Geometria Euclidiana - Livro - Pós em Mat Unicesumar

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UM POUCO DA 
HISTÓRIA DA 
GEOMETRIA 
Professora: 
Esp. Fabiola Reggiane do Prado 
Objetivos de aprendizagem 
• Apresentar um pouco da história do desenvolvimento da Geometria. 
• Mostrar que a geometria já era usada nos primórdios sem sistematização para resolver problemas do dia a dia. 
• Destacar que alguns métodos de resolução de problemas desconexos foram sistematizados em conhecimento geométrico. 
• Apresentar um dos grandes nomes da geometria Euclides. 
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Plano de estudo 
A seguir, apresentam-se os tópicos que você estudará nesta unidade: 
• Um pouco da história da Geometria 
• As contribuições geométricas dos egípcios, Mesopotâmios e chineses 
• Tales de Mileto, Pitágoras e Platão 
• Euclides e os Elementos 
Introdução 
Não é possível afirmar quando e como a matemática iniciou, no entanto sabe-se que na antiguidade havia indícios de que já a 
utilizavam, porém baseadas em pinturas de cavernas, desenhos nas pedras, marcas nos ossos, entre outros. Acredita-se que 
usavam a geometria e a aritmética de acordo com suas necessidades. Mas, foi a aproximadamente quatro mil a.C. que a 
matemática surgiu em muitas regiões do mundo (EVES, 2004). 
Nesse período na civilização existiam sistemas de construções e escritas matemáticas, e muitas delas, estão guardadas até os dias 
de hoje. Já fabricavam o metal confeccionando seu sistema de pesos e medidas. Tinham um sistema de numeração, cobravam seus 
impostos, faziam trocas, etc. Já faziam grandes navegações, os egípcios próximos ao Rio Nilo já usavam a agrimensura, a divisão 
das terras em áreas e até arquitetura. Na China por sua vez, a matemática estava se desenvolvendo, porém não se sabe com 
precisão as datas desse desenvolvimento, no entanto muitas descobertas importantes de outras civilizações, os chineses já tinham 
conhecimento (EVES, 2004). 
Muitos foram os estudiosos, filósofos, matemáticos que influenciaram na construção da Geometria, entre eles podemos destacar 
Tales de Mileto, Pitágoras, Platão, Euclides. Tales de Mileto, nome influente, começa definir o pensamento matemático, 
transformando a Geometria indutiva numa Ciência dedutiva partindo de justificações, demonstrações e provas por meio de 
raciocínios. 
Pitágoras institui uma Escola Pitagórica deixando muito legados importantes como o tão famoso Teorema de Pitágoras. Platão 
avança com os estudos da Geometria baseado em sistematizações do conhecimento deixando muitas contribuições para Euclides. 
Já sobre Euclides, não se sabe onde nasceu ou morreu, sua vida é repleto de lacunas, porém deixou uma notável obra intitulada Os 
Elementos, que contribui para o estudo da Geometria Euclidiana até os dias de hoje. Sua obra é construída por 13 livros, dividido 
em teoremas, axiomas e postulados. 
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Embora Os Elementos tenha sido muito admirável e por muitos estudado, não foi sua única obra. Grande parte de seu trabalho se 
perdeu. Foi com base nos estudos de Euclides, que a geometria grega plana foi sistematizada de forma lógica e organizada. 
Avançar 
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UM POUCO DA HISTÓRIA DA 
GEOMETRIA 
Não se pode afirmar com exatidão a origem da Geometria, mas com base nos registros pode se analisar e perceber que os 
conceitos em relação à Geometria desenvolveram-se juntamente com a história da humanidade. Segundo Eves (1992) as primeiras 
considerações feitas com base na geometria são antigas, originadas de observações simples oriundas da “capacidade humana de 
reconhecer configurações físicas, comparar formas e tamanhos” (EVES, 1992). 
De acordo com Eves (1992, p. 2) as descobertas geométricas tiveram sua origem a partir de observações, onde inicialmente havia 
se a necessidade de uso da mesma para resolver problemas do seu dia-a-dia, como medir e comparar fazendo com que viessem a 
utilizar a geometria mesmo que inconscientemente. 
Eves (1992, p. 1) afirma que “a noção de distância foi sem dúvida, um dos primeiros conceitos geométricos a serem desenvolvidos” 
e a necessidade de delimitar espaços físicos desenvolveu noções de algumas figuras planas e alguns básicos conceitos geométricos 
de paralelo e perpendicular. 
Há uma ponte de ligação entre a história da humanidade e a natureza, Platão afirmava “Deus é o grande geômetra. Deus 
geometriza sem cessar” (GARBI, 2004). Os egípcios fizeram registros a cerca de dois mil anos atrás quando houve a necessidade de 
partilhas de terras que estavam às margens dos Rios Nilo e Eufrates e outras atividades que dependiam empiricamente da 
geometria como construção de um abrigo e até observação da movimentação de astros. 
Dessa forma, os faraós nomearam os agrimensores, responsáveis por verificar os prejuízos da inundação e refazer as partilhas, 
determinando os lotes, dividindo-os em áreas triangulares e retangulares. Ao deparar se com as áreas irregulares usavam o 
método de triangulação, ou seja, faziam a divisão das terras em triângulos e em seguida calculava-se as áreas dos triângulos 
encontrando a área total. 
E dessa forma, várias civilizações contribuíram para o desenvolvimento da Geometria, entre eles, os mesopotâmios, egípcios e os 
chineses. 
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AS CONTRIBUIÇÕES GEOMÉTRICA 
DOS MESOPOTÂMIOS, EGÍPCIOS E 
CHINESAS 
As contribuições dos egípcios para o desenvolvimento da Geometria foi no sentido de que todo o seu conhecimento geométrico 
era empírico e usado para auxiliá-los nos problemas diários como arquitetura, agrimensura e obras de irrigação. Sabe-se que a 
civilização egípcia desenvolveu-se ao redor do vale do rio Nilo e no crescente fértil dos rios Tigres e Eufrates e para tanto era 
necessário o uso da geometria para criação de métodos de agrimensura, divisão de terras, entre outros. 
Segundo Garbi (2008, p. 12) o grego Heródoto disse: 
Esse faraó (Sesóstris) realizou a partilha de terras, concedendo a cada egípcio uma porção igual, com a 
condição de ser-lhe pago todos os anos certo tributo; se o rio carregava alguma parte do lote de alguém, o 
prejudicado ia procurar o rei e expor-lhe o ocorrido. O soberano enviava agrimensores para o local, para 
determinar a redução sofrida pelo terreno, passando o proprietário a pagar um imposto proporcional ao 
que restara. Eis, ao que me parece, a origem da Geometria, que teria passado do Egito para a Grécia. 
A invenção da escrita impulsionou a Matemática e isso se deve aos escribas, aqueles que tinham o domínio da escrita e os 
primeiros a alcançar o conhecimento dos números. Mas, foram os arquitetos e os construtores daquela época que solucionaram as 
questões relevantes de Geometria. 
Os problemas geométricos foram resolvidos conforme surgiam, sem demonstrações ou qualquer desenvolvimento sistemático. 
Com base em tentativas, experimentos e persistência surgia a Matemática de forma indutiva e empírica, observando padrões até 
desenvolver um raciocínio. 
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Nesse período, os egípcios, já sabiam resolver o Teorema de Pitágoras, cálculos de área e volumes, entre outros. Alguns tabletes 
mencionavam sobre o comprimento da circunferência ser três vezes o diâmetro, e alguns 3 e 
Os egípcios escreviam sem preocuparem-se com demonstrações, sistematizações ou justificações lógicas das soluções,não 
explicitavam em seus escritos (receitas, tabletes), mas certamente os matemáticos babilônicos usavam inconscientemente um 
raciocínio lógico baseados em suas tentativas. 
Entre 1900 a.C. e 1600 a.C. os babilônicos produziram o tablete denominado Plimpton 322, nele foi apresentado uma relação de 
15 pares de números inteiros onde um é a Hipotenusa e o outro, cateto de um triângulo retângulo. 
Figura 1 - Papiro de Ahmes (ou Rhind) – 1650 a.C 
Fonte: Garbi (2015, p. 13). 
Os babilônios antigos conheciam o Teorema de Pitágoras. Muitos tabletes de barro datados do período de 
1800 a 1600 a.C. foram encontrados, decifrados e hoje se encontram em diversos museus. Um deles, 
chamado Plimpton 322 que foi preservado e mostra uma tabela de 15 linhas e 3 colunas de números. Os 
pesquisadores descobriram que esta tabela continha ternos pitagóricos, ou seja, lados de um triângulo 
retângulo. Como o que restou é apenas um pedaço de um tablete, que deveria fazer parte de um conjunto 
de tabletes, não se sabe como esses números foram encontrados. Mas uma pista, que os babilônios 
conheciam alguma forma de encontrar esses números. Nesse tablete está escrito o seguinte: 4 é o 
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comprimento, 5 é a diagonal. Qual é a altura? 4 vezes 4 dá 16, 5 vezes 5 dá 25. Tirando 16 de 25 o resto é 9 
Quanto vezes quanto devo tomar para ter 9? 3 vezes 3 dá 9, 3 é a altura Isto mostra, sem dúvida, que os 
babilônios tinham conhecimento da relação entre os lados de um triângulo retângulo. 
