Distâncias em Geometria Espacial

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Distância entre dois pontos
A distância entre dois pontos P e Q é definida como sendo
o comprimento do segmento PQ.
MA620 - Aula 5 – p. 1/9
Distância entre dois pontos
A distância entre dois pontos P e Q é definida como sendo
o comprimento do segmento PQ.
Dados dois pontos A e G, considere um paralelepípedo
retângulo ABCDEFGH de arestas AB = a, AD = b,
AE = c.
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Distância entre dois pontos
A distância entre dois pontos P e Q é definida como sendo
o comprimento do segmento PQ.
Dados dois pontos A e G, considere um paralelepípedo
retângulo ABCDEFGH de arestas AB = a, AD = b,
AE = c.
O segmento AG é uma das diagonais de ABCDEFGH.
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Distância entre dois pontos
A distância entre dois pontos P e Q é definida como sendo
o comprimento do segmento PQ.
Dados dois pontos A e G, considere um paralelepípedo
retângulo ABCDEFGH de arestas AB = a, AD = b,
AE = c.
O segmento AG é uma das diagonais de ABCDEFGH.
Aplicando o Teorema de Pitágoras duas vezes, calculamos:
d2 = a2 + b2 + c2 .
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Plano mediador
O lugar geométrico dos pontos do espaço que são
equidistantes de dois pontos dados P e Q é o plano
perpendicular ao segmento PQ, cortando-o em seu ponto
médio.
Este plano é chamado o plano mediador do segmento PQ.
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Distância de ponto a plano
Dados um plano π e um ponto P exterior π, trace a única
reta perpendicular a π passando por P . Esta reta cortará π
em um ponto Q.
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Distância de ponto a plano
Dados um plano π e um ponto P exterior π, trace a única
reta perpendicular a π passando por P . Esta reta cortará π
em um ponto Q.
A distândia de α a P é o comprimento do segmento PQ,
i.e. é a distância entre dois pontos P e Q.
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Distância de ponto a plano
Dados um plano π e um ponto P exterior π, trace a única
reta perpendicular a π passando por P . Esta reta cortará π
em um ponto Q.
A distândia de α a P é o comprimento do segmento PQ,
i.e. é a distância entre dois pontos P e Q.
Esta é a menor distância possível entre P e um ponto
arbitrário de π.
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Distância de planos paralelos
Dados dois planos paralelos π e τ , a distância entre π e τ é
definida como sendo a distância entre π e um ponto
arbitário de τ .
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Distância de planos paralelos
Dados dois planos paralelos π e τ , a distância entre π e τ é
definida como sendo a distância entre π e um ponto
arbitário de τ .
Também é a menor distância possível entre um ponto
arbitário de π e um ponto arbitário de τ .
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Distância de planos paralelos
Dados dois planos paralelos π e τ , a distância entre π e τ é
definida como sendo a distância entre π e um ponto
arbitário de τ .
Também é a menor distância possível entre um ponto
arbitário de π e um ponto arbitário de τ .
Todos os pontos de τ estarão a mesma distância de π.
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Distância de planos paralelos
Dados dois planos paralelos π e τ , a distância entre π e τ é
definida como sendo a distância entre π e um ponto
arbitário de τ .
Também é a menor distância possível entre um ponto
arbitário de π e um ponto arbitário de τ .
Todos os pontos de τ estarão a mesma distância de π.
O mesmo acontece com um plano π e uma reta r paralela
a π: todos os pontos de r estão a mesma distância de π, e
a distância entre π e r é definida como sendo a distância
entre π e um ponto arbitário de r.
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Distância de ponto a reta
Seja r uma reta e P um ponto exterior a r.
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Distância de ponto a reta
Seja r uma reta e P um ponto exterior a r.
Existe um único plano α passando por P que é
perpendicular a r; α corta r em um ponto Q.
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Distância de ponto a reta
Seja r uma reta e P um ponto exterior a r.
Existe um único plano α passando por P que é
perpendicular a r; α corta r em um ponto Q.
