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RAFAEL HENRIQUE
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Home > Licenciatura Em Matemática Geometria Euclidiana Ii 2022.1 > Fórum (disciplina encerrada)
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Turma: 06 (SOB)
AULA 05 - Fórum 05: Volume e área de superfície
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Anexos
JOSE CARLOS
Aluno
26/05/2022 19:49 h
TIPOS DE CILINDRO:
Os cilindros são classificados como retos ou oblíquos.
Cilindro reto: Também conhecido como cilindro de revolução, suas geratrizes são perpendiculares às bases.
Cilindro oblíquo: Suas geratrizes são oblíquas às bases.
Os cilindros retos possuem a medida de comprimento da geratriz igual à medida da distância entre suas bases, ou seja, as geratrizes são congruentes à altura.
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FRANCISCO ROSIVALDO
Aluno
26/05/2022 19:19 h
GEOMETRIA ESPACIAL: cálculo de área e volume | CURSO GEOMETRIA ESPACIAL: cálculo de área e volume | CURSO ……
 
FRANCISCO ROSIVALDO
Aluno
26/05/2022 19:18 h
https://www.youtube.com/watch?v=6PpNrCkDwcM
fonte:https://beduka.com/blog/materias/matematica/area-perimetro-e-
volume/#:~:text=%C3%81rea%2C%20per%C3%ADmetro%20e%20volume%20s%C3%A3o,pela%20multiplica%C3%A7%C3%A3o%20das%20tr%C3%AAs%20di
FRANCISCO ROSIVALDO
Aluno
26/05/2022 19:18 h
FRANCISCO ROSIVALDO
Aluno
26/05/2022 19:10 h
Área do cilindro
Em um cilindro, consideramos as seguintes áreas:
a) área lateral (AL)
Podemos observar a área lateral de um cilindro fazendo a sua planificação:
Assim, a área lateral do cilindro reto cuja altura é h e cujos raios dos círculos das bases são r é um retângulo de dimensões :
b) área da base (AB): área do círculo de raio r.
c) área total (AT): soma da área lateral com as áreas das bases.
FONTE:https://www.somatematica.com.br/emedio/espacial/espacial16.php
MARIA ADRIELLY
Aluno
26/05/2022 15:30 h
Cilindro
O corpo redondo que possui duas faces circulares, congruentes e paralelas, denominadas bases e uma superficie, nomeada superficie lateral, arredonda, que pode
ser planificada, é chamado cilindro.
 
Elementos de um cilindro
Bases: são dois circulos congruentes situados em planos paralelos
Raio: é o raio da base
Eixo: é a reta que passa pelos centros das duas bases
Geratriz: são segmentos paralelos ao eixo do cilindro, cujas extremidades são pontos das circunferências das bases.
Altura: é a distância entre as bases.
 
Tipos de cilindro
Quando seu eixo é perpendicular à base, diz-se que o cilindro é reto; caso contrário, diz-se que o cilindro é oblíquo. O cilindro reto também pode ser
denominado cilindro de revolução, pois pode ser obtido ao rotacionar um retângulo ao redor de um de seus lados.
 
Planificação de um cilindro
A planificação de um cilindro reto é formado por um retângulo e pelos círculos das bases.
Um dos lados do retângulo é o comprimento do círculo da base
O outro lado coincide com a altura do cilindro
 
Secções de um cilindro
Ao traçar um plano paralelo às bases do cilindro, interceptando-os, sua intersecção vai gerar um círculo, ao qual se dá o nome de secção transversal. A mesma coisa
pode ser feita ao traçar um plano que contenha seu eixo. Nesse caso, sua intersecção vai gerar um retângulo ou um paralelogramo, dependendo do tipo do cilindro.
 
Essa intersecção recebe o nome de secção meridiana. Quando a secção meridiana for um quadrado, diz-se que o cilindro é equilátero.
 
