu foco direcionado para
medir o ganho efetivo de uma determinada aplicação.
TAXAS DE JUROS
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50
TAXA EFETIVA E TAXA LÍQUIDA
•A taxa líquida é assim chamada quando reduzida de
possíveis custos financeiros, o que não deve ser confundido
com a taxa real de juros que compara uma determinada taxa
em um período de tempo com a inflação ou custo de
oportunidade do mesmo período.
TAXAS DE JUROS
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51
TAXA EFETIVA E TAXA LÍQUIDA
•Vejamos um exemplo prático:
•Uma aplicação paga 25% ao ano para um período de 30
dias; sabendo-se que a inflação do mesmo período é de 18%
ao ano e que o governo tributa o rendimento das aplicações
em 15%, calcular a taxa efetiva, líquida, a taxa real de juros e
o rendimento para uma aplicação de R$ 20.000,00.
Taxa da aplicação (i): 25% ao ano
Prazo da aplicação (n): 30 dias
Taxa de inflação (iinf): 18% ao ano
Imposto de Renda: 15%
Valor Presente (PV): R$ 20.000,00
TAXAS DE JUROS
MATEMÁTICA FINANCEIRA
52
Taxa da aplicação (i): 25% ao ano
Prazo da aplicação (n): 30 dias
Taxa de inflação (iinf): 18% ao ano
Imposto de Renda: 15%
Valor Presente (PV): R$ 20.000,00
Taxa efetiva: 1,8769% a.m.
Taxa líquida: ? 
Taxa real: ? 
Rendimento: ? 
Taxa efetiva (Te) para 30 dias
𝑇𝑒 = 1 + 0,25
30
360 − 1 × 100
1 𝐸𝑁𝑇𝐸𝑅 0,25 +
30 𝐸𝑁𝑇𝐸𝑅 360 ÷ [𝑦𝑥]
1 − 100𝑋
1,8769% 𝑎.𝑚.
TAXAS DE JUROS
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53
Taxa da aplicação (i): 25% ao ano
Prazo da aplicação (n): 30 dias
Taxa de inflação (iinf): 18% ao ano
Imposto de Renda: 15%
Valor Presente (PV): R$ 20.000,00
Taxa efetiva: 1,8769% a.m.
Taxa líquida: ? 
Taxa real: ? 
Rendimento: ? 
Taxa efetiva da Inflação
(Tei) para 30 dias
𝑇𝑒𝑖 = 1 + 0,18
30
360 − 1 × 100
1 𝐸𝑁𝑇𝐸𝑅 0,18 +
30 𝐸𝑁𝑇𝐸𝑅 360 ÷ [𝑦𝑥]
1 − 100 𝑋
1,3888% 𝑎.𝑚.
TAXAS DE JUROS
MATEMÁTICA FINANCEIRA
54
Taxa da aplicação (i): 25% ao ano
Prazo da aplicação (n): 30 dias
Taxa de inflação (iinf): 18% ao ano
Imposto de Renda: 15%
Valor Presente (PV): R$ 20.000,00
Taxa efetiva: 1,8769% a.m.
Taxa líquida: ? 
Taxa real: 0,4814% a.m.
Rendimento: ? 
Taxa real (i𝑟)
𝑖𝑟 =
1,018769. . .
1,013888. . .
− 1 × 100
1,018769 𝐸𝑁𝑇𝐸𝑅
1,013888 ÷
1 − 100 𝑋
0,4814% 𝑎.𝑚.
TAXAS DE JUROS
MATEMÁTICA FINANCEIRA
55
Taxa da aplicação (i): 25% ao ano
Prazo da aplicação (n): 30 dias
Taxa de inflação (iinf): 18% ao ano
Imposto de Renda: 15%
Valor Presente (PV): R$ 20.000,00
Taxa efetiva: 1,8769% a.m.
Taxa líquida: ? 
Taxa real: 0,4814% a.m.
Rendimento: ? 
( )
( )
( )
Rendimento(R)=Juros
1 Taxa efetiva
20000 1 0,018769...
20000 1,018769...
R$ 20.375,39
20375,39 20000,00
R$ 375,39
Rendimento para 30 dias efetivos
J FV PV
FV PV
FV
FV
FV
J
J
= −
= +
= +
=
=
= −
=
TAXAS DE JUROS
MATEMÁTICA FINANCEIRA
56
Taxa da aplicação (i): 25% ao ano
Prazo da aplicação (n): 30 dias
Taxa de inflação (iinf): 18% ao ano
Imposto de Renda: 15%
Valor Presente (PV): R$ 20.000,00
Taxa efetiva: 1,8769% a.m.
Taxa líquida: ? 
Taxa real: 0,4814% a.m.
Rendimento: R$ 319,08 
( )
( )
Rendimento Líquido
1 Taxa de Impostos
375,39 1 0,15
375,39 0,85
R$ 319,08
RL R
RL
RL
RL
=  −
=  −
= 
=
TAXAS DE JUROS
MATEMÁTICA FINANCEIRA
57
Taxa da aplicação (i): 25% ao ano
Prazo da aplicação (n): 30 dias
Taxa de inflação (iinf): 18% ao ano
Imposto de Renda: 15%
Valor Presente (PV): R$ 20.000,00
Taxa efetiva: 1,8769% a.m.
Taxa líquida: 1,5954% a.m.
Taxa real: 0,4814% a.m.
Rendimento: R$ 319,08 
Taxa Líquida (TL)
Rendimento Líquido (RL)
Valor Presente (PV)
319,08
20000
1,5954% ao mês
TL
TL
TL
=
=
=
TAXAS DE JUROS
MATEMÁTICA FINANCEIRA
58
TAXAS DE JUROS
MATEMÁTICA FINANCEIRA
59
(1) Determinar a taxa anual equivalente a 2% ao mês. 
(2) Determinar a taxa mensal equivalente a 60,103% ao ano.
(3) Determinar a taxa anual equivalente a 0,1612% ao dia
(4) Determinar a taxa trimestral equivalente a 39,46% em dois 
anos.
(5) Uma determinada revista de informações financeiras apresentou as 
seguintes taxas de CDls: Fev. = 2,11%; Mar. = 2,18%; Abr. = 1,69%; Maio = 
1,63%; Jun. = 1,60% e Jul. = 1,69% para o ano de 1998. Pergunta-se: 
a) Qual a taxa média no período? 
b)Qual a taxa acumulada no período? 
(6) Suponhamos que uma empresa contrate um financiamento de capital 
de giro no valor de R$ 125.519,92, por 3 meses, tendo de pagar no final R$ 
148.020,26. Qual a taxa média desta aplicação? 
TAXAS DE JUROS
MATEMÁTICA FINANCEIRA
60
(1) Determinar a taxa anual equivalente a 2% ao mês. 
ic = 2% a.m.
QQ = 360
QT = 30
1,02 [ENTER]
360 [ENTER]
30 []
[YX]
1 [-]
100 [X]
Resp: 26,82% a.a.
( ) ( )1 1 100
QQ
QT
ceq
i i
 
