COLÉGIO NAVAL - Banco de Questões

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COLÉGIO NAVAL - MARINHA DO BRASIL 
MATEMÁTICA
 
COLÉGIO NAVAL - MARINHA DO BRASIL 
1975
 
-
 
2014
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 Colégio Naval - 1975 
 
01. Achar o valor de: )32...777,1375,3(6 5 13 −++⋅ 
a) 233 + b) 20 c) 32 + d) 517 + e) 
7
48
 
02. A que taxa mensal deve ser colocado um capital durante certo tempo, para que o juro recebido seja o triplo do 
que receberá na taxa anual de 2%? 
a) 2,5% b) ,5% c) 3% d) 1% e) 0,5% 
03. Uma engrenagem é constituída por duas rodas de raios iguais a 4cm e 3cm que se tangenciam exteriormente. 
Qual o ângulo descrito pela roda menor enquanto a roda maior gira de um ângulo de 12º48’? 
a) 9º36’ b) 17º04’ c) 20º10’ d) 18º25’ e) 10º40’ 
04. Calcular a soma dos termos da maior fração própria irredutível, para que o produto de seus termos seja 60. 
a) 17 b) 23 c) 32 d) 61 e) 19 
05. Em um pátio retangular de 500dm por 0,4hm estão crianças em recreio. Havendo duas crianças por centiare, 
quantas crianças estão no pátio ? 
a) 2500 b) 3000 c) 3500 d) 4000 e) 5000 
06. Dois números inteiros positivos tem soma 96 e o máximo divisor comum igual a 12. Dar o maior dos dois nú-
meros sabendo que o produto deles deve ser o maior possível 
a) 48 b) 84 c) 60 d) 72 e) 36 
07. Em um concurso foi concedido um tempo T, para a realização da prova de MATEMÁTICA. Um candidato gas-
tou 
3
1
 deste tempo para resolver a parte de aritmética e 25% do tempo restante para resolver a parte de álgebra, 
ele só gastou 
3
2
 do tempo de que ainda dispunha para resolver a parte de geometria, entregou a prova faltando 
35 minutos para o término da mesma. Qual foi o tempo T concedido? 
a) 3h10min b) 3h c) 2h50min d) 3h30min e) 4h 
08. Um composto A leva 20% de álcool e 80% de gasolina e um composto B leva 30% de álcool e 70% de gasoli-
na. Quantos litros devemos tomar do composto A para, complementando com o composto B, preparar 5 litros 
de um composto com 22% álcool e 78% de gasolina? 
a) 2 litros b) 3 litros c) 2,5 litros d) 3,5 litros e) 4 litros 
09. Achar a área de um triângulo equilátero de lado l = 4cm 
a) 36 cm2 b) 38 cm2 c) 16 cm2 d) 34 cm2 e) 3 cm2 
10. Qual é o nome do ponto de interseção das mediatrizes de um triângulo? 
a) ortocentro b) baricentro c) incentro d) paricentro e) circuncentro 
11. Achar a razão do apótema para o lado do hexágono regular. 
a) 3 b) 
2
3
 c) 
3
32
 d) 
2
1
 e) 
6
3
 
12. Qual o perímetro do quadrado que tem a diagonal igual a 63 m? 
a) 312 m b) 612 m c) 36 m d) 38 m e) 212 m 
13. Os pontos A, B, C, D e E são cinco vértices consecutivos de um decágono regular. Achar o ângulo ∠BAE. 
a) 60º b) 36º c) 45º d) 108º e) 54º 
14. O lado de um triângulo equilátero é igual ao lado de um hexágono regular e ambos medem 36 cm. Se colo-
carmos, sobre um plano, o triângulo ao lado do hexágono, de maneira que dois lados fiquem em coincidência, 
qual será a distância entre os centros das duas figuras. 
a) 312 cm b) 12cm c) 18cm d) 7,5cm e) 12,5cm 
 
 
2 
 
 A 
 D 
 C 
 B 
15. Um trapézio de 22 cm de altura tem, para uma de suas bases, a diagonal de um quadrado de 6cm de lado. A-
char a área do trapézio, sabendo que a outra base tem as extremidades sobre os lados do quadrado . 
a) 16cm2 b) 20cm2 c) 220 cm2 d) 216 cm2 e) 32cm2 
16. Uma circunferência de 4cm de raio está dentro de um ângulo de 120º tangenciando os lados do ângulo nos 
pontos A e B. Achar a área do retângulo inscrito na circunferência que tem, para um dos lados a corda AB . 
a) 16cm2 b) 38 cm2 c) 312 cm2 d) 316 cm2 e) 24cm2 
17. Cinco círculos de 1cm de raio são interiores ao quadrado. Um deles tem o mesmo centro que o quadrado e cada 
um dos demais tangencia o primeiro círculo e dois lados consecutivos do quadrado. Achar a área do quadrado. 
a) 18cm2 b) ( )2412 + cm2 c) ( )2812+ cm2 d) 12,5cm2 e) ( )61210 + cm2 
18. Achar a área do círculo inscrito triângulo de lados 9cm, 5cm e 6cm. 
a) 
2
π
cm2 b) πcm2 c) 4πcm2 d) 2πcm2 e) 5πcm2 
19. Na figura, temos AB = 55 cm e AC= 5cm . Calcule 
a razão entre a área do triângulo ABC e a área do triân-
gulo BDC. 
a) 
5
6
 b) 1 c) 
6
5
 d) 
6
11
 e) 2 
 
20. Três círculos de raio igual a 2cm, são tangentes 2 a 2, nos pontos A, B e C. Calcular a área da figura plana limi-
tada pelo menores arcos AB, BC e CA. 
a) ( )π− 423 cm2 c) ( )π− 232 cm2 e) ( )π− 234 cm2 
b) ( )π− 432 cm2 d) ( )π− 434 cm2 
21. Simplificar a expressão 
3A
33AA
−
−
 
a) A - 9 + A 3 c) A - 3 + A e) 9 + A 
b) A + 3 + A3 d) 3 - A + 3 
22. Achar o produto dos valores inteiros de M que fazem com que a equação em x, 0
4
M
Mx
M
x4 2
=+− não tenha 
raízes reais 
a) 0 b) 1 c) -1 d) -4 e) 4 
23. Resolver a inequação 
( ) ( )
0
1xx
4x4x1x
2
23
≥
−+−
+−⋅−
 
a) x ≤ 1 b) x > 2 c) x ≥ -2 d) x < 2 e) x = 1 
24. Calcular o menor valor positivo de K, para que a raiz real da equação 1Kx4 3 3 =−− seja um número racional 
inteiro 
a) 1 b) 60 c) 27 d) 37 e) 40 
25. Calcular a soma dos valores de m e n de modo que as equações 
(2n + m)x2 - 4mx + 4 = 0 e (6n + m)x2 + 3(n - 1)x - 2 = 0 tenham as mesmas raízes. 
a) 
5
9
 b) 
5
7
 c) 
5
9
− d) 0 e) 1 
 
 
3 
Colégio Naval - 1976 
01. Marcar a frase certa: 
a) Todo número terminado em 30 é divisível por 3 e por 5. 
b) Todo número cuja soma de seus algarismos é 4 ou múltiplo de 4, é divisível por 4. 
c) O produto de dois números é igual ao produto do M.D.C pelo M.M.C desses números. 
d) O M.M.C. de dois números primos entre si é a semi-soma desses números. 
e) Toda soma de dois quadrados perfeitos é um quadrado perfeito. 
02. A raiz cúbica de um número N, é 6,25. Calcular a raiz sexta desse número N. 
a) 
5
52
 b) 2,05 c) 52 d) 2,5 e) 1,5 
03. Um capital é empregado à taxa de 8%a.a. No fim de quanto tempo os juros simples produzidos ficam iguais a 
5
3
 do capital ? 
a) 5 anos e 4 meses c) 8 anos e 2 meses e) 7 anos e 3 meses 
b) 7 anos e 6 meses d) 6 anos e 4 meses 
04. Calcular m, no número A = 2m - 1.32.5m, de modo que o M.D.C entre o número A e o número 9000 seja 45. 
a) 0 b) 2 c) 3 d) 4 e) 1 
05. Em uma Universidade estudam 3000, entre moças e rapazes. Em um dia de temporal faltaram 
3
2
 das moças e 
9
7
 dos rapazes, constatando-se ter sido igual, nesse dia, o número de moças e rapazes presentes. Achar a por-
centagem das moças que estudam nessa Universidade, em relação ao efetivo da Universidade. 
a) 40% b) 55% c) 35% d) 60% e) 62% 
06. Marcar a frase certa: 
a) O ortocentro de qualquer triângulo é o ponto de interseção de suas medianas. 
b) O baricentro de qualquer triângulo é eqüidistantes dos seus vértices. 
c) Os ângulos opostos de qualquer quadrilátero inscritível são complementares. 
d) As diagonaisde todo retângulo são iguais e perpendiculares. 
e) O incentro de qualquer triângulo é eqüidistante dos três lados do triângulo. 
07. Duas retas paralelas são cortadas por uma terceira reta de modo que dois ângulos colaterais internos são dados, 
em graus, pelas expressões ∠A = 10x + 20 e ∠B = 6x - 20. Calcular ∠B. 
a) 62º20’ b) 52º12’ c) 47º30’ d) 67º30’ e) 72º15’ 
08. A razão entre o raio do círculo inscrito para o raio do círculo circunscrito ao mesmo triângulo equilátero é: 
a) 
3
3
 b) 
3
1
 c) 
3
2
 d) 
2
1
 e) 
2
3
 
09. Achar a área do trapézio retângulo que tem um ângulo interno de 45º e bases 10cm e 8cm 
a) 36cm2 b) 16cm2 c) 220 cm2 d) 218 cm2 e) 39 cm2 
10. Calcular o ângulo interno do polígono regular em que o número de diagonais excede de 3 unidades o número 
de lados 
a) 60º b) 72º c) 108º d) 150º e) 120º 
11. A área de um losango é 120cm2. Calcular o seu perímetro, sabendo que uma das diagonais vale 10cm. 
a) 48cm b) 52cm c) 60cm d) 40cm e) 76cm 
12. Dividindo-se um círculo de 8cm de raio em duas partes equivalentes, por meio de uma circunferência interior 
ao círculo, qual será o raio do círculo inferior? 
a) 4cm b) 2cm c) 24 cm d) 22 cm e) 4,8cm 
 
