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2.2 formam um grupo de contrastes 
ortogonais. 
 
3.2.5 – Métodos para obtenção de grupos de contrastes mutuamente ortogonais 
 
3.2.5.1 – Obtenção por meio de sistema de equações lineares 
 Neste método, deve-se estabelecer, a princípio, um contraste que seja de 
interesse e, a partir deste é que os demais são obtidos. Por meio da imposição da 
condição de ortogonalidade e da condição para ser um contraste, obtém-se equações 
lineares, cujas incógnitas são os coeficientes das médias que compõem o contraste. 
Como o número de incógnitas é superior ao número de equações existentes, será 
sempre necessário atribuir valores a algumas incógnitas. É desejável que os valores a 
serem atribuídos, permitam que os coeficientes sejam números inteiros. 
 
Exercício 
3.5 – Foi instalado um experimento para avaliar a produção de 4 híbridos cujas as 
características são apresentadas na tabela a seguir. 
 
Híbrido 1 2 3 4 
Porte Alto Alto Alto Baixo 
Inicio do Florescimento Precoce Tardio Tardio Precoce 
Índice de acamamento Baixo Alto Alto Baixo 
r 3 i 3 3 3 
 
 Suponha que ao estabelecer as comparações dos híbridos com relação a 
produção, seja levado em consideração 
• o porte; 
• o início do florescimento; 
• o índice de acamamento. 
 
Obtenha um grupo de contrastes ortogonais que permita testar as comparações 
segundo os critérios citados. 
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Prof. Carlos Eduardo Magalhães dos Santos 
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3.2.5.2 – Obtenção por meio de regras práticas 
 
 Por meio desta metodologia, é possível estabelecer facilmente um grupo de 
contrastes ortogonais. A metodologia pode ser resumida nos seguintes passos 
(Banzatto e Kronka, 1989): 
 Divide-se o conjunto das médias de todos os tratamentos do experimento em 
dois grupos. O primeiro contraste é obtido pela comparação das médias de um grupo 
contra as médias do outro grupo. Para isso atribui-se sinais positivos para membros de 
um grupo e negativos para membros do outro grupo. 
 Dentro de cada grupo formado no passo anterior, que possui mais que uma 
média, aplica-se o passo 1, subdividindo-os em subgrupos. Repete-se este passo até 
que se forme subgrupos com apenas uma média. Ao final, devemos ter formado (I – 1) 
comparações. 
 Para se obter os coeficientes que multiplicam cada média que compõem os 
contrastes estabelecidos, deve-se, para cada contraste: 
 Verificar o número de parcelas experimentais envolvidas no 1º grupo, digamos 
g1, e o número de parcelas experimentais envolvidas no 2º grupo, digamos g2. 
Calcula-se o mínimo múltiplo comum (MMC) entre g1 e g2
 Dividir o MMC por g
. 
1
 Dividir o MMC por g
. O resultado será o coeficiente de cada média do 1º grupo. 
2
 Multiplicar os coeficientes obtidos pelo número de repetições da respectiva 
média. Se possível, simplificar os coeficientes obtidos por uma constante. No caso em 
que o número de repetições é igual para todos os tratamentos, este passo pode ser 
eliminado. 
. O resultado será o coeficiente de cada média do 2º grupo. 
 
Exercício 
3.6 – Num experimento inteiramente casualizado, com 4 repetições, foram 
comparados os efeitos de 5 tratamentos em relação ao crescimento de mudas de 
Pinus oocarpa, 60 dias após a semeadura. Os tratamentos utilizados e os resultados 
foram (Banzatto e Kronka, 1989): 
 
Capítulo 3 – Contrastes 
_____________________________________________________________________ 
___________________________________________________________________________________ 
 
 
40 
Tratamentos Totais 
1 – Solo de cerrado (SC) 21,0 
2 – Solo de cerrado + esterco (SC+E) 27,1 
3 – Solo de cerrado + esterco + NPK (SC+E+NPK) 26,6 
4 – Solo de cerrado + vermiculita (SC+V) 22,1 
5 – Solo de cerrado + vermiculita + NPK (SC+V+NPK) 25,6 
 
Obtenha um grupo de contrastes ortogonais entre as médias. 
 
