Apostila
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x a 1. É claro que quando x aproxima-se de 1, |x \u2212 1| aproxima-se de zero e
consequentemente |f(x)\u2212 3| também aproxima-se de zero. Mais ainda, poderemos tornar f(x)
tão perto de 3 quanto desejarmos, bastando para tal considerar x suficientemente próximo de
1. Por exemplo, se desejarmos que |f(x) \u2212 3| seja igual a 0, 2, basta considerar |x \u2212 1| = 0, 1;
agora, se desejarmos que |f(x)\u2212 3| < 0, 02, basta considerar |x\u2212 1| < 0, 01.
De um modo geral, considerando qualquer número real positivo \u3b5 (letra grega epsilon), tão
pequeno quanto se deseje e definindo o número real \u3b4 (letra grega delta), \u3b4 =
\u3b5
2
, teremos que
a distância de f(x) a 3 é menor que \u3b5, desde que a distância de x a 1 seja menor que \u3b4. Então
para todo número real positivo \u3b5 existe outro número real positivo \u3b4, que depende de \u3b5, tal que
se 0 < |x \u2212 1| < \u3b4, então |f(x) \u2212 3| = 2 |x \u2212 1| < 2\u3b4 = \u3b5. Note que todos os intervalos abertos
que contém 1 intersectam R\u2212 {1} de forma não vazia.
3
1
Figura 4.1:
Definição 4.1. Sejam f : A \u2192 R uma função e b \u2208 R tais que para todo intervalo aberto I , contendo
b, tem-se I \u2229 (A \u2212 {b}) 6= \u3c6. O número real L é o limite de f(x) quando x aproxima-se de b quando
para todo número \u3b5 > 0, existe \u3b4 > 0 (\u3b4 dependendo de \u3b5), tal que, se x \u2208 A e 0 < |x \u2212 b| < \u3b4 então
|f(x)\u2212 L| < \u3b5.
A notação é:
lim
x\u2192b
f(x) = L
A definição é equivalente a dizer:
Para todo \u3b5 > 0, existe \u3b4 > 0 tal que se x \u2208 (b\u2212 \u3b4, b+ \u3b4)\u2229 (A\u2212{b}), então f(x) \u2208 (L\u2212 \u3b5, L+ \u3b5).
4.1. INTRODUÇÃO 163
b- bb \u3b4\u3b4
L
L+
L- \u3b5
\u3b5
Figura 4.2:
Observe que o limite de uma função y = f(x) num ponto b, depende apenas dos valores que f
assume nas proximidades de b, ou seja, num pequeno intervalo aberto de centro b.
Proposição 4.1. Unicidade do limite Se lim
x\u2192b
f(x) = L1 e lim
x\u2192b
f(x) = L2; (L1, L2 \u2208 R), então
L1 = L2.
Em outras palavras se o limite existe (é um número real), ele é único. Para a prova veja o
apêndice.
Corolário 4.1. Se as funções f(x) e g(x) são tais que f(x) = g(x) exceto num ponto b, então:
lim
x\u2192b
f(x) = lim
x\u2192b
g(x),
desde que exista um dos limites.
Esta propriedade nos permite &quot;simplificar&quot;antes de calcular o limite, como no primeiro exem-
plo.
Exemplo 4.1.
[1] Sejam f(x) =
2x2 \u2212 x\u2212 1
x\u2212 1 e g(x) = 2x+ 1.
Logo, f(x) = g(x) se x 6= 1; então, lim
x\u21921
f(x) = lim
x\u21921
g(x), como já foi verificado.
[2] Seja
f(x) =
{
x+ 5 se x 6= 1
2 se x = 1.
Calcule lim
x\u21921
f(x).
Observemos que f(1) = 2, mas o valor do limite da função quando x tende a 1 não depende
do valor da função no ponto 1, pois f(x) = x+ 5 se x 6= 1; logo:
lim
x\u21921
f(x) = lim
x\u21921
(x+ 5) = 6.
164 CAPÍTULO 4. LIMITES E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES
1
6
Figura 4.3: Exemplo [2].
Proposição 4.2. Se lim
x\u2192a f(x) e limx\u2192a g(x), existem, então para todo \u3b1, \u3b2 \u2208 R:
1. lim
x\u2192a
[
\u3b1 f(x) + \u3b2 g(x)
]
= \u3b1 lim
x\u2192a f(x) + \u3b2 limx\u2192a g(x).
2. lim
x\u2192a
[
f(x) g(x)
]
=
[
lim
x\u2192a f(x)
] [
lim
x\u2192a g(x)
]
.
3. lim
x\u2192a
f(x)
g(x)
=
lim
x\u2192a f(x)
lim
x\u2192a g(x)
, se lim
x\u2192a g(x) 6= 0.