 
4 
13. Sobe os lados de um hexágono regular de 4cm de lado, e exteriormente a ele, constroem-se quadrados, de modo 
que cada quadrado tenha um lado em comum com o hexágono. Calcular a área do dodecágono cujos vértices 
são os vértices dos quadrados que não são vértices do hexágono: 
a) ( )2348 + cm2 b) ( )2350 + cm2 c) ( )4324 + cm2 d) 192cm2 e) 36cm2 
14. O valor numérico de 
( )( )
20x5
6x34x2
2 −
+−
 : 
a) depende do valor dado x d) é nulo para x = 0 
b) é maior que 5, para x maior que 3 e) é sempre o mesmo, para x ≠ 2 
c) é menor que 2, para x menor que 1 
15. O resto da divisão de x3 - x2 + 1 por x - 2 é: 
a) 4 b) 5 c) 3 d) -2 e) -5 
16. O M.D.C. dos polinômios x3 -5x2 + 6x e x3 - 3x2 + 2x é: 
a) x2 - 3x b) x2 - 2x c) x2 + 2x d) x - 2 e) x 
17. O número 38 é dividido em duas parcelas. A maior parcela dividida pela menor dá quociente 4 e resto 3. Achar 
o produto dessas duas partes : 
a) 240 b) 136 c) 217 d) 105 e) 380 
18. Sabendo que na equação x2 + Bx - 17 = 0 é positivo e que as raízes são inteiras, achar a soma das raízes : 
a) 17 b) 16 c) -17 d) -10 e) -16 
19. Dar a soma das raízes da equação 24x234x2 4 −=−−− 
a) 12,5 b) 11,5 c) 7 d) 7,5 e) 0 
20. Resolver a inequação 0
4x5x
16x5x
2
2
>
−+
++
 
a) impossível b) qualquer x real c) x < 2 d) 1 < x < 4 e) x > 3 
21. O valor mínimo do trinômio y = 2x2 + bx + p ocorre para x = 3. Sabendo que um dos valores de x que anulam 
esse trinômio é o dobro do outro, dar o valor de p. 
a) 32 b) 64 c) 16 d) 128 e) 8 
22. A equação 1
1x
3x
1x
2
2
−=
+
+
−
−
 : 
a) tem duas raízes de sinais contrários c) tem uma raiz nula e) tem só uma raiz negativa 
b) tem só uma raiz positiva d) é impossível 
23. Dar os valores de m, na equação mx2 - 2mx + 4 = 0, para que as suas raízes tenham o mesmo sinal 
a) m ≤ 0 b) m ≥ 3 c) m ≥ 7 d) m ≤ 5 e) m ≤ 4 
24. Um recipiente é dotado de duas torneiras. A primeira torneira esvazia-o em um tempo inferior a outra de 30 
minutos. Sabendo que as duas torneiras juntas esvaziam o recipiente em 20 minutos, determine em quanto tem-
po a primeira torneira esvazia 60% do recipiente. 
a) 18 minutos b) 30 minutos c) 15 minutos d) 20 minutos e) 12 minutos 
25. Dois inteiros positivos, primos entre si x e y, satisfazem a equação y2 - 6xy - 7x2 = 0. Achar a soma x + y. 
a) 6 b) 8 c) 4 d) 10 e) 13 
 
 
5 
Colégio Naval - 1977 
01. O valor de 63 125,0816 ⋅ é: 
a) 82 b) 3 44 c) 24 d) 3 22 e) 6 24 
02. Os números x, y e z são diretamente proporcionais a 3, 9 e 15 respectivamente. Sabendo que o produto desses 3 
números é xyz = 960, a soma será: 
a) 45 b) 48 c) 36 d) 72 e) 24 
03. Em uma prova realizada em uma escola, foram reprovados 25% dos alunos que a fizeram. Na 2ª chamada, pa-
ra os 8 alunos que faltaram, foram reprovados 2 alunos. A porcentagem de aprovação da turma toda foi de: 
a) 23% b) 27% c) 63% d) 50% e) 75% 
04. O MMC de dois números é 300 e o MDC desses números é 6. O quociente entre o maior e o menor desses nú-
meros: 
a) pode ser 2 c) é um número primo e) nada se pode afirmar 
b) tem 4 divisores positivos d) tem 6 divisores positivos 
05. Um terreno regular tem o comprimento igual a 
2
3
 da largura e o seu perímetro é de 100m. O terreno foi vendi-
do à razão de R$3000,00 o acre e ficou combinado que a metade do preço seria paga na hora e a outra metade 
seria paga 18 meses depois com um juros de 8% ao ano. O custo total do terreno ficou em 
a) R$19080;00 b) R$21800,00 c) R$23640,00 d) R$25800,00 e) R$19440,00 
06. Assinale a frase falsa: 
a) Dois ângulos de lados respectivamente paralelos são iguais ou suplementares 
b) O triângulo retângulo de catetos 6m e 8m, tem a altura relativa à hipotenusa igual a 4,8m. 
c) Se os ângulos opostos de um quadrilátero são iguais, o quadrilátero é um paralelogramo. 
d) A diferença entre o ângulo interno e o ângulo central de um pentágono regular é 60º. 
e) O hexágono regular tem 9 diagonais . 
07. A medida da distância entre os centros de 2 circunferências é dada pelo número 13 e os raios são representados 
pelos números 4x - 3 e 2x - 1. A soma dos valores de x inteiros que tornam as circunferências secantes, sendo o 
1º raio maior que o 2º, é: 
a) 6 b) 25 c) 13 d) 20 e) 22 
08. Um resultado está a 23 cm e 3cm, respectivamente, de 2 duas retas de seu plano que se cortam em um outro 
ponto que está a 6cm do primeiro. O ângulo entre as retas mede: 
a) 60º b) 90º c) 75º d) 80º e) 83º 
09. Um triângulo ABC tem 96m2 de área. AM e BN são duas medianas e P é o ponto de inserção dessas media-
nas. A área do triângulo PMN é de: 
a) 10m2 b) 8m2 c) 12,5m2 d) 9,6m2 e) 6,4m2 
10. A área do segmento circular determinado por uma corda de 34 cm em um círculo de 4cm de raio é : 
a) 




 −
π
33
3
8
cm2 c) ( )334 −π cm2 e) 




 −
π
32
9
16
cm2 
b) 




 −
π
36
3
9
cm2 d) 




 −
π
34
3
16
cm2 
11. A área de um triângulo equilátero inscrito em uma circunferência tem 600cm2. A área do hexágono regular ins-
crito na mesma circunferência medirá : 
a) 1200cm2 b) 450cm2 c) 600 3 cm2 d) 800 3 cm2 e) 1000 3 cm2 
12. Em um círculo de centro em P e 20cm de raio está inscrito um ângulo de 30º formado por duas cordas iguais 
MA e MB . A área do quadrilátero MAPB é de: 
a) 150 3 cm2 b) 200cm2 c) 200( 3 + 1)cm2 d) 100 3 cm2 e) 100( 3 + 1)cm2 
 
 
6 
13. Uma corda de uma circunferência divide um diâmetro da mesma circunferência em partes proporcionais a 1 e 3. 
Sabendo que a corda é perpendicularao diâmetro, vamos ter que a razão do arco maior para o arco menor de-
terminados pela referida corda é : 
a) 5 b) 4 c) 
2
3
 d) 3 e) 2 
14. No triângulo isósceles ABC, o ângulo em A, oposto à base, tem 36º e a bissetriz do ângulo em B intercepta o 
lado AC em um ponto D, podemos afirmar que é igual a : 
a) 
2
AB b) AC+ BC c) AC .DC d) DC . BC e) DB .DC 
15. As tangentes tiradas de um ponto P a um círculo de centro O e 4cm de raio formam um ângulo de 60º e tocam 
o circulo nos pontos Q e T. A área do quadrilátero PQOT é de: 
a) 8 3 cm2 b) 16 3 cm2 c) 24 3 cm2 d) 12 3 cm2 e) 32 3 cm2 
16. A soma da média aritmética com a média geométrica das raízes da equação ax2 - 8x + a3 = 0 dá : 
a) 
a
a4 2−
 b) 
a
a4 2+−
 c) 
a
a8 2+
 d) 
a
a4 2+
 e) 5 
17. Um retângulo é tal que se aumentarmos de 1cm a menor de suas dimensões, a sua área aumentará de 20%, mas 
se tivéssemos aumentado cada uma das dimensões de 2cm, a área seria aumentada de 75%. O perímetro do re-
tângulo é de: 
a) 32cm b) 24cm c) 26cm d) 20cm e) 28cm 
18. Uma expressão do 1º grau em x se anula para x = 2 e tem valor numérico 2 - 8 para x = 1. O valor numé-
rico dessa expressão para x = 8 é: 
a) 1 b) 4 2 c) 2 d) 3 2 e) 2 2 
19. Se as equações do 2º grau (2p + q)x2 - 6qx - 3 = 0 e (6p - 3q)x2 - 3(p - 2)x - 9 = 0 possuem as mesmas raízes, 
então: 
a) p = 6q + 2 b) p + q = 7 c) 3q = p + 2 d) p - 2 = 0 e) 2p + 3q = 8 
20. Simplificando ( )( ) 222222
44
ba
ab2
ab2baab2ba
ba
−
−
−+++
−
 para b ≠ ± a obtém-se: 
a) 1 b) 
ba
ba
−
+
 c) 
a
b
 d) 
ba
ba
+
−
 e) 
b
a
 
21. Uma liga ouro e cobre contém 9 partes de ouro para 12 de cobre. Outra liga, também de ouro e cobre tem 60% 
de ouro. Para se obter uma liga com 36 gramas e partes iguais de ouro e cobre, devemos tomar das ligas inici-
ais: 
a) 12 gramas da 1ª e 24 gramas da 2ª d) 21 gramas da 1ª e 15 gramas da 2ª 
b) 24 gramas da 1ª e 12 gramas da 2ª e) 16 gramas da 1ª e 20 gramas da 2ª 
c) 18 gramas de cada uma 
22. Uma das raízes da equação 2x2x2 =−−+ 
a) 2 b) 5− c) 3− d) 2− e) 6 
23. O sistema 





=
=−
16xy
8
3
y
1
x
1
 admite para x e y valores positivos cuja soma é: 
a) 6 b) 10 c) 12 d) 14 e) 16 
24. Se abc ≠ 0 e a + b + c = 0, o trinômio y = ax2 + bx + c: 
a) pode ter raízes nulas c) tem uma raiz positiva e) tem as raízes simétricas 
b) não tem raízes reais d) só tem raízes negativas 
25. A razão entre as áreas dos quadrados inscritos em um semicírculo e num círculo de mesmo raio é igual: 
a) 1:2 b) 2:3 c) 2:5 d) 3:4 e) 3:5 
 
 
7 
Colégio Naval - 1978 
01. Sejam os conjuntos X = {-1, 0, 1, 2}; ∅ = conjunto vazio; Y = Conjunto dos números pares positivos que são 
primos; Z = Conjunto dos múltiplos de 2 que têm um algarismo e que não são negativos. É falso afirmar que: 
a) {x ∈ (X ∩ Y) / x > 3} = ∅ d) {x ∈ (X ∩ Y) / x ≤ 2} = {2} 
b) {x ∈ (X - Y) / x < 4} = {-1, 0, 1} e) {x ∈ (Z - Y) / x < 8} = Z - {8} 
c) {x ∈ (X ∪ Y) / x < 5} = X 
02. A soma das raízes da equação 
3
27x543 −
 - 6 729x1458 − = -2 é: 
a) 20,5 b) 10,5 c) 33,5 d) 30,5 e) 23,5 
03. Um retângulo tem dimensões 8cm e 6cm. De cada vértice traça-se a bissetriz interna. A área do quadrilátero cu-
jos vértices são as interseções das bissetrizes é: 
a) 3cm2 b) 4cm2 c) 6cm2 d) 2cm2 e) 12cm2 
04. A soma dos valores reais de k que fazem com que a equação x2 - 2(k + 1)x + k2 + 2k - 3 = 0 tenha uma de suas 
raízes igual ao quadrado da outra é: 
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 
05. A1, A2, A3, A4, A5, A6, A7, A8 são os vértices consecutivos de um octógono regular de 6 2 cm de lado. Ligan-
do-se os pontos A1, A2, A3, A4 obtém-se um trapézio cuja área é, em cm
2. de: 
a) 18( 2 + 1) b) 24( 2 + 2) c) 24( 2 + 1) d) 36( 2 + 2) e) 36( 2 + 1) 
06. Depois de transformarmos o sistema 




