05_Matematica_Financeira ESPECÍFICA

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aConceitos gerais - O conceito do valor do dinheiro no tempo; Capital, juros, taxas de juros; 
Capitalização, regimes de capitalização; Fluxos de caixa e diagramas de fluxo de caixa; 
Equivalência financeira. Juros simples - Cálculo do montante, dos juros, da taxa de juros, 
do principal e do prazo da operação financeira. Juros compostos - Cálculo do montante, 
dos juros, da taxa de juros, do principal e do prazo da operação financeira. Sistemas de 
amortização - Sistema price; Sistema SAC ................................................................................. 1
Questões ................................................................................................................................... 33
Gaabrito ..................................................................................................................................... 39
BANCO DO BRASIL S.A
Escriturário – Agente Comercial 
Matemática Financeira
1746599 E-book gerado especialmente para GABRIELE DE SOUZA RODRIGUES
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Conceitos gerais - O conceito do valor do dinheiro no tempo; Capital, juros, taxas de juros; Ca-
pitalização, regimes de capitalização; Fluxos de caixa e diagramas de fluxo de caixa; Equiva-
lência financeira. Juros simples - Cálculo do montante, dos juros, da taxa de juros, do principal 
e do prazo da operação financeira. Juros compostos - Cálculo do montante, dos juros, da taxa 
de juros, do principal e do prazo da operação financeira. Sistemas de amortização - Sistema 
price; Sistema SAC
Juros simples (ou capitalização simples) 
Os juros são determinados tomando como base de cálculo o capital da operação, e o total do juro é devi-
do ao credor (aquele que empresta) no final da operação. Devemos ter em mente:
– Os juros são representados pela letra J*.
– O dinheiro que se deposita ou se empresta chamamos de capital e é representado pela letra C (capital) 
ou P(principal) ou VP ou PV (valor presente) *.
– O tempo de depósito ou de empréstimo é representado pela letra t ou n.*
– A taxa de juros é a razão centesimal que incide sobre um capital durante certo tempo. É representado 
pela letra i e utilizada para calcular juros.
*Varia de acordo com a bibliografia estudada.
ATENÇÃO: Devemos sempre relacionar a taxa e o tempo na mesma unidade para efetuarmos os 
cálculos.
Usamos a seguinte fórmula: 
Em juros simples:
– O capital cresce linearmente com o tempo;
– O capital cresce a uma progressão aritmética de razão: J=C.i
– A taxa i e o tempo t devem ser expressos na mesma unidade. 
– Devemos expressar a taxa i na forma decimal.
– Montante (M) ou FV (valor futuro) é a soma do capital com os juros, ou seja:
M = C + J 
M = C.(1+i.t) 
Exemplo: 
(PRODAM/AM – Assistente – FUNCAB) Qual é o capital que, investido no sistema de juros simples e à 
taxa mensal de 2,5 %, produzirá um montante de R$ 3.900,00 em oito meses?
(A) R$ 1.650,00
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(B) R$ 2.225,00
(C) R$ 3.250,00
(D) R$ 3.460,00
(E) R$ 3.500,00
Resolução:
Montante = Capital + juros, ou seja: j = M – C , que fica: j = 3900 – C ( I )
Agora, é só substituir ( I ) na fórmula do juros simples:
390000 – 100.C = 2,5 . 8 . C
– 100.C – 20.C = – 390000 . (– 1)
120.C = 390000
C = 390000 / 120
C = R$ 3250,00
Resposta: C
Juros compostos (capitalização composta)
A taxa de juros incide sobre o capital de cada período. Também conhecido como “juros sobre juros”.
Usamos a seguinte fórmula: 
O (1+i)t ou (1+i)n é chamado de fator de acumulação de capital.
ATENÇÃO: as unidades de tempo referentes à taxa de juros (i) e do período (t), tem de ser necessaria-
mente iguais.
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O crescimento do principal (capital) em:
– juros simples é LINEAR, CONSTANTE;
– juros compostos é EXPONENCIAL, GEOMÉTRICO e, portanto tem um crescimento muito mais “rápi-
do”;
Observe no gráfico que:
– O montante após 1º tempo é igual tanto para o regime de juros simples como para juros compostos;
– Antes do 1º tempo o montante seria maior no regime de juros simples;
– Depois do 1º tempo o montante seria maior no regime de juros compostos.
Exemplo: 
(PREF. GUARUJÁ/SP – SEDUC – PROFESSOR DE MATEMÁTICA – CAIPIMES) Um capital foi aplicado 
por um período de 3 anos, com taxa de juros compostos de 10% ao ano. É correto afirmar que essa apli-
cação rendeu juros que corresponderam a, exatamente:
(A) 30% do capital aplicado.
(B) 31,20% do capital aplicado.
(C) 32% do capital aplicado.
(D) 33,10% do capital aplicado.
Resolução:
Como, M = C + j , ou seja , j = M – C , temos:
j = 1,331.C – C = 0,331 . C
0,331 = 33,10 / 100 = 33,10%
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Resposta: D
Juros Compostos utilizando Logaritmos
Algumas questões que envolvem juros compostos, precisam de conceitos de logaritmos, principalmente 
aquelas as quais precisamos achar o tempo/prazo. Normalmente as questões informam os valores do 
logaritmo, então não é necessário decorar os valores da tabela.
Exemplo: 
(FGV-SP) Uma aplicação financeira rende juros de 10% ao ano, compostos anualmente. Utilizando para 
cálculos a aproximação de , pode-se estimar que uma aplicação de R$ 1.000,00 seria resgatada no mon-
tante de R$ 1.000.000,00 após:
(A) Mais de um século.
(B) 1 século
(C) 4/5 de século
(D) 2/3 de século
(E) ¾ de século 
Resolução:
A fórmula de juros compostos é M = C(1 + i)t e do enunciado temos que M = 1.000.000, C = 1.000, i = 
10% = 0,1:
1.000.000 = 1.000(1 + 0,1)t
 (agora para calcular t temos que usar logaritmo nos dois lados da equação para pode utilizar a 
propriedade , o expoente m passa multiplicando)
 
t.0,04 = 3
Resposta: E
Taxas de juros
Índices fundamentais no estudo da matemática financeira, sendo incorporadas sempre ao capital. São 
elas:
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Taxa efetiva: são aquelas onde a taxa da unidade de tempo coincide com a unidade de tempo do período 
de capitalização(valorização). Exemplo: Uma taxa de 13% ao trimestre com capitalização trimestral.
ATENÇÃO: Quando no enunciado não estiver citando o período de capitalização, a mesma vai coincidir 
com unidade da taxa. Em outras palavras iremos trabalhar com taxa efetiva!!!
Taxa nominal: são aquelas cujas unidade de tempo NÂO coincide com as unidades de tempo do período 
de capitalização. 
Exemplo: 
(TJ/PE- ANALISTA JUDICIÁRIO-CONTADOR-FCC) Uma taxa de juros nominal de 21% ao trimestre, com 
juros capitalizados mensalmente, apresenta uma taxa de juros efetiva, trimestral de, aproximadamen-
te,
(A) 21,7%.
(B) 22,5%.
(C) 24,8%.
(D) 32,4%.
(E) 33,7%.
Resolução:
21% a. t capitalizados mensalmente (taxa nominai), como um trimestre tem 3 meses, 21/3 = 7% a.m(taxa 
efetiva).
im = taxa ao mês 
it= taxa ao trimestre.
(1+im)3 = (1+it)  (1+0,07)3 = 1+it  (1,07)3 = 1+it  1,225043 = 1+it  it= 1,225043-1  it = 0,225043 x 
100  it= 22,5043%
Resposta: B
ATENÇÃO: Para resolução de questões com taxas nominais devemos primeiramente descobri a taxa 
efetiva (multiplicando ou dividindo a taxa)
Toda taxa nominal traz implícita uma taxa efetiva que deve ser calculada proporcionalmente.
Taxas proporcionais (regime de juros simples): são taxas em unidade de tempo diferente que aplicadas 
sobre o mesmo capital ao mesmo período de tempo irão gerar o mesmo montante. 