4. lim
x\u2192a
[
f(x)
]n
=
[
lim
x\u2192a f(x)
]n
, se n \u2208 N.
5. lim
x\u2192a
n
\u221a
f(x) = n
\u221a
lim
x\u2192a f(x), se limx\u2192a f(x) \u2265 0 e n é qualquer natural, ou limx\u2192a f(x) positivo,
negativo ou nulo e n é um natural ímpar.
6. lim
x\u2192a ln
[
f(x)
]
= ln
[
lim
x\u2192a f(x)
]
, se lim
x\u2192a f(x) > 0.
7. Se lim
x\u2192ah(x) = limx\u2192a g(x) = L e existe \u3b4 > 0 tal que h(x) \u2264 f(x) \u2264 g(x), para 0 < |x\u2212 a| < \u3b4,
então lim
x\u2192a f(x) = L.
Segue diretamente da proposição 4.2:
(a) Se P (x) é uma função polinomial, então:
lim
x\u2192aP (x) = P (a).
(b) Se f(x) =
P (x)
Q(x)
é uma função racional e a \u2208 Dom(f), então:
lim
x\u2192a f(x) = f(a).
4.1. INTRODUÇÃO 165
Exemplo 4.2.
Calcule os seguintes limites:
[1] lim
x\u21920
[10x6 \u2212 3x5 + 2x4 + x3 + 5x+ 10].
Neste caso P (x) = 10x6 \u2212 3x5 + 2x4 + x3 + 5x+ 10; logo:
lim
x\u21920
[10x6 \u2212 3x5 + 2x4 + x3 + 5x+ 10] = lim
x\u21920
P (x) = P (0) = 10.
[2] lim
x\u21922
x+ 2
x4 \u2212 9 .
Como lim
x\u21922
(x4 \u2212 9) = 7 6= 0, podemos aplicar a proposição 4.2; então,
lim
x\u21922
x+ 2
x4 \u2212 9 =
lim
x\u21922
(x+ 2)
lim
x\u21922
(x4 \u2212 9) =
4
7
.
[3] lim
x\u21922
x3 \u2212 8x2 + 17x\u2212 10
x\u2212 2 .
Como lim
x\u21922
(x\u2212 2) = 0, não podemos aplicar a proposição 4.2; mas fatorando o numerador:
x3 \u2212 8x2 + 17x \u2212 10
x\u2212 2 =
(x\u2212 1) (x\u2212 2) (x \u2212 5)
x\u2212 2 = (x\u2212 1) (x \u2212 5),
para todo x 6= 2. Logo:
lim
x\u21922
x3 \u2212 8x2 + 17x\u2212 10
x\u2212 2 = limx\u21922(x\u2212 1) (x \u2212 5) = \u22123.
[4] Determine o valor de a tal que
lim
x\u2192\u22122
3x2 + ax+ a+ 3
x2 + x\u2212 2
exista.
Note que x2 + x\u2212 2 = (x+ 2) (x \u2212 1). Dividindo 3x2 + ax+ a+ 3 por x+ 2; obtemos:
3x2 + ax+ a+ 3 = (x+ 2) (3x + a\u2212 6) + (15\u2212 a);
logo, para que a divisão seja exata devemos ter a = 15; então:
3x2 + ax+ a+ 3 = 3 (x2 + 5x+ 6) = 3 (x+ 2) (x+ 3)
e
lim
x\u2192\u22122
3x2 + ax+ a+ 3
x2 + x\u2212 2 = 3 limx\u2192\u22122
x+ 3
x\u2212 1 = \u22121.
[5] lim
x\u21924
\u221a
x+ 5\u2212 3
x\u2212 4 .
166 CAPÍTULO 4. LIMITES E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES
Como lim
x\u21924
(x \u2212 4) = 0, não podemos aplicar diretamente a proposição 4.2; mas racionalizando
o numerador: \u221a
x+ 5\u2212 3
x\u2212 4 ·
\u221a
x+ 5 + 3\u221a
x+ 5 + 3
=
1\u221a
x+ 5 + 3
.
Logo:
lim
x\u21924
\u221a
x+ 5\u2212 3
x\u2212 4 = limx\u21924
1\u221a
x+ 5 + 3
=
1
6
.
1
0.5
Figura 4.4: Gráfico de f(x) =
\u221a
x+5\u22121
x\u22124 , perto de 4.
[6] lim
x\u21921
4
\u221a
x\u2212 1
5
\u221a
x\u2212 1 .
Para calcular este limite façamos a mudança de variáveis x = t20; então:
4
\u221a
x\u2212 1
5
\u221a
x\u2212 1 =
t5 \u2212 1
t4 \u2212 1 =
(t4 + t3 + t2 + t+ 1) (t\u2212 1)
(t\u2212 1) (t3 + t2 + t+ 1) .
