Geometria Analitica UERJ lista1 2022-2

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Geometria Anaĺıtica
Exerćıcios suplementares sobre
Equações e Sistemas de Equações
R indica o conjunto dos números reais, também conhecido como a reta real, dentro
do qual estão os números:
⋄ naturais 1, 2, 3, ..., 10, ...
⋄ inteiros 0, 1,−1, 2,−2, 3,−3, ..., 10,−10, ...
⋄ racionais 1
2
,−4
7
,
3
1
= 3,
5
19
, ...
⋄ irracionais
√
2 = 1, 4142135624...,
√
3 = 1, 7320508076..., e = 2, 7182818285...,
π = 3, 1415926536...,
1 +
√
5
2
Utiliza-se muito o śımbolo x ∈ R para indica um número real. O śımbolo R2 indica o
plano cartesiano e o śımbolo R3 indica o espaço cartesiano (= reunião de planos paralelos
entre si) (os detalhes estão no Curso).
Uma equação do 2o grau de variável x tem a forma ax2 + bx + c = 0, em que
a, b, c ∈ R estão fixados.
Questão 1. Resolva a equação 3x2 − 13x− 10 = 0.
Questão 2. Resolva a equação 2x2 + x− 6 = 0.
Uma equação modular de variável x tem a forma |ax + b| = c, em que a, b, c ∈ R
são dados (estão fixados).
Questão 3. Resolva a equação |2x− 3| = 7.
Questão 4. Resolva a equação | − 3x+ 4| = 3.
Por equação linear de variáveis x e y entende-se uma expressão da forma ax+by+c =
0, com a, b, c ∈ R dados. Quem lembra da Matemática do Ensino Médio, identifica
imediatamente a equação acima como sendo a equação de uma reta no plano R2.
Em Geometria é padrão colocar os números x e y, que resolvem a equação ax+by+c =
0, na forma de um par ordenado (x, y) e identificá-lo a um ponto de R2. Diz-se que o
ponto (x, y) pertence à reta de equação ax+ by + c = 0.
Questão 5. Resolva a equação 5x + 3y − 9 = 0. O ponto (−6, 8) pertence à reta com
esta equação?
Geometria anaĺıtica, A. T. Béhague, IME/UERJ 1 Lista de exerćıcios suplementares 2022/2
Questão 6. Resolva a equação x− 3y− 5 = 0. Existe uma solução com x = 2? O ponto
(0, 1) é uma solução da equação?
Uma equação linear de variáveis x, y e z é qualquer expressão da forma ax + by +
cz + d = 0, com a, b, c, d ∈ R fixados. Quem lembra da Matemática do Ensino Médio,
identifica imediatamente a equação acima como sendo a equação de um plano no espaço
R3.
Em Geometria é padrão colocar os números x, y e z, que resolvem a equação ax+ by+
cz + d = 0, na forma de um terno ordenado (x, y, z) e identificá-lo a um ponto. Diz-se
que o ponto (x, y, z) pertence ao plano de equação ax+ by + cz + d = 0.
Questão 7. Resolva a equação 4x− 3y+2z− 15 = 0. Existe solução com x = 2 e y = 1?
E (−1, 4, 9), é uma solução?
Questão 8. Resolva 2x + 7y − 2z + 3 = 0. Existe uma solução com x = 5 e y = 1? O
ponto (0, 1, 5) é uma solução da equação?
Nota sobre ráızes quadradas:
⋄ Para todo x ∈ R, x ≥ 0, o número
√
x é igual ao número y, tal que y2 = x. Para
x < 0, não há solução real (é um número complexo). Exemplos:
√
4 = 2,
√
5 =
2, 2360679775...
⋄ Por outro lado,
√
x2 = |x|, para todo x ∈ R, mesmo negativo. Exemplos:
√
42 =
|4| = 4,
√
(−4)2 = | − 4| = 4.
⋄ E (
√
x)2 = x, para todo x ∈ R, mesmo negativo. Exemplos: (
√
2)2 = 2, (
√
−5)2 =
−5.