=−+−
=+−−
32yyxxyx
16yyxxyx
3223
3223
 em um do 1º grau , os valores de módulo dife-
rentes de x e y têm para módulo da diferença: 
a) 1 b) 5 c) 4 d) 3 e) 2 
07. O valor mais aproximado de 
...333,4
3
2
00243,016 575,0
+
+−
 é: 
a) 0,045 b) 0,125 c) 0,315 d) 0,085 e) 0,25 
08. Se na equação ax2 + bx + c = 0 a média harmônica das raízes é igual ao dobro da média aritmética destas raízes, 
podemos afirmar que: 
a) 2b2 = ac b) b2 = ac c) b2 = 2ac d) b2 = 4ac e) b2 = 8ac 
09. O piso de uma cozinha tem 0,045hm de comprimento e 0 ,5dam de largura. Sabendo-se que para ladrilhar a co-
zinha foram usados ladrilhos quadrados de lado 15cm, ao preço unitário de R$0,30 e que comprou-se 8% a 
mais do número de ladrilhos necessários para eventuais perdas, a despesa na compra de ladrilho foi de: 
a) R$324,00 b) R$234,00 c) R$423,00 d) R$243,00 e) R$342,00 
10. O comprimento do arco de um setor circular com 6πcm2 de área, de um círculo com 12cm de raio é: 
a) 4πcm b) 
2
3
πcm c) 3πcm d) 2πcm e) πcm 
11. A divisão de um número inteiro e positivo A pelo número inteiro positivo B dá o quociente Q e deixa o resto R. 
Se aumentarmos o dividendo A de 9 unidades, mantendo o mesmo divisor B, a divisão dá exata e o quociente 
aumenta de 2 unidades. O menor valor da soma A + B que satisfaz as condições acima é: 
a) 9 b) 11 c) 8 d) 10 e) 13 
12. Certa máquina, trabalhando 5 horas por dia, produz 1200 peças em 3 dia. O número de horas que deveria traba-
lhar no 6º dia, para produzir 1840 peças se o regime de trabalho fosse de 4 horas diárias seria: 
a) 18 horas b) 3,75 horas c) 2 horas d) 3 horas e) Nenhuma hora 
13. Num triângulo de lados a = 148 cm , b = 6cm e c = 8cm a projeção do lado c sobre o lado b mede: 
a) 3cm b) 4cm c) 4,5cm d) 3 ,5cm e) 5cm 
 
 
8 
 Y 
 C D 
 B A 
 O 
 X 
14. O produto de dois números inteiros é 2880. O primeiro destes números é um quadrado perfeito e o segundo não 
é quadrado perfeito, mas a raiz quadrada do segundo por falta excede a raiz quadrada do primeiro de 2 unida-
des. O maior destes dois números é: 
a) múltiplo de 15 b) menor que 50 c) maior que 90 d) menor que 68 e) maior que 70 
15. Um triângulo retângulo tem os catetos medidos 3cm cada um. Tomando-se os catetos e a hipotenusa como la-
dos, construirmos externamente 3 quadrados cujos centros são os pontos A, B e C. A área do triângulo ABC é: 
a) 
2
9
cm2 b) 18cm2 c) 9cm2 d) 
4
9
cm2 e) 6cm2 
16. Determine a área da figura hachurada OBCD sabendo que OB = R; O é o centro 
do círculo; CD é o paralelo a OB ; AB e XY são diâmetros perpendiculares. 
a) 
( )
4
3R 2 +π
 c) 
( )
π
+ 33R 2
 e) 
12
3R 2 +π
 
b) 
( )
24
332R 2 +π
 d) 
4
3R 2 +π
 
17. Sejam N = o conjunto dos inteiros não negativos; Z = o conjunto dos números inteiros e Q = o conjunto dos 
números racionais. Podemos afirmar que: 
a) {x ∈ N / x > 0} = Z - {0} c) {x ∈ Q / 2x - 5= 0} ⊂ Z e) N ∩ Z ∩ Q = ∅ 
b) {x ∈ (Z ∩ Q) / x2 - 
2
3
x + 
2
1
 = 0} ≠ ∅ d) {x ∈ Q / x2 - 4 = 0} ⊂ N 
18. Dois ângulos internos e opostos de um quadrilátero inscrito em um circunferência são proporcionais aos núme-
ros 2 e 5. O menor desses ângulos mede: 
a) 24º22’23
''
7
4
 b) 35º22’35
''
7
3
 c) 51º25’42
''
7
6
 d) 37º27’32
''
7
6
 e) 52º23’35
''
7
5
 
19. A soma dos valores inteiros e positivos de x que satisfazem a inequação 
4x3x
7x4x
2
2
++−
++−
 ≥ 1 dá: 
a) 8 b) 10 c) 6 d) 9 e) 14 
20. Um losango é interno a uma circunferência de 6cm de raio, de maneira que a diagonal maior do losango coinci-
de com um diâmetro da circunferência. Sabendo que um dos ângulos internos do losango tem 60º podemos a-
firmar que a área deste losango é: 
a) 12 3 cm2 b) 24 3 cm2 c) 48 3 cm2 d) 6 3 cm2 e) 36 3 cm2 
21. Se P(x) = ax2 + bx + c e P(k) é o seu valor numérico para x = k e sabendo que P(3) = P(-2) = 0 e que P(1) = 6, 
podemos afirmar que P(x) 
a) tem valor negativo para x = 2 d) tem valor máximo igual a 
4
25
 
b) tem valor máximo igual a 
4
27
 e) tem valor mínimo igual a -
4
25
 
c) tem valor máximo igual a 
4
11
 
22. Um ponto P dista d de uma circunferência de raio R. Do ponto P traçam-se as tangentes PA e PB à circunferên-
cia. A expressão da flecha menor da corda AB é: 
a) 
Rd
Rd
+
−
 b) (d + R)(d - R) c) 
Rd
dR
+
 d) 
22 dR
dR
−
 e) 
22 Rd
dR
+
 
23. Num triângulo de vértices A, B, e C, os lados opostos medem respectivamente a = 13cm, b = 12cm e c = 5cm. 
O círculo inscrito tem centro em O e tangencia os lados a e b respectivamente nos pontos T e P. A área do qua-
drilátero CTOP mede: 
a) 6cm2 b) 20cm2 c) 4cm2 d) 10cm2 e) 8cm2 
 
 
 
9 
24. O quociente de dois números inteiros dá 
4
7
 e o mínimo múltiplo comum entre esses dois números é 1680, o 
máximo divisor comum terá 
a) 12 divisores b) 16 divisores c) 8 divisores d) 10 divisores e) 20divisores 
25. A soma de todos os valores inteiros e positivos de P que fazem com que y = Px - P - 3 - x2 seja negativo para 
qualquer valor de x é: 
a) 21 b) 28 c) 10 d) 14 e) 15 
 
 
10 
 Q 
 
 P 
 A 
 R 
 S A 
 E D 
 G F 
 B C 
Colégio Naval - 1978 - Anulada 
01. A área do quadrilátero circunscrito a um círculo de 4cm de raio e que tem para soma dos comprimentos de dois 
de seus dois lados opostos 17cm, é: 
a) 68cm
2
 b) 34cm
2
 c) 136cm
2
 d) 51cm
2
 e) 40cm
2
 
02. A hipotenusa do triângulo retângulo, em que as medianas dos catetos medem 17 cm e 8 cm , tem: 
a) 5 2 cm b) 2 5 cm c) 5cm d) 8cm e) 4 2 cm 
03. A área de um círculo inscrito em um setor circular de 90º , de um círculo de (3 + 3 2 )cm de raio, é: 
a) (4 + 3 2 )πcm2 b) (3 - 4 2 )πcm2 c) 
( )
4
21827 +
πcm2 d) (4 - 3 2 )πcm2 e) 9πcm2 
04. Um triângulo eqüilátero ABC tem 16 3 cm
2
 de área. Do ponto Q sobre BC , traçamos paralelas aos outros dois 
lados, determinando os pontos P e R sobre estes lados. O perímetro do paralelogramo APQR mede: 
a) 24cm b) 16cm c) 12cm d) 8 3 cm e) 16 3 cm 
05. A diferença entre o número de diagonais de dois polígonos convexos é 29 , e a diferença entre as somas dos ân-
gulos internos destes polígonos é de 360 º . A soma dos números de lados dos dois polígonos é: 
a) 22 b) 28 c) 32 d) 36 e) 35 
06. O perímetro de um triângulo retângulo isósceles é 2cm. A área deste triângulo é igual a: 
a) (1 + 3 )cm
2
 b) (2 - 2 )cm
2
 c) 3cm
2
 d) 
2
3
cm
2
 e) (3 - 2 2 )cm
2
 
07. O máximo divisor comum dos polinômios x
3
 - 5x
2
 + 6x e x
2
 - 4x + 3 é: 
a) x - 1 b) x - 2 c) x - 3 d) x + 1 e) x + 3 
08. Para que o trinômio y = x
2
 - 4x + k tenha seu valor mínimo igual a -9, o maior valor de x que anula este trinô-
mio, é: 
a) 2 b) 4 c) 1 d) 5 e) 3 
09. A soma dos cubos das raízes da equação x
2
 - 3 3 x + 3 9 = 0 é: 
a) -3 b) -12 c) -9 d) 12 e) -6 
10. ABC é um triangulo retângulo em A , de hipotenusa igual a 8cm. O ângulo C mede 30º. Ligando o vértice C a 
um ponto M do cateto oposto AB , e sendo P o pé da perpendicular baixada de M sobre a hipotenusa CB , ob-
tém-se os triângulos AMC e MBP de mesma área. O valor de MB é: 
a) 3( 2 + 1)cm b) ( 2 + 1)cm c) 3 5 cm d) 8( 2 - 1)cm e) 2 3 cm 
11. Na figura temos que a medida do ângulo A é igual a 30º, o menor arco 
QS é dobro do menor arco PR e as cordas PQ e RS são iguais. A razão 
da corda QS para a corda PR é: 
a) 
2
3
 b) 2 c) 2 d) 3 e) faltam dados 
12. Na figura, temos AD = DF = FC = AE = EG = GB = 2cm e 
BC = 6 2 cm. A área do trapézio DEGF é igual a: 
a) 2 2 cm
2
 b) 6cm
2
 c) 3cm
2
 d) 4 2 cm
2
 e) 4cm
2
 