Exemplo:
(PREF. FLORIANÓPOLIS/SC – AUDITOR FISCAL – FEPESE) A taxa de juros simples mensais de 4,25% 
equivalente à taxa de:
(A) 12,5% trimestral.
(B) 16% quadrimestral.
(C) 25,5% semestral.
(D) 36,0% anual.
(E) 52% anual.
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Resolução:
Sabemos que taxas a juros simples são ditas taxas proporcionais ou lineares. Para resolução das ques-
tões vamos avaliar item a item para sabermos se está certo ou errado:
4,25% a.m
Trimestral = 4,25 .3 = 12,75 (errada) 
Quadrimestral = 4,25 . 4 = 17% (errada)Semestral= 4,25 . 6 = 25,5 % (correta)
Anual = 4,25.12 = 51% (errada)
Resposta: C
Taxas equivalentes (regime de juros compostos): as taxas de juros se expressam também em função do 
tempo da operação, porém não de forma proporcional, mas de forma exponencial, ou seja, as taxas são 
ditas equivalentes. 
Exemplo:
Taxa Real, Aparente e Inflação
– Taxa real (ir) = taxa que considera os efeitos da inflação e seus ganhos.
– Taxa aparente (ia) = taxa que não considera os efeitos da inflação (são as taxas efetivas/nominais).
– Taxa de inflação (ii) = a inflação representa a perda do poder de compra.
Escrevendo todas as taxas em função uma das outras, temos: 
(1+ia) = (1+ir).(1+ii)
Onde:
, independe da quantidade de períodos e do regime de 
juros.
Descontos
É a diferença entre o valor título (valor nominal) e o valor recebido (valor atual).
D = N – A
Onde:
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D = desconto
N = valor nominal
A = valor atual
ATENÇÃO: Comparando com o regime de juros, observamos que:
– o Valor Atual, ou valor futuro (valor do resgate) nos dá ideia de Montante;
– o Valor Nominal, nome do título (valor que resgatei) nos dá ideia de Capital;
– e o Desconto nos dá ideia de Juros.
Os descontos podem ser:
Desconto racional simples (por dentro): nos passa a ideia de “honesto”, pois todas a taxas são cobradas 
em cima do valor atual (A) do título. Associando com os juros simples teremos:
Também podemos escrever a seguinte fórmula:
Exemplo: 
(ASSAF NETO) Seja um título de valor nominal de R$ 4.000,00 vencível em um ano, que está sendo li-
quidado 3 meses antes de seu vencimento. Sendo de 42% a.a. a taxa nominal de juros corrente, pede-se 
calcular o desconto e o valor descontado desta operação.
N = 4 000
t = 3 meses
i = 42% a.a = 42 / 12 = 3,5% a.m = 0,035
D = ?
Vd = ?
Vd = 4 000 – 380,10 = 3 619,90
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Desconto comercial simples ou bancário (por fora): nos passa a ideia de que alguém está “levando” um 
por fora, pois, todas as taxas são cobradas em cima do valor nominal (N) do título. O valor nominal é 
sempre maior e é justamente onde eles querem ganhar.
• Desconto comercial (bancário) acrescido de uma taxa pré-fixada: quando se utiliza taxas pré-fixadas 
aos títulos, que são as taxas de despesas bancárias/administrativas (comissões, taxas de serviços, ...) 
cobradas sobre o valor nominal (N). Fazemos uso da seguinte formula:
Dc = N. (i.t + h)
Onde:
Dc = desconto comercial ou bancário
N = valor nominal
i = taxa de juros cobrada
t = tempo ou período
h = taxa de despesas administrativas ou bancárias.
Exemplo:
Um banco ao descontar notas promissórias, utiliza o desconto comercial a uma taxa de juros simples de 
12% a.m.. O banco cobra, simultaneamente uma comissão de 4% sobre o valor nominal da promissória. 
Um cliente do banco recebe R$ 300.000,00 líquidos, ao descontar uma promissória vencível em três me-
ses. O valor da comissão é de:
Resolução:
h = 0,04
t = 3
iB = 0,12 . 3
AB = N . [1 - (iB + h)]
300 000 = N . [1 - (0,12.3 + 0,04)]
300 000 = N . [1 – 0,4]
N = 500 000
Vc = 0,04 . N
Vc = 0,04 . 500 000
Vc = 20 000
Resposta: 200 000
– Relação entre Desconto Comercial (Dc) e Desconto Racional (Dr): para sabermos o valor do desconto 
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caso fosse utilizado o desconto comercial e precisássemos saber o desconto racional e vice-versa, utili-
zamos a seguinte relação: Dc = Dr . (1 + i.t)
Desconto Racional Composto (por dentro): as fórmulas estão associando com os juros compostos, assim 
teremos:
Desconto Comercial Composto (por fora): como a taxa incide sobre o Valor Nominal (maior valor), troca-
mos na fórmula o N pelo A e vice-versa, mudando o sinal da taxa (de positivo para negativo).
Exemplo: 
(PREFEITURA DE SÃO PAULO/SP - AUDITOR FISCAL MUNICIPAL – CETRO) Com adiantamento de 
dois meses do vencimento, um título de valor nominal de R$30.000,00 é descontado a uma taxa compos-
ta de 10% a.m.. A diferença entre o desconto racional composto e o desconto comercial composto será 
de:
(A) R$246,59.
(B) R$366,89.
(C) R$493,39.
(D) R$576,29.
(E) R$606,49.
Resolução:
N = 30000
t = 2 meses
i = 10% am = 0,10
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Vamos utilizar a formula do Drc:
N = A(1 + i)t  30.000= A (1+ 0,1)2  30000 = A (1,1)2  30000 = A.1,21 
A = 30000 / 1,21 = 24793,39
Como D = N – A 
D = 30000 – 24793,39
Drc = 30.000 - 24.793,39 = 5206,61
Para o desconto comercial composto (lembre-se que a taxa recaí sobre o nominal, então trocamos na 
formula o A pelo N e vice e versa e mudamos o sinal), temos:
A = N.(1 - i)t 
A = 30000 . (1 - 0,1)2 
A = 30000 . 0,81 
A = 24300
Como D = N – A 
D = 30000 – 24300 = 5700, que é o desconto comercial composto
A diferença será dada pelo módulo, uma vez que sabemos que o Desconto Comercial é maior que o ra-
cional: |Drc - Dcc| 
|5.206,61 - 5.700 | = 493,39
Resposta: C
Equivalência de capitais
Dois ou mais capitais que se encontram em datas diferentes, são chamados de equivalentes quando, 
levados para uma mesma data, nas mesmas condições, apresentam o mesmo VALOR nessa data.
• Equação de Valor
Va1 + Va2 + Va3 + … = Vaa + Vab + Vac + …
• Resolução de Problemas de Equivalência
1. leia o problema todo;
2. construa, a partir do enunciado do problema, um diagrama de fluxo de caixa esquemático, colocando 
na parte de cima o plano original de pagamento e na parte de baixo o plano alternativo proposto, indican-
do todos os valores envolvidos, as datas respectivas e as incógnitas a serem descobertas – esse diagra-
ma é importante porque permite visualizar os grupos de capitais equivalentes e estabelecer facilmente a 
equação de valor para resolução do problema;
3. observe se os prazos de vencimento dos títulos e compromissos estão na mesma unidade de medida 
de tempo periodicidade da taxa; se não estiverem, faça as transformações necessárias (ou você expres-
sa a taxa na unidade de tempo do prazo ou expressa o prazo na unidade de tempo da taxa – escolha a 
transformação que torne os cálculos mais simples);
4. leve todos os valores para a data escolhida para a negociação (data focal), lembrando sempre que 
capitais exigíveis antes da data focal deverão ser capitalizados através da fórmula do montante M = C (1 
+ in), dependendo da modalidade de desconto utilizada;
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5. tendo transportado todos os capitais para a data focal e com base no diagrama de fluxo de caixa que 
você esquematizou, monte a EQUAÇÃO DE VALOR, impondo que a soma dos valores dos títulos (trans-
portados para a data focal) da parte de cima do diagrama de fluxo de caixa seja igual à soma dos valores 
dos títulos (transportados para a data focal) da parte de baixo do diagrama de fluxo de caixa;
6. resolva a equação de valor;
7. releia a PERGUNTA do problema e verifique se o valor que você encontrou corresponde ao que o pro-
blema está pedindo (às vezes, devido à pressa, o candidato se perde nos cálculos, encontra um resulta-
do intermediário e assinala a alternativa que o contém, colocada ali para induzi-lo em erro, quando seria 
necessário ainda uma passo a mais para chegar ao resultado final correto).