Assim como (x− x0)2 + (y− y0)2 = ρ2 (letra rô = r) define o ćırculo de centro (x0, y0)
e raio
√
ρ no plano R2, (x − x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2 = ρ2 define a esfera de centro
(x0, y0, z0) e raio
√
ρ no espaço R3 (os detalhes são vistos em aula).
Para isolar z, procede-se assim: (z − z0)2 = ρ2 − (x− x0)2 − (y − y0)2,
√
(z − z0)2 =√
ρ2 − (x− x0)2 − (y − y0)2 e |z−z0| =
√
ρ2 − (x− x0)2 − (y − y0)2. Agora preste muita
atenção: se z − z0 ≥ 0, então |z − z0| = z − z0 =
√
ρ2 − (x− x0)2 − (y − y0)2 e
z = z0 +
√
ρ2 − (x− x0)2 − (y − y0)2. Mas se z − z0 < 0, então |z − z0| = −z + z0 =√
ρ2 − (x− x0)2 − (y − y0)2 e z = z0−
√
ρ2 − (x− x0)2 − (y − y0)2. Na prática, funde-se
as duas possibilidades e escreve-se z = z0 ±
√
ρ2 − (x− x0)2 − (y − y0)2.
Deste modo, para cada valor de x e de y, tal que ρ2 − (x − x0)2 − (y − y0)2 ≥
0, tem-se dois valores de z, um é z0 −
√
ρ2 − (x− x0)2 − (y − y0)2, o outro é z0 +√
ρ2 − (x− x0)2 − (y − y0)2.
Questão 9. Resolva a equação (x+3)2 + (y− 2)2 + (z− 1)2 = 36. Verifique se (1, 4, 5) é
uma solução.
Geometria anaĺıtica, A. T. Béhague, IME/UERJ 2 Lista de exerćıcios suplementares 2022/2
Questão 10. Resolva a equação (x− 1)2 + (y − 1)2 + (z − 1)2 = 18. Existe uma solução
com x = 5 e y = 2? O ponto (3, 2,−1) é uma solução da equação?
A diferença de quadrados a2 − b2 = 0, com a, b ∈ R, pode ser reescrita como
(a+ b).(a− b) = 0, sendo que em Geometria pode significar um par de retas concorrentes.
Questão 11. Resolva a equação
(x− 1)2
9
− (y − 3)
2
25
= 0.
Questão 12. Resolva a equação
(x+ 1)2
4
− (y − 1)
2
16
= 0.
Um sistema de equações é um conjunto de, pelo menos, duas equações (lineares,
do 2o grau,..., de uma variável, de duas variáveis,...). Uma solução de um sistema de
equações é uma solução comum a todas as equações do sistema.
Existem muitas técnicas matemáticas para se tratar os inúmeros tipos de sistemas
de equações, os problemas abaixo colocados são dirigidos pelo conteúdo do Curso de
Geometria Anaĺıtica ora em estudo (os detalhes estão no texto de aulas do Curso).
Questão 13. Resolva o sistema de equações com duas variáveis
x+ y − 6 = 0
5x− 3y + 2 = 0
Questão 14. Resolva o sistema de equações com duas variáveis
2x− 3y + 1 = 0
x+ 5y − 6 = 0
Questão 15. Resolva o sistema de equações com três variáveis
3x− y + 7 = 0
x− 2y + z − 5 = 0
O ponto (1, 10, 2) é solução do sistema de equações?
Nota: 3x− y + 7 = 0 parece definir uma reta em R2, é se for fixado z = 0. Mas aqui
considera-se 3x− y + 0z + 7 = 0 para identificar um plano em R3.
Questão 16. Resolva o sistema de equações com três variáveis
2x+ 5y + 4 = 0
3x+ 2y − z + 4 = 0
O ponto (2,−3, 4) é solução do sistema de equações?
