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RAFAEL HENRIQUE
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Home > Licenciatura Em Matemática Geometria Euclidiana Ii 2022.1 > Fórum (disciplina encerrada)
Fórum
Turma: 06 (SOB)
AULA 06 - Fórum 06: Poliedros
Discussão das dúvidas e questões do portfólio
Fórum encerrado
Mostrando postagens primárias 1 a 20 do total de 61 primárias .
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Anexos
JOSE DO
Aluno
15/06/2022 10:33 h
Poliedros convexos
Superfície poliédrica limitada convexa 
Superfície poliédrica limitada convexa é a reunião de um número finito de polígonos planos e convexos (ou
regiões poligonais convexas), tais que: 
a) dois polígonos não estão num mesmo plano; 
b) cada lado de polígono não está em mais que dois polígonos; 
c) havendo lados de polígonos que estão em um só polígono, eles devem formar uma única poligonal fechada,
plana ou não, chamada contorno; 
d) o plano de cada polígono deixa os demais num mesmo semiespaço (condição de convexidade). 
As superfícies poliédricas limitadas convexas que têm contorno são chamadas abertas. As que não têm contorno
são chamadas fechadas. 
Elementos: uma superfície poliédrica limitada convexa tem: 
Faces: são os polígonos; 
Arestas: são os lados dos polígonos; 
Vértices: são os vértices dos polígonos; 
Ângulos: são os ângulos dos polígonos.
Nota 
Uma superfície poliédrica limitada convexa aberta ou fechada não é uma região convexa.
https://solar.virtual.ufc.br/messages/anybox?bread=menu_messages&contexts=1%2C2
https://solar.virtual.ufc.br/enrollments?bread=menu_registration&contexts=1
https://solar.virtual.ufc.br/discussions/17858/posts
https://solar.virtual.ufc.br/discussions/17858/posts
https://solar.virtual.ufc.br/discussions/17858/posts
https://solar.virtual.ufc.br/discussions/17858/posts?page=2
https://solar.virtual.ufc.br/discussions/17858/posts?page=3
https://solar.virtual.ufc.br/discussions/17858/posts?page=4
https://solar.virtual.ufc.br/discussions/17858/posts?page=2
JOSE DO
Aluno
15/06/2022 10:34 h
2491156
Poliedro convexo
Consideremos um número finito n(n > 4) de polígonos planos convexos (ou regiões poligonais convexas) tais que: 
a) dois polígonos não estão num mesmo plano; 
b) cada lado de polígono é comum a dois e somente dois polígonos; 
c) o plano de cada polígono deixa os demais polígonos num mesmo semiespaço.
Nessas condições, ficam determinados n semiespaços, cada um dos quais tem origem no plano de um polígono e
contém os restantes. A interseção desses semiespaços é chamado poliedro convexo. 
Um poliedro convexo possui: faces, que são os polígonos convexos; arestas, que são os lados dos polígonos e
vértices, que são os vértices dos polígonos. 
A reunião das faces é a superfície do poliedro.
JOSE DO
Aluno
15/06/2022 10:40 h
2491157
Congruência 
Dois poliedros são congruentes se, e somente se, é possível estabelecer uma correspondência entre seus elementos
de modo que as faces e os ângulos poliédricos de um sejam ordenadamente congruentes às faces e ângulos
poliédricos do outro. 
Da congruência entre dois poliedros sai a congruência das faces, arestas, ângulos e diedros.
FRANCISCO ROSIVALDO
Aluno
15/06/2022 19:45 h
2491162
excelente explanação colega!
JOSE DO
Aluno
15/06/2022 10:47 h
2491162
Relação de Euler
Para todo poliedro convexo, ou para sua superfície, vale a relação 
V - A + F = 2 
em que V é o número de vértices, A é o número de arestas e F é o número de faces do poliedro.
Demonstração: 
a) Por indução finita referente ao número de faces, vamos provar, em caráter preliminar, que, para uma superfície
poliédrica limitada convexa aberta, vale a relação:
Va + Aa + Fa = 1
em que 
Va é o número de vértices, 
Aa é o número de arestas e 
Fa é o número de faces da superfície poliédrica limitada aberta. 
1) Para Fa = 1. 
Neste caso a superfície se reduz a um polígono plano convexo de n lados e, então, Va = n, Aa = n. Temos: 
Va - Aa + Fa = n - n + 1 = 1 ⇒ Va - Aa + Fa = 1. 
Logo, a relação está verificada para Fa = 1. 
 