A distândia de r a P é o comprimento do segmento PQ, i.e.
é a distância entre dois pontos P e Q.
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Distância de ponto a reta
Seja r uma reta e P um ponto exterior a r.
Existe um único plano α passando por P que é
perpendicular a r; α corta r em um ponto Q.
A distândia de r a P é o comprimento do segmento PQ, i.e.
é a distância entre dois pontos P e Q.
Note que a reta definida pelos pontos P e Q é a única reta
passando por P e perpendicular a r!
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Distância entre retas reversas
Mostre que dadas duas retas reversas r e s, existem planos
paralelos π e τ tais que r está em π e s está em τ .
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Distância entre retas reversas
Mostre que dadas duas retas reversas r e s, existem planos
paralelos π e τ tais que r está em π e s está em τ .
A distância entre r e s é definida como sendo a distância
entre π e τ .
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Distância entre retas reversas
Mostre que dadas duas retas reversas r e s, existem planos
paralelos π e τ tais que r está em π e s está em τ .
A distância entre r e s é definida como sendo a distância
entre π e τ .
Também é a menor distância possível entre um ponto
arbitário de r e um ponto arbitário de s.
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Distância entre dois conjuntos no espaço
Em geral, a distância entre dois subconjuntos C1 e C2 no
espaço é definida como sendo a menor distância entre um
ponto de C1 e um ponto C2.
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Distância entre dois conjuntos no espaço
Em geral, a distância entre dois subconjuntos C1 e C2 no
espaço é definida como sendo a menor distância entre um
ponto de C1 e um ponto C2.
Se C1 e C2 possuem pontos em comum, então a distância
é 0!
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Distância entre dois conjuntos no espaço
Em geral, a distância entre dois subconjuntos C1 e C2 no
espaço é definida como sendo a menor distância entre um
ponto de C1 e um ponto C2.
Se C1 e C2 possuem pontos em comum, então a distância
é 0!
Portanto, a distância entre planos secantes e retas
concorrentes é 0 por definição.
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Exercícios I
Qual é o lugar geométrico dos pontos equidistantes de dois
planos secantes dados?
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Exercícios I
Qual é o lugar geométrico dos pontos equidistantes de dois
planos secantes dados?
Qual é o lugar geométrico dos pontos equidistantes de dois
planos paralelos dados?
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Exercícios I
Qual é o lugar geométrico dos pontos equidistantes de dois
planos secantes dados?
Qual é o lugar geométrico dos pontos equidistantes de dois
planos paralelos dados?
Qual é a altura de um tetraedro regular de aresta a?
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Exercícios II
Qual é o lugar geométrico dos pontos equidistantes de três
pontos não-colineares?
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Exercícios II
Qual é o lugar geométrico dos pontos equidistantes de três
pontos não-colineares?
Mostre que as arestas opostas de um tetraedro regular são
ortogonais.
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Exercícios II
Qual é o lugar geométrico dos pontos equidistantes de três
pontos não-colineares?
Mostre que as arestas opostas de um tetraedro regular são
ortogonais.
Qual é a distância de um vértice de um cubo a uma
diagonal que não contem o vértice dado?
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	Distância entre dois pontos
	Distância entre dois pontos
	Distância entre dois pontos
	Distância entre dois pontos
	Plano mediador
	Distância de ponto a plano
	Distância de ponto a plano
	Distância de ponto a plano
	Distância de planos paralelos
	Distância de planos paralelos
	Distância de planos paralelos
	Distância de planos paralelos
	Distância de ponto a reta
	Distância de ponto a reta
	Distância de ponto a reta
	Distância de ponto a reta
	Distância entre retas reversas
	Distância entre retas reversas
	Distância entre retas reversas
	Distância entre dois conjuntos no espaço
	Distância entre dois conjuntos no espaço
	Distância entre dois conjuntos no espaço
	Exercícios I
	Exercícios I
	Exercícios I
	Exercícios II
	Exercícios II
	Exercícios II