Geometria anaĺıtica, A. T. Béhague, IME/UERJ 3 Lista de exerćıcios suplementares 2022/2
Questão 17. Resolva o sistema de equações com três variáveis
x− y + 2z − 1 = 0
x+ 5y − 6z − 9 = 0
O ponto (1, 4, 2) é solução do sistema de equações?
Questão 18. Resolva o sistema de equações com três variáveis
2x+ y − 2z − 5 = 0
4x+ y + 4z − 1 = 0
Verifique se o ponto (2,−5
3
,−4
3
) é solução do sistema de equações.
Questão 19. Resolva o sistema de equações com duas variáveis
x+ y − 6 = 0
(x− 2)2 + (y − 1)2 = 9
Questão 20. Resolva o sistema de equações com duas variáveis
x+ 3y − 14 = 0
(x− 3)2 + (y − 2)2 = 5
Questão 21. Resolva o sistema de equações com duas incógnitas
5 + 4a = −1 + 2b
4 + 3a = 6− 5b
3 + 2a = −1 + 2b
Questão 22. Resolva o sistema de equações com duas incógnitas
4 + a = 5 + b
7 + a = 11 + 4b
1 + 2a = 7 + 6b
Questão 23. Resolva o sistema de equações com três variáveis
x
2
=
y − 4
3
=
z − 2
5
4x+ y + 2z − 8 = 0
Questão 24. Resolva o sistema de equações com três variáveis
x− 5
4
=
y − 3
5
=
z − 1
2
3x− 6y + 5z − 10 = 0
Geometria anaĺıtica, A. T. Béhague, IME/UERJ 4 Lista de exerćıcios suplementares 2022/2
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R E S P O S T A S
1. A fórmula quadrática x =
−(−13)±
√
(−13)2 − 4.3.(−10)
2.3
=
13± 17
6
determina
x =
13 + 17
6
= 5 e x =
13− 17
6
= −2
3
.
Portanto, os números 5 e −2
3
são as soluções de 3x2−13x−10 = 0 epodemos escrever
3(x− 5)(x+ 2
3
). ⋇
2. x = −2 e x = 3
2
. ⋇
3. Elevando ao quadrado ambos os membros de |2x−3| = 7, ocorre (2x−3)2 = 72, 4x2−
12x+ 9 = 49 e 4x2 − 12x− 40 = 0.
A fórmula quadrática x =
−(−12)±
√
(−12)2 − 4.4.(−40)
2.4
=
12± 28
8
indica x = 5 e
x = −2.
Portanto, os números 5 e −2 são as soluções de |2x− 3| = 7. ⋇
4. x =
1
3
e x =
7
3
. ⋇
5. Com um pouco de paciência percebe-se que x = 3 e y = −2 resolvem a equação, pois
5.3 + 3.(−2) − 9 = 15 − 6 − 9 = 0. Porém, uma vez dada a equação 5x + 3y − 9 = 0, o
procedimento matemático busca determinar todas as soluções ou, ao menos, indicar como
encontrá-las.
Então, comece por isolar a variável y (a última variável dentre x e y), de modo que
3y = −5x+ 9 e y = −5x+ 9
3
. Também vale escrever y = −5x
3
+ 3.
Vê-se que existe uma infinidade de respostas, para cada escolha de valor de x, tem-se
um valor para y igual a −5x
3
+ 3.
No caso do ponto (−6, 8), x = −6 indica y = −5(−6)
3
+ 3 = 13 ̸= 8. Então, o ponto
não pertence à reta de equação 5x+ 3y − 9 = 0. ⋇
6. y =
x− 5
3
, (2,−1), não. ⋇
7. Cálculo direto com 4x − 3y + 2z − 15 = 0 indica que x = 2, y = 1 e z = 5 é uma
solução, pois 4.2 − 3.1 + 2.5 − 15 = 0. Como antes, o procedimento matemático busca
determinar todas as soluções ou, pelo menos, uma expressão que permita calculá-las.
Comece por isolar a variável z (a última variável dentre x, y e z), isto é, 2z = −4x+
3y + 15 e z =
−4x+ 3y + 15
2
. Também vale escrever z = −2x+ 3y
2
+
15
2
.