= + −  
 
TAXAS DE JUROS
MATEMÁTICA FINANCEIRA
61
(2) Determinar a taxa mensal equivalente a 60,103% ao ano.
ic = 60,103% a.a.
QQ = 30
QT = 360
1,60103 [ENTER]
30 [ENTER]
360 []
[YX]
1 [-]
100 [X]
Resp: 4% a.m.
( ) ( )1 1 100
QQ
QT
ceq
i i
 
= + −  
 
TAXAS DE JUROS
MATEMÁTICA FINANCEIRA
62
(3) Determinar a taxa anual equivalente a 0,1612% ao dia
ic = 0,1612% a.d.
QQ = 360
QT = 1
1,001612 [ENTER]
360 [ENTER]
1 []
[YX]
1 [-]
100 [X]
Resp: 78,58% a.a.
( ) ( )1 1 100
QQ
QT
ceq
i i
 
= + −  
 
TAXAS DE JUROS
MATEMÁTICA FINANCEIRA
63
(4) Determinar a taxa trimestral equivalente a 39,46% em dois 
anos.
ic = 39,46% por dois anos
QQ = 90
QT = 720
1,3946 [ENTER]
90 [ENTER]
720 []
[YX]
1 [-]
100 [X]
Resp: 4,25% a.t.
( ) ( )1 1 100
QQ
QT
ceq
i i
 