Exemplo: 
A aplicação de R$ 2.000,00 foi feita pelo prazo de 9 meses, contratando-se a taxa de juros de 28% a.a. 
Além dessa aplicação, existe outra de valor nominal R$ 7.000,00 com vencimento a 18 meses. Consi-
derando-se a taxa de juros de 18% a.a., o critério de desconto racional e a data focal 12 meses, a soma 
das aplicações é, em R$:
Resolução:
Inicialmente, precisamos calcular o valor nominal da primeira aplicação. Considerando n = 9 meses = 
0,75 anos, temos que:
N = C (1 + in)
N = 2.000 (1 + 0,28 . 0,75) = 2.000 (1,21) = 2.420
Observando o diagrama de fluxo de caixa, vemos que, para serem transportados à data doze, o títulode 
2.420 terá que ser capitalizado de três meses, ao passo que o título de 7.000 terá que ser descapitaliza-
do de 6 meses. Além disso, a taxa de 18% a.a., considerando-se capitalização simples, é equivalente a 
1,5% a.m. = 0,015 a.m. Desta forma, podemos escrever que:
2.420 (1 + 0,015 . 3) + 7.000/1 + 0,015 . 6 = x
2.420 (1,045) + 7.000/1,09 = x
2.528,9 + 6.422,02 = x
x = 8.950,92
Anuidades
Séries Financeiras também conhecidas como Rendas Certas ou Anuidades. São séries de depósitos ou 
prestações periódicas ou não periódicas, em datas de previamente estabelecidas, por um determinado 
período de tempo. Os depósitos ou prestações podem ser uniformes quando todos são iguais ou variá-
veis quando os valores são diferentes.
Quando as séries financeiras que tem como objetivo de acumular capital ou produzir certo montante te-
mos uma Capitalização e quando as séries financeiras têm como objetivo pagar ou amortizar uma dívida 
temos uma Amortização.
Elementos das séries financeiras
– Valor presente (VP) = Numa série de pagamentos, definimos VALOR ATUAL como sendo a parcela úni-
ca que equivale (ou que substitui) a todos os termos (devidamente descapitalizados) até o início do fluxo. 
É a soma dos valores atuais de todos os termos que compõe a série. 
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– Valor futuro (VF) = Numa série de pagamentos, definimos MONTANTE como sendo a parcela única, 
que equivale (ou substitui) a todos os termos (devidamente capitalizados) até o final do fluxo. É a soma 
dos montantes de todos os termos que compõe a série.
– Prestações (P) = Numa série de pagamentos, definimos Prestações como sendo o valor que é pago (ou 
recebido) a cada período de capitalização de uma Série Pagamentos.
– Número de prestações (n) = número de Parcelas, Depósitos ou Pagamentos.
– Taxa efetiva de juro (i)= com capitalização na periodicidade das Prestações.
Séries financeiras postecipadas
São aquelas em que as prestações, pagamentos ou depósitos são efetuados no final de cada período.
Valor Futuro Postecipado (VFp)
O Valor Futuro (VF) produzido por uma série de n prestações P postecipadas, iguais e periódicas, apli-
cadas a uma taxa de juros i, na forma unitária, no mesmo período das prestações, será igual à soma de 
todos esses depósitos capitalizados para uma mesma data focal, coincidindo com o último depósito.
Fazemos uso da seguinte fórmula:
O valor capitalizado de cada um dos termos da Série de Pagamentos forma uma Progressão Geométrica 
(PG) cuja soma resulta na seguinte expressão:
Fator de Capitalização Postecipado
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Valor Presente postecipado (VPp)
O Valor Presente (VP) produzido por uma série de n prestações P, iguais e periódicas, aplicadas a uma 
taxa de juros i, na forma unitária, no mesmo período das prestações, será igual à soma de todos esses 
depósitos descapitalizados para uma mesma data focal 0.
O valor descapitalizado de cada um dos termos de uma Série de Financeira postecipada forma uma Pro-
gressão Geométrica (PG) cuja soma resulta na seguinte expressão:
Fator de Descapitalização Postecipado
Séries financeiras antecipadas
São aquelas em que o depósito ou pagamento é efetuado no início de cada período e o valor futuro é 
obtido em um período de tempo após o último depósito ou pagamento da última prestação.
Valor Futuro antecipado (VFa)
O Valor Futuro de uma série financeira é obtido fazendo-se a capitalização da entrada e de cada um dos 
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pagamentos, realizando-se a soma destes valores no final, conforme a seguir:
O valor capitalizado de cada uma das prestações de uma Série de Pagamentos forma uma Progressão 
Geométrica (PG) cuja soma resulta na seguinte expressão:
Fator de Capitalização Antecipado
O valor da prestação é obtido isolando-se a P na equação anterior.
Valor Presente antecipado (VPa)
O Valor Presente de uma série financeira antecipada é obtido fazendo-se a descapitalização de cada 
uma das prestações, somando-se no final a entrada e cada um destes valores, conforme a seguir:
O valor descapitalizado de cada um dos termos de uma Série de Financeira forma uma Progressão Geo-
métrica cuja soma resulta na seguinte expressão:
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O Fator de Descapitalização Antecipado
Séries financeiras diferidas ou com carência
Uma série de pagamentos possui DIFERIMENTO INICIAL quando ANTES do início do primeiro paga-
mento, é dado um prazo de dois ou mais períodos, nos quais não ocorrem pagamentos pertencentes à 
série. 
Uma série de pagamentos possui DIFERIMENTO FINAL quando APÓS o último pagamento, é dado um 
prazo de dois ou mais períodos, nos quais não ocorrem pagamentos pertencentes à série. 
Valor Presente com diferimento inicial
Podemos calcular o Valor Presente de duas maneiras: postecipado ou antecipado.
Cálculo do Valor Presente postecipado com diferimento inicial (VPpdi)
Numa série de pagamentos com diferimento inicial, vamos primeiro calcular o valor presente da série 
financeira postecipada, em seguida, vamos efetuar a descapitalização deste valor a juros compostos até 
o início do prazo da contratação (data focal 0).
CÁLCULO DO VP DA 
SÉRIE 
ANTECIPADA:
CÁLCULO DA DESCAPITALIZA-
ÇÃO 
DO PERÍODO DE DIFERIMENTO: 
D
CÁLCULO DIRETO DO VPA COM 
DIFERIMENTO INICIAL:
Valor futuro com diferimento final
Podemos calcular o Valor Futuro de duas maneiras: postecipado ou antecipado.
Cálculo do Valor Futuro postecipado com diferimento final (VFpdf)
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Numa série de pagamento com diferimento final, vamos primeiro calcular o valor futuro da série financei-
ra postecipada, onde esse valor futuro é obtido logo após o último pagamento.
Já o cálculo com o diferimento final, temos que efetuar a capitalização desse valor, a juros compostos, 
até o prazo final do período de carência. Pode ocorrer que no período de carência a taxa de juros não 
seja a mesma da série financeira.
O VALOR FUTURO DA SÉRIE 
DE 
PAGAMENTOS POSTECIPADA
CAPITALIZAÇÃO DO PERÍO-
DO DE CARÊNCIA
CÁLCULO DIRETO DO VFP 
COM 
DIFERIMENTO FINAL
Cálculo do Valor Futuro antecipado com diferimento final (VFadf)
Numa série de pagamento com diferimento final, vamos primeiro calcular o valor futuro da série financei-
ra antecipada, onde esse valor futuro é obtido um período após o último pagamento. 