Área de cilindros retos
Área lateral: é igual ao produto do comprimento do círculo da base pela altura: 
Área total: é a soma da área lateral com a área das bases da seguinte forma: 
 
Volume de um cilindro
PAULO RICARDO
Aluno
26/05/2022 18:35 h
2481215
Ótimo resumo sobre cilindros colega, deixou bem explicito os elementos de um cilindro, mas na área total do cilindro não seria : ?
JOSE DO
Aluno
25/05/2022 13:45 h
Cone
Definição 
Consideremos um círculo (região circular) de centro O e raio r situado num plano a e um ponto V fora de a. Chama-se 
cone circular ou cone à reunião dos segmentos de reta com uma extremidade em V e a outra nos pontos do círculo. 
Podemos também definir o cone como segue. 
Cone é a parte do cone ilimitado que contém o vértice quando se divide este cone pelo plano de uma seção circular, 
reunida com esta seção.
Elementos 
O conepossui: 
uma base: o círculo de centro O e raio r ou a seção citados acima. 
geratrizes: são os segmentos com uma extremidade em V e a outra nos pontos 
da circunferência da base. 
vértice: o ponto V citado acima. 
A altura de um cone é a distância entre o vértice e o plano da base. 
Superfícies 
Superfície lateral é a reunião das geratrizes. A área dessa superfície é chamada área lateral e indicada por At. 
Superfície total é a reunião da superfície lateral com o círculo da base. A área dessa superfície é chamada área total e indicada por At.
JOSE DO
Aluno
25/05/2022 13:48 h
2480798
Classificação 
Os cones podem ser classificados pela posição da reta VO em relação ao plano da base: 
Se a reta VO é oblíqua ao plano da base, temos um cone circular oblíquo. 
Se a reta VO é perpendicular ao plano da base, temos um cone circular reto. 
O cone circular reto é também chamado cone de revolução, pois é gerado pela rotação de um triângulo retângulo em torno de um eixo que contém um de seus
catetos.
O eixo de um cone é a reta determinada pelo vértice e pelo centro da base. 
A geratriz de um cone circular reto é também dita apótema do cone.
Seção meridiana 
É a interseção do cone com um plano que contém a reta VO. 
A seção meridiana de um cone circular reto ou cone de revolução é um triângulo isósceles.
Cone equilátero 
É um cone cuja seção meridiana é um triângulo equilátero.
JOSE DO
Aluno
25/05/2022 13:59 h
2480802
Áreas lateral e total 
214. A superfície lateral de um cone circular reto ou cone de revolução de raio da base r e geratriz 
g é equivalente a um setor circular de raio g e comprimento do arco . 
Isso significa que a superfície lateral de um cone de revolução desenvolvida num plano (planificada) 
é um setor circular cujo raio é g (geratriz) e comprimento do arco 
Sendo o ângulo do setor, este ângulo é dado por:
área lateral do cone pode então ser calculada como segue:
área de um setor circular é dada pela fórmula da área de um triângulo:
Assim, 
 
Área total
A área total de um cone é a soma da área lateral (Al) com a área da base 
JOSE DO
Aluno
26/05/2022 14:34 h
2480808
Volume do cone
Consideremos um cone de altura H1 = h e área da base B1 = B e um tetraedro de altura H2 = h e área da base B2 = B (o cone e a pirâmide têm alturas congruentes e
bases equivalentes). 
Suponhamos que os dois sólidos têm as bases num mesmo plano a e que os 
vértices estão num mesmo semiespaço dos determinados por a.
Qualquer plano secante paralelo a , distando h' dos vértices que seccionam o cone, também secciona o tetraedro, e sendo as áreas das seções B'1, e B'2, 
respectivamente, temos:
Como B1 = B2 = B, vem que B'1 = B'2. 
Então, pelo princípio de Cavalieri, o cone e o tetraedro têm volumes iguais. 
Vcone = Vtetraedro
Conclusão: O volume de um cone é um terço do produto da área da base pela medida da altura.
PAULO RICARDO
Aluno
26/05/2022 18:30 h
2480814
Muito boa sua explicação colega, ajuda bastante no entendimento sobre cones e como calcular determinadas medidas (área, volume).
PAULO RICARDO
Aluno
26/05/2022 16:44 h
75. Constrói-se um depósito em forma cilíndrica de 8m de altura e 2m de diâmetro. Determinar a superfície total do depósito.
2 metros de diametro = 1 metro de raio.
 