= + −  
 
TAXAS DE JUROS
MATEMÁTICA FINANCEIRA
64
(5) Uma determinada revista de informações financeiras apresentou as 
seguintes taxas de CDls: Fev. = 2,11%; Mar. = 2,18%; Abr. = 1,69%; Maio = 
1,63%; Jun. = 1,60% e Jul. = 1,69% para o ano de 1998. Pergunta-se: 
a) Qual a taxa média no período? 
1,0211 [ENTER]
1,0218 [X]
1,0169 [X]
1,0163 [X]
1,0160 [X]
1,0169 [X]
6 [1/X] [YX]
1 [-] 100 [X]
Resp: 1,82% a.m.( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
1 2 31 1 1 ... 1 1 100
n
nmédia
i i i i i= +  +  +  + −   
TAXAS DE JUROS
MATEMÁTICA FINANCEIRA
65
(5) Uma determinada revista de informações financeiras apresentou as 
seguintes taxas de CDls: Fev. = 2,11%; Mar. = 2,18%; Abr. = 1,69%; Maio = 
1,63%; Jun. = 1,60% e Jul. = 1,69% para o ano de 1998. Pergunta-se: 
b)Qual a taxa acumulada no período? 
Resp: 11,41% ao período.
1,0211 [ENTER]
1,0218 [X]
1,0169 [X]
1,0163 [X]
1,0160 [X]
1,0169 [X]
1 [-] 100 [X]
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 31 1 1 ... 1 1 100naci i i i i= +  +  +   + −   
TAXAS DE JUROS
MATEMÁTICA FINANCEIRA
66
(6) Suponhamos que uma empresa contrate um financiamento de capital 
de giro no valor de R$ 125.519,92, por 3 meses, tendo de pagar no final R$ 
148.020,26. Qual a taxa média desta aplicação? 
PV = R$ 125.519,92
FV = R$ 148.020,26
n = 3 meses
imédia = ?
i = ?
125519,92 [CHS] [PV]
148020,26 [FV]
3 [n]
[i]
Resp: 5,65 % a.m.
TAXAS DE JUROS
MATEMÁTICA FINANCEIRA
67
(7) O senhor "Dúvida" pretende investir R$ 16.500.000,00 em uma aplicação no
"Banco dos Palmeirenses S/A" que paga 45,5% ao ano por 30 dias corridos e
correspondentes a 21 dias úteis. Suponha que o "Banco dos São Paulinos S/A"
pague 45% ao ano por 33 dias corridos e correspondentes a 22 dias úteis. Você foi
contratado como Gerente Financeiro(a) e encontra-se em período de experiência.
Na sua opinião, qual dos dois seria o melhor para o aplicador?
( )
1
1 1 3000
QQ ndu
QT
cTOE i
 
  
= + −   
   
Banco dos Palmeirenses S/A
ic = 45,5% a.a.
QQ = 30 dias
QT = 360 dias
ndu = 21 dias
1,455 [ENTER]
30 [ENTER]
360 []
[YX]
1 [ENTER]
21 []
[YX]
1 [-]
3000 [X] Resp: 4,47 % a.m.
TAXAS DE JUROS
MATEMÁTICA FINANCEIRA
68
(7) O senhor "Dúvida" pretende investir R$ 16.500.000,00 em uma aplicação no
"Banco dos Palmeirenses S/A" que paga 45,5% ao ano por 30 dias corridos e
correspondentes a 21 dias úteis. Suponha que o "Banco dos São Paulinos S/A"
pague 45% ao ano por 33 dias corridos e correspondentes a 22 dias úteis. Você foi
contratado como Gerente Financeiro(a) e encontra-se em período de experiência.
Na sua opinião, qual dos dois seria o melhor para o aplicador?
( )
1
1 1 3000
QQ ndu
QT
cTOE i
 
  
= + −   
   
Banco dos São Paulinos S/A
ic = 45% a.a.
QQ = 33 dias
QT = 360 dias
ndu = 22 dias
1,45 [ENTER]
33 [ENTER]
360 []
[YX]
1 [ENTER]
22 []
[YX]
1 [-]
3000 [X] Resp: 4,65 % a.m.
TAXAS DE JUROS
MATEMÁTICA FINANCEIRA
69
(8) Se o preço de um produto de dezembro de 2000 foi de R$ 1.580,00 e
em janeiro de 2001 foi de R$ 1.780,00, o índice de preço correspondente
foi de:
1 100p
FV
i
PV
 
= −  
 
1780 [ENTER]
1580 [÷]
1 [-]
100 [X]
Resp: 12,66% ao período
TAXAS DE JUROS
MATEMÁTICA FINANCEIRA
70
(9) Suponha que no mês-base o preço médio de uma cesta básica seja de
R$ 33,50 e nos 3 meses subseqüentes seja de R$ 42,85, R$ 65,00 e R$
72,25, respectivamente. Obter a inflação acumulada.
1
42,85
1 100 27,91
33,50
i
  
