Lista de exercícios 1 (1)

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Universidade de Pernambuco - Campus Petrolina
Colegiado de Licenciatura em Matemática
Universidade de Pernambuco – Campus Petrolina
Colegiado de Licenciatura em Matemática
Geometria Espacial – 2022.2
Prof. João Paulo Carneiro
Estudante: Danilo de Castro Macedo
Lista de exercícios 1
Exemplo 1.9.: Quantos e quais planos distintos podem ser formados com os pontos A, B, C e D não coplanares?
Para a determinação de um plano, precisamos de três pontos distintos e não colineares. Sendo assim, possível formar 4 planos. ABD,ABC,CDB,ACD.
Teorema 1.17.: Prove a existência de retas reversas.
 Questão 2.: Quantas retas há no espaço? Demonstre.
Dado dois ponto distintos A e B. Determina uma reta s. Seja C u ponto no espaço , fora da reta s. os pontos A e C determina uma reta r. os pontos B e C determina uma reta p. Dessa forma podemos construir ´´tantas retas, quantas quisermos´´. Sabendo que existe infinitos pontos no espaço.
 C.Q.D!
Questão 3.: Quantas e quais são as retas determinadas por pares de pontos A, B, C e D, dois a dois distintos, se:
a) A, B e C são colineares?
Dado três pontos colineares A,B e C. formando uma reta s e o ponto D não colinear a reta. Sendo assim podemos formar cinco retas. Visto que , estar de acordo com o axioma da existência de reta.
C.Q.D!
b) b) A, B, C e D não são coplanares?
Se A B C e D são pontos que não estão num mesmo plano, isso significa que podemos combiná-los dois a dois para formar retas distintas. Sendo assim, 4 pontos distintos e não coplanares podemos formar 6 retas.
C.Q.D!
Questão 6.: É comum encontrarmos mesas com 4 pernas que, mesmo apoiadas em um piso plano, balançam e nos obrigam a colocar um calço em uma das pernas se a quisermos firme. Explique, usando argumentos de geometria, por que isso não acontece com uma mesa de 3 pernas.
 A mesa na balança porque quando tem três pernas ela três pontos e esses pontos determina um plano. Que coincide com o plano do piso.
C.Q.D!
Questão 8.: Quantos planos passam por dois pontos distintos?
 Dado dois pontos distintos A e B, eles forma uma reta s. como sabemos no espaço existe infinitos pontos nao colinear a reta s. fazendo com que exista infinitos planos que contém dois pontos distintos.
C.Q.D!
Questão 9.: Prove que duas retas paralelas distintas e uma concorrente com as duas são
coplanares.
 Dado duas retas paralelas distintas r e s elas determina um plano alfa.
	Tomamos a reta t concorrente com as retas r e s. com isso dois pontos da reta que concorre, pertence a plano alfa. portanto, a reta t está no plano alfa. As três retas são coplanares.
	C.Q.D!
Questão 15.: Mostre que as diagonais de um quadrilátero reverso são reversas.
Questão 16.: Duas retas distintas r e s, reversas a uma terceira reta t, são reversas entre si?
 
Obs: Muito trabalhoso fazer os desenhos pelo word, no caderno tenho todos feitos. fiquei sem entender as questões 15, 16
 
 
Questão 18.: Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F):
a) Duas retas ou são coincidentes ou são distintas.
b) Duas retas ou são coplanares ou são reversas. 
c) Duas retas distintas determinam um plano.
d) Duas retas concorrentes têm um ponto comum.
e) Duas retas concorrentes têm um único ponto comum.
f) Duas retas que têm um ponto comum são concorrentes.
g) Duas retas concorrentes são coplanares.
h) Duas retas coplanares são concorrentes.
i) Duas retas distintas não paralelas são reversas.
j) Duas retas que nãoêm ponto comum são paralelas.
k) Duas retas que não têm ponto comum são reversas. 
l) Duas retas coplanares ou são paralelas ou são concorrentes.
m) Duas retas não coplanares são reversas.
l) Duas retas coplanares ou são paralelas ou são concorrentes.
m) Duas retas não coplanares são reversas.
 
 
Questões da aula youtube :
	
As questões serão baseadas nesse desenho
A) comprimento das arestas laterais ?
AP²-(√2)²+2²=√6
B) cosseno do ângulo que uma aresta lateral faz com o plano da base?
Cos= C.A/H → √2/√3
C) Cosseno do ângulo entre os planos (PBC) e (ABC)?
Cos= C.A/H = 1/√5 = √5/5
 
D) Cosseno do ângulo entre PA e PB ?
2²=(√6)²+( √6)²-2.√6. √6. COS α
4=6+6-12.COS α
4=12-12. COS α
COS α=8/12=2/3
E) cosseno do ângulo entre as retas AD e PB?
Cos= C.A/H=1/√2=√2/2
F) 	distancia de O ao plano PBC?
√5d=2.1
D=2/√5
G) distancia da reta AD ao plano PBC?
 	2d=4/√5
 
 
Obs: Muito trabalhoso fazer os desenhos pelo word, no caderno tenho todos feitos, dessas questões do vídeo so fiquei sem entender a letra F e G. 
Bom trabalho!