Para saber mais, acesse: < http://www.obmep.org.br/docs/apostila3.pdf > . 
Dois documentos importantes da época nos provam o quanto os egípcios estavam desenvolvidos nos conhecimentos matemáticos 
nas áreas de Aritmética e Geometria. O Papiro de Ahmes escrito em meados de 1650 a.C. com 85 problemas aritméticos e 
geométricos continha a regra da falsa posição envolvendo terços, meios e sétimos. Em outros trechos ensina a fazer cálculos da 
área do círculo, porém tudo sem justificativa. Apresenta também, uma aproximação aceitável para a época onde o π=3,1605 e 
utiliza figura de um octógono para trabalhar a área do círculo, os egípcios já haviam feito cálculos como esses milênios antes por 
meio dos polígonos. Outro ilustre papiro é o Papiro de Moscou escrito por volta de 1850 a.C. com 25 problemas também 
Aritméticos e Geométricos que surpreendeu pelo grau de complexibilidade e rigor das respostas. Nele havia registros do volume 
do tronco de uma pirâmide, o que corresponderia com precisão a nossa atual fórmula. 
Outra contribuição dos egípcios para a geometria é a construção das pirâmides, que foram e são estudadas até os dias de hoje. Na 
busca de encontrar respostas para as curiosidades humanas, muitos conceitos de geometrias foram relacionados a elas, como os 
polígonos, ângulos, sólidos geométricos, os Teoremas de Pitágoras, Teorema de Tales, entre outros. 
Na China também houve desenvolvimentos geométricos, porém as datas são imprecisas. Sabe-se que por volta de 1200 a.C., 
alguns séculos após a invenção da escrita ideográfica chinesa, escreveram o livro das permutações, I-King, contendo o antigo 
quadrado mágico. Mais tarde no século XII a.C. escreveram uma obra voltada totalmente para a Matemática, Chou-Pei Suan-King 
ou Shuan-Ching com diagramas que partem para a demonstração do Teorema de Pitágoras chamada de prova chinesa. 
Após 15 séculos reunindo séculos de conhecimentos indutivos, foi apenas no século VI a.C. que os gregos Tales de Mileto, 
Pitágoras e Platão criaram a Matemática dedutiva com conceitos basilares de prova ou justificativa lógica. 
TALES DE MILETO, PITÁGORAS E 
PLATÃO 
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http://www.google.com/url?q=http%3A%2F%2Fwww.obmep.org.br%2Fdocs%2Fapostila3.pdf&sa=D&sntz=1&usg=AFQjCNFjmzghxMM6sUIjBRNoRwO9qqPZZA
Caro(a) aluno(a) vamos iniciar esta aula sobre Tales de Mileto, Pitágoras e Platão. Vamos lá? 
Tales de Mileto 
O influente Tales de Mileto viveu na cidade de Jônia na Grécia era 
filósofo, astrônomo e matemático. Foi considerado um dos Sete Sábios da 
Grécia Antiga. Ele era comerciante, porém muitos os criticaram por 
deixar seu comércio de lado e “desperdiçar” tempo estudando. 
Tales fez muitas viagens como comerciante e entre essas uma se destaca, 
a do Egito. Segundo Garbi (2008, p. 22): 
Figura 2 – Tales de Mileto 
Fonte: Wikipedia (online). 
Não se sabe em que circunstâncias Tales começou a interessar-se pela Geometria, mas a tradição conta que 
ele fez ao Egito uma viagem que se tornou célebre. Provavelmente por ser uma pessoa fluente no comércio 
com aquele país ou, então, por sua habilidade em tratar com as pessoas, ele conseguiu visitar as pirâmides 
em companhia do faraó Amasis. Ali, medindo as sombras da pirâmide de Quéops e de um bastão que 
plantara verticalmente na areia, calculou a altura do monumento através de triângulos semelhantes, 
protagonizando assim um dos acontecimentos máximos da História da Geometria. 
A Tales foi atribuída a proposição conhecida como Teorema de Tales, que “um ângulo inscrito num semicírculo é um ângulo reto” 
atribuindo a ele a demonstração desse teorema (BOYER, 2003, p. 31-32). Além desse teorema, Tales contribuiu com outros, são 
eles: 
1. Um círculo é bissectado por um diâmetro. 
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Figura 3 – Teorema Tales 1 
Fonte: autora 
2. Os ângulos da base de um triângulo isósceles são iguais. 
Figura 4 – Teorema Tales 2 
Fonte: autora 
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3. Os pares de ângulos opostos formados por duas retas que se cortam são iguais. 
Figura 5 – Teorema Tales 3 
Fonte: autora. 
4. Se dois triângulos são tais que dois ângulos e um lado de um são iguais respectivamente a dois ângulos e um lado de outro, então 
os triângulos são congruentes. 
5. Se duas retas transversais são cortadas por um feixe de retas paralelas, então a razão entre quaisquer dois segmentos 
determinados em uma das transversais é igual à razão entre os segmentos correspondentes da outra transversal. 
Figura 6 – Teorema Tales 5 
Fonte: autora 
Assim Tales deu rumos definidos ao pensamento matemático, transformando a Geometria intuitiva numa ciência dedutiva, 
partindo de justificações, demonstrações e provas por meio de raciocínios. 
Muitos filósofos seguiram seus passos e eram conhecidos como a Escola de Mileto. Após sua morte, seu nome e seus feitos 
espalharam-se por toda a Grécia. 
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Podemos dizer que demonstração e prova são tidas como sinônimo? 
Fonte: a autora 
Pitágoras 
Pitágoras foi um ilustre matemático grego, nasceu por volta de 572 a.C. 
na ilha Jônia de Samos, uma das ilhas do mar Egeu, cerca de 50 
quilômetros de Mileto, cidade natal de Tales. 
Fez viagens ao Egito, e ao que parece ao oriente, e quando retornou à 
Jônia havia sido dominada pelos persas, então imigrou se para Crotona, 
ao Sul da península italiana. Lá foi fundador da famosa escola pitagórica 
por volta de 540 a.C. que dedicava seus estudos a Filosofia, Ciências 
Naturais e Matemática. Reuniu muitos seguidores e estudiosos 
transformando-se em uma irmandade. Ali eram feitos ritos e cerimônias 
sob muito mistério tornandose uma sociedade secreta, gerando 
hostilidade na cidade. 
Essa escola produziu muito conhecimento matemático por cerca de 
duzentos anos, enxergaram a Matemática como algo ideal e abstrato, 
entes idealizados, percebida em toda parte. Entre eles havia as 
propriedades das retas paralelas e a prova que a soma dos ângulos de 
qualquer triângulo é igual a 180º que equivale a dois ângulos retos. 
O seu mais famoso teorema é o universalmente conhecido pelo seu nome 
Figura 7- Pitágoras – Teorema de Pitágoras – sobre triângulos retângulos. 
Uma das demonstrações do Teorema de Pitágoras segundo Eves (2004, p. 
103): 
Denotamos por a, b e c os catetos e a hipotenusa de um triângulo retângulo, e consideremos os dois 
quadrados da figura, cada um de seus lados iguais a a + b. O primeiro quadrado está decomposto em seis 
partes – a saber, os dois quadrados sobre os catetos e quatro triângulos retângulos congruentes ao 
triângulo dado. O segundo quadrado está decomposto em cinco partes – a saber, o quadrado sobre a 
hipotenusa e quatro triângulos retângulos congruentes, ao triângulo dado. Subtraindo-se iguais de iguais, 
conclui-se que o quadrado sobre a hipotenusa é igual à soma dos quadrados sobre os catetos. 
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Figura 8 - Demonstração do Teorema de Pitágoras 
Fonte: EVES (2004, p.103). 
Seguido de Pitágoras, muitas outras demonstrações do teorema foram feitas, todavia, fontes históricas da Geometria atestam que 
Pitágoras foi o primeiro grego a sistematizá-lo e o demonstrá-lo. No entanto, já se era conhecido pelos chineses. 
Platão 
Platão, cujo verdadeiro nome é Aristócles, nasceu em Atenas (469 a.C. – 
399 a.C.), foi um dos mais brilhantes e pensadores da Grécia. Em Atenas 
por volta de 386 a. C. fundou a “Academia de Platão”, sobre o portal de 
sua escola havia uma advertência “Não são admitidos ignorantes em 
Geometria” (GARBI, 2004, p. 49). Ali reuniu jovens em busca de 
conhecimento e célebres filósofos e matemáticos da época. Houve um 
grande avanço no estudo da Geometria com sistematizações do 
conhecimento onde foram usados muitos teoremas da geometria 
elementar que contribuíram para o trabalho de Euclides ao escrever seu 
livro, Elementos. 
Figura 9 - Platão 
Escola platônica foi uma escola filosófica, fundada por Platão baseado nas ideias de Sócrates e de Pitágoras. 
Impulsionou fortemente o estudo da Matemática na Grécia dando a ela verdadeiros contornos de ciência 
dedutiva, rigorosa e profunda. 
Fonte: Garbi (2004). 
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Sobre Platão e os seus feitos na geometria não há evidências de demonstração, contribuição específica ou teorema de grande 
importância, no entanto sua academia tornou-se referência com grandes geômetras como Teeteto de Atenas, que descobriu o 
octaedro e o icosaedro completando os poliedros regulares, Menecmo que ao tentar resolver o problema da duplicação do cubo, 
descobriu as cônicas, Dinostrato que descobriu a Quadratiz de Hipias resolvendo o problema da quadratura de um círculo, entre 
outros. 