MIQUÉIAS PONTE
Aluno
26/05/2022 16:30 h
Exemplo de como calcular área de uma esfera.
MARIA ADRIELLY
Aluno
26/05/2022 16:20 h
MIQUÉIAS PONTE
Aluno
26/05/2022 16:27 h
2481234
Na geografia tem muitos usos realmente.
Em relação às estações, por exemplo.
MARIA ADRIELLY
Aluno
26/05/2022 16:23 h
 Deseja-se encher um tambor com água, sabendo que este tambor possui uma altura de 1 m e base com área de 20 m². Calcule a quantidade de água necessária para
enchê-lo.
Como um tambor é cilíndrico, a base é circular. Logo: A = π . r²
Assim, a área da base é:
20 = 3,14159 x r² ⇒ 20 / 3,14159 = r² ⇒ r = √6,366 = 2,5
Então, o raio da base é de aproximadamente 2,5 m
Agora que temos a medida do raio, vamos então calcular o volume.
V = Ab . h = π . r² . h = 3,14159 x (2,5)² x 1 = 19,474375
Portanto, para encher este tambor será necessário de aproximadamente 19,474375 m³ de água ou 19.474,375 litros de água.
MARIA ADRIELLY
Aluno
26/05/2022 16:21 h
Sabendo que uma esfera têm raio de 15 cm. Calcule a área do fuso esférico, com ângulo de 30°.
A área do fuso esférico é calculada pela fórmula: AFE = (α . π . r²) / 90
AFE = (30 . π . 15²) / 90 = 235,62 cm²
MARIA ADRIELLY
Aluno
26/05/2022 16:18 h
A esfera é um sólido limitado pela superfície esférica. É definida como um conjunto de pontos que distam do centro a uma mesma medida.
A esfera é uma figura tridimensional, e faz parte dos estudos da geometria espacial. É um tipo de figura geométrica que podemos obtê-la através da rotação de um
semicírculo em torno de seu próprio eixo.
Partes da Esfera
Ela é formada pelos seguintes elementos:
Superfície Esférica: a superfície é formada pelos pontos que estão distantes do centro na mesma medida do raio (r);
Cunha Esférica: a cunha esférica é a região que está entre dois semicírculos ligados ao eixo de rotação. Pode ser comparado a um gomo de uma laranja.
Fuso Esférico: o fuso é uma parte da superfície da esfera que é obtida através do giro de uma semicircunferência de um ângulo entre 0 e 2π. Podemos
comparar o fuso esférico como uma parte da casca de uma laranja;
Calota Esférica: a calota é a parte da esfera cortada por um plano. Como se pegássemos uma laranja e cortasse sua parte de cima;
Polos: os polos são os pontos que a superfície esférica se encontra com o eixo de rotação. Analogamente, é como os polos sul e norte da Terra;
Paralelo: paralelo é uma circunferência na superfície esférica formada por planos perpendiculares ao eixo de rotação. O maior paralelo é chamado de
Equador;
Meridiano: é uma circunferência na superfície esférica formada por uma interseção de um plano que tem o eixo de rotação.
MARIA ADRIELLY
Aluno
26/05/2022 16:13 h
Uma fábrica produz tijolos no formato de paralelepípedos e de cubos, com volume igual. Sabendo que os tijolos no formato de paralelepípedo têm 5 cm de largura,
10 cm de comprimento e 2 cm de altura. Qual é a medida dos lados dos tijolos que têm o formato de cubo?
Volume paralelepípedo = 10 x 5 x 2= 100 cm³
Como a questão diz que o paralelepípedo e o cubo possuem volumes iguais, então:
Volume paralelepípedo = Volume cubo
Considerando a como a medida da aresta do cubo, então:
Volume cubo = a³
Logo, as arestas dos tijolos com formato de cubo possuem um tamanho aproximado de 4,64 cm.
JOSE DO
Aluno
26/05/2022 14:40 h
Esfera
Consideremos um ponto O e um segmento de medida r. Chamase esfera de centro O e raio r ao conjunto dos pontos P do espaço, tais que a distância OP seja menor
ou igual a r. A esfera é também o sólido de revolução gerado pela rotação de um semicírculo em torno de um eixo que contém o diâmetro.
Superfície
Chama-se superfície da esfera de centro O e raio r ao conjunto dos pontos P do espaço, tais que a distância OP 
seja igual a r. A superfície de uma esfera é também a superfície de revolução gerada pela rotação de uma semicircunferência com extremidades no eixo.
Seção
Toda seção plana de uma esfera é um círculo. Se o plano secante passa pelo centro da esfera, temos como seção um círculo
máximo da esfera. Sendo r o raio da esfera, d a distância do plano secante ao centro e s o raio da seção, vale a relação: 
JOSE DO
Aluno
26/05/2022 14:43 h
2481188
Elementos: polos — equador — paralelo — meridiano
Polos relativos a uma seção da esfera são as extremidades do diâmetro perpendicular ao plano dessa seção. 
Considerando a superfície de uma esfera de eixo e, temos: 
Polos: são as interseções da superfície com o eixo. 
Equador: é a seção (circunferência) perpendicular ao eixo, pelo centro da superfície. 
Paralelo: é uma seção (circunferência) perpendicular ao eixo. É "paralela" ao equador.
Meridiano: é uma seção (circunferência) cujo plano passa pelo eixo.
JOSE DO
Aluno
26/05/2022 14:55 h
2481189
Distância polar
Distância polar é a distânciade um ponto qualquer de um paralelo ao polo. 
Um ponto A da superfície de uma esfera tem duas distâncias polares: P1 A e P2 A.
Sendo: 
r o raio da esfera, d a distância do plano de uma seção ao centro, p1 e p2 as distâncias polares de um ponto A. 
Usando relações métricas no P1 A P2, temos: 
JOSE DO
Aluno
26/05/2022 15:06 h
2481197
Área e volume
A área da superfície de uma esfera de raio r é igual a 
Volume da esfera
Consideremos um cilindro equilátero de raio da base r (a altura é 2r) e seja S o ponto médio do eixo do cilindro. Tomemos dois cones tendo como bases as do
cilindro e S como vértice comum 
(a reunião desses dois cones é um sólido chamado clépsidra). Ao sólido que está dentro do cilindro e fora dos dois cones vamos chamar de sólido X (este sólido X é
chamado anticlépsidra).
Consideremos agora uma esfera de raio r e o sólido X descrito na página anterior.
Suponhamos que a esfera seja tangente a um plano a, que o cilindro (que originou o sólido X) tenha base em a e que os dois sólidos, esfera e sólido X, estejam num
mesmo semiespaço dos determinados por a. Qualquer plano secante b, paralelo a a, distando d do centro da esfera (e do 
vértice do sólido X), também secciona o sólido X. Temos:
Área da seção na esfera = - Círculo
Área da seção no sólido X = - Coroa círcular
As áreas das seções na esfera e no sólido X são iguais; então, pelo princípio de Cavalieri, a esfera e o sólido X têm volumes iguais.
Mas
Conclusão: O volume de uma esfera de raio r é 
JOSE DO
Aluno
26/05/2022 15:18 h
2481200
Fuso esférico 
É a interseção da superfície de uma esfera com um diedro (ou setor diedral) cuja 
aresta contém um diâmetro dessa superfície esférica. 
O ângulo a, medida do diedro, medido na seção equatorial, é o que caracteriza 
o fuso.
Área do fuso 
Sendo a medida do diedro, temos:
a) com a em graus
b) com em radianos
Cunha esférica 
É a interseção de uma esfera com um diedro (ou setor diedral) cuja aresta contém o diâmetro da esfera. A cunha é caracterizada pelo raio da esfera e pela medida do
diedro.
 