3.7 – Suponha agora para o exemplo 1 que os tratamentos 1 e 4 tenham 3 repetições 
e os tratamentos 2, 3 e 5 tenham 4 repetições. Obtenha um grupo de contrastes 
ortogonais entre médias. 
 
3.8 – Sejam os dados abaixo relativos aos totais de tratamentos de um experimento 
realizado com a finalidade de testar 4 meios de cultura no crescimento bacteriano. 
 
Meio de cultura à base de: Nº de repetições Total 
Uréia 5 16,20 
Amônio 4 18,00 
Nitrato 4 20,40 
Fósforo 5 30,00 
5σe5σ8,σ10,σ 24
2
3
2
2
2
1 ==== ˆˆˆˆ 
Pede-se: 
a) Obtenha um grupo de contrastes ortogonais entre as médias? 
b) Obtenha as estimativas dos contrastes obtidos? 
c) Obtenha as estimativas das variâncias dos contrastes obtidos? 
 
 
 
 
 
 
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Exercícios complementares 
 
3.9 – Dados 
Tratamentos 
imˆ ri 
1 25,0 5 
2 18,7 5 
3 30,4 5 
4 27,5 6 
e os contrastes 
 C1 = m1 – m
 C
2 
2 = m1 + m2 – 2m
 C
3 
3 = m1 + m2 + m3 – 3m
 
4 
Admitindo que os estimadores das médias sejam independentes e que 
0,45s2c = , pede-se 
a) 321 CeC,C ˆˆˆ 
b) ( ) ( ) ( )321 CVe,CV,CV ˆˆˆˆˆˆ 
c) As estimativas das covariâncias entre os estimadores dos contrastes, e por 
meio das mesmas, dizer quais são os contrastes ortogonais entre si. 
 
3.10 – Supondo independência entre médias, homogeneidade de variâncias entre 
tratamentos e admitindo que m1, m2 e m3
C
 têm, respectivamente, 5, 3 e 6 repetições, 
verificar se os contrastes dados abaixo são ortogonais. 
1 = m1 – m
C
2 
2 = m1 + m2 – 2m
 
3 
3.11 – Considere um experimento com 4 tratamentos e as seguintes informações: 
 
4,10s2c = 
r1 = r2 =r3 = 4; r4
C
 = 3 
1 = m1 + m2 + m3 – 3m4 
Capítulo 3 – Contrastes 
_____________________________________________________________________ 
___________________________________________________________________________________ 
 
 
42 
C2 = m1 - 2m2 + m
 
3 
Pede-se: 
a) Forme um grupo de contrastes ortogonais, a partir dos contrastes C1 e C2
b) Obtenha 
, 
( )1CV ˆˆ 
c) Obtenha ( )1CV 
 
3.12 – Num experimento com 4 tratamentos e 5 repetições, são dados os seguintes 
contrastes ortogonais: 
C1 = m2 – m
C
4 
2 = -2m1 + m2 + m
Determinar um contraste C
4 
3 que seja ortogonal a C1 e C2
 
. 
3.13 – Com os dados abaixo, obter o contraste C3 ortogonal aos contrastes C1 e C2
C
. 
1 = m1 – m2 r1 = r3
C
 = 4 
2 = 4m1 + 5m2 – 9m4 r2 = r4 = 5 
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4.0 – INTRODUÇÃO À EXPERIMENTAÇÃO 
 
4.1– Introdução 
 
A experimentação tem por objetivo o estudo dos experimentos, isto é, seu 
planejamento, execução, análise dos dados obtidos e interpretação dos resultados. 
 
4.2 – Alguns conceitos básicos 
a) Experimento ou ensaio: é um trabalho previamente planejado, que segue 
determinados princípios básicos e no qual se faz a comparação dos efeitos dos 
tratamentos. 
 
b) Tratamento ou fator: é o método, elemento ou material cujo efeito desejamos 
medir ou comparar em um experimento. Exemplos: i) variedades de milho; ii) 
níveis de proteína na ração e iii) diferentes temperaturas de pasteurização do leite. 
 
b) Unidade experimental:

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