Já o cálculo com o diferimento final, temos que efetuar a capitalização desse valor, a juros compostos, 
até o prazo final do período de carência. Pode ocorrer que no período de carência a taxa de juros não 
seja a mesma da série financeira.
O VALOR FUTURO DA SÉRIE DE 
PAGAMENTOS ANTECIPADA
CAPITALIZAÇÃO DO PE-
RÍODO DE CARÊNCIA
CÁLCULO DIRETO DO VFA 
COM 
DIFERIMENTO FINAL
Exemplo: 
Uma máquina é vendida a prazo através de oito prestações mensais de $4.000,00 sendo que o primeiro 
pagamento só irá ocorrer após três meses da compra. Determine o preço à vista, dada uma taxa de 5% 
ao mês.
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Resolução:
R = $4.000,00
i = 5% a.m.
n = 8 meses
m = 2 meses
Pd = $23.449,30
Sistema de amortização
Visam liquidar uma dívida mediante de pagamentos periódicos e sucessivos.
Principais conceitos
Sempre que efetuamos um pagamento estamos pagando parte do valor relativo aos juros, que são cal-
culados sobre o saldo devedor e outra parte chamada de amortização, que faz com que o saldo devedor 
diminua. 
– Saldo devedor: é o valor nominal do empréstimo ou financiamento ou simplesmente o Valor Presente 
(VP) na data focal 0, que é diminuído da parcela de amortização a cada período. 
– Amortização: é a parcela que é deduzida do saldo devedor a cada pagamento. 
– Juros: é o valor calculado a partir do saldo devedor e posteriormente somado à parcela de amortiza-
ção. 
– Prestação: é o pagamentoefetuado a cada período, composto pela parcela de juros mais a amortiza-
ção: PRESTAÇÃO = JUROS + AMORTIZAÇÃO
Existem diversos sistemas de amortização de financiamentos e empréstimos, dos quais os mais usados 
são:
– Sistema de Amortização Francês (Tabela Price):
– Sistema de Amortização Constante (SAC):
– Sistema de Amortização Crescente (SACRE) ou Sistema de Amortização Misto (SAM).
Sistema de Amortização Francês (SAF)
Este sistema utiliza a chamada TABELA PRICE que consiste no cálculo do fator de descapitalização 
postecipado representado por fdp(i%,n) e é normalmente usada para financiamento em geral de bens de 
consumo, tipo: carros, eletrodomésticos, empréstimos bancários de curto prazo, etc. 
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O SAF caracteriza-se por PRESTAÇÕES CONSTANTES E IGUAIS, normalmente mensais e decrescen-
tes, com isso, as parcelas de amortizações são crescentes. Isto é, o valor amortizado é crescente ao 
longo do tempo, ao contrário dos juros, que decrescem proporcionalmente ao saldo devedor.
Logo, as principais características do SAF são:
a) A prestação é constante durante todo o período de financiamento;
b) A parcela de amortização aumenta a cada período;
c) Os juros diminuem a cada período;
d) O percentual de prestações pagas não é igual ao percentual de quitação da dívida, pois no início das 
prestações os juros são maiores que as amortizações, sendo que do meio para o final das prestações 
esta situação é invertida.
e) Nos juros, temos uma PG (Progressão geométrica) de razão descrente.
Utilizamos as seguintes fórmulas:
Com isso podemos reescrever da seguinte forma, sabendo que : 
Sistema de Amortização Constante (SAC)
O SAC foi bastante usado pelo Sistema Financeiro de Habitação no início dos anos 70 e, atualmente, é 
amplamente utilizado para financiamentos bancários de longo prazo de imóveis.
O tomador do empréstimo pagará uma prestação decrescente em cada período, a qual é composta por 
duas parcelas: a amortização e os juros.
As principais características do SAC são:
a) A parcela de amortização é constante em todo período de financiamento;
b) A prestação é decrescente durante todo o período;
c) Os juros diminuem uniformemente a cada período;
d) O percentual de prestações pagas é igual ao percentual de quitação da dívida.
e) Nos Juros e nas Prestações observa-se de uma PA (Progressão Aritmética) de razão decrescente.
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Fórmulas do Cálculo da Prestação (Séries Postecipadas)
UTILIZANDO O CAPITAL UTILIZANDO O MONTANTE
CASO O EXPOENTE SEJA NEGATIVO, UTILIZA-SE: 
Para séries antecipadas (com entrada), basta multiplicar o valor da prestação por .
Sistema de Amortização Crescente (SACRE) ou Sistema de Amortização Misto (SAM) 
No Sistema de Amortização Crescente ou Sistema de Amortização Misto, cada prestação é a média arit-
mética das prestações nos sistemas Francês (Tabela Price) e Sistema de Amortização Constante (SAC), 
quando a proporção for de 50% para o Sistema de Amortização Frances (SAF) e 50% para o Sistema de 
Amortização Constante (SAC), com isto as primeiras prestações são maiores que no SAF e menores que 
no SAC, sendo que a partir da metade do período do financiamento a situação é invertida. As parcelas de 
juros, das amortizações e dos saldos devedores de cada período também são obtidas pela média aritmé-
tica dos dois sistemas.
Exemplos:
(UFGD – ANALISTA ADMINISTRATIVO – ECONOMIA – AOCP) O sistema que consiste no plano de 
amortização de uma dívida em prestações periódicas, sucessivas e decrescentes, em progressão aritmé-
tica, denomina-se:
(A) Sistema de Amortização Misto.
(B) Sistema Price.
(C) Sistema de Amortização Constante.
(D) Sistema Americano com fundo de amortização.
(E) Sistema Alemão.
Resolução:
Como vimos no estudo dos tipos de Amortização, a única que apresenta esta característica é o Sistema 
de Amortização Constante (SAC).
Resposta: C
(PREF. FLORIANÓPOLIS/SC – AUDITOR FISCAL DE TRIBUTOS MUNICIPAIS – FEPESE) Uma pessoa 
financiou 100% de um imóvel no valor de R$ 216.000,00 em 9 anos. O pagamento será em prestações 
mensais e o sistema de amortização é o sistema de amortização constante (SAC).
Sabendo que o valor da terceira prestação é de R$2.848,00, a taxa de juros mensal cobrada é de:
(A) 0,2%.
(B) 0,4%.
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(C) 0,5%.
(D) 0,6%.
(E) 0,8%.
Resolução:
Sabemos que no SAC Amortizações são constantes:
Sabemos que E = 216.000
n = 9 anos x 12(mensal) = 108 parcelas
A = ?
Com a cota de amortização, podemos calcular o Saldo Devedor para todos os períodos:
PERÍODO SALDO DEVEDOR AMORTIZA-
ÇÃO
JUROS PRESTAÇÃO
0 216.000 - - -
1 216.000 – 2.000 = 214.000 2.000
2 214.000 – 2.000 = 212.000 2.000
3 212.000 – 2.000 = 210.000 2.000
...
Sabemos a prestação do período 3 que é R$ 2.848,00. Lembrando que P = A + J, temos que para o pe-
ríodo 3:
P = A + J  2 848 = 2 000 + J  J = 2 848 – 2 000 = 848. Os juros incidem sobre o capital do período an-
terior que neste caso é o 2.O tempo é 1
J = C.i.t  848 = 212 000.i.1  i = 848 / 212 000  i = 0,004 x 100%  i = 0,4%
Resposta: B
FLUXO DE CAIXA
Um fluxo de caixa1 representa uma série de pagamentos ou de recebimentos que se estima ocorrer em 
determinado intervalo de tempo. É bastante comum, na prática, defrontar-se com operações financeiras 
que se representam por um fluxo de caixa. Por exemplo, empréstimos e financiamentos de diferentes 
tipos costumam envolver uma sequência de desembolsos periódicos de caixa. De maneira idêntica, têm-
-se os fluxos de pagamentos/recebimentos de aluguéis, de prestações oriundas de compras a prazo, de 
investimentos empresariais, de dividendos etc.