Eves (2004, p. 114) apresenta a existência de cinco poliedros regulares tratados no livro XIII dos Elementos, no primeiro escólio, 
onde os nomeia Sólidos de Platão, assim chamados de forma errônea, “porque três deles, o tetraedro, o cubo e o dodecaedro se 
devem aos pitagóricos, ao passo que o octaedro e o icosaedro se devem ao Teeteto”. No entanto, foi Platão, que em seu Timeu, 
descreveu e mostrou como construir os cinco poliedros regulares a partir da junção de triângulos, quadrados e pentágonos para 
formar suas faces. 
Figura 10 - os cincos poliedros regulares 
Fonte: a autora. 
Os Sólidos Platônicos ou corpos cósmicos foram associados com os átomos do universo: terra, ar, água e 
fogo. Terra foi associada com o cubo, ar com o octaedro, água com o icosaedro e o fogo por sua vez com o 
tetraedro. O quinto poliedro é descrita segundo Platão como: “Faltava ainda uma quinta construção que 
deus utilizou para organizar todas as constelações do céu.”. 
Para saber mais, acesse: < http://www.uff.br/cdme/platonicos/platonicoshtml/solidos-platonicos-br.html > . 
Acesso 06 ago. 2017. 
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EUCLIDES E OS ELEMENTOS 
Por volta de 300 a.C., Ptolomeu queria transformar Alexandria em uma capital intelectual, um centro de pesquisas e cultura com 
uma imensa biblioteca. A mitologia Grega tinham muitas deusas das ciências e das artes e a elas fora dedicado o “Museu de 
Alexandria”, isso atraiu muitos pensadores e entre eles o matemático Euclides que ali passou a ensinar Geometria. 
Não se sabe muito sobre Euclides, onde e quando nasceu ou morreu, sua vida é cheia de lacunas. Acredita-se que ele tenha sido um 
dos mais famosos discípulos da escola platônica e que foi diretor da área de Matemática do Museu de Alexandria, escrevendo 
várias obras científicas e a sua mais notável obra chamada os Elementos (Stoichia), traduzido para árabe e latim. Dividido em 13 
livros para ensino de Geometria com assuntos de geometria plana e espacial para iniciantes sendo usado como referencial até os 
nossos dias. O quadro 1 a seguir, apresenta os tópicos do livro Os Elementos: 
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Quadro 1 – tópicos do livro Os Elementos 
Fonte: Bongiovanni e Jahn (2010, p. 2). 
Barbosa (2012) ressalta que Os Elementos são uma obra de síntese. O livro está dividido em teoremas que ele e outros geômetras 
descobriram, mas provados e sintetizados por ele. Dessa forma, a Geometria foi a primeira teoria matemática axiomatizada 
chamada de Euclidiana. Euclides sistematizou de forma lógica e organizada o saber geométrico. 
A proposta de Euclides no livro Os Elementos era uma geometria sintética, ou seja, sem números, onde o 
pensamento geométrico baseia-se no processo de construção sistematizada através de um princípio lógico- 
dedutivo. 
Fonte: Bezerra (2005). 
De acordo com Garbi (2006) Euclides agrupou nos Elementos cerca de 465 a 470 proposições, precedidas por definições, 
postulados e noções comuns, onde “princípios assumidos sem demonstração seriam postulados se fossem específicos de certa 
ciência e noções comuns se fossem válidos para várias ciências”. Mendes e Bezerra afirmam que (2005, p. 6): 
A axiomatização é considerada um processo pelo qual passam os saberes praticados de maneira informal, 
quando levados a um nível de sistematização formal, considerando um conjunto de princípios previamente 
estabelecidos. 
Nesse sentido, um axioma é uma proposição indemonstrável porque é evidente e admitida como ponto de 
partida de um raciocínio, em particular na Matemática. 
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Embora sua obra Os Elementos seja muito admirável, não foi a única. Grande parte de seu trabalho perdeu-se, porém ainda 
podem-se mencionar outras obras como: Data, Sobre a Divisão de figuras, Pseudoárea, Cônicas, Phaenomena e Ótica. 
Foi com base nos estudos de Euclides, que a geometria grega plana foi sistematizada de forma lógica e organizada em Os 
Elementos passando a ser modelo, deixando um grande legado matemático. 
O livro Os Elementos de Euclides foi escrito por volta de 300 a.C. sendo considerado um dos mais 
importantes livros. Contudo, a obra não estava disponível em português, e aos que desejassem lê-la 
deveriam recorrer a uma versão do século XVIII em latim de Commandino. 
A Unesp lança a primeira tradução para o Português sendo traduzido diretamente do grego baseado em um 
árduo trabalho durante 15 anos pelo doutor e livre-docente em Matemática Irineu Bicudo. 
Sobre a importância da obra hoje Bicudo afirma que “Ela engloba tudo o que se conhecia de geometria da 
régua e do compasso feita até então. O que se pensa hoje ser a matemática está embutido em Os 
elementos. É o primeiro texto em que o raciocínio aparece dedutivamente. O docente do ensino 
fundamental e médio terá grande interesse na obra, assim como o aluno de graduação em Matemática do 
ensino superior. Também gostaria que os alunosde Grego dos cursos de Letras a lessem, pois eles não 
costumam conhecer a parte científica da cultura grega, como a matemática e a medicina. 
Fonte: < http://www.unesp.br/aci/jornal/249/livros_entrevista.php > . Acesso em 03 ago. 2017. 
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ATIVIDADES 
1. Classifique as questões com V (verdadeiro) ou F (falso): 
( ) Tales foi considerado o pai da Geometria, demonstrou, sistematizou inúmeros teoremas e definiu a seu modo o que é ponto, 
reta e plano. 
( ) Os Elementos de Euclides é um obra composta por 13 livros, onde todas são demonstrações feitas por Euclides. 
( ) Papiros importantes como o Rhind com 85 problemas geométricos e aritméticos onde um deles menciona o uso do octógono 
para trabalhar a área do círculo e suas soluções e o de Moscou com 25 problemas contendo a notável fórmula do volume da 
pirâmide, contribuindo assim para o conhecimento da matemática egípcia. 
( ) O Teorema de Pitágoras foi provado pela primeira vez por Euclides, foi uma demonstração do tipo geométrico, contudo ele não 
foi o único, posteriormente muitas outras foram feitas, entre elas podemos citar: Leonardo da Vinci, James Abram Garfield. 
( ) Na antiguidade, a geometria era considerada uma ciência empírica, criavam um conjunto de regras para resolver determinados 
problemas cotidianos e muitas das vezes conseguiam aproximar-se dos resultados. 
Assinale a alternativa correta: 
a) F, F, V, F, V. 
b) F, V, V, F, V. 
c) F, F, F, F, V. 
d) V, F, F, F, V. 
e) V, V, V, F. F. 
2. O teorema de Pitágoras é muito utilizado na engenharia civil, desde as demarcações iniciais até o acabamento final. Durante a 
construção de um telhado o mestre de obra constrói uma tesoura (estrutura de madeira). Se o comprimento total da viga AC é de 
10m e a altura é BD é de 3m, qual é o comprimento da viga AB? 
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a) 25m. 
b) 10,45m. 
c) 7m. 
d) 5m. 
e) 4,53m. 
3. Enumere a primeira coluna com a segunda: 
1) Tales de Mileto 
2) Pitágoras 
3) Platão 
4) Euclides 
( ) Escreveu uma das mais importantes obras intitulada “ Os Elementos. Composto por 13 livros onde agrupou 465 a 470 
proposições, precedidas por definições, postulados e noções comuns. 
( ) Demonstrou um dos mais belíssimos teoremas que levou o seu nome. Foi o primeiro a demonstrar a propriedade geral dos 
triângulos retângulos. 
( ) Fundador de uma célebre academia onde sobre os seus portões lia-se: Não são admitidos ignorantes em Geometria. Ali reuniu 
grandes geômetras. 
( ) Mediu a sombra da pirâmide de Queóps e plantando um bastão ao chão verticalmente na areia, calculou a altura do monumento 
baseado em triângulos retângulos. 
Assinale a alternativa que aponta a sequência correta: 
a) 4,2,3,1 
b) 2,4,1,3 
c) 3,1,4,2 
d) 1,2,3,4 
e) 4,3,2,3 
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Resolução das atividades 
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RESUMO 
Quando olhamos ao nosso redor contemplamos diversas formas geométricas sejam elas regulares ou não. Estão em nossas casas, 
na escola, nas arrojadas arquiteturas, nas engenharias modernas e até na natureza. 
A geometria surgiu empiricamente de acordo com as atividades dos povos antigos a fim de atender suas necessidades, desde a 
partilha de suas terras até a observação dos astros. Entretanto, as primeiras sistematizações devem-se aos gregos. Mas, foi 
Euclides quem a impulsionou caracterizando-a como axiomática-dedutiva em seu livro Os Elementos. 