JOSE DO
Aluno
15/06/2022 10:49 h
2491165
b) Tomemos a superfície de qualquer poliedro convexo ou qualquer superfície poliédrica limitada convexa fechada
(com V vértices, A arestas e F faces) e dela retiremos uma face. Ficamos, então, com uma superfície aberta (com
Va vértices, Aa arestas e Fa faces) 
para a qual vale a relação 
Va - Aa + Fa = 1. 
Como 
Va = V, Aa = A e Fa = F 2 1, vem V - A + (F 2 1) = 1, ou seja: 
V - A + F = 2 
Nota: O teorema de Euler está ligado a um conceito que engloba o de poliedro convexo, razão pela qual vale para
este.
JOSE DO
Aluno
15/06/2022 10:49 h
2491168
Poliedro euleriano 
Os poliedros para os quais é válida a relação de Euler são chamados poliedros eulerianos. 
Todo poliedro convexo é euleriano, mas nem todo poliedro euleriano é convexo.
 
JOSE DO
Aluno
15/06/2022 10:51 h
2491169
Um poliedro convexo de onze faces tem seis faces triangulares e cinco faces quadrangulares. Calcule o número de
arestas e de vértices do poliedro.
Número de arestas: 
nas 6 faces triangularestemos 6 x 3 arestas e nas 5 faces quadrangulares 5 x 4 arestas. 
Cada aresta é comum a duas faces; todas as arestas foram contadas 2 vezes. Então: 
2A= 6 x 3 + 5 x 4 ⇒ 2A = 38 ⇒ A = 19. 
Número de vértices: 
com F = 11 e A = 19 na relação V - A + F = 2, temos:
V - 19 + 11 = 2, ou seja, V = 10.
MIGUEL ANGELO
Tutor a Distância - UAB
10/06/2022 11:46 h
BOM DIA A TODOS
VAMOS FORMENTAR ESTE NOSSO ULTIMO FORUM....
 
AGUARDO PARTICIPAÇÃO DE TODOS...POIS TUDO VALE NOTA ... 
 