13. O produto do mínimo múltiplo comum pelo máximo divisor comum 
de dois múltiplos de um número inteiro N é 4235. O número N é: 
a) 385 b) 77 c) 55 d) 11 e) 35 
14. Se, ao efetuarmos o produto do número 13 por um número inteiro N de dois algarismos e, por engano, inverte-
mos a ordem dos algarismos desse número N, o resultado poderá aumentar de 
a) 130 b) 260 c) 65 d) 167 e) 234 
 
 
11 
15. Os ângulos internos de um quadrilátero convexo são proporcionais aos números 3, 7, 10 e 12. O menor dos ân-
gulos mede: 
a) 16º52’30’’ b) 11º15’ c) 27º20’ d) 33º45’ e) 31º12’17’’ 
16. Se 30 operários gastaram 18 dias, trabalhando 10 horas por dia, para abrir um canal de 25 metros, quantos dias 
de 12 horas de trabalho 10 operários, que têm o triplo da eficiência dos primeiros, gastarão para abrir um canal 
de 20 metros, sabendo-se que a dificuldade do primeiro está para a do segundo do como 3 está para 5? 
a) 20 dias b) 24 dias c) 60 dias d) 25 dias e) 13 dias 
17. Certa pessoa pesava 65 quilos no dia primeiro de setembro. Durante este mês, seu peso diminuiu de 20%. To-
davia, durante o mês de outubro, seu novo peso aumentou de 20%. Esta pessoa pesará, no dia primeiro de no-
vembro: 
a) 78 quilos b) 65 quilos c) 62 ,4 quilos d) 54,95 quilos e) 63,4 quilos 
18. O resto da divisão por 5 do número 5743
9319
 é: 
a) 0 b) 2 c) 1 d) 4 e) 3 
19. Seja R o conjunto dos números reais e Z o conjunto dos números inteiros. Seja A = {x ∈ R / x3 + x = 0}, 
B = {x ∈ Z / -2 < 2x + 2 < 2} E C = {x ∈ (R ∩ Z) / x2 - 2 x = 0}. Então, 
a) A - C = {0} b) C - B = { 2 } c) C ∩ A = A d) A ∪ C = B e) A ∪ B = C 
20. Para que 4 + 11 seja uma das raízes da equação x
2
 + Bx + C = 0, com B e C inteiros, o produto BC será: 
a) 20 b) 40 c) 30 d) 60 e) 64 
21. Para que, no sistema 



=+
=+
2
3
y
m
x
6myx
 o valor de x seja o dobro do valor de y, m pode ter valores cuja soma é: 
a) 1 b) -2 c) 3 d) -1 e) 5 
22. Na solução do sistema 




−=+−
++=+++
2222
223223
yxy2xy4x2
y2xy4x2yxy3yx3x
 encontramos, para x e y , valores tais que 
x + y é igual a: 
a) 4 b) 2 c) 1 d) 5 e) 3 
23. O menor número inteiro que se deve somar ao polinômio x
3
 + x - 1, para que o resto da sua divisão por x + 3 
seja um número par positivo, é: 
a) 33 b) 31 c) 39 d) -1 e) 29 
24. Todos os valores de x que satisfazem a expressão -15 < 3x
2
 - 2x - 20 < 20, são os do intervalo: 
a) 




∪




 −− 4,
3
5
1,
3
10
 c) 




∪




 −− 3,
3
5
1,
3
10
 e) 





4,
3
5
 
b) ( ) 




∪−− 4,
3
5
1,3 d) 




∪




 −− 4,
3
5
2,
3
10
 
25. O valor de K positivo, para que a diferença das raízes da equação x
2
 - 2Kx + 2K = 1 seja 10, é: 
a) 6 b) 8 c) 5 d) 1 e) 10 
 
 
 
 
12 
Colégio Naval - 1979 
01. Um quadrilátero é circunscritível a um círculo e tem os lados proporcionais aos números 6 , 18 , 24 e 36 e a 
soma das medidas de dois lados opostos dá 14. Podemos dizer que o produto dos dois lados maiores dá: 
a) 24 b) 96 c) 72 d) 60 e) 100 
02. Um paralelogramo está inscrito em uma circunferência e um de seus ângulos internos mede em graus 7x - 20º. 
O valor de x é: 
a) 15º42’51
''
7
3
 b) 15º43’17
''
7
1
 c) 15º40’32
''
7
1
 d) 15º45’35
''
7
2
 e) o problema é impossível 
03. O valor de p para que o trinômio do 2º grau px
2
 - 4p
2
x + 24p tenha máximo 
igual a 4K, quando x = K é: 
a) 2 b) -2 c) 3 d) -3 e) 1 
04. Um polígono regular convexo tem o ângulo interno medindo 150º . O número das diagonais deste polígono que 
não passam pelo seu centro é: 
a) 48 b) 42 c) 54 d) 65 e) 30 
05. O lado de um losango é igual ao lado de um quadrado. Tendo áreas diferentes, a soma de suas áreas dá 18cm
2
. 
A soma das duas diagonais do losango dá: 
a) 6 2 cm b) 8 2 cm c) 9 2 cm d) 12 2 cm e) 10 2 cm 
06. Se a distância do ponto P ao centro de um círculo aumentar de 
5
2
 de sua medida (x) a potência do ponto P em 
relação ao círculo aumentará de: 
a) 20% de x
2
 b) 42% de x
2
 c) 96% de x
2
 d) 86% de x
2
 e) 92%d e x
2
 
07. O valor de K na equação x
2
 + Mx + K = 0, para que uma de suas raízes seja o dobro da outra e o seu discrimi-
nante seja igual a 9 é: 
a) 20 b) 10 c) 12 d) 15 e) 18 
08. Dois círculos se tangenciam externamente e ambos tangenciam os lados de um ângulo de 60º que os contém. A 
razão da área do menor círculo para a área do maior é: 
a) 
4
1
 b) 
9
1
 c) 
25
2
 d) 
16
1
 e) 
16
9
 
09. Um trapézio retângulo tem a base maior medindo 9cm e uma diagonal medindo 6cm é perpendicular ao lado 
não paralelo. A área do trapézio é de: 
a) 18 5 cm b) 15 5 cm c) 13 5 cm d) 27 5 cm e) 16 5 cm 
10. Em um círculo as cordas AB e CD são perpendiculares e se cortam no ponto I. Sabendo que AI 6cm, 
IB = 4cm e CI = 2cm, podemos dizer que a área do círculo é de: 
a) 144cm
2
 b) 100cm
2
 c) 120cm
2
 d) 60cm
2 
 e) 50cm
2
 
11. O número de divisores de X = 2
5
.3
2
.6
2
 é: 
a) 54 b) 28 c) 20 d) 9 e) 40 
12. No triângulo ABC, AB = 12 e AC = 8. A bissetriz interna do ângulo em A corta o lado BC em D e a bissetriz 
externa do mesmo ângulo corta o prolongamento do lado BC em E. A razão da área do triângulo ACE para a 
área do triângulo ABD é: 
a) 
3
8
 b) 
2
3
 c) 
9
4
 d) 
3
10
 e) 
2
5
 
13. Sejam os conjuntos X = conjunto dos números ímpares positivos que têm um algarismo, Y = conjunto dos divi-
sores ímpares e positivos de 10, Z = conjunto dos múltiplos não negativos de 3, que têm um algarismo e 
∅ = conjunto vazio. Assinale a afirmativa correta 
a) X - Y = {3, 6, 7, 9} c) (X ∩ Y) - (X ∪ Z) = {3, 6, 7, 9, 0} e) Z - Y = ∅ 
b) Y - X = {3, 7, 9} d) (Y ∩ Z) ∪ X = {1, 3, 5, 7, 9} 
 
 
13 
14. Em um círculo uma corda AB de 4 2 cm forma com uma tangente ao círculo no ponto A um ângulo de 45º. O 
menor arco tem comprimento medindo: 
a) 6πcm b) 4πcm c) 2πcm d) 8πcm e) 4π 3 cm 
15. Simplificando 
( )( )
128x2
4x8x4x2
3
22
+
−+−
 vamos encontrar: 
a) 2 (x +2) b) 2 (x -2) c) 2 (x
2
 -4) d) 2 e) 
2
2
 
16. O sistema 



=−
+=+
myy3x2
x31ymx
 
a) é possível e determinado para todo m. d) não é indeterminado, qualquer que seja o valor de m. 
b) é impossível para m ≠ 2 e m ≠ 1. e) não é impossível, seja qual for o valor de m. 
c) é possível e indeterminado para m = 2 e m = -1. 
17. As divisões, do número x por 4 e do número y por 3, têm resultados exatos e iguais. Sabendo que o menor múl-
tiplo comum multiplicado pelo maior divisor comum desses dois números x e y, dá 588, podemos dizer que a 
soma x + y dá: 
a) 36 b) 52 c) 49 d) 42 e) 64 
18. Sejam os conjuntos N = conjunto dos inteiros não negativos, Z = conjunto dos inteiros, Q = conjunto dos racio-
nais e R = conjunto dos reais. Assinale a afirmativa falsa. 
a) {x ∈ N / x2 - 4 = 0} é um conjunto com um elemento. 
b) {x ∈ Q / x2 - 3 = 0} é um conjunto vazio. 
c) {x ∈ R / x2 + 4 = 0} é um conjunto que tem dois elementos. 
d) {x ∈ Z / x2 - 4 = 0} é um conjunto que tem dois elementos. 
e) {x ∈ Z / x ∉ N} é um conjunto não vazio. 
19. O valor de y no sistema 



+−=+
=+
1m4myx3
3yx2
2
 quando x assume o seu valor mínimo é: 
a) 11 b) 1 c) 7 d) 15 e) 9 
20. O maior divisor comum dos 3 polinômios: x
2
 - 4x + 4; 2x
2
 - 8 e mx + p é x - 2 . Então: 
a) p - m = 0 b) 2p - m = 0 c) 2p + m = 0 d) p + 2m = 0 e) p - 2m = 0 
21. Com uma produção diária constante, uma máquina produz 200 peças em D dias. Se a produção diária fosse de 
mais 15 peças, levaria menos 12 dias para produzir as 200 peças. O número D é um número: 
a) múltiplo de 6 b) primo c) menor que 17 d) maior que 24 e) entre 17 e 24 
22. Sendo x e y números positivos e x maior do que y, que satisfazem o sistema 




=−
=−++
6yx
5yxyx
22
 vamos ter 
x
2
 + y
2
 igual a: 
a) 48,5 b) 42 c) 40 ,5 d) 45 e) 45 ,5 
23. Um comerciante vendeu 
10
3
 de uma peça de fazenda com um lucro de 30% e a parte restante com um prejuízo 
de 10%. No total da operação, o comerciante: 
a) teve um lucro de 20%. c) teve um prejuízo de 20%. e) não teve lucro nem prejuízo 
b) teve um lucro de 2%. d) teve um prejuízo de 20%. 
24. A expressão 
3
33
2
225,0 −
 é equivalente a: 
a) 3 2− b) 
4
23
 c) -1 d) -
2
1
 e) 3 5,0 
 
