Notas_economia_matematica_1_final_2009
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Notas_economia_matematica_1_final_2009


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de arrecadação de uma unidade da SEFAZ 
seja dada por Y = F(K, L) = 2.Ka + 3.Lb. Calcule e . 
 
Exemplo 3.29: Refaça os cálculos, supondo agora que Y = F(K, L) = 2.Ka.Lb. . Que 
conclusões podemos tirar comparando ambas as funções de produção? Qual parece 
mais realista? 
 
Derivadas parciais sucessivas: Analogamente ao caso de função com somente 
um argumento, podemos verificar se a função permite que se obtenha derivadas 
parciais de segunda, terceira, ... n-ésima ordem. 
A notação utilizada nestes casos é a seguinte: Seja y = f(x1, x2, ..., xn), então a 
derivada parcial segunda da função em relação ao argumento x1 é dada por 
 
 
 
É possível também calcular as derivadas ditas cruzadas, ou seja, obtidas ao se 
derivar a função em relação ao argumento xi, depois xj e assim em diante. 
Observação importante: Caso as primeiras derivadas parciais de uma 
determinada função sejam diferenciáveis, então as derivadas cruzadas serão iguais. A 
notação utilizada nestes casos é a seguinte: 
 
 Seja y = f(x1, x2), então 
 
i
ix
x
yff
i \u2202
\u2202
==
L
Y
\u2202
\u2202
K
Y
\u2202
\u2202
i
i
i x
x
y
x
y
\u2202
\uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u2202
\u2202\u2202
=
\u2202
\u2202
2
2
1
2
2
1
x
x
y
x
x
y
\u2202
\uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u2202
\u2202\u2202
=
\u2202
\uf8f7\uf8f7
\uf8f8
\uf8f6
\uf8ec\uf8ec
\uf8ed
\uf8eb
\u2202
\u2202\u2202
 
 
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Exemplo 3.30: Mostre que as derivadas cruzadas são iguais para as funções a 
seguir: e 
 
Estas derivadas parciais, por construção possuem uma interpretação interessante. 
Suponha que a função em questão seja de produção dada por Q = Q(K, L), onde Q 
consiste na produção, K no insumo capital e L no insumo trabalho. As derivadas 
parciais de primeira ordem no caso, e , podem ser 
interpretadas respectivamente, como sendo a taxa de variação da produção segundo 
variações infinitesimais no capital, enquanto o insumo trabalho é mantido constante e 
como sendo a taxa de variação da produção segundo variações infinitesimais no 
trabalho, enquanto o insumo capital é mantido constante. 
Comumente, define-se o vetor de derivadas primeiras de uma função y = f(x1, x2, 
..., xn) dado por (f1, f2, ..., fn) como sendo o vetor gradiente da função f, sendo sua 
notação dada por \u2207f. 
Funções marginais 
Veremos agora alguns exemplos de como podemos utilizar derivadas para 
conceituar questões administrativas e econômicas. Em Administração ou Economia, 
dada uma função f(x), costuma-se utilizar o conceito de função marginal para avaliar o 
efeito causado em f(x) por uma pequena variação de x. Chama-se função marginal de 
f(x) à função derivada de f(x). Assim, a função custo marginal é a derivada da função 
custo, a função receita marginal é a derivada da função receita, e assim por diante. Nesta 
seção veremos algumas funções marginais. 
 
Função Custo Marginal: Suponha que C(x) seja o custo total de produção de x 
unidades de um certo produto. A função C é chamada de função custo total e temos a 
seguinte definição. Se C(x) é o custo total de produção de x unidades de um produto, 
então o custo marginal quando x = x0, é dado por C\u2019(x0 ), caso exista. A função C\u2019(x) é 
chamada função custo marginal. O custo marginal é aproximadamente igual a variação 
do custo decorrente da produção de uma unidade adicional além das x0 unidades 
produzidas. 
323),( yxyxf = )ln(),( xyyxf =
kQKQ =\u2202\u2202 / LQLQ =\u2202\u2202 /
 
 
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Exemplo 3.31: Suponha que C(x) seja a função de custo total de fabricação de x 
pares de sapatos da marca Kchute, dado pela equação C(x) = 110 + 4x + 0,02x2. 
Determinar o custo marginal quando x igual a 50. 
 
