Exercício 1 - Cálculo Diferencial - D 20222 E - Unidade 3

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Cálculo Diferencial - D.20222.E 
Atividade de Autoaprendizagem 3 
Conteúdo do exercício 
1. Pergunta 1 
O estudo das funções trigonométricas é muito importante dentro do cálculo, sendo 
inclusive feitas substituições de variáveis por variáveis trigonométricas em cálculos de 
integrais muito complexas. Dessa forma, conhecer as regras de derivação para funções 
trigonométricas é essencial no estudo de Cálculo Diferencial e Integral. 
 
Considerando essas informações e os conteúdos estudados sobre derivada de funções 
trigonométricas, associe as funções a seguir com suas respectivas derivadas. 
1) 
2) 
3) 
4) 
( ) 
( ) 
( ) 
( ) 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
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1. 
 1, 3, 4, 2. 
Resposta correta 
2. 
 1, 2, 4, 3. 
3. 
 3, 1, 2, 4. 
4. 
1, 3, 2, 4. 
5. 
 3, 1, 4, 2. 
2. Pergunta 2 
O estudo do Cálculo Diferencial é repleto de interpretações geométricas acerca das 
curvas de funções. 
 
Considerando as funções e g(x)=x³−3 e com base nos seus conhecimentos acerca 
de funções compostas, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) 
verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
 
I. ( ) A inclinação da reta tangente à curva do gráfico de f(x) em x=½ é igual a 3/2. 
 
II. ( ) O gráfico de 3.f(x) é alongado verticalmente em relação ao gráfico de f(x). 
 
III. ( ) A derivada de c.g(x), onde c é constante, é igual a cx². 
 
IV. ( ) f(g(x)) possui derivada igual a f’(x)g(x)+f(x)g’(x). 
 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
V, V, F, F. 
Resposta correta 
2. 
F, F, F, V. 
3. 
 V, V, V, F. 
4. 
 V, V, V, F. 
5. 
 V, F, F, V. 
3. Pergunta 3 
As funções trigonométricas estão relacionadas ao círculo trigonométrico de raio 
unitário, e relacionam-se entre si de diversas maneiras. A tangente, por exemplo, é a 
razão entre seno e cosseno, e esses referem-se a comprimentos dentro desse círculo 
trigonométrico. Compreender e manipular suas derivadas é fundamental para o 
desenvolvimento dos estudos de Cálculo Diferencial e Integral. 
Considerando essas informações e os conteúdos estudados sobre derivada de funções 
trigonométricas, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F 
para a(s) falsa(s). 
I. ( ) A função trigonométrica f(x)=5cosx tem como derivada −5senx. 
II. ( ) A função f(x)=sen é uma função trigonométrica composta, que pode ser derivada 
pela regra da cadeia. 
III. ( ) As derivadas de f(x)=cosx e g(x)=senx são iguais a, respectivamente, f’(x)=senx e 
g’(x)=cosx. 
IV. ( ) A função f(x)=sen(3x)+1 tem sua derivada definida por f’(x)=cos(3x). 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
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1. 
 V, V, F, F. 
Resposta correta 
2. 
 V, F, V, V. 
3. 
 V, V, F, V. 
4. 
 F, F, V, F. 
5. 
 F, F, V, F. 
4. Pergunta 4 
Comumente são usadas funções polinomiais para descrever o custo que uma indústria 
tem para produzir determinado bem de consumo, e o valor derivado dessa função C(x), 
em x = a, é chamado de custo marginal para produzir um número ‘a’ de produtos, que 
representa a taxa em que o custo varia de acordo com o número de itens produzidos. 
 
Considerando a função custo C(x)=0,001x³+8x, em reais, o que foi exposto acima e seus 
conhecimentos sobre a derivadas e taxas de variação, analise as afirmativas a seguir, e 
assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
 
I. ( ) O custo marginal tem, para a função custo, o mesmo significado que a aceleração 
de um corpo tem para a função velocidade do mesmo. 
 
II. ( ) O custo marginal para x = 2000 é igual a R$ 1208/item. 
 
III. ( ) O custo marginal para x = 2000 pode ser obtido pela aproximação C(2001) – 
C(2000). 
 
IV. ( ) A derivada de C(x) não pode assumir valores negativos. 
 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
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1. 
 V, F, F, V. 
2. 
 V, V, V, F. 
3. 
 F, V, F, V. 
4. 
 F, V, V, F. 
5. 
 V, F, V, V. 
Resposta correta 
5. Pergunta 5 
O estudo de formas geométricas e seus gráficos, como parábolas, hipérboles e elipses, 
é muito importante para a disciplina de Cálculo, já que diversos fenômenos naturais 
são descritos por equações dessas formas. Considere, então, a parábola f(x)=x²+8 e a 
hipérbole g(x)=3/x. 
 
Considerando essas informações e seus conhecimentos sobre o significado da taxa de 
variação de uma função, é correto afirmar que: 
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1. 
nenhuma das funções possui taxa de variação em x=0. 
2. 
para x=0, a taxa de variação de f(x) é nula, assim como a de g(x). 
3. 
para x>0, a taxa de variação de f(x) será sempre positiva, e a 
de g(x) também. 
4. 
para x<0, a taxa de variação de f(x) sempre será positiva, e a 
de g(x) sempre será negativa. 
5. 
para x>0, a taxa de variação de f(x) sempre será positiva, e a 
de g(x) sempre será negativa. 
 