= −  =  
  
2
65
1 100 51,69
42,85
i
  
= −  =  
  
3
72,25
1 100 11,15
65
i
  
= −  =  
  
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 31 1 1 ... 1 1 100naci i i i i= +  +  +   + −   
1,2791 [ENTER]
1,5169 [X]
1,1115 [X]
1 [-]
100 [X]
Resp: 115,66% ao período
TAXAS DE JUROS
MATEMÁTICA FINANCEIRA
71
(10) Um capital foi aplicado por 1 ano,à taxa de juros de 11 % ao ano, e no
mesmo período a inflação foi de 9% ao ano. Qual a taxa real de juros?
( )
( )inf
1
1 100
1
r
i
i
i
 +
= −  
+ 
i = 11% a.a.
n = 1 ano
iinf = ?
1 [ENTER]
0,11 [+]
1 [ENTER]
0,09 [+]
[÷]
1 [-]
100 [X]
Resp: 1,83% a.a.
TAXAS DE JUROS
MATEMÁTICA FINANCEIRA
72
(11) Calcular a taxa mensal de juros pelo regime de capitalização simples 
para uma taxa de 60% ao ano e para o regime de juros composto por uma 
taxa de 79,59% ao ano. 
Juros Simples
60% a.a.→ 5% a.m.
( ) ( )1 1 100
QQ
QT
ceq
i i
 
= + −  
 
1,7959 [ENTER]
30 [ENTER]
360 [÷]
[YX]
1 [-]
100 [X]
Resp: 5% ao mês
ic = 79,59% a.a.
QQ = 30 dias
QT = 360 dias
TAXAS DE JUROS
MATEMÁTICA FINANCEIRA
73
(12) Uma indústria deseja ampliar a capacidade produtiva de sua fábrica.
Foi calculado que a taxa de retomo deste investimento é de 15,00% ao
ano. Sabe-se que esta fábrica possui uma rentabilidade real de seus
projetos de 5% ao ano. Qual será a rentabilidade real desse projeto se a
taxa de inflação do período for de 12,5% ao ano? Considerando a política
de rentabilidade da empresa, este projeto deve ser aceito?
( )
( )inf
1
1 100
1
r
i
i
i
 +
= −  
+ 
i = 15% a.a.
iinf = 12,5% a.a.
ir = ???
1,15 [ENTER]
1,125 [÷]
1 [-]
100 [X]
Resp: 2,22% ao ano. O projeto não deve ser aceito.
TAXAS DE JUROS
MATEMÁTICA FINANCEIRA
74
(13) Calcule a taxa acumulada e a média das taxas de 5%, 2%, 1%, -3,5%
e 4%.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 31 1 1 ... 1 1 100naci i i i i= +  +  +   + −    ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1
1 2 31 1 1 ... 1 1 100
n
nmédia
i i i i i= +  +  +  + −   
Taxa Acumulada
1,05 [ENTER]
1,02 [X]
1,01 [X]
0,965 [X]
1,04 [X]
1 [-]
100 [X]
8,56% ao período
Taxa Média
1,085604 [ENTER]
5 [1/X]
[YX]
1 [-]
100 [X]
1,66% ao mês
TAXAS DE JUROS
MATEMÁTICA FINANCEIRA
75
(14) Qual a melhor taxa para aplicação: 0,1 % ao dia ou 40% ao ano?
( ) ( )1 1 100
QQ
QT
ceq
i i
 
= + −  
 
0,1% ao dia
1,001 [ENTER]
30 [ENTER]
1 [÷]
[YX]
1 [-]
100 [X]
3,04% ao mês
40% ao ano
1,40 [ENTER]
30 [ENTER]
360 [÷]
[YX]
1 [-]
100 [X]
2,84% ao mês Resp: 0,1% ao dia
TAXAS DE JUROS
MATEMÁTICA FINANCEIRA
76
(15) Considere uma aplicação em CDB de 19,5% ao ano para um período
de 33 dias. Observe ainda que a taxa de inflação para o mesmo período foi
de 15% ao ano. Sabendo que o rendimento desta aplicação pagará
imposto de 15%, pergunta-se: Qual a taxa efetiva desta aplicação? Qual a
taxa Líquida? Qual a taxa real de juros?
Taxa Efetiva
1,195 [ENTER]
33 [ENTER]
360 []
[YX]
1 [-]
100 [X]
( ) ( )1 1 100
QQ
QT
ceq
i i
 