Se x\u2192 1, então t\u2192 1; logo:
lim
x\u21921
4
\u221a
x\u2212 1
5
\u221a
x\u2212 1 = limt\u21921
t4 + t3 + t2 + t+ 1
t3 + t2 + t+ 1
=
5
4
.
[7] Seja f(x) uma função tal que |f(x)| \u2264 x2; então, lim
x\u21920
f(x) = 0.
De fato. Pela proposição 4.2, ítem 7, temos: lim
x\u21920
|f(x)| = 0, o que implica, lim
x\u21920
f(x) = 0.
4.2 Limites Laterais
Sejam f uma função definida em um domínio D (que pode ser um intervalo ou uma reunião
de intervalos).
4.2. LIMITES LATERAIS 167
Definição 4.2.
1. Seja a \u2208 R tal que existem b \u2208 R e (a, b) \u2282 Dom(f). O número real L é o limite à direita de f(x),
quando x se aproxima de a pela direita se para todo \u3b5 > 0, existe \u3b4 > 0 tal que |f(x)\u2212 L| < \u3b5, se
a < x < a+ \u3b4. Notação:
lim
x\u2192a+
f(x) = L
L
a
+
Figura 4.5: Limite à direita.
2. Seja a \u2208 R tal que existem c \u2208 R e (c, a) \u2282 Dom(f). O número real L é o limite à esquerda
de f(x), quando x se aproxima de a pela esquerda se para todo \u3b5 > 0, existe \u3b4 > 0 tal que
|f(x)\u2212 L| < \u3b5, se a\u2212 \u3b4 < x < a. Notação:
lim
x\u2192a\u2212
f(x) = L
a
L
\u2212
Figura 4.6: Limite à esquerda.
Exemplo 4.3.
[1] Calcule:
lim
x\u21922+
f(x) e lim
x\u21922\u2212
f(x),
168 CAPÍTULO 4. LIMITES E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES
se:
f(x) =
\uf8f1\uf8f4\uf8f2
\uf8f4\uf8f3
x2 + 1 se x < 2
2 se x = 2
\u2212x2 + 9 se x > 2.
Para calcular estes limites observemos que x\u2192 2+ significa que x fica perto de 2, para valores
de x maiores que 2 e x \u2192 2\u2212 significa que x fica perto de 2, para valores de x menores que 2.
Assim:
lim
x\u21922\u2212
f(x) = lim
x\u21922
(x2 + 1) = 5 e lim
x\u21922+
f(x) = lim
x\u21922
(\u2212x2 + 9) = 5.
2
-1
1
2
3
4
5
Figura 4.7: Gráfico de f , perto de 2.
[2] Calcule lim
x\u21920+
f(x) e lim
x\u21920\u2212
f(x), se:
f(x) =
\uf8f1\uf8f2
\uf8f3
|x|
x
se x 6= 0
1 se x = 0.
Novamente, para calcular estes limites observemos que x\u2192 0+ significa que x fica perto de 0,
para valores x maiores que 0 e x \u2192 0\u2212 significa que x fica perto de 0, para valores x menores
que 0. Primeiramente, escrevamos a função da seguinte maneira:
f(x) =
{
1 se x \u2265 0
\u22121 se x < 0.
Assim lim
x\u21920+
f(x) = lim
x\u21920
1 = 1 e lim
x\u21920\u2212
f(x) = lim
x\u21920
(\u22121) = \u22121.
4.2. LIMITES LATERAIS 169
-3 -2 -1 1 2 3
-1
1
Figura 4.8: Gráfico de f .
[3] Calcule lim
x\u21922+
f(x) e lim
x\u21922\u2212
f(x), se:
f(x) =
{
x2 \u2212 4x+ 6 se x < 2
\u2212x2 + 4x\u2212 2 se x \u2265 2
Calculando diretamente :
lim
x\u21922+
f(x) = lim
x\u21922
(\u2212x2 + 4x\u2212 2) = 2 e lim
x\u21922\u2212
f(x) = lim
x\u21922
(x2 \u2212 4x+ 6) = 2.
1 2 3 4 5 6
-6
-4
-2
2
4
6
8
Figura 4.9: Gráfico de f , perto de 2.
Relação entre limite e limites laterais
Teorema 4.2. Seja f(x) uma função com domínioD nas condições das definições. Então lim
x\u2192a f(x) = L
se, e somente se, os limites laterais existem e :
lim
x\u2192a+
f(x) = lim
x\u2192a\u2212
f(x) = L.
Para a prova, veja o apêndice.
170 CAPÍTULO 4. LIMITES E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES
Teste para determinar quando não existe um limite
Se
lim
x\u2192a+
f(x) 6= lim
x\u2192a\u2212