Atividade A4 - LABORATÓRIO DE MATEMÁTICA E FÍSICA

Prévia do material em texto

LABORATÓRIO DE MATEMÁTICA E FÍSICA
Se foi útil para você deixe um joinha 
Pergunta 1)
Suponha que o vetor posição image0155e67b8ea_20211112224248.gifde uma partícula P em movimento no espaço ℝ3 seja dado, em função do tempo, pela expressão image1315e67b8ea_20211112224248.gif. Os vetores image0615e67b8ea_20211112224248.gif, image0625e67b8ea_20211112224249.gif e image1235e67b8ea_20211112224249.gif possuem módulo unitário e estão alinhados, respectivamente, aos eixos x, y ou z de um sistema cartesiano de coordenadas.
A partir do exposto, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. O componente z da aceleração vetorial é zero.
II. A velocidade vetorial é image1325e67b8ea_20211112224249.gif.
III. A posição inicial da partícula é image1335e67b8ea_20211112224249.gif .
IV. A trajetória da partícula é helicoidal.
A seguir, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
Resposta ( ) V, V, V, V.
 Justificativa:
image1345e67b8ea_20211112224249.gif.
image1355e67b8ea_20211112224249.gif ?image1365e67b8ea_20211112224250.gif.
image1375e67b8ea_20211112224250.gif. Na direção z, o movimento é uniforme enquanto as coordenadas x e y possuem variações cossenoidais ou senoidais. Portanto, a partícula desenvolve trajetória helicoidal, ascendente, a partir do plano XY.
Pergunta 2)
Pela geometria euclidiana, três pontos distintos, P, Q e R, definem um plano, e suas coordenadas coincidem com os vértices de um triângulo. Além disso, o produto image1565e67b8ea_20211112224234.gif é definido image1575e67b8ea_20211112224234.gif em que image0275e67b8ea_20211112224234.gif é valor do ângulo entre os vetores. Considere os pontos de coordenadas seguintes em um sistema de eixos cartesianos: A(6, 9, 3), B(6, 3, -3) e C(6, 6, -6).
Com base no exposto, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
I. Os pontos A, B e C definem um triângulo retângulo.
PORQUE
II. O produto escalar image1585e67b8ea_20211112224234.gif.
 
A seguir, assinale a alternativa correta.
Resposta ( ) As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
Justificativa: São três pontos distintos em R 3
o que define os vértices de um triângulo. O produto escalarimage1595e67b8ea_20211112224235.gif= (0, -6, -6)image1605e67b8ea_20211112224235.gif (0, -3, 3) =image1615e67b8ea_20211112224235.gif. Significa que os vetoresimage0585e67b8ea_20211112224235.gif eimage1625e67b8ea_20211112224235.gif são ortogonais entre si e implica que o triângulo é retângulo em B.
Pergunta 3)
Segundo uma propriedade da geometria vetorial, o produto misto image0895e67b8ea_20211112224237.gif está relacionado ao volume do paralelepípedo definido por esses vetores. Considere os pontos seguintes e as suas coordenadas em um espaço euclidiano ℝ3: P(0, 1, 1), Q(1, 0, 2), R = (1, -2, 0) e S(-2, 2, -2). Eles definem os vetores image0905e67b8ea_20211112224237.gif = (1, -1, 1), image0915e67b8ea_20211112224237.gif = (1, -3, -1), image0925e67b8ea_20211112224237.gif = (-2, 1, -3), dentre outros.
A respeito desses vetores, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
I. Pertencem ao mesmo plano.
PORQUE
II. image0935e67b8ea_20211112224237.gif.
 
A seguir, assinale a alternativa correta.
Resposta ( ) As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
Justificativa: Pela propriedade da geometria vetorial de que um produto misto do tipoimage0955e67b8ea_20211112224238.gif está relacionado ao volume do paralelepípedo definido por esses vetores, temos que, paraimage0915e67b8ea_20211112224238.gif,image0925e67b8ea_20211112224238.gif eimage0965e67b8ea_20211112224238.gifconforme definidos no enunciado,image0945e67b8ea_20211112224238.gif X = 0. Como definem um volume que é nulo, os pontos P, Q, R e S necessitam pertencer ao mesmo plano.
Pergunta 4)
A figura a seguir representa um móvel que percorre uma trajetória em forma de segmento circular AB, no sentido anti-horário, no intervalo de tempo de 1 segundo. O raio R da trajetória possui valor R = 2 metros. Os vetores image0615e67b8ea_20211112224207.gif e image0625e67b8ea_20211112224207.gif são vetores canônicos e possuem módulo de valor unitário.
 