Os egípcios, mesopotâmios e chineses usavam a geometria sem importar-se com demonstrações e deduções, seguiam uma 
sequência de raciocínios, experimentos e tentativas, até conseguir solucionar os problemas que o cercavam e através desses 
raciocínios conseguiam calcular áreas, volumes e até o Teorema de Pitágoras. Um dos grandes feitos geométricos deixados pelos 
egípcios, por exemplo, são as pirâmides nas quais ainda hoje são estudadas a fim de compreender a geometria que ali foi 
desenvolvida! 
Por sua vez, podemos observar que os babilônios também contribuíram consideravelmente para a Geometria com seus papiros de 
Ahmes e Moscou, na qual descrevem muitos problemas geométricos importantes. Já os chineses também desenvolveram sua 
geometria, para tanto suas datas não são precisas. 
Tales de Mileto, Pitágoras, Platão e Euclides foram grandes geômetras, pois sistematizaram a geometria deixando um legado muito 
importante que são estudados até os dias atuais. Podemos citar um importantíssimo livro Os Elementos de Euclides com 
descrições de axiomas e postulados impressionantes. 
E com o nosso estudo, resgatamos um pouco da história da geometria e interpretamos fatos históricos que cercam o 
desenvolvimento da geometria que estudamos em nossos dias, partimos dos egípcios, mesopotâmios e chineses até o célebre 
Euclides que contribuiu significativamente. 
Visando a importância da geometria esperamos ter contribuído para um olhar mais crítico estabelecendo algumas relações entre 
ontem e o hoje. 
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Material Complementar 
Leitura 
Nome do livro: História da Geometria para uso em sala de aula 
Autor: Howard Eves 
Editora: Atual Editora 
Sinopse : História da Geometria consta de duas partes: uma visão geral, a 
fim de dar ao leitor um quadro amplo sobre o assunto; e, uma segunda, 
que leva em conta a importância que os detalhes, muitas vezes, têm na 
história da Matemática. Para os estudos desenvolvidos nesta aula, é 
importante que você consulte a visão geral sobre a história da geometria, 
bem como a parte que trata sobre as construções com régua e compasso. 
Nessas duas partes do livro, você terá a oportunidade de aprofundar seus 
estudos sobre o tema aqui discutido. 
Nome do livro: Os Elementos 
Autor: Euclides 
Tradução : Irineu Bicudo 
Editora: Unesp 
Sinopse : Este livro o autor apresenta aspectos teóricos baseados na 
construção da geometria euclidiana. Foi a primeira tradução brasileira do 
livro I de Os Elementos de Euclides. Dividido em quatro partes: 
definições, postulados, noções comuns e elementos. Suas definições são 
enunciadas em 23 proposições, os postulados em 5 proposições 
formuladas a partir de algumas definições iniciais. Noções comuns são 
enunciadas através de 9 proposições estabelecidas como verdades. E por 
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fim, na última parte 48 elementos que configura-se em situações 
problemas envolvendo aspectos iniciais do livro. Todos são 
demonstrativos e ligados a geometria euclidiana. 
Na Web 
Euclides como o pai da geometria 
Este vídeo trata de um dos mais importantes e renomados geômetras, 
Euclides de Alexandria, juntamente com o livro mais influenteda história 
da geometria intitulado “Os Elementos”. 
Acesse 
Geometrias não euclidianas: uma introdução 
Trata-se de um material didático, com atividades, aspectos históricos que 
foi desenvolvido na perspectiva de disponibilizar ferramentas que 
favoreçam tanto o processo de ensino e aprendizagem das Geometrias, 
quanto para promover reflexões e mudanças na prática pedagógica. 
Nesse estudo abordam-se aspectos das Geometrias Euclidianas, das Não- 
Euclidiana. Destacam-se a Topologia geométrica, a geometria 
Hiperbólica, Esférica, Projetiva e Fractal. 
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REFERÊNCIAS 
BALDINI, Loreni A. F. Geometrias não euclidianas - uma introdução. 2008. Disponível em: 
< http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/pde/arquivos/1503-6.pdf > . Acesso em 23 ago. 2017. 
BARBOSA, João Lucas M. Geometria Euclidiana Plana. Coleção do Professor de Matemática. SBM. 2012. 
BICUDO, Irineu. O PRIMEIRO livro dos Elementos de Euclides. Tradução Irineu Bicudo. Editor geral John A. Fossa. Natal: 
SBHMat, 2001. (Série textos de história da matemática, 1). 
BOYER, C. História da Matemática. São Paulo: Blucher, 1996. 
BONGIOVANNI, Vicenzo; JAHN, Ana Paula. De Euclides às geometrias não euclidianas. Union Revista IberoAmericana de 
Educación Matemática. Junio de 2010, n. 22, p. 37-51. ISSN: 1815-0640. Disponível em: 
< http://www.fisem.org/www/union/revistas/2010/22/Union_022_006.pdf >. Acesso em 13 out. 2017. 
EVES, Howard. História da Geometria / Houward Eves; trad. Hygino H. Domingues, São Paulo: Atual, 1992. 
GARBI, Gilberto G. A Rainha das Ciências: um passeio histórico pelo maravilhoso mundo da matemática. 2.ed. São Paulo: Editora 
Livraria da Física, 2007. 
MENDES, Iran Abreu & BEZERRA, José Querginaldo, Geometria espacial: interdisciplinar. Natal, RN: EDUFRN Editora da UFRN, 
2005. 
WIKIPEDIA. Thales de Mileto, 1874. Domínio Público. Disponível em: 
< https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c6/Illustrerad_Verldshistoria_band_I_Ill_107.jpg > . Acesso em 09 out. 2017. 
WIKIPEDIA. Eclides, 1474. Domínio Público. Disponível em: 
< https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/8c/Euklid2.jpg > . Acesso em 09 out. 2017. 
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APROFUNDANDO 
GEOMETRIAS NÃO -EUCLIDIANAS - A GEOMETRIA DO MUNDO 
REAL 
De acordo com Baldini (2008), devido à forte crença de que o sistema geométrico de Euclides era a única maneira de descrever o 
espaço físico e relacionado à dificuldade que o ser humano tem para integrar novos conhecimentos aos acumulados 
historicamente, passaram-se em torno de dois milênios para que fossem formalizadas novas teorias de Geometrias e para que as 
mesmas fossem aceitas. 
Euclides juntou teoremas descobertos por ele e por outros geômetras, mas provados por ele e os sintetizou escrevendo o livro Os 
Elementos, uma obra de síntese (GARBI, 2006). Assim, a primeira teoria matemática a ser axiomatizada foi a Geometria, chamada 
de euclidiana. Euclides sistematizou de forma lógica e organizada o saber geométrico, pautado em noções comuns e postulados. 
Entre as noções comuns, presentes no livro I dos Elementos, enunciadas por Euclides destacam-se (BICUDO, 2001, p. 4): 
1. As coisas iguais à mesma coisa são iguais entre si. 
2. E, coisas iguais sejam adicionadas a coisas iguais, os todos são iguais. 
3. E, caso coisas iguais sejam subtraídas de coisas iguais, as restantes são iguais. 
4. E as coisas que se ajustam uma sobre a outra são iguais entre si. 
5. E o todo [é} maior que a parte. 
No Livro I, Euclides, também enunciou os famosos postulados das Geometrias. Trata-se de 5 proposições (BICUDO, 2001, p. 3): 
1. Fique postulado traçar uma linha reta a partir de todo ponto até todo ponto. 
2. ambém prolongar uma reta limitada continuamente sobre uma reta. 
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3. Também descrever um círculo com todo centro e raio. 
4. Também serem todos os ângulos retos iguais entre si. 
5. Também, caso uma reta, encontrando duas retas, faça ângulos interiores e sobre os mesmos lados, menores do que dois retos, sendo 
prolongados ilimitadamente as duas retas, encontrarem-se sobre o lado em que estão os menores do que dois retos. 
De acordo com Garbi (2006), ainda hoje, a Geometria presente nos livros utilizados na Educação Básica, são extratos dos 
Elementos e que as provas de teoremas são as realizadas por Euclides. 
Alguns matemáticos, refutaram o 5º postulado não tem uma redação breve e simples, não é tão auto-evidente como os demais 
postulados e não é facilmente compreensível. Atualmente o 5º postulado, mais conhecido como axioma das paralelas, é escrito de 
modo mais simples, como proposto em 1793 pelo matemático Playfai “Por um ponto fora de uma reta passa uma e uma só paralela 
a ele” (GARBI, 2006, p. 60). 
Figura 1 - Representação de retas paralelas 
Fonte: a autora. 
Baldini (2008) ressalta que muitos matemáticos, ao longo destes séculos, dedicaram-se a estudos sobre o quinto postulado de 
Euclides, na tentativa de provar que ele é um teorema e que pode ser demonstrado. Nas diversas tentativas de deduzir o postulado 
das paralelas, sempre esbarravam em afirmações equivalentes a este postulado, assim, perceberam-se que ele não é uma 
consequência lógica dos quatro anteriores. Na literatura é comum encontrar essas tentativas de provas, algumas ingênuas e outras 
sofisticadas, porém desde as mais simples até as mais complexas, todas foram refutadas. Até os dias de hoje, ninguém obteve êxito. 
Os estudos sobre a Geometria Euclidiana apontaram novas formas para a exploração do espaço geométrico que se denominou de 
geometria não euclidiana. No entanto, essas geometrias, de certa forma, que se apoiam nos quatros postulados anteriores da 
geometria euclidiana. 
