Apostila
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uma empresa, então a função x = f(p) que os relaciona é chamada
função de demanda.
A função de demanda define a relação que existe entre a quantidade oferecida e o preço do
produto. Logo, a função demanda descreve o comportamento do consumidor. A quantidade
demandada de um bem é aquela que os compradores desejam e podem comprar a determinado
preço.
O gráfico da função de demanda é chamado curva de demanda. A função de demanda pode
sofrer mudanças ou perturbações devido, essencialmente, a variações na renda dos indivíduos,
ao preço de outros bens substitutos e ao gosto dos consumidores. Uma curva de demanda
típica tem forma descendente porque, quanto maior o preço unitário, menor o interesse dos
compradores em adquirir o produto.
Omodelomais simples de função de demanda é a função afim ou polinomial de primeiro grau.
O modelo deve ter coeficiente angular negativo, isto é:
x = f(p) = a p+ b, a < 0.
Se p = 0, temos que x = b é o número de unidades demandadas, quando o produto é grátis.
p
x
Figura 3.1: Modelo afim de demanda.
3.2. FUNÇÃO DE DEMANDA E DE PREÇO 117
Definição 3.2. A função inversa (se existe) da função de demanda é chamada função de preço e a
denotamos por p = g(x).
Logo, o preço e a quantidade de um produto são inversamente proporcionais. Isto é, aumento
de preço implica em uma diminuição de demanda, valendo a recíproca.
Se a função de demanda de um produto é afim, a função de preço é dada por:
p = g(x) = mx+ r, m < 0.
Se x = 0, temos que p = r é o maior preço que os consumidores pagariam pelo produto.
Exemplo 3.1.
[1] Uma companhia ferroviária verificou que quando cobra 6 reais pela passagem, a média de
passagens vendidas é de 720 e quando o preço é de 11 reais, a média de passagens vendidas é
de 320. Ache a função de demanda, se ela for afim.
Como deve ser afim: x = f(p) = a p+ b; logo, resolvemos o sistema:{
f(6) = 720
f(11) = 320
\u21d0\u21d2
{
6 a+ b = 720
11 a+ b = 320.
Temos que a = \u221280, b = 1200 , Logo:
x = f(p) = \u221280 p + 1200.
Note que x \u2265 0 se, e somente se 0 \u2264 p \u2264 15.
2 4 6 8 10 12 14
p
200
400
600
800
1000
1200
x
Figura 3.2: Curva de demanda do exemplo [1].
A função preço para esta demanda é:
p = \u2212 x
80
+ 15,
tal que 0 \u2264 x \u2264 1200.
118 CAPÍTULO 3. FUNÇÕES EM ECONOMIA
200 400 600 800 1000 1200
x
2
4
6
8
10
12
14
p
Figura 3.3: Curva de preço do exemplo [1].
[2] Uma fábrica de equipamentos eletrônicos vende uma quantidade x de artigos (emmilhões)
quando o preço é de p, reais por unidade. Se a relação que existe entre p e x é dada por:
x2 \u2212 2 p x = p2 + 25,
determine o número de artigos vendidos a 10 reais.
Resolvamos a equação de segundo grau x2 \u2212 2 p x \u2212 p2 \u2212 25 = 0 para x, lembrando que a raiz
negativa da equação, em Economia, não tem significado. Então:
x = f(p) = p+
\u221a
2 p2 + 25.
Logo, f(10) = 25milhões de artigos.
2 4 6 8 10 12 14
p
5
10
15
20
25
30
35
x
Figura 3.4: Curva de demanda do exemplo [2].
[3] Numa empresa, a venda de certo produto tem a seguinte função de demanda:
x = f(p) = 3.25 × e\u22120.31p,
onde p é dado em milhões de reais e x em unidades/mês . Determine a função de preço.
Devemos calcular a função inversa de x = 3.25 × e\u22120.31p; então, aplicando logaritmo a ambos
os lados, obtemos:
p = \u2212 1
0.31
[
ln
( x
3.25
)]
, x \u2208 (0, 3.25).
3.3. FUNÇÃO DE OFERTA 119
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
x
2
4
6
8
10
12
p
Figura 3.5: Curva de preço do exemplo [3].
3.3 Função de Oferta
A oferta é a relação entre o preço de um bem e a quantidade do mesmo que é oferecida pe-
los produtores. A lei de oferta diz: se tudo permenecer constante, a oferta de um produto,
durante um período de tempo, varia diretamente proporcional ao preço.
A oferta de um produto depende essencialmente da quantidade, do preço e do custo do pro-
duto, da tecnologia com que se produz o produto, dos concorrentes, do clima, etc. Como antes,
consideramos estas variáveis como constantes, exceto uma.
