Questão resolvida - Determine as dimensões do retângulo de maior área possível que tem um lado sobre o eixo das abscissas e os outros dois vértices na parábola de equação y 8 x2, com y _ 0 - cálculo I

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• Determine as dimensões do retângulo de maior área possível que tem um lado sobre 
o eixo das abscissas e os outros dois vértices na parábola de equação , y = 8 − x2
com .y > 0
 
Resolução:
 
O esquema abaixo mostra como se dá a área de um retângulo com essas caracteristicas;
Da geométria plana, temos que a área de um retângulo qualquer é dada pela expressão;
 
A = b ⋅ h
 
Perceba, pelo o esquema, que a altura é dada pelos valores;h
 
h x = f x = 8 - x( ) ( ) 2
 
Por simetria, a base é dada por;
 
b x = 2x( )
 
 
h
b
f x = 8 - x( ) 2
x
y
Retângulo
 
 
Assim, a área de um retângulo qualquer, com um dos lados sobre o eixo dos e os outros 2 x
vertices na parábola, é dada por;
 
A x = 2x ⋅ 8 - x( ) 2
 
Distribuindo o termo da base dentro do parenteses, fica;
 
A x = 2x ⋅ 8 - x A x = 2x ⋅ 8 - 2x ⋅ x A x = 16x - 2x( ) 2 → ( ) 2 → ( ) 3
 
Agora, devemos encontrar os pontos críticos de . Para isso, vamos derivar a função A x( )
 e igualar essa derivada a zero e resolver a equação para ;A x( ) A x '( ( ) ) x
 
A x = 16x - 2x A' x = 16 - 3 ⋅ 2x A' x = 16 - 6x( ) 3 → ( ) 2 → ( ) 2
 
Igualando a zero e resolvendo para ;x
 
A' x = 0 16 - 6x = 0 -6x = - 16 x = x = x =( ) → 2 → 2 → 2
-16
-6
→
2
16
6
→
2
4
3
 
x = x = x = ⋅ x = x = u. m.
16
6
→
4
3
→
2
3
3
3
→
2 3
3
2
→
2
3
3
Devemos, agora, saber que tipo de ponto crítico ocorre para esse valor de encontrado. x
Vamos substituir, na derivada , um valor antes de ( e, outro valor, A' x( ) x =
2
3
3
x = 1)
depois de ( );x =
2
3
3
x = 2
 
Se x = 1 A' 1 = 16 - 6 ⋅ 1 A' 1 = 16 - 6 A' 1 = 10 > 0→ ( ) ( )2 → ( ) → ( )
 
 
Se 
x = 2 A' 2 = 16 - 6 ⋅ 2 A' 2 = 16 - 6 ⋅ 4 A' 2 = 16 - 24 A' 2 = - 8 < 0→ ( ) ( )2 → ( ) → ( ) → ( )
 
 
 
A derivada indicada crescimento e indica decrescimento, sendo > 0
dA' 1
db
( )
< 0
dA' 1
db
( )
assim, o ponto para é ponto de máximo para a área , pois;x =
2
3
3
A x( )
 
Com isso, a altura e a base máxima são;
 
 
h = u. m.Máx
20
3
 
 
b = b = 2 ⋅
2
3
3
Máx
2
3
3
 
b = u. m.Máx
4
3
3
 
Essa questão foi extraida da lista de cálculo I da UFMG que pode ser acessada em: 
https://www.passeidireto.com/arquivo/2581982/lista-de-exercicios-4-derivadas
 
 
DecresceCresce
- - - - - - - - - + + + + + + + + + 
2
3
3
h = 8 - h = h = 8 - = 8 -
2
3
3 2
3
3
2
→
2
3
3
Máx
2
3
( )2 3
2
( )2
4 ⋅ 3
9
 
 h = 8 - h =Máx
4
3
→ Máx
24 - 4
3
3
(Resposta - 1)
(Resposta - 2)