Pela expressão “geometria não euclidiana” entende-se um sistema geométrico construído sem a ajuda da hipótese euclidiana das 
paralelas e contendo uma suposição sobre paralelas incompatível com a de Euclides (EVES, 1992, p. 45). 
Mediante a tantos estudos relacionados a não existência da prova do quinto postulado de Euclides, alguns matemáticos que 
lançaram bases de geometrias tão sólidas como a de Euclides e destacaram duas maneiras de negar a única paralela do quinto 
postulado: 
• Supor que por um ponto fora de uma reta dada existe pelos menos duas retas paralelas e, 
• Supor que não é possível traçarnenhuma paralela nessas condições. 
Dessa forma, as geometrias não euclidianas foram constituindo-se teoricamente e distinguindo-se uma das outras, surgindo assim 
várias delas: Topologia geométrica, a Geometria Hiperbólica, Esférica, Projetiva e Fractal. 
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REFERÊNCIAS 
BALDINI, Loreni A. F. Geometrias não euclidianas - uma introdução. 2008. Disponível em: 
< http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/pde/arquivos/1503-6.pdf > . Acesso em 23 ago. 2017. 
BICUDO, Irineu. O PRIMEIRO livro dos Elementos de Euclides. Tradução Irineu Bicudo. Editor geral John A. Fossa. Natal: SBHMat, 
2001. (Série textos de história da matemática, 1). 
EVES, Howard. História da Geometria / Houward Eves; trad. Hygino H. Domingues, São Paulo: Atual, 1992. 
GARBI, Gilberto G. A Rainha das Ciências: um passeio histórico pelo maravilhoso mundo da matemática. 2.ed. São Paulo: Editora 
Livraria da Física, 2007. 
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EDITORIAL 
DIREÇÃO UNICESUMAR 
Reitor Wilson de Matos Silva 
Vice-Reitor Wilson de Matos Silva Filho 
Pró-Reitor de Administração Wilson de Matos Silva Filho 
Pró-Reitor de EAD William Victor Kendrick de Matos Silva 
Presidente da Mantenedora Cláudio Ferdinandi 
C397 CENTRO UNIVERSITÁRIO DE MARINGÁ . Núcleo de Educação 
a Distância; PRADO , Fabiola Reggiane do; BALDINI , Loreni Aparecida Ferreira. 
Geometria Euclidiana . Fabiola Reggiane do Prado; Loreni Aparecida Ferreira Baldini. 
Maringá-Pr.: UniCesumar, 2017. 
31 p. 
“Pós-graduação Universo - EaD”. 
1. Geometria 2. Euclidiana. 3. EaD. I. Título. 
CDD - 22 ed. 510 
CIP - NBR 12899 - AACR/2 
Pró Reitoria de Ensino EAD Unicesumar 
Diretoria de Design Educacional 
Equipe Produção de Materiais 
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REFLEXÕES SOBRE O 
ENSINO DE 
GEOMETRIA E O USO 
DE MATERIAIS 
DIDÁTICOS 
MANIPULÁVEIS 
Professoras: 
Esp. Fabiola Reggiane do Prado 
Drª Loreni Aparecida Ferreira Baldini 
Objetivos de aprendizagem 
• Discutir aspectos do ensino da geometria na Educação Básica e refletir sobre as justificações presentes em documentos oficiais. 
• Discutir o uso de tecnologias digitais e dos materiais didáticos manipuláveis nos processos de ensino e de aprendizagem de 
geometria 
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• Apresentar um software e alguns materiais didáticos manipuláveis como possibilidades para o uso no ensino da Geometria. 
Plano de estudo 
A seguir, apresentam-se os tópicos que você estudará nesta unidade: 
• Reflexões sobre o Ensino de Geometria na Educação Básica. 
• Os Materiais Didáticos Manipulativos (MDM). 
• O Uso de MDM no Ensino da Geometria – Algumas Possibilidades. 
Introdução 
Este estudo aborda algumas reflexões sobre o ensino da geometria na Educação Básica, destacando alguns objetivos para o seu 
ensino presente em documentos como o PCN -Parâmetros Curriculares Nacionais e NCTM - National Council of Teachers of 
Mathematics, algumas articulações entre as diferentes áreas da Matemática, e ainda, discuti o uso de tecnologias digitais e o uso 
dos materiais didáticos manipuláveis (MDM) para no ensino e aprendizagem de geometria. Aborda também, algumas 
possibilidades para o uso dos MDM no ensino da Geometria. 
As discussões acerca do ensino de Geometria vêm ganhando espaço no âmbito educacional a partir do uso tecnologias digitais e os 
materiais didáticos manipuláveis. No entanto, a relação entre experimentação, generalização, sistematização requer um professor 
que promova a utilização das tecnologias digitais e de MDP de modo criativo e reflexivo para que ocorra a aprendizagem, uma vez 
que o fato de utilizar esses recursos não garante a aprendizagem do estudante. Outro aspecto que se tem a intenção de deixar 
claro a respeito do uso desses recursos, é que estes não são sugeridos como elemento motivador para a aprendizagem. A 
aprendizagem, ocorre geralmente, diante de desafios que conduzem a resolução de problemas e a produção de significados. 
Diante disso, esse estudo, apresenta pontos positivos e negativos a respeito dos MDM, que também podem servir de base para o 
uso das tecnologias digitais. 
Para indicar algumas possibilidades para o uso do MDM, nesse estudo são apresentados o Geoplano, Cubo-soma, Tangram, Sólidos 
Geométricos, no entanto, destaca-se que é preciso que o professor tenha objetivos definidos para explorar as possibilidades 
didáticas e utilizar esses recursos como apoio ao trabalho para o desenvolvimento de ideias matemáticas. 
Esta unidade está dividida em três aulas: reflexões sobre o ensino de geometria na Educação básica, materiais didáticos 
manipuláveis (MDM) e o uso de MDM no ensino da Geometria. Essas aulas são apresentadas de modo a suscitar discussões e 
aprendizagens acerca da Geometria Euclidiana na Educação Básica, no entanto muitas outras reflexões e estudos são necessários 
para a superação das dificuldades apresentadas por estudantes no processo de aprendizagem de Geometria. 
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REFLEXÕES SOBRE O ENSINO DA 
GEOMETRIA NA EDUCAÇÃO BÁSICA 
A geometria está presente em diversas situações do cotidiano como nas brincadeiras infantis, nas construções, nas artes. Alguns 
conceitos geométricos estão incorporados na nossa linguagem, na organização dada a objetos e ideias e nos valores estéticos. Nas 
primeiras experiências as crianças, ao tentarem compreender o mundo, ao distinguirem um objeto do outro, ao movimentar-se de 
um lugar para o outro, elas usam ideias geométricas para resolver problemas. A nossa volta pode-se observar as mais variadas 
formas geométricas, muitas fazem parte da natureza, outras são resultados das ações do homem (FONSECA, et al, 2002). 
Figura 1: Formas geométricas presentes no cotidiano 
Nas aulas de matemática, o estudo da geometria, quase sempre a ênfase está no cálculo de medidas, deixando de lado a 
preocupação com a observação de relações de simetrias, semelhanças, valorizando as fórmulas sem relacioná-las com as formas 
geométricas, como os padrões presentes nos modelos geométricos, como decorrência de um processo de observação e de análise 
de propriedades. A constituição do conhecimento geométrico tem um papel fundamental para o desenvolvimento do raciocino 
espacial e a resolução de problemas, possibilita a realização de conjecturas, a generalização e a abstração. 
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https://sites.google.com/fabrico.com.br/posge2/p%C3%A1gina-inicialO pensamento geométrico está relacionado com as propriedades de figuras geométricas e relações 
espaciais. Uma ideia chave no pensamento geométrico é o sentido espacial ou raciocínio espacial. Assim 
como os estudantes desenvolvem o sentido do número, pode desenvolver o sentido espacial por meio 
sentido que fazem das formas e as relações espaciais. 
Para saber mais, acesse: < https://arbs.nzcer.org.nz/geometric-thinkingconcept-map#introduction > . Acesso 
em 08 ago. 2017. 
De acordo com Walle (2009) os objetivos da Geometria na Educação Básica se dividem em dois referenciais: o raciocínio espacial e 
o conteúdo específico. Para esse autor, o raciocínio espacial, que tem como base teórica o pensamento geométrico, está 
relacionado ao modo como os estudantes pensam sobre as formas e espaços e as relações entre elas. O conteúdo específico trata a 
Geometria em seu sentido mais tradicional, como conhecer as propriedades de polígonos, saber o que são retas paralelas e 
perpendiculares, sobre simetria, examinar as mais diversas formas como a de um favo de mel ou de uma célula, observar, comparar 
tamanhos, analisar posições e movimentos, representar, construir, medir. 
A geometria pode ser descrita como o estudo de relações espaciais envolvendo propriedades de forma, espaço e posição. A 
geometria é uma área de matemática que pode proporcionar oportunidades para desenvolver habilidades criativas de resolução 
de problemas (WALLE, 2009). 