Percebe-se que existe uma infinidade de respostas, para cada escolha de valores de x
e de y, tem-se um valor para z igual a −2x+ 3y
2
+
15
2
.
Para x = −1, y = 4, tem-se z = −4.(−1) + 3.4 + 15
2
=
31
2
̸= 9, logo o ponto (−1, 4, 9)
Geometria anaĺıtica, A. T. Béhague, IME/UERJ 5 Lista de exerćıcios suplementares 2022/2
não é uma solução. ⋇
8. z =
2x+ 7y + 3
2
, (5, 1, 10), sim. ⋇
9. Neste caso, o máximo que se pode fazer e isolar a última variável e, então, z =
1±
√
36− (x+ 3)2 − (y − 2)2.
Por exemplo, para x = 1 e y = −2, ocorre z = 1 ± 2, isto é, z = 3 e z = −1. Assim,
(1,−2, 3) e (1,−2,−1) são pontos contidos na esfera (x+ 3)2 + (y − 2)2 + (z − 1)2 = 36.
No caso do ponto (1, 4, 5), aplique suas coordenadas na equação e (1+3)2+(4− 2)2+
(5 − 1)2 = 36. Ou, aplica-se x = 1 e y = 4 na expressão com z isolado, de modo que
z = 1±
√
36− (1 + 3)2 − (4− 2)2 = 1± 4. Dáı, z = 5 faz parte da solução. De qualquer
modo, o ponto pertence à esfera em análise. ⋇
10. z = 1±
√
18− (x− 1)2 − (y − 1)2, (5, 2, 1) e (5, 2, 0), não. ⋇
11. Evidente que (1, 3) é uma solução, isto é, x = 1 e y = 3 resolvem a equação, visto
que
(1− 1)2
9
− (3− 3)
2
25
= 0. Mas existe uma infinidade de soluções.
Simplificando a equação, com a =
x− 1
3
e b =
y − 3
5
, tem-se (
x− 1
3
+
y − 3
5
).(
x− 1
3
−
y − 3
5
) = 0 e as soluções são obtidas analisando
x− 1
3
+
y − 3
5
= 0 e
x− 1
3
− y − 3
5
= 0.
Simplifica-se
x− 1
3
+
y − 3
5
= 0:
x− 1
3
= −y − 3
5
=
−y + 3
5
, 5x − 5 = −3y + 9 e
5x+ 3y − 14 = 0.
Simplifica-se
x− 1
3
− y − 3
5
= 0:
x− 1
3
=
y − 3
5
, 5x− 5 = 3y − 9 e 5x− 3y + 4 = 0.
Portanto, as soluções do problema em análise são os números x, y ∈ R, que são solução
de 5x+ 3y − 14 = 0 ou de 5x− 3y + 4 = 0.
Em Geometria, diz-se que são os pontos (x, y) ∈ R2 contidos nas retas concorrentes
5x+ 3y − 14 = 0 e 5x− 3y + 4 = 0 pelo ponto (1, 3). ⋇
12. Pontos da forma (x,−2x− 1) na reta 2x + y + 1 = 0, e pontos da forma (x, 2x + 3)
na reta 2x− y + 3 = 0. ⋇
13. Pode-se encarar o problema como o de se determinar números x, y ∈ R que satisfazem
a x + y − 6 = 0 e a 5x − 3y + 2 = 0, mas, como estamos estudando Geometria, deve-
mos encarar o problema como o de se determinar pontos (x, y) ∈ R2 que estão contidos
simultaneamente na reta x+ y − 6 = 0 e na reta 5x− 3y + 2 = 0.
Um técnica muito utilizada consiste em se isolar a variável y em uma das equações e
fazer a substituição na outra equação. Isolando y na primeira, resulta y = −x+6. Depois,
substituindo y por −x+ 6 na segunda, vem 5x− 3(−x+ 6) + 2 = 0, 5x+ 3x− 18 + 2 =
0, 8x− 16 = 0 e, então, x = 2.
