Série harmonica

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SÉRIE
HARMÔNICA
Beatriz dos Santos e Lara Alves
Início do século VI Antes de Cristo;
 Filósofo e matemático grego Pitágoras;
 
Sua descoberta possibilitou perceber
uma relação direta entre a melodia e a
harmonia. 
ORIGEM:
2
PO
R
TA
L 
TR
A
VE
SS
IA
S
Decrescente
DEFINIÇÃO:
Infinita
4
Soma
Nicole Oresme no século XIV provou que
a série harmônica diverge.
Agrupou valores em que a soma supere
1/2. Usando grupos em .
5
R
EV
IS
TA
S.
U
EC
E.
BR
DIVERGÊNCIA
6
DIVERGÊNCIA
A soma de cada agrupamento excede o valor de 1/2.
Repete os dois primeiros termos e em cada agrupamento
escolhemos o menor valor.
S=7/12
7
DIVERGÊNCIA
A soma dos elementos de cada agrupamento é igual a 1/2.
S =
S =
8
DIVERGÊNCIA
Obteremos:
S =
Série com infinitos grupos de número de somas maiores
que 1/2.
É uma série divergente.
DIVERGÊNCIA
9
R
EV
IS
TA
 D
IÁ
LO
G
O
S
Diverge muito lentamente.
Séries parciais das séries 
harmônicas:
1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/10 = 2,92…
1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/100 = 5,18…
1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/10000 = 9,78…
1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/1000000 = 14,39…
DIVERGÊNCIA
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SÉRIE HARMÔNICA
NA MÚSICA
“Qualquer som para ser musical teria que ter altura
definida, emitido por um instrumento ou por fonte natural,
resultando em uma vibração ondulatória regular. ” 
Som gerador ou
Som emitido
Sons harmônicosSom fundamental
Série harmônica
Outros sons, os
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13
Harmônicos
FUNCIONAMENTO DOS HARMÔNICOS
1
1/2
1/3
1/4
15
f
2f
4f
3f
-ORIGEM-
O MONOCÓRDIO
Tudo é harmônico e harmonia. 
MONOCÓRDIO
17
C
LU
BE
S 
D
E 
M
A
TE
M
Á
TI
C
A
 D
A
 O
BM
EP
EC
O
FL
A
U
TA
Feito por 2 cavaletes fixos nas pontas e com apenas 1
corda.
CONSONÂNCIAS PITAGÓRICAS
18
EC
O
FL
A
U
TA
1
1/2
1/3
1/4
1
1/2
1/3
1/4
No século XI
Guido d'Arezzo
criou as as claves. 19
Som fundamental
CENTRO DE MASSA
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CENTRO DE MASSA
Posição média de todas as partes do sistema de acordo
com a massa do objeto.
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