O NCTM - National Council of Teachers of Mathematics (2000), justifica o ensino de geometria pelo fato que ao estudá-la se tem a 
oportunidade de aprender as formas e estruturas geométricas, as características e relações; de constituir um contexto natural 
para o desenvolvimento das capacidades de raciocínio, de argumentação e de demonstração; de perceber que as ideias 
geométricas são úteis na representação e resolução de problemas em outras áreas da matemática, e porque, a visualização 
constitui um aspecto essencial do raciocínio espacial. De acordo com esse documento, o raciocínio espacial é uma intuição sobre as 
formas e as relações entre elas, o qual inclui a capacidade de movimentar/girar os objetos geométricos em sua mente, 
proporcionando, com isso, mais segurança ao estudante ao lidar com as relações geométricas. Na busca de compreender as 
propriedades geométricas os estudantes são estimulados a desenvolver a imaginação, a intuição, a percepção, a compreensão do 
espaço. 
O ensino e aprendizagem da geometria de acordo com o NCTM (2000) deve permitir aos estudantes: 
• analisar características e propriedades de formas geométricas bidimensionais e tridimensionais e desenvolver 
argumentos matemáticos acerca de relações geométricas; 
• especificar localizações e descrever relações espaciais recorrendo à geometria de coordenadas e a outros sistemas de 
representação; aplicar transformações e usar simetrias para analisar situações matemáticas; 
• usar a visualização, o raciocínio espacial e a modelação geométrica para resolver problemas. 
Os PCN (1998) ressaltam que o ensino de Geometria na Educação Básica, deve ser realizado a partir da exploração dos objetos do 
mundo físico, de obras de arte, pinturas, desenhos, esculturas e artesanato, que permitirá ao estudante estabelecer conexões entre 
a Matemática e outras áreas do conhecimento. Segundo Walle (2009), uma rica compreensão da Geometria, tem implicações 
importantes para outras áreas da matemática, tais como: 
• Medidas e Geometria são alinhadas para desenvolvimento de fórmulas para o cálculo de área, volume, perímetro, para 
determinar comprimentos, também possibilita um trabalho relacionando álgebra, geometria e a métrica. 
• Raciocínio Proporcional e Geometria fornecem uma representação visual de proporcionalidade. 
• Álgebra e Geometria como construção de gráficos, visão analíticas de paralelas, perpendiculares. 
• Números e Geometria estimula o estudante a perceber semelhanças e diferenças, identificar regularidades. 
Na Educação Básica, os PCN (1998) indicam para ensino de geometria atividades experimentais exploratórias, com materiais 
didáticos manipuláveis, um trabalho que explore a visualização e a representação, que desenvolve o raciocínio espacial e a 
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construção de conceitos, propriedades geométricas e demonstrações. No entanto, deve-se buscar abordagens tanto dedutiva 
quanto experimental sem a prioridade de uma sobre a outra. 
Duas perspectivas que vem ganhando espaço no ensino de Geometria é o uso de materiais didáticos manipuláveis e de tecnologias 
digitais ( softwares , celulares), que permitem ao estudante por meio da descrição, comparação a constituição de uma imagem metal 
pensar no objeto na sua ausência. “Ao visualizar objetos geométricos, o indivíduo passa a ter o controle sobre o conjunto de 
operações mentais básicas exigidas no trato da Geometria” (KALEFF, 1998, 16). Para essa autora visualizar é formar e conceber 
uma imagem visual, mental de algo que não se tem ante os olhos no momento. 
Kaleff (1998) ressalta que é importante que a visualização ocupe lugar no ensino de geometria, ela pode ser desenvolvida a partir 
da manipulação de materiais didáticos, ou seja, de representações de objetos geométricos, caso o estudante precise visualizar um 
poliedro, um modelo de papel ou madeira podem colaborar para gerar a imagem mental que auxiliará o estudante a gerar outras 
imagens mentais ou representações e transformações do objeto geométrico em questão. 
A manipulação pode ocorrer também em ambientes de tecnologias digitais, que permitem construções de figuras geométricas e 
sua exploração de forma dinâmica, colaborando para o desenvolvimento da visualização. Além disso, as tecnologias digitais são 
ferramentas cognitivas, capazes de expandir a capacidade intelectual dos estudantes, é considerada como linguagem para 
representação do conhecimento e que devem ser usadas para potencializar os processos de ensino e de aprendizagem (VALENTE, 
2011). 
Um dos softwares que tem sido muito utilizado pela comunidade dos professores de matemática, em âmbito nacional e 
internacional, como uma ferramenta pedagógica nos processos de ensino e de aprendizagem de Matemática dos diferentes níveis 
de ensino é o software GeoGebra. 
O Ensino de Geometria e o Software GeoGebra 
Pavanelo (1993) salienta a respeito do abandono do ensino de geometria na Educação Básica, que por muito tempo, foi deixado de 
lado ou quando trabalhado, geralmente em um caráter mais formal, voltado para prova e demonstrações, muitas vezes sem a 
produção de significados pelos estudantes. Com o advento das tecnologias digitais, as discussões acerca do ensino da geometria 
estão ocorrendo notavelmente, tantos nos congressos de matemática como no âmbito de formação (WALLE, 2009). Por meio dos 
softwares evidenciam-se novas abordagem do aprendizado geométrico (GRAVINA, 1996). 
O ensino da Geometria a partir da realização de tarefas investigativa exploratório que permitem construir, observar, manipular, 
modificar, generalizar, com o uso de um software como o GeoGebra, pode colaborar para uma aprendizagem a partir da 
experimentação, visualização e construção de conceitos. 
O GeoGebra é um software voltado ao ensino e à aprendizagem de matemática, reúne álgebra, geometria, cálculo, probabilidade e 
estatística. Possibilita a realização de experimentações, construção geométricas, gráficos de funções, polígonos. Pode ser baixado 
na internet e instalado nos diversos sistemas operacionais como o Windows, Android e iOS (celular). 
Este software permite aos estudantes realizar investigações sobre propriedades geométricas das figuras que dificilmente 
poderiam observar utilizando apenas o quadro de giz. Porser um software que possui a ferramenta “Mover”, o GeoGebra, é 
considerado essencial na formulação de conjecturas, na realização de investigações, na percepção de regularidades. Após a 
construção de uma figura, permite transformá-la sem alterar suas propriedades, ou seja, visualizá-la de diferentes formas, 
favorecendo a compreensão do comportamento geométrico dos elementos envolvidos, facilitando como isso, a compreensão de 
muitos conceitos (BALDINI, 2014). 
Ao utilizar os recursos das tecnologias digitais, o professor deve assumir um papel de mediador entre o estudante e sua 
aprendizagem, propor situações de aprendizagem em uma perspectiva investigativa. Por outro lado, o estudante terá a 
oportunidade de desenvolver um papel ativo e participante na constituição de seu conhecimento e não apenas um ser um receptor 
de informações como acontece em muitas aulas expositivas. 
A seguir apresenta-se uma tarefa na perspectiva investigativa exploratória para a utilização do software GeoGebra. 
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Quadro 1: Tarefa para a utilização do software GeoGebra. 
Fonte: as autoras. 
As figuras a seguir são exemplos de construção e transformações da tarefa do Quadro 1 realizadas no software GeoGebra. 
Figura 2 – Triângulo construído no GeoGebra e modificado 
Fonte: as autoras. 
O software GeoGebra, como no caso da tarefa do Quadro 1, possibilita ao estudante a manipulação virtual do objeto matemático, 
a observação, a experimentação, a investigação de propriedades, a generalização de que o segmento 
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que une os pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo ao terceiro lado, e sua medida é igual à metade da medida do 
terceiro lado; que os triângulos ABC e BMN são semelhantes; que a área do triangulo ABC é o quádruplo da área do triângulo 
BMN. 
MATERIAIS DIDÁTICOS 
MANIPULÁVEIS (MDM) 
Desde os tempos mais antigos os homens usam materiais manipuláveis para realizar atividades matemáticas. Por exemplo, para 
contar objetos utilizaram pedras, para registrar resultados de operações, nós em uma corda, o abáco. Muitos educadores que 
apontam o uso do apoio visual como ferramenta facilitadora para o processo de aprendizagem. Um espaço rico para os processos 
de ensino e aprendizagem, de acordo com Lorenzato (2006), é aquele onde se utiliza os materiais didáticos manipuláveis (MDM). 
Eles são importantes aos professores, por auxiliar as práticas pedagógicas e chamar os estudantes para um processo de 
investigação. O uso adequado, bem planejado e com objetivos formulados contribuem para que os estudantes tenham diferentes 
experiências durante o processo de construção e exploração, favorecendo o desenvolvimento da visualização, auxiliando na 
formação de conceitos matemáticos(KALEFF,1998). 
Os Materiais Didáticos Manipuláveis são objetos que o estudante pode construir, sentir, tocar, manipular, movimentar, podem ser 
objetos reais que têm aplicação no cotidiano, ou que são usados para representar uma ideia (PASSOS, 2006). 
Lorenzato (2006, p. 18) define material didático como “qualquer instrumento útil ao processo de ensino e aprendizagem”. Fazem 
parte dessa definição: giz, uma calculadora, um quebra-cabeça, um jogo, uma embalagem, um cartaz, uma construção geométrica. 
Apesar das várias possibilidades, o autor considera, que o material didático manipulável tem duas interpretações: “uma delas 
refere-se ao palpável, manipulávele a outra, mais ampla, inclui também imagens gráficas” (LORENZATO, 2006, p. 22-23). O autor 
classifica o material didático manipulável em estático e dinâmico: 
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• Material manipulável estático: material que não possibilita modificação em suas formas, alteração na estrutura física durante 
manipulação. Há apenas observação para possíveis abstrações de propriedades atingindo somente o campo visual. 