Os fluxos de caixa podem ser verificados das mais variadas formas e tipos em termos de períodos de 
1 FARIA, Rogério Gomes de. Matemática Comercial e Financeira. 5 ed. São Paulo: Pearson Education 
do Brasil, 2000.
FRANCISCO, Walter De. Matemática Financeira. 7 ed. São Paulo: Atlas, 1991.
NETO, Alexandre Assaf. Matemática Financeira e suas Aplicações.12 ed. São Paulo: Atlas, 2012.
NETTO, Scipione Di Pierro; TEIXEIRA, James. Matemática Financeira. São Paulo: Pearson Education 
do Brasil, 1998.
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ocorrência (postecipados, antecipados ou diferidos), de periodicidade (períodos iguais entre si ou diferen-
tes), de duração (limitados ou indeferidos) e de valores (constantes ou variáveis). Os termos dos fluxos 
de caixa são genericamente simbolizados por PMT, sendo para as demais variáveis empregada a mesma 
simbologia adotada em capítulos anteriores (PV, FV n, i).
Modelo Padrão
Os fluxos de caixa podem ser representados sob diferentes formas e tipos, exigindo cada um deles um 
tratamento específico em termos de formulações. Esquematicamente, os fluxos de caixa são identifica-
dos com base na seguinte classificação:
O modelo-padrão de um fluxo de caixa, conforme grifado no esquema acima, é verificado quando os 
termos de uma sucessão de pagamentos ou recebimentos apresentam, ao mesmo tempo, as seguintes 
classificações:
Postecipados - indica que os fluxos de pagamentos ou recebimentos começam a ocorrer ao final do pri-
meiro intervalo de tempo. Por exemplo, não havendo carência, a prestação inicial de um financiamento é 
paga ao final do primeiro período do prazo contratado, vencendo as demais em intervalos sequenciais.
Limitados - o prazo total do fluxo de caixa é conhecido a priori, sendo finito o número de termos (paga-
mentos e recebimentos). Por exemplo, um financiamento por 2 anos envolve desembolsos neste intervalo 
fixo de tempo sendo, consequentemente, limitado o número de termos do fluxo (prestações do financia-
mento).
Constantes - indica que os valores dos termos que compõem o fluxo de caixa são iguais entre si.
Periódicos - é quando os intervalos entre os termos do fluxo são idênticos entre si. Ou seja, o tempoen-
tre um fluxo e outro é constante.
Graficamente, o fluxo de caixa uniforme (padrão) é representado da forma seguinte:
Observe que a estrutura desse fluxo obedece à classificação-padrão apresentada anteriormente:
- o PMT inicial ocorre em n = 1: postecipado;
- a diferença entre a data de um termo e outro é constante: periódico;
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- o prazo do fluxo é preestabelecido (fixo), apresentando n períodos: limitado ou finito;
- os valores PMT são uniformes (iguais): constantes.
Valor presente e fator de valor presente
O valor presente de um fluxo de caixa uniforme, conforme discutido no item precedente, para uma taxa 
periódica de juros, é determinado pelo somatório dos valores presentes de cada um de seus valores. 
Reportando-se à representação gráfica do fluxo-padrão apresentado, tem-se:
Logo:
Colocando-se em evidência:
FPV
A expressão entre colchetes é denominada de Fator de Valor Presente, sendo representada pela Mate-
mática Financeira da forma seguinte:
FPV (i, n)
Com isso, a formulação genérica do valor presente assume a expressão:
PV = PMT x FPV (i,n)
Observe que FPV, conforme é apresentado na formulação anterior entre colchetes, equipara-se à soma 
de uma progressão geométrica (PG) DE n termos, sendo o primeiro termo (a1) e a razão (q) igual a (1 + 
i)-1, e o n-ésimo termo (an) igual a (1 + i)-n.
A fórmula de cálculo da soma de uma PG é dada por:
Substituindo-se os valores da expressão na soma dos termos de uma PG, tem-se:
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23
Seguindo-se a sequência de dedução adotada por Mathias e Gomes2 multiplica-se o numerador e o de-
nominador por (1 + i), obtendo-se:
Essa expressão é muitas vezes representada da maneira seguinte:
Mediante o FPV, a fórmula do valor presente de um fluxo de caixa uniforme é apresentada da maneira 
seguinte:
ou
PV = PMT x FPV (i,n)
Exemplo
Determinar o valor presente de um fluxo de 12 pagamentos trimestrais, iguais e sucessivos de $ 700,00 
sendo a taxa de juros igual a 1,7% a.m.
Resposta
PMT = $ 700,00
n = 12 pagamentos trimestrais
i = 1,7% a.m. ou: - 1 = 5,19% a.t.
2 MATHIAS, N. Franco; GOMES, J. Maria. Matemática financeira. 2ed.. São Paulo: Atlas, 1998. p. 
242.
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24
PV = PMT x FPV (i, n)
PV = $ 700,00 x FPV (5,19%, 12)
PV = $ 700,00 x 8,769034
PV = $ 6.138,30
Valor futuro e fator de valor futuro
O valor futuro, para determinada taxa de juros por período, é a soma dos momentos de cada um dos ter-
mos da série de pagamentos/recebimentos. Graficamente, tem-se a seguinte representação:
O valor futuro pelo padrão ocorre junto com o último termo do fluxo de caixa. Capitalizando-se cada um 
dos valores da série, apura-se a seguinte expressão:
FV = PMT + PMT x (1 + i) + PMT x +
 PMT x + ... + PMT x - 1
Colocando-se PMT em evidência: 
Identicamente, a expressão entre colchetes é definida por Fator de Valor Futuro e representada por:
FFV (i,n)
A formulação genérica do valor futuro de um fluxo de caixa uniforme é expressa da forma seguinte:
FV = PMT x FFV (i, n)
Da mesma maneira em relação ao desenvolvimento da fórmula do valor presente, observe que a expres-
são do FFV representa a soma dos termos de uma progressão geométrica, onde = 1; q = (1 + i) e an= 
(1+i)n-1 . Pela mesma equação de cálculo da soma dos valores de uma PG, tem-se:
Promovendo os mesmos ajustes e simplificações desenvolvidos na identidade do valor presente, chega-
-se a:
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Assim, a partir do FFV pode-se elaborar a expressão de cálculo do valor futuro (montante) de um fluxo de 
caixa uniforme, ou seja:
Exemplo
Calcular o montante acumulado ao final do 7º mês de uma sequência de 7 depósitos mensais e suces-
sivos, no valor de $ 800,00 cada, numa conta de poupança que remunera a uma taxa de juros de 2,1% 
a.m.
Resposta
O valor futuro pode ser calculado pela soma do montante de cada depósito, isto é:
FV = 800,00 + 800,00 (1,021) + 800,00 
 + 800,00 + ... + 800,00 
FV = $ 5.965,41
Aplicando-se a fórmula-padrão de apuração do valor futuro, tem-se, de forma abreviada, o mesmo resul-
tado:
FV = PMT x FFV (i,n)
FV = 800,00 x 7,456763 = $ 5.965,41
Equivalência financeira e fluxos de caixa
Deve ser ressaltado também no estudo do fluxo de caixa o conceito de equivalência financeira. Esse ra-
ciocínio é de fundamental importância para a Matemática Financeira, permitindo o correto entendimento 
e uso de seus resultados. A equivalência financeira encontra extensas aplicações práticas, estando pre-
sente na tomada de decisões financeiras, na seleção de planos de empréstimos e financiamentos mais 
atraentes, em propostas de refinanciamento e reescalonamento de dívidas etc.
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De acordo com o que foi desenvolvido anteriormente, diz-se que dois ou mais fluxos de caixa (capitais) 
são equivalentes quando produzem idênticos valores presentes num mesmo momento, convencionando-
-se determinada taxa de juros.
