Apostila
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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
11.2 Definição e Cálculo da Integral Definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
11.3 Teorema Fundamental do Cálculo e Construção de Primitivas . . . . . . . . . . . 349
11.4 Métodos de Integração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352
11.5 Cálculo de Áreas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
11.5.1 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
11.6 Definição de Logaritmo Natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
11.6.1 Logaritmo como Área . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
11.7 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
12 INTEGRAIS IMPRÓPRIAS 375
12.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
12.2 Integrais Definidas em Intervalos Ilimitados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375
12.2.1 Função Gama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380
12.3 Integrais de Funções Descontínuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382
12.4 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
13 INTEGRAIS DEFINIDAS E ECONOMIA 387
13.1 A Integral Definida como Variação Total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
13.2 Valor Médio de uma Função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
13.3 Processos Contínuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
13.3.1 Valor Atual de um Fluxo de Renda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
CONTEÚDO 9
13.3.2 Valor Futuro de um Fluxo de Renda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
13.3.3 Investimento e Formação de Capital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
13.4 Excedentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
13.4.1 Excedente do Consumidor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
13.4.2 Excedente do Produtor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395
13.4.3 Excedente Total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396
13.5 Probabilidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400
13.5.1 Distribuição Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403
13.5.2 Distribuição Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405
13.5.3 Distribuição de Pareto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
13.5.4 Distribuição Normal ou Gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410
13.5.5 Distribuição Gama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412
13.6 Exercícios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416
14 RESPOSTASDOS EXERCÍCIOS ÍMPARES 419
14.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419
14.2 Funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419
14.3 Funções na Economia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420
14.4 Limites e Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420
14.5 Aplicações de Limites e Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421
14.6 Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421
14.7 Aplicações da Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422
14.8 A Derivada em Economia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422
14.9 Integração Indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422
14.10Integrais Indefinidas e Economia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423
14.11Integrais Impróprias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423
14.12Integrais Definidas e Economia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423
Bibliografia Básica 424
10 CONTEÚDO
Capítulo 1
INTRODUÇÃO
Neste capítulo apresentaremos uma breve revisão de alguns tópicos do 2o grau essenciais para
o estudo do Cálculo de uma Variável Real. Admitiremos a familiaridade do leitor com o con-
junto dos números reais, denotado por R, com as operações fundamentais e suas respectivas
propriedades, bem como com a visualização geométrica de R como uma reta e dos números
reais como pontos dessa reta. Denotemos por N o conjunto dos números naturais, por Z o
conjunto dos números inteiros.
1.1 Desigualdades
A representação geométrica dos números reais sugere que estes podem ser ordenados. Usando
os símbolos usuais paramaior (>), maior ou igual (\u2265), menor (<), menor ou igual (\u2264), podemos
ver, por exemplo, que se a, b \u2208 R e a < b, então b\u2212 a > 0; no eixo coordenado temos que a está
à esquerda de b. Para todo a, b \u2208 R temos: ou a > b, ou a < b, ou a = b.
É conhecido que a ordenação dos números reais é compatível com as operações definidas em
R.
1.2 Intervalos
Muitos subconjuntos de R são definidos através de desigualdades. Os mais importantes são os
intervalos.
Sejam a, b \u2208 R tais que a < b.
Intervalo aberto de extremidades a e b, denotado por (a, b) é definido por:
(a, b) = {x \u2208 R/a < x < b}.
a b
( )
Figura 1.1: Intervalo aberto.
11
12 CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
Intervalo fechado de extremidades a e b, denotado por [a, b] é definido por:
[a, b] = {x \u2208 R/a \u2264 x \u2264 b}.
a b
][
Figura 1.2: Intervalo fechado.
Intervalo semi-aberto e intervalo semi-fechado, são denotados e definidos, respectivamente,
por:
[a, b) = {x \u2208 R/a \u2264 x < b} e (a, b] = {x \u2208 R/a < x \u2264 b}.
a b
[ )
a
( ]
b
Figura 1.3: Intervalos semi-abertos e semi-fechados.