= + −  
 
Taxa Efetiva → 1,65% ao período.
TAXAS DE JUROS
MATEMÁTICA FINANCEIRA
77
(15) Considere uma aplicação em CDB de 19,5% ao ano para um período
de 33 dias. Observe ainda que a taxa de inflação para o mesmo período foi
de 15% ao ano. Sabendo que o rendimento desta aplicação pagará
imposto de 15%, pergunta-se: Qual a taxa efetiva desta aplicação? Qual a
taxa Líquida? Qual a taxa real de juros?
Taxa Efetiva da Inflação
1,15 [ENTER]
33 [ENTER]
360 []
[YX]
1 [-]
100 [X]
( ) ( )1 1 100
QQ
QT
ceq
i i
 
= + −  
 
Taxa Efetiva da inflação→ 1,289393% ao período.
TAXAS DE JUROS
MATEMÁTICA FINANCEIRA
78
(15) Considere uma aplicação em CDB de 19,5% ao ano para um período
de 33 dias. Observe ainda que a taxa de inflação para o mesmo período foi
de 15% ao ano. Sabendo que o rendimento desta aplicação pagará
imposto de 15%, pergunta-se: Qual a taxa efetiva desta aplicação? Qual a
taxa Líquida? Qual a taxa real de juros?
Taxa líquida
1º Determinar um PV (Capital)
PV = R$ 10.000,00
TAXAS DE JUROS
MATEMÁTICA FINANCEIRA
79
(15) Considere uma aplicação em CDB de 19,5% ao ano para um período
de 33 dias. Observe ainda que a taxa de inflação para o mesmo período foi
de 15% ao ano. Sabendo que o rendimento desta aplicação pagará
imposto de 15%, pergunta-se: Qual a taxa efetiva desta aplicação? Qual a
taxa Líquida? Qual a taxa real de juros?
Taxa líquida
2º Calcular o Rendimento utilizando a Taxa Efetiva (FV – PV)
10000 [CHS] [PV] 10165 [ENTER]
1 [n] 10000 [-]
1,65 [i]
[FV]
R$ 10.165,00 R$ 165,00
TAXAS DE JUROS
MATEMÁTICA FINANCEIRA
80
(15) Considere uma aplicação em CDB de 19,5% ao ano para um período
de 33 dias. Observe ainda que a taxa de inflação para o mesmo período foi
de 15% ao ano. Sabendo que o rendimento desta aplicação pagará
imposto de 15%, pergunta-se: Qual a taxa efetiva desta aplicação? Qual a
taxa Líquida? Qual a taxa real de juros?
Taxa líquida
3º Calcular o Rendimento Líquido (Rendimento menos os impostos)
RL = R x (1 – Taxa de Impostos)
165 [ENTER]
1 [ENTER]
0,15 [-]
[X] R$ 140,25
TAXAS DE JUROS
MATEMÁTICA FINANCEIRA
81
(15) Considere uma aplicação em CDB de 19,5% ao ano para um período
de 33 dias. Observe ainda que a taxa de inflação para o mesmo período foi
de 15% ao ano. Sabendo que o rendimento desta aplicação pagará
imposto de 15%, pergunta-se: Qual a taxa efetiva desta aplicação? Qual a
taxa Líquida? Qual a taxa real de juros?
Taxa líquida
4º Determinar a Taxa Líquida
Rendimento Líquido
Valor Presente
TL =
140,25 [ENTER]
10000 []
100 [X]
Resp: Taxa Líquida → 1,40% ao período
TAXAS DE JUROS
MATEMÁTICA FINANCEIRA
82
(15) Considere uma aplicação em CDB de 19,5% ao ano para um período
de 33 dias. Observe ainda que a taxa de inflação para o mesmo período foi
de 15% ao ano. Sabendo que o rendimento desta aplicação pagará
imposto de 15%, pergunta-se: Qual a taxa efetiva desta aplicação? Qual a
taxa Líquida? Qual a taxa real de juros?
Taxa Real
Resp: Taxa Real→ 0,356% ao período
( )
( )inf
1
1 100
1
r
i
i
i
 +
= −  
+ 
1 [ENTER] 0,0165 [+]
1 [ENTER] 0,01289393 [+]
[]
1 [-]
100 [X]