Por exemplo, os 4 fluxos de caixa ilustrados a seguir são equivalentes para uma taxa de juros de 5% ao 
mês, pois geram, para uma mesma taxa e juros, valores iguais em qualquer data focal escolhida.
Definindo-se (momento presente como data focal):
 = = = 
Registre-se, uma vez mais, que a equivalência financeira no regime de juros compostos, para dada taxa 
de juros, pode ser verificada em qualquer momento tomado como referência (data focal). Por exemplo, se 
a data for definida em , tem-se:
e assim por diante.
A equivalência de dois ou mais capitais, para determinada taxa de juros, ocorre em qualquer data tomada 
como referência. Alterando-se a taxa, a equivalência evidentemente deixa de existir, dado que o conceito 
depende da taxa de juros. Algumas ilustrações práticas evidenciando o uso do conceito de equivalência 
financeira são desenvolvidas a seguir.
Exemplo
Admita que uma empresa esteja avaliando quatro planos de pagamentos de um financiamento de $ 
300.000,00 conforme apresentados a seguir. A taxa de juros considerada nas propostas é de 7% a.m. 
Qual a opção de pagamento economicamente mais atraente?
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Resposta
Os planos de pagamento formulados apresentam o mesmo valor presente (data zero) quando desconta-
dos à taxa de juros de 7% a.m. O resultado atualizado continua igual, mesmo se definida outra data focal. 
Logo, conclui-se que os fluxos de pagamento do financiamento são equivalentes, apresentando o mesmo 
custo.
Assim, em termos estritamente econômicos de atratividade, torna-se indiferente (equivalente) a escolha 
de uma ou outra forma de pagamento. Mesmo que a soma das prestações seja diferente em cada pro-
posta, o fundamental na avaliação econômica é a comparação entre valores expressos em uma mesma 
unidade de tempo.
A decisão, dessa forma, deve ser tomada levando em conta o aspecto financeiro do desembolso, pois 
os fluxos de caixa são diferentes em cada plano em termos de valores e data de ocorrência. A forma de 
pagamento escolhida deve, evidentemente, adequar-se à capacidade financeira do tomador de recursos 
e ao comportamento das taxas de juros de mercado.
Fluxos de caixa não convencionais
Os fluxos definidos no denominado modelo-padrão foram amplamente estudados no início do capítulo. 
Esta parte dedica-se, mais especificamente, aos demais tipos de caixa, não considerados no modelo-pa-
drão. A seguir são desenvolvidos as várias classificações não convencionais dos fluxos de caixa.
Período de ocorrência
Com relação ao período em que a ocorrer, o fluxo de caixa pode ser identificado como postecipado, ante-
cipado e diferido.
- Postecipado
No tipo postecipado, a série de pagamentos/recebimentos começa a acorrer exatamente ao final do 
primeiro período, de acordo com a ilustraçãográfica acima. Esse fluxo enquadra-se no modelo-padrão 
detalhado inicialmente, não havendo nada mais a acrescentar.
- Antecipado
O fluxo de caixa antecipado indica que a série de valores começa a ocorrer antes do final do primeiro pe-
ríodo, conforme é representado graficamente acima. Por exemplo, um aluguel pago no início do período 
de competência (geralmente no início do mês) enquadra-se como um fluxo de caixa antecipado por um 
período (mês). Se dois aluguéis forem adiantados ao locador, a antecipação é de dois períodos, e assim 
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por diante.
A determinação do valor presente e montante de um fluxo de caixa antecipado não apresenta maiores 
novidades. Além de ter-se sempre a opção de atualizar ou corrigir os seus termos individualmente, pode-
-se também utilizar a fórmula do modelo-padrão para a parte convencional do fluxo, e adicionar os ter-
mos antecipados (corrigidos) a esse resultado.
Por exemplo, admita o seguinte fluxo de caixa com antecipação de dois períodos:
Para uma taxa de juros de 4% por período, tem-se:
PV = [70,00 FPV (4%, 8)] + 70,00 + 70,00 (1,04)
PV = (70,00 6,732745) + 70,00 + 72,80
PV = 471,29 + 70,00 + 72,80 = $614,09
FV = [70,00 FPV (4%, 8) + 70,00] + 70,00 
FV = (70,00 9,214226) + 95,80 + 99,63
FV = 645,00 + 95,80 + 99,63 = $ 840,43
- Diferido (Carência)
O diferimento indica que os termos da série começam a ocorrer após o final do primeiro período, confor-
me ilustrado no gráfico anterior.
Nessa ilustração, a série inicia-se no período imediatamente após o final do primeiro intervalo de tempo, 
indicando consequentemente uma carência de um período. Se a série começar a ocorrer no momento 3 
do gráfico, a carência atinge dois períodos: no momento 4 tem-se uma carência de 3 períodos; e assim 
por diante.
Em suma, a base de comparação para se definir uma carência é o final do primeiro período. Para a mate-
mática financeira, a carência existe quando o primeiro fluxo de caixa se verificar após o final do primeiro 
período, ou seja, após ter decorrido c períodos de tempo. 
A determinação do montante de um fluxo de caixa com carência segue a formulação desenvolvida do 
modelo-padrão. Deve ser ressaltado, uma vez mais, que nesse caso n representa o número de termos da 
série, e não o seu prazo total.
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A formulação do valor presente, no entanto, requer um pequeno ajuste, de forma a ser expresso na data 
zero, ou seja:
PV = PMT x FPV (i, n) x FAC (i, c)
Onde: 
c = número de períodos de carência.
FAC = Fator de Atualização de Capital (valor presente).
FAC = 1/ (1 + i)n
Por exemplo, admita o seguinte fluxo de caixa diferido por 2 períodos:
- Diferido (Carência)
Observe que o fluxo de caixa apresenta um prazo total de 9 períodos, sendo o número determos igual a 
7 (n = 7), e a carência de 2 períodos (c = 2).
Para uma taxa de juros de 2,2% por período, têm-se os seguintes resultados:
PV = 100,00 x FPV (2,2%, 7) x FAC (2,2%, 2)
PV = 100,00 x 6,422524 x 0,957410 = $ 614,90
FV = 100,00 x FFV (2,2%, 7)
FV = 100,00 x 7,479318 = $747,93
Periodicidade
A periodicidade reflete os intervalos de tempo em que os fluxos de caixa ocorrem. Se esses intervalos fo-
rem sempre iguais, diz-se que os fluxos são periódicos, enquadrando-se no modelo-padrão apresentado. 
Se, por outro lado, os termos se verificarem em intervalos irregulares (diferentes entre si), tem-se o que 
se denomina de fluxos de caixa não periódicos. O gráfico a seguir ilustra um fluxo de caixa não periódico, 
onde os valores não se verificam uniformemente em termos de sua periodicidade.
Tanto o cálculo do valor presente, como o do valor futuro, devem ser processados, respectivamente, pelo 
somatório da atualização e capitalização de cada um dos termos.
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Genericamente, têm-se as seguintes expressões:
 
Ilustrativamente, admita o seguinte fluxo de caixa não periódico:
Para uma taxa de juros de 1,9% a.m., tem-se:
PV= 100,00 + 94,51 + 92,75 + 86,02 + 75,40
PV = $ 448,68
FV = 100,00 + 100,00 (1,019)7 + 100,00 (1,019)11 + 100,00 (1,019)12 + 100,00 (1,019)15
FV = 100,00 + 114,08 + 123,00 + 125,34 + 132,62
FV = $ 595,04 ou FV = 448,68 x (1,019)15 = $ 595,04. 
Duração
A duração de um fluxo de caixa pode ser finita, característica do modelo-padrão, ou indeterminada (inde-
finida), quando o prazo não é conhecido previamente. No caso de uma série infinita, determina-se uni-
camente o seu valor presente. Para algumas situações específicas podem ser atribuídas probabilidades 
para se definir a duração de um fluxo, como é o caso da atividade de seguros. No entanto, este tipo de 
situação não será tratada aqui, ficando mais restrito estudo da Matemática Atuarial.