 
14 
25. A soma dos quadrados dos inversos das raízes da equação Kx
2
 - Wx + p = 0 , sendo Kp ≠ 0, é: 
a) 
2
2
p
Kp2W −
 b) 
2
2
p
Kp4W −
 c) 
2
2
p
WKp2 −
 d) 
2
2
p
WKp4 −
3
10
 e) 
W
Kp
 
 
 
15Colégio Naval - 1980 
01. PQ é a corda comum de duas circunferências secantes de centros em A e B. A corda PQ , igual a 4 3 cm, de-
termina, nas circunferências, arcos de 60º e 120º . A área do quadrilátero convexo APBQ é: 
a) 6 3 cm
2
 b) (3 3 + 12)cm
2
 c) (12 + 6 3 )cm
2
 d) 12cm
2
 e) 16 3 cm
2
 
02. A razão entre as áreas de dois círculos tangentes exteriores dá 9 e a soma dos comprimentos de suas circunfe-
rências 8πcm. Uma tangente comum aos dois círculos corta a reta que contém os dois centros em um ponto ex-
terior P que está a uma distância do centro do círculo maior de: 
a) 5cm b) 7cm c) 4cm d) 3cm e) 6cm 
03. Uma figura de 6 pontas é obtida pela arrumação de 2 triângulos equiláteros circunscritos ao círculo de 4cm de 
raio, de maneira que os lados fiquem 2 a 2, paralelos. A área dessa figura é: 
a) 32 3 cm
2
 b) 64 3 cm
2
 c) 96 3 cm
2
 d) 36 3 cm
2
 e) 72 3 cm
2
 
04. Na base AB de um triângulo isósceles de vértice C, toma-se o ponto P. A base mede 3cm e o perímetro 17cm. 
Do ponto P tomam-se paralelas aos lados iguais, obtendo um paralelogramo que terá de perímetro: 
a) 20cm b) 23cm c) 14cm d) 18cm e) 16cm 
05. Um quadrilátero convexo inscrito em um círculo de 3cm de raio tem dois ângulos internos iguais. Um 3º ângulo 
interno mede 150º. A soma das diagonais dá: 
a) ( 3 + 3)cm b) 9cm c) 6cm d) ( 2 + 3 3 )cm e) (3 + 3 3 )cm 
06. A área do círculo inscrito no trapézio que tem 32 3 cm
2
 de área, e 16cm para soma dos lados não paralelos é 
de: 
a) 18πcm2 b) 12πcm2 c) 27πcm2 d) 16πcm2 e) 9πcm2 
07. A área do losango que tem um ângulo interno de 120º e que circunscreve um círculo de 16πcm2 de área é de: 
a) 64 3 cm
2
 b) 128 3 cm
2
 c) 
3
3132
cm
2
 d) 
3
380
cm
2
 e) 
3
3128
cm
2
 
08. Em uma circunferência de 6cm de raio estão os arcos AB = 60º e BC = 120º. A altura do triângulo ABC relati-
vamente ao maior lado mede: 
a) 2 3 cm b) 2cm c) 5 3 cm d) 3 3 cm e) 4 3 cm 
09. Um triângulo isósceles tem o ângulo de 30º formado pelos lados iguais, que mede 8cm cada um. A área desse 
triângulo é de: 
a) 16 3 cm
2
 b) 8 3 cm
2
 c) 12cm
2
 d) 16cm
2
 e) 64cm
2
 
10. Um paralelogramo tem 24cm de perímetro, 24cm
2
 de área e uma altura é o dobro da outra. A soma dessas altu-
ras dá : 
a) 5cm b) 7cm c) 9cm d) 11cm e) 13cm 
11. Um exercício sobre inequações tem como resposta {x ∈ R / x < -1 ou 0 < x < 5}. O exercício pode ser: 
a) 0
x
5x4x 2
>
−
−−
 c) (x
3
 - 4x
2
 - 5x) > 0 e) 0
5x4x
x
2
≥
−−
−
 
b) (-x
3
 + 4x + 5x) ≥ 0 d) 0
x5x4x
1
23
≥
++−
 
12. Sendo X = {-3, - 2 , -2, -1, 1} será vazio o conjunto: 
a) 






=−∈ 21x2/Xx 2 c) {x ∈ X / x2 + x = x3 + x} e) 






>
+−
+
∈ 0
2x
5x
/Xx
2
 
b) {x ∈ X / x2 > 1 e x < -2} d) {x ∈ X / x - 2x + = 0} 
13. Se P(x) = ax
2
 + bx + c e P(-1).P(1) < 0 e P(1).P(2) < 0, P(x) pode admitir, para raízes, os números: 
a) 0,3 e 3,2 b) -2,4 e 1,5 c) -0,3 e 0,5 (d) 0,7 e 1,9 (e) 1,3 e 1,6 
 
 
16 
14. O trinômio do segundo grau y = (K + 1)x
2
 + (K + 5)x + (K
2
 - 16) apresenta máximo e tem uma raiz nula. A ou-
tra raiz é: 
a) uma dízima periódica positiva c) decimal exata positiva e) inteira 
b) uma dízima periódica negativa d) decimal exata negativa 
15. Sendo B e C números inteiros, o grau do polinômio que representa o quociente 
( ) ( )
( ) ( )4242
22423
3x3Cxx
x7x1x3Bxx
−+−+
−−+−
 
é: 
a) 1º b) 6º c) 4º d) 8º e) 2º 
16. A soma das soluções da equação 1x2 + - 4 3 1x2 + + 3 6 1x2 + = 0 dá um número: 
a) nulo b) par entre 42 e 310 c) ímpar maior que 160 d) irracional e) racional 
17. Para se decompor a fração 
6x5x
4x3
2 +−
−
 na soma de duas outras frações com denominadores do 1º grau, a soma 
das constantes que aparecerão nos numeradores dará: 
a) 3 b) -5 c) 6 d) -4 e) 5 
18. Relativamente às operações com conjuntos, é falso afirmar que: 
a) A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) d) se A ∩ B = B ∩ A então A = B 
b) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∩ (A ∩ C) e) se A - B = B - A então A = B 
c) se A ∩ B = ∅ então A - B = A 
19. Fatorando e simplificando a expressão 
)1x)(8x12x6x(
)4x5x(2)4x5x(x
223
2424
−−+−
+−−+−
 obtemos: 
a) 
2x
2x
−
+
 b) 
1x
2x
−
−
 c) 
2x
1x
−
+
 d) 
2x
2x
+
−
 e) 1 
20. Se o trinômio y = mx(x - 1) - 3x
2
 + 6 admite (-2) como uma de suas raízes, podemos afirmar que o trinômio: 
a) tem mínimo no ponto x = -0,5 c) pode ter valor numérico 10 e) tem máximo no ponto x = -0,25 
b) pode ter valor numérico 6,1 d) tem máximo no ponto x = 0,5 
21. Em um problema de regra de três composta, entre as variáveis X, Y e Z, sabe-se que, quando o valor de Y au-
menta, o de X também aumenta; mas, quando Z aumenta, o valor de X diminui, e que para X = 1 e Y = 2, o va-
lor de Z = 4. O valor de X, para Y = 18 e Z = 3 é: 
a) 6,75 b) 0,333... c) 15 d) 12 e) 18 
22. Se, ao multiplicarmos o número inteiro e positivo N por outro número inteiro e positivo de 2 algarismos, inver-
temos a ordem dos algarismos deste segundo número, o resultado fica aumentado de 207. A soma dos algaris-
mos que constituem o número N dá: 
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 
23. Dois veículos partem juntos de um ponto A , em uma corrida de ida e volta entre os pontos A e B. Sabendo que 
a distância AB = 78km e que as velocidades dos veículos são 70km/h e 1000 metros por minuto, concluímos 
que eles voltam a se encontrar depois do tempo de: 
a) 1h 30min b) 1h 12min c) 1h 40min d) 1h 42min e) 1h 36min . 
24. O número inteiro e positivo N, de dois algarismos, quando dividido por 13, dá quociente A e resto B e, quando 
dividido por 5, dá quociente B e resto A . A soma de todos os valores de N que se adaptam às condições acima 
dá: 
a) 160 b) 136 c) 142 d) 96 e) 84 
25. A soma de dois números inteiros positivos, em que o maior é menor que o dobro do menor, dá 136 e o máximo 
divisor comum entre eles é 17. A diferença entre esses números é: 
a) 102 b) 65 c) 34 d) 23 e) 51 
 
 
17 
Colégio Naval - 1981 
01. Se h, g e a são, respectivamente, as médias; harmônica, geométrica e aritmética entre dois números, então: 
a) ah = 2g b) ah = g c) ah = 2g2 d) ah = g2 e) ah = 2 g 
02. Uma bicicleta tem uma roda de 40cm de raio e a outra de 50cm de raio. Sabendo que a roda maior dá 120 voltas 
para fazer certo percurso, quantas voltas dará a roda menor, para fazer 80% do mesmo percurso? 
a) 78,8 b) 187,5 c) 120 d) 96 e) 130 
03. Um capital foi empregado da seguinte maneira: seus dois quintos rendendo 40% ao ano e a parte restante ren-
dendo 30% ao ano. No fim de um ano, a diferença entre os juros das duas partes foi de CR$2700,00. Qual era o 
capital inicial? 
a) CR$94500,00 c) CR$140000,00 e) CR$135000,00 
b) CR$27000,00 d) CR$120000,00 
04. 3 3610 + é igual a: 
a) 1 + 7 b) 1 +6 c) 1 + 5 d) 1 + 3 e) 1 + 2 
05. Um número natural de 6 algarismos começa, à esquerda, pelo algarismo 1. Levando-se este algarismo 1, para o 
último lugar, à direita, conservando a seqüência dos demais algarismos, o novo número é o triplo do número 
primitivo. O número primitivo é: 
a) 100006 b) múltiplo de 11 c) múltiplo de 4 d) maior que 180000 e) divisível por 5 
06. Sendo X e Y conjuntos em que: X – Y = {a, b} e X ∩ Y = {c}. O conjunto X pode ser: 
a) {∅} b) {a} c) {a, d} d) {a, c, d} e) {a, b, c, d} 
07. x2 - 
3x
x4
−
 divido por x + 
3x2x
x4x4
2
2
−−
+
 para x ≠ 3 e x ≠ -1 dá: 
a) x + 1 b) x – 4 c) x + 4 d) x2 – 3 e) x – 1 
08. Na equação x2 – mx – 9 = 0, a soma dos valores de m, que fazem com que as suas raízes a e b satisfaçam a rela-
ção 2a + b = 7 dá: 
a) 3,5 b) 20 c) 10,5 d) 10 e) 9 
09. Os valores de K que fazem com que a equação: Kx2 – 4x + K = 0 tenham raízes reais e que seja satisfeita a ine-
quação 1 – K ≤ 0 são os mesmos que satisfazem a inequação: 
a) x2 – 4 ≤ 0 b) 4 – x2 ≤ 0 c) x2 – 1 ≥ 0 d) x2 – 3x + 2 ≤ 0 e) x2 – 3x + 2 ≥ 0 
10. Para valores de x inteiros e x ≥ 2, os inteiros P e Q têm para expressões P = x2 + 2x – 3 e Q = ax2 + bx + c e o 
produto do máximo divisor comum pelo mínimo múltiplo comum desses números, P e Q dá x4+5x3-x2-17x+12. 
A soma de a, b e c é: 
a) 0 b) 8 c) 6 d) 2 e) 1 
11. Relativamente ao trinômio: y = x2 – bx + 5, com b constante inteira, podemos afirmar que ele pode: 
a) se anular para um valor de x d) ter valor mínimo igual a 1 
b) se anular para dois valores reais de x cuja soma seja 4 e) ter máximo para b = 3 
c) se anular para dois valores reais de x de sinais contrários 
12. Sobre o sistema 