 
image0635e67b8ea_20211112224207.jpg
Fonte: Elaborada pelo autor.
Assinale a alternativa que indica os valores do módulo da velocidade vetorial média e da velocidade escalar média, respectivamente.
Resposta ( ) 3,7 m/s e 4,7 m/s.
 Justificativa:image0645e67b8ea_20211112224207.gif eimage0655e67b8ea_20211112224207.gif. Sendoimage0665e67b8ea_20211112224208.gif, então o módulo da velocidade vetorial média éimage0675e67b8ea_20211112224208.gifm/s. A velocidade escalar média no percurso AB, no mesmo períodoimage0685e67b8ea_20211112224208.gif = 1 s éimage0695e67b8ea_20211112224209.gif = 4,7 m/s.
Pergunta 5)
Considere um quadrado de vértices A, B, C e D. Inscrito a essa figura, há um losango de vértices E, F, G e H, sendo que esses coincidem com os pontos médios das arestas do quadrado. O ponto O é a interseção das diagonais do losango. Um vetor que porventura tenha origem no ponto I e término em J é representado por image0015e67b8ea_20211112224211.gif.
 
image0025e67b8ea_20211112224211.jpg
Fonte: Elaborada pelo autor.
A partir do exposto, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeiras e F para a(s) falsa(s).
I. (  )  image0035e67b8ea_20211112224211.gif image0045e67b8ea_20211112224212.gif.
II. (  )  image0055e67b8ea_20211112224212.gif // image0065e67b8ea_20211112224212.gif
III. (  )  image0075e67b8ea_20211112224212.gif.  
IV. (  )   image0085e67b8ea_20211112224212.gif.
A seguir, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
Resposta ( ) V, V, V, F.
Justificativa: Dois vetores, para serem equivalentes entre si, necessitam possuir mesmo módulo, direção e sentido. Como os vetoresimage0095e67b8ea_20211112224213.gif  eimage0105e67b8ea_20211112224213.gif possuem sentidos opostos, então são vetores distintos e a equivalênciaimage0115e67b8ea_20211112224213.gif está incorreta.
Pergunta 6) 
Dados dois vetores, image0375e67b8ea_20211112224214.gif = (ax, ay, az) e image0385e67b8ea_20211112224214.gif = (bx, by, bz), define-se como produtor escalar, representado por image0795e67b8ea_20211112224215.gif, o número real axbx
+ ayby + cxcy ou ao equivalente image0805e67b8ea_20211112224215.gif em que θ é o ângulo compreendido entre eles. Suponha, então, os vetores image0375e67b8ea_20211112224215.gif = (2, 1, m), image0385e67b8ea_20211112224215.gif = (m+2, -5, 2) e image0395e67b8ea_20211112224215.gif = (2m, 8, m).
Para quais valores de m os vetores resultantes das operações image0375e67b8ea_20211112224216.gif + image0385e67b8ea_20211112224216.gif e image0815e67b8ea_20211112224216.gif  serão ortogonais entre si? Assinale a alternativa correta.
Resposta ( ) m = -6 ou m = 3.
Justificativa: Para serem ortogonais entre si, é condição necessária que o ângulo entre os vetores sejaimage0825e67b8ea_20211112224216.gif. Assimimage0835e67b8ea_20211112224217.gif eimage0845e67b8ea_20211112224217.gif image0855e67b8ea_20211112224217.gif ouimage0865e67b8ea_20211112224217.gif.
Pergunta 7)
Nos estudos da Física, algumas grandezas necessitam que lhes sejam atribuídas uma direção e um sentido. Não é suficiente especificarmos somente o valor numérico e uma unidade). Essas grandezas são denominadas vetoriais. Muitas vezes, operações matemáticas simples, aplicadas sobre grandezas vetoriais, não são possíveis de serem realizadas pelo uso direto de uma calculadora.
A seguir, assinale a alternativa que lista grandezas cujas somas podem ser realizadas somente pelo uso direto de uma calculadora.
Resposta ( ) Massa, potência, resistência elétrica.
 Justificativa: Grandezas como massa, potência e resistência elétrica são denominadas escalares. Para defini-las completamente, basta conhecermos os valores numéricos e as unidades. O resultado da soma de várias massas, por exemplo, pode ser conhecido aplicando-se os valores individuais diretamente em umacalculadora. Basta que as unidades de medida utilizadas sejam as mesmas.
Pergunta 8)
Sejam image0375e67b8ea_20211112224243.gif e image0385e67b8ea_20211112224243.gif vetores em um plano cujo ponto O é origem comum a ambos. Ao vetor image0385e67b8ea_20211112224243.gif é permitido girar em torno de O, de modo que define um ângulo image0275e67b8ea_20211112224243.gif com image0375e67b8ea_20211112224243.gif. O produto escalar entre image0375e67b8ea_20211112224244.gif e image0385e67b8ea_20211112224244.gif, representado pela notação image1205e67b8ea_20211112224244.gif, é o valor numérico image1215e67b8ea_20211112224244.gif. O produto vetorial entre image0375e67b8ea_20211112224244.gif e image0385e67b8ea_20211112224244.gif, representado pela notação image1225e67b8ea_20211112224245.gif, é o vetor (aybz-azby)image0615e67b8ea_20211112224245.gif + (azbx-axbz)image0625e67b8ea_20211112224245.gif + (axby-aybx)image1235e67b8ea_20211112224245.gif que possui módulo image1245e67b8ea_20211112224245.gif.
 Considere os gráficos seguintes:
 