Resposta correta 
6. Pergunta 6 
 A estudo de taxas de variação tem importantes aplicações em fenômenos físicos, como 
o do movimento de corpos, o do escoamento de líquidos, o do fluxo de campos 
magnéticos, entre outros. 
Considerando a relevância dessas informações e dos seus conhecimentos sobre o 
significado das taxas de variação e sua relação com o estudo do Cálculo, analise as 
afirmativas a seguir. 
I. O limite de , quando x≥h, é conhecido como a derivada da função f em x=a, caso 
a função seja diferenciável nesse ponto. 
II. Encontrando a derivada da função em um ponto P(a,f(a)), para encontrar uma 
equação da reta tangente é possível substituir as coordenadas dos pontos e o valor da 
derivada na equação da reta, que pode ser escrita como y−f(a)=f’(a)(x−a). 
III. É impossível entender a derivada como uma função, pois ela é apenas uma taxa de 
variação da função no ponto que representa o ângulo de inclinação da reta tangente à 
função nesse mesmo ponto. 
IV. A reta tangente a f(x), que passa pelo ponto P(a,f(a)), tem inclinação igual 
a f’(a), que é a derivada de f(x), onde x=a. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
 I, e IV. 
2. 
 II e III. 
3. 
II e IV. 
4. 
I, II e IV. 
Resposta correta 
5. 
 I, II e III. 
7. Pergunta 7 
Diversas são as regras de derivação, que podem variar conforme a categoria da função, 
algébrica ou não, ou até mesmo por estaren explícitas ou não. Entre essas regras de 
derivação, há a regra do quociente. 
 
Acerca dessa regra de derivação, e considerando os conteúdos estudados, analise as 
afirmativas a seguir: 
 
I. Essa regra considera funções racionais. 
 
II. Essa regra não considera funções algébricas. 
 
III. Essa regra não considera funções constantes, pois a derivada dessa função é igual a 
zero. 
 
IV. A derivada do quociente entre duas funções é definida por [f(x)/g(x)]’=[f’(x)g(x)–
f(x)g’(x)]/[g(x)]2. 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
 I e III. 
2. 
 I e II. 
3. 
 II e IV. 
4. 
 I e IV. 
Resposta correta 
5. 
 III e IV 
8. Pergunta 8 
O Cálculo Diferencial é aplicado em diversas situações do cotidiano e serve como 
ferramenta nas diferentes ciências. 
 
Tendo em vista essas informações e os conhecimentos acerca das derivadas, analise as 
afirmações a seguir, referentes às suas aplicações. 
 
I. As derivadas podem ser aplicadas para interpretar a taxa de variação de custos de 
produção. 
 
II. As derivadas em pontos extremos da função são nulas, pois a reta tangente nesses 
pontos é horizontal. 
 
III. A derivada muito utilizada em problemas que envolvem movimento de objetos em 
queda livre. 
 
IV. Consegue-se mensurar a área sob a curva de uma função com base em sua 
derivada. 
 
Está correto apenas o que se afirma em: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
 I, II e III. 
Resposta correta 
2. 
 I, III eIV. 
3. 
 II, III e IV. 
4. 
 II e III. 
5. 
 I e IV. 
9. Pergunta 9 
As aplicações da derivada de uma função são inúmeras dentro da física, sendo que 
nosso primeiro contato com esses conceitos em física ocorre no estudo das 
velocidades instantâneas e sua relação com as equações horárias do espaço, 
velocidade (que é a taxa de variação da posição) e aceleração (que é a taxa de variação 
da velocidade). 
 
De acordo com as definições e propriedades do cálculo da derivada pelo limite e com 
seus conhecimentos sobre funções trigonométricas, analise as afirmativas a seguir e 
assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). 
 
I. ( ) A derivada de uma função sempre é calculável em um ponto no qual os limites 
laterais coincidirem. 
 
II. ( ) A função f(x)=tgx é diferenciável para qualquer valor real de x. 
 
III. ( ) A derivada da função g(x)=3x³+3x²+x, no ponto onde x=a, é g’(a)=(3a+1)². 
 
IV. ( ) Um objeto disparado ao ar tem altura dada por y=10t−5t². Assim sua velocidade 
quando t=2 é de -10m/s. 
 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: 
Ocultar opções de resposta 
1. 
V, V, F, F. 
2. 
 F, F, V, V. 
Resposta correta 
3. 
 V, F, F, V. 
4. 
 F, F, V, F. 
5. 
 F, V, F, V. 
10. Pergunta 10 
A diferenciabilidade de uma função depende de alguns fatores. Dizer isso significa que 
não podemos tomar toda e qualquer função como diferenciável em um ponto, pois, 
para isso, é necessário analisar seu comportamento geral na região de interesse. 
 
Considerando essas informações e os conteúdos estudados sobre funções 
diferenciáveis, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas. 
 
I. No ponto onde x=0, a derivada da função f(x)=1/x² não pode ser calculada. 
 
Porque: 
 
II. A função f(x) não é definida onde x=0, pois a reta tangente a f(x) nesse ponto é 
vertical. 
 
A seguir, assinale a alternativa correta: 
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1. 
A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira. 
2. 
As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma 
justificativa correta da I. 
3. 
 As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa 
correta da I. 
4. 
As asserções I e II são proposições falsas. 
5. 
 A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa. 
Resposta correta 
 
	Atividade de Autoaprendizagem 3