Os quatro intervalos assim definidos são ditos limitados. Introduzindo os símbolos \u2212\u221e e +\u221e,
os quais não são números reais, podemos definir os intervalos ilimitados:
(a,+\u221e) = {x \u2208 R/a < x} e (\u2212\u221e, a] = {x \u2208 R/x \u2264 a},
(\u2212\u221e, a) = {x \u2208 R/x < a} e [a,+\u221e) = {x \u2208 R/x \u2265 a}.
Note que R = (\u2212\u221e,+\u221e). Os intervalos aparecem de forma natural na resolução de inequa-
ções, pois, a solução é, em geral, dada por um intervalo ou uma reunião de intervalos.
Desigualdades Lineares:
Determinemos o conjunto-solução de:
ax+ b \u2265 0.
a x+ b \u2265 0 é equivalente a ax \u2265 \u2212b; logo:
Se a > 0, x \u2265 \u2212 b
a
; o conjunto-solução é
[\u2212 b
a
,+\u221e).
Se a < 0, x \u2264 \u2212 b
a
; o conjunto-solução é
(\u2212\u221e,\u2212 b
a
]
.
1.2. INTERVALOS 13
Desigualdades Quadráticas:
Seja ax2 + b x+ c = 0 a equação do segundo grau. Denotemos por
\u2206 = b2 \u2212 4 a c
o discriminante da equação e \u3b1, \u3b2 as raízes reais da equação (\u3b1 \u2264 \u3b2). O conjunto-solução S de
uma desigualdade quadrática depende do sinal de a e de\u2206.
Para\u2206 > 0.
Se a > 0, a desigualdade ax2 + b x + c \u2265 0 tem conjunto-solução S = (\u2212\u221e, \u3b1] \u222a [\u3b2,+\u221e) e
ax2 + b x+ c \u2264 0 tem conjunto-solução S = [\u3b1, \u3b2]
Se a < 0, a desigualdade ax2 + b x+ c \u2265 0 tem conjunto-solução S = [\u3b1, \u3b2] e ax2 + b x+ c \u2264 0
tem conjunto-solução S = (\u2212\u221e, \u3b1] \u222a [\u3b2,+\u221e).
Para\u2206 = 0.
Se a > 0, a desigualdade ax2 + b x+ c \u2265 0 tem conjunto-solução S = R e ax2 + b x+ c \u2264 0 tem
conjunto-solução S = {\u3b1}.
Se a < 0, a desigualdade ax2 + b x+ c \u2265 0 tem conjunto-solução S = {\u3b1} e ax2 + b x + c \u2264 0
tem conjunto-solução S = R.
Para\u2206 < 0.
Se a > 0, a desigualdade ax2 + b x + c > 0 tem conjunto-solução R e ax2 + b x + c \u2264 0 tem
conjunto-solução \u2205. Se a < 0, a desigualdade ax2 + b x + c \u2265 0 tem conjunto-solução \u3c6 e
ax2 + b x+ c < 0 tem conjunto-solução S = R.
Exemplo 1.1.
[1] Ache a solução de: x2 \u2212 x\u2212 2 \u2265 0.
Note que\u2206 > 0 e a > 0 e as raízes de 5x2 \u2212 4x\u2212 12 = 0 são x = 2 e x = \u22121; logo:
S =
(\u2212\u221e,\u22121] \u222a [2,+\u221e).
[2] Ache a solução de: x3 < x.
Fatorando x3 \u2212 x = x (x+ 1) (x\u2212 1); então, x3 \u2212 x < 0 é equivalente a x (x+ 1) (x\u2212 1) < 0, da
qual obtemos x < \u22121 ou 0 < x < 1. O conjunto-solução é:
S = (\u2212\u221e,\u22121) \u222a (0,