=+
=+
ayx
1yxa 2
 podemos afirmar: 
a) para a = 1, o sistema é indeterminado d) para a = 0, x = y = 2 
b) para a = -1, o sistema é determinado e) para a = -1, x = y = 3 
c) para a ≠ -1, o sistema é impossível 
13. A equação 1x3 + - 1x2 − = 1 tem duas raízes cuja soma é: 
a) 10 b) 4 c) 8 d) 5 e) 6 
 
 
18 
14. Se 
22
22
yx
yx
+
 = 2, 
22
22
zx
zx
+
 = 3 e 
22
22
zy
zy
+
 = x. O produto dos valores de x nesse sistema é: 
a) -1,5 b) -2,4 c) -3,2 d) 2,5 e) 3,4 
15. A área máxima do retângulo que se pode inscrever no triângulo retângulo de catetos com 3cm e 4cm de manei-
ra que dois lados do retângulo estejam sobre os catetos e um vértice do retângulo sobre a hipotenusa é: 
a) 3cm2 b) 4cm2 c) 5cm2 d) 4,5cm2 e) 3,5cm2 
16. X é o lado do quadrado de 4820mm2 de área; Y é o lado hexágono regular de 
2
37
cm de apótema e Z é o lado 
do triângulo eqüilátero inscrito no círculo de 5cm de raio. Escrevendo em ordem crescente esse três números te-
remos: 
a) Z, X,Y b) Z, Y, X c) Y, Z, X d) Y, X, Z e) X, Y, Z 
17. Um hexágono tem 24 3 cm2 de área. Se ligarmos alternadamente, os pontos médios dos lados desse hexágono, 
vamos encontrar um triângulo equilátero de área: 
a) 12 3 cm2 b) 8 3 cm2 c) 9 3 cm2 d) 6 3 cm2 e) 18 3 cm2 
18. O ângulo interno de 150° de um triângulo é formado por lados que medem 10cm e 6cm. A área desse triângulo 
é: 
a) 30cm2 b) 30 3 cm2 c) 12 3 cm2 d) 15 3 cm2 e) 15cm2 
19. O triângulo ABC tem 60cm2 de área. Dividindo-se o lado BC em 3 partes proporcionais aos números; 2, 3 e 7 
e tomando-se esses segmentos para bases de 3 triângulos que têm para vértice o ponto A, a área do maior dos 3 
triângulos é: 
a) 30cm2 b) 21cm2 c) 35cm2 d) 42cm2 e) 28cm2 
20. Do ponto P exterior a uma circunferência tiramos uma secante que corta a circunferência nos pontos M e N de 
maneira que PN = 3x e PM = x - 1.Do mesmo ponto P tiramos outra secante que corta a mesma circunferên-
cia em R e S, de maneira que PR = 2x e PS = x + 1. O comprimento do segmento da tangente à circunferência 
tirada do mesmo ponto P, se todos os segmentos estão medidos em cm é: 
a) 40 cm b) 60 cm c) 34 cm d) 10cm e) 8cm 
21. Um triângulo retângulo tem os catetos com 2cm e 6cm. A área do círculo que tem o centro sobre a hipotenusa e 
é tangente aos dois catetos é de: 
a) 
4
9π
cm2 b) 
9
25π
cm2 c) 
9
16π
cm2 d) 20πcm2 e) 18πcm2 
22. Em um círculo de 3cm de raio, a corda AB tem 1,8cm. A distância do ponto B à tangente ao círculo em A me-
de: 
a) 0,54cm b) 1,08cm c) 1,5cm d) 2,4cm e) 1,8cm 
23. Em um triângulo AB = AC = 5m e BC = 4cm. Tomando-se sobre AB e AC os pontos D e E, respectiva-
mente, de maneira que DE seja paralela a BC e que o quadrilátero BCED seja circunscritível a um círculo, a 
distância AD = AE mede: 
a) 0,75cm b) 1,2cm c) 
7
15
cm d) 
3
4
cm e) 
3
5
cm 
24. O triângulo ABC é retângulo em A. A hipotenusa BC mede 6cm e o ângulo em C é de 30°. Tomando-se sobre 
AB o ponto M e sobre BC o ponto P, de maneira que PM seja perpendicular a BC e as áreas dos triângulos 
CAM e PMB sejam iguais, a distância BM será: 
a) 4cm b) 6( 3 - 2)cm c) 6( 2 + 1)cm d) 6( 2 - 1)cm e) 6( 3 - 2 )cm 
25. Duas circunferências são tangentes exteriores em P. Uma reta tangencia essas circunferências nos pontos M e 
N, respectivamente. Se PM = 4cm e PN = 2cm , o produto dos raios dessas circunferências dá: 
a) 8cm2 b) 4cm2 c) 5cm2 d) 10cm2 e) 9cm2 
 
 
19 
Colégio Naval - 1982 
01. Na expressão 
( )
191a
a
b
21
8
125,0 b
0
ba
ab
=+




+
−
−
 a e b são números e positivos, a + b vale: 
a) 15 b) 14 c) 13 d) 12 e) 11 
02. x + y + z = 201. x é diretamente proporcional a 2 e inversamente proporcional a 5; y é diretamente proporcional 
a 
2
1
 e z é inversamente proporcional a 
4
3
. O menor desses números é: 
a) 30 b) 45 c) 36 d) 20 e) 15 
03. Um número natural N é formado por dois algarismos. Colocando-se um zero entre esses dois algarismos, N 
aumenta de 270 unidades. O inverso de N dá uma dízima periódica com 2 algarismos na parte não periódica. A 
soma dos algarismos de N é: 
a) 5 b) 7 c) 8 d) 9 e) 11 
04. Seja N = 2
4
.3
5
.5
6
. O número de divisores de N que são múltiplos de 10, é: 
a) 24 b) 35 c) 120 d) 144 e) 210 
05. Efetuando 
32
32
−
+
 + 
32
32
+
−
, obtém-se: 
a) 4 b) 3 c) 2 d) 
3
2
 e) 1 
06. Os minérios de ferro de duas minas X e Y possuem, respectivamente, 72% e 58% de ferro. Uma mistura desses 
dois minérios deu um terceiro minério possuindo 62% de ferro. A razão entre as quantidades do minério da mi-
na X, para o da mina Y, nessa mistura é: 
a) 1,4 b) 1,2 c) 0,5 d) 0,2 e) 0,4 
07. Se M ∩ P = {2, 4, 6} e M ∩ Q = {2, 4, 7}, logo M ∩ (P ∪ Q), é: 
a) 2,4} b) {2, 4, 6, 7} c) {6} d) {7} e) {6, 7} 
08. Um terreno deve ser dividido em lotes iguais por certo número de herdeiros. Se houvessem três herdeiros a 
mais, cada lote diminuiria de 20m
2
 e, se houvessem quatro herdeiros a menos, cada lote aumentaria de 50m
2
. O 
número de metros quadrados da área do terrenotodo é: 
a) 1600 b) 1400 c) 1200 d) 1100 e) 900 
09. No sistema os valores x – y = 2 e 
x
13
x
y
y
x
=+ a soma de todos os valores de x e y que satisfazem ao sistema é: 
a) 9 b) 20 c) 11 d) 14 e) 13 
10. Ao extrairmos a raiz cúbica do número natural N verificamos que o resto era o maior possível e igual a 126. A 
soma dos algarismos de N é: 
a) 11 b) 9 c) 8 d) 7 e) 6 
11. O valor da expressão 
( ) ( ) ( )
5xx
10x1cx1bx2a
2
23
+−
+−+−+−
 independe de x. A soma dos valores de a, b e c é: 
a) 4 b) 2 c) -3 d) 0 e) 1 
12. O sistema 



=+
=+
4ayx3
by2x2
 é indeterminado. O produto ab é: 
a) 12 b) 24 c) 8 d) 6 e) 18 
13. A inequação 2px
2
 + x + p > 0, é satisfeita para qualquer valor real de x, se, e somente se: 
a) p < -
4
2
 b) -
4
2
 < p < 
4
2
 c) p > -
4
2
 d) p < -
4
2
 ou p > 
4
2
 e) p > 
4
2
 
 
 
 
20 
14. O valor de m que torna mínima a soma dos quadrados das raízes da equação x
2
 – mx + m – 1 = 0, é: 
a) – 2 b) – 1 c) 0 d) 1 e) 2 
15. 
( )( )
3223
2222
yxy3yx3x
yxxyz2xyzx
+++
−++
 é igual a: 
a) z(x + y) b) z(x - y) c) zx + y d) zx - y e) z + y 
16. O polinômio x
3
 + px
2
 + x + q é divisível por x + 1. Logo p + q é igual a: 
a) 2 c) 1 c) 0 d) – 1 e) – 2 
17. As bases de um trapézio isósceles medem 8cm e 4cm e a altura 6cm. As diagonais desse trapézio dividem-no 
em quatro triângulos. A área, em cm
2
, de um dos triângulos que não contêm nenhuma das bases é: 
a) 8 b) 6 c) 9 d) 10 e) 12 
18. Duas retas tangenciam uma circunferência, de centro P e 8cm de raio, nos pontos R e S. O ângulo entre essas 
tangentes é de 120°. A área do triângulo PRS em cm
2
, é: 
a) 16 b) 16 3 c) 16 2 d) 8 3 e) 8 2 
19. Um quadrilátero ABCD está inscrito em um círculo. O lado AB é o lado do triângulo eqüilátero inscrito nesse 
círculo. O lado CD é o lado do hexágono regular inscrito nesse círculo. O ângulo formado pelas diagonais do 
quadrilátero é de: 
a) 30° b) 45° c) 60° d) 90° e) 108° 
20. Um polígono ABCD... é regular. As bissetrizes internas dos ângulos dos vértices A e C formam um ângulo de 
72°. O número de lados desse polígono é: 
a) 7 b) 10 c) 12 d) 15 e) 20. 
21. O segmentos da bissetriz do ângulo reto de um triângulo vale 4 2 cm. Um dos catetos vale 5cm. A hipotenusa 
vale, em cm: 
a) 3 17 b) 4 17 c) 5 17 d) 6 17 e) 7 17 
22. Pela extremidade A de um diâmetro AB de uma circunferência de raio R, traça-se uma tangente. Com centro 
na extremidade B, descreve-se um arco de raio 4R, que intercepta a tangente no ponto C. Traça-se BC que en-
contra a circunferência dada em E. O valor de AB é: 
a) 0,25R b) 0,5R c) 0,75R d) 0,8R e) R 
23. Num círculo de 2cm de raio traçam-se dois diâmetros perpendiculares, 'AA e 'BB . Sobre o arco AB marca-se 
o ponto P de modo que PB = PQ , sendo PQ perpendicular a 'AA e Q situado em 'AA . PB vale, em cm: 
a) 3 b) 2 3 - 2 c) 3 + 1 d) 1 e) 2 3 
24. Duas circunferências têm centros, respectivamente, em R e S. Seus raios medem 3cm e 4cm. Essas circunferên-
cias se cortam em P e Q. Sabendo que a maior passa no centro da menor; a área do quadrilátero convexo RPSQ, 
em cm
2
, é: 
a) 3 55 b) 2 55 c) 55 d) 
2
553
 e) 
2
55
 