Definição 3.3. Se denotamos por p o preço unitário de um produto e por x a quantidade do produto
oferecido no mercado, então a função p = f(x) que os relaciona é chamada função de oferta.
A função de oferta define a relação que existe entre o preço de mercado de um produto ou bem
e a quantidade desse mesmo produto ou bem que os produtores estão dispostos a produzir e a
vender.
A função de oferta descreve o comportamento do produtor. O gráfico da função de oferta é
chamado curva de oferta.
A função de oferta pode sofrer mudanças ou perturbações devido, essencialmente, a variações
do preço das matérias primas, ao preço dos fatores de produção, aos preços de substitutos e
dos fatores tecnológicos.
Uma curva de oferta típica tem forma ascendente, porque quanto maior o preço unitário, maior
o interesse dos empresários em fabricar o produto.
O modelo mais simples de função de oferta é o de função afim ou polinomial de primeiro grau.
É bastante intuitivo que quando o preço de um bem aumenta, a oferta aumenta e decresce se o
preço decresce. Logo, o modelo afim deve ter coeficiente angular não negativo, isto é:
p = f(x) = ax+ b, a \u2265 0.
O caso a = 0, indica um preço constante independente da oferta. Se a reta for vertical, isto é, se
o coeficiente angular não é definido, isto implica em que a oferta é constante, independente do
preço.
120 CAPÍTULO 3. FUNÇÕES EM ECONOMIA
Exemplo 3.2.
[1] Quando o preço de mercado de certo produto atinge US$ 300 por unidade, a fábrica não
produz este produto; quando o preço do produto aumenta US$ 20 a fábrica disponibiliza 600
unidades do produto no mercado. Ache a função de oferta se ela for afim.
Como a função deve ser afim: p = f(x) = ax+ b; para x = 0, temos que 300 = b e p = ax+300;
por outro lado, 300 + 20 = 600 a + 300, logo a =
1
30
; então a curva de oferta é:
p(x) =
x
30
+ 300.
2000 4000 6000 8000 x
100
200
300
400
500
600
p
Figura 3.6: Curva de oferta.
[2] Numa empresa a relação entre o preço p em reais e a quantidade x de unidades de certo
produto é x = p2 \u2212 p \u2212 6. Determine a partir de que preço haverá oferta? A que preço a oferta
será de 24 unidades. A partir de que preço a oferta será superior a 14 unidades? Qundo a oferta
ficará entre 14 e 66 unidades?
A empresa tera oferta se x > 0, isto é p2\u2212 p\u2212 6 = (p\u2212 3) (p+2) > 0; sendo p > 0, então, temos
que p > 3. Por outro lado, temos que
24 = p2 \u2212 p\u2212 6 =\u21d2 (p\u2212 6) (p + 5) = 0 =\u21d2 p = R$ 6.00
Agora resolvemos p2 \u2212 p\u2212 6 > 14; como p > 0, então p > 5. Finalmente, resolvemos:
14 < p2 \u2212 p\u2212 6 < 66 =\u21d2 5 < p < 9.
3.4. FUNÇÃO CUSTO TOTAL 121
1 5 9
p
10
20
30
40
50
60
70
x
Figura 3.7: Curva de oferta.
3.4 Função Custo Total
O custo para produzir certo produto ou serviço pode ser subdividido em custo fixo e custo
variável. Os custos fixos são associados ao gasto da empresa decorrente de produzir ou não
um produto, isto é, independem da quantidade produzida; por exemplo, o aluguel e certo tipo
de imposto. O custo variável é o que muda de acordo com o volume de produção, isto é, os
custos são igual a zero quando não existe produção.
Definição 3.4. A função custo total representa o custo final para produzir x unidades de um certo
produto.
Denotemos por C = C(x), a função custo total de uma empresa. Esta função tem duas compo-
nentes, a saber, o custo variável que representa os gastos emmatéria prima, mão de obra, entre
outros, e o custo fixo. Se a quantidade de unidades produzidas for zero, temos que C(0) \u2265 0.
Quando C(0) 6= 0, então C(0) representa o custo fixo de produção. O domínio desta função é
determinado pelo produtor, considerando a quantidade máxima que pode produzir.
Custo Médio
Seja C = C(x), a função custo total de uma empresa. A função custo médio é denotada e
definida por:
CMe(x) =
C(x)
x
, x > 0,
isto é, o custo total dividido pela quantidade produzida. Esta função representa o custo para
produzir uma unidade do produto.
Exemplo 3.3.
[1] Uma empresa para produzir x unidades de um certo tipo de produto tem como função de
custo total C(x) = 2x4 + 12x3 + 9x + 30. Determine as funções de custo fixo, custo variável e
custo