RAFAEL HENRIQUE (Nota: 5.5) (Frequência: 1.5hs)
Aluno
25/05/2022 21:29 h
Volume do cone: o volume do cone corresponde a 1/3 do produto da área da base pela altura, calculado pela seguinte fórmula:
Donde:
𝑽 = volume 
𝝅 = 3,14 
𝒓: raio 
𝒉: altura
ANTONIA RODRIGUES
Aluno
26/05/2022 13:35 h
2481001
Exemplo: Um cone possui 21 cm de altura, e seu raio mede 10 cm. Qual é o volume desse cone?
JOSEANY DA
Aluno
26/05/2022 09:00 h
2481001
Aplicação:
Um recipiente no formato de um cone possui altura igual a 12 cm e o comprimento da circunferência da base igual a 52,7 cm. Utilizando π = 3,1, o volume
desse recipiente, aproximadamente, é de:
Primeiro encontraremos o seu raio. Sabemos que o comprimento da circunferência é calculado por:
C = 2πr
Substituindo os valores dados, temos que:
52,7 = 2 ⸳ 3,1 · r
52,7 = 6,2
r = 52,7 : 6,2
r = 8,5
Agora, calcularemos o volume:
ANTONIA RODRIGUES
Aluno
23/05/2022 20:22 h
- Dada uma esfera qualquer com raio 5 cm, qual o seu volume?
 
