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Prof. Carlos Eduardo Magalhães dos Santos 
 
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8.4 - Modelo estatístico 
O delineamento em quadrado latino apresenta o seguinte modelo estatístico: 
Yij(k) = m + li + cj + tk + e
em que, 
ij(k) 
Yij(k)
m é média de todas as unidades experimentais para a variável em estudo; 
 é o valor observado para a variável em estudo referente ao k-ésimo 
tratamento, na i-ésima linha e na j-ésima coluna; 
li
c
 é o efeito da linha i; 
j
t
 é o efeito da coluna j; 
k
e
 é o efeito do tratamento k; 
ij(k)
Admitindo-se I tratamentos, conseqüentemente I linhas e I colunas, o esquema 
da análise de variância fica: 
 é o erro experimental. 
F.V. G.L. Exemplo 1 Exemplo 2 Exemplo 3 
Linhas I - 1 4 3 5 
Colunas I – 1 4 3 5 
Tratamentos I – 1 4 3 5 
Resíduo (I – 1)(I – 2) 12 6 20 
Total I2 24 - 1 15 35 
 
Considerando 
Li
C
 = Total da linha i; 
j
T
 = Total da coluna j; 
k
G = total geral; 
 = Total do tratamento k; 
as somas de quadrados são dadas por: 
 
 
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8.5 – Exercícios 
 
8.5.1 - Num experimento de competição de variedades de cana forrageira foram 
usadas 5 variedades: A=CO290; B=CO294; C=CO297; D=CO299 e E=CO295, 
dispostas em um quadrado latino 5x5. O controle feito através de blocos horizontais e 
verticais teve por objetivo eliminar influências devidas a diferenças de fertilidade em 
duas direções. As produções, em kg/parcela, foram às seguintes: 
 
 
 
 
Considerando α = 5% , pede-se: 
a. Análise de Variância 
b. Qual a variedade a ser recomendada? Utilize teste de Tukey, se necessário. 
 
8.5.2 - Em um experimento no delineamento em quadrado latino com 5 tratamentos, 
são dados: 
 
a. Verificar se existe efeito significativo de tratamentos, pelo teste F, e concluir 
para α = 5% . 
b. Qual o tratamento deve ser recomendado nos seguintes casos: 
b.1. Se estivéssemos avaliando a produção de uma certa cultura (em kg/ha)? 
b.2. Se estivéssemos avaliando a perda de grãos, durante a colheita, de uma 
certa cultura (em g/parcela)? 
Obs.: Utilize α = 5% e o Teste de Duncan (se necessário) 
Capítulo 9 – Experimentos Fatoriais 
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9.0 – EXPERIMENTOS FATORIAIS 
 
9.1– Introdução 
Experimentos fatoriais são aqueles em que se estudam simultaneamente dois 
ou mais fatores, cada um deles com dois ou mais níveis. O fatorial é um tipo de 
esquema, ou seja, uma das maneiras de organizar os tratamentos e não um tipo de 
delineamento, que representa a maneira pela qual os tratamentos são distribuídos às 
unidades experimentais. Na verdade, os experimentos fatoriais são montados segundo 
um tipo de delineamento experimental, como por exemplo: o DIC e o DBC. 
Nos experimentos fatoriais, os tratamentos são obtidos pelas combinações dos 
níveis dos fatores. Num experimento fatorial completo, cada nível de um fator combina 
com todos os níveis dos outros fatores. A principal aplicação de experimentos fatoriais 
é quando se quer saber sobre o efeito de diversos fatores que influenciam na variável 
em estudo e o relacionamento entre eles. 
A simbologia comumente utilizada, para experimentos fatoriais é indicar o 
produto dos níveis dos fatores em teste. Por exemplo: Experimento Fatorial 2 x 4 x 6. 
O produto 2 x 4 x 6 informa que no experimento foram testados simultaneamente 3 
fatores. O primeiro possui 2 níveis, o segundo 4 níveis e o terceiro 6 níveis. Quando o 
número de níveis é igual para todos os fatores, pode-se utilizar a seguinte simbologia: 
nF, em que F é o número de fatores n é o número de níveis de cada fator. Por 
exemplo: Experimento Fatorial 43. A potência 43
 
 informa que o experimento tem 3 
fatores com 4 níveis cada um. 
9.2 – Vantagens e Desvantagens 
Vantagens 
a) Permite o estudo dos efeitos principais e o efeito da interação entre os fatores. 
b) O nº de grau de liberdade associado ao resíduo é alto quando comparado com 
os experimentos simples dos mesmos fatores, o que contribui para diminuir a 
variância residual, aumentando a precisão do experimento. 
Desvantagem 
a) Requer maior nº de unidades experimentais em relação ao experimento 
simples. 
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9.3 - Tipos de efeitos avaliados em um experimento fatorial 
Nos experimentos fatoriais, podem ser estudados os seguintes efeitos: 
- Efeito Principal: é o efeito de cada fator, independente do efeito dos 
outros fatores; 
- Efeito de Interação: é o efeito simultâneo dos fatores sobre a variável 
em estudo. Dizemos que ocorre interação entre os fatores quando os efeitos 
dos níveis de um fator são modificados pelos níveis do outro fator. 
O efeito da interação pode ser mais facilmente compreendido por meio de 
gráficos. Para ilustrar o efeito da interação, considere um experimento fatorial 3x2, em 
que os fatores em testes são Variedade (V) e Espaçamento (E). Os tratamentos para 
este experimento são os seguintes: 
V1E1 V2E1 V3E1 
V1E2 V2E2 V3E2 
Suponha os seguintes resultados fictícios, para a variável altura de plantas (cm), deste 
experimento, nas seguintes situações: 
1) Não há interação 
 
Quando não há interação as diferenças entre os resultados dos níveis de um 
fator são estatisticamente iguais para todos os níveis do outro fator. 
 
 
] 
 
Capítulo 9 – Experimentos Fatoriais 
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2) Há interação 
 
Quando há interação as diferenças entre os níveis de um fator dependem dos 
níveis do outro fator. 
 
9.4 - Quadro de tabulação de dados 
Uma maneira de tabular os dados de um experimento fatorial, com dois fatores 
A e B, com I e J níveis, respectivamente, instalados segundo o DIC, com K repetições, 
é fornecida a seguir: 
 
 
Deste quadro, pode-se tirar algumas informações que posteriormente serão 
úteis na análise de variância: 
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Pode-se montar um quadro auxiliar contendo os totais de tratamentos, cujos 
valores são obtidos pela soma de todas as repetições para o tratamento em questão. 
Este quadro facilita o cálculo das somas de quadrados devido aos fatores A e B, e da 
interação entre eles. Para a situação citada, o quadro de totais de tratamentos é do 
seguinte tipo: 
 
9.5 - Modelo estatístico 
Considere um experimento fatorial, com dois fatores: o fator A com I níveis e o 
fator B com J níveis, instalados segundo o DIC, com K repetições. O modelo estatístico 
para um experimento como este é: 
Yijk = m + αi + β j + (αβ)ij + e
em que, 
ijk 
Yijk
m é a média de todas as unidades experimentais para a variável em estudo; 
 é o valor observado para a variável em estudo referente a k-ésima repetição 
da combinação do i-ésimo nível do