Agora basta substituir x por 2 em qualquer uma das equações do sistema, o resultado
é y = 4.
Outra técnica (aqui as equações são lineares) consiste em se multiplicar um equação
por um número conveniente, depois somar as duas equações, membro a membro, visando
a eliminação de uma das variáveis. Por exemplo, multiplique a primeira equação por 3, o
Geometria anaĺıtica, A. T. Béhague, IME/UERJ 6 Lista de exerćıcios suplementares 2022/2
resultado sendo 3x+ 3y − 18 = 0, some as duas equações
3x+ 3y − 18 = 0
+ 5x− 3y + 2 = 0
8x+ 0y − 16 = 0
e o resultado é 8x− 16 = 0, ou seja, x = 2.
Agora substitua x por 2 em qualquer uma das equações do sistema, o resultado é
y = 4. De qualquer modo, somente o ponto (2, 4) se encontra simultaneamente nas duas
retas. ⋇
14. (1, 1). ⋇
15. A ideia é escrever y e z em função de x. Da primeira equação, y = 3x+ 7.
Agora substitua y por 3x+7 na segunda equação, de modo que x−2(3x+7)+z−5 =
0, x− 6x− 14 + z − 5 = 0, −5x+ z − 19 = 0 e z = 5x+ 19.
Uma solução é obtida ao se escolher um valor para x, de modo que y é igual a 3x+ 7
e z é igual a 5x+19. Geometricamente, um ponto solução é da forma (x, y, z) = (x, 3x+
7, 5x + 19) e veremos no Curso algumas operações vetoriais que nos permitem fazer o
seguinte: (x, 3x + 7, 5x + 19) = (1x + 0, 3x + 7, 5x + 19) = (0 + 1x, 7 + 3x, 19 + 5x) =
(0, 7, 19) + (1x, 3x, 5x) = (0, 7, 19) + x(1, 3, 5). Na prática, vai-se de (x, 3x + 7, 5x + 19)
direto para (0, 7, 19) + x(1, 3, 5).
E então? Ocorre que (0, 7, 19) + x(1, 3, 5) indica a soma do ponto (0, 7, 19) com
múltiplos do vetor (1, 3, 5), tratando-se, então, de uma reta no espaço R3 (os pontos
solução do problema encontram-se sobre uma reta).
Quanto ao ponto (1, 10, 2), é solução da primeira equação, pois evidentemente 3.1 −
19+7 = 0, mas não é solução da segunda, visto que 1−2.10+2−5 ̸= 0. Então, (1, 10, 2)
não é solução do sistema de equações.
Outro modo de se chegar à mesma conclusão: (0, 7, 19) + x(1, 3, 5) = (1, 10, 2) leva a
0 + 1x = 1, 7 + 3x = 10, 19 + 5x = 2, que não tem solução, isto é, não existe um único
valor de x que verifica todas as três equações lineares. ⋇
16. Reta (0,−4
5
,
12
5
) + x(1,−2
5
,
11
5
), não. ⋇
17. Multiplique a primeira equação por 3 e some com a segunda,
3x− 3y + 6z − 3 = 0
+ x+ 5y − 6z − 9 = 0
4x+ 2y + 0z − 12 = 0
de modo que y = −2x+ 6.
Agora, ou se repete o mesmo argumento, isto é, a multiplicação da primeira equação
por 5 e a soma das duas equações, ou se faz a substituição de y por −2x+ 6 em uma das
equações do sistema. Vamos na primeira equação: x−y+2z−1 = 0, x−(−2x+6)+2z−1 =
0, 3x+ 2z − 7 = 0 e z = −3x
2
+
7
2
.
Geometria anaĺıtica, A. T. Béhague, IME/UERJ 7 Lista de exerćıcios suplementares 2022/2
Portanto, para cada valor escolhido para x, tem-se y igual a −2x + 6 e z igual a
−3x
2
+
7
2
.