OBS: PRETENDO CORRIGIR AS PROVAS E LANÇAR NO SISTEMA ESSE FINAL DE SEMANA...OBG A
TODOS
PAULO RICARDO
Aluno
15/06/2022 12:11 h
2489298
tutor, serão duas avaliações parciais? achei estranho por que tirei 8 na avaliação e minha média ficou muito baixa.
FRANCISCO ROSIVALDO
Aluno
15/06/2022 19:44 h
2491187
Acredito que ainda possua correçaõ de foruns e portfolios colega!
RAIMUNDO NONATO
Aluno
13/06/2022 20:33 h
2489298
Olá professor, gostaria de saber como fica as frequências que valem 8,2 h mas lá só tem 8 horas. Tô com medo de
reprovar por falta 😩
ANTONIA RODRIGUES
Aluno
14/06/2022 09:42 h
2490508
Também fiquei com essa dúvida, além disso no forúm mesmo tirando 10 não está com frequência máxima. 
MARIA BIANCA
Aluno
15/06/2022 14:52 h
O que são poliedros?
Conhecemos como poliedro todo sólido geométrico que possui faces formadas por polígonos, por exemplo as
pirâmides, que possuem faces laterais formadas por triângulos, ou uma caixa, que possui faces formadas por
paralelogramos, entre vários objetos presentes no cotidiano. Os elementos mais importantes de um poliedro são as
faces, os vértices e as arestas.
https://escolakids.uol.com.br/matematica/poligonos.htm
Elementos do poliedro.
Tipos de poliedros: convexos e côncavos
Os poliedros podem ser classificados como convexo ou côncavo (não convexo). Um poliedro é conhecido
como convexo se ele possui as faces formadas por polígonos convexos. Ao escolher quaisquer dois pontos do
poliedro, se o segmento que liga esses dois pontos pertencer ao poliedro, então ele é convexo; caso o segmento
tenha partes que não pertencem ao poliedro, então ele é côncavo, como a seguir:
Poliedros de Platão ou poliedros regulares
Os poliedros de Platão são casos particulares de poliedros convexos, são os poliedros regulares, ou seja, sólidos
geométricos que possuem arestas congruentes e faces formadas por polígonos iguais. Conhecemos, ao todo, cinco
poliedros de Platão, são eles:
tetraedro
hexaedro
octaedro
dodecaedro
icosaedro
Sólidos de Platão.
Tetraedro
O tetraedro é o primeiro poliedro regular, ele tem todas as faces formadas por triângulos equiláteros, possuindo
quatro faces, o que justifica o seu nome. Além disso, ele possui quatro vértices e seis arestas.
https://escolakids.uol.com.br/matematica/triangulos.htm
Hexaedro
O segundo sólido de Platão é o hexaedro, conhecido também como cubo. Ele possui seis faces formadas
por quadrados. Além disso, ele possui 12 arestas e oito vértices.
Octaedro
O octaedro é o terceiro sólido de Platão. Ele possui faces formadas por triângulos equiláteros, sendo formado
por oito faces, seis vértices e 12 arestas.
https://escolakids.uol.com.br/matematica/quadrados.htm
https://escolakids.uol.com.br/matematica/triangulo-equilatero.htm
Dodecaedro
Sendo o quinto sólido de Platão, o dodecaedro possui faces formadas por pentágonos regulares, sendo formado
por 12 faces, 20 vértices e 30 arestas.
Icosaedro
O sexto e último sólido de Platão é o icosaedro, com faces formadas por triângulos equiláteros. O icosaedro
possui 20 faces, 12 vértices e 30 arestas.
Relação de Euler
Existe uma fórmula que relaciona a quantidade de vértices, faces e arestas de poliedros convexos. É conhecida
como relação de Euler e é dada pela fórmula:
V + F = A + 2
V → número de vértices
F → número de faces
A → número de arestas
FRANCISCO ROSIVALDO
Aluno
15/06/2022 19:44 h
2491223
Poliedros são sólidos geométricos limitados por polígonos. Os poliedros são classificados em pirâmides ou
prismas, que são variações da mesma definição.
JOSEANY DA
Aluno
15/06/2022 19:29 h
Um poliedro convexo tem 9 faces e 16 arestas. Desse modo, o total de vértices desse poliedro é:
a) 12 
b) 9 
c) 15 
d) 11 
e) 10
FRANCISCO ROSIVALDO
Aluno
15/06/2022 19:42 h
2491316
A Relação de Euler nos diz que a soma da quantidade de vértices com a quantidade de faces é igual
a quantidade de arestas mais 2.
 
Sendo,
V = quantidade de vértices
F = quantidade de faces
A = quantidade de arestas
temos que a Relação de Euler é igual a V + F = A + 2.
 
De acordo com o enunciado, a quantidade de faces é igual a 9 e a quantidade de arestas é igual a 16, ou seja, F =
9 e A = 16.
 
