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10.5 – Momento angular 
Unidades S.I.: kg.m2/s 
 vmrprL 

×=×=
v
O 
r
L

Direção e sentido: regra da mão direita 
Módulo: mvlmrvLL === φsen

φ
φ
l
m
(momento angular de uma partícula) 
Relação entre momento angular e torque: 
( ) vmr
dt
d
dt
Ld 

×= 




 ×+




 ×=
dt
vdmrvm
dt
rd  
( ) ( )amrvmv  ×+×= 
0 
τ

=×= Fr
dt
Ld


=τ (análogo a ) dt
pdF

=
Momento angular de corpo rígido girando em torno de um eixo: 
Dividimos o CR em fatias: 
Fatia do 
CR girando 
em torno 
do eixo z 
Momento angular 
da i-ésima 
partícula 


90seniiiii vrmLL ==
( )ωiii rrm= ω2iirm=
Somando por todas as 
partículas da fatia: 
ω





= ∑ 2i
i
irmL ωI=
(análogo a ) mvp =
Outra fatia 
do CR 
girando em 
torno de z 
Partícula 
movendo-se 
para fora do 
plano 
Partícula 
movendo-se 
para dentro 
do plano 
Somando por todas as fatias: 
Se o eixo de rotação for um eixo 
de simetria, o momento angular 
terá a mesma direção do eixo 
Assim: ω
 IL =
dt
Ld


=τ
De maneira semelhante, 
partindo da equação para 
uma partícula: 
E somando por todas as partículas do CR, obtemos: 
dt
Ld


=∑τ (aqui contribuem apenas os torques externos) 
10.6 – Conservação do momento angular 
dt
Ld


=∑τ Se a resultante dos torques externos for nula: 
0=
dt
Ld

constante=⇒ L

Exemplo: patinadora no gelo 
zffziiz IIL ,, ωω ==
Ao fechar os braços, a 
patinadora reduz o momento 
de inércia ( ), de modo 
que a velocidade angular 
aumenta ( ). 
if II <
if ωω >
http://www.youtube.com/watch?NR=1&v=htVsVA2m1_w 
Vídeo: “Physics Demonstrations in Mechanics II-9” 
Demonstração: cadeira giratória 
Um gato em queda livre conserva o momento angular? 
http://www.youtube.com/watch?v=Ua4Gh_4XdwQ 
Exemplo: Y&F 10.11 
Análise do movimento: 
http://www.youtube.com/watch?v=yGusK69XVlk 
Exemplo: Y&F 10.14 
Problema: Y&F 10.98 (centro de percussão) 
Vídeo: “Physics Demonstrations in Mechanics II-11” 
10.7 – Giroscópios e precessão 
Demonstração: roda de bicicleta 
Caso 1: roda parada 
Vista de cima 
Caso 2: roda girando 
Vista de cima 
Precessão do 
momento angular 
Momento 
angular inicial 
da roda 
Outros exemplos: precessão do eixo de rotação da Terra, precessão 
do pião (demonstração) 
Vídeo: “Physics Demonstrations in Mechanics VI-5” 
Cálculo da velocidade angular de precessão: 
Em um intervalo dt, o 
momento angular e o eixo de 
rotação da roda precessionam 
por um ângulo dφ 
Velocidade angular de precessão 
(no caso do eixo de rotação 
ortogonal ao eixo de precessão): 
dt
dφ
=Ω
dt
LLd

=
L
τ
=
ωI
mgr
=
Exemplo: torque na precessão do eixo de rotação da Terra 
rad/s1066,7
s108,2
rad 2 anos rev/26.000 1 12-11 ×=×
==Ω
π
N.m1042,2)sen(26,5
)sen(26,5
22×=Ω=⇒=Ω 

L
L
ττ
s
kg.m1007,7
24h
rad 2
5
2 2332 ×=










==
πω MRIL
Cinemática de uma partícula Rotação de um CR 
Posição Ângulo 
Velocidade Velocidade angular 
Aceleração Aceleração angular 
Massa Momento de inércia 
 
Energia cinética 
 
Energia cinética 
 
Força Torque 
2a. Lei 
 
2a. Lei 
Trabalho Trabalho 
Potência Potência 
Momento linear Momento angular 
2a. Lei 
 
 
2a. Lei 
dt
pdF
vmp
vFP
dxFdW
maF
F
mv
m
a
v
x
xx
x
xextx
x
x
x
x


=
=
=
=
=∑ ,
2
2
1
Completando a analogia cinemática linear e rotação de CR: 
dt
Ld
IL
P
ddW
I
I
I
zz
z
zextz
z
z
z
z



=
=
=
=
=∑
τ
ω
ωτ
θτ
ατ
τ
ω
α
ω
θ
,
2
2
1
Próximas aulas: 
6a. Feira 18/11: Aula de Exercícios (sala A-327) 
4a. Feira 23/11: Aula de Exercícios (sala A-327) 
6a. Feira 25/11: Aula de Revisão e Testes dos Caps. 9 e 10 (sala A-327) 
2a. Feira 28/11: P2 
 
 
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