25. A diagonal de um pentágono regular convexo de lado igual a 2cm, mede, em cm: 
a) 5 + 2 b) 5 - 2 c) 5 d) 5 - 1 e) 5 + 1 
 
 
 
 
 
21 
 A 
 
 F 
 G 
 
 
 B E C
 
Colégio Naval - 1983 
01. Sendo A = {x ∈ N / x2 – 4 = 0}, B = {x ∈ Z / - 2 ≤ x < 5} e C = {x ∈ Z / 0 < 
3
2x3 +−
 ≤ 5} e o conjunto 
A ∪ (B ∩ C) é: 
a) {0, 2} b) {–2, 2, 1} c) {–2, –1, 0, 2} d) {–2, 0, 3, 5} e) {–2, 0, 2, 4} 
02. Um triângulo de 30cm de altura é dividido por duas paralelas perpendiculares a essa altura, em três partes equi-
valentes. O maior dos segmentos em que ficou dividida essa altura por essas paralelas é: 
a) 5 3 b) 6 3 c) 10 3 d) 15 3 e) 20 3 
03. Na figura: AC = 3 AF e BC = 3 CE , sendo S a área da triângulo ABC, a 
área do triângulo AGF é: 
a) 
3
S
 b) 
7
S
 c) 
9
S
 d) 
21
S
 e) 
18
S
 
04. Se a divisão 
( )
4x4x
k1x8x28x12x6x
2
21623
+−
++−+−+−
 é exata, o valor de k é: 
a) 3 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 
05. A área da coroa circular determinada pelos círculos inscrito e circunscrito a um hexágono regular de área 
54 3 cm, é: 
a) 6πcm2 b) 9πcm2 c) 12πcm2 d) 18πcm2 e) 27πcm2 
06. De um pedaço quadrado de metal corta-se uma peça circular de diâmetro máximo e desta peça circular corta-se 
outro quadrado de lado máximo. A quantidade de material desperdiçado é: 
a) 
4
1
 da área do quadrado primitivo. d) 
4
1
 da área do círculo. 
b) 
2
1
 da área do círculo. e) 
2
1
 da área do quadrado primitivo. 
c) 
3
1
 da área do quadrado primitivo. 
07. O total de diagonais de dois polígonos regulares é 41. Um desses polígonos tem dois lados a mais que o outro. 
O ângulo interno do polígono que tem o ângulo central menor, mede: 
a) 120º b) 135º c) 140º d) 144º e) 154º 
08. O valor de 
( )


















−−














−







 −
− 3
2
3
5
2
52
1
10
12
3
3
2
5
5
3
...333,0
2
2
5
1
, é: 
a) 139 b) 120 c) 92 d) 121 e) 100 
09. Em um triângulo ABC, o ângulo  é o dobro do ângulo B̂ , AB = 9cm e AC = 4cm, O lado BC mede: 
a) 9 13 cm b) 3 13 cm c) 4 13 cm d) 6 13 cm e) 2 13 cm 
10. A diferença entre dois números naturais que têm para produto 2304 e para máximo divisor comum 12, é: 
a) 180 b) 72 c) 0 d) 192 e) 168 
11. Um triângulo ABC circunscreve um círculo de raio R. O segmento de tangente ao círculo tirado do vértice A 
mede 4cm. Se o lado oposto a esse vértice mede 5cm, a área do triângulo ABC é: 
a) 20Rcm
2
 b) 10Rcm
2
 c) 5Rcm
2
 d) 9Rcm
2
 e) 4Rcm
2
 
12. O número de triângulos diferentes cujos lados têm medidas representadas por números inteiros e de perímetro 
12 cm, é: 
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 
 
 
22 
13. A área do segmento circular determinado por uma corda de 6 3 cm e sua flecha de 3cm, é: 
a) (12π + 9 3 )cm2 c) (12π + 3 3 )cm2 e) (12π - 6 3 )cm2 
b) (12π - 9 3 )cm2 d) (12π - 3 3 )cm2 
14. A soma dos valores inteiros que satisfazem a inequação 
( )
( )( ) ( ) 08x2x52xx
3x
10112
3
≤
−−−+
+−
, é: 
a) 11 b) 4 c) 6 d) 8 e) 2 
15. O número de divisores inteiros de N, sendo N igual ao produto de K números primos distintos, é: 
a) K
2
 b) 2
K
 c) K d) 2K e) K+2 
16. Numa cidade constatou-se que as famílias que consomem arroz não consomemmacarrão. Sabe-se que: 
40% consomem arroz; 30% consomem macarrão; 15% consomem feijão e arroz; 20% consomem feijão e macarrão 
e 60% consomem feijão. A porcentagem correspondente às famílias que não consomem esses três produtos é: 
a) 10% b) 3% c) 15% d) 5% e) 12% 
17. Se 
x
2
+
y
2
+
z
2
+
yz
x
+
xz
y
+
xy
z
=
3
8
 e x + y + z = 16, o produto x.y.z é: 
a) 192 b) 48 c) 32 d) 108 e) 96 
18. O maior valor de y, na solução do sistema 




=+
=+
5yx
3yx
5 2
54
, é: 
a) 1 b) 16 c) 32 d) 64 e) 128 
19. Seja P um ponto exterior a um círculo de centro O e raio R e tal que OP = R 3 . Traça-se por P a secante PAB 
ao círculo. Se PA = R, AB é igual a: 
a) R b) 
2
R
 c) R 3 d) 2R e) R 2 
20. Duas estradas de iguais dimensões começam simultaneamente a ser construídas por 15 operários cada uma de-
las. Mas, exclusivamente devido a dificuldades no terreno, percebe-se que enquanto uma turma avançou 
3
2
 na 
sua obra, a outra avançou 
5
4
 da sua. Quantos operários deve-se retirar de uma e por na outra, para que as duas 
obras fiquem prontas ao mesmo tempo? 
a) 4 b) 5 c) 6 d) 8 e) 10 
21. 22 bab2a −− , onde a e b são números positivos, é um número real se, e somente se: 
a) 
b
a
 ≥ 1 + 2 b) 
b
a
 ≥ 2 c) 
b
a
 ≥ 2 d) 
b
a
 ≥ 0 e) 
b
1
 ≥ 1 
22. Se o lado de um quadrado aumentar de 30% de seu comprimento, a sua área aumentará de: 
a) 55% b) 47% c) 30% d) 69% e) 90% 
23. 3 2223 + - 3 2223 − é igual a: 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 
24. Um reservatório contém 064,0 dam
3
 de água, e seu esvaziamento é feito por uma torneira, à razão de 17000l 
de água por hora. O tempo mais aproximado para que ele se esvazie é de: 
a) 23h 35mim b) 23h 48mim c) 23h 12mim 10s d) 23h 05mim 12s e) 23h 31mim 45s 
25. A soma dos cubos das raízes da equação x
2
 + x – 3 = 0, é: 
a) -10 b) -8 c) -12 d) -6 e) -18 
 
 
 
23 
 D 
 A 
 E 
 C O 
 B 
Colégio Naval - 1984 
01. Uma grandeza X é diretamente proporcional às grandezas P e T e inversamente proporcional ao quadrado da 
grandeza w. Se aumentarem P de 60% do seu valor e diminuírem T de 10% do seu valor, para que a grandeza X 
não se altere, devemos: 
a) diminuir w de 35% do seu valor 
b) diminuir w de 20% do seu valor 
c) aumentar w de 25% do seu valor 
d) aumentar w de 35% do seu valor 
e) aumentar w de 20% do seu valor 
02. No sistema 




=+−−
=−+−
12)yxy2x)(yx(
8yxy3yx3x
2222
3223
, a soma dos valores de x e y é: 
a) 1 b) 
4
3
 c) 
2
3
 d) 
3
4
 e) 
3
2
 
03. A soma das raízes da equação x
2
 - 6x + 9 = 4 6x6x 2 +− é: 
a) 6 b) -12 c) 12 d) 0 e) -6 
04. Simplificando a expressão n
2n22n 525
600
++ −
, para n ∈ N = { 0; 1}, temos: 
a) 5 b) 5
-1
 c) 5
-2
 d) 5
2
 e) 5
0
 
05. Na figura, o diâmetro AB mede 8 3 cm e a corda CD forma um ângulo de 30º com AB . Se E é ponto médio 
de AO , onde O é o centro do circulo, a área da região hachurada mede: 
a) (8π - 3 3 )cm2 
b) (10π + 13 )cm2 
c) (18π + 2 3 )cm2 
d) (27π - 3 2 )cm2 
e) (8π + 3 3 )cm2 
 
06. As retas PA e PB são tangentes a circunferência de raio R nos pontos A e B, respectivamente. Se PA = 3x e x é 
a distância do ponto A à reta PB , então R é igual a: 
a) 3(3 - 2 2 )x b) 3(3 + 2 2 )x c) 3x d) 2(2 + 3 2 )x e) x 
07. A secante (r) à uma circunferência de 5cm de raio determina uma corda AB de 8 2 cm de comprimento. A reta 
(s) é paralela a (r) e tangência a circunferência no menor arco AB. A distância entre (r) e (s) é de: 
a) 6cm b) 10cm c) 5cm d) 4cm e) 7cm 
08. A equação k
2
x – kx = k
2
 – 2k – 8 + 12x é impossível para: 
a) um valor positivo de k c) 3 valores distintos de k e) nenhum valor de k 
b) um valor negativo de k d) dois valores distintos de k 
09. Num colégio verificou-se que 120 alunos não têm pai professor; 130 alunos não têm mãe professora e 5 têm pai 
e mãe professores. Qual o número de alunos do colégio, sabendo-se que 55 alunos possuem pelo menos um dos 
pais professor e que não existem alunos irmãos? 
a) 125 b) 135 c) 145 d) 155 e) 165 
10. Seja um número N = ( )
)2()2(
10000
−−
, o número de divisores positivos de N é: 
a) 6 b) 13 c) 15 d) 4 e) 2 
 
 
 