Substituindo esses valores na relação, obtemos:
V + 9 = 16 + 2
V + 9 = 18
V = 9.
JOSEANY DA
Aluno
15/06/2022 19:30 h
2491316
Inserindo todas as informações cedidas pelo enunciado no Teorema de Euler:
V + F = A + 2 
V + 9 = 16 + 2 
V = 18 – 9 
V = 9 
Letra b
MARIA BIANCA
Aluno
15/06/2022 14:55 h
Relação de Euler
Se, em um poliedro convexo, V é o número de vértices, F é o número de faces e A é o número de arestas, então
vale a relação:
V+F=A+2
Observação: todo poliedro convexo obedece à relação de Euler, já os poliedros côncavos podem obedecê-la ou não.
Poliedros regulares
Um polígono regular é aquele em que todos os seus lados possuem a mesma medida e todos os ângulos internos
são congruentes entre si.
Considerando tal definição, observe a definição de poliedro regular. Um poliedro é chamado regular se, e somente
se:
É convexo.
Todas as suas faces são formadas por polígonos regulares e congruentes entre si.
Todos os vértices formam ângulos congruentes.
Existem 5, e somente 5, tipos de poliedros regulares. São eles:
MARIA BIANCA
Aluno
15/06/2022 14:53 h
vamos resolver um exemplo abaixo;
Um poliedro possui 9 arestas e 6 vértices, então, o número de faces desse poliedro é igual a:
A) 2
B) 3
https://www.infoescola.com/matematica/area-de-poligonos-regulares/
https://www.infoescola.com/matematica/angulos/
C) 4
D) 5
E) 6
Resolução
Alternativa D
Aplicando a fórmula de Euler, temos que:
V + F = A + 2
6 + F = 9 + 2
6 + F = 11
F = 11 – 6
F = 5
JOSE DO
Aluno
15/06/2022 11:05 h
Poliedros de Platão 
124. Definição 
Um poliedro é chamado poliedro de Platão se, e somente se, satisfaz as três seguintes condições: 
a) todas as faces têm o mesmo número (n) de arestas; 
b) todos os ângulos poliédricos têm o mesmo número (m) de arestas; 
c) vale a relação de Euler (V - A + F = 2).
JOSE DO
Aluno
15/06/2022 11:14 h
2491174
Propriedade 
Existem cinco, e somente cinco, classes de poliedros de Platão. 
Demonstração: 
Usando as condições que devem ser verificadas por um poliedro de Platão, temos: 
a) cada uma das F faces tem n arestas (n < 3), e como cada aresta está em duas faces: 
b) cada um dos V ângulos poliédricos tem m arestas (m > 3), e como cada aresta contém dois vértices: 
c) V - A + F = 2 (3)
Substituindo (1) e (2) em (3) e depois dividindo por 2A, obtemos:
Sabemos que n > 3 e m > 3. Notemos, porém, que se m e n fossem simultaneamente maiores que 3 teríamos:
o que contraria a igualdade (4), pois A é um número positivo. 
Concluímos então que, nos poliedros de Platão, m = 3 ou n = 3 (isto significa que um poliedro de Platão possui,
obrigatoriamente, triedro ou triângulo):
JOSE DO
Aluno
15/06/2022 11:24 h
2491178
1º) Para m = 3 (supondo que tem triedro). 
Em (4) vem: 
Então, n = 3 ou n = 4 ou n = 5 
(respectivamente faces triangulares ou quadrangulares ou pentagonais). 
2º) Para n 5 3 (supondo que tem triângulo). 
Em (4): 
Então, m = 3 ou m = 4 ou m = 5 
(respectivamente ângulos triédricos ou tetraédricos ou pentaédricos). 
Resumindo os resultados encontrados no 1o e no 2o, concluímos que os poliedros de Platão são determinados pelos
pares (m, n) da tabela ao lado, sendo, portanto, cinco, e somente cinco, as classes de poliedros de Platão.
Consequência: 
Para saber o número de arestas A, o número de faces F e o número de vértices V de cada poliedro de Platão, basta
substituirem (4) os valores de m e n encontrados e depois trabalhar com (1) e (2). 
Exemplo: 
Uma das possibilidades encontradas para m e n foi m = 3 e n = 5. 
Com esses valores em (4), temos: 
Em (2):
Em (1): 
Como é o número de faces que determina o nome, o poliedro de nosso exemplo é dodecaedro. 
Notemos que m 5 3 significa ângulos triédricos (ou triedros) e n 5 5, faces pentagonais.
JOSE DO
Aluno
15/06/2022 11:26 h
2491179
Nomes dos poliedros de Platão
Procedendo como indicamos no problema acima, temos, em resumo:
JOSE DO
Aluno
15/06/2022 11:26 h
2491180
Poliedros regulares 
Um poliedro convexo é regular quando: 
a) suas faces são polígonos regulares e congruentes; 
b) seus ângulos poliédricos são congruentes.
 