A representação gráfica de uma série indefinida pode ser ilustrada da forma seguinte:
O cálculo do valor presente é efetuado pelo somatório do valor atualizado de cada um de seus termos, 
isto é:
Genericamente:
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31
Detalhando a formulação:
Os valores entre colchetes representam a soma dos termos de uma progressão geométrica indefinida, 
cuja razão é menor que 1. Aplicando-se o teorema de limite na fórmula da soma dos termos, tem-se:
Processando-se as deduções e simplificações pertinentes a partir dessa expressão, chega-se ao valor 
presente de um fluxo de caixa igual, constante, periódico e indeterminado, ou seja:
Em outras palavras, o valor presente desse fluxo é determinado pela relação entre o pagamento/recebi-
mento periódico, igual e sucessivo, e a taxa de juros considerada. As séries indeterminadas encontram 
aplicações práticas principalmente em avaliações de imóveis efetuadas com base nos rendimentos de 
aluguéis, na apuração do preço de mercado de uma ação a partir do fluxo previsto de dividendos etc. 
Com o intuito de proceder a uma aplicação prática do cálculo do valor presente de um fluxo indetermi-
nado, admita que um imóvel esteja rendendo $ 2.000,00 de aluguel mensalmente. Sendo de 2% a.m.o 
custo de oportunidade de mercado (ganho da melhor alternativa de aplicação disponível), pode-se avaliar 
preliminarmente que o valor deste imóvel atinge $ 100.000,00, isto é:
O valor de referência do imóvel, válido para uma avaliação inicial, é o valor presente do fluxo de rendi-
mentos mensais (aluguéis) previsto por um prazo indeterminado, descontado a um custo de oportunida-
de.
Valores
No que se refere aos valores, os termos de caixa podem ser constantes, se os fluxos de caixa apresen-
tarem-se sempre iguais, ou variáveis, se os fluxos não forem sempre iguais entre si. Se os valores de 
caixa forem constantes, o fluxo identifica-se com o modelo-padrão estudado. No entanto, se os valores 
de caixa apresentarem-se desiguais (variáveis), o valor presente é calculado pela soma dos valores 
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atualizados de cada um de seus termos. O valor futuro, por seu lado, é determinado pelo somatório dos 
montantes de cada um dois termos ou, ainda, capitalizando-se o valor presente para a data futura. Identi-
camente aos fluxos de caixa não periódicos, têm-se as seguintes generalizações:
 
 
Ou
Por exemplo, admita um fluxo de caixa com os seguintes valores, ocorrendo respectivamente ao final de 
cada um dos próximos 5 anos: $ 80,00, $ 126,00, $ 194,00, $ 340,00 e $ 570,00. Para uma taxa de juros 
de 4% a.a., têm-se os seguintes resultados:
 
Ou
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QUESTÕES
1. CESGRANRIO - Escriturário (BB)/Agente Comercial/2021/”Prova A”
Devido às oscilações de receita em seu negócio durante a pandemia, um cliente vai precisar pagar um 
boleto, cujo principal (até a data de vencimento) é de R$ 25.000,00, com 12 dias de atraso. Nesse caso, 
são cobrados adicionalmente, sobre o valor do principal, dois encargos:2% de multa, mais juros simples 
de 0,2% ao dia. Por causa dos juros altos, o cliente procurou seu gerente, que não conseguiu uma solu-
ção menos custosa.
Com isso, nas condições dadas, o cliente deverá pagar nessa operação um valor total de
(A) R$ 25.600,00
(B) R$ 25.800,00
(C) R$ 26.100,00
(D) R$ 26.300,00
(E) R$ 26.500,00
2. CESGRANRIO - Escriturário (BB)/Agente Comercial/2021/”Prova B”
No boleto bancário da sua prestação, uma pessoa leu que é cobrada uma multa de 1,2% por dia de 
atraso sobre o valor da prestação, condicionada a atrasos não maiores que 30 dias. Em certo mês, essa 
pessoa pagou uma prestação com atraso, tendo de desembolsar R$ 233,20 em vez dos R$ 220,00 nor-
malmente pagos nos meses em que não houve atraso no pagamento.
Por quantos dias ela atrasou a prestação nesse mês?
(A) 5
(B) 10
(C) 15
(D) 20 
(E) 25
3. CESGRANRIO - Escriturário (BB)/Agente Comercial/2021/”Prova B”
Um banco fez um empréstimo de R$10.000,00 a um cliente, pelo prazo de um mês, cobrando o valor de 
R$ 100,00 a título de juros.
Qual foi a taxa de juros que o banco cobrou do cliente?
(A) 0,01 ao mês
(B) 10% ao ano
(C) 1% ao ano
(D) 0,1 ao mês
(E) 0,05 ao mês
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4. CESGRANRIO - Escriturário (BB)/Agente Comercial/2021/”Prova C”
Uma pessoa está planejando comprar uma geladeira no valor de R$1.300,00, no futuro.
Sabendo-se que ela pretende gastar exatamente esse valor e que dispõe de um capital de R$1.000,00, 
que será aplicado no dia de hoje a uma taxa de juros simples de 1,5% ao mês, qual será o prazo dessa 
aplicação, em meses, para que ela consiga comprar a geladeira à vista, o mais rápido possível?
(A) 2
(B) 16
(C) 20
(D) 50
(E) 200
5. CESGRANRIO - Escriturário (BB)/Agente Comercial/2021/”Prova C”
Qual é a taxa de juros simples utilizada por uma aplicação para tornar um capital inicial de R$1.000,00 
em um montante de R$1.240,00, em um período de um ano?
(A) 0,02 ao mês
(B) 0,02% ao mês
(C) 0,02 ao ano
(D) 0,02% ao ano
(E) 0,24% ao ano
6. CESGRANRIO - Assistente (LIQUIGÁS)/Administrativo I/2018/Edital 02
Uma empresa toma um empréstimo de R$ 200.000,00, por 20 dias, a uma determinada taxa de juro, no 
regime de simples. Considere que, ao final desse período, os juros pagos são de R$ 8.800,00.
Assim, a taxa mensal de juro simples cobrada nesse empréstimo, considerando o mês com 30 dias, foi 
igual a
(A) 4,0%
(B) 4,4%
(C) 6,0%
(D) 6,6%
(E) 8,8%
7. CESGRANRIO - Assistente (LIQUIGÁS)/Administrativo I/2018/Edital 02
Um comprador tem duas opções de pagamento: pagar à vista, com desconto de 20% sobre o preço de 
tabela ou a prazo, um mês após a data da compra, com um acréscimo de 10% sobre o preço de tabe-
la.
O valor mais próximo da taxa de juro mensal cobrada nessa operação, comparando-se o valor a ser 
pago, por um mesmo produto, em cada uma das opções apresentadas, é igual a
(A) 10%
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(B) 22%
(C) 30%
(D) 33%
(E) 38%
8. CESGRANRIO - Profissional (LIQUIGÁS)/Vendas/Júnior/2018/Edital 02
Um funcionário da Liquigás pretende fazer uma pequena reforma em sua casa daqui a 1 ano e gostaria 
de ter, em sua conta investimento, R$ 3.000,00 no momento de iniciar a reforma.
Considerando que suas economias rendem juros de 20% a.a., quanto ele deveria ter hoje, em sua conta 
investimento, para ter exatamente a quantia desejada daqui a 1 ano, sem que seja feito nenhum depósi-
to?
(A) R$ 2.800,00
(B) R$ 2.600,00
(C) R$ 2.500,00
(D) R$ 2.400,00
(E) R$ 2.333,33
9 CESGRANRIO - Profissional (LIQUIGÁS)/Economia/Júnior/2018/Edital 02
Uma empresa toma um empréstimo de R$ 350.000,00 por 25 dias, a uma taxa de juro simples de 4,8% 
ao mês, em um mês com 30 dias. Considere que, ao final desse período, a empresa quita a dívida pa-
gando, além dos juros, uma taxa de utilização de crédito igual a 0,5% do valor tomado emprestado.