24 
11. A, B e C são, respectivamente, os conjuntos dos múltiplos de 8, 6 e 12. Podemos afirmar que o conjunto 
A ∩ (B ∪ C) é o conjunto dos múltiplos de: 
a) 12 b) 18 c) 24 d) 48 e) 36 
12. Sendo P > 3, podemos afirmar que o trinômio y = 2x
2
 – 6x – P: 
a) se anula para dois valores positivos de x 
b) se anula para valores de x de sinais contrários 
c) se anula para dois valores negativos de x 
d) não se anula para valor de x real 
e) tem extremo positivo 
13. Sabendo que 3x – y – 10z = 0 e que x + 2y – z = 0, o valor de 
32
23
zxy
yxx
−
+
, sendo z ≠ 0, é: 
a) 18 b) 9 c) 6 d) 1 e) 0 
14. Efetuando o produto (x + 1)(x
100
 - x
99
 + x
98
 - x
97
 + .......+ x
2
 - x + 1), encontramos: 
a) x
100
 – 1 b) x
200
 + 1 c) x
101
 + x
50
 – 1 d) 2x
100
 + 2 e) x
101
 + 1 
15. A soma dos valores inteiros de x, no intervalo –10 < x < 10, e que satisfazem à inequação (x
2
 + 4x + 4)(x + 1) ≤ 
x
2
 - 4 é: 
a) 42 b) 54 c) -54 d) -42 e) -44 
16. Um triângulo ABC está inscrito em um circulo e o arco BC mede 100º. Calcular a medida do ângulo CÊB , 
sendo E o ponto de intersecção da bissetriz externa relativa a B̂ com o prolongamento do segmento CM , onde 
M é o ponto médio do arco menor AB. 
a) 15º b) 25º c) 20º d) 40º e) 50º 
17. Seja P(x) = 2x
4
 – 5x
2
 + 3x – 2 e Q(x) = x
2
 – 3x + 1; se P(x) ÷ Q(x) determina um quociente Q’(x) e o resto 
R(x), o valor de Q’(0) + R(1) é: 
a) 0 b) 28 c) 25 d) 17 e) 18 
18. A roda de um veículo tem 50cm de diâmetro. Este móvel, em velocidade constante, completa 10 voltas em cada 
segundo, com um gasto de um litro de combustível por 10km rodados. Sabendo-se que o veículo fez uma via-
gem de 6h, o número que mais se aproxima da quantidade de litros gastos na viagem é: 
a) 52 b) 40 c) 30 d) 34 e) 20 
19. O resto da divisão por 11 do resultado da expressão 1211
20
 + 9119
32
 x 343
26
, é: 
a) 9 b) 1 c) 10 d) 6 e) 7 
20. (ANULADA)
 
21. Calcule a diferença y – x, de forma que o número 2
x
.3
4
.26
y
 possa ser expresso como uma potência de base 39. 
a) 8 b) 0 c) 4 d) 2 e) 3 
22. Um trapézio é obtido cortando-se um triângulo escaleno de área S por uma reta paralela a um dos lados do tri-
ângulo que passa pelo baricentro do mesmo. A área do trapézio é: 
a) 
9
5
S b) 
9
4
S c) 
3
2
S d) 
3
1
S e) 
2
1
S 
23. Num triângulo ABC, a medida do lado AB é o dobro da medida do lado AC . Traça-se a mediana AM e a bis-
setriz AD (M e D pertencentes a BC ). Se a área do triânguloABC é S, então a área do triângulo AMD é: 
a) 
3
S
 b) 
4
S
 c) 
6
S
 d) 
8
S3
 e) 
12
S
 
 
 
 
25 
24. Associando-se os conceitos da coluna da esquerda com as fórmulas da coluna da direita, sendo a e b números 
inteiros positivos quaisquer, têm-se: 
I- media harmônica dos números a e b a) b.a 
II- media ponderada dos números a e b b) 
b
a
 
III- a media proporcional entre os números a e b c) 
2
b.a
 
IV- o produto do máximo divisor comum pelo mínimo múltiplo comum de a e b d) 
ba
b.a2
+
 
V- a média aritmética simples entre a e b e) a.b 
a) (I; b); (II; c); (IV; e) 
b) (II; c); (III; a); (IV; e) 
c) (I; d); (II; c); (V; b) 
d) (III; a); (IV; e); (V; b) 
e) (I; d); (III; a); (IV; e) 
25. valor de a, para que a soma dos quadrados das raízes da equação x
2
 + (2 – a)x – a – 3 = 0 seja mínima, é: 
a) 1 b) 9 c) 2 d) -1 e) -9 
 
 
26 
Colégio Naval - 1985 
01. Dados dois conjuntos A e B tais que: 
o número de subconjuntos de A está compreendido entre 120 e 250. B tem 15 subconjuntos não vazios. 
O produto cartesiano de A por B tem 
a) 8 elementos b) 12 elementos c) 16 elementos d) 28 elementos e) 32 elementos 
02. O valor da expressão 
2
1
03
...333,1
1
3
2
...666,0.
6
1
−
−








−





+





 é: 
a) 
5
2
 b) 
5
2
 c) 
2
5
 d) 
2
25
 e) 
5
52
 
03. Antonio constrói 20 cadeiras em 3 dias de 4 horas de trabalho por dia. Severino constrói 15 cadeiras do mesmo 
tipo em 8 dias de 2 horas de trabalho por dia. Trabalhando juntos, no ritmo de 6 horas por dia, produzirão 250 
cadeiras em: 
a) 15 dias b) 16 dias c) 18 dias d) 20 dias e) 24 dias 
04. A soma de todas as raízes da equação (3x – 12)(x + 2)(x – 2) = (3x – 12)(-x +6) é: 
a) -3 b) -1 c) 0 d) 1 e) 3 
05. Um polígono regular possui 70 diagonais que não passam pelo seu centro. O valor da medida do ângulo interno 
do referido polígono está, em graus, compreendido entre: 
a) 70º e 80º b) 100º e 120º c) 120º e 130º d) 140º e 150º e) 150º e 160º 
06. Uma empresa possui uma matriz M e duas filiais A e B. 45% dos empregados da empresa trabalham na matriz 
M e 25% dos empregados trabalham na filial A. De todos os empregados dessa empresa, 40% optaram por as-
sociarem-se a um clube classista, sendo que 25% dos empregados da matriz M e 45% dos empregados da filial 
A se associaram ao clube. O percentual dos empregados da filial B que associaram ao clube é de 
a) 17,5% b) 18,5% c) 30% d) 58
3
1
% e) 61
3
2
% 
07. Dois lados de um triângulo são iguais a 4cm e 6cm. O terceiro lado é um número inteiro expresso por x2 + 1. O 
seu perímetro é: 
a) 13cm b) 14cm c) 15cm d) 16cm e) 20cm 
08. Se 
2
x
1
x 





+ = 3, então x3 + 
3x
1
 é igual a: 
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 
09. O sistema 



=+
=−
4kyx3
3y5mx
 é equivalente ao sistema 



=+
=−
1yx3
4yx2
. Logo, pode-se afirmar que: 
a) m - k = -8 b) km = -1 c) mk = 
7
1
 d) m.k = 
2
7
 e) m + k = 8 
10. José e Pedro, constituíram uma sociedade, onde José entrou com Cr$2.000,00 e Pedro com Cr$2.500,00. Após 
8 meses, José aumentou seu capital para Cr$3.500,00 e Pedro diminuiu seu capital para Cr$1.500,00. No fim de 
1 ano e 6 meses houve um lucro de Cr$344,00. A parte do lucro que coube a José foi: 
a) Cr$140,00 b) Cr$144,00 c) Cr$ 186,00 d) Cr$ 204,00 e) Cr$ 240,00 
11. Considere a soma de n parcelas S = n15 + n15 + ........... + n15. Sobre as raízes da equação 4 S = 13n2 - 36, pode-
se afirmar que: 
a) seu produto é –36 c) sua soma é 5 e) seu produto é 36 
b) sua soma é nula d) seu produto é 18 
12. Num triângulo equilátero de altura h, seu perímetro é dado por: 
a) 
3
3h2
 b) h 3 c) 2h 3 d) 6h e) 6h 3 
 
 
27 
13. O menor valor inteiro da expressão 5n2 – 195n + 1 ocorre para n igual a: 
a) 10 b) 15 c) 20 d) 25 e) 30 
14. O circulo de centro O da figura abaixo tem 6 cm de raio. Sabendo que PA é tangente à circunferência e que a 
medida do segmento PC é igual a 6 cm, a área hachurada é, em cm2, igual a: (questão modificada) 
 A 
 B P 
O C 
 
a) π b) 3π c) 6π d) 2π e) 4π 
15. Sendo x2 = 343, y3 = 492 e z6 = 75, o algarismo das unidades simples do resultado de 
24
z
xy






 é: 
a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9 
16. O pentágono ABCDE da figura é regular e de lado l. Sabendo que o segmento AF tem medida igual a l, pode-
se afirmar que o ângulo BFE mede. 
 A F 
 
 
 B E 
 
 
 
 
 C D 
a) 36º b) 45º c) 54º d) 60º e) 72º 
17. Sejam r e s as raízes da equação x2 3 + 3x - 7 = 0. O valor numérico da expressão (r + s + 1) (r + s – 1) é: 
a) 
7
2
 b) 
7
3
 c) 
7
9
 d) 
3
4
 e) 2 
18. Considere os conjuntos A = {1, {1}, 2} e B = {1, 2, {2}} e as cinco afirmações: 
I- A – B = {1} II- {2} ⊂ (B – A) III- {1} ⊂ A IV- A ∩ B = {1, 2, {1, 2}} V- B – A = {{2}} 
Logo, 
a) todas as afirmações estão erradas d) as afirmações III e V estão corretas 
b) se existe uma afirmação correta e) as afirmações I e IV são as únicas incorretas 
c) as afirmações ímpares estão corretas 
19. O coeficiente do termo do 2º grau do produto entre o quociente e o resto, da divisão de x2 - 3x + x4 + 7 por 
2 - x2 é: 
a) -22 b) -11 c) -10 d) -1 e) 1 
20. Dois lados de um triângulo medem 4cm e 6cm e a altura relativa ao terceiro lado mede 3cm. O perímetro do 
circulo circunscrito ao triângulo mede: 
a) 4πcm b) 6πcm c) 8πcm d) 12πcm e) 16πcm 
21. Unindo-se os pontos médios dos quatro lados de quadrilátero L, obtém-se um losango. Pode-se afirmar que L 
a) é um retângulo 
b) tem diagonais perpendiculares. 
c) é um trapézio isósceles 
d) é um losango 
e) tem diagonais congruentes 
 
 
28 
 4cm 
 0,4dm 
 6cm 
 0,01m 
 70mm 
22. Considere os conjuntos M pares ordenados (x, y) que satisfazem a equação (a1x + b1y + c1).(a2x + b2x + c2) = 0 
e N dos pares ordenados (x, y) que satisfazem o sistema 



=++
=++
0cybxa
0cybxa
222
111
 sendo (a1.b1.c1.a2.b2.c2 ≠ 0, pode-
se afirmar que 
a) M = N b) M ∪ N = M c) M ∩ N = ∅ d) M ∪ N = N e) M ∩ N = ∅ 
 
23. A figura abaixo representa a planta de uma sala e foi desenhada na 
escala 1:100. A área real da sala é: 
a) 20cm2 
b) 28,5cm2 
c) 2850cm2 
d) 26,5m2 
e) 80,4m2 
 
24. Os hexágonos regulares da figura são congruentes e os segmentos CD e HG são colineares. A razão entre a área 
de um deles e a área do triângulo EMN é igual a: 
 
 A L J