JOSE DO
Aluno
15/06/2022 11:27 h
2491181
Propriedade 
Existem cinco, e somente cinco, tipos de poliedros regulares. 
Demonstração: 
Usando as condições para um poliedro ser regular, temos: 
a) suas faces são polígonos regulares e congruentes, então todas têm o mesmo número de arestas; 
b) seus ângulos poliédricos são congruentes, então todos têm o mesmo número de arestas. 
Por essas conclusões temos que os poliedros regulares são poliedros de Platão
e portanto existem cinco e somente cinco tipos de poliedros regulares: tetraedro 
regular, hexaedro regular, octaedro regular, dodecaedro regular e icosaedro regular.
Observação 
Todo poliedro regular é poliedro de Platão, mas nem todo poliedro de Platão é 
poliedro regular.
JOSE DO
Aluno
15/06/2022 11:03 h
Propriedade 
A soma dos ângulos de todas as faces de um poliedro convexo é 
S = (V - 2) x 4r 
em que V é o número de vértices e r é um ângulo reto. 
Demonstração: 
V, A e F são, nessa ordem, os números de vértices, arestas e faces do poliedro. 
Sejam n1, n2, n3, ..., nF os números de lados das faces 1, 2, 3, ... F, ordenadamente. 
A soma dos ângulos de uma face é (n - 2) x 2r. 
Para todas as faces, temos: 
S = (n1 - 2) x 2r + (n2 - 2) x 2r + (n3 - 2) x 2r + ... + (nF - 2) x 2r = n1 x 2r - 4r + n2 x 2r - 4r + n3 x 2r - 4r + ...
+ nF x 2r - 4r = 
(n1 + n2 + n3 + ... + nF) x 2r - 4r - 4r - ... - 4r 
 F vezes 
Sendo n1 + n2 + n3 + ... 1 nF = 2A 
(pois cada aresta foi contada duas vezes em n1 + n2 + n3 + ... + nF),
Substituindo, vem: 
S = 2A x 2r - F x 4r ⇒ S = (A - F) x 4r. (1) 
Como vale a relação de Euler, 
V - A + F = 2 ⇒ V - 2 = A - F. (2) 
Substituindo (2) em (1), temos: 
S = (V - 2) x 4r
MARIA BIANCA
Aluno
15/06/2022 10:56 h
Questão 95. Um dodecaedro convexo possui todas as faces pentagonais. Quantas arestas possui esse poliedro?
O mais harmonioso e soberano dos sólidos Platônicos é o dodecaedro que, segundo Platão, representa o
universo ou o cosmos. É constituído por doze pentágonos e não se divide em outros poliedros regulares.
Possui 30 arestas, 20 vértices e 12 faces pentagonais.
 
 
 
MIQUÉIAS PONTE
Aluno
15/06/2022 09:56 h
Questão proposta para o fórum.
 
Anexos
 CamScanner_06-15-2022_09.52.pdf(97.35 KB) 
FRANCISCA JANAINA
Aluno
15/06/2022 09:39 h
Para calcular a soma das medidas dos ângulos internos das faces de um poliedro sabendo somente o número de
arestas utilize a relação que segue:
S = 360º . ( V - 2)
Onde: 
S = soma dos ângulos internos 
V = vértices 
Por exemplo: Dados 8 vértices de um cubo, calcule a soma de seus ângulos internos. 
Resposta: 
S = 360º . (8 - 2) = 2160º
BENEDITO DOS
Aluno
14/06/2022 15:22 h
Os sólidos de Platão são conhecidos como os únicos poliedros regulares, ou seja, todas as faces são iguais. Dos
poliedros a seguir, são considerados sólidos de Platão, exceto:
A) cubo.
https://solar.virtual.ufc.br/posts/2491145/post_files/45716/download
B) dodecaedro.
C) tetraedro.
D) paralelepípedo.
E) icosaedro.
Eis um desafio facil para exercitar.
FRANCISCA JANAINA
Aluno
15/06/2022 09:36 h
2490775
Alternativa D
Da lista, o único que não é um sólido de Platão é o paralelepípedo.
PAULO RICARDO
Aluno
14/06/2022 18:05 h
2490775
Alternativa D.
O paralelepípedo não possui todas as faces iguais, muitas vezes seu comprimento é maior que sua altura e
profundidade ( como uma caixa de sapatos por exemplo). Se um paralelepípedo possui todas as faces iguais ele é
um cubo.
 
