Terceira avaliação ED 2022.1

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UFCG/CCT/UAMat
Equações Diferenciais - 2022.1
Prof. Romildo Lima
3ª Avaliação - 22/12/2022
Discente: Matŕıcula:
1. (2,0) Recordando o que foi discutido nas aulas sobre a equação diferencial P (x)y′′ +Q(x)y′ +R(x)y = 0
quais das afirmações abaixo são verdadeiras (V) e quais são falsas (F).
( ) Todo ponto singular é regular.
( ) Se P , Q e R são polinômios, um ponto x0 é chamado ordinário se P (x0) ̸= 0.
( ) Se P , Q e R são polinômios, um ponto x0 é singular se P (x0) ̸= 0.
( ) Todas as soluções da equação de Euler são polinomiais.
2. (2,0) Dada a equação P (x)y′′ +Q(x)y′ +R(x)y = 0, com x0 ponto singular, é posśıvel afirmar que:
(a) x0 é um ponto singular regular;
(b) x0 é um ponto singular irregular;
(c) x0 é um ponto ordinário;
(d) x0 é singular regular se (x− x0)
Q(x)
P (x)
e (x− x0)2
R(x)
P (x)
são funções anaĺıticas em torno de x0;
(e) x0 é singular regular se (x− x0)
Q(x)
P (x)
e (x− x0)
R(x)
P (x)
são funções anaĺıticas em torno de x0;
3. (2,0) Dada a equação P (x)y′′ +Q(x)y′ +R(x)y = 0, com x0 ponto ordinário, é posśıvel afirmar que:
(a) x0 é um ponto ordinário regular;
(b) x0 é um ponto ordinário irregular;
(c) x0 é um ponto singular;
(d) se P é um polinômio, P (x0) = 0;
(e) as funções
Q(x)
P (x)
e
R(x)
P (x)
são anaĺıticas em x0.
4. (2,0) Encontre uma solução em série para as equações:
(a) y′′ − xy′ − y = 0, em −∞ < x < ∞ (b) y′ − y = 0, em −∞ < x < ∞
5. (2,0) Determine a solução geral da equação diferencial dada, válida em qualquer intervalo que não inclui
o ponto singular.
1
(a) x2y′′ + 4xy′ + 2y = 0 (b) x2y′′ − 3xy′ + 4y = 0
6. (2,0) Considere as equações diferenciais:
i) x(x− 1)y′′ + 6x2y′ + 3y = 0
ii) x2y′′ +
1
2
(x+ senx)y′ + y = 0
(a) Encontre todos os pontos singulares regulares da equação diferencial dada.
(b) Determine a equação indicial e os expoentes na singularidade para cada ponto singular regular.
(c) Descreva a forma geral das soluções encontradas.
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