• Material manipulável dinâmico: material que permite transformações por continuidade, ou seja, durante manipulação o 
material muda, sofre transformações de acordo com as operações e comandos realizados, levando o estudante a redescobertas, 
com percepção de propriedades, construindo de forma efetiva sua aprendizagem. 
Passos (2006) ressalta que, os materiais didáticos, durante a aula de Matemática, devem ser utilizados como suporte experimental 
na organização dos processos de ensino e de aprendizagem, servem, também como elementos desencadeadores de conjecturas e 
de justificativas mais formais da aprendizagem. Deve fazer um elo entre as tarefas de experimentação, interpretação e exploração 
com os conceitos envolvidos e servir de mediação na construção do conhecimento, “facilitando a relação 
professor/estudante/conhecimento” (PASSOS, 2006, p. 78). 
Os MDM podem ser estruturados ou não estruturados. Dentre os estruturados estão: Blocos lógicos, Tangram, aplicativos ou 
softwares como Geogebra, Excel, Poly, Geoplano. Os materiais não estruturados são objetos comuns nas quais o professor faz uso 
durante suas aulas tais como: dados, cartas de baralho, recortes de jornais, copos de medida, garrafas pets, entre outros. 
Com o uso dos MDM não há garantia de aprendizagem, não se pode ficar restrito somente a manipulação de forma lúdica e sem 
função educativa, é necessário que os materiais estejam atrelados aos objetivos de ensino. Os MDM utilizados em sala de aula só 
fazem sentido se houver interpretação das relações dos materiais com os conceitos envolvidos além da interação entre os 
estudantes com o material (NACARATO, 2005). 
De acordo com Cavalcanti et al (2007) o uso de materiais manipuláveis pode ter pontos positivos e negativos. O quadro a seguir 
apresenta alguns desses pontos. 
Quadro 2 – Pontos negativos e positivos do MDM. 
Fonte: Cavalcanti, et al (2007). 
Embora haja muitos pontos positivos em evidência no Quadro 2, o professor deve tomar muitos cuidados para não cometer os 
pontos negativos prejudicando a aprendizagem do estudante 
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O USO DO MDM NO ENSINO DE 
GEOMETRIA – ALGUMAS 
POSSIBILIDADES 
No ensino de Geometria, muitos estudantes encontram dificuldades relacionadas à visualização, nas relações que existem entre as 
formas espaciais e suas propriedades. O uso do MDM ao ensinar Geometria é muito discutido em pesquisas favoráveis sua a 
introdução para abordagens reflexivas durante a discussão, visualização, construção do conhecimento e conceitos da Geometria 
(KALLEF, 2006; PASSOS, 2006; PEREIRA, 2013). 
Ao usar os MDM no ensino de geometria Kaleff (1994), ressalta que o foco deve estar no observar, descrever, comparar, tocar, 
construir ao invés de definir e designar, proporcionando um ensino investigativo em um movimento dialético entre a 
experimentação e a conceitualização/abstração. A importância da experimentação reside no poder que ela tem de provocar ideias, 
raciocínio, reflexão, construção do conhecimento (LORENZATO, 2006). 
A manipulação de MDM é um processo que oferece aos estudantes oportunidade de analisar as propriedades geométricas, de 
desenvolver o raciocínio espacial, a visualização, a organização do espaço, a generalização. A seguir serão apresentados alguns 
MDM que podem ser trabalhados no ensino de geometria euclidiana. 
Geoplano 
O geoplano é um modelo matemático que permite sugerir ideias matemáticas, constitui-se em um suporte para a representação 
mental. É um tabuleiro de madeira de diversos tamanhos, com pinos de madeira ou pregos que dão a ideia de pontos, 
configurando-se em uma malha que pode ser quadrada, isométrica, circular. Como material de apoio, utiliza-se fios ou elásticos 
coloridos para representar figuras poligonais, linhas, retas, arestas, vértices. 
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Figura 3 - Geoplano 
Fonte: as autoras. 
Os Geoplanos são dinâmicos, diferente de uma folha quadriculada, permitem a experimentação, a formulação de conjecturas, o 
fazer e desfazer de figuras, a observação das figuras em diferentes posições, desenvolve a intuição, criatividade, constituição de 
conceitos, resolução de problemas e generalizações. O Geoplano possibilita a abordagem de diversos temas da geometria 
euclidiana: 
• Retas. Semirretas. Segmentos de reta. Posições relativas das retas. 
• Polígonos. Classificação de Polígonos e seus elementos. 
• Ângulos. Classificação de ângulos. 
• Triângulos e seus elementos: alturas, bissectrizes, medianas, mediatrizes. 
• Construção de padrões geométricos. 
• Área e Perímetro de figuras planas. Equivalência de áreas. Relações perímetro-área. 
• Simetrias das figuras poligonais. 
• Verificação do Teorema de Pitágoras. 
• Semelhança de polígonos. 
• Construção de mosaicos. 
Cubo-soma 
O cubo-soma é um quebra cabeça constituído por sete peças feitas com a colagem de cubinhos de madeira (Quadro 3). Uma peça é 
a colagem de 3 cubinhos e as outras seis com a colagem de 4 cubinhos. O desafio maior é montar um cubo de arestas 3 (cubinhos). 
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Quadro 3 - Peças do Cubo-soma 
Fonte: as autoras. 
Entre os objetivos para o uso do cubo-soma, destaca-se a potencialidade para a constituição do conceito de volume. Utilizando-se 
o cubo-soma é possível desenvolver vários tipos de atividades: 
• Desenho das peças em perspectiva isométrica e paralela numa malha. 
• Representar no plano as peças nas diferentes vistas (frontal, superior, lateral). 
• Apresentar figuras construídas com peças do cubo soma em uma folha de papel e solicitar para que o estudante construa a 
figura com as peças do cubo-soma. 
• Sistematizar o conceito de volume de um poliedro 
Utilizando somente duas peças do cubo-soma (Quadro 3), tente construir os sólidos representados na 
figura abaixo. Para tanto, não deve haver buracos no sólido que você vai construir. 
Fonte: adaptado de Kaleff (1998). 
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a. Quantos cubinhos você utilizou em cada construção? 
b. Quantos cubinhos ou partes de cubinhos você vê na representação de cada sólido? 
c. Esse número é o mesmo dos cubinhos usados na construção do sólido? 
Para introduzir o conceito de volume é importante apresentar primeiro uma ideia intuitiva, darem exemplos para que os 
estudantes compreendam o que vai ser tratado. O cubo-soma pode colaborar nesse sentido, uma vez que permite comparar 
quantos cubinhos compõe uma determinada figura, aspectos que apoiam uma definição mais formal e o cálculo do volume. 
Tangram 
O tangram é um quebra cabeça geométrico que pode ser construído de madeira, de papel, EVA. Existem diferentes modelos, os 
números de peças também mudam conforme o modelo. O modelo tradicional, é o tangram quadrado, que possui sete peças 
poligonais. 
Figura 4 - Diferentes modelos de tangram 
Todos os modelos de tangran são compostos por peças geométricas. Essas peças fazem parte da decomposição dos tangrans e 
perrmitem compor as mais variadas formas, novas figuras. As atvidades utilizando o tangram podem desenolver a discriminação 
visual, o raciocínio espacial, a exploração de semelhancas e diferencas das figuras. Além disso, é possivel o estudo matemático das 
peças e atividades que envolvem: 
• Tranformação 
• Rotação em torno de um ponto 
• Simetria em torno de uma reta 
• Equivalência de figuras 
• Noçoes de unidade de área 
• Ângulos 
• Área envolvendo decomposição e composição 
• Perímetro. 
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O tangram é um jogo chinês milenar. Não se sabe quem o inventou, mas há várias lendas sobre ele, uma 
conta que um mensageiro deixou cair no chão uma pedra de jade em forma de quadrado que estava levando 
para um imperador chinês. Ao cair, a pedra quebrou-se em sete partes. O mensageiro começou a juntar as 
peças tentando remontar o quadrado, e a cada tentativa formava figuras diferentes. Segundo a lenda, o 
mensageiro formou centenas de figuras até conseguir montar novamente o quadrado. 
Para saber mais, acesse: < http://www.dominiopublico.gov.br/download/texto/me000539.pdf > . Acesso 06 
ago. 2017. 
Sólidos Geométricos 
Os sólidos geométricos desempenham um papel importante na Geometria Espacial, suas representações podem ser construídas 
utilizando papel a partir de um modelo plano, madeira, varetas. Os diferentes modelos devem ser consoantes ao objetivo de 
ensino. 
Figura 5 - Representação dos sólidos geométricos 
Fonte: as autoras. 
Os sólidos geométricos podem constituir-se num espaço rico para o desenvolvimento do raciocínio espacial, para estabelecer 
relações entre a geometria e o mundo físico, uma vez que as representações dos sólidos estão presentes nas embalagens, 
construção civil. 
Ao construir e manipular as representações dos sólidos geométricos (seja de papel, madeira, acrílico, embalagens), os estudantes, 
tem a oportunidade de: 
• classificar poliedros e não poliedros; 
• compreender o que são faces, arestas, vértices; 
• estabelecer relações entre a geometria plana e espacial; 
• relacionar figuras bidimensionais e tridimensionais; 
• observar semelhanças e diferenças; 
• desenvolver noções de perspectivas; 
• construir fórmulas 
• calcular área das faces, comprimentos, volume. 