FRANCISCA JANAINA
Aluno
15/06/2022 09:34 h
Poliedros de Platão
Classificamos como poliedro de Platão aquele que obedece oTeorema de Euler e, além
disso, apresenta o mesmo número de arestas em cada face e em cada vértice.
Exemplos: Uma pirâmide quadrangular não é um poliedro de Platão porque a base - é um quadrado -
possui 4 arestas enquanto os lados - são triângulos- possuem 3 arestas . Um tetraedro é um poliedro de
Platão, assim como um cubo também é um poliedro de Platão.
Existem 5 poliedros de platão: Tetraedro, Octaedro, Icosaedro, Hexaedro e Dodecaedro
JOSEANY DA
Aluno
14/06/2022 18:42 h
Exemplo: (Fuvest) O número de faces triangulares de uma pirâmide é 11. Pode-se, então, afirmar que essa pirâmide
possui:
A) 33 vértices e 22 arestas.
B) 12 vértices e 11 arestas.
C) 22 vértices e 11 arestas.
D) 11 vértices e 22 arestas.
E) 12 vértices e 22 arestas.
JOSEANY DA
Aluno
14/06/2022 18:43 h
2490837
Alternativa E. A pirâmide possui todas as faces laterias no formato de triângulos. Além dessas 11 faces
triangulares, há somente mais 1 face, a face da base, que é formada por um polígono de 11 lados e 11 vértices, já
que há 11 faces triangulares. Além dos 11 vértices da base, esse polígono possui também o chamado vértice da
pirâmide. Assim sendo, esse poliedro possui 12 vértices. Pela relação de Euler, temos que:
V + F = A + 2
12 + 12 = A + 2
24 = A + 2
A = 24 – 2
A = 22
Portanto, 12 vértices e 22 arestas.
FRANCISCA JANAINA
Aluno
13/06/2022 17:53 h
De forma bem resumida podemos definir que os poliedros são sólidos, formas geométricas de três
dimensões sem lados arredondados. Estes lados são as faces (F) do poliedro.
Ao encontro das faces, damos o nome de arestas (A).
Os vértices são os pontos em que três ou mais arestas se encontram.
RAIMUNDO NONATO
Aluno
13/06/2022 20:31 h
2490383
O desenho ajuda demais nas questões. Assim fica facílimo entender 
PAULO RICARDO
Aluno
14/06/2022 18:08 h
2490506
Com certeza, é muito mais fácil de entender conceitos geométricos quando possuímos imagens de referência.
ANTONIA RODRIGUES
Aluno
14/06/2022 09:40 h
2490383
Pensando nos nossos futuros alunos, o desenho ajuda a entender a difereça de cada.
MIQUÉIAS PONTE
Aluno
14/06/2022 10:36 h
2490688
Sim, e também a forma geométrica fora do papel seria mais uma forma de explicação.
MIGUEL ANGELO
Tutor a Distância - UAB
14/06/2022 16:36 h
BOA TARDE A TODOS
VAMOS FORMENTAR ESTE NOSSO ULTIMO FORUM....
AGUARDO PARTICIPAÇÃO DE TODOS...POIS TUDO VALE NOTA ... 
BENEDITO DOS
Aluno
14/06/2022 15:26 h
Um poliedro de Platão chama-se regular se todas suas faces são polígonos regulares.
BENEDITO DOS
Aluno
14/06/2022 15:16 h
Se V, A e F são, respectivamente, o número de vértices, arestas e faces de um poliedro convexo, então:
V - A + F = 2
Ex: Sabendo que um poliedro possui 20 vértices e que em cada vértice se encontram 5 arestas, determine o número
de faces dessa figura. 
Temos que o número de vértices é igual a 20 → V = 20
As arestas que saem e chegam até o vértice são as mesmas, então devemos dividir por dois o número total de
arestas. Veja:
 
De acordo com a relação de Euler, temos que:
F + V = A + 2 
F + 20 = 50 + 2 
F = 52 – 20 
F = 32
O poliedro em questão possui 32 faces
BENEDITO DOS
Aluno
14/06/2022 15:07 h
Um poliedro é convexo se dados quaisquer dois pontos pertencentes a superfície desse poliedro, o segmento que
tem esses pontos como extremidades está inteiramente contido no poliedro. Caso exista algum segmento que não
satisfaça essa condição, trata-se de um poliedro côncavo.
O Poliedro 1 é côncavo e o Poliedro 2 é convexo.
BENEDITO DOS
Aluno
14/06/2022 14:55 h
o estudo dos poliedros é uma extensão do estudo dos prismas e das pirâmides.
Poliedro é todo sólido geométrico que possui todas as faces formadas por polígonos.Os poliedros estão presentes
a todo momento no espaço em que vivemos. Poliedros são sólidos geométricos cujas faces são formadas por
polígonos. Os poliedros são os sólidos geométricos que possuem faces formadas por polígonos.
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