 Assim, o valor mais próximo do custo total do empréstimo no momento da quitação, em reais, é igual 
a
(A) 13.500,00
(B) 14.250,00
(C) 15.750,00
(D) 16.800,00
(E) 18.550,00
10. CESGRANRIO - Técnico Bancário (BASA)/2022
Um banco oferece um financiamento utilizando uma taxa de juros simples de 6% a.a.
Qual a taxa trimestral equivalente à taxa oferecida pelo banco?
(A) 0,0147 a.t.
(B) 0,15 a.t.
(C) 0,50% a.t.
(D) 1,47% a.t.
(E) 1,50% a.t.
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11. CESGRANRIO - Profissional Petrobras de Nível Superior (PETROBRAS)/Auditoria/2018
Um cliente de uma loja de eletrodomésticos deseja antecipar duas parcelas iguais de R$ 1.000,00 de seu 
financiamento, com vencimento para, respectivamente, 30 e 60 dias a partir de hoje.
Considerando-se uma taxa de desconto de 2% a.m., desconto comercial simples e calendário comercial, 
quanto será exigido do cliente para quitar as duas parcelas?
(A) R$ 1.940,00
(B) R$ 1.940,40
(C) R$ 1.941,93
(D) R$ 1.960,00
(E) R$ 2.000,00
12. CESGRANRIO - Analista Júnior (TRANSPETRO)/Financeiro/2018
Um título, cujo valor de resgate é de R$ 260.000,00, está sendo negociado exatamente dois meses antes 
do seu vencimento por R$ 244.361,00. Nessas condições, o valor mais próximo da taxa de desconto ban-
cário cobrada nessa operação é igual a
(A) 2,0%
(B) 2,4%
(C) 3,0%
(D) 3,8%
(E) 4,5%
13. CESGRANRIO - Profissional (LIQUIGÁS)/Economia/Júnior/2018/Edital 02
Suponha uma operação simples de desconto realizada em um banco, 4 meses antes do vencimento de 
um título, com valor nominal de resgate e taxa de juros definidos. Essa operação é livre de despesas 
bancárias ou quaisquer outros encargos, além dos já definidos.
Nessa operação, utilizando-se os métodos de descontos “por dentro” (racional) ou “por fora” (comercial 
ou bancário) verifica-se que o valor
(A) líquido liberado para o tomador será maior se o método de desconto praticado for o desconto “por 
fora”.
(B) líquido liberado para o tomador será o mesmo para ambos os métodos.
(C) de resgate será menor para o desconto “por dentro”.
(D) de resgate será o mesmo, seja qual for o método de desconto utilizado.
(E) de resgate será maior para o desconto “por fora”.
14. CESGRANRIO - Escriturário (BB)/Agente Comercial/2021/”Prova A”
Um cliente fez um investimento de R$ 100.000,00 em janeiro de 2019, comprando cotas de um fundo 
imobiliário, o que lhe proporcionou uma taxa de retorno de 21%, ao final de 12 meses de aplicação. Em 
janeiro de 2020, buscando maior rentabilidade, procurou um especialista financeiro indicado pelo seu 
gerente, que lhe recomendou aplicar todo o montante da operação anterior em renda variável. O cliente 
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fez conforme recomendado, o que lhe proporcionou um retorno de 96% em 12 meses, resgatando o novo 
montante em janeiro de 2021.
Considerando-se um sistema de juros compostos, a taxa de retorno equivalente, obtida em cada período 
de 12 meses pelo cliente, de janeiro de 2019 a janeiro de 2021, foi igual a
(A) 54%
(B) 56%
(C) 58%
(D) 60%
(E) 62%
15. CESGRANRIO - Escriturário (BB)/Agente Comercial/2021/”Prova B”
Um cliente deseja fazer uma aplicação em uma instituição financeira, que paga uma taxa de juros com-
postos de 10% ao ano, por um período de 3 anos, já que, ao final da aplicação, planeja comprar uma TV 
no valor de R$ 3.500,00 à vista.
Qual o valor aproximado a ser investido para esse objetivo ser alcançado?
(A) R$ 2.629,60
(B) R$ 2.450,00
(C) R$ 2.692,31
(D) R$ 2.341,50
(E) R$ 2.525,00
16. CESGRANRIO - Técnico Bancário Novo (CEF)/”Sem Área”/2021/PcD
Um banco possui, atualmente, um modelo de financiamento em regime de juros compostos, em que as 
parcelas são pagas, mensalmente, a uma taxa de juros de 2% ao mês. Para um certo perfil de clientes, 
o banco pretende possibilitar o pagamento da dívida a cada três meses, a uma taxa de juros trimestral 
equivalente à praticada no modelo atual.
A melhor aproximação para o valor da taxa de jurostrimestral desse novo modelo de financiamento é:
(A) 2,48%
(B) 6,00%
(C) 6,12%
(D) 7,28%
(E) 8,00%
17. CESGRANRIO - Analista Júnior (TRANSPETRO)/Comercialização e Logística Júnior/Comércio e 
Suprimento/2018
Considere que uma empresa vai realizar uma aplicação de 10 milhões de reais, com prazo de resgate 
para 1 ano, a partir de hoje, e precisa decidir entre as cinco opções apresentadas a seguir.
Opção I – taxa de 24% ao ano, com capitalização mensal
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Opção II – taxa efetiva de 24% ao ano
Opção III – taxa de 24% ao ano, com capitalização quadrimestral
Opção IV – taxa de 2,2% ao mês, no regime de juros simples
Opção V – taxa de 24% ao ano, com capitalização semestral
Considerando-se 1,27 como aproximação para 1,02 12, a opção que apresenta a maior taxa anual de 
retorno, dentre as cinco apresentadas, é a
(A) I
(B) II
(C) III
(D) IV
(E) V
18. CESGRANRIO - Técnico Júnior (TRANSPETRO)/Administração e Controle Júnior/2018
Uma empresa avalia antecipar o pagamento das duas últimas parcelas de um financiamento, realizado a 
uma taxa de juro de 5% ao mês, para abril de 2018. As parcelas, no valor de R$ 8.820,00 cada uma, têm 
data de vencimento para maio de 2018 e junho de 2018.
Considerando-se o desconto racional composto, o valor de quitação total das duas parcelas, se o paga-
mento das duas for realizado em abril de 2018, é igual a
(A) R$ 15.876,00
(B) R$ 16.000,00
(C) R$ 16.400,00
(D) R$ 16.800,00
(E) R$ 17.640,00
19. CESGRANRIO - Profissional Petrobras de Nível Superior (PETROBRAS)/Auditoria/2018
Uma construtora anuncia a venda de um imóvel à taxa nominal de juros de 12% a.a. com correção men-
sal do saldo e das prestações.
Qual é a taxa real anual, aproximada, do financiamento, considerando-se uma inflação anual de 10%?
(A) 2,44%
(B) 2,00%
(C) 1,98%
(D) 1,82%
(E)- 2,38%
20. CESGRANRIO - Escriturário (BB)/Agente Comercial/2021/”Prova B”
Um banco ofereceu a um cliente um financiamento de R$ 120.000,00, pelo sistema SAC, a uma taxa de 
juros de 10% a.m., para ser pago em 4 prestações mensais ao final de cada mês, sendo a primeira pres-
tação no valor de R$ 42.000,00. A Tabela abaixo poderá ser usada para seus cálculos.
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Quais os valores aproximados que serão pagos, pelo cliente, a título de juros e prestação, respectiva-
mente, ao final do terceiro mês?
(A) R$ 12.000,00; R$ 42.000,00
(B) R$ 3.000,00; R$ 39.000,00
(C) R$ 12.000,00; R$ 30.000,00
(D) R$ 6.000,00; R$ 36.000,00
(E) R$ 9.000,00; R$ 33.000,00
Gabarito
1 C
2 A
3 A
4 C
5 A
6 D
7 E
8 C
9 C
10 E
11 A
12 C
13 D
14 A
15 A
16 C
17 A
18 C
19 A
20 D
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