Função Receita Marginal: Suponha que R(x) seja a receita total obtida pela 
venda de x unidades de um produto, então temos a seguinte definição. Se R(x) é a 
receita obtida quando x unidades de um produto são demandadas, então a receita 
marginal, quando x = x0,é dado por R'(x0 ), caso exista. A função R'(x) é chamada 
função receita marginal. R'(x0) pode ser positiva, negativa ou nula, e pode ser 
interpretada como a taxa de variação da receita total quanto x = x0 unidades são 
demandadas. A receita marginal é aproximadamente igual a variação da receita 
decorrente da venda de uma unidade adicional além das x0 unidades vendidas. Na 
definição acima R\u2019(x0) pode ser interpretada como a taxa de variação da receita total 
quando x0 unidades são vendidas. 
Exemplo 3.32: Suponha R(x) seja a função de receita total recebida da venda de x 
unidades de cadeiras da loja BBC Móveis, e R(x) = -4x2 + 2000x. Calcular a receita 
marginal para x = 40. 
 
Exercícios sobre derivadas parciais 
#1: Calcule as derivadas parciais abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
#2: Calcule as derivadas parciais e interprete. 
a. U = U(x, y) = x1/2.y2/3, onde U mensura felicidade e x e y são as quantidades 
consumidas de dois bens. 
xzy
yzx
we
xzzyyxwd
exzc
yx
yx
zb
xyxyza
yx
32
2
222
3
22
)
;)
;)
;)
;ln)
2
=
++=
=
+
=
\u2212=
+
 
 
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b. U = U(c, l) = (c2 + 2)2(l + 3)3 onde U mensura felicidade e c é o consumo e l é o 
lazer. 
c. D = D(P, Y) = a + bP + cY, onde D é a função de demanda de um produto, P é o 
preço do produto e Y é a renda do consumidor. Que sinais você espera para essas 
derivadas? 
d. S = S(P, W) = a + bP + cW, onde S é a função de oferta de um bem, P é o seu 
preço e W é o custo do trabalho (salário). Que sinal você espera para essas derivadas? 
 
#3: Calcule as derivadas parciais e interprete. 
a. Dada a função custo C(x) = 0,3x3 \u2013 2,5x2 + 20x + 200, obtenha o custo 
marginal para x = 50. 
b. A receita total recebida da venda de x televisores em cores é dada por: R(x) = 
700x \u2013 x3/40. Determine a função receita marginal e a receita marginal quando x = 250. 
 
#4: Exercícios 1, 2, 3 e 4 da seção 7.1 do livro texto, página 147. 
 
#5: Exercícios 1, 2, 3, 4, 5 e 6 da seção 7.3 do livro texto, página 159. 
 
#6: Exercícios 1, 2, 3, 4, 5 e 7 da seção 7.4 do livro texto, página 163. 
 
3.7. Diferencial total 
Seja y = f(x1,x2) uma função diferenciável, ou seja, cujas primeiras derivadas 
parciais existam. Neste caso, dizemos que a diferencial total desta função é dada por: 
 
 
 
Qual a interpretação desta relação? 
 
A equação diz que a variação total de y é dada pela variação de x1 vezes o efeito 
de x1 sobre y, mais a variação de x2 vezes o efeito de x2 sobre y. 
2
2
1
1
.. dx
x
ydx
x
ydy
\u2202
\u2202
+
\u2202
\u2202
=
 
 
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Exemplo 3.33: Calcule a derivada total das seguintes funções. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios sobre derivada total 
#1: Exercícios 1, 2, 3, 4, 5 e 6 da seção 8.4 do livro texto, página 185. 
 
3.8. Função implícita 
É possível que em alguns casos estejamos diante de uma relação a qual expressa 
a relação entre a variável dependente a as variáveis explicativas sem ser sob a forma 
direta de uma função. Dizemos nestes casos, que a função está implícita. 
Exemplo 3.34: Considere a equação f(x, y) = x2 + y2 \u2013 9 = 0. 
 
Ela é a equação do círculo de raio 3. 
Existe uma relação entre a variável y 
e a x, mas não de um forma explícita 
dada por y = g(x). Como obter dy/dx? 
 
A equação define, implicitamente, as funções y = (9 \u2013 x2)1/2 e y = \u2013 (9 \u2013 x2)1/2 
Exemplo 3.35: Ache dy/dx das funções abaixo. 
 
 
 
 
( )
.)
;ln)
;)
;)
;342)
2
1
322
32
323
zyx
xyz
ue
zyxud
zxyuc
eub
yxyxza
xyz
\u2212+
=
++=
=
=
+\u2212=
0)
;0)
;0)
;03)
2233
43
=+
=+
=\u2212
=\u2212+
yx
xy
exyed
yxyxc
xeeb
xyyxa
 
 
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