Geometriamente, um ponto solução é da forma (x, y, z) = (x,−2x+6,−3x
2
+
7
2
) e pode-
se fazer as seguintes modificações: (x,−2x+6,−3x
2
+
7
2
) = (1x+0,−2x+6,−3x
2
+
7
2
) =
(0 + 1x, 6− 2x, 7
2
− 3x
2
) = (0, 6,
7
2
) + (1x,−2x,−3x
2
) = (0, 6,
7
2
) + x(1,−2,−3
2
).
Esta última expressão indica a soma de um ponto com múltiplos de um vetor, uma
reta no espaço R3.
O ponto (1, 4, 2) safisfaz as duas equações do sistema, logo é solução do sistema de
equações. Ou então, basta verificar que o ponto pertence à reta solução: (0, 6,
7
2
) +
x(1,−2,−3
2
) = (1, 4, 2) estabelece 0+ 1x = 1, 6− 2x = 4, 7
2
− 3x
2
= 2, as quais admitem
a mesma solução x = 1. ⋇
18. Reta (0,
11
3
,−2
3
) + x(1,−8
3
,−1
3
), sim. ⋇
19. Isole a variável na equação mais simples, neste caso y na primeira e, assim, y = −x+6.
Substituição leva a (x − 2)2 + ((−x + 6) − 1)2 = 9, (x − 2)2 + (−x + 5)2 = 9, x2 −
4x+4+x2 − 10x+25 = 9, 2x2 − 14x+29 = 9 e 2x2 − 14x+20 = 0. Consequentemente,
x =
14±
√
(−14)2 − 4.2.20
2.2
=
14± 6
4
indica x = 5 e x = 2.
Para x = 5, tem-se y = −5 + 6 = 1, e para x = 2, tem-se y = −2 + 6 = 4.
Resultado: os pontos (5, 1) e (2, 4) estão simultaneamente na reta x+ y − 6 = 0 e no
ćırculo (x− 2)2 + (y − 1)2 = 9. ⋇
20. Pontos (2, 4) e (5, 3). ⋇
21. Comece por isolar uma das incógnitas em uma das equações, digamos a na primeira.
Então, a =
b− 3
2
. Substitua a por
b− 3
2
em outra equação, não vale na primeira. Subs-
tituindo na segunda, vem 4 + 3
b− 3
2
= 6− 5b, 3b
2
+ 5b = 6− 4 + 9
2
,
13b
2
=
13
2
e b = 1.
Voltando a a =
b− 3
2
com b = 1, obtém-se a = −1.
E a terceira equação que não foi utilizada? É necessário testar os valores obtidos para
a e b: de fato, 3 + 2.(−1) = −1 + 2.1 se reduz a 1 = 1.
Portanto, o sistema de equações tem solução a = −1 e b = 1. ⋇
22. a = 0, b = −1. ⋇
23. A ideia é escrever y e z em função de x, através da primeira equação, e substituir na
segunda. De fato,
x
2
=
y − 4
3
gera y =
3x+ 8
2
. E de
x
2
=
z − 2
5
, tem-se z =
5x+ 4
2
.
Agora substitua na segunda equação o y por
3x+ 8
2
, e o z por
5x+ 4
2
: 4x+
3x+ 8
2
+
Geometria anaĺıtica, A. T. Béhague, IME/UERJ 8 Lista de exerćıcios suplementares 2022/2
2(
5x+ 4
2
)− 8 = 0, 4x+ 3x
2
+ 4 + 5x+ 4− 8 = 0, 21x
2
= 0 e x = 0. Logo, y = 4 e z = 2.
Geometricamente,
x
2
=
y − 4
3
=
z − 2
5
descreve uma reta e 4x + y + 2z − 8 = 0, um
plano. Neste caso, o ponto (0, 4, 2) é comum à reta e ao plano, diz-se que este ponto é a
interseção da reta com o plano. ⋇
24. Ponto (1,−2,−1). ⋇
Geometria anaĺıtica, A. T. Béhague, IME/UERJ 9 Lista de exerćıcios suplementares 2022/2