MIGUEL ANGELO
Tutor a Distância - UAB
24/05/2022 12:25 h
2479617
MUITO BOM ANTÔNIA.... ESSA ESFERA E ESSE CILINDRO TEM ALGUM EXEMPLO PRÁTICO DO NOSSO COTIDIANO??
AGUARDO PARTICIPAÇÃO DE TODOS.... TUDO VALE NOTA....
MIQUÉIAS PONTE
Aluno
26/05/2022 08:01 h
2479941
As esferas estão presentes em rolamentos, bolas, entre outros.
FRANCISCA JANAINA
Aluno
24/05/2022 20:34 h
2479941
O conceito de cilindro é muito importante. Nas cozinhas encontramos muitas aplicações do uso de cilindros, nas construções também, observamos
caixas para água, ferramentas, objetos, vasos de plantas, todos eles com formas cilíndricas, canos, alguns copos, latas de tinta, tambores, etc.
ANTONIA RODRIGUES
Aluno
24/05/2022 18:54 h
2479941
Exemplo de esfera: Bola de futebol, bola de bilhar...
Exemplo de cilindro: Lata de tinta, atabaque, lata de coca cola...
 
RAFAEL HENRIQUE (Nota: 5.5) (Frequência: 1.5hs)
Aluno
25/05/2022 21:36 h
A esfera é um sólido geométrico obtido através da rotação do semicírculo em torno de um eixo 
volume da Esfera - para calcular o volume da esfera, utiliza-se a fórmula:
Donde: 
𝑽𝒆 : volume da esfera 
𝝅 (Pi): 3,14 
𝒓: raio
RAFAEL HENRIQUE (Nota: 5.5) (Frequência: 1.5hs)
Aluno
25/05/2022 21:39 h
2481004
Exemplo
Qual o volume da esfera de raio cm?
resolução:
cm³
RAFAEL HENRIQUE (Nota: 5.5) (Frequência: 1.5hs)
Aluno
25/05/2022 21:33 h
O volume do cilindro é calculado a partir do produto da área da base pela altura (geratriz):
 ou 
Onde: 
𝑽: volume 
𝑨𝒃: área da base 
𝝅 (Pi): 3,14 
𝒓: raio 
𝒉: altura
RAIMUNDO NONATO
Aluno
23/05/2022 21:28 h
Volume da esfera é calculado com base no raio (r), que, em suma, é o único elemento constituinte desse solido. Existe mais de uma maneira de construir-se uma
esfera. Nesse sentido podemos pensar, por exemplo, na sobreposição de circunferencias, na qual os raios variam ou pela revolução de um semicírculo ou pelo
conjunto de pontos do espaço, em que a distância desses pontos até o centro da esfera é sempre menor ou igual ao raio.
RAIMUNDO NONATO
Aluno
23/05/2022 21:28 h
2479683
Como calcular o volume da esfera?
Considere uma esfera de raio r.
O volume da esfera é dado pela relação seguinte:
V = 4 · π · r³ 
 3 
MIGUEL ANGELO
Tutor a Distância - UAB
24/05/2022 12:23 h
2479684
MUITO BOM NONATO....ESSA ESFERA TEM ALGUM EXEMPLO PRÁTICO DO NOSSO COTIDIANO??
AGUARDO PARTICIPAÇÃO DE TODOS.... TUDO VALE NOTA....
ANTONIA RODRIGUES
Aluno
25/05/2022 20:41 h
2479937
Exemplo do cotidiano: Uma bola de ping-pong
FRANCISCA JANAINA
Aluno
25/05/2022 15:01 h
2479937
Os corpos esféricos possuem enorme importância no cotidiano de diversas atividades. Em alguns esportes, o formato esférico é representado pela
bola, que é o principal objeto no andamento das disputas de futebol, vôlei, basquete, boliche, golfe, entre outras modalidades esportivas. Nos
objetos móveis como bicicletas, carros e caminhões, o formato esférico está presente em componentes mecânicos responsáveis pela locomoção de
tais veículos. Nesses veículos, os rolamentos são formados por esferas que permitem que ocorra o giro de uma roda em um eixo.
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