Outros MDM poderiam ser citados neste estudo, todos tem sua importância no ambiente de aprendizagem, no entanto, cabe ao 
professor ter objetivos definidos, preparar tarefas especificas para o uso de cada um deles. Um cuidado especial que o professor 
deve tomar, é com a questão das figuras planas bidimensionais (quadrado, triangulo, retângulo, círculo) que são, muitas vezes, 
recortados em folhas de papel, envolvendo a terceira dimensão. Neste caso, o professor deve chamar a atenção dos estudantes e 
esclarecer esta questão espacial e combinar como chamar essas figuras durante o processo pedagógico, para que não se crie um 
obstáculo pedagógico na aprendizagem e o estudante passe a confundir quadrado com o cubo, triângulo com a pirâmide e assim 
por diante, além das diferentes propriedades conceituais de cada objeto geométrico que ele deve observar para apoiar 
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generalizações e sistematizações. 
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ATIVIDADES 
1. Quantas vezes, o triângulo pequeno “cabe” em cada uma das figuras respectivamente, que foram montadas com as 
peças do tangram quadrado? Assinale a alternativa correta. 
a) 4, 7, 5 
b) 5, 6, 7 
c) 4, 7, 6 
d) 3, 5, 7 
e) 4, 6, 6 
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2. A sequência de figuras a seguir foi construída num Geoplano de malha quadrada. 
Conte os pinos (os pontos) e assinale a expressão matemática que associa o número a figura (n) e a quantidade de pontos, chamada 
de x, nela existente e que te permita calcular números de pinos de qualquer figura da sequência. 
a) x 
2 
b) (x+1) 2 
c) 2x 2 
d) (x+2) 
e) 2(x+1) 
3. Com relação aos Materiais Didáticos Manipuláveis coloque V para as sentenças 
Verdadeira e F para as falsas. 
( ) Com a sua utilização se garantea aprendizagem do estudante. 
( ) São objetos que o estudante pode construir, sentir, tocar, manipular, movimentar, que podem ser usados para representar uma 
ideia. 
( ) Deve fazer um elo entre as tarefas de experimentação, interpretação e exploração com os conceitos envolvidos. 
( ) Material manipulável estático permite transformações, durante a manipulação o material muda, sofre transformações de 
acordo com as operações e comandos realizados. 
( ) Seu uso favorece o desenvolvimento de estratégias para resolução de problemas. 
Assinale a alternativa correta: 
a) F, V, V, F, V. 
b) V, V, V, V, F. 
c) F, F, V, F, V. 
d) F, V, V, F, F. 
e) V, F, V, F, V. 
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Resolução das atividades 
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RESUMO 
A geometria muitas vezes é ensinada na escola enfatizando aplicabilidades do cotidiano. No entanto, além dos aspectos utilitários, 
é importante que os professores da Educação Básica, os formadores, tenham clareza dos aspectos formativos. A geometria tem o 
papel de desenvolver o raciocínio espacial, a resolução de problemas, uma vez que oferece aos estudantes oportunidade de 
observar, comparar, medir, generalizar e abstrair. 
Relacionada a formação humana, o ensino da geometria também deve promover valores culturais e estéticos, necessários para 
compreensão de muitas obras realizadas pelo homem e também algumas relacionadas a natureza. Foi nesse sentido que este 
estudo foi direcionado. No entanto, trata-se de alguns recortes que contemplam a importância de estudar geometria e algumas 
possibilidades metodológicas que podem colaborar com os processos de ensino e de aprendizagem utilizando as tecnologias 
digitais e os materiais didáticos manipuláveis. 
As tecnologias digitais estão cada vez mais presentes no cotidiano dos estudantes, fazem parte das práticas sociais e no ensino da 
geometria, os pesquisadores, evidenciam que as tecnologias podem colaborar para a sua aprendizagem. Um dos softwares que 
tem se destacado no meio acadêmico é o GeoGebra, pelo fato que permite representar um objeto geométrico, transformá-lo de 
modo que o estudante possa compreender suas propriedades. Esse software, também permite realizar simulações e sua utilização 
pode provocar situações de investigação, exploração e colaborar para compreensão de ideias matemáticas. 
Os materiais didáticos manipuláveis também muito destacado nas pesquisas pelo fato que ao manipular as representações de 
objetos geométricos o estudante desenvolve a visualização, constrói imagens mentais de objetos, passos preparatórios para a o 
entendimento e a construção de conceitos e que auxiliam o desenvolvimento do pensamento geométrico. 
Com esse texto, você teve a oportunidade de refletir sobre o ensino de geometria na Educação Básica, sobre o uso das tecnologias 
digitais e dos materiais didáticos manipuláveis. Espera-se que este estudo seja fonte de inspiração para o uso de outros recursos 
que podem orientar a prática pedagógica no sentido de potencializar as aprendizagens referentes a geometria euclidiana. 
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Material Complementar 
Leitura 
Nome do livro: O Laboratório de Ensino de Matemática na Formação de 
Professores 
Autor: Sergio Lorenzato 
Editora: Eduff - 3ª Edição 
Ano : 2010 
Sinopse : O livro apresenta ideias a respeito de diferentes concepções de 
Laboratório de Ensino de Matemática, da sua função, dos fundamentos 
teóricos-metodológicos que apoiam as ações e propostas de um 
laboratório, de suas potencialidades e limitações, de como construir um 
LEM e sobre a importância de todas as escolas possuírem um laboratório. 
Apresenta também várias propostas de ensino que foram desenvolvidas 
na perspectiva de laboratório que servem de sugestões de utilização de 
materiais didáticos manipuláveis. Entre ela, algumas envolvendo 
geometria utilizando recursos da tecnologia digital e também de MDM. 
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Na Web 
Uma das tendências metodológicas para o ensino de geometria é o uso de 
recursos das tecnologias digitais, como o software GeoGebra. Ele permite 
a realização das mais diversas atividades que podem ser realizadas e 
exploradas para a produção do conhecimento. Recomenda-se baixar 
GeoGebra e para a sua aprendizagem, na internet, além de vários 
tutoriais, também existem sites que são espaços de divulgação do 
software que disponibilizam materiais e recursos para a formação técnica 
e que fomenta reflexões sobre seu uso em situações de ensino e de 
aprendizagem de Matemática. 
Para baixar o software GeoGebra acesse o site. 
Acesso em 02 ago. 2017. 
Acesse 
Para assistir vídeos, postar, participar de discussões acesse o site. 
Acesso em 02 ago. 2017. 
Acesse 
Na Web 
Diálogo geométrico 
O vídeo estabelece relações entre a Matemática e a natureza. Trabalha o 
conceito de triângulo mostrando exemplos de utilizações práticas para 
esse polígono, bem como sugestões de atividades que podem ser 
desenvolvidas em sala de aula. Por meio de uma rápida incursão na 
história da Matemática tem-se a oportunidade de perceber a relação 
existente entre algumas figuras planas, os sólidos de Platão e o teorema 
de Pitágoras. Evidencia que a geometria está nas mais belas flores até a 
mais moderna construção da engenharia seja ela arquitetônica, robótica, 
aeronáutica. 
Acesse 
Avançar 
UNICESUMAR | UNIVERSO EAD 
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http://www.google.com/url?q=http%3A%2F%2Fogeogebra.com.br%2F%2520site%2F&sa=D&sntz=1&usg=AFQjCNENmtC9sc87MDIuZCMVGXSCnOyDig
https://www.youtube.com/watch?v=_7yXoZnSTBM
https://sites.google.com/fabrico.com.br/posge2/p%C3%A1gina-inicial/refer%C3%AAncias
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REFERÊNCIAS 
BALDINI, Loreni Aparecida Ferreira. Elementos de uma Comunidade de Prática que permitem o desenvolvimento profissional 
de professores e futuros professores de Matemática na utilização do Software GeoGebra . 2014. 219 f. Tese (Doutorado em 
Ensino de Ciências e Educação Matemática) – Universidade Estadual de Londrina, Londrina, 2014. 
BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais: Matemática - ensino de quinta à oitava série . 
Brasília: MEC/SEF, 1998. 
FONSECA, Maria, C.F.R, et al. O Ensino de geometria na escola fundamental. 2.ed. Belo Horizonte: Autentica, 2002. 
GRAVINA, M. A. Geometria dinâmica uma nova abordagem para o aprendizado da geometria. Anais ... VII Simpósio Brasileiro de 
Informática na Educação . Belo Horizonte, p.1-14, nov. 1996. 
KALEFF, Ana Maria M. R. Vendo e entendendo poliedros: do desenho ao cálculo do volume através de quebra-cabeças 
geométricos e outros materiais concretos . Niterói: EdUFF, 1998. 
NATIONAL COUNCIL OF TEACHERS OF MATHEMATICS - NCTM. Principles and Standards for School Mathematics. Reston: 
Library of Congress Cataloguing, 2000. 
LORENZATO, S. Por que não ensinar Geometria? Educação em Revista, ano 3, n. 4, p. 4-13, 1º sem.,1995. 
NACARATO, A. M. Eu trabalho primeiro no concreto. Revista de Educação Matemática,