image1255e67b8ea_20211112224246.jpg
Fonte: Elaborada pelo autor.
Os valores numéricos dos produtos image1205e67b8ea_20211112224246.gif e image1265e67b8ea_20211112224246.gif podem ser representados, em função de image0275e67b8ea_20211112224246.gif, respectivamente, pelos gráficos:
Resposta ( ) IV e III.
 Justificativa: As variações numéricas dos produtos escalar e vetorial entreimage0375e67b8ea_20211112224246.gif eimage0385e67b8ea_20211112224246.gifsão, respectivamente, cossenoidais ou senoidais. Ambas as variações possuem amplitude 2ab, considerando-se que image1275e67b8ea_20211112224247.gif= a eimage1285e67b8ea_20211112224247.gif = b e, portanto, estão representados pelos gráficos IV e III.
Pergunta 9)
Uma grandeza relacionada à possibilidade de um corpo sofrer torção ou alterar rotações é denominada torque. Matematicamente, é definida image1785e67b8ea_20211112224301.gif em que image0155e67b8ea_20211112224301.gif é a posição de aplicação da força image1795e67b8ea_20211112224301.gif em relação ao eixo de rotação. Suponha a situação seguinte em que uma força de 10 N, no sentido positivo do eixo x, é aplicada sobre uma barra AB de 2 m de comprimento alinhada ao eixo y.
 image1805e67b8ea_20211112224302.jpg
Fonte: Elaborada pelo autor.
 
A partir do exposto, analise as afirmativas a seguir e a assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsas.
I. Nessa situação, o módulo do torque é image1815e67b8ea_20211112224302.gif.
II. Uma das unidades de medida do vetor image1825e67b8ea_20211112224302.gif é m.N.
III. O vetor  image1825e67b8ea_20211112224302.gifé ortogonal, simultaneamente, a image0155e67b8ea_20211112224302.gif e a image1835e67b8ea_20211112224303.gif.
IV. A orientação de image1825e67b8ea_20211112224303.gif coincide com a do vetor image1845e67b8ea_20211112224303.gif no eixo z.
 
A seguir, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
Resposta ( ) V, V, V, V.
 Justificativa:image1855e67b8ea_20211112224303.gif, porqueimage1865e67b8ea_20211112224303.gifX. Em relação às unidades de medidas, [image1875e67b8ea_20211112224304.gif] = [image1885e67b8ea_20211112224304.gif] ?  [image1875e67b8ea_20211112224304.gif] =  =image1895e67b8ea_20211112224304.gif= [L]image1605e67b8ea_20211112224305.gif[F], que é o produto de um comprimento por uma força, ou seja, pode ser metro x Newton ou m.N. O vetor resultado de um produto vetorial é ortogonal aos dois vetores multiplicadores. Pelos cálculos anteriores,image1905e67b8ea_20211112224305.gif, a direção do vetor torque é na direção do eixo z, mas com sentido oposto ao do vetorimage1235e67b8ea_20211112224305.gif.
Pergunta 10)
Dados dois vetores, e, o produto escalar entre eles é representado e definido por image1685e67b8ea_20211112224219.gif, em que image0275e67b8ea_20211112224219.gif é o ângulo subentendido entre eles. Suponha os pontos de coordenadas P(10k, 10, 0), Q(10k -1, 20K, 20) e R(10, 30, -10) em um sistema de eixos cartesianos.
Com base no exposto, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. (   ) Os pontos P, Q e R são distintos para qualquer k.
II. (   ) Os pontos P, Q e R definem um triângulo.
III. (   ) Se k = 1, o triângulo é retângulo no vértice P.
IV. (   ) Se k = 1, a área do triângulo é aproximadamente 500 u.a.
 
A seguir, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
Resposta ( ) V, V, V, F.
 Justificativa: Não há valor de k para o qualimage1695e67b8ea_20211112224219.gifeimage1705e67b8ea_20211112224220.gif eimage1715e67b8ea_20211112224220.gif o que implica que os pontos P, Q e R são distintos e três pontos distintos em R 3 definem um triângulo. Se k = 1 ?image1725e67b8ea_20211112224220.gif(-1, 10, 20)image1605e67b8ea_20211112224220.gif (0, 20, -10) = 0 cuja conclusão é a de que os vetores são ortogonais entre si e, portanto, o triângulo é retângulo em P, a sua área pode ser calculada: Área =image1735e67b8ea_20211112224220.gifu.a.